Onze Eeuw. Jaargang 21

[p. 57]

Over de ruimte
Door J.D. van der Waals Jr.

De algemeene relativiteitstheorie van Einstein heeft zeer de aandacht getrokken, en dat niet alleen onder vakgeleerden op het gebied der natuurkunde. Herhaaldelijk zag men in kranten en tijdschriften van deze theorie melding gemaakt en trof men pogingen aan, ook de niet-vakkundige lezers met den inhoud der theorie te doen kennis maken. En lezingen over dit onderwerp trokken altijd een groot aantal aandachtige hoorders. Ongetwijfeld werden de vakgeleerden door geheel andere eigenschappen der theorie aangetrokken dan het grootere publiek. Wat hen aantrok was, naast de stoutheid der denkbeelden en de ijzeren consequentie bij de ontwikkeling daarvan, voor een groot deel ook de schoonheid der mathematische ontwikkelingen. En, wat in die mathematische formules te lezen staat, is, volgens een treffende uitspraak van Prof. Ehrenfest, niet in gewone woorden te verklaren, evenmin als het mogelijk zou zijn in gewone woorden uit te leggen, wat Beethoven ons zegt in de klanken van zijn symphonieën.

Het is hier mijn bedoeling niet den inhoud der algemeene relativiteitstheorie uiteen te zetten. Ik wil er hier alleen op wijzen, dat Einstein's beschouwingen

[p. 58]

onze aandacht weer gevestigd hebben op het vraagstuk van de eigenschappen der ruimte, welke kwestie echter natuurlijk ook afgezien van de algemeene relativiteitstheorie van belang is. Men kan Einstein's theorie voor een groot deel formuleeren door te zeggen, dat de ruimte niet ‘vlak’ is doch ‘gekromd’, met andere woorden, dat zij niet de eigenschappen bezit, die door Euclides aan haar zijn toegeschreven en die wij in onze op school gebruikte meetkundeboeken uiteengezet vinden. Aan iemand, die het in de wiskunde niet verder gebracht heeft, dan noodig is voor het eindexamen eener H.B.S. of gymnasium zal zulk een uitspraak min of meer wonderspreukig toeschijnen. Doel van dit opstel is aan te geven in welken zin die uitspraak kan toegegeven worden - en in welken zin niet.

Het komt mij voor, dat de kwestie aangaande de eigenschappen der ruimte min of meer compromittant voor de wetenschap is. Er worden hierover namelijk zeer verschillende meeningen geuit. Op zichzelf is dit natuurlijk geenszins compromittant. Niemand zal het den beoefenaars van een wetenschap kwalijk nemen, wanneer zij tot verschillende uitkomsten komen. Maar minder gunstig wordt ons oordeel over de strijdende partijen, wanneer blijkt, dat er eigenlijk geen verschil in meening bestaat, doch slechts een verschil in nomenclatuur, en dat met een beetje goeden wil en wat meer oplettendheid voor elkanders bedoeling de strijd had kunnen vermeden worden. En iets dergelijks lijkt mij grootendeels het geval te zijn met de kwestie aangaande de ruimte. Ik zeg grootendeels, want niet ieder verschil op dit gebied kan aan een dergelijk misverstand worden toegeschreven. Ook na het opheffen daarvan blijft nog een reëel verschil in opvatting bestaan. Ik hoop in het vervolg duidelijk te maken, in hoeverre mijns inziens het een en in hoeverre het ander het geval is. Ik zal daartoe uitvoerig moeten zijn. Ik hoop, dat niet zal geoordeeld worden, dat ik uitvoeriger ben dan noodig is om van de woorden tot de begrippen door te dringen.

[p. 59]

De stand van het debat komt mij voor met het volgende fictieve geval groote overeenkomst te vertoonen. Stel u voor, dat er een land N. is waar onze gewone wilde roosjes (rosa canina) voorkomen maar geen enkele gekweekte rozensoort en ook niet onze wilde duinroosjes (rosa pimpinellifolia) die geel zijn. Het volk in dat land zal een taal hebben; laten wij denken, dat zij de bedoelde bloemen ‘roos’ noemen. Dan kunnen zij zeggen, dat rozen ‘rose’ van kleur zijn. In hun taal immers dragen alleen de hun bekende bloemen den naam ‘roos’. Stel u nu voor, dat in dat land een botanicus opstaat, die het begrip ‘rosaceën’ vormt, voor een familie van planten, waartoe behalve de rozen nog vele andere planten behooren, die met de rozen een aantal botanische kenmerken gemeen hebben, o.a. het bekende zilverkruid (potentilla anserina), dat met gele eenigszins op boterbloemen gelijkende bloemen bloeit. En denk nu, dat de botanicus die familie niet ‘rosaceën’ maar eenvoudig ‘rozen’ noemt, en dat zijn aanhangers beweren ‘rozen kunnen ook geel zijn’. Deze bewering wordt tegengesproken door de N.-landers wier rozen alle rose zijn. Indien de botanici nu antwoorden - het alleen juiste antwoord - ‘gij hebt volkomen gelijk: uw rozen zijn rose; wij spreken echter niet gewoon N-landsch maar een botanische vaktaal en onder hetgeen daarin roos heet komen ook gele bloemen voor’, dan zou er waarschijnlijk geen conflict ontstaan. Maar indien zij antwoorden: ‘Neen, dat rozen alleen rose zouden zijn is een verouderd vooroordeel, wij met onze veel ruimer blik hebben ontdekt, dat rozen ook geel kunnen zijn’, dan is het conflict geboren.

Wanneer wij nu de kwestie van de ruimte met deze rozenkwestie vergelijken moeten wij voorzichtig zijn. Het invoeren van de familiën volgens het natuurlijke stelsel en daarmee van het uitgebreide rozenbegrip kan voor de botanische wetenschap van zeer groot belang zijn; wij moeten het misschien als een wetenschappelijke

[p. 60]

praestatie van zeer hoogen rang beschouwen. Maar door dit te erkennen wordt de uitspraak: ‘Wij hebben ontdekt, dat rozen ook geel kunnen zijn’, niet gerechtvaardigd. Anders wordt het, wanneer wij een eenigszins gewijzigd geval stellen. Laten wij denken, dat in N. niet een botanicus maar een reiziger opstaat, die een naburig land bezoekt en daar de gele duinroosjes vindt. Deze gelijken zoozeer op de bloemen, die hij gewoon is rozen te noemen, dat hij er onmiddellijk een gele variëteit van de rozen in ziet. Als hij thuiskomt, zal hij beweren gele rozen ontdekt te hebben, en niemand zal hem daarin tegenspreken. Toch gelijken de twee gevallen zeer veel op elkaar. In beide wordt het later mogelijk van gele rozen te spreken, wat vroeger niet het geval was, en in beide komt dat eenvoudig daardoor, dat men gele bloemen, die men vroeger niet ‘roos’ noemde, later wel zoo noemt.

De lezer moge in het vervolg zelf uitmaken met welk van de twee gevallen zijns inziens de kwestie aangaande de eigenschappen der ruimte de nauwste analogie vertoont.

Na deze voorbereiding willen wij tot de beschouwing van het ruimte-begrip overgaan. Ook dit begrip is natuurlijk ouder dan de wetenschap. Alle voorwerpen waarmee wij in aanraking komen en ook onze eigen lichamen bestaan in de ruimte en bewegen zich daar in. Slechts het medium¹⁾, waarin die lichamen zich bevinden, zal ik in het vervolg ruimte, soms ook O.R. (oorspronkelijke ruimte) noemen. Wanneer ik onder ruimte iets anders versta - wij zullen zien, dat de wiskundigen veelal van een ander ruimte-begrip spreken - zal ik dat er nadrukkelijk bij vermelden, of van de W.R. (wiskundige

1) Met het woord ‘medium’ wil ik volstrekt niet iets materieels uitdrukken. Ik weet echter geen ander woord, waaronder de ruimte gesubsumeerd zou kunnen worden. Misschien is het beter ieder zelfstandig naamwoord te vermijden en alleen te zeggen: ‘dȧtgene, waarin de lichamen zich bewegen enz.’

