Een praatje over groote getallen,
door Forestier.
Wij hebben allen in onze jeugd, allesbehalve tot ons genoegen, gedeeld en vermenigvuldigd met groote getallen, getallen van tien, twaalf, vijftien cijfers, zonder ons toen af te vragen of er ons veel om te bekommeren, welke waarde die reusachtige getallen toch wel vertegenwoordigden. Millioenen, milliarden en billioenen lieten ons even koud, en de goede meester mocht al zijn uiterste best doen, om onze jonge hersens een denkbeeld te geven van wat een millioen eigenlijk is, één enkele appel maakte op ons veel meer indruk, dan de ontzaglijke getallen, strak en stijf op het zwarte bord geschaard, als soldaten in het gelid.
Ook in het latere leven bleven wij met millioenen en milliarden omgaan, of het zoo niets was. De staatsbegrootingen en staatsschulden - ware Danaïdenvaten - zouden, indien er tegenwoordig geen statistieken werden gemaakt van alles en nog wat, alleen reeds voldoende zijn, om ons in het uitspreken van groote getallen te blijven oefenen.
Maar, al kunnen wij die getallen nu zonder haperen uitspreken, weten wij thans beter, dan toen wij nog op school gingen, wat een millioen, wat een milliard eigenlijk is?
Een millioen! 't Is gauw gezegd en even gauw neergeschreven: een eentje, met zes nulletjes er achter. Maar weet men wel, dat, als iemand een millioen rijk was en hij moest dit bedrag, in guldens, natellen, hij daarmee meer dan elf en een halven dag onophoudelijk, dag en nacht door, bezig zou blijven?
Nemen wij een millioen rijksdaalders en leggen wij die naast elkaar in één lijn, dan zou die onafzienbare reeks van zilverstukken een weg beslaan van circa 40 kilometer, een afstand van Utrecht naar Den Bosch. Iemand, die ordentelijk doorstapt, zou, zonder onderweg aan te leggen en uit te rusten, zeven uren noodig hebben, eer hij het einde van die zilveren streep bereikt had.
Plaatste men een millioen soldaten in één lange rij, een halven meter van elkaar, dan zouden zij een menschelijke keten vormen ter lengte van 500 kilometer, overeenkomende met den afstand van Utrecht naar Parijs. Wilde Duitschland zijn vijf millioen soldaten, in rijen van tien manschappen, naar ons land laten optrekken, dan zou het eerste gelid al in Amsterdam zijn aangekomen, terwijl het laatste nog in Keulen op opschuiving stond te wachten.
Heeft men, om een millioen te tellen, elf en een halven dag noodig, met een milliard zou men na dertig jaar nog volstrekt niet klaar zijn. Indien de Fransche oorlogsschatting van 1871 in twintigfrankstukken was uitbetaald, zouden 250 personen daaraan elf en een halven dag werk gehad hebben, en zelfs, indien ze in bankbiljetten van duizend frank was voldaan, nog vijf en een half uur.
Het gewicht van een milliard rijksdaalders (iets meer dan de Fransche oorlogsschatting) bedraagt 25 millioen kilogram. Moest deze ontzaglijke som vervoerd worden, dan zouden daarvoor honderd treinen, elk van vijf en twintig waggons, noodig zijn. Voor hetzelfde bedrag louter aan gouden tientjes zou men altijd nog zes treinen van vijf en twintig waggons en een zevende van achttien moeten gebruiken.
De gezamenlijke staatsschuld der verschillende Europeesche mogendheden bedraagt niet minder dan 60 milliard gulden. Daar er sedert Christus' geboorte nog niet voluit 60 milliard seconden verloopen zijn, zou thans, indien van dien dag af elke seconde een gulden was betaald, het vereischte bedrag nog niet zijn volgestort.
Nu we zachtjes aan respect hebben leeren krijgen voor een millioen en zeker voor een milliard, kunnen wij, zonder dat de overgang te groot en te plotseling is, billioenen en trillioenen en hoe de andere machten van een millioen mogen heeten, onder handen gaan nemen.
Men kent de legende van het schaakspel.
Vierhonderd jaar vóór Christus werd, naar het verhaal wil, het schaakbord uitgevonden door een Brahmaan, met name Sissa. De koning van Indië, die antwoord gaf op den niet alledaagschen naam van Schnechram, was daarmee zoo ingenomen, dat hij den schranderen Brahmaan toestond, een verzoek te doen, dat hij onvoorwaardelijk zou inwilligen.
‘Koning,’ zei de leepe Sissa, ‘geef mij voor het eerste veld van het schaakbord één graankorrel, voor het tweede twee, voor het derde vier, voor het vierde acht, en zoo verder tot het vier-en-zestigste veld toe. Indien gij dit verzoek inwilligt, zal ik meer dan voldaan zijn.’
‘Wat!’ riep koning Schnechram, min of meer verontwaardigd over een schijnbaar zoo onbeduidend verzoek, ‘is dat een vraag aan een zoo machtig en vermogend monarch als ik! Vraag juweelen, een paleis, ik zal het u geven, maar een zoo onzinnig verzoek... wat graankorrels!’
‘Koning,’ hield de Brahmaan aan, ‘vergun dat ik bij mijn verzoek blijf. Het is niet zoo gering als gij denkt...’
Nog half en half misnoegd, gaf de koning last, dat men zou uitrekenen, hoeveel graankorrels hij den uitvinder van het schaakbord schuldig was.
