Leiding. Jaargang 1

[p. 259]

Het fictieve element in de mathematische symboliek van het natuurwetenschappelijke denken

Het doel van alle progressieve, dat wil zeggen voortschrijdende denken is onder andere te omschrijven als het toevoegen van nieuwe waarden aan reeds bekende. En dit geldt dus wel in het bijzonder voor het wetenschappelijke denken, dat juist door een stap voor stap voorwaarts gaan gekenmerkt wordt. Men kan dit laatste ook meer psychologisch uitdrukken door te zeggen, dat het wetenschappelijke denken er in het bijzonder naar streeft, om aan het totaal der reeds verschenen bewustzijnsinhouden nieuwe toe te voegen. Maar daarbij valt dan dadelijk op te merken, dat die nieuwe bewustzijnsinhouden slechts in eenigszins verwijderde betrekking mogen staan tot die, welke reeds in het bewustzijn verschenen, wil het voortschrijdende karakter van het wetenschappelijke denken voldoende tot uitdrukking komen. Immers dit laatste openbaart zich niet in een formeele systematische verwerking van wetenschappelijk reeds gegeven feiten, doch in het opsporen van nieuwe, die als zoodanig nimmer bewustzijnsinhoud waren; en welke dan als bijzondere eigenschap hebben, het aantal der reeds gegeven feiten niet alleen te verrijken, doch ook een ander licht op hen te werpen, en zelfs, ons in staat te stellen om hen in een hoogere eenheid dan te voren mogelijk was te beschouwen. Tot dit laatste echter moeten zij van een principieel ander karakter dan de reeds gegeven feiten, moeten zij als het ware van een voor het denken hoogere orde zijn.

Tracht men de algemeene zielkundige voorwaarden op te sporen waaronder een denken inderdaad voortschrijdend kan worden genoemd, dan doen zich vele en onverwachte moeilijkheden voor, die bij nader onderzoek de vraag blijken te wettigen, of het denken uit zichzelf al volstaat om een progressie bevredigend te verzekeren, en zoo niet, op welke andere wijze dit dan wel mogelijk is.

Dit laatste aan een beschouwing te onderwerpen is vooral daarom belangrijk, omdat de natuurfilosofische geleerde in het algemeen zich slechts weinig bekommert om de wijsgeerigzielkundige grondslag van zijn zoogenaamde positieve wetenschap. In onze zoozeer psychologisch georienteerde tijd is een

[p. 260]

streven merkbaar om vooral de formeel logische grondslagen van ons intellectueele bestaan aan een nader en grondig onderzoek te onderwerpen.

Bepaalt het denken zich tot een zuiver natuurfilosofisch terrein, dan liggen de bovengenoemde voorwaarden tot progressiviteit blijkbaar dadelijk voor de hand. Immers het ‘wetenschappelijke’ denken stelt zich in deze tot taak, nieuwe waarden te vinden in vormen van zuivere aanschouwing, zoodat zij gemakkelijk als zoodanig zouden zijn te herkennen.

Er doet zich evenwel het geval voor dat dit denken, in de meest uitgebreide beteekenis van het woord, volstrekt niet zoo zuiver aanschouwend is als wel altijd wordt aangenomen. De kenkritiek ontdekte reeds met Immanuel Kant, dat het natuurwetenschappelijke denken zich, op overeenkomstige wijze als het abstracte denken-in-het-bijzonder, op abstractiviteiten baseert. Deze zijn wel is waar rechtstreeks aan vormen van zuivere aanschouwing ontleend, omdat zij daar immers hun ontstaan aan danken, doch daaraan geenszins identiek.

Die afgeleide realiteiten, dus in wezen zuivere abstractiviteiten, zijn als onderwerp van het voortgezette natuurwetenschappelijke denken onder andere te vinden in de mathematische symboliek van het laatste. Symboliek omdat zij de eigenlijke zuivere aanschouwing in de bewustzijnsinhoud slechts behoeven aan te duiden. Mathematische symboliek omdat zij zich volgens de gangbare opvatting leenen voor een eventueel logische, zij het dan formeel logische, verwerking.

De natuurfilosofie streeft in haar mathematische symboliek van het bijzondere naar het algemeene, dat wil zeggen abstraheert in haar deductie van de vormen van zuivere aanschouwing tot de abstractiviteit als ‘afgeleide realiteit’. En die afgeleide realiteiten in nauwere samenhang te zien, daarin vindt zij haar einddoel, dat zij hooger meent te hebben gesteld naarmate zich daartoe meer mogelijkheden voor doen.