[p. 61]

ruimte) spreken, tenzij de bedoeling uit het verband voldoende duidelijk is. Het bestudeeren dezer O.R. is het oorspronkelijk doel der meetkunde.

Bij dit bestudeeren zal ik echter nog twee elementen onderscheiden:

1e. Het opsporen van de elementaire eigenschappen der ruimte.

2e. Het nagaan welke figuren in de ruimte mogelijk zijn en welke eigenschappen deze bezitten.

Onder 1e valt dus alleen het opstellen der axioma's, onder 2e de geheele verdere meetkunde. Alleen het onder 2e bedoelde zal ik wiskunde noemen. De meetkunde beschouw ik dan als een tak van toegepaste wiskunde evenals bijvoorbeeld de mechanica en de kansrekening. In alle drie moet men eerst de principes opstellen - de axioma's aangaande ruimte, de principes der mechanica, de gevallen van gelijke kans - en daarna vangt eerst de toepassing der wiskunde aan om uit deze elementaire en algemeene gegevens meer samengestelde of bijzondere gevallen af te leiden. Ten slotte verlaat men eigenlijk weer het gebied der wiskunde, wanneer men de verkregen oplossingen der wiskundige vraagstukken interpreteert als eigenschappen van figuren in de ruimte, als bewegingswijze van mechanische toestellen of als kansen van mogelijke gebeurtenissen.

Zeer duidelijk is dit procédé bij de door Descartes ingevoerde analytische meetkunde. Descartes merkte op, dat, wanneer men in de ruimte drie onderling loodrechte vlakken aanbrengt, (bij voorbeeld de vloer en twee aan elkander grenzende zijwanden van een vertrek) een punt geheel bepaald is door zijn afstanden tot die drie vlakken (die dan in sommige gevallen negatief worden geteld). Een punt kan nu door die drie afstanden, die men dan coördinaten noemt, gerepresenteerd worden en door berekeningen met die coördinaten kan men allerlei meetkundige stellingen afleiden.

Nu waren het echter wiskundigen, die zich met deze onderzoekingen bezig hielden. Hun interesseerde alleen

[p. 62]

of althans in hoofdzaak de wiskundige kant van de zaak. Zij kwamen tot het inzicht dat van het punt uit de O.R. in hun wetenschap eigenlijk niet anders voorkomt dan zijn drie coördinaten, dat wil zeggen de drie getallen, die den stand ervan bepalen. En zoo kwamen zij ertoe in hun wetenschap te definieeren: de combinatie van drie getallen noem ik een punt. Het geheel van alle mogelijke dergelijke combinaties noem ik een (drie dimensionale) ruimte. Het is duidelijk, dat zij hierdoor aan de woorden punt en ruimte een geheel nieuwe beteekenis geven en dat men over die begrippen sprekende zich daarvan goed rekenschap moet geven. De tafel, waaraan ik zit te schrijven staat in de ruimte. In ‘het geheel van alle combinaties van drie getallen’ staan alleen getal-combinaties; zooiets als een tafel komt daarin niet voor.

Dat een zoo gedefinieerd M.P. en M.R. geheel iets anders zijn dan een O.P. en een O.R. is den wiskundigen niet verborgen gebleven. Zoo zegt de bekende mathematicus H. Weyl in zijn boek ‘Raum, zeit, materie’ ‘dasz ... aufs deutlichste hervortritt, wie wenig die Mathematik Anspruch darauf machen kann, das anschauliche Wesen des Raumes zu erfassen: von dem, was den Raum der Anschauung zu dem macht, was er ist in seiner ganzen Besonderheit und was er nicht teilt mit “Zustande von Rechenmaschinen”¹⁾... enthält die Geometrie nichts... da unsere begrifflichen Theorien nur im stande sind, das Raumwesen nach einer Seite hin, noch dazu seiner oberflächlichsten und formalsten, zu erfassen.’ Het komt mij voor, dat deze uitspraak van Weyl geheel juist is; alleen had hij zich nog iets sterker kunnen uitdrukken en had hij kunnen zeggen, dat de wiskundige als zoodanig van de ruimte niets afweet.

Ik zou dit weer door een analoog geval willen toelichten. Stel u voor, dat er een schilderijen-verzameling is be-

1) Voorbeeld van een andere grootheid die evenals het punt door een getal-combinatie wordt vastgelegd.

[p. 63]

staande uit 217 schilderijen. En nu is er iemand, die deze schilderstukken niet gezien heeft en die van het bestaan der collectie nooit heeft gehoord. Maar hij kan wel tot 217 tellen. Zoudt gij nu zeggen dat hij het wezen der collectie ‘nach der formalsten Seite hin erfassen könnte’ of dat hij er niets van af wist? Waarschijnlijk het laatste. En eigenlijk is de verhouding van den mathematicus tot de ruimte volkomen eender. Hij kent getal-combinaties, waarmee, nu ja allerlei dingen te nummeren zijn en onder deze ook de punten der ruimte. Maar meer weet hij van deze niet af.

De mathematici zijn bij deze verandering in de beteekenis van het woord ruimte niet blijven staan. Na de verandering in het begrip te hebben aangebracht hebben zij het begrip uitgebreid. Voor hun heeft het getal drie niets voor boven ieder ander geheel getal, en liever dan zich tot drie dimensies te bepalen breidden zij hun definitie uit: ‘Een combinatie van n getallen noem ik een punt. Het geheel van al dergelijke combinaties noem ik een n-dimensionale ruimte’¹⁾.

Wanneer eenmaal het begrip der W.R. is uitgevoerd, lijdt het geen twijfel, of een dergelijke uitbreiding van dat begrip is volkomen gerechtvaardigd en beteekent een groote aanwinst voor de wiskunde. En wanneer de mathematici steeds zóó gedefinieerd hadden, wat zij onder een n-dimensionale ruimte verstaan, zou ook niemand daar bezwaar tegen gehad hebben. Alleen had misschien twijfel kunnen rijzen of de naam ‘ruimte’ voor het nieuwe begrip gelukkig gekozen was. Maar ongelukkig hebben de wiskundigen zelf aanvankelijk niet duidelijk begrepen wat zoo'n n-dimensionale ruimte eigenlijk was. Zij hebben niet dadelijk opgemerkt dat hun ruimtebegrip iets geheel anders was dan dat van

1) Historisch is dit niet geheel juist. Het begrip ‘meer dimensionale ruimte’ is ingevoerd, vóórdat zoo duidelijk was gedefinieerd, wat de wiskundige onder punt en ruimte verstond. Maar principieel maakt dat geen verschil.

[p. 64]

de voorstelbare O.R. En om bijvoorbeeld een vierdimensionale ruimte te rechtvaardigen hebben zij gemeend zich op mogelijke voorstellingen te moeten beroepen. ‘Het is waar, wij kunnen ons zoo iets niet voorstellen’, zeiden zij, ‘maar mogelijk bestaan er wezens, die dat wel kunnen.’ Om dat te illustreeren fingeerden zij wezens, die wel is waar in een driedimensionale ruimte leven, doch zelf slechts vlakke figuren zijn, en die bovendien genoodzaakt zijn gedurende hun leven voortdurend in een bepaald oppervlak te blijven. Deze ‘vlaklanders’ zouden slechts van vlakke figuren kennis hebben. Zij zouden zich - aldus werd beweerd - slechts vlakke figuren, dat wil zeggen een tweedimensionale ruimte kunnen voorstellen. Nu zou het denkbaar zijn - aldus ging men voort - dat er wezens waren, die tot ons zich verhielden, als wij tot de vlaklanders. Dezen zouden dan een vierdimensionale ruimte kennen. Hun voorstellingen zouden in een vierdimensionale ruimte verloopen.

