De Nieuwe Stem. Jaargang 5

[p. 574]

Hans Freudenthal
De rol der traditie in de wiskundige wetenschappen

Geen historicus is in staat, afstand te doen van waarde-oordelen, en ook ‘wetenschap’ als classificerende term is zonder waardebepalingen een leeg woord. Maar beperken wij het begrip wetenschap tot hetgeen wij tegenwoordig als zodanig beoefenen, dan zijn we genoodzaakt, veel uit te schakelen, wat eertijds wel als wetenschap gold en wat impliciet bevat in en onmisbare voorwaarde is van ònze wetenschappen. Mythologische kosmogonieën en phantastische theogonieën zijn in hun beginselen evenzeer aan de drang naar kennis omtrent de natuur en het leven ontsproten als de modernste sterrekunde en biologie, die nauwkeurige observaties met verfijnde wiskundige methoden verwerkt; en de middelen, waarmee de priestergeleerden der eerste cultuurvolken de wereldraadsels trachtten op te lossen, doen in geen ander opzicht onder voor die der moderne geleerden, dan b.v. tractie door mensen- of paardenkracht voor stoom- en electrische tractie. Op gebieden, waar de technische vooruitgang een minder essentieel element is, zoals in de kunst, blijkt dit met alle duidelijkheid. De uitvindingen, die de mensen deden, vóór zij hun daden door het schrift konden vereeuwigen, zijn niet minder overtuigende proeven van het menselijke scheppingsvermogen dan de voortbrengselen der moderne maatschappij. Hoe die uitvindingen werden gedaan, kunnen wij tegenwoordig niet eens gissen - we zouden ons moeten verplaatsen in de gedachtensfeer van de mens vóór de uitvinding van het schrift. De klassieke voorbeelden van ploeg en wiel zouden nog niet eens zoveel hoofdbreken veroorzaken, maar b.v. het probleem, hoe de mensen aan hun eerste geneesmiddelen zijn gekomen, lijkt onoplosbaar.

Een geschiedenis der wetenschap kan nauwelijks op een vroeger tijdstip beginnen dan dat der eerste schriftelijke documenten der mensheid. Het schrijven en lezen, de schrifttekens en hun betekenis, het beproeven, toetsen en beheersen van de uitdrukkingsmiddelen - dat is een uitgebreide wetenschap geweest, van allesbehalve alleen toegepaste en technische strekking. Van die wetenschap gebruiken wij, zonder er ons van bewust te zijn, de positieve en negatieve resultaten dagelijks in de vorm van onze alphabetten en spelregels en in alle onderdelen van dat ingewikkelde compromis tussen phonetische en ideografische tendenties, waarop onze schriftelijke uitdrukking berust. Desondanks - de philologische inspanningen der Babylonische en Egyptische geleerden kunnen voor onze onderzoekers nog een dankbaar studie-object vormen - het lijdt geen twijfel, dat een philoloog van onze tijd zijn voorgangers van 4000 jaar geleden niet als professorabele collega's zal beschouwen. Zelfs de philologie der Griekse

[p. 575]

geleerden bereikt voor ons gevoel nauwelijks die drempel van wetenschappelijkheid, die naar onze maatstaven iedere onderzoeker hoort te overschrijden. Het is voor ons een raadsel en moeilijk te verwerken, dat geen Grieks geleerde ooit de taal van een ander volk dan het zijne een onderzoek waardig heeft gekeurd; dat noch de nabijheid van de haven met zijn honderd talen noch de nabijheid der pyramiden ooit in een Alexandrijnse geleerde het verlangen heeft gewekt, de taalkundige uitdrukkingsmogelijkheden van andere volken te bestuderen; zodat wij ons de ontzaglijke moeite moeten getroosten, om schriften te ontcijferen en talen te begrijpen, die door barbaarse tijdgenoten der Grieken en Romeinen nog werden gesproken en geschreven.

Het is een raadsel, maar het is begrijpelijk. Een Griek, die een der zogenaamde alpha-wetenschappen beoefende, had andere zorgen dan zijn moderne collega's. Hebben onze tijdgenoten alle moeite, om orde te scheppen in de zich onheilspellend vermenigvuldigende literatuur - de geleerde in de oudheid worstelde juist met het probleem, zich de nodige literatuur te verschaffen, een probleem dat voortkwam uit het gemis aan centrale bibliotheken, die hem van het nodige materiaal hadden kunnen voorzien, indien zij niet zelf aan verliezen door nalatigheid en rampen hadden blootgestaan. De mogelijkheid, om op het onderzoek van vroegere geslachten voort te bouwen, was zeer beperkt. Een verloren gewaand oud boek te hebben herontdekt, was een zodanige prestatie, dat zo'n ontdekker het vaak als vanzelfsprekend beschouwde, dat hij het overschreef en als zijn eigen werk uitgaf. Met het uitschrijven en tot een nieuw geheel samenvatten van werken van anderen bevinden we ons ongeveer op het gemiddelde peil van de antieke alpha-geleerde. Wij mogen er de schouders over ophalen, maar het kan best, dat voor zulk een bezigheid, die bij ons niet meetelt, evenveel vernuft en een evengrote krachtsinspanning vereist waren als van de gemiddelde moderne geleerde wordt gevraagd.

Onder alle oude wetenschappen, die een vergelijking met de onzen doorstaan, is de wiskunde zonder twijfel de oudste - iets ouder en veel krachtiger ontwikkeld in Babylonië dan in Egypte. In beide landen werd zij beoefend door de mensen, die uit hoofde van hun beroep de kunst - of laten we zeggen, de wetenschap - van het lezen en schrijven beheersten, dus door de priesters - dat is geen theologische, maar een sociologische term. Het priesterschap, dus het verbonden zijn aan een tempel, was de maatschappelijke voorwaarde voor de geleerdheid - het geestelijk bezit was nog één en ondeelbaar.

