De Nieuwe Gids. Jaargang 7

[p. 147]

Het vraagstuk van den krans.
Bijdrage tot de geschiedenis der natuurkunde. Door Ch.M. van Deventer. ⁺

Van de vele overleveringen, welke zich aan den naam van Archimedes⁺ vastknoopen, en aan dien geleerde een legendarische vermaardheid geven, waarin ternauwernood één andere natuurkundige deelt, is geen verhaal meer populair dan de ontdekking van het zoogenaamde beginsel van Archimedes, de ontdekking van het feit, dat een lichaam in water gedompeld zooveel in gewicht verliest, als het verplaatste water weegt. De bekendheid is voor een deel toe te schrijven aan het belang der fysische stelling; voor een ander deel daaraan, dat die stelling ook bij een elementaire behandeling der fysika niet onvermeld blijft; doch zeker heeft tot de populariteit veel bijgedragen de omstandigheid, dat de legende der ontdekking een aardig verhaaltje is, pakkend voor de jeugd, en eindigende met een veelvuldig geciteerden, gevleugelden uitroep, met het onsterflijke heurêka.

In de volgende bladzijden zal ik trachten den lezer mede te deelen wat men tegenwoordig van die overlevering te denken heeft. Eigen vinding zal men in deze studie weinig aantreffen. Want wat mij, toen ik naar goede inlichting over een bijzonderheid van Archimedes' werk zocht, - wat

+ Titel. Het vraagstuk van den krans. Men hoort en leest gewoonlijk van het vraagstuk van de kroon van koning Hïeron. Dat het onderzoek van Archimedes evenwel over een krans liep, wordt bewezen door het bericht van Vitruvius (zie verder), dat van een corona votiva spreekt; door het gedicht de Ponderibus (zie beneden), waarin eveneens een wijgeschenk genoemd wordt, en door de grieksche berichten die steeds van een στέφανος melding maken.

+ blz. 147, regel 1 v.b. Algemeen bekend is het verhaal over Archimedes' aandeel in de verdediging van Syracuse tegen de Romeinen, alsmede het verhaal over zijn dood. Van dit laatste bericht heeft Plutarchus (Vita Marcelli) drie lezingen. Beroemd is voorts de verstrooidheid van Archimedes, waarvan Plutarchus verhaalt: met geweld trokken de slaven hem van zijn figuren weg; hij echter teekende met het schraapijzer lijnen op zijn lichaam. (Moralia ὡς οὐδὲν ζῆν ἐστιν ἡδέως κατὰ Επίκουρο. 1094. B.C. ᾽Αρχιμήδη δὲ βία τῶν διαγραμμάτων ἀποσπῶντες συνειληωον οἱ θεράποντες ὁ δὲ ἐπὶ τῆς κοιλίας ἕγραψε τὰ σχήματα τῇ στλεγγίδι.¹⁾ - Beroemd zijn zijn werktuigen, de katrol en de waterschroef. - Beroemd eindelijk is zijn gezegde over de kracht van den hefboom: geef mij een steunpunt, en ik zal de aarde optillen.
Berichten hierover: Plutarchus, ‘Archimedes heeft geschreven, dat het mogelijk ís met een gegeven kracht een gegeven zwaarte te bewegen; en in overmoedigen trots op de kracht van zijn betoog, zeide hij, naar men beweert, dat, indien hij een andere aarde had, hij deze zou bewegen, op die andere overstappende.’ Marcellus XIV, 305-306. καὶ μἑντοι καὶ ᾽Αρχιμὴδης ... ἔγραψεν, ὡς τῇ δοθείσῃ δυνάμει τὸ δοθὲν βάρος κινῆσαι δυνατόν ἐστὶ και νεανιευσάμενος, ὥς φασι, ῥώμῃ τῆς ἀποδείξεως εἶπεν, ὡς, εἰ γῆν εἶχεν έτέραν, ἐκίνησεν ἄν ταύτην μεταβὰς εἰς ἐκείνην.
Simplicius (500 n. Chr.). Comm. in Aristot. Phys in Schneideri Eclog. II. p. 286, geciteerd bij Heiberg, Quaestiones Archimedeae, Hauniae, 1879, bl. 37. `Αρχιμήδης ἐκόμπασεν ἐκεῖνο τὸ πᾶ βῶ καὶ κινῶ τὰν γᾶν.
Pappus Alexandrinus, (4^e eeuw na Chr.), Ed. Hultsch, 1878, III. blz. 1060, Prop. 10: tot de zelfde beschouwing behoort dat een gegeven gewicht door een gegeven kracht in beweging komt. Want dit is een mechanische stelling van Archimedes, waarover hij beweerd wordt gezegd te hebben: geef mij, zei hij, waar ik staan kan, en ik beweeg de aarde.’ Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν θεωρίας τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει κινῆσαι τοῦτο γὰρ ᾽Αρχιμήδους μὲν [λέγεται] μηχανικόν, ἐφ᾽ ᾧ λὲγεται εἰρηκέναι δός μοι (φησι) ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν.
Joh. Tzetzes, (12^e eeuw na Chr.) Chiliades, II, 35. En hij placht ook te zeggen in het dorisch, in de syracusische taal: (geef mij) waar ik gaan kan, en met den hefboom zal ik de gansche aarde bewegen;

᾽´Ελεγε δὲ καὶ δωριστὶ φωνῇ συρακουσἰᾳ
πᾶ βῶ, καὶ χαριστίωνι τὰν γᾶν κινήσω πᾶνσαν.

Tzetzes heeft veel over Archimedes bij elkander gehaald; het vraagstuk van den krans vermeldt hij echter niet. Zijn betrouwbaarheid wordt niet hoog gesteld; toch is het alleen op zijn autoriteit dat het geboortejaar van Archimedes in 287 v. Chr. wordt gesteld.
De veel besproken legende, dat Archimedes met een brandspiegel de romeinsche vloot zou in brand gestoken hebben, is nog altijd sub judice.

1) Zie ook Marcellus. XVII.

[p. 148]

mij toen het meest verbaasd heeft, is wel de ontdekking, dat zooveel goeds gewerkt is over een zaak, over welke iedere wel-ontwikkelde gaarne het fijne zou willen weten, terwijl dit goede evenwel niet te vinden is in de boeken, die men in de eerste plaats aanvat om goed voorgelicht te worden, in handboeken over de geschiedenis der natuurwetenschappen, bedoel ik, en vele woordenboeken. De goede berichten zijn te vinden in enkele artikels van geleerde tijdschriften en monografiën, en niet in de handboeken, en daarvan komt het, dat de uitkomsten der onderzoekingen geen invloed hebben gehad op de gangbare overlevering, want die uitkomsten zijn slechts aan zeer enkelen bekend, naar het schijnt, en zelfs niet aan de schrijvers van genoemde werken voor algemeene, nauwkeurige inlichting. Indien ik dus nogmaals bekennen moet, dat weinig van eigen vinding in dit opstel is, zoo heb ik daarentegen het geluk den lezer een rijkdom van nasporingen aan te bieden, die de vrucht is van veler arbeid, en aan weinigen slechts bekend.

I.

Ik begin mijn lezers er aan te herinneren, - eenige maanden geleden werd reeds in het Weekblad de Amsterdammer ⁺ de zaak vermeld -, dat van de legende van het heurêka twee lezingen bestaan, en hoewel volgens beide versies Archimedes het voorrecht heeft gehad door een genialen inval bezocht te worden, is hij niet in beiden een even groot natuurkundige. Want wel is hij in beide verhalen geniaal genoeg om een alledaagsche waarneming te gebruiken tot de oplossing van een voor ieder ander onoplosbaar vraagstuk, doch slechts één lezing maakt van hem den grooten fysikus, die uit de eenvoudige waarneming een belangrijk natuurkundig beginsel, een groote natuurwet weet te halen.

Want de vertelling die alle Hollanders op school geleerd hebben, - ik herhaal haar dus niet; iedereen weet van Koning Hiero en zijn Kroon, en het naakt-loopen en heurêka -,

+ blz. 148, reg. 15 v.o. - Weekblad van 31 Jan. '92

[p. 149]

die vertelling laat Archimedes in het bad gevoelen, dat hij lichter werd, en deze gewaarwording generaliseerde hij over alle lichamen, die ondergedompeld zijn, en daaruit besloot hij, dat men het volume van een lichaam kan bepalen door het te wegen in lucht en onder water. Volgens deze vertelling ontdekte dus Archimedes zijn beginsel in het bad.

De andere overlevering (ik geloof te mogen zeggen, dat zij bij ons aan zeer weinigen bekend is) behelst geen spoor van het beginsel van Archimedes; van gewichtsverlies in water; van weging onder water. Want volgens haar zag Archimedes, toen hij in het bad stapte, dat tot den rand vol was, dat er water uit liep, en de overweging, dat evenveel water uitstroomde als zijn lichaam in het bad ruimte innam, bracht hem op de gedachte om het volume van een voorwerp te bepalen, door het water te meten dat uit een vol vat zou loopen, als hij het voorwerp er in bracht. En ook met deze methode van volumemeting kon hij de vraag van Koning Hieron beantwoorden.

Volgens slechts één lezing dus wordt de ontdekking van het beginsel van Archimedes verbonden aan het heurêka, want de laatstgenoemde versie gebruikt geen andere natuurkundige stelling dan het axioma, dat twee lichamen niet gelijktijdig op dezelfde plaats kunnen zijn; een axioma dat ook bij de toepassing van de weging onder water wordt aangenomen.