Het is duidelijk hoe weinig ad rem deze beschouwingen zijn. In de eerste plaats zijn dergelijke vage mogelijkheden - zoo men ze zoo althans nog wil noemen - geen fundament voor een zoo soliede wetenschap als de meer-dimensionale meetkunde. En bovendien zijn zij geheel onnoodig. Heeft men eenmaal ingezien, dat een mathematisch gedefinieerde ruimte een getallensysteem is en dus iets geheel ongelijksoortigs met de ruimte, waarin wij leven, dan heeft het beroep op een eventueel mogelijke voorstelbaarheid van een vierdimensionale ruimte geen zin meer. Het komt mij dan ook voor, dat de fabel van ‘Vlakland’ niets anders heeft gedaan dan de kwestie embrouilleeren, en dat hoe gauwer zij vergeten wordt, hoe beter.

Om het uit de fabel der vlaklanders blijkende misverstand te ontgaan ware het misschien beter geweest, zoo men een andere nomenclatuur had ingevoerd. Men had een combinatie van respectievelijk 1, 2, 3, enz. getallen, in plaats van het een punt te noemen, met den naam monoplet, duplet, triplet, enz. kunnen aanduiden

[p. 65]

en het geheel van al zulke combinaties met panmonoplet, panduplet, pantriplet, enz. Tenslotte had men deze namen ook kunnen toekennen aan de zaken, die met die getalcombinaties genummerd kunnen worden en bijvoorbeeld kunnen zeggen: een lijn, de tijd, de temperatuurschaal (d.w.z. het geheel van alle mogelijke temperaturen) zijn panmonopletten; een vlak, de mogelijke thermodynamische toestanden van een enkelvoudige stof (die bepaald wordt door twee getallen voorstellende de temperatuur en den druk) pandupletten; de ruimte, de mogelijke thermodynamische toestanden van een binair mengsel (die behalve door temperatuur en druk door een derde getal: de samenstelling van het mengsel bepaald wordt) pantripletten; terwijl de mogelijke aanvangstoestanden van een bewegend punt in de ruimte, gegeven door de drie aanvangscoördinaten en drie snelheidscomponenten een pansexuplet vormen. In plaats van hiervan te spreken heeft men gekozen te spreken van 1, 2, 3, 6 dimensionale ruimten. Men had natuurlijk evengoed kunnen spreken van 1, 2, 3, 6 dimensionale tijden of temperaturen. De eigenschappen van de O.R. worden natuurlijk door het feit, dat men gekozen heeft van meerdimensionale ruimten te spreken in plaats van van panmultipletten in het minst niet veranderd. En er is niet meer aanleiding te spreken van ruimtevoorstellingen met meer dan drie dimensies, dan van temperatuur-aanvoelingen van meer dan één.

Ik wil hiermee niet zeggen, dat het mij beter was voorgekomen, dat men inderdaad de multipletten-nomenclatuur had ingevoerd. Met voldoende oplettendheid is misverstand toch wel te voorkomen en de ruimtenomenclatuur stelt een groot aantal woorden ter beschikking, die, hoewel zij in letterlijken zin eigenlijk alleen beteekenis voor de ruimte hebben, toch ook bij wijze van analogie op de panmultipletten kunnen worden toegepast en die daardoor een ‘quasi-voorstelling’ in het leven roepen, waardoor de studie der panmultipletten veel overzichtelijker wordt.

[p. 66]

Thans moet ik melding maken van nog een ander ruimte-begrip in de wiskunde ingevoerd, namelijk dat van niet-Euclidische ruimte. Men verstaat daaronder een ‘ruimte’, die wel drie afmetingen heeft - men kan trouwens ook van niet-Euclidische ruimten van minder of meer dan drie afmetingen spreken - maar die toch andere eigenschappen zal hebben dan de gewone ruimte onzer meetkunde-leerboeken; er zullen andere axioma's voor gelden dan de door Euclides opgestelde en tengevolge daarvan zal de meetkunde erin een andere zijn. Met name zal het parallellen-axioma niet gelden, en kan men bijvoorbeeld een niet-Euclidische meetkunde opstellen voor een ruimte, waarin men aanneemt, dat door een punt buiten een gegeven rechte lijn nooit een lijn parallel aan de gegeven lijn is te trekken.

Wanneer men zich tot tweedimensionale ruimten, d.w.z. tot vlakken bepaalt, is het verschil gemakkelijk duidelijk te maken: een plat vlak is Euclidisch, een gebogen oppervlak, bijvoorbeeld een bol niet. Voor de figuren in een plat vlak en voor die op een bol gelden dan ook verschillende meetkundige stellingen, waarvan wij in het vervolg een voorbeeld zullen tegenkomen¹⁾. Men zou nu kunnen trachten een denkbeeld te geven van een niet-Euclidische driedimensionale ruimte door te zeggen, dat zij zich verhoudt tot de ons uit de gewone meetkundeboeken bekende Euclidische ruimte als een gebogen oppervlak tot een plat vlak.

Maar door een dergelijke uitspraak zou de ware aard van zulk een ‘ruimte’ toch niet volkomen duidelijk worden gemaakt. Om haar zoo duidelijk mogelijk te maken zal een kleine uitweiding noodig zijn, waarbij zelfs van een enkele formule wordt gebruik gemaakt. Ik meen echter, dat die formules zoo eenvoudig zijn, dat zij niet tot moeilijkheden bij de lectuur zullen aan-

1) Eigenlijk geldt voor sommige gebogen oppervlakken dezelfde meetkunde als voor het platte vlak, bijvoorbeeld voor den cylinder. Zulke gebogen oppervlakken worden ook als Euclidisch beschouwd.

[p. 67]

leiding geven. Laten wij ons weer de drie Carthesiaansche coördinaat-vlakken voorstellen, waarvan wij boven spraken, en laten wij het punt, waar zij elkaar alle drie ontmoeten O noemen. Zij verder r de afstand van een willekeurig punt tot dit punt O terwijl x, y en z de coördinaten van het willekeurige punt voorstellen. Een eenvoudige toepassing van de stelling van Pythagoras leert dan dat

x² + y² + z² = r².

Neemt men nu voor r een bepaalde waarde, bijvoorbeeld 7, dan ziet men, dat de vergelijking

x² + y² + z² = 49

een vergelijking is, waaraan de coördinaten van alle punten voldoen, wier afstand tot O gelijk 7 is. Deze punten liggen op een bol met O als middelpunt en 7 als straal. Men zegt nu, dat de gegeven vergelijking de vergelijking van dien bol is. Niet alle punten van de ruimte voldoen natuurlijk aan de vergelijking: de vergelijking kiest uit de punten van de ruimte een aantal punten uit, namelijk diegene, die op den genoemden bol liggen. Op dezelfde wijze zal een andere vergelijking een ander aantal punten uit de ruimte uitkiezen, die op een ander oppervlak liggen. Is de vergelijking van den eersten graad in de coördinaten, dus ziet zij er uit:

a x + b y + c r = d

dan is het oppervlak plat, heeft zij een andere gedaante, dan is het gebogen. Volgens hetgeen wij boven zagen, kunnen wij dit ook zoo uitdrukken: in een driedimensionale ruimte bepaalt een vergelijking van den eersten graad van Euclidische tweedimensionale; een andere vergelijking bepaalt erin in het algemeen een niet-Euclidische tweedimensionale. Geheel overeenkomstig kan men nu met meer dimensionale ruimten of panmultipletten te werk gaan. Geeft men bijvoorbeeld een panquadruplet en één vergelijking, waarin de vier getallen daarvan voorkomen, dan kiest deze vergelijking weer een deel van de quadrupletten uit en wel een groep die tezamen een pantriplet vormen. Is de vergelijking van

[p. 68]

den eersten graad, dan is de pantriplet Euclidisch, zoo niet dan in het algemeen niet Euclidisch. Ik heb hier opzettelijk van de multipletten-nomenclatuur gebruik gemaakt om te laten zien, dat het vormen van zulk een niet Euclidische ‘ruimte’ weer een zuiver mathematisch iets is: het kiezen van groepen getalcombinaties. Het bestaan ervan is natuurlijk weer geheel irrelevant voor de eigenschappen van de voorstelbare O.R.