Dat geldt voor het individu, maar in zeker opzicht voor die gehele beschaving. Ook van een differentiatie in de tijd valt er, ondanks de grote tijdvakken, soms weinig te bespeuren. De Babylonische wiskunde [en voor de Egyptische geldt iets dergelijks] is voor ons nog steeds een vrij uniform

[p. 576]

geheel, en het is niet waarschijnlijk, dat nieuwe vondsten dit beeld fundamenteel zouden kunnen wijzigen. Die wiskunde maakt de indruk van iets, dat omstreeks 2000 vóór Chr. kant en klaar was - het geestelijk werk van enkele geniale individuen, dat in de daarop volgende 2000 jaar geen noemenswaardige ontwikkeling meer onderging. Deze spoedige verstarring van een net ontstane wetenschap is een verschijnsel, dat noch voor Babylonië en Egypte noch speciaal voor de wiskunde typerend is. We treffen het in China en Japan aan, en in zekere mate ook in de Griekse beschaving. Het hoeft aan de andere kant ook niet een symptoom te zijn voor algehele culturele verstarring. In Egypte begint die phase weliswaar zeer vroeg, maar in Babylonië is er veel minder behoudzucht - de kunst kent daar stijlen met veel meer variatie dan in Egypte, en 1000-1500 jaar na de ontdekking en verstarring der wiskunde bloeit daar een nieuwe wetenschap op van een waarde, die wij evenmin kunnen ontkennen als die der Babylonische wiskunde. Het is de Babylonische sterrekunde, die van de gerede hulpmiddelen der wiskunde op grote schaal mag profiteren, maar met die oudere wiskunde geenszins vereenzelvigd mag worden.

De oorzaken van culturele verstarring bij het een of ander volk te ontdekken - dat is een probleem, dat men niet te lichtvaardig mag aanpakken. Het is vrij gemakkelijk enige mogelijke oorzaken op te sommen, maar hun volledigheid na te gaan en ze met hun juiste gewicht in rekening te brengen, is een taak, die wij met het tegenwoordig beschikbare materiaal nog niet aankunnen. De erfelijkheid der beroepen is tot in de vorige eeuw een bij uitstek cultuurbehoudende factor in de positieve zowel als in de negatieve zin geweest. Familietradities waren voor ambachten en wetenschappelijke verrichtingen een vaak noodzakelijk en onvervangbare elementaire voorwaarde; maar vaak genoeg ontbrak de erfelijkheid der bekwaamheden als maatschappelijke basis voor de erfelijkheid der beroepsuitoefening, en dit gemis had vooral dààr vèrstrekkende gevolgen, waar alleen krachtige impulsen van geniale personen de dreigende verstarring van een beschavingsgebied konden doorbreken - geniale begaafdheid is immers een te singulier en van zeer toevallige combinaties der erfelijke factoren afhankelijk verschijnsel. De Babylonische priester, die nieuwe wetenschap aan de overgeleverde had toegevoegd kon bouwen op de eerbiedige gehechtheid van zijn zoons aan de door hem gestelde traditie, ook al was het enkel zijn beroep en niet ook zijn bekwaamheid, die zij hadden overgeërfd; hun behoudzucht kon zelfs evenredig aan hun onbekwaamheid zijn, maar evenredig hieraan was dan ook de hardnekkigheid van hun verzet tegen nieuwelingen en hun geneigdheid, om de verworven wetenschap als geheim bezit te bewaren. Dat zijn voor de hand liggende argumenten, misschien zelfs gemeenplaatsen, en ik vrees, dat ze de serieuze criticus nauwelijks zullen bevredigen.

[p. 577]

Van groter gewicht dan de kastegeest der oude Oosterse maatschappijen lijkt mij een andere maatschappelijke factor: het ontbreken van toepassingsmogelijkheden voor een ver gevorderde wetenschap in een samenleving met een nogal primitieve techniek. Zolang zuivere en toegepaste wetenschap nog één zijn, kan de theoreticus de motor van het nut of althans het vermeende nut nog minder missen dan in een meer gedifferentieerde maatschappij. Bij het ontstaan van de wiskunde hebben de practische behoeften weliswaar niet overheerst, maar toch een belangrijk woord meegesproken - ik bedoel de behoeften van de practische rekenaar, de landmeter, de bankier, de belastingambtenaar, de bruggen- en wegenbouwer, de architect. Het nuttige effect van de sterrekunde was eveneens belangrijk: de voorspelling van de kalender, van verduisteringen, van grote rampen en oorlogen was een taak van niet te onderschatten betekenis. Deze utilitaire impulsen zijn sterk genoeg geweest, om de ontwikkeling der zuivere wetenschappen te bevorderen, ver buiten de grenzen van het practisch waardevolle, maar waar die grenzen te ver werden overschreden, schijnt de stilstand onvermijdelijk te zijn geweest. Aan de wiskunde ontbrak in de oudheid de steun van een veeleisende techniek - dat geldt ook nog voor de Grieks-Romeinse beschaving, al mogen we de technische eisen van de Romeinse maatschappij niet te roekeloos onderschatten.

Om de verstarring van beschavingsgebieden te kunnen verklaren, moet men met psychologische factoren evenzeer rekening houden als met sociologische. Vooruitgang is een woord, dat slecht in antieke begripsvocabulaires past. De wereldgeschiedenis als een ondanks tegenslagen gestadige vooruitgang te zien, is een zeer moderne allure, waarvan in de oudheid elke aanduiding ontbreekt. De voorstelling, dat er zo iets als een ontwikkeling zou kunnen zijn, is meestal geheel afwezig. In de geschiedenis der mensheid zien de Ouden veelal geen andere lijn dan die van een geleidelijk, maar niet tegen te houden afzakken van een oorspronkelijk goddelijk peil naar toestanden van telkens grotere verwording en ontbinding. Het beste, wat de mens in zulk een situatie kan doen, is zo getrouw mogelijk het overgeleverde te bewaren. En als hij er terloops in slaagt, het bestaande te vervolmaken, dringt dit succes nauwelijks tot zijn bewustzijn door. Het lijkt heiligschennis, af te wijken van de vaderlijke traditie, en het is een vermetele onderneming, er iets aan toe te willen voegen. Deze culturele zelfbeperking werkt de gemakzucht uiteraard in de hand en belemmert het ontbranden van geestelijke wedijver. Zo kunnen we de culturele verstarring trachten te verklaren, maar we mogen ook van dit argument de portée niet overschatten. De gehechtheid aan de traditie ten spijt worden er toch nieuwe cultuurgoederen geschapen - in Babylonië, het knooppunt van verkeer en politiek, meer dan in Egypte, aan de rand van de