Een algemeen en zeer toepasselijk voorbeeld uit de physica moge het bovenstaande nader verduidelijken. Volgens de z.g. wet van Boyle-Mariotte is voor een bepaalde gewichtshoeveelheid van een verdund gas boven de critische temperatuur, mits de temperatuur constant blijft, het aantal volumeeenheden omgekeerd evenredig met het aantal spanning-eenheden. Die spanning-volume relatie is wiskundig voor te stellen in de vergelijking:

[p. 261]

p.v. = /C/

waarin p. het aantal spanningseenheden en v. het aantal volumeeenheden voorstelt dat voor de beschouwde hoeveelheid gas daarmee correspondeert. Terwijl de grootheid C. een constante voorstelt. Ten opzichte van het gas als werkelijkheid valt op bovenstaande vergelijking echter nog wel een en ander aan te merken. Immers verkleint men in werkelijkheid het volume van de beschouwde hoeveelheid gas door het samen te persen, dan zal ten gevolge van zulk een adiabatische samendrukking de temperatuur van het gas stijgen, hetgeen een directen invloed heeft op de spanning. Zal dit laatste in de mathematische symboliek van het verschijnsel tot uitdrukking komen, dan krijgt de toestandsvergelijking van Boyle de vorm van de z.g. wet van Boyle-Gay-Lussac:

p.v. = C.T.

waarin T. het via een relatieve warmteschaal aan het gas te meten aantal absolute temperatuurseenheden Kelvin voorstelt.

Een dieper onderzoek bracht weer aan het licht, dat bovenstaande eenvoudigste toestandsvergelijking van een gas geenszins volkomen in overeenstemming is met de werkelijkheid. En het was Van der Waals Sr. die in zijn kinetische toestandsvergelijking de onderlinge wisselwerking der gasmoleculen en hun uitgebreidheid ten opzichte van hun beweging in aanmerking nam.

Nochtans zal ook dit laatste nog niet de zuivere wiskundig symbolische voorstelling van de ‘werkelijkheid’ van het verschijnsel zijn. Er zijn nog vele factoren te noemen of op te sporen, die van belangrijken invloed op het verschijnsel zouden kunnen blijken te zijn. Zelfs kan de aanduiding ‘belangrijk’ in deze gevoegelijk worden weggelaten. Immers, hoe klein de invloed van het eene natuurverschijnsel op het andere ook zijn moge, het zal in rekening moeten worden gebracht in elk mathematisch symbool daarvan, wil dit een afspiegeling zijn van de ‘werkelijkheid’. Zoo zal elk gas zich niet alleen gedragen overeenkomstig de massa en snelheid van zijn specifieke moleculen, doch ook naar de electronische constructie van zijn atomen. Er zullen zich dissociatieverschijnselen voordoen, er vinden belangrijke intermoleculaire reacties plaats op de grenslaag van het gas en het vat waarin dit zich bevindt, afhankelijk van de chemische affiniteitsverhoudingen tusschen gas en vat. En ten slotte, welke is de invloed van het licht, van het electromagnetisme, van de kosmische stralingen op het verschijnsel?

[p. 262]

Door deze laatsten bijvoorbeeld worden toch per seconde in één c.c. lucht biljoenen atomen vernietigd!

Ook de kinetische toestandsvergelijking voor gassen van Van der Waals is zoo een wiskundige benaderingsformule van de werkelijkheid, die veranderen zal naar mate de physica zich verder ontwikkelt. Zoo is het niet onmogelijk, ja, gezien de opschuiving der moderne physica naar het chemo-electrische probleem zelfs waarschijnlijk, dat in de toekomst de toestandsvergelijking van een werkelijk gas een geheel anderen dan een kinetischen, dat wil zeggen bewegings-mechanischen vorm zal verkrijgen.

Het bovenstaande nu geldt niet alleen voor het gegeven voorbeeld uit de natuurkunde, doch in den breede voor alle afgeleide wetten der natuurwetenschap. Elk natuurverschijnsel ontstaat uit een buiten elke berekening vallend aantal factoren. En dit laatste geldt dan wel in het bijzonder voor het physiologisch gefundeerde, met het leven als biologisch probleem samenhangend verschijnsel.

