De Gids. Jaargang 130

[p. 287]

A. Heyting
L.E.J. Brouwer (27 februari 1881-2 december 1966), vernieuwer op de toppen en in de diepste gronden der wiskunde⁺

Wanneer men zich ertoe neerzet, de betekenis van een kort geleden gestorven belangrijk man te omschrijven, dan dient men twee klippen te vermijden, waartussen de doorvaart smal is. Wie de overledene goed gekend heeft, zal geneigd zijn de persoonlijke eigenschappen op de voorgrond te schuiven. Hij ziet de man voor zich, gemakkelijk in de omgang of snel vertoornd, hartelijk of stug, expansief of in zichzelf gekeerd, openhartig of zijn gedachten en gevoelens verbergend. Hij ziet dan over het hoofd, dat deze eigenschappen anderen, verder staanden, nauwelijks zullen interesseren, en dat zij geheel zullen zijn vergeten als het werk van de geleerde of kunstenaar nog springlevend zal zijn. Anderzijds zou het evenzeer verkeerd zijn, de man geheel achter zijn werk te laten schuilgaan. De vraag waarom juist hij juist op deze wijze en in deze tijd dat werk schiep, is zeker relevant en kan slechts beantwoord worden wanneer men aandacht schenkt aan bepaalde karaktertrekken van hem. Ik hoop ver genoeg van Brouwer afgestaan te hebben om de uitweiding over zijn minder relevante eigenaardigheden te vermijden, en hem genoeg van nabij te hebben gekend om zijn werk als uiting van zijn persoonlijkheid te kunnen zien.

Welke waren de eigenschappen, die zijn werk hielpen bepalen? Allereerst natuurlijk een buitengewoon scherp en snel verstand; het vermogen, de elementen van een probleem en hun mogelijke combinaties, die een ander moeizaam één voor één zou moeten proberen, in een oogwenk te overzien. Dit intellect werd gesteund door het vermogen tot uiterste concentratie, afgewisseld door tijdelijke relaxatie. Men zegt, en het lijkt waarschijnlijk, dat hij op zijn werktafel altijd een pretentieloos romannetje had liggen, waarop hij nu en dan terugviel. Waarschijnlijk is deze pulserende aandacht, waardoor hij vermoeidheid vermeed, een der geheimen van zijn succes. Een derde factor was de zelfstandigheid en oorspronkelijkheid van zijn denken, een eigenschap die ook zijn levenswijze beïnvloedde, daar hij zich weinig aan conventies stoorde. Hij schrok voor geen enkele consequentie van zijn denken terug. Ten slotte noem ik zijn sterke emotionaliteit, die zowel zijn omgang met mensen als zijn werk beheerste. Hij verdedigde zijn ideeën met de uiterste felheid, maar was even fel tegenover hen die ze bestreden. Was deze eigenschap gunstig voor zijn werk, ze was ook nadelig voor de verbreiding van zijn opvattingen.

Slechts door de samenwerking van deze karaktertrekken is de explosie te verklaren, waardoor Brouwer kort na zijn promotie de topologie de ruimte inschoot. Topologie was in het begin van deze eeuw een nieuw onderdeel der wiskunde, waarin zich vele belangrijke onopgeloste problemen voordeden. De methoden op dit gebied waren nog weinig ontwikkeld, de resultaten schaars, ondanks het feit dat wiskundigen als Henri Poincaré zich ermee bezig hadden gehouden.

In enkele jaren, ongeveer van 1908 tot 1912, ontwikkelde Brouwer krachtige methoden om

+ A. HEYTING. Geb. 1898. Hoogleraar sinds 1948 in meetkunde, algebra en wijsbegeerte der wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam. Beschouwde het als zijn levenstaak, de gedachten van Brouwer over de grondslagen der wiskunde uit te werken en te verbreiden. Voornaamste publikatie: Intuitionism, an introduction (1956, 1966²).

[p. 288]

deze problemen aan te pakken, en in een stroom van publikaties volgde de ene belangrijke ontdekking op de andere. Zijn leermeesters hadden hem niets over de problemen die hij aanpakte, kunnen vertellen, en als jongeman had hij nog weinig contact met buitenlandse wiskundigen gehad. Alleen door uiterste scherpte en concentratie, gepaard aan concessieloos doordenken, kon hij zijn resultaten bereiken.