Ik ben er mij natuurlijk wel van bewust, dat de hier gegeven definitie van een niet-Euclidische ruimte onvolmaakt is. In de eerste plaats is zij niet algemeen: sommige niet-Euclidische ruimten zijn inderdaad op de aangegeven wijze te bepalen als een door een vergelijking uitgekozen deel van een vierdimensionale, maar er zijn andere, die dit niet zijn. Zij liggen niet in een vierdimensionale ‘gewone’ ruimte. Ernstiger nog is het bezwaar, dat de definitie onvoldoende is. Ik heb stilzwijgend aangenomen, dat de vierdimensionale ruimte, waarvan de driedimensionale een al of niet Euclidisch deel zou zijn, zelf ‘gewoon’ d.w.z. Euclidisch is. Zoo is de moeilijkheid dus niet opgelost, doch slechts verschoven. De vraag rijst vanzelf: welke eigenschap moet die vierdimensionale ruimte eigenlijk hebben, opdat het waar zij, dat een eerstegraads vergelijking er een Euclidische driedimensionale in bepaalt. Maar die vraag heb ik niet opgelost. Toch heb ik gemeend de definitie te moeten geven, zooals ik deed, omdat het mij voorkomt, dat zij geschikt is den niet-mathematicus zoo dicht mogelijk bij het begrip niet-Euclidische ruimte te brengen. Twee dingen, waarop ik de aandacht wilde vestigen, worden erdoor naar voren gebracht: 1e de analogie met een gebogen oppervlak, 2e het feit, dat de niet-Euclidische ruimte door zijn definitie een getallensysteem is en niet een voorstelbaarheid.

Om een niet-Euclidische driedimensionale ruimte te bepalen maakten wij hier gebruik van een vierdimensionale ruimte. De beste, of beter gezegd de eenig goede definitie bepaalt de niet-Euclidische ruimte dadelijk op zich zelf, zonder gebruik te maken van een ruimte

[p. 69]

van meer dimensies. Zij leent zich echter bezwaarlijk voor een uiteenzetting, die voor leeken begrijpelijk is. Zij komt op het volgende neer. De aard van de n-dimensionale ruimte wordt bepaald door een vergelijking, die aangeeft hoe een grootheid, die wij definieeren als de lengte van een lijnelement samenhangt met kleine verplaatsingen in de coördinaatrichtingen. Van de coëfficiënten van deze vergelijking hangt het af of de ruimte al dan niet Euclidisch is. Hoe het van deze coëfficiënten afhangt kan hier geheel in het midden gelaten worden. Ik wil er alleen op wijzen, dat men zou kunnen zeggen: een niet-Euclidische meetkunde is een getallen-systeem met een rekenvoorschrift, hoe wij wat wij ‘lengte van lijnen’ noemen zullen berekenen.

Het feit, dat men zulk een niet-Euclidische ruimte kan definieeren en dat men er op consequente wijze een ‘meetkunde’ voor kan opbouwen is natuurlijk geheel irrelevant voor de eigenschappen van de O.R. Riemann zelf trouwens, de geniale mathematicus aan wien de mathesis de ontwikkeling dier ‘meetkunden’ te danken heeft, was reeds overtuigd, dat hij daardoor voor de eigenschappen der O.R. niets leerde. Toch komt men dikwijls de omgekeerde meening tegen. Zoo zegt Weyl, van wien wij boven een uitspraak met zooveel instemming citeerden, in hetzelfde boek: ‘Die Autorität Kants, dessen philosophisches System die Euclidische Geometrie als aprioristische, den Gehalt der reinen Raumanschauung in adäquaten Urteilen wiedergebende Erkentnis in Anspruch nimmt, konnte den Zweifel (n.l. aan de geldigheid der Euclidische meetkunde) nicht auf die Dauer unterdrücken’. Hoewel Weyl verder den naam Kant niet meer noemt, moet men toch uit het vervolg van zijn betoog opmaken, dat hij de meening van Kant door het succes van de ontwikkeling der niet-Euclidische meetkunde door Riemann finaal weerlegd acht.

Wie echter opmerkt, dat Kant de ruimte beschouwt als den aanschouwingsvorm van de lichamen in de mate-

[p. 70]

rieele wereld, terwijl Riemann's ontwikkelingen betrekking hebben op getallensystemen met rekenvoorschriften, kan dit niet toegeven. Hun beschouwingen liggen op te verschillende gebieden, dan dat de een door den ander weerlegd zou kunnen worden. Riemann's beschouwingen zijn irrelevant voor Kant's aanschouwingsruimte. Omgekeerd doet Kant's bewering aangaande de ruimte, ook wanneer wij haar geheel beamen, niets af van de groote waarde van Riemann's mathematische ontdekkingen.

Het is er inderdaad ver vandaan, dat Kant's beschouwingen over de ruimte met die van Riemann in strijd zouden zijn. Veeleer heeft Kant geholpen den weg te banen, dien Riemann later heeft ingeslagen. Kant heeft namelijk verklaard, dat de stellingen, waarbij aan de ruimte de Euclidische eigenschappen worden toegekend synthetische oordeelen zijn. De beteekenis van deze uitspraak kunnen wij ons duidelijk maken door de volgende beide oordeelen te vergelijken:

De cirkel is rond.

Deze tafel is rond.

Het eerste is een analytisch oordeel. Het rond-zijn is al in het begrip van den cirkel opgesloten, en wanneer ik over een niet-ronden cirkel sprak, zou dit een tegenstrijdigheid zijn.

Het tweede is een synthetisch oordeel. Het rond-zijn is niet in het begrip tafel opgesloten. Ik kan ook zeer goed over vierkante tafels spreken.

Wanneer Kant dus, in tegenstelling met wat men veelal vroeger meende, de meetkundige axioma's voor synthetisch verklaart, zegt hij daarmee, dat het geen tegenstrijdigheid bevat, wanneer men aan de ruimte andere dan de Euclidische eigenschappen zou toekennen; zooals Riemann later dan ook gedaan heeft.

Uit de bewering, dat men de Euclidische eigenschappen niet door een analytisch oordeel aan de ruimte kan toeschrijven, volgt natuurlijk volstrekt nog niet dat men de geldigheid der Euclidische axioma's voor de O.R. in twijfel behoeft te trekken. Niettegenstaande zijn ver-

[p. 71]

klaring aangaande het synthetisch karakter van deze axioma's acht hij ze ontwijfelbaar juist. Alleen acht hij haar kengrond een andere dan dien voor een analytisch oordeel.