[p. 578]

beschaafde wereld. Babylonische en Assyrische vorsten zijn er trots op, tempels te bouwen, groter en schitterender dan die van hun voorgangers; Babylonische priesters ontzien zich niet, nieuwe goden in oude mythen en hymnen te introduceren - de gehechtheid aan de traditie is ook daar minder sterk dan op het eerste gezicht lijkt. Maar zij is aanwezig, en hoe conservatief Babylonische wetenschap is, leert een zeer sprekend voorbeeld: terwijl het Phoenicische alfabet zijn zegetocht over de hele wereld begint [een zegetocht, die pas voltooid zal zijn, als de Chinezen hun ideogrammen vaarwel zeggen], blijft de Babylonische priester zich in de kanselarijen der Perzische koningen, in zijn sterrewachten en op zijn universiteiten van het oude spijkerschrift bedienen, dat uitgevonden was voor de behoeften van een sinds lang dode taal, die der Sumeriërs. En de Egyptische priester schrijft zijn uit de hiëroglyphen voortgekomen tekens zolang, tot er niemand meer is om ze te lezen.

Vooral het spijkerschrift en de spijkerschrift-literatuur met haar Sumerisch-Akkadische tweetaligheid moet een zware ballast zijn geweest voor de ontwikkeling van nog een andere wetenschap naast de ook reeds in een warnet van geleerdheid verstrikte philologie. De Grieken, wanneer zij de Babylonisch-Egyptische erfenis aanvaarden, mogen kiezen uit het materiaal, dat die oudere volkeren hun aanbieden. Het is zeker, dat zij van de Babyloniërs behalve ambachten en handelsusances ook sterrekunde leerden, en het is zeer waarschijnlijk, dat Egyptische meetkundigen en Babylonische algebraici geestelijk geassisteerd hebben bij de geboorte der Griekse wiskunde. Hoe deze assistentie zich in bijzonderheden heeft afgespeeld, kunnen wij niet zeggen; alle gegevens, die wij hier over bezitten, zijn vrij onzeker.

In de Griekse wereld neemt de traditie een nieuwe vorm aan. Priester te zijn, is bij de Grieken niet een beroep als bij de Oosterse volken. Dagelijkse offers zijn bij de Grieken vrijwel onbekend; het priesterschap is vaak een erebaan, waarvan de uitoefening beperkt blijft tot enkele hoogtijdagen. De tempel is wel de vergaderplaats, waar men voor politieke doeleinden bijeenkomt, waar clubs hun zittingen houden, waar men een arts kan raadplegen, waar een sophist les geeft; soms is de tempel ook de staatsbank, maar hij is niet de woonplaats van veeleisende goden en een machtige clerus. Bijgevolg is de wetenschap niet meer erfelijk als een feudaal bezit, maar verhandelbaar als een koopwaar, tegen een marktprijs, die ervan afhangt, hoeveel de belanghebbenden of de liefhebbers ervoor over hebben. Een beoefenaar van een wetenschap, ook al is hij niet arts of advocaat, kan geld verdienen met raadgevingen, lezingen en lessen, en in de opbloeiende Griekse steden is wetenschap een gewild artikel.

Dat de Grieken in staat waren, de verstarde wetenschappen nieuw leven in te blazen, was voor een groot deel het gevolg van deze wijziging der

[p. 579]

traditie. In de rij der Griekse geleerden, zoals wij die kennen, valt er van een familie-band weinig te constateren; heel sterk daarentegen is het schoolverband tussen de op elkaar volgende geslachten. Nog lang prefereert men de mondelinge overlevering boven de schriftelijke. De leermeester giet zijn wetenschap in verzen, niet zozeer omdat men nog de mentaliteit van Monsieur Jourdain huldigt, eer hij het proza ontdekt, maar vooral omdat de poëtische vorm steun biedt aan het geheugen, en ook omdat wetenschap in verzen zonder commentaar waardeloos is, dus gemakkelijker geheim kan worden gehouden. Want wetenschap was evenmin een publiek goed als welk kapitalistisch privé-bezit ook. Het zou van volslagen wanbegrip getuigen, wanneer wij meenden, dat Griekse geleerden uit de vóór-socratische tijd enige behoefte hadden gevoeld, hun wetenschap publiek te maken. Ze zouden zichzelf van hun nimbus hebben beroofd, wanneer zij de rationele grondslagen van hun kunsten zouden hebben blootgelegd, en voorzover zij op de inkomsten uit hun lessen waren aangewezen, zouden zij zichzelf schade hebben berokkend, door zonder behoorlijke honorering anderen van de vruchten van hun genie mede te laten profiteren. Dat wij zo weinig over de geestelijke prestaties der eerste Griekse geleerden weten, vindt zijn verklaring voor een gedeelte zeker in de geheimhouding, die zij zichzelf en hun leerlingen oplegden. Van de Pythagoreërs weten we stellig, dat zij de wetenschap, die zij als overlevering van de Meester beschouwden, alleen onder de leden van hun orde verspreidden, en dat zij met verachting neerzagen op de sophisten, die hun wetenschap aan iedereen, die het kon betalen, verkochten, zonder naar zijn morele geschiktheid te vragen - zoals de Pythagoreërs deden, die hun leerlingen een langdurig noviciaat als voorbereiding tot de eigenlijke studie oplegden. Tot op zekere hoogte zijn de Pythagoreërs aan hun principes trouw kunnen blijven. Tenminste - het lukte hun, zolang zij in Zuid-Italië de politieke macht in handen hadden. Enkele lekken daargelaten bleef hun wetenschap haast een eeuw lang geheim. Maar na hun politieke katastrofe begon de grote uitverkoop van pythagorese wetenschap. Van de restanten, die zij in het graf hebben medegenomen, hebben wij vrij onzekere voorstellingen, maar vermoedelijk zijn ze nog zeer aanzienlijk geweest.