Hoe verder de wetenschap zich ontwikkelt, des te meer van de een natuurverschijnsel bepalende andere natuurverschijnselen leert zij kennen, dat wil zeggen, des te ingewikkelder wordt het verschijnsel voor de natuurwetenschappelijke geleerde, dat wil zeggen, des te samengestelder wordt de eventueele mathematisch symbolische uitdrukking er van. Het geheele proces kan als een benaderingsproces van de ook voor den wetenschappelijken mensch slechts ongrijpbare ‘realiteit’ worden opgevat. Alle natuurverschijnselen vertoonen een onderlingen samenhang, welker oorzakelijkheid de wetenschap steeds meer op het spoor komt naar mate zij voortschrijdt. Maar die onderlinge samenhang in haar geheel te doorvorschen is haar niet gegeven. Tot dit oordeel kan de wetenschap zelf niet komen, doch zij moet het ontleenen aan die wijsbegeerte, welke zich in het bijzonder in kenkritische richting orienteert.

Bovenstaande gevolgtrekking, die in haar algemeenheid als regel voor de onderlinge samenhang (correlatie) der natuurverschijnselen is aan te duiden, stempelt oogenblikkelijk alle gevonden natuurwetten tot wat Vaihinger in zijn ‘Philosophie des Alsob’ summatorische fictie noemde. Zij zijn geenszins de uit vormen van aanschouwing gecomponeerde beelden van een aanschouwing van hoogere orde, doch tamelijk willekeurige, vaak al naar het toevallige inzicht omgrensde denkbeelden of abstracties.

[p. 263]

Zou een ‘reëel’ verschijnsel in al zijn werkelijkheids-consequenties mathematisch symbolisch worden aanveduid, dan werd het de voorstelling van een onbegrensde hierarchie van begrippen, dat wil zeggen als symboliek zinloos en als mathematische symboliek volkomen onhandelbaar.

Dit is een bedenking van welke in ons verband vooral experimenteel georienteerde, met cijfers werkende psychologen respectievelijk paedagogen zich hebben bewust te worden. Want ook hun methode van onderzoek valt in streng natuurwetenschappelijken zin onder het begrip natuurfilosofie. Zij zijn echter in verband met de aard van hun voorwerpen van onderzoek zeer geneigd de werkelijkheidswaarde van de uitkomsten hunner transcendente becijferingen te overschatten en als de volstrekte werkelijkheid te beschouwen.

Dit alles nu behoeft in beginsel geen bezwaar te zijn om nochtans de gevonden natuurwetten als correlaties in een vergelijking van lettergrootheden uit te drukken. Het feit reeds van onze aprioristische drang tot dit laatste wijst op haar groote waarde. Van logisch praktische zijde beschouwd is in deze tusschen het aanvoelen van de ongrijpbaarheid der volledige werkelijkheid, en het besef, dat aan het denken slechts een meest waarschijnlijke benadering gegeven kan zijn, een compromis noodig. Zoo is het in groote lijnen gesteld met de voortschrijding van het denken in de meest uitgebreide beteekenis van het woord. Het meer volmaakte groeit uit het minder volmaakte. De probleemstellingen worden zuiverder, doch honderd procent zuiver, dat wil zeggen een directe aanduiding van het geheele probleem dat ‘werkelijkheid’ heet, worden zij nimmer, omdat dit buiten de competentie van het denken valt.

Psychologisch is het (mathematische) symbool in deze het associatieve punt van uitgang dat een geheele reeks van zeer verschillende bewustzijnsinhouden tot één conceptie, inductie, vereenigt en mnemisch, dat wil zeen door middel van het geheugen, in stand houdt. In dit opzicht is de summatorische fictie ‘natuurwet’ ook in theoretisch wetenschappelijk opzicht van buitengewoon veel belang.

Geheel anders echter wordt dit, en nu komen wij tot de kern van onze vraagstelling, wanneer een vergelijking van lettergrootheden in symbohek van natuurwetmatigheid wordt opgesteld met de bedoeling, haar mathematische consequenties eveneens streng toe te passen op een nog niet door zuivere aan-

[p. 264]

schouwing achterhaalde werkelijkheid, welke met het onderhavige natuurverschijnsel blijkt samen te hangen. En dit toch is in de moderne wetenschap, in het bijzonder wanneer zij zich op de grens van het wijsgeerige denken bevindt, veelal het geval.

De natuurwetenschappelijke geleerde tracht dan uit zijn symbolen een ‘onbekende’ te substitueeren. Gelukt dit, dan wordt zoo'n onbekende a priori beschouwd als het symbool van een in de zintuigelijke aanschouwing tot nu toe onbekend natuurverschijnsel. Hierbij moet men het begrip natuurverschijnsel niet zoo zeer verstaan als een grof-zintuigelijk, stoffelijk complex, doch als een denkinhoud. Immers elk bewustzijnsproces wordt ons slechts als zoodanig in zijn oorzakelijkheid bewust.

