De Gids. Jaargang 126

[p. 318]

Tj. S. Visser
Attaque op de rij der natuurlijke getallen

Het begon in 1921, jaar van Prokofjews Liefde voor de drie sinaasappelen. Het eindigde op de overgang van barre maart naar zoete april 1945, toen de Russen Posen bezetten en voor Wenen stonden. Wat begon en eindigde? Mijn verhaal over de fraaiste stelling der getallenleer, over het theorema van Baudet. De parel van Baudet.

Vanzelfsprekend, ça va sans dire, is Baudet hier niet de asinus uit de fabelen van La Fontaine. Baudet is hier de zeer jong overleden Delftse hoogleraar in de wiskunde, van Henegouwse afkomst, uit het begin dezer eeuw.

Zijn parel der getallenleer is: Verdeelt men naar willekeur de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4... ad infinitum over een willekeurig aantal dozen, dan is er toch altijd minstens één doos die een rekenkundige reeks van willekeurig gevorderde lengte bevat.

Ge moet vooral onder de indruk komen van het onvatbaar vage van deze stelling, waarin drie malen het woord ‘willekeurig’ voorkomt. Hoe krijgt iemand de durf om een zo algemene stelling uit te spreken! Hoe slaagt iemand erin een zo algemene stelling te bewijzen! Als men er met zijn gedachten even rustig bij stilstaat, gaat men ervan duizelen.

Formuleren wij de stelling eens in het Frans, dat wil wel eens helpen: La perle de la théorie des nombres est le problème des boîtes: si vous mettez tous les entiers positifs dans cent boîtes, au moins une d'elles contient une progression arithmétique de mille termes; dans ce théorème on peut remplacer les nombres cent et mille par des entiers positifs quelconques.

Van het begrip rekenkundige reeks interesseert ons hier (niet de eerste term, en niet het verschil tussen opvolgende termen, maar) louter het aantal termen, de ‘lengte’ der reeks. Die lengte wensen we eindig maar willekeurig groot.

[p. 319]

Roept iemand: ik wil een miljard termen, zo wordt het een miljard. Doch roept een ander: nee, een triljoen, zo kan hij zijn zin krijgen. Welnu, laat ons zo'n eindige rekenkundige reeks met willekeurig te vorderen aantal termen een as noemen. De stelling luidt dan, gemoedelijk geformuleerd: We kunnen de rij der natuurlijke getallen nooit zodanig verbrijzelen dat de eis: ‘zoek een scherf met een as’ onvervulbaar wordt.

Deze stelling dan is in 1921 als vermoeden uitgesproken door prof. dr. P.J.H. Baudet. Hij overleed kort daarna, vrouw en baby achterlatende. Veel prominenten zochten naar een bewijs van het theorema. Een jong wiskundige, eveneens Nederlander, slaagde: B.L. van der Waerden, die zijn bewijs in 1927 publiceerde in het Nieuw Archief voor Wiskunde onder de titel Beweis einer Baudetschen Vermutung.

Het neemt vijf bladzijden in beslag, gebruikt geen hogere wiskunde maar is ontzaglijk zwaar. Hij schijnt het gevonden te hebben tijdens een vakantie-congres te Göttingen waar de vinding terecht grote bewondering wekte. Bartel van der Waerden is zoon van de ingenieur-leraar Theo, doctor in de technische wetenschappen, indertijd vooraanstaand parlementslid van de S.D.A.P.; ‘rooie Theo’ wisten wij al op de h.b.s. De jonge Bartel werd aldra hoogleraar in Groningen, was later kort olie-wiskundige, is thans te Zürich directeur van het Mathematisch Instituut en heeft een wereldnaam.

De stelling en haar bewijs geraken na 1927 in slaap. Ik moet u nu brengen naar Rusland waar A.J. Chintsjin (A. Ya. Khintchine) hoogleraar is te Moskou. Een leerlinge van hem, M.A. Lukomskaja, vindt in volle oorlogstijd, 1944, te Minsk een iets ander bewijs. De prof zelf krijgt aanvang 1945 van een jong student, die als herstellende gewonde in een lazaret achter het front verblijft, het verzoek om wat studiewerk. Chintsjin gaat daarop in met een brief van 24 maart 1945 aan Beste Serjosja; hij legt hem het theorema van Baudet voor; verbindt daaraan niet de naam

[p. 320]

Baudet doch enkel de naam Van der Waerden; schenkt het de eretitel Eerste parel der getallenleer; en vertelt, een bewijs indertijd gedurende een zomercursus in Göttingen mondeling van de jonge Nederlander zelf vernomen te hebben.