De wetenschappelijke school der 6e-5e eeuw had waarschijnlijk niet alleen bij de Pythagoreërs de vorm van de ‘hetairie’, de religieus-politieke club, een groep mensen die door de band van gemeenschappelijke overtuiging, eredienst en wetenschap aan elkaar verknocht waren - ook bij andere scholen zijn er aanwijzingen in die richting, vooral wat de Zuid-Italiaanse wetenschap aangaat. Deze vorm van traditie werd door de sophisten uitgehold. Socrates en Plato herstellen het esoterische karakter der wetenschap - niet door de hetairie te doen herleven, maar in een

[p. 580]

vorm, die veeleer aan onze 19e-eeuwse universiteiten en 20e-eeuwse universitaire en andere instituten van onderzoek doet denken. De wetenschap wordt aan het publiek onttrokken, nog niet zo zeer tengevolge van haar differentiatie, maar wel degelijk reeds door de vereiste van een langdurige propaedeuse, die slechts door weinigen bekostigd en gevolgd kan worden. Maar het meest wordt de exclusiviteit bevorderd door de nog steeds overwegend mondelinge traditie, de persoonlijke relatie tussen leermeester en leerling. Want boeken waren nog steeds een kostbaar bezit - kostbaarder meestal dan de mondelinge lessen -, en bovendien waren boeken vaak niet de grondslag van het mondeling onderwijs, maar zijn gevolg: college-dictaten, door ijverige leerlingen vervaardigd.

De selecterende traditie beheerst natuurlijk niet alle onderdelen van de beschaving. Redenaars spreken hun redevoeringen in het openbaar uit, dramatische kunst was er om te worden opgevoerd, en voor de philosofen in de moderne zin was publieke bekendheid vaak de grondslag van hun bestaan. Maar wiskundigen, natuuronderzoekers en artsen behoren tot een andere categorie van intellectuele werkers, en van hun eosterische neigingen, vooral in de secte van Pythagoras, heeft de wetenschap in feite meer geprofiteerd dan schade opgelopen.

Aan tendenties, de wiskunde van de schoolse binding los te maken, heeft het niet ontbroken. De Elementen van Euclides zijn een werk van vooral paedagogische strekking en paedagogische verdienste, een compilatie, waarvan de zwakke punten en de wetenschappelijke tekortkomingen bij nader onderzoek steeds duidelijker blijken¹.

Op de meeste gebieden van onderzoek gebeurde het in de oudheid op zeker ogenblik, dat een bekwaam man de slotsom opmaakte van hetgeen tot die tijd toe op dat gebied was gewrocht, en die de vergaarde wetenschap samenvatte meestal in de vorm van een compilatie uit oudere geschriften, die met een voor de respectievelijke bewerker kenmerkende handigheid uit elkaar geknipt en aan elkaar gelijmd werden. De wiskunde heeft, wat dit aangaat, van geluk mogen spreken. Euclides' compilatie is geschied op een ogenblik, dat de wiskunde nog in volle bloei stond, bovendien door een deskundige, die uit een voortreffelijk en in zeker opzicht al logisch geordend materiaal kon putten. Aan Euclides' elementen is dan ook een succes beschoren geweest, dat door geen ander wetenschappelijk werk sinds 2000 jaren wordt geëvenaard. De wiskunde was, tenminste in theorie voor eeuwen losgemaakt van de schooltraditie - een knappe jongeling, die in de eerste beginselen der wetenschap was ingeleid, kon zich door zelfstudie verder ontwikkelen. Geleerden, die nieuwe

1 Op bijzonderheden kan ik niet ingaan. Wie meer wil weten over de geschiedenis der antieke wiskunde, leze het binnenkort bij Noordhoff [Groningen] verschijnende boek ‘Ontwakende Wetenschap’ door Prof. Dr B.L. v.d. Waerden.

[p. 581]

ontdekkingen deden, konden de fundamentele kennis, die bij Euclides was vergaard, bij hun lezers veronderstellen en zodoende hun resultaten in schriftelijke vorm verspreiden - een gelegenheid waarvan b.v. Archimedes ruimschoots gebruik heeft gemaakt. Dit was een zeer belangrijk gerief, waarvan men de betekenis echter ook weer niet mag overschatten. Reizen naar de centra der wetenschappelijke activiteit en schoolbezoek bleven de voornaamste middelen, om van de wetenschappelijke traditie te profiteren.

De ontwikkeling der wiskunde is in de gehele Grieks-Romeinse geschiedenis maar een korte episode geweest. Die der sterrekunde duurde langer - wellicht omdat deze meer empirische wetenschap, evenals in Babylonië, op een langere incubatietijd aangewezen was. Maar de wetenschap in haar geheel gaat ook in de oudheid een nieuwe verstarring tegemoet, waarvan de oorzaken nog niet zijn opgehelderd. Het verschijnsel in de wiskunde is niet zò raadselachtig als dat van de ondergang der klassieke beschaving als geheel, maar in al deze kwesties missen wij nog de juiste methode. Wanneer wij bij den mens de doodsoorzaak nagaan, beschikken wij over vergelijkend materiaal, om de vraag als zodanig behoorlijk te kunnen formuleren. Een singulier phenomeen, zoals een beschaving van de afmetingen van de Grieks-Romeinse kan niet in dezelfde zin aan een vergelijkend onderzoek worden onderworpen. De politieke ineenstorting van het Romeinse Rijk in de 3e-4e eeuw lijkt ons vermoedelijk alleen daarom zo raadselachtig, omdat wij ondanks alle wetenschappelijke inspanning nog zo goed als niets over de maatschappelijke structuur van het keizerrijk weten. De wiskunde is gemakkelijker te overzien, maar ten aanzien van de maatschappelijke voorwaarden voor de bloei der wiskunde tasten wij nog evenzeer in het duister. Tot de maatschappelijk bevoorrechten onder de beoefenaren der wetenschappen hebben de wiskundigen in de oudheid in elk geval niet behoord. Staatsbemoeiingen maakten van Alexandrië een wetenschappelijk centrum, dat zich tot de laatste stuiptrekkingen der antieke beschaving toe enigszins kon handhaven, maar die staatsbemoeiingen zelfwaren van zeer korte duur, en spoedig was ook de Alexandrijnse wetenschap weer op particuliere steun aangewezen. Die werd over 't algemeen alleen verkregen voor de zogenaamde alpha-wetenschappen, en dan ook slechts voor die, die de publieke belangstelling trokken, zoals de wijsbegeerte en de welsprekendheid. De wiskunde is nimmer ‘self-supporting’ geweest, en die wetenschappen, waaraan zij diensten had kunnen bewijzen, stelden geen hoge eisen - in elk geval niet de eis, de wiskunde boven het overgeleverde peil te verheffen.