Het behoeft hier waarschijnlijk geen nader betoog, dat de geleerde tot een dusdanige handeling als hier boven genoemd, in wijsgeerigen, kencritischen zin wel allerminst gerechtigd is. Een formeel logische verwerking, (en dit toch is hier in wezen alle mathematisch gemanipuleer), van de wiskundige symbolen der natuurverschijnselen kan hoogstens leiden tot een andere rangschikking van die natuurverschijnselen in het moment van bewustzijn; doch kan daar geenszins nieuwe aan toevoegen. Zeven damsteenen kan men op zeer vele verschillende manieren in een figuur leggen, maar nooit dusdanig, dat men er op een zeker moment acht telt. En zoo is het met de natuurverschijnselen, die reeds bewustzijnsinhoud waren. Hun formeel-logische, wiskundig symbolische verwerking is een in zichzelf gesloten proces. Hieraan kan niets worden toegevoegd, of een ‘waarneming’, hetzij onmiddellijk, hetzij als denkhandeling, moet er aan vooraf zijn gegaan, om zich met de onderhavige natuurverschijnselen als reeds gedane waarnemingen te vereenigen. En dit waarnemingsproces nu is iets, dat buiten de formeele logica van het wiskundige denkproces ligt. Ja, het ligt er zelfs verre boven, want dat wiskundige, formeel logische denkproces is aan nauwkeurige regels gebonden, die het niet te buiten kan gaan; zooals alle figuren die met zeven dobbelsteenen te maken zijn door die zeven dobbelsteenen, en niet meer, worden bepaald.

Gevolg van de toepassing van de logische grondslagen der mathematica op de natuurwetmatige symboliek is dan ook dat, waar deze laatste reeds a priori een fictief karakter draagt,

[p. 265]

de wiskundige verwerking ervan wel tot zeer onwaarschijnlijke resultaten kan voeren.

De moderne natuurfilosoof is er op uit door tot in uiterste consequenties doorgevoerde wiskundige verwerking der natuurverschijnselen de realiteit in nieuwe bewustzijnsinhouden te beleven, dat wil zeggen, progressief in het denken voort te schrijden. Zoo komt de physicus bijvoorbeeld allicht tot de conclusie, dat op grond van het door Gay-Lussac gevonden verschijnsel, dat een gas bij afkoeling van 1^o Celsius 1/273 van zijn volume verliest, het bij een denkbare temperatuur van 273^o Celsius beneden het smeltpunt van ijs, geen ‘volume’ meer bezit. Tegen een dergelijke ruwe, inderdaad slechts met het minimum van twee factoren rekening houdende gevolgtrekking komt onze aan extensiteit gebonden voorstelling van substantiviteit op. Is de physicus zich zulks bewust, dan ontdekt hij ook onmiddellijk het fictieve karakter van zijn wiskundig gemanipuleer met het natuurverschijnsel en zal zijn symbool trachten te verbeteren door nieuwe factoren op te sporen, ten einde de opgetreden ondenkbaarheid te verdrijven. Dit leidt tot een hernieuwd en vernauwkeurigd onderzoek van het verschijnsel, en dienovereenkomstig zal de mathematische symboliek der natuurverschijnselen juist door haar fictieve karakter de progressie der positieve wetenschap buitengewoon bevorderen.

Een goed voorbeeld van dit laatste levert het probleem van de wiskundig tot in het oneindige denkbare deelbaarheid van de substantie, welke langs een opeenvolging van verschillende wegen tot de energetische quantenleer van Planck voerde. Deze physicus namelijk leidde af, dat het wiskundige begrip ‘oneindig klein’ wat de energetische zijde der natuurverschijnselen betreft, in de ‘werkelijkheid’ dier verschijnselen niet opgaat. Aan het begrip energie is het begrip hoeveelheid gebonden, dat in deze ook haar minimum grens heeft. Planck kreeg deze uitkomst niet door mathematische berekeningen alleen, maar door inductie van door hem waargenomen verschijnselen. Hij ontdekte een disharmonie tusschen de mathematica en het quantiteitsbeginsel der stof. Ik zeg hier inplaats van energie ‘stof’, immers in de moderne physica heeft het energie-begrip het stofbegrip geheel in zich opgenomen.