Aangezien in het volgende beide lezingen vaak moeten genoemd worden, zal ik aan ieder een naam geven; de eerste zal ik noemen de hydrostatische legende, de tweede de legende van Vitruvius, omdat zij vermeld wordt door den romeinschen bouwmeester van dien naam, den tijdgenoot van Keizer Augustus.

II.

Het zij terstond gezegd, van de hydrostatische legende bestaat geen antieke mededeeling. Let wel, ik zeg niet dat er geen antieke gegevens zijn, om welke men Archimedes

[p. 150]

den vader van zijn beginsel moet noemen, doch er bestaat geen antiek verhaal over het vraagstuk van Hieron van Syracuse, waarin Archimedes in het bad zich bevindende zich lichter voelt worden, en uit die gewaarwording zijn beroemde wet put en heurêka roept. Deze omwerking is geheel het produkt van later tijd, waartoe de vroegere eeuwen wel aanleiding hebben gegeven, doch dat zelfs in vele encyclopediën⁺ der vorige eeuw niet genoemd wordt. Ik vermoed, dat onze schoollegende in dien vorm van duitschen oorsprong is, want terwijl ik ze in geen fransch of engelsch werk heb aangetroffen, noemen vele duitschers⁺ haar als het bekende verhaal van Archimedes en de Kroon van Hieron, hoewel dat verhaal in dien vorm geen authentiek gegeven voor zich heeft.

Wat wel op grond van antieke berichten is te gelooven, is dat Archimedes inderdaad het beginsel heeft uitgevonden, al is geen der documenten zoo schoon als men verlangen zou. Er bestaat een klein werkje op zijn naam, waarin het beginsel zoo duidelijk mogelijk wordt uitgesproken, en er bestaat een vrij uitvoerige laat-romeinsche beschrijving van de weging onder water, waarin de methode aan Archimedes wordt toegeschreven en zelfs met het vraagstuk van Hiero in verband gebracht.

Van de tweede legende bestaat evenwel een zeer uitvoerig document, en dit document is aardig genoeg om in zijn geheel gegeven te worden. Het is het verhaal van Vitruvius⁺, en hier is het.

+ blz. 150, reg. 7 v.b. - Bayle (voortgezet door Chantepié) geeft het verhaal van Vitruvius zonder commentaar. - Het woordenboek van Luiscius, Delft, 1724, art. Archimedes, zegt: op een tijd in het bad zijnde, vond hij een middel uit, om het bedrog van een goudsmid, die in het maken vàn een goude kroon voor den koning Hïeron, het goud met ander metaal gemengt had, aan te toonen, waarover hij zoo verblijd was, dat hij in die verrukking, zonder te denken dat hij naakt was, heel haastig na huis liep, uitroepende: ‘gevonden, gevonden.’
De groote Encyclopédie van Diderot geeft geen legende.

+ blz. 150, reg. 11 v.b. Behalve de Duitschers, die later genoemd zullen worden, vermeld ik nog als curiositeit het bekende antiquiteiten-lexicon van Fr. Lübker (1882), dat ten onrechte opgeeft: die Entdeckung, dass ein in eine Flüssigkeit getauchter Körper so viel an seinem Gewicht verliert, als die Schwere eines gleichen Volumens der Flüssigkeit beträgt, welche er beim Baden machte und sogleich zur Entdeckung des betrügerischen Zusatzes anwandte, den ein Arbeiter bei einer von Hïeron bestellten Krone von reinem Golde sich erlaubt hatte, soll ihn sehr glücklich gemacht und zu dem bekannten Ausrufe: εὕρηκα veranlasst haben.
De Encyclopedia Brittannica (deel van 1854) geeft het bericht van Vitruvius. De fransche schrijvers, die ik geconsulteerd heb, geven allen de hydrostatische versie als gissing, niet als document, of wel zij kennen aan de gansche legende geen waarde toe.

+ blz. 150, regel 10 v.o. Vitruvius. De architectura. Lib. IX, cap. III.
Quomodo portio argenti auro mista, in integro opere deprehendi discernique possit.
Archimedis vero cum multa miranda inventa et varia fuerint, ex omnibus etiam infinita solertia id, quod exponam, videtur esse expressum nimium. Hiero enim Syracusis auctus regia potestate, rebus bene gestis, cum auream coronam votivam, Diis immortalibus in quodam fano constituisset ponendam, manupretio (immani pretio) locavit faciendam, et auram ad sacoma appendit redemptori. Is, ad tempus, opus manufactum subtiliter, regi approbavit, et ad sacoma pondus coronae visus est praestitisse. Posteaquam indicium est factum, dempto auro, tantundem argenti in id coronarium opus admixtum esse: indignatus Hiero se contemptum, neque inveniens, qua ratione id furtum deprehenderet, rogavit Archimedem, uti in se sumeret sibi de eo cogitationem. Tunc is, cum haberet ejus rei curam, casu venit in balneum, ibique cum in solium descenderet, animadvertit quantum corporis in eo insideret, tantum aquae extra solium effluere. Itaque cum ejus rei rationem explicationis offendisset, non est moratus, sed exsilivit gaudio motus de solio, et nudus vadens domum versus, significabat clara voce invenisse quod quaereret. Nam currens identidem graece clamabat. Εὕρηκα, εὕρηκα. Tum vero ex eo inventionis ingressu duas dicitur fecisse massas aequo pondere, quo etiam fuerat corona, unam ex auro, alteram ex argento. Cum ita fecisset, vas amplum ad summa labra implevit aqua, in quo demisit argenteam massam. Cujus quanta magnitudo in vase depressa est, tantum aquae effluxit. Ita exempta massa, quanto minus factum fuerat refudit sextario mensus, ut eodem modo, quo prius fuerat, ad labra aequaretur. Ita ex eo invenit, quantum ad certum pondus argenti certa aquae mensura responderet. Cum id expertus esset, tum auream massam similiter pleno vase demisit, et ea exempta, eadem ratione mensura addita, invenit ex aqua non tantum defluxisse, sed tantum minus, quantum minus magno corpore eodem pondere auri massa esset quam argenti. Postea vero repleto vase in eadem aqua ipsa corona demissa, invenit plus aquae defluxisse in corona, quam in aurea eodem pondere massa: et ita ex eo, quod plus defluxerat aquae in corona quam in massa, ratiocinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, et manifestum furtum redemptoris.’
Deze tekst is genomen naar de amsterdamsche uitgave van 1649. Men vindt een bijna volledige vertaling in Heller, Geschichte der Physik, I. 87. Deze vertaling is genomen naar de overzetting van Reber, 1865.

Op welke wijze een hoeveelheid zilver bij goud gemengd kan worden opgespoord en bepaald zonder het voorwerp te beschadigen.

Ofschoon van Archimedes de vindingen verwonderlijk en velen zijn geweest, schijnt toch deze van allen het meest van oneindige schranderheid te getuigen. Want Hiero te Syracuse tot de koninklijke macht geraakt, toen hij voor zijn gelukkige bedrijven een gouden toegezegden krans voor

[p. 151]

de onsterflijke goden in een tempel wilde aanbrengen, droeg de vervaardiging tegen loon op, en woog het goud aan den vervaardiger nauwkeurig voor. Deze leverde het werk op behoorlijken tijd en naar den zin des Konings af, en scheen ook het gewicht van den krans op de juiste waarde gemaakt te hebben. Nadat echter een aanwijzing verstrekt was, dat goud weggenomen en evenveel zilver daarvoor in den krans was gemengd, werd Hieron toornig dat men hem beleedigd had, en niet wetende, hoe hij den diefstal zou aantoonen, vroeg hij Archimedes om er over na te denken. Toen kwam deze, daar hij zich deze zaak had aangetrokken, bij geval in een badhuis, en toen hij daar in de kuip stapte, zag hij in, dat zooveel van zijn lichaam in het vocht kwam, evenveel water uit de kuip vloeide. Toen hij nu de verklaring van deze zaak had gevonden, draalde hij niet, doch door vreugde bewogen, sprong hij uit de kuip, en naakt naar huis schrijdende, gaf hij met luider stemme te kennen, dat hij had gevonden wat hij zocht. Want onder het loopen riep hij herhaaldelijk in het Grieksch: heurêka, heurêka! Van die vondst uitgaande heeft hij, naar men zegt, twee klompen gemaakt van hetzelfde gewicht, waarvan ook de krans was, één blok van goud, het tweede van zilver. Toen hij zoo gedaan had, vulde hij een ruimen beker boordevol, en liet den zilveren klomp er in zinken, en even veel ruimte water vloot uit den beker als er zilver was ingebracht. Daarna werd de klomp er uit genomen, en uit een maat afmetende schonk hij nauwkeurig het ontbrekende water bij, tot de beker weder boordevol was. En op die wijze vond hij, hoeveel ruimte water aan een bepaald gewicht zilver beantwoordde. Toen hij dit had gevonden, bracht hij den gouden klomp evenzoo in den vollen beker, en nam hem er uit, en vulde wederom bij, en bevond dat nu niet evenveel uitgevloeid was, maar zooveel minder, als de klomp goud minder grootte had bij een zelfde gewicht als de klomp zilver. Daarna eindelijk, nadat de beker wederom gevuld was, werd de krans zelve in het water gedompeld, en nu vond hij dat meer water uitstroomde bij den krans, dan bij

[p. 152]

den gouden klomp van hetzelfde gewicht. En zoo, afrekenende naar wat bij den krans meer aan water was weggevloeid dan bij den klomp, toonde hij de menging van het zilver bij het goud aan, en maakte den diefstal van den vervaardiger openbaar.’