De sociale waardering ten aanzien van de wiskunde kwam [trouwens tot in de 18e eeuw] tot uitdrukking in een tekort aan leerlingen met wetenschappelijke belangstelling, waarmee vermoedelijk alle leermeesters in de

[p. 582]

wiskunde worstelden. De wiskunde had zich zeer snel en krachtig ontwikkeld, en er was niet genoeg wetenschappelijk nakroost, om dit tempo te bestendigen - als we een beeld uit de vorige oorlog mogen gebruiken: de infanterie ontbrak, om de doorbraak der pantserspitsen te consolideren. De cultuurlaag is in de oudheid op zichzelf al dun: de steden herbergen nauwelijks een tiende der bevolking, en ook dit tiende is nog voor het grootste gedeelte proletariaat. Voor de jongelui is de studie in de medicijnen, in de rechten, in de welsprekendheid, ja zelfs in de philologie om zeer vele voor de hand liggende redenen veel aanlokkelijker dan de voorbereiding op een wiskundig wetenschappelijk beroep, en alleen waar de staat ingrijpt, zoals tenslotte nog eens in het Constantinopel van Justinianus, komt er weer iets als een laatste nabloei van wiskunde en natuurwetenschap. Het is een dun dekkleed van beschaving, dat over het Romeinse Rijk is gespannen, en dat de neiging vertoont, om bij de minste aanleiding te scheuren. Hierdoor worden dan vooral wetenschappen en kunsten bedreigd, die weinig beoefenaars tellen. Inderdaad kan men zich moeilijk aan de indruk onttrekken, dat er na de 2e eeuw voor Chr. geen wetenschappelijk wiskundige traditie in de oude zin meer bestaat, geen schoolverband dus en geen persoonlijke overlevering van leermeester op leerling, die niet na één of twee generaties weer afbreekt. Het gros der leerlingen ontving vermoedelijk een weliswaar op de Elementen gebaseerde, maar toch zeer rudimentaire wiskundige opleiding, en slechts bij hoge uitzondering kan een leerling in staat zijn geweest, het werk van zijn leermeester voort te zetten. Tenslotte moet het zelfs aan leermeesters hebben ontbroken, en die uitmuntende wiskundigen, die nog af en toe optraden, schijnen min of meer autodidacten te zijn geweest, die de in elke opleiding belangrijke mondelinge overlevering hadden moeten missen.

De beoefening der wiskunde in de oudheid heeft er zeker onder geleden, dat de traditieband telkens weer is gescheurd. Maar het zou een te eenzijdige visie zijn, dit verschijnsel alleen in sociologische samenhang te willen zien. De wiskunde profiteerde veel minder van de vrijgevigheid van maecenaten, omdat zij minder tastbaar nut beloofde, maar zij kon die steun ook in hogere mate dan andere wetenschappen missen. Vooral was de werkzaamheid van een wiskundige veel minder aan de aanwezigheid van een grote bibliotheek gebonden dan die van een philoloog. De verstarring van de wiskunde in de oudheid is evenzeer het gevolg van positieve als van negatieve traditie. De Elementen van Euclides bevatten reeds die ingredienten, waaruit de verstarrende korst werd gevormd. Het is de exactheid, en wel de specifiek Griekse vorm van exactheid, die tenslotte als een keurslijf de groei der wiskunde heeft belemmerd - een haast 2000 jaar durende katalepsis was de reactie op een 2-3 eeuwen durende ontwikkelingskoorts.

[p. 583]

De ontdekking van de onmeetbare grootheden door de Pythagoreërs, één der ontzaglijkste inzichten, ooit door mensen verworven, heeft de vorm der Griekse wiskunde bepaald en tevens de vorm, waarin de Griekse wiskunde is verstard. Van het bestaan van onmeetbare grootheden hebben de Grieken de consequenties aanvaard met een onverbiddelijke discipline, die ons met de hoogste bewondering kan vervullen voor de geestelijke zelftucht, die de mens zich kan opleggen, maar die tevens de schrik in ons wakker roept voor het intellectuele fanatisme, waartoe de mens in staat is - niet alleen een enkele mens, maar een successie van bekwame onderzoekers, die zich - soms wel willens en wetens - verstrikten in een traditie, die ze fascineerde en verlamde. Heeft geen hunner ooit dit pijnigende gevoel gekend, dat Kafka in zijn ‘Bau’ en bij andere gelegenheden zo voortreffelijk heeft vertolkt, deze angst, op de verkeerde weg te zijn en niet meer terug te kunnen? Of wisten zij, dat er aan hun methode iets niet in orde was, maar was hun energie zo geheel geabsorbeerd door het peuteren aan de Gordiaanse knoop, dat geen hunner hem durfde doorhakken?

De ontdekking van het onmeetbare gaf de mens de gelegenheid te bewijzen, wat bittere ernst zijn streven naar waarheid was. Men had ingezien, dat men de meetkundige grootheden niet door middel van gehele getallen en breuken van gehele getallen kon voorstellen, en consequent naar men meende, wierp men de gehele Babylonische algebra en veel van de algebraische aanwinsten der Pythagoreërs overboord. Niet alles, want er was veel, dat men niet missen kon. Men vond voor de traditionele algebra een surrogaat uit, de meetkundige algebra. De stap, die de Babyloniërs 1500-2000 jaar te voren hadden gedaan, de algebra los te maken van de meetkunde, werd ongedaan gemaakt, maar de bevrijding van de wiskunde uit haar babylonische verstarring ging gepaard met het insnoeren in een nieuw pantser. Van de voordelen, die de algebra bood boven de meetkunde, deed men afstand, omdat men meende, anders niet aan de eisen van exactheid te kunnen voldoen. De meetkundige algebra werd een werktuig, dat anders dan die der Babyloniërs alleen door buitengewone bekwame wiskundigen kon worden gehanteerd, maar waaraan men blijkbaar, hoe onhandelbaarder het werd, des te meer verknocht raakte. Wiskundigen, die de diepere samenhangen doorzagen, konden zich, om nieuwe resultaten te verkrijgen, van echt algebraische methoden bedienen, maar vóór ze tot publicatie overgingen, waren zij genoodzaakt, hun redeneringen in de omslachtige vorm der meetkundige algebra te gieten. Zolang er een mondelinge traditie bestond, was het geen bezwaar, dat er naast en als grondslag voor de officiële wiskunde een heuristische methode als het ware als geheime wetenschap bleef bestaan. Brak de traditie af, zoals het in de oudheid stellig herhaaldelijk geschiedde, dan was

[p. 584]

een minder bekwaam nageslacht niet meer in staat, de heuristische grondslagen der schitterende bewijzen terug te vinden; het enige, wat hun overbleef, was, in diepe bewondering voor de wijsheid van het voorgeslacht de handen in de schoot te leggen.