Een ander voorbeeld op een totaal ander gebied levert de ontdekking van de physiologische basis van de logarithmische regel van Weber-Fechner in de psychologie. Deze komt hierop

[p. 266]

neer, dat men bijv. in een kamer waarin tien kaarsen branden, niet kan volstaan met het ontsteken van een elfde kaars, zoo men dezelfde lichtbeleving wil bewerkstelligen als bij het ontsteken van één kaars in een kamer welke geheel donker was. Hiervan is een logarithmische relatie af te leiden. Fechner (en Weber) dachten in dit verschijnsel een aanknoopingspunt te hebben gevonden om de menschelijke psyche mathematisch te onderzoeken en haar eigenschappen in wiskundige formules uit te drukken. Fechner kwam op deze manier tot nimmer vermoede bewustzijnsverhoudingen. Totdat alle illusie verbroken werd door de ontdekking, dat aan het geheele verschijnsel een physiologische factor tot grondslag lag, dat het een eigenschap was van het physico-chemische complex dat wij protoplasma, ‘levende’ stof noemen en in directen zin niets met iets psychisch te maken had.

Niet altijd echter herkent de natuurfilosoof zijn zonderlinge formuleuitkomsten ten slotte als zuivere ficties, en knoopt er dan zonder meer beschouwingen en gevolgtrekkingen aan vast ten opzichte van de werkelijkheid, die hem van de ‘exactheid’ van zijn wetenschap voeren tot de transcendentie van een metaphysica. Een metaphysica van te kleine omvang en te groote inhoud. En dit geldt in onzen zoo zeer op den menschelijken geest gerichten tijd wel in het bijzonder voor de, zooals de term luidt, correlatie (is samenhang) zoekende, proefondervindelijk te werk gaande, opvoedkundig georienteerde psychologen. Het was Prof. Kohnstamm zelf die nog onlangs in ‘Paedagogische Studien’ wees op de correlatieberekening bij de kinderpsychologische tests in verband met de grenzen van haar bruikbaarheid. Tot voorbeeld moge het volgende dienen: Om een inzicht te krijgen in de intellectueele praestaties van proefpersonen van een bepaalde leeftijd, krijgt een aantal van hen dezelfde opgave. Nu wordt bij elke proefpersoon de tijd gemeten welke hij noodig heeft gehad om aan de gestelde opgave te voldoen. Elke proefpersoon zal zoo in het algemeen een specifiek aantal seconden noodig hebben. Het grootste aantal zal globaal daarin met elkaar overeenstemmen. Dit is het ‘gemiddelde’ type. Er zullen er echter zijn, die er veel korter over hebben gedaan. Er zullen er ook zijn, die de opgave nooit tot een goed einde brachten. Toch behoeven de ‘vluggen’ daarom nog niet ‘intelligenter’ te zijn dan de ‘langzamen’. De ‘intelligentie’ ligt veel breeder in onze reactie op levensverhoudingen geworteld dan zoo'n sim-

[p. 267]

pele proef op het eerste gezicht kan doen vermoeden. Het aantal aan elken proefpersoon gemeten seconden werd bij elk bepaald door een onnoemelijk aantal factoren. Het kind dat slecht reageerde kan wel van te voren ziek zijn geweest, of door hard naar het laboratorium loopen een bloedsaandrang naar het hoofd hebben gekregen, of door de sfeer in het laboratorium zijn gedeprimeerd. In het kort, het aantal verschillende oorzaken dat het gedrag van elk kind bepaalde is legio. En dit geldt ook wanneer twee kinderen beide in precies denzelfden tijd de gestelde vragen beantwoordden.

De verkregen seconden zijn als cijfers dus niet alleen wat het aantal eenheden betreft, doch vooral qualitatief hoogst ongelijk. De absolute waarde van de mathematische wanproducten die uit deze ongelijkheden door becijfering worden verkregen zal den lezer dus evenzeer als mij wel een raadsel zijn. De waarde van een dergelijke handeling ligt dan ook minder in de volstrekte waarde van haar resultaten, dan wel in de lust die zij opwekt tot dieper, breeder onderzoek; terwijl zij het object van onderzoek (in dit geval de intelligentie) breeder in het denkleven kan fundeeren. Te waarschuwen tegen de zoo veelvuldig voorkomende overschatting van de bovengeschetste wiskundige verwerking van reacties in het menschelijke levensgedrag is echter de taak van eiken psycholoog, die zich van het gevaar bewust is.

