De Gids. Jaargang 153

[p. 1015]

H.B.G. Casimir
Vijf maal vijf

Wie zich verdiept in het werk van Harry Mulisch vindt vele verrassende aspecten. Een daarvan is zijn speelse belangstelling voor getallen en voor geometrische figuren, in het bijzonder voor de regelmatige vijfhoek en de daarbij behorende hoek van 108 graden. Een (vijf maal vijf)-jarig jubileum moet voor hem dus wel een bijzondere betekenis hebben en in plaats van hem eenvoudigweg de vijf te drukken wil ik hem gelukwensen door dit korte opstelletje over vijf gevallen waarbij het getal vijf een rol speelt aan hem op te dragen.

1. Het getal vijf in de muziek

We kunnen wat de muziek betreft heel systematisch te werk gaan en drie hoofdrollen van het getal vijf onderscheiden.

a. Wat de maat betreft hebben we in de klassieke muziek meestal met tweekwarts, driekwarts, vierkwarts en zesachtste maat te maken en slechts sporadisch - o.a. bij Tsjaikowski - komen we een vijfvoudig metrum tegen. Maar het is grappig dat in het recente Antillennummer van De Gids R.A. Rojer vrij uitvoerig ingaat op de in de Curaçaose dansmuziek heel belangrijke cinquillo, die weliswaar gewoonlijk wordt genoteerd als een tweekwartsmaat met een triool gevolgd door twee achtsten, maar wordt gespeeld als vijf gelijkwaardige noten.

b. Pentatonisch noemt men melodieën die slechts vijf noten uit de ‘gewone’ diatonische toonladder gebruiken. Zo'n melodie kan op de piano worden gespeeld door alleen zwarte toetsen aan te slaan. In de volksmuziek van vele landen, bij voorbeeld van Schotland en Ierland, komen pentatonische melodieën veel voor en ook in de muziek van componisten die zich door volksmuziek lieten inspireren, zoals Dvorak.

c. De grote terts. De trillingsgetallen van twee noten die een grote terts uiteenliggen verhouden zich voor een ‘zuivere’ harmonische terts als vijf staat tot vier. Verkort men de lengte van de C-snaar van altviool of violoncel met een factor vijf zonder de spanning van de snaar te veranderen (men kan hetzelfde bereiken door een flageolet te spelen), dan resulteert een E die een grote terts boven de twee oktaven boven de grondtoon liggende C ligt. Ook op sommige blaasinstrumenten kan men deze vijfde boventoon doen klinken.

In het voorbijgaan wil ik er nog even aan herinneren dat men bijna dezelfde toonhoogte bereikt wanneer men uitgaande van dezelfde C vier maal een zuivere quint - frequentieverhouding 3/2 - omhoog gaat. Men vindt dan de zogenaamde pythagoreïsche terts, met trillingsgetalverhouding 81/64, dat is 1,2656. Bij de ‘gelijkzwevend’ gestemde piano ligt de terts tussen de harmonische en de pythagoreïsche in: frequentieverhouding 1,2599. Onze westerse muziek wordt mogelijk door dit compromis.

2. Het getal vijf in de bloementuin

Wie met enige aandacht naar de bloemen in een bloementuin kijkt, zal vinden dat er heel wat soorten zijn waarbij de bloem vijf kroonbladeren heeft. Flox, petunia, tabak zijn eenvoudige voorbeelden. Vaak zijn deze bloem-

[p. 1016]

bladen onderling precies gelijk en zijn ze ook volkomen regelmatig geplaatst. We kunnen dan zeggen dat de bloem een vijfvoudige symmetrieas heeft. Bij de appel heeft niet alleen de bloem, maar ook de vrucht deze symmetrie. Snijdt men een appel doormidden loodrecht op de verbindingslijn van steeltje en kelkblaadjes, dan ziet men een ster met vijf punten. Bij een sterappel ziet men zelfs een rode ster - of misschien moet ik liever zeggen zag men, want sterappeltjes zijn er haast niet meer.

3. Pythagoreïsche tripletten

Nu wil ik het hebben over enkele aspecten van het getal vijf in de wiskunde. Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor een rechthoekige driehoek dat een vierkant met de hypothenusa als zijde een even groot oppervlak heeft als de twee vierkanten met een van de rechthoekzijden als zijde samen. Dit is misschien wel de meest bekende en geliefde stelling uit de wiskunde. Het is ‘a cheerful fact about the square of the hypothenuse’ zoals de Major-General in Gilbert and Sullivans The Pirates of Penzance vertelt. Men kan het ook in een formule uitdrukken. Is c de lengte van de hypothenusa en zijn a en b de lengten van de twee rechthoekzijden alle drie gemeten in dezelfde maar overigens willekeurige eenheid, dan wordt de stelling uitgedrukt door de formule:

a² + b² = c²

Wanneer a, b en c gehele getallen zijn, dan zegt men dat ze een pythagoreïsch triplet vormen. Het kleinste triplet is 5, 4 en 3. We kunnen dus vaststellen dat 25 het kleinste kwadraat van een geheel getal is dat gelijk is aan de som van twee kwadraten van gehele getallen. Het lijkt me een uitstekende reden om er een jubileumjaar van te maken. De associatie van 25 met zilver is daarentegen voor de natuurkundige of scheikundige wat moeilijk te slikken. Ieder chemisch element heeft een (atoom)nummer en 25 is mangaan, een nuttig, maar weinig tot de verbeelding sprekend element.

