De Gids. Jaargang 147

[p. 601]

Hans Ree
Over het perpetuum mobile, de cirkelkwadratuur en den wortel van wortelloze getallen

Wat deze zaken op het eerste gezicht gemeen lijken te hebben, is dat ze niet bestaan. Het perpetuum mobile is het apparaat dat altijd blijft bewegen zonder dat er energie van buiten aan wordt toegevoegd, de machine die arbeid levert voor niets. Ook voordat in de thermodynamica de wet van behoud van energie werd geformuleerd was al lang bekend dat het niet kon. Er zijn in de loop der eeuwen tal van bewonderenswaardig vernuftige constructies getekend die de mensheid in het mechanisch luilekkerland zouden moeten brengen, maar als ze een keer ook werden uitgevoerd, bleken ze zich altijd heel anders te gedragen dan aan de tekentafel was vermoed. Er is nog een andere vorm van het perpetuum mobile, ‘van de tweede soort’ wordt het genoemd, waarvan de onmogelijkheid niet zo voor de hand ligt. Een schip onttrekt warmte aan het water van de zee, de warmte-energie wordt omgezet in beweging, en het schip vaart zonder hulp van de wind eeuwig voort, waarbij de opgenomen warmte door de wrijving met het water weer aan de zee wordt afgestaan. De thermodynamica leert dat ook dit onmogelijk is. Bureaus die patenten op nieuwe uitvindingen moeten vastleggen nemen aanvragen waarin van een perpetuum mobile wordt gerept niet meer in behandeling. Nog altijd klaagt af en toe een gefrustreerde uitvinder dat hieruit de dogmatische geborneerdheid van de gevestigde wetenschap blijkt, zoals er ook nog wel mensen zullen zijn, die menen dat de aarde de vorm van een pannekoek heeft.

De kwadratuur van de cirkel is een probleem dat afkomstig is van de oude Griekse wiskundigen. De opgave is om met passer en lineaal een vierkant te construeren dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven cirkel. Het was een zeer vruchtbaar probleem, want het zoeken naar de gevraagde constructie leverde allerlei nevenresultaten op die op zichzelf interessant waren, maar er bleek ook dat de opgave onmogelijk was. Pas de wiskundigen van de moderne tijd konden in de negentiende eeuw, toen meer bekend was over de aard van het ongrijpbare getal π, dat de verhouding tussen de straal van een cirkel en zijn omtrek vastlegt, onomstotelijk vaststellen dat de kwadratuur van de cirkel met passer en lineaal nooit gevonden zou kunnen worden. Al heel lang daarvoor was een cirkelkwadratuurder een spreekwoordelijk voorbeeld van iemand die het onmogelijke zoekt, en daarbij vele dikke pakken papier verknoeit met zinloze berekeningen.

Hoe staat het nu met de wortel uit getallen die geen wortel hebben. De vraag is natuurlijk welke getallen Multatuli daarbij in gedachten had. Het lijkt me het waarschijnlijkst dat hij dacht aan de wortels uit negatieve getallen. Getallen als √3 en √5 zijn, in tegenstelling tot √4, waarvan iedereen zonder morren zal toegeven dat het gelijk is aan 2, ook wel enigszins problematisch, maar ze waren al zo lang in gebruik, dat het me onwaarschijnlijk voorkomt dat Multatuli er nog aanstoot aan nam. Maar √-1, wat is dat? Het is niet gelijk aan 1, en ook niet aan -1, want -1 × -1 = +1. Wat is het dan wel? Het grootste deel van de moderne wiskunde is ondenkbaar zonder het gebruik van de wortels uit negatieve getallen, en ik geloof dat ze tegenwoordig ook op de middelbare scholen onderwezen worden, ze zijn heel gewoon, maar toen ze in de wiskunde werden ingevoerd waren ze nog niet zo vanzelfsprekend, en de aarzeling die menigeen voelde kan blijken uit het feit dat nog steeds gesproken wordt over ‘imaginaire getallen’. Je zou je er gemakkelijk vrolijk over kunnen maken, wiskundigen die rekenen met imaginaire getallen, en net doen of ze echt bestaan.

