Hollands Weekblad. Jaargang 4

[p. 44]

Na zoveel droevig ongeval zocht hij zijn troost bij 't priemgetal
Tj. S. Visser

(Het ongeval was niet bar: één week influenza).

Ons vierledig gezin had op een ogenblik de leeftijden 61, 59, en 31, 29. Hetgeen U mogelijk pienter doet opmerken: ‘typisch voor de boeken-intelligentsia: niet vroeg getrouwd; en twee kinderen, met een tussenruimte van twee jaar.’ - Maar, mijnheer, daar gaat het helemaal niet om. Merk toch op dat de vier getallen alle ondeelbaar, dat is priem, zijn. En dat ze uiteenvallen in twee priemparen elk met een verschil van 2. De priemgetallen nu, en dergelijke priemparen ook, zijn sinds de Hellenen studieobject voor wiskundige en niet wiskundige geesten. De Orient zou daar niet zo licht op gekomen zijn; zowel oud-Babel als veel later de wereld der Islaam hielden er van alle nuttige rekentechniek te bevorderen. De Hellenen echter, onder invloed van de niet geheel onbedenkelijke Plato, vonden in het algemeen alle rekenwerk ternauwernood een geschikte bezigheid voor vrijgeborenen; zij noemden het logistiek - een woord dat in moderne oorlogvoering welbekend is (het zorgen dat alles op tijd is waar het wezen moet, betekent het thans.) De getallenleer alleen, geschikt naar men meende om dieper door te helpen dringen in de wereld der ideeën en in het werk van de schepping, de getallenleer alleen verdiende de naam arithmetica. Nog heden ten dage is de theorie der getallen de wiskunde-tak welke het minste uitzicht biedt op praktische toepassing. Doch dat kan veranderen. Ze is tevens in haar geheel bezien de moeilijkste tak. Voor haar beoefenaars, deels amateurs deels vooraanstaande mathematici, is ze hoogst fascinerend. Thomas Mann geeft daarvan een vrij aardig idee in zijn roman Koenigliche Hoheit, in de figuur van het amerikaanse meisje.

De mooiste vondst der Hellenen op het terrein der ondeelbare of priemgetallen is wel de stelling, dat hun rij onbegrensd is, dus dat na ieder priemgetal een groter volgt. Het bewijs is listig als de slang, oprecht als de duif. Stel dat uw neus niet langer is dan de kennis: er zijn de priemgetallen 2, 3, 5, 7. Is er ook een groter? Schrijf om dit te onderzoeken op 7! plus 1. Dat wil zeggen: het produkt van de getallen 1 tot en met 7; en

[p. 45]

de uitkomst nog verhogen met 1. Dat stelt dus een geheel getal voor. Uitrekenen is nutteloos.

(Merk wel op dat het niet deelbaar is door een der getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7 want er blijft steeds een rest, die 1.)

Dat getal nu zal zijn òf deelbaar. Is het ondeelbaar zo zijn we klaar: een priemgetal groter dan 7 is gevonden. Is het deelbaar, dan is het ontbindbaar in factoren. Die factoren kunnen niet gevonden worden bij de getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7 zoals we al constateerden.

Derhalve: het getal, indien deelbaar, is ontbindbaar in factoren maar die alle groter zijn dan 7. Er zijn dus priemgetallen groter dan 7. Ge kunt dit bewijs vinden in het befaamdste ‘meetkunde’ boek aller tijden, in De elementen van Euclides! Dit uitroepteken is weer een gewoon uitroepteken.

Tussen elk geheel getal en zijn dubbele ligt minstens 1 priemgetal. Is dat geen fraaie stelling? En dan: elk even getal is de som van twee priemgetallen. Maar dit laatste is niet bewezen hoewel de ‘stelling’ toch al twee eeuwen oud is, datérend uit de pruikentijd. Er is evenwel ook nog nooit een geval gevonden dat de stelling logenstraft. Op de weg naar de bewijsvoering zijn vermoedelijk de Russen het verst gevorderd (Vinogradov, 1937).

We kunnen alle gehele getallen in groepjes van vier samenvoegen: tot en met vier, tot en met acht, tot en met twaalf enz. Het leert ons dat elk geheel getal is:

of een viervoud
of een viervoud plus 1
of een viervoud plus 2
of een viervoud plus 3

Van deze 4 vormen zijn de eerste en derde kennelijk even, dus niet priem. De priemgetallen kunnen dus enkel behoren tot de tweede of vierde groep: een viervoud plus 1 of een viervoud plus 3.

Welnu, de priemgetallen van de vorm: viervoud plus 1, kunnen steeds geschreven als de som van twee kwadraten. Zo is 29 gelijk aan het kwadraat van vijf plus het kwadraat van twee. De stelling stamt van de grootste ‘amateur’ der wiskunde: de raadsheer Fermat uit Toulouse, ca 1640. Hoe die, bij gezin en ambt, tijd had om tot de befaamdste mathematici te gaan behoren? Hij verdeed geen tijd aan het gezelschapsleven, noch ook aan universitaire rompslomp en decorum.