Het meest sprekende voorbeeld uit de algemeene physica is wel de kosmologie van Einstein. Waar de algemeene relativiteits-theorie als product van zuivere kennis onwrikbaar op haar fundamenten staat, is dit met het door Einstein daaruit gecomponeerde beeld van het heelal lang niet het geval, en vooral de kosmologische theorie van De Sitter uit Leiden kan een vergelijking met die van Einstein glansrijk doorstaan.

Ik haal met opzet voortdurend voorbeelden uit de physica aan, om er op te wijzen dat een overschatting van het algebraische cijfer, zooals dat in de correlatierekening der psychologische karakterkunde wordt verwerkt, ook aan de bij uitstek ‘exacte’ wetenschap niet vreemd is.

In dit artikel diep in te gaan op de algemeene relativiteitstheorie en op het verschil tusschen de kosmologieën van Einstein en De Sitter werd niet bedoeld. Maar een korte karakteriseering van in het bijzonder het laatstgenoemde past geheel in het gevolgde betoog.

In de algemeene relativiteitstheorie wordt de tijd quantita-

[p. 268]

tief gemeten in overeenstemming met de ruimte, en daarbij vermenigvuldigd met ✓-1 om hem als ‘vierde’ dimensie in wiskundige gelijkwaardigheid van de drie ruimtedimensies (afmetingen) te kunnen behandelen. Vooral die ✓-1 is in verband met het hier behandelde probleem interessant. Immers de vierkantswortel van -1 is geen symbool van een vorm van zuivere aanschouwing, doch het is een z.g. ‘onbestaanbaar’ getal. Hieruit blijkt reeds bij voorbaat dat de vierdimensionaliteit louter fictie is. Dat zij ook een doelmatige fictie bleek te zijn fundeert zich echter niet in haar bijzondere wiskundige karakter, doch in de intuitie van een geniaal geleerde als Einstein, die haar niet als wiskundig resultaat kreeg, doch langs wiskundigen weg begripmatig invoerde en zoo verwerkte in verband met werkelijkheidsfeiten die door de sterrekunde werden ontdekt. Zooals ik zeide is de fictie, aan het begrip vierdimensionaliteit verbonden, een doelmatige fictie gebleken.

Daardoor kon bijvoorbeeld de zwaartekracht wel niet worden ‘verklaard’, doch in een ander, geheel nieuw en belangwekkend verband worden gebracht met andere bekende kosmische krachtswerkingen. De algemeene relativiteitstheorie kan zoo alle kosmische eigenschappen van een gedeelte van het heelal nauwkeurig bepalen. In de bepaling van de eigenschappen van het heelal als geheel echter schiet de kosmologische theorie van Einstein, die als zoodanig van de algemeene relativiteitstheorie goed moet worden onderscheiden, in zooverre tekort, dat zij tot nu toe geen enkel kosmisch verschijnsel van nog onbekende oorzaak afdoende heeft kunnen verklaren. Dit is echter wel het geval met de relativiteitskosmologie van Prof. De Sitter.

In verband met het hier behandelde probleem is nu het volgende op te merken: Einstein, die de algemeene relati viteits-theorie grondvestte, leidde daarop doorgaand langs wiskundigen weg zijn (fictieve) beeld van het heelal af. De onvruchtbaarheid daarvan deed andere onderzoekers naar nieuwe mogelijkheden zoeken. Zij gingen weer terug naar het (onverklaarde) kosmische verschijnsel om dan, dit in het oog houdend, opnieuw te gaan cijferen. En zoo paste Prof. De Sitter de wiskunde toe op het natuurverschijnsel inplaats van zooals Einstein in zijn kosmologie het natuurverschijnsel op de wiskunde. En zoo hebben de wiskundige eenheden in het geval van de algemeene relativiteitstheorie van Einstein en de kosmologie van De Sitter een gefundeerde symbolische be-

[p. 269]

teekenis, in het geval van Einstein's kosmologie echter een zuiver wiskundig fictieve beteekenis.

Gaat men op deze wijze dieper op het probleem van het fictieve element in de mathematische symboliek van het natuur-wetenschappelijke denken in, dan treedt ten slotte vooral de psychologische, zielkundige zijde ervan op den voorgrond.

De natuurwetenschap stelt een door haar te bestudeeren verschijnsel als probleem, dat wil zeggen, tracht het in logische relatie, in oorzakelijk verband te brengen met andere verschijnselen. Hieraan ligt een spontaan moment ten grondslag, waardoor elk onderdeel der natuurwetenschap in engeren zin, onderwerp van een psychologische, in ieder geval psychologisch-kenkritische beschouwing kan zijn.