Tot hiertoe heb ik een gemakkelijke taak gehad. Ik heb een meening verkondigd, die, naar ik meen, tegenwoordig vrijwel algemeen wordt gedeeld. Men vindt veel ervan bijvoorbeeld door Prof. Hendrik de Vries uiteengezet in zijn Gidsartikel van Mei 1920. Slechts bleek ons uit de uiting van Weyl, dat mathematici, ook als zij begonnen zijn een juiste omschrijving van wat wij door een meerdimensionale ruimte eigenlijk verstaan, wel eens verzuimen de daaruit volgende conclusies consequent te trekken. Het komt mij voor, dat men op dit gebied nog alleen heeft af te rekenen met verouderde begrippen, die nog uit den tijd zijn blijven hangen, toen men meende, dat de meerdimensionale ruimten ook voorstelbaar moesten zijn en men zich daarbij op platlandfabels beriep. Wij waren tot nu toe op een gebied, waarop wij slechts voor misverstaan van elkanders woorden hadden op te passen.

Thans zullen wij een gebied moeten betreden, waar meer diepgaande verschillen van inzicht heerschen. Wij zullen ons namelijk moeten bezig houden met de moeilijker vraag: indien dan de eigenschappen der W.R. irrelevant zijn voor de eigenschappen der O.R., hoe komen wij er dan toe de eigenschappen van deze laatste vast te stellen? Indien niet de wiskundige autoriteit is op dit gebied, wie is dit dan wel? De meeste physici en mathematici, die voor deze vraag komen te staan vinden het antwoord zeer voor de hand .iggend. ‘Natuurlijk de physicus’, antwoorden zij. ‘Het gaat hier om de ruimte der waarneembare dingen en op dat gebied beslist de waarnemende en metende physicus’. Laten wij nagaan, hoe hij dat zou kunnen doen. Daartoe zullen wij eerst met een voorbeeld nagaan, hoe een dergelijk

[p. 72]

onderzoek in de tweedimensionale ruimte, d.w.z. in een vlak zou kunnen plaats vinden.

Laten wij ons denken een regelmatigen zeshoek met de zes lijnen, die de zes hoekpunten met het middelpunt van den omgeschreven cirkel verbinden. Men vindt in deze figuur zes aaneensluitende gelijkzijdige driehoeken. Denk aan den anderen kant het noordelijk halfrond van de aarde¹⁾, en daarop twee meridianen, die van 0^o en die van 90^o oosterlengte. Deze meridianen verdeelen het halfrond in vier driehoeken, die eveneens gelijkzijdig zijn en aaneensluiten. Dat zij gelijkzijdig zijn, zou men kunnen constateeren door uitmeten van den boog langs den meridiaan van pool tot aequator en van den boog langs den aequator tusschen 0^o en 90^o oosterlengte. Indien men dit deed door twee meterstaven beurtelings achter elkaar te leggen, zou men bij het uitmeten van de lengte der bogen mogelijk niets bemerken van de kromming van den gemeten weg. Maar uit het resultaat zou men gemakkelijk merken, niet in een plat vlak te zijn. Immers in een plat vlak sluiten zes gelijkzijdige driehoeken aan elkaar, terwijl wij er op den bol in dit geval slechts vier vonden. De stelling dat de hoeken van een gelijkzijdigen driehoek 60^o zijn, die in een plat vlak geldt, geldt blijkbaar niet voor boldriehoeken. Dit is een voorbeeld van wat ik boven zeide, dat namelijk de meetkunde in een gebogen oppervlak anders is dan die in een plat vlak. Op dezelfde wijze zal in een niet-Euclidische ruimte van drie afmetingen een andere stereometrie gelden dan in de Euclidische ruimte, welke laatste wij in onze gewone leerboeken der steoreometrie uiteengezet vinden. En ook hier zijn metingen te bedenken, die dit verschil zouden aantoonen.

Zulke metingen zijn wel is waar niet uitgevoerd, maar volgens Einstein's theorie kunnen wij voorspellen, welk resultaat zij zouden hebben, indien zij uitgevoerd werden. Dit zou zijn, dat de ruimte niet Euclidisch zou blijken:

1) Ik stel deze als een bol voor en zie dus van de afplatting af.

[p. 73]

de figuren zouden op andere wijze aaneensluiten, dan de Euclidische meetkunde dit beschrijft. Het feit, dat Einstein's theorie door verschillende waarnemingen op merkwaardige wijze is bevestigd gevonden, rechtvaardigt de verwachting, dat ook op dit gebied de waarnemingen, als zij met voldoende nauwkeurigheid konden worden uitgevoerd, in overeenstemming met Einstein's theorie zouden verloopen. Men drukt dit doorgaans uit door te zeggen, dat de ‘physische ruimte’ niet Euclidisch is.

Ik heb vrede met deze uitdrukking, maar meen toch nog eens te moeten nagaan, wat men onder ‘physische ruimte’ kan verstaan. Het kan namelijk bevreemding wekken, dat men den physicus als autoriteit op het gebied van de eigenschappen der ruimte heeft verklaard. Immers de waarneembare lichamen liggen wel is waar in de ruimte, maar de ruimte zelf is onwaarneembaar en dus onmeetbaar. En hoe zal men dan door meten erin slagen haar eigenschappen vast te stellen? Euclides en Kant hebben zooals wij boven reeds vermeldden aan de ruimte bepaalde eigenschappen toegeschreven. Zij hebben namelijk gemeend te kunnen vaststellen, dat voor de ruimte een bepaald stel axioma's geldig was, die als de Euclidische axioma's bekend staan. Om dit vast te stellen hebben zij geen metingen uitgevoerd.

Zij hebben gemeend aangaande de geldigheid der axioma's een grooter zekerheid te bezitten, dan waarnemingen ooit kunnen geven. Deze toch zijn altijd met waarnemingsfouten behept, en bovendien beslissen zij eigenlijk alleen iets voor het waargenomen geval. Wanneer wij geconstateerd hebben, dat voor de ruimte aan de oppervlakte van de aarde de Euclidische axioma's althans bij benadering gelden, zijn wij, wanneer wij ons alleen op de waarnemingen steunen, volstrekt niet zeker, dat dit ook voor de ruimte nabij Sirius of eenige andere ster het geval zal zijn.

Kant heeft duidelijk aangegeven, waarop zijn overtuiging steunde, die voor hem een zooveel zekerder karakter had dan uit de waarneming afgeleide wetten.

[p. 74]

Volgens hem zijn de Euclidische axioma's aan ons voorstellingsvermogen ontleend. Wanneer wij ons ruimtevoorstellingen maken beantwoorden deze aan de Euclidische axioma's. En wanneer wij ons voorstellingen trachten te maken, die er niet aan beantwoorden, gelukt ons dit niet.

Tegen dit beroep op onze voorstelling zijn tweeërlei tegenwerpingen te maken. Ten eerste kan men de stelling, dat onze ruimte-voorstelling aan de Euclidische axioma's beantwoordt betwijfelen. Ons voorstellingsvermogen is zoo'n beperkt iets, kan men zeggen; zoodra de figuren een beetje ingewikkeld worden laat het ons in de steek, en zeer kleine verschillen ontsnappen aan onze voorstelling. Wanneer wij ons bijvoorbeeld parallelle lijnen willen voorstellen, gelukt ons dat toch slechts met zeer beperkte stukken, en bij die beperkte stukken ontgaat het verschil tusschen lijnen, die elkaar nooit en lijnen, die elkaar op vele KM. afstand snijden, ons geheel.