Mijn kort verhaal gaat nu wat wonderdadig worden. Anderhalve eeuw na Fermat komt er een andere magister der getaltheorie, die nog voor zijn burgerlijke meerderjarigheid een oorspronkelijk meesterwerk schrijft, in fraai latijn: Disquisitiones Arithmeticae. Het joch heette Gausz, een klank zelfs bij niet-wiskundigen bekend geworden. Het boek bevatte ook een vermoeden, zonder bewijs. Dat vermoeden ga ik U uitleggen. het betreft de vraag naar het aantal priemgetallen kleiner dan 1.000.000; voor dit getal mag U elk ander invullen. Als inleiding onder 100 zijn er 25 priemgetallen, te beginnen met 2.

Het vermoeden van de jongeman hield het volgende in. Teken een horizontale lijn van 1.000.000 cm. Plaats nu allemaal verticaaltjes: na 1 cm ter lengte van 1 cm; na 2 cm ter lengte van 1/2 cm; na 3 cm ter lengte van 1/3 cm. Enz. Verbindt de toppen van de

[p. 46]

verticaaltjes door een vloeiende lijn, gebogen. Bezie nu twee oppervlakken: dat van de rechthoek met basis van punt 1 tot punt 1.000.000, en met hoogte 1; en dat van de dropsliert begrensd door diezelfde basis, het eerste verticaaltje, het laatste verticaaltje en de gebogen lijn. De verhouding tussen beide oppervlakken, met hogere wiskunde doodeenvoudig te bepalen, is gelijk aan het aantal priemgetallen onder 1.000.000. Bij dit alles mag 1.000.000 door elk ander getal worden vervangen.

Deze verrassende dropsliert-regel is niet nauwkeurig. Maar wel zeer nauwkeurig. Vergeef de paradox die niet van mij afkomstig is maar van ons merkwaardig taaleigen. De onnauwkeurigheid is groter naarmate men de bovengrens hoger neemt, b.v. niet het getal 1 miljoen kiest doch het getal 1 triljoen. Evenwel: in relatieve zin wordt de fout steeds geringer, %-gewijs dus. Het aantal priemgetallen onder 1.000.000 wordt door de regel aangegeven met een fout van ongeveer 1‰. Zeggen we: onder de 100, dan bedraagt de relatieve fout nog 12%. Als gooi toch nog niet gek.

Hoe komt men op het idee, en dan als 18-jarige. Toch heeft Gausz zelf zijn vermoeden nooit bewezen, voorzover wij weten. Een eeuw later werd een bewijs gevonden, met behulp van hogere wiskunde. In onze dagen, ca. 1937, gaf een Hongaar,

[p. 47]

Erdöss, een ‘elementair’ bewijs, dat echter 50 (kleine) blz. beslaat. Misschien is Emile Borel hem net iets voor geweest.

Begint de rij der priemgetallen echt met 2 en niet met 1? Ja, zo is het werkelijk doch zoals zoveel in de wiskunde, het is zo bij wijze van afspraak: 1 zal noch priem noch niet priem heten. De afspraak is aldus gemaakt omdat dan verscheidene stellingen betreffende deelbaarheid en ondeelbaarheid een eenvoudiger formulering krijgen.

Tenslotte: er zijn priemgetallen die naar een pater heten. Natuurlijk niet zo maar een pater, een aparte pater, pater Mersenne, overleden tegelijk met onze Tachtigjarige oorlog doch twintig jaar jonger dan deze. Een belangrijk geleerde, niet in de eerste plaats om eigen werk, wel om zijn formidabele briefwisseling met de geleerden van Europa. ‘Informer Mersenne d'une découverte, c'était la publier par l'Europe entière’ schreef een historicus van onze tijd.

Mersenne's persoon was aldus wat heden de internationale geleerde tijdschriften zijn. Op een schildering in de Sorbonne, stadsbeeld met vier wetenschapslui, een musketier en een jong meisje, is de physionomie van Mersenne te zien. Welnu, de priemgetallen van M. zijn dezulke die 1 minder zijn dan een macht van 2. Zoals 31, of 127. Ja,

[p. 48]

en dit brengt ons op een wel erg Helleense erfenis, in de bedenkelijke zin van het woord Helleens dan; erfenis welke ternauwernood moderne aandacht verdient: het volkomen getal! De naam is een pythagoreïsche flauwiteit(die ook de even getallen ‘vrouwelijk’ noemde.) Bedoeld is een getal dat gelijk is aan de som van zijn delers. Bijvoorbeeld 6, zijnde gelijk aan 1 plus 2 plus 3.

Of 496, als U het zelf wilt narekenen. Welnu, elk volkomen getal is noodwendig tevens gelijk aan de som der natuurlijke getallen van 1 tot en met M, waarin M een of ander



Mersenne-priemgetal is. Zo is het genoemde 496 niet enkel de som van zijn delers doch tevens de som van de getallen 1 tot en met het mersenniaanse 31.

Dit paterse praatje zij het slot van dit opstel, vrucht van post-influenzale bed-rust. Het is besmettelijk; het kan U het getallenenthousiasme aandoen.

Emile Borel, Les nombres premiers (Paris, 1958).

R.D. Carmichael (niet onze Carmiggelt): Theory of numbers, New York, 1914).

F. Schuh, Elementaire theoretische rekenkunde, deel 1 (Groningen).

P. Wijdenes, Beginselen van de getallenleer, (Groningen, 1949).