Dit verhaal wordt van de ouden ook door Plutarchus (tusschen 50 en 150 na Chr.) aangenomen, daar hij zegt: ‘toen Archimedes baadde, vond hij, naar men zegt, uit het overloopen van het water de bepaling van den krans, en als onder de macht van een ingeving, sprong hij er uit, roepende: “ik heb het gevonden, ik heb het gevonden”, en dit dikwijls roepende liep hij voort.’⁺

+ blz. 152, reg. v.b.
Plutarchus Moralia. 1094. B.C. in het artikel getiteld: dat men niet aangenaam leven kan volgens de leer van Epicurus zegt van Archimedes o.a.: καὶ λουόμενος, ὥς φασιν, ἐκ τῆς ὑπερχυσεως ἐννοήσας τὴν τοῦ στεφάνου μέτρησιν, οἷον ἔκ τινος κατοχῆς ἤ ἐπινοίας ἐξηλατο βοῶν: εὕρηκα, εὕρηκα, καὶ τοῦτο πολλάκις φθεγγόμενος ἐβάδιζεν.

III.

Zoo'n brave man als Vitruvius, zou men zeggen, die het meest uitvoerige en oudste bericht levert, en er zoo'n aardig verhaaltje van maakt, heeft bij het nageslacht recht op dankbaarheid. Men zou het zeggen, doch de waarheid is, dat nooit een historieschrijver minder geloof en waardeering heeft gevonden dan juist deze gemoedelijke romeinsche verteller met zijn verhaal over Archimedes. Want velen hebben hem genoemd en geciteerd zonder hem te lezen, en van hen, die hem hebben nagegaan, is er haast geen, of hij heeft Vitruvius uitgemaakt voor een onnoozelen berichtgever en een slecht waarnemer, dat hij durfde zulk een onnauwkeurige fysische methode aan zulk een genie als Archimedes toe te schrijven. Die veroordeeling is reeds begonnen in de zestiende eeuw, en het sterkst uitgesproken door niemand minder dan Galileï⁺. Want deze, die als jongeling Archimedes tot afgod had, wilde niet gelooven, dat de groote man van Syracuse het vraagstuk van den krans zou hebben opgelost zonder zijn eigen beginsel, en dus ook zonder de weging onder water uit te voeren, en zóó sterk was èn zijn overtuiging op dat punt èn zijn eerbied voor Archimedes, dat hij trachtte de lacune in de antieke mededeelingen op praktische wijze aan te vullen, door een instrument te maken, waarmede men

+ blz. 152, reg. 8 v.o., Galileï geboren in 1564. Il louait la méthode de Pythagore; mais il mettait Archimède audessus de tout et l'appelait son maître. Il avait étudié particulièrement le traité des corps flottants, et dès 1586, au sortir de ses études à Pise, il avait imaginé une balance hydrostatique, qui permît de déterminer les proportions d'un alliage d'or et d'argent avec une rigueur qu'il ne trouvait pas dans le procédé attribué par Vitruve à Archimède. (Opere, XIV. 201). Recherches Historiques sur le principe d'Archimède, door Ch. Thurot. Revue Archéologique, 1869 I. 345. Vergel. Heller, Geschichte der Physik, I. 345. Das Studium der archimedischen Schriften führte ihn zur Erfindung einer hydrostatischen Wage, welche er unter dem Titel ‘La Bilancetta’ beschrieb. Dieselbe erschien jedoch erst nach seinem Tode im Jahre 1655 im Drucke.

[p. 153]

de vraag van Hieron nauwkeurig kon beantwoorden. Galileï heeft inderdaad gedebuteerd met de constructie van de hydrostatische balans.

Het is den grooten hervormer verborgen gebleven, dat hij in dit opzicht voorloopers heeft gehad. Reeds in de oudheid werd de weging onder water uitgevoerd. In een latijnsch leerdicht⁺, dat volgens de deskundigen niet later dan in de vijfde eeuw na Kristus kan gemaakt zijn, wordt het vraagstuk van den krans op hydrostatische wijze⁺ opgelost, en deze oplossing zelfs aan Archimedes zelven toegeschreven. In de middeleeuwen is de hydrostatische methode om een mengsel van goud en zilver te bepalen bekend geweest en in de werkplaatsen van goudsmids uitgevoerd, en in den aanvang der zestiende eeuw heeft meer dan één geleerde de overlevering van Vitruvius in twijfel getrokken⁺, en de waterweging aanbevolen en uitgevoerd. Hierdoor wordt de genialiteit van Galileï niet aangetast. Want hoewel een van zijn voorgangers, Tartalea, een beroemd wiskundige was, schijnt zijn werkzaamheid op hydrostatisch gebied slechts aan zeer enkelen bekend te zijn geweest. Dit neemt niet weg, dat deze Tartalea van vele stoffen door de weging onder water het soortelijk gewicht bepaald heeft.

De groote naam van Galileï zal er wel het meeste toe hebben bijgebracht om de betrouwbaarheid in het inzicht van Vitruvius in discrediet te brengen; want diens verhaal is later door haast niemand gekritiseerd of het is verworpen. Montucla⁺, de geschiedschrijver der wiskunde uit de achttiende eeuw, spreekt over Vitruvius met de grootste minachting, en acht het van zelf sprekend, dat Archimedes de weging onder water heeft uitgevoerd. Volgens dezen geschiedschrijver is in het hydrostatische boekje, dat men aan Archimedes toeschrijft, de hydrostatische methode te vinden, hetgeen niet waar is. Want in dat boekje vindt men de stelling over het gewichtsverlies der lichamen in water, doch geen instrument of methode beschreven. Toch is Montucla zoo zeker van zijn zaak, dat hij van de stelling zegt: ‘het was waarschijnlijk deze stelling, die de groote opgewondenheid van den

+ blz. 153, regel 7 v.b. - Het leerdicht de Ponderibus, zie verder.

+ blz. 153, regel 11 v.b. - Vergel. Thurot, o.c. 1869, I. 112, en verder Berthelot, Annal. de chimie et de physique, Aug. 1891. 475-485.

+ blz. 153, reg. 14 v.b. - Thurot, o.c., 1869 I. blz. 44 noemt behalve Galileï nog Tartalea en Ghetaldus, die Vitruvius berispt hebben. Tartalea zelf heeft van verscheidene stoffen door de weging onder water de densiteit bepaald. Men vindt dit curieuse document als een verhandeling uitgegeven, tegelijk met het werkje de Ponderositate van Jordanus bij Curtius Trojanus te Venetië in 1565. Tartalea vermeldt niet, welke soort van balans hij gebruikte. Wellicht was zijn balans een zoogenaamde romeinsche, bij ons unster geheeten, die het voordeel aanbiedt zonder schalen te kunnen worden aangewend.

+ blz. 153, regel 11 v.o. - Montucla, Histoire des Mathématiques, Nouvelle Edition, Paris, An VII, I. 1. blz. 229 geeft het verhaal van Vitruvius, doch keurt de daarin beschreven methode Archimedes onwaardig, omdat zij niet nauwkeurig genoeg was. Hij voegt er aan toe, dat in het werkje de insidentibus in fluido een betere methode is te vinden, bedoelende de stelling over het beginsel van Archimedes. C'est dans cette méthode, qui fut probablement celle, qui excita les vifs transports de ce géomètre, savoir que tout corps etc. Verder op: telle fut sans doute la manière dont se conduisit Archimède dans cette solution.’

[p. 154]

wiskundige opwekte.’ En verder nog eens: ‘zoo was zonder twijfel de wijze waarop Archimedes bij de oplossing van het vraagstuk te werk ging.’

Voegt men de autoriteit van Montucla bij die van Galileï, dan behoeft men zich niet te verwonderen dat het respect voor Vitruvius zeer gering is geworden. Doch de wijze van uiting van minachting is tweeledig, en ik weet niet, welke manier voor Vitruvius het minst aangenaam is. Men vindt zijn bericht namelijk in fransche, engelsche en italiaansche werken òf zonder commentaar òf met afkeuring vermeld. De meeste duitsche werken echter vermelden Vitruvius, schrijven hem over, en zien toch niet wat er eigenlijk in zijn verhaal te lezen staat. Want zij noemen of citeeren Vitruvius en zeggen er bij dat men in dat verhaal het authentieke bericht heeft over de ontdekking van het beginsel van Archimedes, terwijl de lezer zelf heeft kunnen zien, dat bij Vitruvius geen woord over hydrostatica te vinden is. En aangezien deze beschuldiging tegen de duitsche heeren geen geringe is, wil ik ze hier met de stukken bewijzen.

Er is een handboek over de geschiedenis der Mechanika van Dr. E. Mach van 1883⁺, waarin men het volgende vindt:

‘Ook op het gebied van de statica der vloeistoffen heeft Archimedes den grond gelegd. Van hem is de bekende stelling afkomstig over de neiging tot stijgen (of het gewichtsverlies) van in vloeistoffen gedompelde lichamen, over wier ontdekking Vitruvius “de Architectura”, lib. 9, het volgende mededeelt.’

Hier volgt het verhaal van Vitruvius tot het heurêka. Daarna gaat Dr. Mach verder:

‘De opmerking, die Archimedes tot zijn stelling voerde, was dus deze: dat een in water zinkend lichaam een overeenkomstige hoeveelheid water moet opheffen, juist zoo, alsof het lichaam op de eene, het water op de andere schaal van een balans lag.’

Dr. Mach heeft blijkbaar Vitruvius geciteerd zonder na te gaan, wat er stond.