Komt nu de mathematische symboliek het denken tehulp, dan loopt het bovengenoemde spontaniteitsproces als denkproces in zekeren zin aan de hand van de axiomatica der formeele wiskunde automatisch af. Het spontane moment wordt daardoor, om het zoo uit te drukken, geëlimineerd, en het geheele proces heet ‘exacte’ wetenschap. Maar zulks dan ten koste van de ‘werkelijkheid’!

Elk langs wiskundigen weg op het spoor gekomen, en dus afgeleid reëel verschijnsel is alzoo gekenmerkt door een fictief karakter. Zal zij geheel met de werkelijkheid in overeenstemming zijn, dan is de hierboven beschouwde betrekking tusschen de spanning en het volume van een gas a priori evenmin in een vergelijking van lettergrootheden uit te drukken als de samenhang tusschen de verschillende reacties van verschillende proefpersonen op eenzelfde opgave; maar in het laatste voorbeeld zijn de moeilijkheden grooter dan in het eerste en moet meer voorzichtigheid in acht worden genomen, omdat bewust op vele en belangrijke factoren zonder meer geen acht wordt geslagen. Elk ‘werkelijk’ natuurverschijnsel doet zich bij nadere beschouwing voor als de wortel van een onbepaalde vergelijking van eindigen, doch onbeperkten graad; zooals ook het oppervlak van een bol eindig is, doch als onbegrensd kan worden opgevat.

Beschouwt men het hier boven behandelde probleem van het fictieve element in de mathematische symboliek van het wetenschappelijke denken dus psychologisch, dan blijkt op een voor de zich op zijn logica voorstaande geleerde ontstellende wijze, dat de oorzaak van zijn wetenschappelijke ficties te

[p. 270]

zoeken is in een ten opzichte van die logica alogische functioneering van zijn denkapparaat. Tusschen de physicochemische ordinaties, welker totaliteit wij als kosmische werkelijkheid aanduiden, en de som der overeenkomstige bewustzijnsinhouden, is zelfs in het gunstigste geval geen aequivalentie, doch slechts een zekere overeenstemming, welke een ‘resonnantie’ tusschen de waarnemer en het waargenomene bewerkstelligt. Tot die kosmische werkelijkheid moet ook het abstracte, zich in zintuigelijkheden demonstreerende gegeven eener proefondervindelijke psychologische wetenschap gerekend worden.

De denkbeelden, de achtereenvolgende beelden der gedachten-film, volgen bij hun in associatie treden een wetmatigheid welke, gezien de voorop te stellen beperktheid van het denken, van de wetmatigheid eener kosmisch-reëele werkelijkheid verschilt. Alhoewel zich in het gunstigste geval binnen die beperktheid van het denken overeenstemming kan vertoonen, (resonnantie). De denkbeelden nu, in wezen substraat van kosmische realiteit, hebben verder als bewustzijnsinhoud een onafhankelijk bestaan, gelijk hun spontane correlativeeringsproces eveneens bestaat buiten het eigenlijke verband der kosmische realiteiten om. Zal, gelijk de natuurwetenschap beoogt, de gedachtenfilm met een kosmisch reëele ordinatie volkomen overeenstemmen, dan behoort aan elk harer onderdeelen ook een kosmische werkelijkheid ten grondslag te liggen. Dit te onderzoeken is de taak van de exacte geleerde. De denkvoorwaarden daartoe te bestudeeren behoort tot het terrein van den kennispsycholoog. Nochtans zal de eerste weer in zooverre psycholoog moeten zijn dat hij de noodzakelijkheid van het genoemde onderzoek leert beseffen.

De geschiedenis der natuurwetenschap heeft het bovenstaande volkomen bevestigd. Zoo groeide de proefondervindelijke zielkunde uit de studie van de individueele factor in de kosmische tijdsbepaling. Het feit dat twee waarnemers voor de culminatie van een ster op dezelfde zuiver loopende tijdmeter op hetzelfde moment nochtans een verschillende tijd aflezen, bracht de astronomen er toe, het levensfunctioneele proces dat aan optische waarnemingen ten grondslag ligt, aan een nader onderzoek te onderwerpen. En zoo vond ook de atomistische psychologie, de zielkunde van hokjes en vakjes die nog ‘ijzeren’ wetten kent, haar wezenlijken grondslag in een ongezegde toepassing van de resultaten der lagere physicochemie.