Wanneer wij onder ‘voorstellen’ verstaan ‘met dichte oogen op een oogenblik overzien’, dan is deze tegenwerping ongetwijfeld juist. Maar eigenlijk spreekt het ook wel van zelf, dat ‘voorstelling’ in dien zin ons geen groote zekerheid kan geven. Wanneer het zien met open oogen ons niet omtrent de eigenschappen der ruimte met nauwkeurigheid kan inlichten, hoe zou dan een reproductie van die gezichtsvoorstellingen, die wij met gesloten oogen ons voor den geest kunnen roepen, ons die inlichting kunnen verschaffen? Het komt mij dan ook voor, dat de voorstelling, - ‘Anschauung a priori’ noemt hij ze, - waarop Kant zich beroept iets anders is dan een ‘gezichtsbeeld met gesloten oogen’. Zoo is de oneindigheid van de ruimte niet daardoor gegeven, dat wij ons een gezichtsbeeld van een in het oneindig voortloopende ruimte zouden kunnen maken, maar daardoor, dat wij ons bewust zijn, dat een grens, waar binnen wel en waarbuiten niet de ruimte zich zou uitstrekken, niet bestaan kan. En wij zijn daarvan overtuigd, omdat wij ons zulk een grens niet zouden kunnen voor-

[p. 75]

stellen. Denken wij een vlak, waardoor ruimte begrensd wordt, dan kunnen wij daarbuiten steeds weer andere ruimte voorstellen. Evenzoo kunnen wij ons een cirkel en een rechte raaklijn voorstellen, en zijn deze twee voor onze voorstelling verschillend. Nu kunnen wij ons den straal van den cirkel steeds grooter denken, waardoor de cirkel zich steeds langzamer van de raaklijn verwijdert. Ten slotte kunnen wij ons denken, dat de straal zóó groot is, dat wij een KM. langs de raaklijn kunnen wandelen van het raakpunt af en dat wij dan nog slechts een millioenste van een mM. van het naastbijzijnde punt van de cirkelomtrek verwijderd zijn. Voor ons gezichtsbeeld vallen dan de cirkel en de raaklijn over den afstand van meer dan een KM. samen. Toch zijn wij ervan overtuigd, dat de raaklijn iets anders is dan de cirkel en dat zij niet over een zekere lengte samenvallen. Ik meen, dat wij kunnen zeggen: voor onze voorstelling blijft de cirkel toch iets anders dan de raaklijn, ofschoon zij in ons gezichtsbeeld samenvallen. Wat is dan deze voorstelling wel, indien zij niet een gereproduceerd gezichtsbeeld is? Ik zou er geen definitie van durven geven. Ik twijfel of de psychologie zoo ver gevorderd is, dat zij het begrip volkomen zou kunnen analyseeren of classificeeren. Naar het mij voorkomt speelt de overtuiging, dat de punten der ruimte niet van elkaar te onderscheiden zijn, en dat men figuren in de ruimte kan construeeren zonder dat het verschil maakt, waar in de ruimte men dit doet, een groote rol. Ook de overtuiging, dat er geen absolute grootte bestaat en dat men figuren dus op een andere schaal kan gereproduceerd denken, zonder dat de onderlinge liggingen en verhoudingen daardoor veranderd worden. Maar de omstandigheid, dat ik niet streng kan definieeren, wat ik onder deze voorstelling versta, ontneemt mij de overtuiging van haar bestaan niet, noch ook het vertrouwen in het gevoel van zekerheid, die zij aangaande de eigenschappen der ruimte te weeg brengt.

Ondertusschen is deze eerste tegenwerping ook niet

[p. 76]

de ernstigste. Ik meen, dat de meeste wiskundigen en wel nagenoeg alle niet-wiskundigen mij zullen toegeven, dat onze ruimtevoorstellingen zich in een Euclidische ruimte afspelen. ‘Maar’ - zoo luidt de tweede en gevaarlijker tegenwerping, - ‘wat zou dat? Het gaat om de eigenschappen der ruimte en gij beroept u op... op voorstelling van de ruimte. Dat is even dwaas, als dat gij in een strafgeding den beschuldigde zoudt willen veroordeeld zien, omdat, naar gij aan den rechter komt verklaren, gij u voorstelt, dat de beschuldigde de misdaad inderdaad begaan heeft.’ Maar dit is nu juist het bijzondere van Kant's opvatting van de ruimte, dat volgens deze analogie volstrekt niet opgaat. In een strafgeding moeten wij onderscheiden tusschen de misdaad en onze voorstelling daarvan. Maar wij moeten niet onderscheiden tusschen de ruimte en onze voorstelling van de ruimte. En dat wel omdat de ruimte niet anders is dan onze voorstelling. Het is met de ruimte volgens Kant ongeveer als met bijvoorbeeld de roode kleur, of misschien nauwkeuriger gezegd: met de sensatie van rood zien. Wij zijn volgens hem wezens, die op trillingen van bepaalde golflengte, die ons netvlies treffen reageeren met de sensatie van rood zien en die op allerlei andere inwerkingen op onze zintuigen reageeren met ruimtelijke voorstellingen. En juist daarom is onze voorstelling, en niet anders dan deze, beslissend voor de eigenschappen, die wij aan de ruimte moeten toekennen.

Maar hoe zal dan de Kantiaan de Euclidischheid van de ruimte met de uitkomst der waarnemingen rijmen? Deze laatste toch zouden, zooals wij zagen, volgens Einstein in strijd met de Euclidische axioma's verloopen. Wij zullen om dit toe te lichten nog een verdere onderscheiding in het ruimtebegrip aanbrengen. Wij spraken al van de wiskundige ruimten die getallensystemen waren, iets geheel anders dan de O.R. Thans zullen wij nog onderscheiden in een physische ruimte en een voorstellingsruimte. De eerste zal - als de theorie van

[p. 77]

Einstein juist is, wat ik hier zal aannemen - niet Euclidisch zijn; de tweede wel.

De physische ruimte is dus niet alleen niet ontleend aan onze ruimtevoorstelling, maar is daarmee zelfs in strijd. Zij is ontleend aan de waarneming, maar volstrekt niet aan het door die waarneming direct verkregen gezichtsbeeld. Een gezichtsbeeld van een niet-Euclidische figuur in de driedimensionale ruimte zijn wij niet in staat te vormen. Zij wordt alleen gedacht op grond van de getallen bij de waarnemingen van verschillende verschijnselen verkregen; zij drukt niet anders dan getalverhoudingen in de materieele wereld uit. Ten onrechte zou men dus physische en wiskundige ruimte als eenigszins tegenstelde begrippen beschouwen: de physische is niet anders dan een van de vele mogelijke wiskundige. Geheel anders is het met de voorstellingsruimte. Dit is een begrip sui generis. Zij heeft met getallen niets uit te staan - althans niet meer dan de collectie van de 217 schilderijen, waarvan wij spraken, te maken heeft met de nummertjes, waarmee de schilderijen genummerd kunnen worden.

De physische ruimte zal dus, wanneer wij haar met een oppervlak vergelijken, meer overeenkomen met een gebogen oppervlak dan met een plat vlak. Wij kunnen er nog meer van zeggen. Zij zal niet met een bol overeenkomen, waarbij in ieder punt dezelfde eigenschappen heerschen maar zij zal met een ingewikkeld oppervlak overeenkomen met talrijke grillig gevormde heuvels en dalen. Volgens de theorie van Einstein toch komen in de ruimte allerlei ‘krommingen’ voor, die samenhangen met de verdeeling der stof in de ruimte en daar de stof zeer ongelijkmatig verdeeld is, zullen ook de krommingen dit zijn. Deze laatste zijn een uiting van de zwaartekrachtsvelden, die door de stof in de ruimte worden teweeg gebracht. Of als men dit verkiest kan men zich ook andersom uitdrukken en zeggen, dat, wat wij gewoonlijk zwaartekrachtswerkingen noemen, een uiting zijn van de geaccidenteerde

[p. 78]

krommingen, die in de ruimte voorkomen. Gesteld nu wij vinden op een gegeven punt, dat zes gelijkzijdige driehoeken niet aaneensluiten. Iemand, die er de voorkeur aan geeft met het begrip physische ruimte te opereeren zegt dan, dat de ruimte daar ter plaatse als uiting van de zwaartekrachtswerking van naburige lichamen gekromd is. Maar de Kantiaan, die verkiest gebruik te maken van de voorstellingsruimte, zal zeggen, dat de zes driehoeken, die wij eerst voor gelijkzijdig hielden, inderdaad door het feit, dat zij niet aansluiten, toonen toch niet gelijkzijdig te zijn. Hij zal meenen, dat de meetstaven, waarmee wij meenden de gelijkzijdigheid te constateeren, ons bedrogen hebben, doordat zij bijvoorbeeld, als zij evenwijdig aan de zwaartekrachtslijnen liggen een andere lengte vertoonen, dan in een stand loodrecht hierop. Volgens den een is dus de ruimte geafficeerd door de zwaartekracht, maar de maatstaven niet. Volgens den ander niet de ruimte maar wel de maatstaven.