+ blz. 154, reg. 17 v.o. - De Mechanik ihn ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt von dr. Ernst Mach, Leipzig, Brockhaus, 1883. Auch im Gebiete der Statik der Flüssigkeiten hat Archimedes den Grund gelegt. Von ihm rührt der bekannte Satz über den Auftrieb (oder Gewichtsverlust) der in Flüssigkeiten eingetauchten Körper her, über dessen Auffindung Vitruv ‘De Architectura’, lib. 9. Folgendes berichtet. - Hier het verhaal van Vitr. ingesloten het heurêka. Daarop: Die Bemerkung, welche Archimedes zu diesem Satz führte, war demnach die, dass ein ins Wasser einsinkender Körper ein entsprechendes Wasserquantum heben muss, gerade so, als wenn der Korper auf einer, das Waser auf der andern Schale einer Wage läge.

[p. 155]

In het boek van Poggendorff, Geschichte der Physik, 1879⁺, leest men:

‘Archimedes heeft, naar men zegt, deze stelling (nl. zijn beginsel) ontdekt, toen hij er over nadacht, hoe het zilvergehalte, dat in de kroon van Koning Hiero vermoed werd, zonder beschadiging van dat voorwerp kon ontdekt worden. Koning Hiero van Syrakuse zou namelijk, volgens het verhaal van Vitruvius, een gouden kroon hebben laten maken, die hem van slechter goud scheen te wezen, dan besteld was, en daarom had hij aan Archimedes opgedragen te onderzoeken, of de verdenking gegrond was.’ Ook Poggendorff heeft niet gezien, wat in Vitruvius te lezen stond.

Heller geeft in zijn geschiedenis der natuurkunde het verhaal van Vitruvius bijna in zijn geheel⁺. Hij leidt deze vertelling in met de volgende woorden:

‘Het meest bekend is wel de vertelling, die mededeelt hoe Archimedes het hydrostatische beginsel, dat zijn naam draagt, zou ontdekt hebben; het beginsel namelijk, volgens hetwelk ieder in een vloeistof gedompeld lichaam zooveel aan gewicht verliest, als het verplaatste water bedraagt. Wij vinden deze vertelling in Vitruvius' werk ‘over de Bouwkunst.’

Ook Heller heeft Vitruvius geciteerd zonder hem te lezen.

Ik leid af uit deze verschijnsels, dat in Duitschland even als bij ons, op de lagere school de hydrostatische versie, door Galileï en Montucla als conjectuur gegeven, als de alleen bestaande juiste lezing verteld wordt, want zoo alleen kan ik het verklaren, dat zij, wier werk het is, het publiek goed voor te lichten, en te dien einde zelfs boeken schrijven, Vitruvius laten zeggen, wat hij nooit gezegd heeft. Men moge zich hierover verwonderen, en meer nog, wijl de groote duitsche encyclopedie van Ersch en Gruber⁺ de zaak op een kleinigheid na correct mededeelt, toch blijkt de toestand te wezen gelijk ik zeg, en het is dan ook enkel begrijplijk, dat het lexicon van Brockhaus een verkeerde inlichting geeft.

Bij deze duitsche heeren is Vitruvius dus om zoo te zeggen vermoord, want zij brengen niet eenmaal behoorlijk over

+ blz. 155, reg. 1 v.b. - Poggendorff. Geschichte der Physik, 1879, blz. 13. Poggendorff vermeldt de stelling over het gewichtsverlies in water en zegt daarop: Archimedes soll diesen Satz beim Baden aufgefunden haben, als er darüber nachdachte, wie der in der goldenen Krone des Königs Hiero vermuthete Silbergehalt ohne Beschädigung derselben zu entdecken sei. Es hatte nämlich nach Vitruv's Erzählung der König Hiero von Syrakus sich eine goldene Krone anfertigen lassen, die ihm von geringerem Golde zu sein schien, als bestellt was, und in Folge dessen A. den Auftrag ertheilt zu untersuchen, ob der Verdacht gegrundet sei’.

+ blz. 155, reg. 13 v.b. - Heller, Geschichte der Physik, Stuttgart, 1882. blz. 86: Am verbreitesten ist wohl jene Erzählung, wie Archimedes das hydrostatische Grundgesetz, das seinen Namen trägt, entdeckt haben soll, jenes Gesetz, dem zufolge jeder in Flüssigkeit getauchte Körper von seinem Gewichte so viel verliert, als die von ihm verdrängte Flüssigkeit wiegt. Wir finden diese Erzähling in des Vitruvius' Werk: ‘Ueber die Baukunst.’

+ blz. 155, reg. 6 v.o. - Allgemeine Encyclopedie der Wissenschaften etc. van Esch en Gruber. Deel van 1820. ‘Zu den hydrostatischen Untersuchungen in seinen zwei Büchern περὶ τῶν ὀχουμένων (von den in Wasser schwimmenden Körpern) wurde er durch den bekannten Vorfall veranlasst, da einst Hiero einem Künstler Gold zu einer Krone (moet wezen krans) hatte zuwägen lassen, auch eine Krone von demselben Gewichte erhielt, aber Betrug argwohnte, und die Sache näher untersucht wünschte. Archimedes, lange darüber sinnend fiel endlich auf die Auflösung plötzlich, da er im Bade das Verdrängen des Wassers durch seinen einsinkenden Körper beobachtete, und sprang mit den Worten “gefunden gefunden!” aus dem Bade. Ein Pfund des dichten Goldes kann nicht so viel Wasser verdrängen, als ein Pfund Metall, in welchem unter Gold eine lockere Masse gemischt ist. Indem dies dem Archimedes klar ward, versuchte er wie viel Wasser von einer Masse reines Goldes, so schwer als die Krone, verdrängt wurde. Soviel hatte auch bei Einsenkung der Krone in ein Fass voll Wasser überfliessen müssen. Es floss aber mehr über, und so ward der Betrug entdeckt und verbessert. Die auf diese Veranlassung neu entdeckten hydrostatischen Gesetze machten späterhin eine noch genauere Berechnung nach andrer Methode möglich. Hiero ganz hingerissen van dieser Entdeckung rief aus, er wollte nun an nichts mehr zweifeln was Archimedes sagte.’
Brockhaus, deel van '82, bericht dat Archimedes zijn wet gebruikte om het vraagstuk van de kroon op te lossen, en deze oplossing in het bad vond.

[p. 156]

wat hij zegt; doch evenzeer is hij er slecht afgekomen bij vele anderen die hem kritisch bespreken. Want zij hebben even weinig genade voor hem over als Galilei. Torelli, de beroemde uitgever van Archimedes (1792), noemt Vitruvius zonder omwegen een domkop, die volkspraatjes navertelt, in plaats van de waarheid⁺. Thurot (1869)⁺, de schrijver van een voortreflijk artikel over het beginsel van Archimedes, is evenzeer als Montucla overtuigd, dat Archimedes van de weging onder water heeft gebruik gemaakt om het vraagstuk van den krans op te lossen, en ziet in het verhaal van Vitruvius het bewijs, hoe spoedig het hydrostatische werk van Archimedes onbekend is geworden. Berthelot eindelijk (1891)⁺, hoewel hij zich minder scherp uitlaat, is ook al weer van meening, dat de methode van Vitruvius weinig nauwkeurig is, en geneigd om het heurêka vast te knoopen aan de ontdekking van het hydrostatische beginsel.

+ blz. 156, reg. 3 v.b. - Torelli, Uitgave van Archimedes, Praefatio blz. XXVIII. Vitruvius rem exequitur crassa Minerva; ut potius vulgi opinionem quam veritatem secutus esse videatur.

+ blz. 156, reg. 6 v.b. - Revue Archéologique. 1868 en 1869. De hier bedoelde plaats 1869. I. 43, 44. Cette méthode (van Vitruvius) est évidemment peu rigoureuse..... Il est certain, d'après le traité d'Archimède, qu'il a dû comparer les poids et non les volumes. La tradition rapportée par Vitruve et aussi par Plutarque montre qu'on était peu familier avec les principes établis par Archimède.

+ blz. 156, reg. 12 v.b. - Berthelot, Ann. de Chim. et de Phys. Aug. 1891. blz. 476. ‘Vitruve est le plus ancien auteur connu, qui expose le détail de la solution, tel qu'il la comprend.....
La méthode exposée par Vitruve est correcte en principe;.... mais le procédé physique, qui met cette méthode en pratique est d'une exactitude médiocre, parceque etc. etc.
Wat vroeger: Cependant, il (het vraagstuk van den krans) fut résolu par Archimède et il fournit en quelque sorte la première illustration du principe célèbre sur lequel repose l'Hydrostatique. Ce fut à cette occasion, dit-on, que le géomètre grec prononça le mot si connu et si souvent répété: εὕρηκα, ‘j'ai trouvé!’

IV.

Het ongeloof in de betrouwbaarheid, en de gedeeltelijke vernietiging van Vitruvius' verhaal grondt zich, naar gebleken is, eensdeels op een inwendig argument; op de onnauwkeurigheid van de medegedeelde methode. Men mag dit argument ongetwijfeld laten wegen, al is het niet zoo zwaar, als het dikwijls wordt voorgesteld. Het tweede argument tegen Vitruvius is de bewering, dat men het recht heeft Archimedes de uitvinding van de hydrostatische weging toe te schrijven, en ik zal nu de verdediging van dit argument nagaan, want vanzelfsprekend goed is het geenszins.