Er is een verhandeling van de beroemde filosoof bisschop Berkeley, ‘The Analyst’, uit 1734,

[p. 602]

waarin de bisschop spot met de wiskundigen uit zijn tijd die de fluxieleer van Newton gebruikten, wat later de differentiaalrekening zou heten, en daarbij allerlei logisch zeer aanvechtbare methodes gebruikten. Wiskundige, zei Berkeley, u die neerkijkt op de religie, omdat die niet zou steunen op een onontkoombare argumentatie, maar slechts op geloof, kijk liever naar jezelf, jullie goochelen met vaag gedefinieerde begrippen, in een ijdel geloof dat alles op den duur wel in orde zal komen, en dat de uitkomst wel zal kloppen ondanks de kreupelheid van de redeneringen. Berkeley had er wel gelijk in dat de wiskundigen uiterst slordig waren, maar de differentiaal- en integraalrekening heeft hij toch niet kunnen weglachen.

Ik ben bang dat Multatuli ook zo'n soort verhandeling in gedachten had over de dwaasheid van imaginaire getallen, met veel lawaai over de ‘vakmannen’, waar nooit een verstandig woord en alleen maar onzin uit kon komen. In tegenstelling tot Berkeley zou hij er ook geen tijdelijk gelijk mee hebben gehad, want de theorie van de imaginaire getallen was al aan het eind van de achttiende eeuw met onberispelijke logische strengheid uiteengezet.

Het lijkt me dat Multatuli weinig affiniteit met de wiskunde had. In zijn Millioenenstudien waagde hij zich er zelf aan. Het boek gaat over van alles en nog wat, maar vooral over casino's, roulette en kansberekening. Multatuli wil bewijzen dat geen enkel systeem dat door de roulettespeler wordt toegepast het voordeel van (bijna) 3%, dat de bank ten opzichte van de speler heeft, ongedaan kan maken. Dat ziet hij ongetwijfeld juist, maar zijn uiteenzetting is wel het tegendeel van wat een wiskundige fraai en elegant zou noemen. Hij verzint ingewikkelde voorbeelden en gaat die te lijf met moeilijke berekeningen, die het de lezer al gauw doen duizelen. Bij al zijn berekeningen wekt hij de indruk dat alle systemen eigenlijk één pot nat zijn en dat er niets zinnigs mee bereikt kan worden. Dat is niet juist.

Er zijn, grof gezegd, twee soorten roulettesystemen. Bij de ene soort kan de speler de kans dat hij na een avond spelen verloren heeft zeer veel kleiner maken dan de kans dat hij wint, maar de hoeveelheid geld die hij bij verlies moet inleveren is ook vele malen groter dan het bedrag dat hij kan winnen. Bij de tweede soort is het net andersom, de kans op winst is zeer klein, maar het bedrag dat dan gewonnen wordt is navenant groot, net als bij loterijen, waar het voordeel van de bank overigens zeker tien keer zo groot is als bij roulette. Dit kan op twee of drie blaadjes duidelijk uiteengezet worden, maar Multatuli rekent maar door, vele tientallen bladzijden achter elkaar. Het vreemde is, dat hij zelf niet erg in zijn berekeningen schijnt te geloven, want ergens komt hij opeens met de opmerking dat de bank ook zonder zijn voordeel van 3% goede zaken zou doen, naar ik aanneem vanwege de dwaasheid van de speler, die geneigd is net zo lang door te gaan tot hij bankroet is. Het is een veel voorkomend misverstand, het idee dat er weliswaar geen slimme manieren van spelen mogelijk zijn, maar wel domme. Van iemand die net heeft uitgelegd dat alle inzetten altijd gelijkwaardig zijn, en dat de bank iedereen even graag ziet, is het wel heel curieus.

In een van de aantekeningen maakt Multatuli een merkwaardige opmerking over de activiteit van de wiskundige. Het is alles alleen maar het toepassen van de grondregels van de rekenkunde, maar dan heel vaak herhaald. Dat geeft een wel heel verkeerd beeld van de wiskunde, maar het is wel van toepassing op zijn eigen geploeter, dat in zijn wijdlopigheid en vruchteloosheid doet denken aan de inspanningen die verspild zijn aan de kwadratuur van de cirkel.