In zekeren zin hebben wij hier weer te doen niet met een verschil in opvatting maar met een verschil in nomenclatuur. De een noemt lijnen gelijk van lengte, wanneer de maatstaven er evenveel malen op afgezet kunnen worden. De ander noemt de lengte der maatstaven in verschillende standen ongelijk. Toch zouden wij onjuist doen, wanneer wij hier uitsluitend een quaestie van nomenclatuur in zouden zien, een verschil in opvatting ligt wel degelijk aan de voorkeur voor de eene of de andere uitdrukkingswijze ten grondslag.

Wanneer wij dan thans de vraag onder de oogen zien, in hoeverre ieder, die de nomenclatuur begrijpt, het boven uiteengezette zal moeten toegeven, en in hoeverre er nog wezenlijke verschillen van meening mogelijk zijn, dan komt het mij voor, dat dit laatste slechts op een enkel bepaald punt het geval zal kunnen zijn. ‘Gij onderscheidt drie ruimtebegrippen’, zou men kunnen zeggen, ‘maar daarvan hebben er slechts twee wetenschappelijke waarde, namelijk dat van de physische en dat van de

[p. 79]

wiskundige ruimte. De derde ruimte bestaat ook, het is maar: wij zijn gewoon ons de lichamen in een driedimensionale vlakke ruimte voor te stellen. Maar dit is toch niet anders dan een gewoonte; en sedert de theorie van Einstein ons anders geleerd heeft, is het te beschouwen als een slechte gewoonte, waaraan wij nog uit sleur vasthouden, maar die toch geen reden van bestaan meer heeft. Uw derde ruimte zou ik dus niet ruimte van de voorstelling willen noemen maar ruimte van het vooroordeel of ruimte van de sleur.’

Het is duidelijk, dat deze opvatting sterk afwijkt van de Kantiaansche. Volgens deze laatste is de driedimensionale vlakke ruimte een vorm, waarin onze psyche uit haar aard reageert op de indrukken van buiten. Volgens de tegengestelde opvatting ontleenen wij onze kennis van de ruimte aan waarneming van lichamen buiten ons en moet de ruimtelijkheid dus aan die lichamen onafhankelijk van onze psyche eigen zijn. Wij kennen de ruimte dan natuurlijk niet met grooter nauwkeurigheid, dan de zintuigelijke waarneming ons kan leeren. Het feit, dat wij de gewoonte hebben ons de ruimte Euclidisch voor te stellen, moet dan daardoor verklaard worden, dat de ruimte in werkelijkheid met zoo groote benadering Euclidisch is, dat wil dus zeggen wanneer men haar met een vlak vergelijkt, dat zij zoo weinig gebogen is, dat men tot voor kort het verschil met een vlakke ruimte niet heeft opgemerkt. Eerst Einstein heeft op de geringe krommingen der ruimte opmerkzaam gemaakt.

Ofschoon het niet onduidelijk zal zijn, dat mijn eigen overtuiging ligt in de richting van Kant's theorie van de ruimte, heb ik getracht ook de tegengestelde meening zoo juist mogelijk te formuleeren en heb ik mij onthouden van kleineerende uitdrukkingen, zooals bijvoorbeeld Weyl gebruikt, als hij Kant's stelsel als de ‘Miethskazernen theorie’ qualificeert. Het komt mij bovendien voor, dat deze uitdrukking de bedoelde theorie niet op gelukkige wijze typeert. Weyl wil ermee zeggen, dat

[p. 80]

volgens Kant onze voorstellingsruimte onafhankelijk van de lichamen gereed staat om door allerlei lichamen gevuld te worden, zooals een huurwoning door willekeurige bewoners betrokken wordt. Het komt mij voor, dat hij een beter denkbeeld van de theorie had gegeven, wanneer hij had gewezen op de analogie met onze mogelijke bewegingen. Wanneer er geen enkele prikkel op ons inwerkt, zouden wij er waarschijnlijk nooit toe komen bewegingen te maken en het vermogen om doelmatige bewegingen te maken verkrijgen wij ongetwijfeld alleen door ervaring. Maar dat neemt niet weg, dat de algemeene aard van de bewegingen, die het ons mogelijk zal zijn aan te leeren, gegeven is door onze lichamelijke organisatie, door den aard van de spierstelsels, die wij nu eenmaal bezitten. Op dezelfde wijze zouden wij zonder waarnemingen wel nooit ruimtevoorstellingen vormen. Maar de aard van de ruimtevoorstellingen, die het in ons vermogen ligt te leeren vormen zal ook hier gegeven zijn door onze eigen en wel in dit geval door onze psychische organisatie.

Zooals men ziet is het een verschil in kentheoretisch standpunt. Volgens Kant bevat onze kennis aprioristische elementen, niet in dien zin, dat wij zekere denkbeelden reeds zouden bezitten, vóór wij eenige waarneming hadden gedaan, maar in den zin, dat zekere elementen bepaald worden door onze eigen organisatie en niet door de waargenomen voorwerpen, zoodat wij a priori weten, dat ook volgende waarnemingen diezelfde eigenschappen zullen moeten vertoonen. Volgens de tegengestelde, de sensualistische kenleer zal iets in ons denken aanwezig zijn, wat niet aan de zintuigelijke waarneming is ontleend, en moet dus ook de zintuigelijke waarneming beslissend zijn voor de eigenschappen der ruimte. Uit den aard der zaak kan een verdere discussie dier beide standpunten in dit artikel niet gegeven worden. Die kwestie kunnen wij aan de philosophen overlaten. Zoolang er Kantianen en sensualisten blijven bestaan

[p. 81]

zullen beide opvattingen van de ruimte waarschijnlijk naast elkaar blijven voorkomen. Meer kennis van de mogelijke mathematische systemen, die men wiskundige ruimten noemt, is voor de oplossing dezer kwestie even irrelevant als een verdere kennis van de physische wetten. Hoe deze laatste ook blijken te zijn, steeds zal men ervan een constructie kunnen geven in een voorstellings-ruimte die Euclidisch is, en zal men de aan de lichamen gemeten grootheden kunnen voorstellen door getal-systemen, waarbij de getallen verbonden zijn door wetten, die mogelijk het eenvoudigst zijn voor te stellen voor een niet-Euclidische wiskundige ruimte.