Er is inderdaad een belangrijk antiek document, waarin de hydrostatische weging met naam en toenaam, om zoo te zeggen, aan Archimedes gegeven wordt, en aan het vraagstuk van den krans verbonden. Dit document zelf zal men met eenige toelichting in de bijlagen van dit opstel vinden. Hier geef ik alleen dat gedeelte, waarin de methode aan Archimedes wordt toegekend.

Het document is een latijnsch leerdicht over gewichten,⁺

+ blz. 156, reg. 1 v.o. - Carmen de Ponderibus. Uit Metrologicorum Scriptorum Reliquiae. Hultsch, 1866. II.
Vers 125 vlgg.

Argentum fulvo si quis permisceat auro,
quantum id sit quove hoc possis deprendere pacto,
prima Syracusi mens prodidit alta magistri.
regem namque ferunt Siculum quam voverat olim
caelicolum regi ex auro statuisse coronam,
compertoque dehinc furto - nam parte retenta
argenti tantundem opifex immiscuit auro -
orasse ingenium civis, qui mente sagaci
quis modus argenti fulvo latitaret in auro,
repperit illaeso quod dis erat ante dicatum.
quod te, quale siet, paucis, adverte, docebo.
lancibus aequatis, quibus haec perpendere mos est,
argenti atque auri quod edax purgaverit ignis
impones libras, neutra ut praeponderet, hasque
summittes in aquam: quas pura ut ceperit unda,
protinus inclinat pars haec quae sustinet aurum;
densius hoc namque est, simul aëre crassior unda.
at tu siste jugum mediique a cardine centri
intervalla nota, quantum discesserit illinc
quotque notis distet suspenso pondere filum.
fac dragmis distare tribus. Cognoscimus ergo
argenti atque auri discrimina: denique libram
libra tribus dragmis superat, cum mergitur unda.
Sume dehinc aurum cui pars argentea mixta est,
argentique meri par pondus, itemque sub unda
lancibus impositum specta: propensior auri
materies sub aquis fiet, furtumque docebit.
nam si ter senis superabitur altera dragmis
sex solas libras auri dicemus inesse,
argenti reliquum, quia nil in pondere differt
argentum argento, liquidis cum mergitur undis. [Het origineel gaat verder; het wezenlijke der methode is echter in de aangehaalde verzen te vinden.]

De eerste tien verzen zijn reeds in den tekst vertaald. De daaropvolgende zijn ver van duidelijk. Thurot (o.c. 1869, I. 46) die de duisterheid erkent, dwaalt zeker, als hij zegt dat de in het gedicht genoemde balans een zoogenaamde romeinsche balans is. Want deze heeft of geen, of slechts één schaal, en het leerdicht vermeldt er zonder eenige twijfel twee. De balans is er een met twee schalen, terwijl waarschijnlijk een der armen door streepen (notae) in verdeelingen (intervalla) is verdeeld, op verschillende punten waarvan men een gewicht aan een draad bevestigd kon hangen. Het filum suspenso pondere zou dus wezen wat bij de romeinsche balans aequipondium of sacoma genoemd wordt, woorden die de dichter misschien om metrische redenen vermeed.
De soort van balans, die ik beschrijf, was inderdaad in de oudheid bekend. Voorts is cardo medii centri wellicht niets meer dan cardo alleen. Eindelijk is libra niet een bepaalde grootheid, een pond, doch een gewicht, en sistere jugum de balans weder in evenwicht brengen. Met behulp van deze opvattingen vertaal ik aldus:
Op de gelijk wegende schalen, waarmede men zulke dingen gewoonlijk onderzoekt, breng daarop van zilver en van goud (dat door het vratige vuur gereinigd is) gewichten, zoodat geen van beiden zwaarder is, en plaats de balans in water. Zoodra het vocht ze ontvangen heeft, zakt dat deel naar onder, dat het goud draagt; want dit (nl. het goud) is dichter, en tevens is vocht dikker dan lucht. Breng gij dan de balans in evenwicht, en neem waar de verdeelingen van het draaipunt af, hoever het hanggewicht van daar is afgeweken en hoeveel streepen het er van verwijderd is. Laat de verwijdering (in gewicht) drie dragmen bedragen. Wij leeren dus het onderscheid van zilver en goud kennen; het eene gewicht overtreft nu het andere met drie dragmen, als het in het water is gedompeld. Neem vervolgens het goud, waarbij een gedeelte zilver is gemengd, en van zuiver zilver een gelijk gewicht, en beschouw weder wat in het water geplaatst is: de massa van het goud zal in het vocht hellend worden, en den diefstal aantoonen. Want indien de eene (massa) met achttien dragmen (de andere) zal overtreffen, zullen wij zeggen dat slechts zes gewichten (zooals de eerst vergelekenen) van goud aanwezig zijn, en dat het overige van zilver is, omdat zilver van zilver in zwaarte niet verschilt, wanneer het in vocht is gedompeld. -
De rekening komt uit, want als gelijke gewichtshoeveelheden goud en zilver onder water drie dragmen verschillen, moet een hydrostatisch gewichtsverschil van achttien dragmen op zes maal zulke gewichtshoeveelheden goud wijzen, terwijl de overmaten zilver op beide schalen elkander opheffen.
Ik geef deze vertaling als een poging tot verklaring, en houd mij aanbevolen, als iemand een betere heeft.
De mededeeling door Cantor (Gesch. der M. 268) over het gedicht gegeven is niet op een goede vertaling gegrond.
Volgens Cantor toch zouden ter oplossing van het vraagstuk de specifieke gewichten van goud, zilver en het kransmetaal bepaald worden, en daaruit de samenstelling van het laatste gevonden. Dit is echter geenszins in het gedicht te vinden, en de voorstelling van Cantor ontneemt aan de antieke methode het karakteristieke, waardoor zij zich als iets antieks en iets superieurs betoont. Want het antieke en superieure is juist daarin gelegen, dat het abstracte begrip soortelijk gewicht geheel vermeden wordt, en door de twee wegingen onder water een eenvoudige oplossing bereikt, die het gebruik van algebraïsche operatiën bijna geheel overbodig maakt. In eenvoudigheid is de methode van het gedicht zeker boven die van Vitruvius te stellen, en zelfs zou men daaruit gaan gelooven, dat zij van Archimedes zelven afkomstig is, want zeker getuigt het van een uitnemend wiskunstig begrip om een vraagstuk zoo kort en zoo aanschouwlijk op te lossen.

[p. 157]

waarvan de vervaardiger met name niet bekend is, en dat door de geleerden in de 4^e of 5^e eeuw na Christus wordt geplaatst⁺. Het gedicht bespreekt in voor zulk een didaktisch doel verwonderlijk rhythmische hexameters de maten en gewichten; geeft een beschrijving van een areometer, en van twee methoden om de samenstelling van een mengsel van goud en zilver te bepalen, waarvan één is de hydrostatische weging. Dit brok begint op de volgende wijze:

Indien iemand zilver heeft gemengd onder het roode goud, hoeveel het bedraagt en op welke wijze men het kan aantoonen, heeft het eerst de verheven geest van den Syracusaanschen meester getoond. Want de siciliaansche Koning had eens, naar men zegt, een gouden krans aan den Koning der hemelbewoners beloofd te wijden, en toen vervolgens een bedrog zich openbaarde, - want de werkman had een deel goud teruggehouden en evenveel zilver bijgemengd -, toen riep hij het overleg van den onderdaan in, die met scherpen geest, hoeveel zilver in het roode goud verborgen was, opspoorde en ongeschonden liet, wat reeds aan de goden gewijd was.’

Dit is de inleiding tot de beschrijving van de hydrostatische weging, en men ziet, dat deze inleiding zonder voorbehoud Archimedes den vader der methode maakt. De bewijskracht van het document wordt echter verzwakt door den datum van het gedicht. Want het is zes- of zevenhonderd jaar na Archimedes vervaardigd, en waaruit de dichter zijn kennis putte, welke de oude geschriften zijn, waarop hij zich beroept, weet men niet. Mag men dit document laten opwegen tegen het verhaal van Vitruvius, dat zooveel vroeger geschreven werd en door Plutarchus blijkbaar als het goede beschouwd? Dat is een moeilijkheid, die men niet kan oplossen, tenzij men andere redenen heeft om de hydrostatische weging aan Archimedes te schenken.

Er is een andere reden, en die is het voorhanden zijn van een werkje, dat op naam van Archimedes staat⁺, en waarin zoo al niet de weging onder water, dan toch het beroemde beginsel van Archimedes met een duidelijkheid

+ blz. 157, reg. 2 v.b. - Cantor, o.c. 268, geeft het jaar 500 n. Chr. op.

+ blz. 157, reg. 3 v.o. - De insidentibus aquae. Uitgave van Tartalea, Venetie 1565. Boek 1. Stelling 7.
Lichamen zwaarder dan de vloeistof in de vloeistof gebracht, zinken naar beneden, en zullen in de vloeistof zooveel lichter zijn als de zwaarte is van de vloeistof, die even groote afmeting heeft, als de afmeting is van het vaste lichaam.
Prop. VII. Graviora humido demissa in humidum ferrentur deorsum donec descendant, et erunt leviora in humido tantum, quantum habet gravitas humidi habentis tantam molem, quanta est moles solidae magnitudinis.
In de uitgave van Maurolicus, Palermo 1685, is deze tekst wat gezuiverd, en leest men voor het slot: quanta est gravitas humidi molem habentis solidae magnitudini aequalem.