Niet alleen door de diepte en belangrijkheid van zijn resultaten, ook door de strengheid van zijn redeneren stak bij boven de toenmalige Nederlandse wiskundigen uit. Hoewel de aanschouwelijke oorsprong van zijn methoden duidelijk waarneembaar blijft, geeft hij nergens toe aan de verleiding, aanschouwing in de plaats van strenge redenering te stellen. Zijn publikaties zijn ware meesterstukjes wat de stijl betreft. Deze is uiterst gedrongen; hij schrijft in lange, kunstig geconstrueerde zinnen, die door hun bouw de gedachtengang weerspiegelen. Geen woord is overbodig, maar alles wat gezegd moet worden, staat er. Zijn tijdgenoten, gewend aan een meer gemoedelijke wijze van schrijven, vonden zijn artikelen moeilijk leesbaar.

Het tweede gebied waarop Brouwer baanbrekend werk verrichtte, was dat van de grondslagen der wiskunde. De titel van de dissertatiewaarop hij in 1907 bij Korteweg promoveerde, luidde Over de grondslagen der wiskunde. De ideeën die hij daarin nog enigszins vaag formuleert, vindt men scherp en duidelijk in het artikel, verschenen in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte van 1908, ‘De onbetrouwbaarheid der logische principes’. De wiskunde bevond zich omstreeks 1900 in een grondslagencrisis. Het bleek dat de gebruikelijke redeneermethoden, wanneer zij kritiekloos op de door G. Cantor geschapen verzamelingsleer werden toegepast, tot contradicties leidden. Een uitweg werd gezocht in de reductie van de wiskunde tot de formele logica, waarbij door bepaalde voorzichtigheidsmaatregelen in het formele systeem de contradicties vermeden werden. Kort gezegd: men redde de vorm ten koste van de inhoud. Hierop reageerde Brouwer op de hem eigen emotionele wijze. Voor hem was wiskunde een vorm van denken, en iedere poging ze van het denken los te maken, beschouwde hij als heiligschennis. Het stuitte hem, als sterk intuïtief denkend wiskundige, tegen de borst, dat de wiskunde uitsluitend zuiver formeel zou moeten zijn en dat alle intuïtieve denken naar het voor-wetenschappelijke, heuristische stadium verwezen zou moeten worden.

Kern van Brouwers wijsbegeerte der wiskunde is de vraag naar de existentie van wiskundige objecten. Deze vraag was niet eerder op zo ernstige wijze op de voorgrond gesteld. Toch bestond daartoe alle aanleiding. Wat is een natuurlijk getal en in welke zin bestaat het? Een vaak gegeven antwoord bestaat hierin, dat het begrip van een natuurlijk getal, bij voorbeeld 70, door abstractie verkregen wordt uit het begrip van een verzameling van 70 voorwerpen. Dan kan van het bestaan van getallen slechts gesproken worden op grond van een moeilijk verdedigbaar begripsrealisme. Het feit dat de vraag naar de betekenis van het woord ‘bestaan’, toegepast op wiskundige objecten, zo weinig de aandacht trekt, is een gevolg van de nog altijd wijde kloof tussen wiskundigen en filosofen. Wie, zoals bijna alle filosofen, slechts de allereerste beginselen van de wiskunde kent, heeft geen inzicht in het enorme misbruik dat van deze term in de hogere wiskunde wordt gemaakt. Daartegenover staat, dat de wiskundigen, als zij al voldoende filosofisch inzicht hebben om het probleem te zien, er door een begrijpelijk instinct van zelfbehoud voor terugschrikken er al te diep op in te gaan.

Een van de manieren om nieuwe wiskundige objecten te vormen is het definiëren van verzamelingen. Laten wij aannemen, dat de natuurlijke getallen als wiskundige objecten bekend zijn. Dan zijn ook alle verzamelingen van natuurlijke getallen wiskundige objecten, bij voorbeeld de verzameling van alle even getallen, die van alle getallen groter dan 1000. De mogelijkheid zulke verzamelingen te vormen, is groter dan die van het vormen van natuurlijke getallen; wiskundig uitgedrukt: de machtigheid van de verzameling van alle verzamelingen van natuurlijke getallen is groter dan die van de verzameling van de natuurlijke getallen. Nu kan men verder verzamelingen van verzamelingen van natuurlijke getallen beschouwen, enzovoort. Dit zijn niet, zoals op het eerste gezicht vermoed kan