[p. 271]

Zoo liggen de voorwaarden voor de progressiviteit der exacte wetenschap niet op natuurwetenschappelijk terrein in engeren zin, doch op een zuiver psychologisch gebied.

Hierbij spelen mijns inziens in verband met het gestelde probleem van het fictieve element in de mathematische symboliek van het natuurwetenschappelijke denken de volgende twee factoren een buitengewoon belangrijke rol:

a.	Het natuurwetenschappelijke denken beweegt zich in zijn mathematische symboliek ver buiten de grenzen der sensorieele voorstelbaarheid.
b.	Het behoeft daartoe de aanvulling van een scheppende verbeelding.

De mathematische symbolieke verwerking van in den aanvang zichtbare, tastbare of hoorbare verschijnselen, streeft in haar doelstelling allereerst naar een redelijk oorzakelijkheidsverband. Is dit verkregen, dan wordt in de volgende phase gezocht naar een breedere bevestiging der formeel logisch opgestelde theorie-van-meeste-waarschijnlijkheid in nieuwe, liefst onverwachte werkelijkheidsbelevingen. Van de mathematische handeling, welke in het gunstigste geval tot een nieuwe beschouwingswijze der werkelijkheid leidde, wordt echter ook verwacht dat zij nieuwe werkelijkheidsproblemen ontdekt.

En hier is het dat aan de scheppende verbeelding een buitengewoon belangrijke rol is toebedeeld. Zij vult ongevraagd alle leemten op, komt te hulp waar de ‘afgeleide’ realiteit in verband met de opgestelde theorie een tekort aan feiten heeft gegeven.

Maar hier is het ook dat de verbeelding vrijscheppend is. Dat wil zeggen, haar denkrealiteiten onafhankelijk van de kosmische realiteiten vermag te formeeren. De vrijscheppende verbeelding put haar kracht in een ‘Einstellung’ van het willende individu op wat in de realiteit, in de werkelijkheid van het zintuigelijke, onvolledig is gegeven, en daarom als probleem werd gesteld. Die onvolledigheid eischt een aanvulling, dat probleem eischt een oplossing, welke gegeven kan worden door de activiteit der scheppende verbeelding. Maar het feit dat een aanvulling wordt geëischt bewijst dat het denken daarin boven het formeel-logische der gestelde onvolledigheid uitgaat. Descheppende verbeelding is in dezen zin niet alogisch, doch boven-logisch. Zij construeert een Geheel uit de aan de Rede gegeven logische onvolledigheid. Ook van deze meer psychologische zijde uit beschouwd toont de menschelijke Geest in

[p. 272]

zijn werkzaamheid van verbeelding zich dus als scheppend.

Maar daarmee zijn wij tevens ons punt van uitgang weer genaderd, namelijk dat de mathematische symboliek haar fictieve karakter in het bijzonder kan onthullen, wanneer aan den denkenden mensch werkelijkheidsfeiten ontbreken, terwijl nochtans de wil tot een scheppende werkzaamheid aanwezig is. Dan kan zich de fantasie als die verbeelding van lagere orde openbaren, welke niet harmonisch voortvloeit uit een hooger scheppingsmoment, doch het werktuig is van een ongerichte blinde wil, en wier producten als bewustzijnsinhoud werkelijkheid zijn, doch die werkelijkheid in algemeen kosmischen zin missen.

Ten onrechte, gelijk wij zagen, werkt men de theorie tot een leer uit met behulp van een mathematische symboliek, die a priori in zichzelf bestaan vindt en aan zichzelf overdekten een schijn-werkelijkheid opbouwt, welke voor de werkelijke voortschrijding der positieve wetenschap onvruchtbaar blijft, terwijl zij op deze laatste zelf een hoogst verwarrenden invloed uitoefent.

Hiervan doordrongen te zijn is de plicht van den hedendaagschen natuurfilosoof, die bij de totale ineenstorting van wat de vorige eeuw in fictief wetensbesef had opgebouwd, een onafzienbare hoeveelheid in wilde bontheid dooreengeworpen feiten moet rangschikken in een nieuw, exact oorzakelijkheidsverband. Dit geldt wel in het bijzonder voor den modernen bioloog in de meest uitgebreide beteekenis van het woord. Vooral dan daar waar in verband met de studie van het menschelijke gedrag, psychische en physiologische waarden binnen het kader eener formeele wiskunde in samenhang worden gebracht.

JAC. VAN ESSEN.