[p. 158]

van bedoeling is aangegeven, waaraan niets ontbreekt. Men zou dus de zaak nader tot oplossing brengen, indien men de authenticiteit van dit werk bewijzen kon.

Wanneer men nu naar argumenten voor de echtheid van het zoo vermaarde boekje over ingedompelde lichamen gaat zoeken, ontmoet men groote bezwaren, en heeft men het ongeluk het eerst het document tegen te komen, dat ik nu vermelden ga, dan kost het zeer veel moeite om zich te overtuigen, dat inderdaad Archimedes recht heeft op het werk dat zijn naam draagt en waarin zijn beginsel voorkomt.

Een van de uitvoerigste berichten namelijk over de persoon en de werken van Archimedes, danken wij aan den bekenden geschiedschrijver en moralist Plutarchus (tusschen 50 en 150 na Chr.). Deze auteur beschrijft het beleg van Syracuse door de Romeinen (215-212 v. Chr.)⁺ met veel bijzonderheden, en verzuimt bij die gelegenheid niet den aard van Archimedes te kenschetsen, en met een oprechte bewondering, die een grondige kennis van zijn werken doet onderstellen.

Archimedes, geeft hij te kennen, de geleerde, wiens vindingrijkheid in het uitdenken van verdedigingswerken de pogingen van Marcellus drie jaren lang verijdelde, had zelf de diepste minachting voor die aanwending van zijn talent. Want er was maar één vak, waaraan een wijsgeer zijn gaven wijden mocht, en dat was de meetkunde, die de zuivere eigenschappen der zuivere lichamen nagaat, ongemengd met het stoflijke. In dat opzicht was Archimedes een volgeling van Plato, die eveneens de studie der zuivere meetkunde had aanbevolen, en daarentegen de toepassing op de constructie van werktuigen verboden. Want men pleegde verraad aan de goddelijke wijsheid, indien men de kennis van de onvergankelijke zuivere vormen ging mengen met de aardsche verganklijke stof. Daarom maakte Archimedes werktuigen, als men hem er om vroeg, doch zijn ernstige studie was de wiskunde, en over dat vak alleen wilde hij schrijven, en als wiskundige alleen wilde hij vermaard zijn, zoodat hij zelfs beval op zijn grafsteen⁺ niets van zijn werk-

+ blz. 158, reg. 15 v.b. - Vita Marcelli. XIV. 305 en XVII. 307.

+ blz. 158, reg. 1 v.o. - Ibid. Slot van XVII. Bericht over den grafsteen bij Cicero. Tusc. Disp. V.

[p. 159]

zaamheden te vermelden, dan de stelling over den inhoud van den bol vergeleken met dien van de omgeschreven cylinder.

Deze uitingen van Plutarchus zijn op het eerste gezicht zeer verrassend. Want niet alleen leeren zij een merkwaardigen karaktertrek van Archimedes, maar zij schijnen licht te verspreiden over dat duisterste aller vraagstukken, over de vraag waarom de Grieksche beschaving het zoo weinig ver heeft gebracht in de natuurstudie⁺. Want veel is over deze vraag gedacht, geschreven en gepolemizeerd, doch hoeveel goede opmerkingen ook gegeven zijn, onvoldoende schijnen zij om te verklaren, waarom die eeuwen lang van onderzoek zoo weinig resultaat hebben geleverd; en onvoldoende vooral om deze vraag te beantwoorden: hoe is het mogelijk dat een verstandelijk hoog ontwikkeld ras blijft dwalen, wanneer eenmaal de goede weg gewezen is, wanneer eenmaal de groote man van het vak is gekomen, die de grondslagen legde, waarop het nageslacht slechts verder behoefde voort te bouwen; de vraag dus: waarom is de grieksche natuurkunde mislukt, niettegenstaande het bestaan van Archimedes?

Deze vraag schijnt aanvankelijk door Plutarchus volledig beantwoord te worden. Archimedes wilde geen leermeester wezen in de studie der stoflijke zaken; hij wilde er niet over leeren, en er niet over schrijven, en zijn vondsten hebben dus voor het nageslacht niet bestaan. En het antwoord van Plutarchus schijnt zoo goed te kloppen met den gang der geschiedenis, dat men geneigd is het grifweg aan te nemen, en op grond van zijn mededeeling te ontkennen het bestaan van een werk, waarin Archimedes zijn hydrostatisch beginsel zou hebben neergelegd.

Evenwel, indien men zooveel geloof slaat aan Plutarchus geraakt men op een dwaalweg. Plutarchus heeft wellicht het boekje van Archimedes over de ingedompelde lichamen niet gekend, de titel en enkele stellingen er uit zijn door eenige antieke schrijvers geciteerd met den naam van Archimedes er bij⁺, en reeds op grond daarvan moet men zich wachten aan Plutarchus blind vertrouwen te schenken.

+ blz. 159, reg. 9 v.b. - Bijv. door Whewell in zijn History of Inductive Science; Lewes in het boek over Aristoteles.
Zeer lezenswaard over deze zaak is ook het meer geciteerde artikel van Thurot, Revue Archéologique, 1868.

+ blz. 159, reg. 3 v.o. - Het werk is geciteerd door Strabo, Vitruvius en door Pappus.

[p. 160]

Bovendien is de mededeeling van Plutarchus niet geheel consequent. Want men zou van hem moeten gelooven, dat Archimedes ook over mechanika niets heeft willen schrijven, terwijl toch in hetzelfde leven van Marcellus gezegd wordt, dat de beroemde stelling over den hefboom door Archimedes in schrift is gebracht⁺. Bovendien is niet vaster, dan de echtheid van Archimedes' geschrift over het evenwicht van vlakke figuren, een werk, waarin de elementaire stellingen over den hefboom komen, en het zwaartepunt van verscheiden vlakke figuren wordt opgespoord.

Wat men van Plutarchus' bericht kan aannemen is dit, dat Archimedes van neiging meer mathematicus was dan werktuigkundige of fysicus, en deze meening is volkomen in overeenstemming met den indruk dien Archimedes' geschriften zelven geven, want de gepassioneerde wiskundige treedt duidelijk te voorschijn. Ook de legende over het graf van den geleerde mag worden aangenomen, want haar echtheid wordt gewaarborgd door de autoriteit van niemand minder dan van Cicero, die den steen met de figuren er op met eigen oogen gezien heeft.⁺

Doch waarom neemt men het boekje over de ingedompelde lichamen zelf niet als bewijs? zou men kunnen vragen. De reden is, dat de wijze waarop dat werk tot ons is gekomen, zou kunnen doen twijfelen aan de echtheid, indien er geen bijzondere gronden waren om het als een authentiek produkt te erkennen.

Van dit werk is namelijk het eerst een latijnsche vertaling uitgegeven in de zestiende eeuw door den wiskundige Tartalea, die wel beweerde dat hij een grieksch origineel had gevolgd⁺, doch onder zware verdenking ligt een vroom bedrog gepleegd, en niets anders gedaan te hebben, dan een door hem gevonden latijnsche vertaling te doen afdrukken. Wel zijn in het begin van deze eeuw enkele fragmenten van het origineel aan den dag gekomen⁺, doch de hoofdbron voor onze kennis van het werk is de vertaling, die Tartalea heeft uitgegeven. Het geluk is nu in de eerste plaats, dat enkele stellingen uit deze vertaling overeenkomen met antieke ci-

+ blz. 160, reg. 4 v.b. - Marcellus. Slot van 305.... ᾽Αρχιμηδης... ἔγραφεν, ὡς τῇ δοθείση δυνάμει τὸ δοθὲν βάρος κινῆσαι δυνατον ὲστι.
Archimedes heeft geschreven dat men met een gegeven kracht een gegeven zwaarte kan bewegen.

+ blz. 160, reg. 19 v.o. - Disputationes Tusculanae. V.

+ blz. 160, reg. 8 v.o. - Vergel. hierover Thurot. Rev. Arch. 1869. I, 285.

+ blz. 160, reg. 5 v.o. - Deze fragmenten zijn uitgegeven door Mai, Classici auctores e Vaticanis codicibus editi, Romae, 1828. Geciteerd bij Thurot, R.A. 1868, II. 400, vlgg.

[p. 161]

taten, en in de tweede plaats blijkt het werk te wezen van een soort talent, dat nauw verwant is aan dat van den schrijver over het evenwicht van vlakke figuren. Het is het werk van een ongemeen groot wiskundige, die hoofdzakelijk eenige hydrostatische stellingen ontwikkelde, om ze te kunnen omwerken tot meetkundige opgaven van de zwaarste soort. Bovendien is ook het mechanische gedeelte van een grooten geest, die de behoefte had om zeer streng te bewijzen, en niet rustte voor hij van zijn redeneeringen een nauwsluitend geheel had gemaakt van onderstellingen, betoogen en gevolgtrekkingen. Zoo de schrijver niet Archimedes zelf was, zou hij iemand moeten wezen van gelijk temperament, gelijke methode, en van het zelfde verbazingwekkende genie, en zulk een tweeden kent men van de oudheid niet.