[p. 289]

worden, alleen maar hersenschimmen. Een reëel getal wordt gedefinieerd door een verzameling van natuurlijke getallen; een reële functie door een verzameling van reële getallen, en verzamelingen van reële functies komen in de wiskunde overal voor. De ingevoerde begrippen zijn dus al essentieel voor de gewone analyse, maar in de meer abstracte delen van de wiskunde wordt er nog veel intensiever mee gewerkt. De vraag naar de existentie van wiskundige objecten is dus essentieel voor de zin van nagenoeg alle wiskundige beweringen.

Voor Brouwer is noch het formalisme, noch het begripsrealisme aanvaardbaar. Als enig alternatief aanvaardt hij de in onze geest uitgevoerde constructie, die het subject door introspectie kent.

Wij weten wat het zeggen wil, dat wij eenheden als afzonderlijk, los naast elkaar staand, denken. Wij kunnen ons onbepaald ver voort te zetten reeksen van dergelijke eenheden denken. Deze begrippen zijn niet door nadenken verkregen; zij berusten niet op enig filosofisch systeem als grondslag. Zij zijn onmiddellijk in ons aanwezig. Alle denken begint met het als afzonderlijk stellen van gewaarwordingscomplexen. Wiskundig denken onderscheidt zich van ander denken daardoor, dat de gedachte eenheden ‘van alle qualiteit ontdaan’ worden gedacht.

Het zal duidelijk zijn, dat de aldus gedachte eenheden geen bestaan buiten de menselijke geest hebben. Laat ik nu eens de vraag stellen: ‘Is er een grootste ondeelbaar getal p met de eigenschap dat p - 2 ook ondeelbaar is?’ Op deze vraag weet men het antwoord niet. 7 is een ondeelbaar getal en 7 - 2 ook, maar 7 is niet het grootste getal met deze eigenschappen, want 13 voldoet er ook aan, en 19; zo is het nog steeds gelukt, bij een getal met die eigenschappen een groter te vinden dat er ook aan voldoet, maar niemand weet of men daar altijd mee door kan gaan. Men zou de vraag met ‘ja’ kunnen beantwoorden, als men een getal p had berekend dat de gewenste eigenschappen heeft, terwijl men tevens kon bewijzen dat geen enkel groter getal eraan kon voldoen. En dit is ook het enige geval waarin men ‘ja’ zou kunnen zeggen, want anders dan geconstrueerd in de menselijke geest bestaan de getallen niet. Moet men dan de vraag met ‘neen’ beantwoorden? Dit zou ten gevolge hebben, dat het antwoord van de tijd zou afhangen. Het is namelijk heel goed denkbaar, dat op zekere dag, zeg bij voorbeeld op 1 januari 2001, een wiskundige het grootste getal met de gewenste eigenschap vindt, en bewijst dat het het grootste is. Dan zou het antwoord in de eenentwintigste eeuw ‘ja’ luiden en in alle vroegere eeuwen ‘neen’.

Wij willen in de wiskunde echter slechts beweringen doen, waarvan wij zeker zijn dat wij ze nooit zullen behoeven te herroepen. Dat wil zeggen, dat wij bovenstaande vraag eerst dan met ‘neen’ beantwoorden, als wij bewezen hebben dat een grootste getal met de gewenste eigenschappen onmogelijk kan bestaan, met andere woorden, als wij uit de onderstelling dat zodanig getal zou gevonden worden, een ongerijmdheid hebben afgeleid. De negatie moet dus in de wiskunde op deze wijze worden opgevat. Voor deze negatie geldt het principe van het uitgesloten derde niet. Het is niet juist, dat men iedere wiskundige vraag met ‘ja’ of met ‘neen’ kan beantwoorden, en er is geen enkele reden om aan te nemen dat iedere vraag in de toekomst opgelost zal worden, zodat men althans eenmaal met ‘ja’ of ‘neen’ zou kunnen antwoorden.

Tot dit inzicht kwam Brouwer in 1908. Er was moed voor nodig, een zo revolutionaire conclusie als de onbetrouwbaarheid van het beginsel van het uitgesloten derde wereldkundig te maken.