De overdreven eerbied voor het werk van Euclides is voor de ontwikkeling der antieke wiskunde funest geweest, omdat hij samen ging met een tekort aan eerbied voor hetgeen Euclides' voorgangers hadden gepresteerd. Wanneer in de Griekse wetenschap een standaard-compilatie tot stand was gekomen, gingen die werken, die als grondslag hadden gediend, en mèt hen de hele historische ontwikkeling, in de prullemand. Men achtte ze overbodig, en daarmee sneed men de terugweg af naar het punt, waar men zich in die slop had begeven. Om een wetenschap verder te ontwikkelen, hoeft men niet al die argumenten te kennen, die eertijds beslissend zijn geweest, om een bepaalde weg in te slaan. Maar op het ogenblik, dat men genoodzaakt is, een bestaande theorie in haar grondslagen te herzien, kan het zeer nuttig zijn, de historisch beslissende argumenten der ouderen aan een critiek te onderwerpen - toen b.v. de Newtonse gravitatieleer door de relativistische moest worden vervangen, was het voor Einstein zeer belangrijk, redeneringen van Newton te kennen, die alleen nog historische waarde schenen te bezitten; zo kon hij helderder inzien en duidelijker aantonen, op welk punt hij zich van Newton moest verwijderen. Maar met de herinnering aan de prae-euclidische wiskunde was ook de remedie verspeeld tegen de illusie, dat er in de wiskunde maar één weg bestond, die weg, waarop men als een blinde voortstrompelde.

Onder hen, die met de diensten, die zij aan de wiskunde bewezen, tevens haar verstarring hebben voorbereid, moet behalve Euclides nog Plato worden genoemd. Het dogmatische, dat de antieke wiskunde topzwaar maakte, komt veeleer uit de wijsgerige dan uit de vakspecialistische hoek, zoals trouwens tot heden toe wijsgerige scholing meestal de brede visie heeft belemmerd en de vakeenzijdigheid heeft bevorderd. De niet-vakman Plato die de wiskunde van zijn tijd in een zeer eenzijdige vorm kende en apprecieerde, heeft gemeend, dat deze vorm definitief was, en door zijn gezag is hij erin geslaagd, hem te bestendigen. De grote betekenis, die hij aan de wiskunde toekende, was de tegenhanger van de hoge eisen, die hij haar oplegde. De ideeënleer strookte uitstekend met een wiskunde, die haar exactheidsvorm niet naar de feiten oriënteerde, maar die zich van de feiten afkeerde en de vorm vooropstelde. De uitbanning der algebra was in strijd met de practische behoeften [ik bedoel hiermee niet noodzakelijk de technische, maar evenzeer de denk-behoeften], maar zij scheen om wijsgerige redenen onvermijdelijk te zijn, en de wiskunde, die aan dergelijke wijsgerige eisen beantwoordde, scheen van haar kant de geschikte propaedeuse voor de wijsbegeerte te zijn. Dat later de philosofie de

[p. 585]

propaedeuse der wetenschappen werd, was een nog funestere omkering der oorspronkelijke verhoudingen.

Wat Plato voor de wiskunde was, werd Aristoteles voor de natuur-wetenschappen. Alleen is de Aristoteles-traditie vrijwel uitsluitend van negatieve invloed gweeest. Dankzij hem werd weliswaar de leer der Pythagoreërs van de bolgestalte der aarde officiëel erkend, maar deze verdienste [samen met nog enkele anderen] wordt teniet gedaan door het feit, dat zijn natuur- en sterrekunde één grote gezaghebbende dwaling is geweest. Wetenschappelijke instelling is evenzeer als aesthetische een kwestie van aanleg en temperament. Aristoteles was in wezen een biologisch denker, zonder enig begrip voor de mathematisch-natuurkundige geesteshouding. Hij slaagde erin, ook in de meer wiskundig gerichte natuurwetenschappen de biologische denkwijze te doen overheersen en de natuurkundige denkwijze in de oudheid in de kiem te smoren. Zijn gezag, dat op enorme capaciteiten steunde, heeft de natuurwetenschappelijke traditie zeer lang volkomen bepaald. Haast 20 eeuwen lang hebben slechts enkelingen durven optornen tegen het ontzagwekkende leerstelsel van schijnbewijzen, waarmee Aristoteles elke observerende natuurkunde overbodig scheen te maken. Alleen wie weet, hoe intensief vooral in de middeleeuwen de aankomende geleerden werden getraind in de Aristotelische gedachtenwereld kan de inspanning waarderen, die van de Renaissance-geleerden werd gevergd, om zich van die kluisters te ontdoen en ineens natuurkundig te denken. Aan de wiskunde heeft Aristoteles geen schade kunnen berokkenen, omdat haar methode in die tijd reeds te ver gevorderd was; hij kreeg geen vat op de wiskunde, omdat de wiskunde geen vat had op hèm, op de onmathematisch Aristotelische geest.

Voor wat er 20 eeuwen lang in hun naam is gezondigd, mag men Plato noch Aristoteles verantwoordelijk stellen. De natuurwetenschap, die Plato voorzichtig, als een mythus voordraagt, en Aristoteles, even voorzichtig, als een rationeel leerstelsel, is de natuurkunde van hun dagen, en ook waar Aristoteles de goede beginselen van de natuuronderzoekers vóór hem heeft geworgd, zijn het nog onvoldragen geesteskinderen geweest, wier levenskracht nog niet was gebleken. Een Plato of Aristoteles, die langer had mogen leven of later geboren had mogen worden, en die van nieuwe wetenschappelijke inzichten had mogen profiteren, zou in elk tijdperk even ‘modern’ zijn geweest. Want beiden waren waarheidzoekers, en geen van beiden was een tiran, die zijn vooroordelen à tort et à travers wilde doen heersen. De ware tirannen - dat waren het Platonisme en Aristotelisme der zwakkere broeders, wier waarheidsdrang werd getemperd door kinderlijke eerbied, gemakzucht, lafheid, partij-ijver, zelfoverschatting en inzicht in eigen onvolmaaktheid. Om de ondergang der antieke wereld te kunnen begrijpen, zou men niet alleen een sociologie der grote maat-

[p. 586]

schappij moeten schrijven, maar ook één van die kleine, maar verwaande ‘république des lettres’, en men zou de schaarse levenstekenen moeten vergaren van wat zich buiten de scholen en akademie wetenschappelijk afspeelde.