Het werkje vertoont nog een eigenaardigheid, die ten deele verklaard, waarom het geen stoot aan het vak heeft gegeven⁺. In de richting, waarin het opwekking gaf, in de meetkunstige toepassing, heeft Archimedes de zaak zoover gebracht als om zoo te zeggen maar mogelijk was, en in het fysische gedeelte wordt de grondstelling gemist, die leeft en leven doet, en later bij Stevin en Pascal de hydrostatica een groot vak heeft gemaakt, het beginsel van den hydrostatischen druk. Dit beginsel is aan Archimedes volslagen onbekend geweest; hij stelt wel als grondprincipe op dat de waterdeeltjes langs elkander kunnen bewegen, en dat het minder gedrukte door het meer gedrukte verjaagd wordt, en leidt daaruit de beroemde stelling af over het gewichtsverlies van lichamen onder water, doch dat de drukking op eenig punt uitgeoefend zich in alle richtingen onverzwakt voortplant, dat wist hij niet. Het is alsof hij de voorstelling voortplanting van druk niet gekend heeft⁺, en slechts zijn eigen beginsel wist, zonder een samenhang met andere mechanische eigenschappen van een vloeistof, zoodat men ook bij zijn overigens onwederlegbare bewijzen het gevoel heeft, dat de bewering en het betoog onaantastbaar zijn, en dat men toch de ware fysische oorzaak niet te zien krijgt. Deze omstandigheid pleit noch tegen de authenticiteit van het

+ blz. 161, reg. 15 v.b. - De Insidentibus aquae. (Uitgave van Tartalea) Suppositio prima. Supponatur humidum habens talem naturam, ut partibus ipsius ex aequo jacentibus, et existentibus continuis, expellatur minus pulsa a magis pulsa et unaquaeque autem partium ipsius pellitur humido, quod supra ipsius existente secundum perpendicularem, si humidum sit descendens in aliquo, et ab alio aliquo pressum.
Men onderstelle een vloeistof van dien aard te wezen, dat terwijl haar deelen gelijkelijk en aaneengesloten gelegen zijn, het minder gedrukte door het meer gedrukte weggestooten wordt, en ieder der deelen wordt gedrukt door de vloeistof, die volgens de loodlijn er boven is gelegen, indien de vloeistof daalt en door een ander lichaam gedrukt wordt.

+ blz. 161, reg. 7 v.o. - Vergel. hierover Thurot, R.A. 1868. II, 403 vlgg.

[p. 162]

werk, - want zij verklaart de geringe opwekking die het gegeven heeft -, noch tegen de grootheid van Archimedes, want des te meer valt het genie te bewonderen, dat de fundamenteele eenvoudige voorstelling van een vloeistof wist te vormen, waaruit met eenige korte en onwederlegbare afgeleide stellingen het groote beginsel van het gewichtsverlies voor den dag kwam.

Eerst Stevin heeft den hydrostatischen druk in het vak gebracht⁺; eerst Pascal heeft uit dien druk het gewichtsverlies voor een ingedompelden kubus gedemonstreerd, en eerst de fysici der achttiende eeuw hebben aan het bewijs algemeenheid gegeven.

+ blz. 162, reg. 8 v.b. - Thurot R.A. 1869. I. 14 vlgg.

V.

Archimedes is dus inderdaad de vader van zijn beginsel, doch heeft hij het inderdaad geconcipieerd in het bad? Staat zijn ontdekking in verband met het vraagstuk van den krans?

Ik doe deze vraag, omdat men zich zou kunnen verwonderen daarover, dat Koning Hiero bij Archimedes aanklopte, in plaats naar een goudsmid te gaan. Want een goudsmid is de aangewezen man, zou men zeggen, om de vraag te beantwoorden, hoeveel goud en zilver in een mengsel van die metalen is.

Indien men deze verwondering niet deelt, is men van meening dat de goudsmeden in het jaar 250 voor Chr. niet in staat waren door een toets nauwkeurig de samenstelling van een alliage te bepalen. Want dit blijkt zoowel uit het bericht van Vitruvius als uit andere antieke gegevens, dat het vraagstuk niet was om de samenstelling te bepalen, doch om de samenstelling te bepalen zonder den krans te beschadigen⁺. Ten onrechte maakt daarom Kopp in zijn Geschichte der Chemie uit het verhaal van den krans de gevolgtrekking, dat ten tijde van Archimedes geen methode bestond om de hoeveelheid goud in een mengsel te bepalen⁺; men moet uit dat verhaal veeleer opmaken dat de methode er was, doch Hiero kon die niet gebruiken, want dan zou de krans

+ blz. 162, reg. 8 v.o. - Vergel. den titel van Vitruvius' verhaal met de uitdrukking in opere integro; eveneens wordt in het leerdicht de Ponderibus, vers 134, op het niet beschadigen van het voorwerp gewezen. Evenzoo laat Proklos (5e eeuw na Christus) zich uit, in zijn commentaar op Euklides, uitgave van Bazel, 1532, blz. 18. ‘Hetzelfde heeft, naar men beweert, Hieron ook gezegd, toen hij (Archimedes) zonder den krans te ontleden, het gewicht wist te vinden van ieder der samengemengde stoffen.’
τὁ δὲ αὐτὸ καὶ ῾Ιέρωνά φασιν εἰπεῖν, ἡνίκα τοῦ στεχάνου μὴ λυθένθος... τὴν ὅλκην ἑκάστην ἀνευρεῖν τῶν συγκραθεισῶν ὑλῶν.
In den tekst staat in plaats van ῾Ιέρωνα Τεριόνα, doch waarschijnlijk is dit een drukfout. Vergel. Heiberg, Quaestiones Archimedeae, blz. 22, noot.
Bijzonderen nadruk op deze voorwaarde van het vraagstuk legt ook Berthelot, Ann. de Chim. et de Phys. Aug. '91. 476.

+ blz. 162, reg. 6 v.o. - Kopp. Geschichte der Chemie, 1844, II. 37. - Archimedes wusste nach längerem Sinnen kein anderes Mittel hierüber zu entscheiden als das specifische Gewícht des Kleinods zu bestimmen und mit den Dichtigkeiten des reinen Goldes und Silbers zu vergleichen. Die Möglichkeit der chemischen Zerlegung scheint also damals nicht erkannt gewesen zu sein enz.

[p. 163]

beschadigd wezen, en om de vraag op te lossen zonder het reeds aan de godheid gewijde voorwerp te verminken, daarvoor was Archimedes noodig. Ook kan men reeds uit Vitruvius vermoeden, dat er een toets bestond, want de reden waarom Hiero argwaan kreeg, is wellicht de toets geweest.

Uit Vitruvius' bericht kan men dus reeds vermoeden dat er een scheikundige methode bestond om goud in een mengsel met zilver te bepalen, en ook dat er een gebrekkige toets was. Kopp is dus met zijn besluit zeker overijld geweest, doch gemaklijk is het voor iemand van '92 een conclusie van '44 te kritiseeren en uit Vitruvius goede gissingen op te delven, want de juiste opvattingen over deze zaken zijn eerst in de laatste jaren verworven, dank zij de uitgave der alchemistische grieksche geschriften te Leiden en te Parijs⁺, en dank zij niet minder den onvermoeiden ijver en het doorzicht van Berthelot, die in de laatste jaren gezorgd heeft ook in de geschiedbeschrijving van het vak een meester te zijn.

De zaak is als volgt. De goudsmeden onderscheiden nog heden een droogen en een natten toets. Het gouden voorwerp wordt tegen den harden en wat ruwen zwarten toetssteen aangestreken, zoodat een streep op den steen komt. Bij den droogen toets wordt de kleur van den streep vergeleken met de kleur van een streep, die een alliage van bekende samenstelling op den steen geeft, en de onderzoeker maakt streepen met verschillende alliages, tot hij een lijn krijgt die in kleur met den eersten nagenoeg overeenkomt.

Deze methode, de methode van den droogen toets, is waarschijnlijk zeer oud, en bestond wellicht al vijfhonderd jaar voor Christus⁺. Zij is echter zeer onnauwkeurig, zoodat zij tegenwoordig zelden gebruikt wordt. De natte toets, die voor vele gevallen voldoende is, bedient zich behalve van den toetssteen en eenige proefnaalden (naalden van bekende alliagen) van salpeterzuur en zoutzuur; de streepen door het voorwerp en de proefnaalden op den toetssteen veroorzaakt, worden met zuur bevochtigd, en de goudsmid vergelijkt nu de snelheid waarmede de streepen verdwijnen. De streepen

+ blz. 163, reg. 14 v.b. - Leemans, Papyrus Graeci, IIe deel, 1885. - Berthelot, Introduction à l'étude des anciens chimistes. 1887.

+ blz. 163, reg. 9 v.o. - De antieke toets was de zoogenaamde Lydische steen, naar men zegt, dezelfde soort, als nu nog als toetssteen gebruikt wordt, en wordt genoemd bij Theophrastus de Lapidibus. De metaforische toepassing van het toetsen vindt men reeds bij Herodotus VII. 10.: μὴ λεχθεισέων μὲν γνωμέων ἀντιέων ἀλλήλησι οὐκ ἔστι τὴν ἀμείνω αἱρεόμενον ελέσθαι, ἀλλὰ δεῖ τῇ εἰρημένη χρᾶσθαι, λεχθεισέων δὲ ἔστι, ὥσπερ τὸν χρυσὸν τὸν ἀκήρατον αὐτὸν μὲν ἐπ᾽ ἑωυτόν οὐ διαγινώσκομεν, ἐπεὰν δὲ παρατρίψωμεν ἀλλῷ χρυσῷ διαγινώσκομεν τὸν ἀμείνω.
De uitdrukking παρατρίβειν ἀλλῷ χρυσῷ zal hier moeten worden opgevat, niet als wrijven tegen ander goud, doch wrijven (nl. tegen den steen) naast ander goud, gelijk inderdaad bij het toetsen geschiedt. De zin wordt dus:
Als de meeningen tegen elkander niet gezegd worden, kan men niet de betere kiezen, doch moet tevreden wezen met de eene uitgesprokene; doch zijn beiden gezegd, dan is het mogelijk, evenals wij het onvermengde goud op zich zelf niet herkennen, maar wanneer wij het wrijven (tegen den steen) naast ander goud, dan herkennen wij het.’
Gebruik van den steen beschreven bij Plinius. Hist. Nat. XXXIII. 43, en vermeld in een der waarschijnlijk zeer oude voorschriften van den leidschen papyrus, Leemans, o.c. blz. 221.