Ik heb met het voorgaande vooral beoogd, duidelijk te maken, dat de revolutionaire opvatting van Brouwer over de logica noodzakelijk volgt uit zijn uitgangspunt, en dat dit uitgangspunt zich opdringt, als men noch een vèrgaand begripsrealisme, noch een consequent formalisme aanvaardt. Hiermee zijn twee misverstanden uit de weg geruimd, die dikwijls over Brouwers wiskunde bestaan. Het eerste bestaat hierin, dat Brouwer vrij willekeurige beperkingen aan het wiskundig redeneren zou opleggen, om zo de contradicties, waarover ik hierboven heb geschreven, de zogenaamde paradoxen van de verzamelingsleer, te vermijden. De paradoxen zijn een gevolg van een te ver doorgedreven begripsrealisme, maar de redenen waarom Brouwer het begripsrealisme verwerpt, liggen

[p. 290]

niet in de paradoxen, maar in de in het oog springende bezwaren tegen het begripsrealisme zelf. Een tweede misverstand bestaat hierin, dat men meent, uit Brouwers verwerping van het principe van het uitgesloten derde te moeten concluderen, dat volgens hem naast juistheid en onjuistheid nog een derde modus, een ‘tertium’ zou bestaan. Een uitspraak zou dan juist, onjuist of tertium zijn. Dit misverstand is, hoop ik, door bovenstaande uiteenzetting over de negatie in de wiskunde afdoende weerlegd.

Brouwers kritiek op het formalisme was niet uitsluitend van emotionele aard. De formalist kan zich er niet toe beperken, reeksen formules op te schrijven. Opdat een ander hem kan begrijpen, moet hij van tevoren aangeven, welke tekens hij in de formules zal gebruiken, op welke wijze de tekens tot formules kunnen worden gecombineerd, en vooral volgens welke regels uit reeds verkregen formules nieuwe formules kunnen worden afgeleid. Terecht wijst Brouwer erop, dat deze voorschriften, die noodzakelijk zijn voor de opbouw van een formeel systeem, niets anders inhouden dan een stuk toegepaste wiskunde. De tekens zijn immers op zichzelf gestelde eenheden; hun combinatie tot formules en het opereren met formules geschiedt volgens wiskundige regels. Maar er is meer. Ook de formalisten wensen in hun wiskunde de paradoxen te vermijden, met andere woorden, zij wensen dat hun formele systeem niet tot contradicties voert, met een technische term, dat het systeem consistent is. Deze eis wordt nog klemmender, omdat de meest gebruikelijke systemen zo gebouwd zijn, dat, indien het systeem inconsistent zou zijn, dadelijk iedere formule erin afleidbaar zou worden. Daarmee zou de aardigheid eraf zijn, en ook de bruikbaarheid voor de toepassingen zou nihil zijn. Vandaar dat Hilbert de vraag naar een consistentiebewijs voor het formele systeem van de wiskundige analyse op de voorgrond stelde. Het is duidelijk dat dit een wiskundige vraag is. ‘Gegeven een zekere verzameling van tekens, zekere regels om deze tot formules te combineren, en zekere regels om formules af te leiden die stellingen genoemd worden. Bewijs, dat geen twee elkaar tegensprekende stellingen afgeleid kunnen worden.’ (Wat elkaar tegensprekende formules zijn, moet natuurlijk formeel gedefinieerd worden.) Reeds Poincaré had erop gewezen, dat men, om dit bewijs te geven, willekeurig lange afleidingen moet kunnen beschouwen, zodat men er minstens de theorie van de rij der natuurlijke getallen bij nodig heeft. Verder moet het bewijs door middel van intuïtieve redenering gevoerd worden, want als men er het formele systeem zelf voor gebruikt, geraakt men in een vicieuze cirkel. Deze conclusie is, dat voor het consistentiebewijs minstens de intuïtieve elementaire rekenkunde nodig is. De conclusie wordt tegenwoordig algemeen aanvaard. Over de vraag wat de elementaire rekenkunde van intuïtief standpunt omvat, zijn de meningen verdeeld. Vele onderzoekers stellen zich op het standpunt, dat hier alleen intuïtionistisch aanvaardbare methoden gebruikt kunnen worden, andere menen, dat hier het begripsrealisme toelaatbaar is. De vraag is nog gecompliceerd door de ontdekking van Gödel, dat voor het consistentiebewijs van een formeel systeem altijd methoden nodig zijn, die niet in het formele systeem zelf geformaliseerd zijn. Om bij voorbeeld de consistentie van een formeel systeem voor de elementaire rekenkunde te bewijzen, moet men intuïtieve methoden gebruiken, die niet tot de elementaire rekenkunde behoren. Voor de rekenkunde is dit inderdaad gebeurd.

