Hollands Maandblad. Jaargang 1972 (290-301)

[p. 8]

De werelden van M.C. Escher
Gerrit Krol

Om de werelden van Escher te beschrijven zouden we kunnen beginnen met een dambord. En opdat wij, schrijver dezes en de lezer, elkaar goed verstaan, is het nodig dat, evenals de schrijver, ook de lezer het juist door Meulenhoff uitgegeven boek De werelden van M.C. Escher bij de hand heeft.

Het genoemde dambord is dan afb. 100

Afb. 100

uit dat boek: 100 velden, afwisselend wit en zwart, waarvan de centrale velden nauwelijks meer als velden van een dambord herkend kunnen worden: vier reptielachtige dieren (twee witte en twee zwarte) die elkaar in spiraalvormige bewegingen achterna zitten en wier achterlichamen zelfs de ruimte van de plaat geheel opvullen.

[p. 9]

Afb. 263

Het leven van de vier bewegende centrumvelden deelt zich mee aan de twaalf aangrenzende velden, waarvan elk weer de vorm van een reptiel heeft, maar die we nauwelijks als zodanig zouden hebben kunnen identificeren zonder die vier in het midden. Datzelfde geldt, in nog sterkere mate, voor de twintig velden daar om heen, die eerder lijken op evenzovele identieke propjes papier enz. De wereld op dit dambord wordt, naar de rand toe, steeds abstracter en eenvoudiger. Aan de uiterste rand zijn zelfs de velden niet eens meer van elkaar te onderscheiden: een amorfe mist.

Plaat 100 heeft twee, voor de komende uiteenzetting, fundamentele eigenschappen:

- de 100 velden laten zich verdelen in twee groepen: witte en zwarte velden. Je kunt ook een vel papier opvullen met drie soorten velden: bijv. witte, grijze en zwarte. Hoe het mogelijk is daarmee een ruimte af te beelden, daarvan wordt verderop een beschrijving gegeven.

- de oppervlaktes van de velden zijn, bij benadering, alle even groot.

Je zou, ook, een vierkant kunnen vullen met figuren die identiek zijn, maar naar de rand toe steeds kleiner worden. Zo'n vierkant kan worden ingedeeld in een centrum (4 velden) en een buitenrand (12 velden). Elk van de velden van de buitenrand wordt vervolgens verdeeld in vier gelijke veldjes waarvan twee (en van het hoekveld maar één) grenzen aan het centrum en in het vervolg worden geacht daartoe te behoren en twee (van het hoekveld drie) behoren tot de buitenrand. Alle vierkantjes van de buitenrand worden opnieuw in vier gelijke delen gesplitst enz. Een schets van deze verdeling vinden we in tekening 261. De uitwerking ervan is te zien in de prenten 262 en 263.

[p. 10]

De vier centrale velden in de afbeelding op pag. 9 worden bedekt door vier min of meer in carré zwemmende vissen. Elk van deze vissen grenst, aan de buitenkant, weer aan twee andere vissen. De vissen worden, naar de rand toe, steeds kleiner en steeds talrijker. De buitenste rand is, voor het oog, net zo ongedifferentieerd en grijs als de rand van het in fig. 100 afgebeelde dambord.

Prent 263 echter heeft, anders dan prent 100, de eigenschap dat de grens ervan bepaald wordt door de figuren waaruit hij is samengesteld. M.a.w. de plaats en de vorm van de vissen in het midden bepalen waar de rand van de figuur komt te liggen.

Tot nu toe hebben we ons bemoeid met gravures, waarin de daarin voorkomende grootste creaturen opgesloten zijn in een ring van oneindig veel en oneindig kleine creaturen en daardoor niet groter kunnen zijn dan ze zijn. Het zijn tekensystemen die, zou je kunnen zeggen, naar de kleine en naar de grote kant gesloten zijn (tweezijdig gesloten systemen).

Escher laat, in een aantal voorbeelden (108, 219), zien dat het mogelijk is het zeer kleine in het midden te laten beginnen en de figuren, naar buiten toe, groter en groter te laten worden. In zo'n geval vormt de rand van de tekening niet een limiet; hij is uit te breiden met nog grotere figuren. Zulke systemen zou je eenzijdig gesloten of eenzijdig open systemen kunnen noemen.