Aan het einde van dit opstel gekomen wil ik nog de vraag stellen: Is uit onze beschouwingen eenige conclusie te trekken, die van waarde kan zijn voor de physica? Het komt mij voor dat dat inderdaad het geval is. Ik zal trachten door het volgend voorbeeld duidelijk te maken in welk opzicht. Denk, dat wij hebben een vlakke tafel en daaronder magneten. Wij laten over de tafel week-ijzeren kogels rollen. Deze zullen geen rechte lijnen beschrijven maar door de magneetkrachten uitwijkingen verkrijgen. Nu zouden wij de magneten kunnen wegnemen en op de tafels heuvels en dalen kunnen aanbrengen, waardoor de kogels, als zij erop geworpen worden van de rechte lijn afwijken. Ik zal het relief op de tafel zoo kunnen kiezen, dat de kogels juist dezelfde banen beschrijven als vroeger onder invloed van de magneetkrachten, tenminste als ik alleen op de horizontale projectie der banen let en van de verticale beweging der kogels in het heuvelland afzie. Maar nu is het duidelijk dat wij iets geheel anders te zien krijgen, wanneer wij de week-ijzeren kogels door steenen kogels vervangen. In het heuvelland zullen die gekromde banen beschrijven op dezelfde wijze als de ijzeren kogels. Op de vlakke tafel daarentegen zullen zij niet van de rechte lijn afwijken en zich geheel anders gedragen dan de ijzeren. Eigenlijk is dit niet geheel juist: geen stof is absoluut ongevoelig voor magnetisme en de steenen kogels zouden

[p. 82]

ook, zij het slechts zéér weinig, van hun rechte baan afwijken. Men zou dus voor iedere soort kogels, die men gebruikte, het magneetveld door een relief op de tafel kunnen vervangen. Maar voor iedere stof zou het relief verschillend zijn; voor de meeste stoffen nauw merkbaar, voor ijzer vrij steil.

Gesteld nu, dat iemand geen verticale bewegingen kon constateeren, doch alleen horizontale, en dat hij alleen met week-ijzeren kogels werkte. Hij zou dan in twijfel kunnen zijn of hij met magnetische krachten of met hoogteverschillen van den bodem te doen had. Experimenteerde hij ook met steenen kogels, dan zou hij het verschil kunnen opmerken. Hij zou het volgende criterium kunnen toepassen: zijn alle verschijnselen te verklaren door dezelfde hellingen aan te nemen, dan zal ik inderdaad met een heuvelland te doen hebben; moet ik echter voor verschillende verschijnselen verschillende hellingen aannemen, dan zullen de heuvels slechts schijnbaar bestaan en zal ik inderdaad met een magneetveld te doen hebben.

De analogie van hetgeen hier is uiteengezet met de uitspraken over de ruimte in Einstein's theorie is vrij eng. Ook hierbij wordt wat men gewoonlijk als de werking van een kracht aanmerkt (namelijk de zwaartekracht) als een kromming van de ruimte aangeduid. En ook hier wordt hetzelfde criterium toegepast. Juist omdat alle lichamen door de zwaartekracht dezelfde versnelling ondergaan en men daardoor de beweging ervan door dezelfde kromming kon verklaren, heeft men aan deze verklaringswijze de voorkeur gegeven. Wil men echter kunnen verklaren, dat de ruimte gekromd is, dan moet alles, wat zich erin beweegt, den invloed van die kromming ondergaan, zoo bijvoorbeeld ook de lichtstralen. Einstein heeft dan ook de hypothese uitgesproken, dat lichtstralen in het zwaartekrachtveld van hun rechte baan zouden afwijken, juist zooals met lichtsnelheid bewegende lichamen zouden doen. En de waarnemingen hebben die hypothese bevestigd.

[p. 83]

Toch is er nog dit verschil. In het geval van de tafel hebben wij deze concreet, tastbaar en zichtbaar voor ons. En ook de magneten of de aangebrachte heuvels zijn reëel. Het heeft hier zin het criterium toe te passen en de twee gevallen (magneten of reliëf) te onderscheiden. Maar in Einstein's theorie gaat het om de vierdimensionale ruimte die men verkrijgt door aan de drie ruimtecoördinaten den tijd als vierde variabel getal toe te voegen, en deze is slechts een mathematische constructie. Iets reëels, dat de kromming zou kunnen bezitten, is hierbij niet aanwezig. Einstein zelf drukt zich dan ook zeer voorzichtig uit. Toen ik hem over de juiste formuleering sprak, zeide hij niet, dat de vierdimensionale ruimte niet-Euclidisch was, maar: ‘Die Körper betragen sich nicht Euclidisch’.

Maar de vraag, die ik nu wilde stellen, is deze: wanneer dan toepassing van het criterium oplevert, dat men met één stel ‘krommingen in de vierdimensionale ruimte’ alle verschijnselen, die zich in de wereld afspelen als bijvoorbeeld bewegingen van lichamen in het zwaartekrachtveld of onder invloed van electrische en magnetische krachten, lichtvoorplanting in het ledig, breking van licht door lichamen, enz. kan verklaren, en er toch niet een reëele vierdimensionale ruimte aanwezig is, die ‘krom’ kan zijn, wat wil het criterium dan zeggen? Mijns inziens het volgende (en nu kom ik aan de conclusie, die ik zeide aan het eind van mijn betoog te kunnen trekken): Er is slechts één verschijnsel. Alle bewegingen en lichtvoortplantingen, die ik zooeven noemde, zijn in den grond uitingen van hetzelfde fundamenteele proces. Waren zij inderdaad verschillende verschijnselen, dan zouden zij ieder voor zich beschreven kunnen worden, door een kromming van de ruimte aan te nemen, - maar niet dan door een hoogst zonderling toeval zou men dan kunnen verwachten, dat het bij alle dezelfde kromming zou zijn.

Wij zouden dat nog als volgt kunnen toelichten. Denken wij ons weer de vlakke tafel met de magneten.

[p. 84]

Men gaat nu met een schietlood (een looden gewicht aan een draad) experimenteeren. Men vindt, dat de tafel overal loodrecht op het schietlood staat. Vervangt men het magneetveld door heuvels, waarbij ijzeren kogels dezelfde banen beschrijven, dan zou men die heuvels door het schietlood kunnen aantoonen. Maar denk nu, dat men met een ijzeren gewicht aan een draad experimenteert. Door het magneetveld zal de draad sterk van de verticaal afwijken, en men zal hoeken vinden tusschen de tafel en de draad, die gelijk zijn aan wat men zou vinden, als er geen magneetveld was en de draad dus verticaal hing, maar de tafel reliëf bezat. De twee verschijnselen: banen van rollende kogels en richting van het schietlood zouden dus niet met dezelfde krommingen van het oppervlak van de tafel kunnen verklaard worden. Maar het rollen van ijzeren kogels en de richting van het schietijzer wel. En dat wel omdat hier in den grond niet twee verschijnselen zijn, doch slechts één verschijnsel, (de aantrekking van week ijzer door magneten), dat zich op verschillende wijze openbaart.

En zoo komt het mij voor, dat de diepste beteekenis van het welslagen van Einstein's algemeene relativiteitstheorie daarin is gelegen, dat er in den grond maar één physisch verschijnsel is, waarvan alle andere verschillende uitingen zijn. De onderstelling van de eenheid van alle natuurwetten is natuurlijk meer uitgesproken. Een experimenteele grond ervoor ontbrak echter. Men liet zich meer leiden door een gevoel van bevrediging, dat door een dergelijke monistische beschouwing werd opgewekt¹⁾. Het komt mij nu voor, dat men in de experimenteele bevestiging van Einstein's theorie een eerste empirische aanwijzing heeft van de juistheid dier monistische onderstelling, en dat ook Einstein's theorie de leidraad zal moeten zijn bij het opsporen dier algemeene natuurwet.

1) Men heeft zelfs tot voor betrekkelijk korten tijd gemeend in de wetten der klassieke mechanica die diepste algemeene natuurwet te kennen. Maar door later onderzoek is die meening onjuist gebleken.