4. De vijfhoek (pentagon) en het pentagram

De regelmatige vijfhoek - regelmatig wil zeggen dat alle vijf zijden en alle vijf hoeken onderling gelijk zijn - heeft de fraaie eigenschap dat je hem met passer en liniaal exact kunt construeren. Exact moet er wel bij, want benaderingen zijn voor elke veelhoek mogelijk en voor praktische toepassingen is de eigenschap niet van belang. Men kan even goed een zevenhoekig als een vijfhoekig tafelblad maken, hoewel een zevenhoek niet exact met passer en liniaal kan worden geconstrueerd.

Wat teleurstellend is daarentegen dat men met regelmatige vijfhoeken geen vlak kan vullen, wat met driehoeken, vierkanten en zeshoeken wèl mogelijk is.

Trekt men in een vijfhoek de diagonalen en laat de zijden weg, dan ontstaat een mooie ster, het pentagram, dat in één keer zonder pen of potlood van het papier te nemen getekend kan worden. Daarin zijn hoeken van 36, 72 en 108 graden te zien. Het gold in vroeger tijden als magisch symbool, in het bijzonder in de medicijnen, en het was een herkenningsteken voor de Pythagoreërs. Er moet daarover een uitvoerige literatuur bestaan.

5. De vijf regelmatige veelvlakken

Een regelmatig veelvlak is een lichaam, begrensd door een aantal onderling gelijke regelmatige veelhoeken. Er zijn, zoals de oude Grieken al wisten, vijf van dergelijke veelvlakken. Ik som ze even op.

Het viervlak (tetraeder), begrensd door vier driehoeken. In elk van de vier hoekpunten komen drie driehoeken samen.

Het zesvlak (kubus), begrensd door zes vierkanten. In elk van de acht hoekpunten komen drie vierkanten samen.

Het achtvlak (octaeder), begrensd door acht driehoeken. In elk van de zes hoekpunten komen vier driehoeken samen.

Het twintigvlak (ikosaeder), begrensd door twintig driehoeken. In elk van de twaalf hoek-

[p. 1017]

punten komen vijf driehoeken samen.

En nu het laatste en daar is het mij om te doen, het twaalfvlak (pentagondodekaeder) dat wordt begrensd door twaalf vijfhoeken en waarbij in elk van de twintig hoekpunten drie vijfhoeken samenkomen.

Johannes Kepler heeft in zijn Mysterium cosmographicum betoogd dat de afmetingen van de planetenbanen via nogal ingewikkelde beschouwingen kunnen worden afgeleid uit meetkundige eigenschappen van deze ‘volmaakte lichamen’. Voor ons is dat een soort van nutteloze getallenmystiek, terwijl we zijn wetten over de elliptische planetenbanen nog steeds als een voortreffelijke benadering beschouwen. Kepler zelf dacht daar heel anders over.

Daarmee ben ik aan het eind van mijn vijf maal vijf gekomen. Natuurlijk zou er over al deze onderwerpen veel meer te zeggen zijn en ik ben bang dat mijn uiteenzettingen veel vragen zullen opwerpen die onbeantwoord blijven. Een vraag zal wellicht bij veel lezers opkomen: waarom spreek ik wel over de vijfvoudige symmetrie van bloemen en vruchten en niet over de vijfvoudige symmetrie van kristallen? Het antwoord is eenvoudig: omdat die niet bestaat. Dat is een experimenteel feit, maar het kan ook wiskundig worden bewezen op grond van heel algemene denkbeelden over de ordening van atomen in een kristal. Dit hangt samen met het reeds vermelde feit dat men met regelmatige vijfhoeken geen vlak kan vullen. Maar men moet in de natuurkunde een bewijs dat iets onmogelijk is altijd met argwaan bekijken. Dat geldt ook hier. Niet zo lang geleden hebben wiskundigen laten zien dat weliswaar exacte vijfvoudige symmetrie in een kristal onmogelijk is, maar dat men wel rangschikkingen van atomen kan bedenken die met zeer goede benadering kristallen zijn en bijna vijfvoudig symmetrisch. En ziet, kleine klompjes van bepaalde metaalverbindingen kunnen inderdaad deze pseudo-symmetrie vertonen. Ik kan daar hier niet verder op ingaan, maar ik zou het als een illustratie willen beschouwen van onze overtuiging dat ook voor het werk van Harry Mulisch een vijfentwintigjarig jubileum geenszins het einde zal betekenen.