De formalistische wiskunde heeft dus een stuk intuïtionistische wiskunde nodig om haar regels te formuleren en om haar consistentie te bewijzen. Ook dit mag men niet als de enige rechtvaardiging van het intuïtionisme beschouwen. Men moet de tegenstelling van formalisme en intuïtionisme zien als een tegenstelling van doel. De formalist streeft ernaar, de gebruikte intuïtieve hulpmiddelen tot het uiterste te beperken. De intuïtionist daarentegen stelt zich ten doel, het menselijke vermogen tot intuïtief wiskundig denken tot het uiterste te doorvorsen en te exploiteren. Het heeft weinig zin over de nuttigheid van deze beide pogingen te twisten; dat beide zinvol zijn, staat voor mij vast.

Bij zijn streven, alles uit de wiskundige intuïtie te halen wat erin zit, is Brouwer niet bij het natuurlijke getal blijven staan. Een belangrijk verder gaand begrip is dat van de onbepaald voort te zetten rij. Ik kan hierop niet uitvoerig ingaan, omdat ik dan te ver op

[p. 291]

het wiskundige terrein zou komen, maar om de belangrijke filosofische vragen die het opwerpt, kan ik er niet geheel over zwijgen.

Men kan op allerlei wijzen rijen van natuurlijke getallen definiëren, bij voorbeeld de rij van alle even getallen, normaal naar grootte geordend: 2, 4, 6,..., de rij 1, 2, 4, 3, 6, 8, 5,..., waarbij men beurtelings een oneven en twee even getallen neemt, enzovoort. De fantasie heeft vrij spel, maar het is niet alleen spel, want rijen natuurlijke getallen treden overal in de wiskunde op. Nu raakt men in moeilijkheden, als men iets over alle mogelijke rijen van natuurlijke getallen wil zeggen. Volgens een intuïtionistisch beginsel bestaat zo'n rij alleen, als men de wet aangegeven heeft waardoor ze gevormd wordt. Om iets over alle mogelijke rijen te zeggen, moet men dus alle mogelijke wetten overzien om rijen natuurlijke getallen de definiëren. Toen Brouwer zijn ideeën ontwikkelde, was dit totaal onmogelijk. Later heeft de theorie der recursieve functies ons geleerd, dat er toch wel veel over te zeggen valt. Evenwel valt de verzameling van de door een wet definieerbare rijen niet samen met wat men in de klassieke wiskunde onder de verzameling van alle rijen verstaat. De laatste verzameling heeft een hogere machtigheid dan de eerste. Om in de intuïtionistische wiskunde een equivalent van de verzameling van alle rijen te verkrijgen, voerde Brouwer het begrip van de keuzenrij in. De naam ‘keuzenrij’ is enigszins verwarrend; ik spreek liever van een onbepaald voort te zetten rij. Het wordt namelijk in het midden gelaten, hoe de rij wordt voortgezet; het enige wat wordt geëist is dat elk eindig beginstuk van de rij kan worden voortgezet, zonder dat van tevoren vast behoeft te staan hoe de voortzetting er uitziet. Men kan aan de ‘keuzen’ van tevoren wel beperkingen opleggen, bij voorbeeld door te eisen dat alleen getallen kleiner dan 10 gekozen worden. Men krijgt dan een rij, die beschouwd kan worden als de rij cijfers achter de komma van een decimale breuk. Het is misschien verrassend, dat men met dergelijke slechts gedeeltelijk bepaalde objecten, die steeds in ontwikkeling zijn, wiskundig kan werken. Dat dit inderdaad zo is, ziet men aan het voorbeeld van de decimale breuken. Afgezien van een kleine technische moeilijkheid, kan men de som van twee zulke breuken definiëren. Het essentiële daarbij is, dat men om een eindig beginsegment van de som te vinden, slechts eindige beginsegmenten van de beide gegeven breuken behoeft te kennen.