Plaat 239 is een voorbeeld van een tweezijdig gesloten systeem waarin elk van de figuren (vissen) een voorganger en een opvolger heeft. ‘Series met doorgaand verkeer,’ aldus Escher, ‘alle vissen van dezelfde serie hebben ook dezelfde kleur en zwemmen elkaar, kop aan staart, achterna langs een cirkelvormige baan van rand tot rand.’ Het zijn reeksen die van oneindig ver als vuurpijlen loodrecht uit de rand opstijgen, in het centrum hun maximale grootte bereiken om dan weer, in een scherpe bocht, terug te gaan naar een oneindige kleinheid.

Min of meer het nauwkeurige tegendeel hiervan is prent 225: op het eerste gezicht niet eens zo'n opvallende, maar bij nadere bestudering een van de boeiendste constructies van Escher en zonder twijfel de apotheose van het verhaal tot dusver.

Hier is het Escher gelukt om, te beginnen vanuit het midden en vanuit het oneindig kleine, de figuren, weer vliegende vissen (roggen?) te laten groeien, ze een grootste stadium te laten doormaken, aan de rand, daarbij van kleur te laten veranderen (wit wordt zwart), waarna ze weer, spiraalsgewijs maar niettemin onverbiddelijk, terug worden gevoerd naar het midden.

Prent 225 (en 266 is een goede variant hierop) is een voorbeeld van een tweezijdig gesloten systeem met de grootste figuren aan de buitenkant. Dat zo'n systeem niet kan worden uitgebreid, komt omdat de structuur ervan bepaald wordt niet door figuren, maar door reeksen van figuren, lijnen dus, voor wie de rand geen rand meer is, maar een punt onderweg. (Zo ook kan bijv. de rand van een rieten mandje worden samengesteld).

Er is die bekende plaat Lucht en water (106), waarin een aantal vissen, door maar dicht genoeg tegen het wateroppervlak te zwemmen, kans ziet in vogels te veranderen. De ruimte tussen de vissen zullen de lichamen van de vogels vormen en, omgekeerd gesproken, de ruimte tussen de vogels vormen de lichamen van de vissen.

Als het proces in 9 stappen wordt uitgevoerd, betekent dit dat 1 + 2 + 3 + 4 + (5 + 5) + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 vissen en 15 vogels aan deze metamorfose hun medewerking moeten verlenen. De 5 + 5 tussen haakjes geplaatste dieren zijn, terwille van de ruimte tussen hen in, nogal schetsmatig weergegeven; het zijn geen echte vogels, noch echte vissen. De meest echte vogel, resp. vis is de eenling aan de boven- resp. onderzijde van de plaat.

In de termen die wij hierboven gebruikten vormen de 30 dieren een aan twee zijden gesloten systeem: de vogel die eenzaam en alleen de bovenste rij uitmaakt, is in dit systeem het laatste exemplaar en hetzelfde geldt voor de vis helemaal onderaan.

We zijn begonnen met het dambord van fig. 100. De afbeelding daarboven, no 99, is een variant van de idee waar we de vorige alinea mee eindigden. We zien een stad waarvan de huizen via kubussen overgaan in een drievoudig samenstel van de armen spreidende chineesjes, van wie er zich tenslotte eentje losmaakt en, rechtop in het donkere heelal, ons toelacht. Fig. 99 is ook een voorbeeld van een systeem met gesloten einden: de door het felle zonlicht beschenen zuiditaliaanse stad aan de ene kant en het vriendelijke, eenzame chineesje aan de andere kant.

Dat wij a. de stad en b. de chinees, gesloten einden van een reeks metamorfoses noemen komt omdat wij de door deze beide figuren voorgestelde en herkenbare werkelijkheid als zodanig ervaren.

Maar fig. 99 laat nog iets zien. Daartoe kunnen we onze aandacht het beste richten

[p. 11]

Afb. 223

op dat gedeelte van de afbeelding dat slechts wit/grijs/zwarte kubussen bevat. De bovenkant van elk van deze kubussen is grijs, de rechterkant zwart en de linkerkant is wit, daar schijnt de zon op.