Ook wij zullen dat eens narekenen. Een kleine jongen kan het: hij behoeft immers maar voor het eerste veld een, voor het tweede veld twee, voor het derde vier, voor het vierde acht, voor het vijfde zestien korrels te nemen, en zoo verder, telkens voor het volgende veld tweemaal zooveel als voor het voorgaande. Maar deze manier is nogal omslachtig, daar men vier en zestig vermenigvuldigingen krijgt en ten slotte nog een optelling, niet van de poes hoor!
Wij zullen dus een eenvoudiger berekening toepassen. De getallen toch vormen een meetkundige reeks van 64 termen, terwijl de reden (het getal, waarmee men een term moet vermenigvuldigen, om den volgenden te krijgen) 2 is. De som van een meetkundige reeks (in dit geval al de graankorrels te zamen) wordt verkregen, als men den eersten term vermenigvuldigt met de zooveelste macht van de reden als er termen zijn, dit product met den eersten term vermindert en het komende verschil deelt door de reden min 1.
Daar de eerste term 1 is, hebben wij dus 2 in de 64ste macht, waarvan wij 1 moeten aftrekken en dan het verschil door 1 deelen. Dien éénen graankorrel zal men ons wel willen kwijtschelden, zoodat wij nog slechts hebben uit te rekenen, hoeveel 261 is, om het aantal korrels te weten.
Wij nemen nu onze toevlucht tot een logarithmentafel. Daar vinden wij voor de logarithme van twee 0,30103, en vermenigvuldigen (bij de logarithmen wordt machtsverheffing vermenigvuldiging) deze uitkomst met 64, zoodat wij krijgen 19.26592.
Het cijfer der geheelen, met één vermeerderd, geeft het aantal cijfers van het getal aan, in dit geval 20. In de tafel zoeken wij nu welk getal 26592 tot logarithme heeft. Wij vinden 184467. Daar het getal uit 20 cijfers moet bestaan, behelpen wij ons voor de overige 14 met nullen, zoodat wij voor het aantal graankorrels tot het meer dan respectabele cijfer komen van 18.446.700.000.000.000.000 of 18 trillioen, 446700 billioen.
Wij moeten de verbeelding te hulp roepen, om ons van dit reusachtig getal een voorstelling te kunnen maken en ook om de slimheid van den gevatten Brahmaan ten volle te begrijpen.
Eerst dienen we te weten, hoeveel hectoliter graan die korrels vertegenwoordigen. In één hectoliter gaan drie millioen korrels.
Geteld? zult gij vragen.
Geteld en niet geteld. Ik heb een centiliter met korrels gevuld, deze geteld en gevonden dat er driehonderd in gaan, dus in een hectoliter drie millioen. Nu zijn natuurlijk alle korrels niet even groot, maar zoo heel nauw hoeven wij bij een zoo ontzaglijken hoop niet te kijken. 't Is als in het veen, waar men niet op een turfje ziet.
Een eenvoudige deeling leert ons, dat met onze korrels 6,148,900,000,000 of 6 billioen 148 milliard 900 millioen hectoliter kunnen gevuld worden.
Dit cijfer is nog zoo reusachtig, dat wij nogmaals een beroep moeten doen op het voorstellingsvermogen van den lezer.
Ons land heeft een oppervlakte van 33.000 vierkante kilometer of 33,000,000,000 vierkante meter. Veronderstel, dat deze oppervlakte 1 meter hoog met graankorrels was bedekt, dan zoudenwij een inhoud hebben van 33,000,000,000 kubieke meter graan.
De 6,148,900,000,000 hectoliter zijn gelijk aan 614,890,000,000 kubieke meter. Hierin is 33,000,000,000 kubieke meter ruim 18,5 maal begrepen, zoodat ons geheele land tot een hoogte van meer dan 18,5 meter zou bedekt zijn, indien men daarover al onze graankorrels uitstortte. De grootste provincie Noord-Brabant alleen zou onder dien ontzaglijken korenhoop meer dan 120 meter begraven liggen, zoodat geen enkel puntje er boven uitstak, en de kleinste provincie Utrecht zou er 450 meter onder bedolven zijn.
Om goed te doen zien, hoe ontzaglijk deze massa graan is, bedienen wij ons nog van een andere vergelijking.
De bevolking onzer aarde wordt op 1.500 000.000 zielen geschat. Welnu, staan wij aan ieder één vierkanten meter af, dan zou het kleine Utrecht, indien men er een hoekje van Gelderland aan toevoegde, groot genoeg zijn, om al de aardbewoners op zijn bodem te bergen. Bracht men alle menschen in Noord-Brabant samen, dan zou elk over meer dan drie, en in heel Nederland over twee en twintig vierkante meter beschikken.
Keeren wij nu tot onze korrels terug, die men zelfs in de Egyptische voorraadschuren niet onder dak had kunnen brengen.
Indien wij zulk een onmetelijken berg graan hadden, was het niet meer dan natuurlijk, dat wij de menschen eens goed wilden trakteeren. Wij zouden aan dit banket de geheele wereld noodigen en alle menschenrassen, Blanken en Chineezen, Roodhuiden en Negers, broederlijk aan denzelfden disch vereenigen.
Laat ons zien, of wij zouden toekomen, om ons edelmoedig en menschlievend voornemen te vervullen.
Daar van een hectoliter graan 100 kilogram brood wordt gebakken, zouden wij over 614 890.000 000.000, of 614 billioen 890 milliard kilogram brood kunnen beschikken.
Stellen wij, daar wij royaal kunnen zijn, het rantsoen per persoon vast op 1 kilogram per dag,
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd