De Gids. Jaargang 109

[p. 160]

Het eeuwfeest van een ongelezen boek

In het jaar 1844 verscheen te Leipzig bij O. Wigand van de hand van een leraar aan het gymnasium te Stettin de uitgave van een wiskundig werk, waarvan men zonder overdrijving kan vaststellen, dat zij ongelezen is gebleven. De schrijver zond een exemplaar aan verschillende bekende mathematici van zijn land, die echter met het boek min of meer verlegen waren. Reacties waaruit zou blijken, dat men het werk en de schrijver niet au sérieux nam worden ons niet bericht, maar algemeen is de klacht, dat het uiterst moeilijk, ja onmogelijk is om van de inhoud kennis te nemen.

Gauss schrijft aan de auteur dat ‘um den eigentlichen Kern Ihres Werkes herauszufinden, es nöthig sein wird, sich erst mit Ihren eigenthümlichen Terminologien zu familarisiren’ waartoe hem blijkbaar de tijd of de lust heeft ontbroken. De uitingen van Grunert, redacteur van een der bekendste wiskundige tijdschriften uit deze periode, en die van Möbius ademen dezelfde geest. Het was de eerste niet mogelijk een recensent voor het boek te vinden, zodat hij ten slotte de schrijver het voorstel deed zelf een inhoudsopgave te schrijven en door middel daarvan de aandacht op het werk te vestigen. Deze ‘Selbstanzeige’, welke in het zesde deel van Grunert's ‘Archiv’ verscheen, is vele jaren lang het enige woord geweest, dat in het openbaar over het werk gezegd werd. Möbius deelt als een bijzonderheid mede, dat hem een mathematicus bekend is, die althans beweerde het gehele boek doorgelezen te hebben. Onder deze omstandigheden is het begrijpelijk, dat het werk niet of nauwelijks gekocht zal zijn, zodat wij de uitgever geen ongelijk kunnen geven als hij in 1865 het grootste deel van de oplaag vernietigt.

Thans, honderd jaren na zijn verschijnen, is het werk klassiek - ook in de populaire zin van ‘veel geprezen, weinig gelezen’ - het heeft, weliswaar misschien meer middellijk dan rechtstreeks grote invloed uitgeoefend op de denkwijze van vele wiskundigen, en het is door een samenloop van omstandigheden zelfs door een bepaalde mathematische secte een tijdlang verheven tot de belichaming der hoogste wijsheid. Er is dus thans, na honderd jaren, reden het boek te herdenken en een woord te wijden aan zijn geniale schrijver.

Die schrijver was de toenmaals vijf-en-dertigjarige Hermann Grassmann en zijn werk draagt de langademige titel ‘Die Wis-

[p. 161]

senschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin dargestellt und durch Anwendungen erläutert, Erster Teil, die lineale Ausdehnungslehre enthaltend’. Dit eerste deel, het enige dat in 1844 verscheen en het enige dat verschijnen zou, draagt de titel ‘Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert’. Het werk wordt in de regel aangehaald als de Ausdehnungslehre en wel, ter onderscheiding van een later werk dat noch een herdruk, noch ook het beloofde tweede deel is, als de eerste Ausdehnungslehre of met het symbool AI.

Een werk dat de tijdgenoot ontoegankelijk bleek en dat ook latere generaties, die veel meer openstonden voor de daarin ontwikkelde ideeën toch steeds in velerlei opzicht duister en moeilijk is gebleven - Felix Klein, groot wiskundige en veel omvattende geest, met groote belangstelling voor Grassmann, noemt nog in 1926 de Ausdehnungslehre ‘bijna onleesbaar’ - een dergelijk werk laat zich niet in enige woorden samenvatten. Wij moeten met enige opmerkingen volstaan.

Terwijl reeds in de Griekse wiskunde sterke wisselwerkingen voorkomen tussen de gebieden der wiskunde, die men door een primitieve onderscheiding met ‘meetkunde’ en ‘algebra en rekenkunde’ aanduidt, ontstaat in het midden der zeventiende eeuw, ingeluid door Descartes, een behandelingswijze der meetkunde waarbij deze geheel met het getalbegrip wordt doordrenkt. Men ontdekt dat het mogelijk is een meetkundige figuur volledig door begrippen uit de algebra te beschrijven en meetkundige eigenschappen door berekeningen te bewijzen. Elk punt van een vlakke figuur kan worden bepaald door zijn coördinaten, b.v. door zijn afstanden x en y tot twee willekeurig gekozen onderling loodrechte assen; een rechte of kromme lijn door zijn vergelijking in x en y, de betrekking tussen deze grootheden, waaraan voldaan wordt door alle getallenparen, welke coördinaten zijn van een punt der figuur. Deze zo geheten analytische meetkunde heeft door de algemeenheid van haar methodes en haar onafhankelijkheid van de aanschouwing dusdanige voordelen, dat zij tot heden een der belangrijkste middelen van meetkundig onderzoek gebleven is. Het valt niet te ontkennen, dat het aanschouwelijke, dus het direct-meetkundige daarbij wel enigszins in de verdrukking is geraakt en dat de samenwerking tussen figuur en getal geëindigd is met wat men genoemd heeft de ‘arithmetiserung der

[p. 162]

meetkunde’. Voor het onderzoek naar de grondslagen, ook juist van wat men meetkunde is blijven noemen, heeft deze omstandigheid echter ook grote voordelen.

De tweede helft der zeventiende en de gehele achttiende eeuw doen de ontwikkeling zien dezer analytische methode. Daarbij komt dat de infinitesimaalrekening, waarvan omstreeks 1700 de grondslagen als voltooid kunnen worden beschouwd, naar objecten van toepassing uitziet en ons de resultaten schenkt van de onderzoekingen naar raaklijnen, dubbelpunten, booglengten en oppervlakken van kromme lijnen, waaraan deze tijd zoo rijk is.

Een gebied waar de methode met buitengewoon succes wordt toegepast, is dat der mechanica, waarvan de ontwikkeling tot de vorm die wij kennen, vrijwel gelijktijdig met de infinitesimaalrekening begint. Tegen het eind der achttiende eeuw bereikt zij een voorlopig hoogtepunt in de ‘Mécanique analytique’ van Lagrange. Een mechanisch stelsel, van welke structuur ook, wordt gekarakteriseerd door een aantal getallen, algemene coördinaten; als bekend is hoe deze met de tijd veranderen, dan is de beweging van het stelsel volledig beschreven. Lagrange leidt de classieke, naar hem genoemde differentiaalvergelijkingen af, waaruit men als de op het stelsel werkende krachten gegeven zijn, de coördinaten als functies van de tijd bepalen kan.

In het tijdvak dat wij noemden, was de analytische methode de methode der coördinaten; voor een deel is zij dat in de meetkunde en de mechanica thans nog, in de toegepaste wiskunde is zij het zelfs nog grotendeels. In de loop der negentiende eeuw zijn echter tendenties gegroeid om met volledig behoud, ja met uitbreiding der analytische methode, het coördinatenbegrip op de achtergrond te dringen. Het is nu de betekenis van Grassmann, dat hij een der eersten was die de wenselijkheid daarvan en de mogelijkheid daartoe inzag.

Het valt inderdaad niet te ontkennen, dat met het coördinatenstelsel in de meetkundige figuur of in het mechanische systeem een in wezen vreemd element wordt ingevoerd en dat de coördinaten zelf geen zin toekomt dan met betrekking tot het willekeurig gekozen of aanvaarde assenkruis. Verder staat het vast, dat men dikwijls gedwongen is een bepaalde bewerking of een bepaald resultaat voor elk der coördinaten afzonderlijk aan te geven, terwijl er anderzijds tussen deze resultaten een volledige analogie bestaat. Uit deze twee beweegredenen, een theoretische, welke bewerkingen verlangt met rechtstreeks meetkundige betekenis en een meer practische, die een pregnante notatie eist voor deze bewerkingen, zijn de zogenaamde methodes van

[p. 163]

directe analyse ontstaan, waarvan de Ausdehnungslehre er een is. ‘Bei der sonst üblichen Methode’, schrijft Grassmann, ‘zeigte sich durch die Einführung willkürlicher Koordinaten, die mit der Sache nichts zu schaffen haben, die Idee ganz verdunkelt, und die Rechnung bestand in einer mechanischen, dem Geiste nichts darbietenden und darum Geist tödtenden Formelentwicklung. Hingegen hier, wo die Idee, durch nichts fremdartiges getrübt, überall durch die Formeln in voller Klarheit hindurchstrahlte, war auch bei jeder Formelnentwicklung der Geist in der Fortentwicklung der Idee begriffen’. Grassmann voert geen bewerkingen uit met de coördinaten, welke de plaats van een punt bepalen, maar hij rekent met de punten zelf. Zo is, om een eenvoudig voorbeeld te noemen, de som van een aantal punten niets anders dan het zwaartepunt dezer punten. Andere objecten van zijn algorithmen zijn de vrije en de gebonden lijnstukken (waarbij de adjectieven resp. aanduiden, dat men twee lijnstukken waarvan de ene door een verschuiving in de andere kan overgaan, al of niet als identiek wenst te beschouwen), vlakdelen, inhouden enz. Grassmann definieert zijn objecten, hij stelt de rekenregels vast, onderzoekt de eigenschappen der bewerkingen en tracht door voorbeelden het nut van zijn rekenwijze te illustreren. Bij al deze onderzoekingen stoot hij op problemen van fundamenteel belang. Zo gebruikt hij bij zijn definities consequent de onderscheiding in positieve en negatieve afstanden, oppervlakken en inhouden al naar de richting, de draaizin of de schroefzin waarin zij worden doorlopen; bij het vaststellen der rekenregels blijkt het soms wenselijk meer dan één bewerking af te spreken welke als het analogon van de vermenigvuldiging van de gewone getallen moet worden beschouwt; de bewerkingen blijken soms eigenschappen te hebben welke van de overeenkomstige voor gewone getallen verschillen: zo blijft een product niet noodzakelijk ongewijzigd als men de factoren verwisselt.

De directe analyse is aanvankelijk vooral voor de mechanica van veel omvattende betekenis gebleken en het is geen toeval, dat een der aanleidingen waardoor Grassmann tot zijn conceptie kwam de lectuur was van het klassieke werk van Lagrange. De behandeling van een concreet probleem, nl. van het verschijnsel van eb en vloed, waaraan hij in 1840 een uitvoerige verhandeling wijdde, had hem overtuigd van het practische nut van zijn denkbeelden. In de mechanica heeft de voor zijn tijd nieuwe opvatting om met de begrippen verplaatsing, snelheid, versnelling enz. zelve rechtstreeks bewerkingen uit te voeren thans zelfs bij het elementaire onderwijs algemeen ingang gevonden in de vorm van

[p. 164]

het rekenen met vectoren. Directe invloed zal Grassmann hierbij, in tegenstelling met enige engelse mathematici, weinig hebben uitgeoefend, maar de verschillende wijzen, b.v. waarop men het product van vectoren definieren kan, komen bij hem voor en ook enige der door hem in dit verband voorgestelde benamingen hebben ingang gevonden.

Grassmann zet zijn onderzoek zeer algemeen op - het is trouwens één der oorzaken van zijn onleesbaarheid. Het is dan ook eigenlijk niet juist, dat de objecten van zijn calcul punten zijn of andere meetkundige of physische grootheden. Deze dienen hem slechts tot voorbeelden; het zijn concretiseringen van begrippen welke in wezen abstract zijn en voor welke laatste men, al naar gelang het onderdeel der wetenschap dat men beoefent, verschillende realiteiten substitueren kan. Deze opvatting, gebaseerd op de overtuiging ‘dass es einen Zweig der Mathematik geben müsse, der in rein abstrakter Weise ähnliche Gesetze aus sich erzeuge, wie sie in der Geometrie an den Raum gebunden erscheinen’ stempelt Grassmann tot een bij uitstek modern mathematicus en hij luidt een der belangrijkste tendenties in, welke de ontwikkeling der wiskunde gedurende de laatste eeuw beheersen. De genoemde abstracties zijn de extensieve grootheden waarvan in de titel der Ausdehnungslehre sprake is.

Door de algemeenheid van Grassmann's uitgangspunt bevat zijn werk tevens de grondslagen voor althans twee richtingen van wiskundige werkzaamheid, waarbij het overigens weer de vraag is of zijn directe invloed in dezen van grote betekenis is geweest.

De ene betreft de theorie der hogere complexe getalstelsels. Het gebied der natuurlijke getallen kan door invoering van het getal nul, van de negatieve gehele getallen, van de meetbare en van de onmeetbare getallen worden uitgebreid tot het systeem der reële getallen. Met behoud der voor deze geldende rekenregels is daarna nog uitbreiding mogelijk tot het stelsel der gewone complexe getallen. Daarmee is dan een afsluiting bereikt, want het blijkt niet mogelijk het getalbegrip in de bedoelde zin nog verder uit te breiden. Een bewijs voor deze uitspraak was in de tijd van Grassmann nog niet gegeven, maar men mag wel aannemen, dat aan de onmogelijkheid zelf in zijn dagen niet werd getwijfeld. Uit de Ausdehnungslehre blijkt echter, dat wèl generalisaties van het getalbegrip mogelijk zijn, als men de geldigheid van een of meer rekenregels prijs geeft. Grassmann heeft dergelijke vragen ook tot een afzonderlijk onderwerp van onderzoek gekozen en wel in zijn Arithmetik van 1861.

Een tweede gebied, waarvoor Grassmann in de Ausdehnungs-

[p. 165]

lehre de fundamenten legt, is dat der meerdimensionale meetkunde. Het wezenlijke voordeel, door zijn abstrakte opvatting verkregen is, schrijft hij, ‘der Form nach der, dass nun alle Grundsätze, welche Raumesanschauungen ausdrückten, gänzlich wegfielen, und somit der Anfang ein ebenso unmittelbarer wurde, wie der der Arithmetik, dem Inhalte nach aber der, dass die Beschränkung auf drei Dimensionen wegfiel’. Volgens Klein is de Ausdehnungslehre de eerste systematische uiteenzetting van de meetkunde in ruimten van meer afmetingen.

Het werk van Grassmann doet hem kennen als een in hoge mate onafhankelijke en oorspronkelijke geest. Aan de waarde van zijn concepties wordt geen afbreuk gedaan door de erkenning, dat opvattingen, met de zijne verwant, ook door voorgangers en tijdgenoten waren verkondigd. Ideeën betreffende een directe analyse waren merkwaardiger wijze reeds uitgesproken door Leibniz en wel in een brief aan Huygens van 1679, waarin het heet: ‘je croy qu'il nous faut encore une autre analyse proprement geometrique ou lineaire, qui nous exprime directement situm, comme l'Algebre exprime magnitudinem. Et je crois d'en avoir le moyen, et qu'on pourroit representer les figures et mesmes des machines et mouvements en caracteres, comme l'Algebre represente les nombres ou grandeurs: et je vous envoye un essay qui me paroist considerable’. Deze brief was in 1833 gepubliceerd door Uylenbroek in zijn Huygenseditie. Het essay, dat slechts enkele pagina's beslaat, bevat de pogingen van Leibniz om zijn ideeën nader uit te werken; hij slaagt erin om de eenvoudigste geometrische objecten zoals de rechte lijn en het platte vlak, de cirkel en de bol door betrekkingen tussen punten voor te stellen. Door een eigenaardige speling van het toeval kwam Grassmann met het werk van Leibniz in aanraking. In het voorjaar van 1844, toen de Ausdehnungslehre voltooid, maar nog niet verschenen was, schreef het Jablonowskische Genootschap een prijsvraag uit, waarbij de uitwerking van de door Leibniz geschetste calcul werd verlangd. Möbius maakte Grassmann in 1845 op de prijsvraag opmerkzaam; deze zond een antwoord in, hetwelk de door hem in de Ausdehnungslehre ontwikkelde denkbeelden nog eens weergaf en een aantal voorbeelden bevatte, die hij aanvankelijk voor het tweede deel had bedoeld. Het antwoord werd bekroond en verscheen in 1847 onder de titel ‘Geometrische Analyse, geknüpft an die von Leibniz erfundene Geometrische Charakteristik’ met een aanhangsel van Möbius. Dit was de eerste en gedurende vele jaren de enige openbare erkenning van de betekenis van zijn werk.

[p. 166]

Dezelfde Möbius had reeds in 1827 zijn ‘Barycentrische Calcul’ in het licht gegeven, welke de eerste uitgewerkte directe geometrische analyse bevat, die de geschiedenis der wiskunde kent. Dit voortreffelijk geschreven werk bevat o.a. de systematische invoering van de begrippen positief en negatief bij meetkundige vragen en een aantal andere fundamentele beschouwingen, b.v. over meetkundige verwantschappen. Grassmann kende en bewonderde het boek; zijn eigen ontwikkelingen gaan ver uit boven die van zijn voorganger, omdat hij niet alleen zoals Möbius aan de som, maar ook aan het product van zijn objecten een zin te verbinden weet. Möbius heeft steeds voor Grassmann en zijn denkbeelden grote belangstelling getoond, zonder dat het hem, zoals wij reeds zagen, gelukte in het werk door te dringen. In elk geval blijkt, dat Grassmann, al was hij zijn tijd vooruit, met zijn opvattingen niet geïsoleerd stond en zoveel te meer is het te betreuren, dat de afschrikwekkende vorm waarin hij zijn ideeën bekend maakte, de volle waardering van zijn tijdgenoten heeft verhinderd.

Ook ten aanzien van de beide bovengenoemde gebieden der wiskunde, waarvoor in de Ausdehnungslehre de grondslagen werden gelegd, kan men, zonder de oorspronkelijkheid van Grassmann aan te tasten, vaststellen dat het hier onderwerpen betrof, waarmee ook andere mathematici, voor een deel zelfs met meer succes, zich bezighielden. Voor de hogere complexen geldt dit in het bijzonder voor Hamilton, wiens ‘Lectures on Quaternions’ weliswaar in 1853 verschenen, maar die reeds in 1843 in het bezit was van het begrip van deze uit vier componenten opgebouwde getallen, waarvan de toepasbaarheid op vragen van meetkundige, kinematische en physische aard niet heeft opgehouden de wiskundigen met bewondering te vervullen. Overeenkomstige opmerkingen kan men voor de meerdimensionale meetkunde maken. Zeer in tegenstelling met de niet-Euclidische meetkunde, waarvan men de belangwekkende en herhaaldelijk beschreven historische ontwikkeling door de eeuwen heen kan volgen, maakt de meerdimensionale meetkunde de indruk nauwelijks een geschiedenis te bezitten. Zij wordt in de loop der negentiende eeuw, weinig beïnvloed door de tegenkanting der philosophen, langzamerhand gemeengoed der mathematici. Hieraan is ongetwijfeld het feit niet vreemd, dat bij een zuiver analytische behandeling de uitbreiding van het aantal variabelen van drie tot meer dan drie nauwelijks als principieel wordt ondervonden. Dat Grassmann niet de enige is van zijn tijdgenoten, die deze uitbreiding - waarop hij overigens weinig de nadruk legt - onder

[p. 167]

de ogen ziet, blijkt overtuigend uit het feit, dat de jeugdige Cayley in het zelfde jaar 1844 een van zijn eerste artikelen publiceert in het Cambridge Mathematical Journal en wel onder de titel ‘Chapters on the analytical geometry of n dimensions’.

In de Ausdehnungslehre worden ook enige interessante concrete meetkundige problemen besproken of aangeduid, welker behandeling uiteraard het lot deelde van het werk, waarin zij waren vermeld. Wij noemen er een tweetal. Grassmann toont aan, dat het mogelijk is elke vlakke algebraische kromme voort te brengen door een mechanisme, waarbij een aantal rechten om vaste punten wentelt. Deze door hem genoemde ‘lineale Erzeugung’ heeft Grassmann later in een reeks afzonderlijke artikelen nader uitgewerkt en tot algebraïsche oppervlakken uitgebreid en deze publicaties hebben althans enigszins de aandacht getrokken. Een andere opmerking van hem, betreffende de mogelijkheid om de figuur van vier kruisende lijnen projectief te karakteriseren door een aantal grootheden, die met de dubbelverhouding van vier punten van een rechte zekere analogie vertonen, is onopigemerkt gebleven totdat Study in 1894 in zijn geannoteerde edztie van de Ausdehnungslehre er de aandacht op vestigde. Study velf en later zijn leerling Mohrmann hebben aan deze ‘dubbel erhoudingen van Grassmann’ een reeks van artikelen gewijd.

Grassmann is ongetwijfeld een der merkwaardigste figuren uit de geschiedenis der wiskunde. Hij werd in 1809 te Stettin geboren als zoon van een leraar aan het gymnasium en studeerde van 1827 tot 1830 te Berlijn in de theologie. Behalve van zijn vader die een goed wiskundige was, heeft hij nooit onder wijs in wiskunde gehad. Als mathematicus is hij autodidact en deze omstandigheid, tezamen met het feit dat hij nimmer in een wetenschappelijk mathematisch milieu heeft verkeerd, verklaart misschien voor een deel de eigenaardige vorm, waarin hij zijn wiskundige resultaten bekend maakte en het lot, dat zijn werk daardoor heeft getroffen. In 1830 keerde hij naar Stettin terug en terwijl hij zijn theologische studies voortzette, bereidde hij zich tevens voor een aantal examens voor, die hem de onderwijsbevoegdheid voor het middelbare onderwijs zouden geven. Hij legde ook de theologische examens af, maar na een innerlijke crisis deed hij afstand van een loopbaan als predikant en werd leraar, eerst van 1834-1835 aan een Oberrealschule in Berlijn - merkwaardigerwijze als opvolger van Jacob Steiner, met wie hij overigens geen contact schijnt te hebben gehad - en daarna tot zijn dood in zijn geboorteplaats. Behalve in wiskunde en natuurwetenschappen gaf hij o.a. ook les in duits, frans, latijn en gods-

[p. 168]

dienst. Hij deed zijn werk als zodanig in overeenstemming met zijn karakter buitengewoon conscientieus en zocht ook hier oorspronkelijke wegen. Zo schreef hij b.v. een leerboek voor duits en een voor latijn, stelde een leesboek samen en gaf zich bij het onderwijs in de natuurwetenschappen veel moeite voor het experimentele gedeelte, waarin hij ook de leerlingen betrok. De uitvoerige biographie, welke Engel later over Grassmann schreef, is niet alleen lezenswaard om de persoonlijkheid welke er in wordt beschreven, maar ook om de interessante bijzonderheden die ons worden bericht over de inrichting van het middelbaar en gymnasiaal onderwijs, zoals men die een eeuw geleden in een stad als Stettin aantrof, bijzonderheden die ook afdalen tot detailkwesties als lesroosters en aantallen wekelijkse lesuren der docenten. En het is merkwaardig hoe weinig ons dit treft als een verslag uit een verleden tijd en hoeveel overeenkomst de omstandigheden vertonen met die welke wij uit onze eigen tijd en ons eigen land kennen. Hoe goed kunnen wij beseffen hoezeer Grassmann, die niet alleen een buitengewone plichtsopvatting, maar blijkbaar ook veel enthousiasme voor zijn dagelijkse taak bezat, het betreurde dat deze hem weinig tijd liet voor wetenschappelijke arbeid. Evenals wij dat nu nog in ons land in verschillende steden met een oudere cultuur kennen, bestond er in Stettin een natuurkundig genootschap, waarin Grassmann door zijn veelzijdige kennis en belangstelling een vooraanstaande plaats innam, maar het is begrijpelijk dat hij de ambitie had dit milieu voor een universitaire omgeving te verwisselen. Met een zuivere openhartigheid, die noch de indruk van onbescheidenheid, noch van naiveteit maakt, zinspeelt hij daarop aan het eind van het voorbericht van zijn Ausdehnungslehre. Hij vraagt verontschuldiging voor de onvolkomenheid van zijn werk, dat in karige vrije tijd moest worden verricht en vervolgt: ‘Doch wenn auch eine Berufsthätigkeit, in welcher solche Mitteilungen aus dem Gebiete der Wissenschaft meine eigentliche Aufgabe sein würden, als das Ziel meiner Wünsche und Bestrebungen mir vor Augen steht, so glaubte ich doch die Bearbeitung dieser Wissenschaft nicht bis zur Erreichung dieses Zieles aufschieben zu dürfen, zumal da ich hoffen konnte, durch die Bearbeitung dieses Theiles selbst mir den Weg zu jenem Ziele bahnen zu können’. In 1847 heeft Grassmann daadwerkelijk een poging ondernomen om een academische positie te veroveren; veel later is bekend geworden dat deze mislukt is onder invloed van een over zijn werk uitgebracht verslag van de hand van niemand minder dan Kummer, die op grond van de gebrekkige compositie van zijn geschriften en van

[p. 169]

wat hem eenzijdigheid van Grassmann's belangstelling scheen, meende te moeten ontraden hem een functie als universitair docent toe te vertrouwen. Veel later, in 1869, is er nog sprake geweest van een benoeming tot hoogleraar te Greifswald, maar ook hiervan is ten slotte niets gekomen. In de voorrede van de tweede druk van de Ausdehnungslehre in 1878 stelt hij vast: ‘Meine Hoffnung, einen akademischen Lehrstuhl zu gewinnen, und dadurch jüngere Kräfte in die Wissenschaft einzuführen, schlug fehl’. Naast deze teleurstelling bleven hem op wetenschappelijk wiskundig gebied ook andere verdrietelijkheden niet bespaard. Het schijnt wel of er op zijn werk een noodlot rust. Herhaaldelijk is hij gedwongen de prioriteit van door hem gepubliceerde resultaten tegen anderen te verdedigen, zo tegen Plücker, Bellavitis, Cauchy, de Saint-Venant en Clausius. Hij doet dit steeds op waardige en zakelijke wijze en heeft ook vrijwel steeds de voldoening dat men zijn rechten erkent, welke verwaarloosd waren door onbekendheid en misverstand omtrent zijn werk.

Er is in de miskenning van zijn betekenis, in het stilzwijgen over het werk van deze man, welke ook zeker niet door zijn persoonlijke eigenschappen veroorzaakt kunnen zijn, iets onmiskenbaar tragisch. Men zou zich verschillende reacties van een mens in deze omstandigheden kunnen voorstellen en de historie kent verschillende voorbeelden van de invloed, die het ontbreken van waardering op de persoonlijkheid uitoefent. Bij Grassmann, van wiens leven wij meer weten dan van welhaast enig andere wiskundige, vinden wij noch de apathie, noch de verbittering die in de gegeven omstandigheden zo begrijpelijk zouden zijn geweest, Het antwoord, dat deze superieure geest aan de wereld gaf, was van edeler gehalte. Hij verliest allerminst het vertrouwen in de waarde van zijn wiskundig werk, laat het echter gedeeltelijk rusten en wijdt zich van omstreeks 1850 af, toen hij dus de veertigjarige leeftijd reeds voorbijgegaan was, aan een geheel andere wetenschap, de philologie en wel in het bijzonder aan de studie van het sanskriet. En het merkwaardige is, dat de erkenning die zijn wiskundige tijdgenoten hem hadden onthouden, hem als orientalist ruimschoots deelachtig werd. Naast een aantal tijdschriftartikelen gaf hij twee grote werken in het licht: een woordenboek van de Rig-Veda (1872-1875) en een vertaling van de Rig-Veda (1876-1877), welke door de vakgeleerden zeer gunstig werden ontvangen en waarvoor hem naast andere onderscheidingen het eredoctoraat van de Universiteit te Tübingen werd verleend. Er zijn meer voorbeelden in de geschiedenis van een veelzijdige begaafdheid - onder de wiskundigen zouden wij b.v.

[p. 170]

Pascal en Gauss kunnen noemen - maar het komt uitermate zeldzaam voor, dat men zoals Grassmann zowel op het gebied der realia als dat der humaniora prestaties verricht van de hoogste rang. Deze omstandigheid verheft hem tot een grote figuur in de geschiedenis der wetenschap.

Het is eenvoudig verbazingwekkend, wat Grassmann naast zijn leraarsbetrekking en zijn werk op het gebied der wiskunde en de vergelijkende taalwetenschap nog presteren kon. Behalve een superieur intellect had hij de hartstocht om op verschillende terreinen des levens tot de kern der problemen door te dringen en ze in volle omvang op te lossen. In het jaar dat de Ausdehnungslehre verscheen, werd te Parijs als zoon van een bouquiniste een van de grootste franse stylisten geboren, waarvan elke pagina getuigt niet alleen van zijn ironie en zijn beminnelijk scepticisme, maar ook van zijn fijnzinnige eruditie. Er is nauwelijks groter tegenstelling denkbaar dan tussen Hermann Grassmann en Anatole France, in levenshouding en stijl. Terwijl de eerste zijn leven lang blijft hopen op een professoraat, vindt de laatste, als er sprake van is hem een leerstoel aan het Collège de France aan te bieden, geen beter antwoord dan ‘Qu'on ne me parle plus de cette chaire!’ en ten aanzien van de overleden hoogleraar vraagt hij: ‘N'a-t-il donc pas un fils pour continuer son oeuvre?’ Maar wat beiden gemeen hebben is de felle begeerte om te weten, na te denken en te doorgronden. Dat is ook wat Grassmann gemeen heeft met de romanfiguren van France, van wiens M. Bergeret verklaard wordt ‘qu'il se livrait aux orgies de la méditation’. En blijkbaar bezat hij het merkwaardig vermogen om in een zelfde periode zich te verdiepen in onderwerpen van de meest uiteenlopende aard. Een willekeurige blik in de lange lijst van zijn publicaties kan ons daarvan overtuigen; zo vinden wij b.v. opelkaarvolgend een aantal artikelen over klankleer, over de naamvalsvorming in de indogermaanse talen, een leerboek der trigonometrie, een beschouwing over italiaanse godennamen, een overzicht der mechanica, een nieuwe editie van zijn duits leesboek, een benaderingsconstructie voor π, een elementaire oplossing van de vergelijkingen van de vierde graad. Daarop volgt in de lijst een van zijn omvangrijkste geschriften, een werk van driehonderd pagina's over duitse plantennamen. Voor twee gebieden der physica heeft hij baanbrekend werk verricht; met behulp van het wiskundig apparaat van zijn Ausdehnungslehre geeft hij nieuwe formuleringen van de wetten der electrodynamica, welke later door Clausius opnieuw werden ontdekt. En daarnaast is hij de voorloper van Helmholtz bij zijn uitvoerige theoretische en