Waarschijnlijk herinneren we ons nu ook het plaatje uit het Natuurkunde- of Ontspanningsboek van vroeger, waarin ons werd gewezen op de omstandigheid dat een aantal aldus verlichte, gestapelde en getekende kubussen zich ertoe leent op twee, tegengestelde manieren bekeken te worden. Met enige oefening zullen we er in slagen, in fig. 99 boven (grijs) te zien als onder, volume als afwezigheid van volume, voor als achter - en dit alles omgekeerd.

Tot nu toe hebben we elke prent kunnen opvatten als een vlak dat op een technisch volmaakte en nog nimmer geziene wijze opgevuld werd met complementaire figuren. We konden ons deze figuren voorstellen als dieren of andere wezens. Deze wezens konden worden gerangschikt en vormden, aldus, reeksen waaraan de tijd kon worden gemeten en nu blijkt dat het platte vlak ook in staat is ruimte weer te geven. Bovengenoemde wezens hebben opeens een voorkant en een achterkant, en we hebben gezien dat wat voor/achter is, niet meer eenduidig door de afbeelding wordt bepaald, maar door degene die deze afbeelding bekijkt. Wat de een als voorkant ziet, kan de ander zien als achterkant.

Een voorbeeld van dat laatste wordt ons getoond in plaat no 230, de beroemde Belvedère. De sleutel tot de ‘oplossing’ van dit onbestaanbare gebouw ligt op de tegelvloer voor dit gebouw, in de vorm van een stuk papier waarop een doorzichtige kubus is afgebeeld. Het is een bekend probleem: welke ribben lopen ‘voorlangs’ en welke

[p. 12]

‘achterlangs’? Zolang de ribben zijn weergegeven door rechte, dunne lijnen, kun je je die kubus voorstellen zoals je wilt: we richten onze aandacht op de met cirkeltjes omgeven kruispunten.

Ervaring heeft ons geleerd dat, als we ons voorstellen dat in het linkse cirkeltje de horizontale lijn voorlangs loopt, dat dan in het andere cirkeltje de vertikale lijn voorlangs loopt en andersom: als in het linkse cirkeltje de vertikale lijn voorlangs loopt, dan loopt in het rechtse cirkeltje de horizontale lijn voorlangs. Zoals gezegd: de ervaring heeft ons dat geleerd. Beter kunnen we zeggen: de ervaring heeft ons afgeleerd een andere voorstelling te maken.

Ervaring is maar een onderdeel van verbeelding. Verbeelding stelt ons in staat ons voor te stellen dat in het linkse cirkeltje de horizontale lijn voorlangs loopt en in het rechtse cirkeltje óok. Het resultaat van een dergelijke, ongewone, maar helemaal niet onmogelijke gedachtengang is te zien in de handen van de jongen op het bankje (nog steeds prent 230): ‘De knaap heeft zulk een kubusachtige absurditeit in zijn handen. Hij bekijkt haar peinzend en met recht ongelovig. Is hij zich er van bewust, dat het hele bouwwerk achter zijn rug een toonbeeld is van dezelfde ongerijmdheid?’ (Escher).

Enkele van Eschers meest bekende ruimtelijke onmogelijkheden (zoals 243, Klimmen en dalen en 258, Waterval) vinden hun mogelijkheid in het getekende snijpunt van twee lijnen die in de ruimte die zij opspannen geen enkel punt met elkaar gemeen kunnen hebben. Een gaaf voorbeeld hiervan is de driehoek die men, meen ik, de driehoek van Penrose noemt:



Het is een merkwaardige paradox: lijnen die in éen vlak liggen (dat van de tekening) kunnen elkaar niet snijden. Is dat niet het geheim van alles wat ons op papier getoond wordt?

Een situatie waar niemand bezwaar zou maken tegen een paar elkaar toevallig snijdende lijnen is voor Escher een uitdaging er voor te zorgen dat dienaangaande elk misverstand uitgesloten is: onder no 91 staat geboekt een houtsnede genaamd Vrachtschip. Wat we zien is het tuigage van dit schip: ± 50 lijnen waarvan, duidelijker dan op een foto, geen twee lijnen een punt met elkaar gemeen hebben.

Afb. 91