Brouwer maakte de theorie der keuzenrijen tot een der hoekstenen van de intuïtionistische wiskunde. Hierdoor is ook de mening, dat het intuïtionisme uitsluitend destructief zou zijn en slechts een armzalig deel van de wiskunde zou overlaten, onjuist. Behalve dat de intuïtionist de wiskunde verrijkt door fijnere onderscheidingen, die voortvloeien uit het verschil tussen dubbele negatie en juistheid, voegt hij ook nieuwe begrippen in, die in de gebruikelijke wiskunde geen equivalent hebben en die aanleiding geven tot het ontwikkelen van nieuwe theorieën en van nieuwe methoden.

Natuurlijk voert de beschouwing van keuzenrijen wel tot het stellen van filosofische vragen. Er kleeft aan de keuzenrijen schijnbaar een element van tijdgebondenheid en van subjectiviteit. Een keuzenrij wordt door een bepaalde persoon in een bepaald tijdsverloop voortgebracht. Het heeft dan ook weinig zin, uitspraken over een bepaalde keuzenrij te doen. Het blijkt echter wel mogelijk, uitspraken van algemene aard over keuzenrijen te doen, die door hun algemeenheid niet aan de tijd gebonden of subjectief meer zijn. Een voorbeeld hiervan is de stelling, die ik zoëven noemde, dat aan twee door keuzenrijen gegeven decimale breuken een keuzenrij als som kan worden toegevoegd. De mogelijkheid met keuzenrijen wiskundig te opereren, is naar mijn mening voldoende rechtvaardiging voor het invoeren ervan als wiskundige objecten.

De intuïtionistische opvatting maakt een nieuwe opbouw van de wiskunde van de grond af nodig. Hiermee begon Brouwer omstreeks 1918; in een reeks artikelen, die tot ongeveer 1927 loopt, ontwikkelde hij systematisch belangrijke onderdelen van de wiskunde volgens intuïtionistische beginselen. Tot 1955 volgt nog een reeks meer polemische publikaties en voordrachten, waarin sporadisch nieuwe wiskundige gedachten naar voren komen.

Het heeft lang geduurd voordat Brouwers inzichten over de wiskunde enigszins algemeen werden erkend als zinvol en belang-

[p. 292]

rijk. Het zou niet goed zijn als alle wiskundigen tot het intuïtionisme werden bekeerd, want de wiskunde zou er veel moeilijker door worden en daardoor het snelle tempo van de ontwikkeling der natuurwetenschap (en zelfs van de maatschappijwetenschappen), die steeds nieuwe wiskundige methoden nodig heeft, niet meer kunnen volgen. Voor de toepassingen is vooral het formele apparaat van de wiskunde belangrijk; dat de wijsgerige fundering niet sterk is, doet er daar minder toe. In de laatste jaren begint in een bredere kring van beoefenaren der zuivere wiskunde het besef door te dringen, dat de gedachten van Brouwer belangrijk zijn. De aandacht van verscheidene onderzoekers is erop gericht, nauwkeurig de onderstellingen die aan het werken met keuzenrijen ten grondslag liggen, vast te stellen. Dit heeft geleid tot het formaliseren van die theorie, waardoor ze voor vele wiskundigen gemakkelijker toegankelijk wordt. Naar mijn mening ligt de grootste betekenis van het intuïtionisme in de richting van de wijsbegeerte. Wat Brouwer doet, komt neer op een analyse van de werking van het menselijke intellect, zij het op een beperkt gebied, maar dan toch op dat gebied dat het meest kenmerkend is voor het intellect. De opbouw van de intuïtionistische wiskunde komt neer op een onderzoek naar het uiterste dat het intellect in zijn zelfontvouwing kan bereiken. In dit onderzoek ligt de grote betekenis van Brouwers werk voor de wijsbegeerte besloten.

Hierboven heb ik het belangrijkste en blijvende deel van Brouwers werkzaamheid geschetst.

Door zijn geschriften, door vele gesprekken met andere wiskundigen en door vele lezingen, vooral over het intuïtionisme, heeft hij grote invloed uitgeoefend. Directe leerlingen had hij weinig. Hij hield niet van college geven. Expansief en charmant tegenover personen die hij mocht, was hij gereserveerd tegenover een onpersoonlijk gehoor. Toch waren zijn colleges indrukwekkend door hun systematische opbouw en door de zonder enige concessie volgehouden strengheid. Over zijn topologische werk heeft hij nooit college gegeven; wel over het intuïtionisme.

Het enige gebied waarop hij, buiten zijn hoofdwerk, aan de weg getimmerd heeft, is dat van de wijsbegeerte. Hier heeft hij de invloed van Mannoury ondergaan. Verscheidene jaren maakte hij deel uit van de Signifische Kring, die door Mannoury geleid werd. Van Mannoury nam Brouwer het positivistisch-psychologische uitgangspunt over, en de onderscheiding tussen emotionele en indicatieve betekeniselementen, die hij tot het hoofdmotief van zijn wereldbeschouwing maakte.

Het voornaamste verschil tussen de beide denkers bestaat hierin, dat Mannoury sterk sociaal gericht was, terwijl Brouwer uitgesproken individualist was, en wel in de loop van zijn ontwikkeling steeds sterker. Mannoury onderzocht de taal als sociaal verschijnsel; het onderscheiden van emotionele en indicatieve betekeniselementen had voor hem als doel, verwarring van beide, die in het sociaal verkeer tot misverstanden met catastrofale gevolgen leidt, te voorkomen. Voorzover er bij hem van een voorkeur sprake is, geeft hij die aan de indicatieve taal, die immers het minste aanleiding tot misverstanden geeft. Brouwer evenwel geeft duidelijk de voorkeur aan de emotionele pool van het denken, door hem aangeduid met de term ‘religie’, later ook als ‘consciousness in its deepest home’. Men moet deze term psychologisch-introspectief begrijpen als de toestand van aandachtsloos, onwillekeurig ondergaan van sensaties, een toestand die de mens, die eenmaal denken heeft geleerd, niet meer kent.

Een eerste thema van Brouwers wijsbegeerte is nu de vraag, hoe de mens van deze als oorspronkelijk gestelde houding komt tot de rationele of zelfs tot de wetenschappelijke wereldbeschouwing. Deze overgang geschiedt volgens hem in verschillende stappen, die min of meer overeenstemmen met de door Mannoury onderscheiden taaltrappen. Deze taaltrappen onderscheiden zich van elkaar door een van het emotionele naar het indicatieve toenemende graad van formalisatie en organisatie. Ook bij Mannoury vindt men de opvatting, dat de minder geformaliseerde talen de oorspronkelijkste zijn. Brouwer werkt deze gedachte uit tot een theorie van de ontwikkeling van gevoelen en denken.

De mens begint ermee, een voorbijgaande sensatie vast te houden en van de volgende te onderscheiden; zo ontstaat de tweeheid, het begin van alle denken en in het bijzonder van de wiskunde. Deze eerste stap wordt ook een ‘move of time’ genoemd; hij houdt immers een rang-

[p. 293]

schikking van de beide sensaties in, die als opeenvolging in de tijd wordt ervaren. Herhaling van dit proces voert tot het begrip van volgreeksen in de tijd; in deze zin ligt de tijdsintuïtie aan alle denken ten grondslag. Op dit niveau neemt de mens afstand tot zijn sensaties; hij plaatst ze als het ware buiten zichzelf als objecten. Dit is de fase van het verstand (mind), ook naïeve fase genoemd.

De volgende fase is die van de causaliteit. De mens merkt overeenkomst op tussen bepaalde sensaties enerzijds en herinneringen aan vroegere sensaties anderzijds. Hij komt ertoe, zulke overeenstemmende sensaties te identificeren. Hij constateert, dat bepaalde reeksen van sensaties steeds weerkeren. Dit leidt hem ertoe, bij het verschijnen van een sensatie uit zo'n reeks te verwachten dat ook de in die reeks volgende sensaties zullen verschijnen. Dergelijke steeds weerkerende reeksen sensaties worden causale reeksen genoemd. Dingen zijn speciale causale reeksen. Een ding onderscheidt zich onder de causale reeksen door twee kenmerken. Ten eerste door de eigenschap, dat de volgorde waarin sensaties van de reeks optreden, niet wezenlijk is; ten tweede door hun uiterst geringe verbondenheid met het subject. Met dit laatste kenmerk wordt waarschijnlijk bedoeld, dat het ding als zodanig weinig emoties bij het subject opwekt.

De gerichtheid op causale reeksen, de causale aandacht, stelt de mens in staat zijn omgeving te beïnvloeden. Begeert hij een bepaalde sensatie S, en kent hij een causale reeks waarin S voorkomt, dan kan hij trachten een andere sensatie, die in de reeks aan S voorafgaat, op te roepen, in de verwachting dat dan S zal volgen. Dit is de sprong van doel op middel of cunning act.

Onder de dingen bevinden zich ook de individuen, dat zijn de sensatiecomplexen die wij gewoon zijn te beschouwen als veroorzaakt door onze medemensen. In Brouwers gedachtengang kunnen zij alleen door interne kenmerken gekarakteriseerd worden. Verstandhouding met andere mensen is in beginsel onmogelijk. Zelfs de onderstelling dat de medemens een verstand zou hebben analoog aan dat van mijzelf, voert tot onaanvaardbare consequenties.

Ik wil enkele opmerkingen maken over de analogie van deze opbouw met de opvattingen van sommige positivisten. Brouwers sensaties corresponderen met de door positivisten ingevoerde protocolzinnen, dat zijn zinnen die ieder een onmiddellijk waargenomen, niet verder geïnterpreteerd feit uitdrukken. Zij zijn de enige zinnen die een onmiddellijke betekenis hebben. Alle andere zinnen moeten, om een betekenis te krijgen, door middel van definities tot protocolzinnen herleid worden. De analogie met de opbouw van Brouwer is duidelijk. De plaats van de protocolzinnen wordt bij hem ingenomen door de sensaties. Het verschil, daarin bestaande dat de positivisten de taal een belangrijke rol laten spelen, is kleiner dan het lijkt; ook voor hen gaat het niet om de protocolzinnen zelf, maar om hetgeen erdoor wordt uitgedrukt. Zowel voor hen als voor Brouwer geldt als methodisch principe, uitsluitend het direct waargenomene, onmiddellijk duidelijke als uitgangspunt te nemen, en zij trekken de grens van dit oorspronkelijke materiaal op dezelfde wijze.

Ongetwijfeld zal de reactie van menige lezer zijn, dat hij hier de welbekende geluiden van het solipsisme heeft gehoord. Brouwers opvatting kan door deze term worden gekarakteriseerd, maar ik geloof niet dat het juist zou zijn ze daarmee als afgedaan te beschouwen. De opzet van Brouwer onderscheidt zich door de volkomen consequente toepassing zowel van de positivistische methode als van het solipsistische beginsel, ernaar strevende, de vooronderstellingen zo gering mogelijk te houden. Volgens hemzelf is de enige vooronderstelling die van de oer-intuïtie der wiskunde, gerepresenteerd door de ‘move of time’. Het zou de moeite waard zijn na te gaan welke onderstellingen hij verder nog ongemerkt invoert, al was het alleen om te zien wat men minstens moet onderstellen om tot een enigszins aanvaardbare filosofie te geraken. Anderzijds kan Brouwers filosofische werk aanleiding geven tot een nauwkeuriger onderzoek naar de onderstellingen, die aan andere filosofische systemen ten grondslag liggen, een taak die voor de meeste nog op een bevredigende vervulling wacht. Het is nu eenmaal zo, dat de meeste filosofen meer gewicht hechten aan het maken van gevolgtrekkingen uit hun veronderstellingen dan aan een volledige en nauwgezette formulering van die veronderstellingen. Hoeveel aan het laatste ontbreekt, zouden zij eerst bemerken, wanneer

[p. 294]

zij de eisen kenden die wiskundigen in dit opzicht plegen te stellen.

Dit wijsgerige werk staat niet op hetzelfde peil als het wiskundige. Toch treft ook hierin het concessieloze doordenken van het eenmaal gekozen uitgangspunt.

Brouwers belangstelling was veelzijdig. In zijn jeugd was hij geïnteresseerd in het sociale Walden-experiment. In gesprekken verraste hij steeds weer door zijn uitgebreide kennis op ver uiteenliggende gebieden van wetenschap en kunst. Hij kon grote stukken uit Homerus opzeggen, hij hield veel van muziek, en over beide onderwerpen kon hij lang en boeiend spreken. Hij was een briljant causeur. Maar laat ik niet te veel op de uiterlijkheden van zijn persoonlijkheid ingaan. De werkelijke grootheid van Brouwer is uit het voorgaande, naar ik hoop, voldoende gebleken.