[p. 164]

die gelijktijdig verdwijnen hebben ongeveer dezelfde samenstelling, en op die wijze wordt de samenstelling van den onbekenden streep gevonden. Deze natte toets heeft in de oudheid niet bestaan, want salpeterzuur was niet bekend.

Het ontbreken van een nauwkeurigen toets heeft invloed gehad op de antieke munten⁺. In Klein Azië, waar sinds den tijd van Kresus munten geslagen werden, gebruikte men daarvoor een in de natuur gevonden alliage van goud en zilver, electrum geheeten of wit goud. Uit het feit echter, dat dit electrum een sterk afwisselende hoeveelheid zilver bevatte, blijkt dat de toenmalige toets met den lydischen steen zeer onvoldoende was. In den tijd van Alexander den Grooten evenwel zijn munten van standvastiger gehalte in omloop gebracht, en het is waarschijnlijk, dat men toen reeds methoden kende om althans de hoeveelheid goud met redelijke nauwkeurigheid te bepalen. Deze methode is niet de natte toets geweest, omdat de daartoe noodige zuren niet bekend waren, doch wel de zoogenaamde coepellatie en de cementatie, zooals men kan opmaken uit de berichten van Plinius en de recepten, bevat in den leidschen alchemistischen papyrus.⁺

Geen van deze methoden echter voldeden aan de behoefte van Hieron, want zij kunnen niet worden toegepast zonder het onderzochte voorwerp te beschadigen.

De drooge toets dus heeft Hieron doen merken, dat het met den gewijden krans niet in orde was; de coepellatie noch de cementatie kon hij gebruiken; de natte toets was onbekend, en daarom was de hulp van Archimedes zeer op zijn plaats, en hetzij deze werkte met de hydrostatische weging, hetzij volgens de methode door Vitruvius vermeld, niet onverdiend voorzeker was de lofspraak van den koning, die uitriep: ‘nu moet men alles gelooven, wat Archimedes zegt!’⁺

+ blz. 164, reg. 6 v.b. - De heer Berthelot schrijft mij:
‘L'emploi des monnaies d'Electrum ou or blanc, depuis le temps de l'Empire Lydien jusqu' à vers celui d'Alexandre, dans l'Asie Mineure, montre, que l'on ne savait pas bien doser ces deux métaux à l'origine. On distinguait bien l'or ou à peu près à l'aide de la pierre de touche, ou pierre Lydienne, mais le dosage des alliages était incertain, comme le montre l'analyse des monnaies d'Electrum.’
In overeenstemming hiermede schrijft de Encyclopedia Brittannica: The Greeks were familiar with natural alloys of silver and gold named electrum, rough nuggets of which were frequently stamped, and formed the earliest coins of Lydia. The colour of this electrum is pale yellow to yellowish white, and it contains from 20 to 40 per cent of silver.

+ blz. 164 reg. 20 v.b. - De cementatie wordt vermeld bij Plinius en in den Leidschen papyrus. Zie Berthelot, Introduction etc. blz. 13 vlg. Voorts schrijft Berthelot mij nog: Le départ par cémentation était probablement connu au temps d'Archimède, postérieur d'un siècle à la disparition du monnayage d'Electrum’.

+ blz. 164, reg. 4 v.o. - Proklos, commentaar op Euclides. Ed. Basil. blz. 18. ‘En deze verbaasd (nl. Koning Hiero over de wonderen door Archimedes verricht) zeide, dat men van dien dag alles moest gelooven wat Archimedes zeide.’
καταπλαγεὶς δὲ ἐκεῖνος, ἀπὸ ταύτης ἔφη τῆς ἡμέρας περὶ παντὸς Αρχιμἡδει λέγοντι πιστευτέον.

VI.

Indien de lezer zoo goed is geweest mijn mededeelingen te volgen, ik zal hem dank weten, en het geenszins ten

[p. 165]

kwade duiden, zoo hij niet heeft kunnen nalaten af aan toe te lachen. Want ik erken, er is iets komieks in een onderzoek als ik hier voor het publiek heb gebracht, in een onderzoek naar de juiste wijze, waarop een experimenteel idee in de wereld is gekomen en nog al in een tijd, die niet vrijgevig was met talrijke, uitvoerige en bijzonder exacte bescheiden. Van te voren, zal mijn lezer wellicht zeggen, van te voren had men kunnen weten dat de vraag: heeft Archimedes het vraagstuk van den Krans opgelost met de hydrostatische weging of volgens de methode van Vitruvius? - dat zulk een vraag een ijdele vraag is, wijl men te voren had kunnen weten, dat zekerheid in zulk een zaak niet te krijgen is. Want wien is het verborgen, dat de geboorte van een idee gewoonlijk zoo verwikkeld een gebeurtenis is, en een uitvinding zoovele fasen doorloopt, dat alleen vele, zeer uitvoerige en nauwkeurige berichten een betrouwbare voorstelling van den gang der zaken geven kunnen? Waarom, bijvoorbeeld, zal men moeten beslissen tusschen de hydrostatische weging en de meting volgens Vitruvius? Waarom zou het niet kunnen gebeurd wezen, zooals Cantor opmerkt, dat Archimedes eerst heeft gewerkt gelijk Vitruvius mededeelt, doch door het onderzoek van den Krans aan de hydrostatica geraakt zijn beginsel heeft ontdekt, en daarna de weging onder water uitgevoerd? Want de wiskundige zijde van het vraagstuk is in beide methoden van behandeling vrij wel dezelfde, en de heeren die den braven Vitruvius zoo hard vallen, vergeten zoowel dit, evenals zij vaak voorbij zien, dat de methode van Vitruvius theoretisch uitstekend geschikt is, en dat, als hij die verzonnen heeft, hij waarlijk niet zoo'n te versmaden denker is geweest.

Bovendien, - ik erken, dat het wat mal is, zóó in bijzonderheden te gaan, als de onmogelijkheid van een zekere oplossing van te voren vast staat, maar als men nu eenmaal er over denken gaat, dan komt de volgende overweging ook op, - bovendien, Koning Hieron zou zeker veel meer gebaat geweest zijn met een beantwoording van zijn vraag langs den weg der meting, dan met de hydrostatische

[p. 166]

balans. Want ongetwijfeld is de hydrostatische beantwoording, gelijk het gedicht de Ponderibus haar geeft, verrassend eenvoudig en treffend, maar toch berustte zij op een beginsel, dat toen voor het eerst verkondigd werd, en indien Archimedes er al in slaagde den Koning zelf de deugdelijkheid van het beginsel terstond duidelijk te maken, om den bedrieger op een voor ieder evidente wijze van bedrog te overtuigen en aan den kaak te stellen, had de Koning meer aan een bewijsmethode, die niet het oogenbliklijk inzicht in een fysisch nieuwtje veronderstelde, want het is genoeg bekend dat natuurkundige nieuwheden maar niet zoo dadelijk door een ieder aangenomen worden. Beschouwt men de zaak van dezen kant, dan valt de beslissing ongetwijfeld ten voordeele van Vitruvius uit.

Doch men kan duizende van zulke argumenten verzinnen, en geen van allen slaat door, en daarom verheugt het mij, dat de lezer, ook al had ik volgens zijn oordeel terstond tot een ignoramus et ignorabimus moeten besluiten, daarom verheugt het mij, dat hij heeft kunnen zien, hoe bij de behandeling van een onoplosbaar vraagstuk als het hier besprokene, vele andere vraagstukken worden aangeroerd, waarvan de oplossing beter uitvoerbaar is; hij heeft kennis gemaakt met het feit, dat de bij ons gangbare schoollegende over het beginsel van Archimedes geenszins een antieke overlevering is, doch een gansche geschiedenis heeft doorleefd voor zij geworden is, wat zij is; eindelijk hij heeft er zich van kunnen overtuigen, hoe gevaarlijk het wezen kan af te gaan op mededeelingen van handboeken, die te goeder naam en faam bekend staan.

Moet men zich dus geheel onthouden van een eindoordeel over de oplossing van het vraagstuk van den krans?

Nu zooveel duitsche historici zijn moeten worden berispt, ben ik verheugd te kunnen eindigen met de wijze conclusie van den geschiedschrijver der wiskunde Cantor, die gelijk ik reeds aangaf, besluit met de voorzichtige meening: wellicht heeft Archimedes eerst gewerkt volgens de methode door Vitruvius beschreven, en heeft hij later, door dit onderzoek

[p. 167]

aan de hydrostatika gekomen, het groote beginsel gevonden, waaraan zijn naam verbonden is.⁺

+ blz. 166, reg. 3 v.o. - Geschichte der Mathematik I. 280.
Der Gedankengang ist doch wohl der natürlichere, dass dem Archimed zuerst unmittelbare Messung des verdrängten Wassers vorschwebte, und dass erst später, sei es durch ihn selbst, sei es durch Nachfolger, die mittelbare erfunden wurde, nachdem die praktische Unausführbahrkeit erkannt war, das verdrängte Wasser vollständig und genau aufzufangen und zu messen.

1) Zie ook Marcellus. XVII.