Ook in de oudheid waren er wiskundigen-outsiders, die zich aan opgevijzelde bespiegelingen niets gelegen lieten liggen. De Babylonische algebra was verbannen, maar niet vermoord. Zij leidde naast de officiële wetenschap een paria-bestaan, waarvan slechts enkele sporen zijn overgebleven. Zij komt opnieuw tot bloei in afgelegen streken, waar men niets wist of zich niets aantrok van de beslommeringen, die de Grieken met het onmeetbare hadden gehad, in een maatschappij, waar de philosofie nog een onderdeel van de godsdienst was en daarom minder vat had op de wetenschappen. Zo ontstond de wiskunde der Hindoe's. Waar die overlevering aanknoopte, kan men nog niet met zekerheid zeggen; hoeveel oorspronkelijk babylonische elementen door India werden opgenomen en hoeveel officiële en inofficiële Griekse wetenschap daar werd geïmporteerd, is niet vast te stellen. Om over de wijze, waarop in India zelf de traditie zich vormde en handhaafde, veel te zeggen, ontbreekt mij de competentie. Maar zoveel is zeker: reeds bij de Hindoe's draagt de wiskunde niet meer het aristokratische gewaad, waarin Euclides haar had gestoken. Ze draagt niet meer pallas, helm en lans als een ongenaakbare Athene, maar zij lijkt veeleer op het meisje Lilavati, aan wie Bhascara schertsend en zijn bewijsvoeringen door complimenteuze opmerkingen onderbrekend, een wetenschap leert, verrukkelijk door haar bekoorlijkheid, helder door haar scherpe taal, zachtmoedig en streng, en het welgevallen van de wijze. Twee woorden ontbreken nog, die pas de Arabieren aan deze kenschetsing van een wetenschap zouden toevoegen: practisch en voor iedereen begrijpelijk. De wiskunde is geen gewijde wetenschap meer, en het enige gewijde, dat wij in de mathematische werken der Hindoe's en Arabieren aantreffen, is de gebedsformule als aanhef en als kolofoon, wanneer zij buigen voor de godheid, die het hoofd heeft van een olifant, of voor Allah - niet voor de godin wiskunde. Hindoe's noch Arabieren hebben ooit het Griekse wetenschappelijke peil bereikt, maar zij hebben de ‘common sense’, de paedagogische ambitie en didactische bekwaamheid bezeten, om op een betrekkelijk breed front de Griekse doorbraak te consolideren. In de democratische ‘Sturm- und Drangzeit’ der Arabische maatschappij, toen nog ieder de maarschalksstaf in zijn ransel droeg, heeft ook de Arabische geleerde, wars van een ‘l'art pour l'art’ zijn maatschappelijke positie weten te bepalen, als arts, als tolk, als raadgever van vorsten, als bibliothecaris of als lid van een academie. In de verstarring van de islamische maatschappij wordt echter ook de islamische wetenschap betrokken.

[p. 587]

Dit maatschappelijke probleem wordt in het christelijke Westen opgelost op een wijze, die aan het oude Babylonië doet denken. De middeleeuwse kloosters zijn de plaats, waar de geleerde zich vrij van aardse beslommeringen aan goddelijke of vergoddelijkte wetenschappen kan overgeven. Zo worden zij dan ook voorgesteld, die zeven vrije kunsten: als goddelijke maagden, die zich door niets anders kunnen legitimeren dan door hun emblemen, de schamele erfenis, die zij uit de failliete boedel hebben gered. Waar de nieuwe wind zal opsteken, dat verraden ons de artistieke voorstellingen der vrije kunsten van het quatrocento: alleen de Italiaan koos, wanneer hij de wetenschappen met het penseel moest uitbeelden, zijn modellen onder de bekoorlijkste meisjes, die hij kon vinden. De Griekse wiskunde in haar Arabische overlevering, die de Italianen der 16e eeuw vernieuwen, is geen Platonische idee meer, maar ook geen sprookje uit 1001 nacht, dat Bhascara aan Lilavati vertelt, maar een wetenschap van boekhouders en ingenieurs. Aan de kloostertraditie, hoe belangrijk zij ook in algemeen cultureel opzicht geweest is, heeft de wiskunde en vooral de natuurkunde weinig te danken, en tot het einde van de 19e eeuw zijn slechts zeer weinig wis- en natuurkundigen van betekenis verbonden geweest aan één dier universiteiten, die de oude kloostertradities trouw bleven. Zeer velen onder hen zijn autodidacten geweest - de popularisering der wetenschappen, begonnen door de Arabieren, wordt voortgezet door tallozen, die zich van de boekdrukkunst bedienen, om hun kennis te verspreiden. De traditie breekt niet meer af, maar nog steeds is er een tekort aan beoefenaars der exacte wetenschappen. Leibniz, dit kokende vat van weten en geest, overborrelend van ideën, heeft zich er herhaaldelijk bitter over beklaagd, dat hij geen leerlingen had - zonder twijfel had hij tientallen aan vruchtbaar werk kunnen zetten. De bloem der geleerdheid is immers de philologie: het uitgeven van de werken der oudheid in de 16e eeuw, het commenteren van die uitgaven in de 17e en het commenteren van de commentaren in de 18e eeuw. Maar de vicieuze cirkel sluit niet meer, zoals 20 eeuwen geleden in Alexandrië. Waarom niet? Wat is de oorzaak, die hem doorbreekt?