De brief van Chintsjin is, uitgebreid, in 1948 als boekje te Moskou in het Russisch uitgegeven, gelukkig met een Engels aperçu. In 1951 volgde een Duitse vertaling. In 1963 mocht ik er in ons land een pretentieloze lezing over houden met kleinzoon en hooggeleerde zoon (géén wiskundige maar hij schreef Het paradijs op aarde) van Baudet onder mijn gehoor.

Ik heb hierboven dan de stelling het aspect willen geven van de onuitputtelijke volheid van de rij der natuurlijke getallen; een volheid zodanig dat geen verbrijzelen haar kan opheffen; als teken waarvan dan gelden mag dat er toch altijd wel een scherf is die aan een willekeurg gestelde as-eis voldoet. Dit aspect is verklaring voor ons opschrift; de attaque mislukt. Moge ik nu nog wat algemeens toevoegen uit historie en wijsbegeerte rondom het gehele positieve getal.

De rij dan der natuurlijke getallen speelt een rol in de scholastiek. Augustinus zag in haar een bewijs voor de existentie van het actueel oneindige (Civitas Dei, boek XII, cap. 18). Maar de Griekse Aristoteles lang voor hem en de Zuiditaliaanse Thomas van Aquino lang na hem erkenden slechts het potentieel oneindige. Niet dat dit alles op zichzelf mij belangwekkend lijkt; doch hun strijd is in onze eigen dagen weer opgelaaid in beschouwingen over wiskunde en logica. Namen als Georg Cantor (Deen) en L.E.J. Brouwer zijn onder veel andere meer daaraan verbonden. Bolland, die daarbuiten stond, placht te spreken van het ordinair oneindige der mathesis: een eindigheid die eenvoudig nooit ophoudt. Spreuken, I, 207.

Los van al dat min of meer wijsgerige kan men ook praktisch vragen: Is het getal dat men schrijft met 1 gevolgd

[p. 321]

door tien miljard nullen nog ‘eindig’? Het aantal zandkorrels nodig om het zichtbaar heelal te vullen is nog pas iets als 1 met honderd nullen... Van Dantzig heeft zich met kwesties als deze beziggehouden in het tijdschrift Dialectica, 1956; hij was dan ook statisticus en in zoverre iemand van praktijkvragen.

Wij voor ons behoeven ons niet in dit alles te verdiepen. De rij der klanken ‘een, twee, drie...’ of de rij der schrifttekens 1, 2, 3... kennen we als een reeks die zich altijd door voortzet volgens een als vast gekende wet. Dat is voldoende. Haar volheid vervolgens is door Baudet vermoed, door Van der Waerden bewezen. In onze dagen.

Is dit ons laatste woord over de stelling? Er valt nog een kanttekening te maken. Wat beduidt dat: een oneindig aantal getallen willekeurig over dozen verdelen? Gezien het oneindig aantal komt men nooit klaar. Men moet dus van verdelingsrecepten gebruik maken. (Voorbeeld: in een doos gaan alle ondeelbare getallen; of alle even getallen; of de getallen 1, 2, 4, 7, 11, 16...).

Maar een verdeling die op willekeurig gekozen recepten berust, is nooit volstrekt willekeurig. Het element van blindelingse willekeur ontbreekt eraan, zou men kunnen zeggen. Toch geldt de stelling, gezien de gang van haar bewijs, ook bij ongebreidelde willekeur; en onze slotkanttekening houdt dus welbeschouwd enkel deze vraag in: Heeft de parel van Baudet nog zin bij receptloze dus onuitvoerbare toedelingen der gehele getallen aan de dozen? Vermoedelijk is dit nu echt een vraag van Brouwerse aard.