Er zijn veel redenen aan te wijzen. Ten eerste de paedagogische ambitie der verlichters, alle humaniora voor de mens te ontsluiten. En tot die humaniora behoren [wie zou het tegenwoordig geloven?] wel degelijk de wiskunde en de natuurwetenschappen, want de ‘menselijkere’ wetenschap was nog de stiefzuster der ‘goddelijkere’, en de tegenstelling ‘natuur- en geesteswetenschappen’ was nog niet ontdekt. De wiskunde mocht medeprofiteren van haar illustre stamboom, die in de Griekse geest wortelde; er kwam een behoefte aan leraren, die deze tuchtroede van de geest over hun leerlingen konden zwaaien, en aan professoren, die deze leraren opleidden. Die professoren koos men onder de bekwaamste ge-

[p. 588]

leerden - het wetenschappelijk onderzoek verplaatst zich van de akademies naar de universiteiten, waar het met de wetenschappelijke opleiding verbonden de sfeer der wetenschappelijke scholen van Alexandrië doet herleven.

Het zijn echter niet alleen cultuurhistorisch en paedagogisch redenerende mensen geweest, die aan de wiskunde in het onderwijs iets van de waardigheid teruggaven, waarmee Plato haar had vereerd, en die zodoende de weidse ontplooiing der 19e-eeuwse wiskundige wetenschappen voorbereidden. In Frankrijk, het enige land, waar gedurende de hele 18e eeuw aan de bevordering der exacte wetenschappen systematisch, zij het dan niet op grote schaal, door de staat aandacht is geschonken, schiep de rationalistische mentaliteit der revolutionnairen en de belangstelling van Napoleon een gunstig terrein voor de wiskundige opleiding en productie. De Hogescholen, die toen ontstonden, zou men evengoed kunnen noemen scholen voor militairen op wiskundige leest geschoeid als scholen van wiskundigen op militaire leest. Wanneer men dan verklaringen zocht voor Napoleons militaire successen, lag het voor de hand, op de mathematische opleiding van zijn officieren de nadruk te leggen, en dat is inderdaad, binnen en buiten Frankrijk, telkens geschied. Het is wel juist, dat er zulk een verband bestaat, alleen is de interpretatie niet zo simpel, als men in de 19e eeuw meende. Het is niet de wiskundige opleiding geweest, die het peil van het Franse officierscorps boven dat van andere staten verhief, maar het was veeleer de selectie door middel van de wiskunde, die klaarblijkelijk de voorkeur verdiende boven de selectie volgens adelbrieven en juridische of philologische bekwaamheden. Hoe dit ook zij, andere staten hebben meer of minder consequent, het Franse voorbeeld gevolgd, en overal werden de voorwaarden geschapen voor de beoefening van een wiskunde, die, met een grote voorsprong op haar toepassingsmogelijkheden, gereed stond, toen de moderne techniek haar eisen stelde.

Van die voorsprong is thans niet veel meer overgebleven. Wanneer we werkelijk een nieuwe verstarring tegemoet zouden gaan, dan zouden de oorzaak - om dat beeld weer op te roepen - niet de infanterie-troepen zijn, die de pantserspitsen niet konden inhalen, maar veeleer de pantserspitsen, die faalden in hun taak, voor de nakomers de weg te effenen. Het aantal theoretici in opleiding in alle natuurwetenschappen en vooral het aantal mathematici is schrikbarend klein, vergeleken bij dat der aanstaande technici - hoe moet zulk een belachelijk klein aantal theoretici emplooi scheppen voor legers van ingenieurs? Door een aantal 19e-eeuwse ficties uit traditionalistische sleur tegen de feiten in te handhaven, bemoeilijken we een gezonde ontwikkeling, die we toch niet tegen kunnen houden. Onder een zware last van traditie gaat niet onze wetenschap, maar wel onze wetenschappelijke opleiding gebukt. Was in de 19e eeuw

[p. 589]

de wiskunde terecht het aangewezen selectiemiddel voor veel beroepen, dan is dat nog geen bewijs voor haar deugdelijkheid als zodanig in onze eeuw. Wij beschikken over meer verfijnde selectiemethoden of dienen er tenminste over te beschikken. Het principe der middelbare scholen en der technische hogescholen, dat het er niet op aankomt, wat voor wiskunde gedoceerd en gevraagd wordt, als het maar wiskunde is, deze legendarische wet- en toetssteen van de geest - dit principe, dat dient om de meest achterlijke programma's te rechtvaardigen, ontleent zijn kracht niet meer aan enige positieve overtuiging, maar enkel en alleen aan de traditie. De Hoger-Onderwijs-wet, die ontstond, toen de alumni der wis- en natuurkundige faculteiten overwegend het beroep van leraar kozen, beantwoordt op dit punt aan geen enkele maatschappelijke realiteit meer, maar desondanks blijft die fictie gehandhaafd en blijft gehandhaafd een opleiding van de student der wis- en natuurkunde in drie wetenschappelijke vakken die neer moet komen op het verwerven van een ondragelijke last van parate kennis.

In de laatste eeuw van haar bestaan is de wiskunde verrijkt met veel nieuwe gebieden, wier beoefening al weer grote specialisatie vereist. Sommige waren goudmijnen, en toch zijn zij spoedig verlaten. Niet omdat zij uitgeput raakten, maar omdat de snel geëxploiteerde gangen spoedig zo lang werden, dat niemand meer de mijn durfde binnendringen. Andere gangen staan op het punt, om verlaten te worden - om dezelfde redenen. Zij die geholpen hebben, om ze te ontsluiten, en die daar nog elke weg kennen, vinden in de kleine schaar wetenschappelijk belangstellenden geen medewerkers meer, die bij al wat van hen wordt geëist, nog de tijd zouden overhouden, om zich in de details van speciale gebieden te laten inleiden. Met het tegenwoordige geslacht van volwassen wiskundigen zullen die gebieden wellicht verdwijnen. Want juist in de wiskunde met haar zakelijke en abstracte stijlgewoonten is thans meer dan ooit de band tussen leermeester en leerling een didactische schakel, zoals het geschreven of gedrukte woord nimmer kan zijn. Sterven deze gebieden af, dan zal het een natuurlijke dood zijn - dezelfde die de wiskunde van Alexandrië stierf. Nieuwe uitdrukkingsmogelijkheden, die het begrip verbeteren en de traditie vergemakkelijken, zijn voor de wiskunde misschien belangrijker dan nieuwe gebieden. Maar voor het overige blijft de wiskunde afhankelijk van onze maatschappij in haar geheel - niet meer van het humeur van koningen en maecenaten, maar van de vraag, of er mensen zullen opstaan, die het verband tussen maatschappij, wetenschap en opleiding helderder kunnen begrijpen dan wij en in staat zijn, om naar hun inzichten te handden.