[p. 171]

experimentele onderzoekingen over de wetten der klankvorming. Hierbij hebben wij in zekere zin een synthese van verschillende richtingen van zijn werkzaamheid, omdat het onderwerp mathematische, physische en philologische aspecten heeft. Grassmann vond daarbij steun in zijn bijzonder ontwikkeld gehoor. Hij was zeer muzikaal, was ook als componist werkzaam en gaf een verzameling pommerse volksliederen uit. Grassmann was allerminst een geleerde, die zich afsloot van de maatschappij. In het verenigingsleven van zijn woonplaats nam hij een vooraanstaande plaats in en hij verrichtte o.a. veel werk als secretaris van een vereniging voor de zending in China. De gebeurtenissen in het revolutiejaar 1848 leefde hij met grote belangstelling mede en hij was in die periode zelfs een tijdlang redacteur van een dagblad. Over zijn werk als leraar zijn goede getuigenissen bewaard, maar men krijgt toch de indruk dat bepaalde moeilijkheden, aan het lesgeven op een middelbare school verbonden, hem niet vreemd zijn gebleven.

Al stelde Grassmann belang in verschillende gebieden van menselijk denken, zo beschouwde hij zich ook na de ervaringen met zijn Ausdehnungslehre aanvankelijk voornamelijk als mathematicus. Zijn overtuiging van de innerlijke waarde van zijn denkbeelden bracht hem ertoe, deze in een geheel nieuwe vorm aan de wetenschappelijke wereld voor te leggen. En zo verscheen in 1862 het werk, dat als A2 bekend staat en dat met een geheel andere methode zijn ideeën over een directe analyse ontwikkelt. Toen ook dit werk, dat naar algemeen oordeel nog moeilijker leesbaar is dan het eerste, eveneens met stilzwijgen werd ontvangen, liet Grassmann zijn wiskundig werk grotendeels rusten en wijdde zich voornamelijk aan zijn taalwetenschappelijke studies.

Met voldoening kan men vaststellen, dat de mathematicus Grassmann tegen het einde van zijn leven ten slotte toch nog de waardering heeft ondervonden, waarop hij zoveel jaren had gewacht. Twee jongere wiskundigen, Hankel en vooral Clebsch, gaan zich voor zijn werk interesseren en de laatste getuigt openlijk in woord en geschrift van de grote betekenis van Grassmann's concepties. Weliswaar schijnt het noodlot nog op zijn werk te rusten: de vroegere dood van Clebsch maakt een einde aan diens pogingen om Grassmann recht te doen. Maar intussen hebben ook andere wiskundigen, met name Schlegel en Klein, de grote betekenis van zijn werk erkend. Onder invloed van deze omstandigheden keert Grassmann na 1871 tot de wiskunde terug. Er ontstaat zelfs vraag naar de (eerste) Ausdehnungslehre en

[p. 172]

daar de eerste oplaag vernietigd is, valt Grassmann het geluk te beurt een herdruk te mogen voorbereiden van het werk, dat hij dertig jaren te voren met zoveel verwachtingen in het licht had gegeven. Deze verscheen met een voorrede van Grassmann's hand, in 1878. Het jaar te voren was de schrijver, werkzaam en belangstellend tot het einde, in zijn woonplaats overleden.

De uiteindelijke erkenning van zijn werk geeft, menselijk beschouwd, een gevoel van bevrediging. Wetenschappelijk gesproken kwam, zoals Engel terecht opmerkt, deze opmerking te laat. Verschillende denkbeelden van Grassmann waren inmiddels onafhankelijk van hem elders tot ontwikkeling gekomen en van rechtstreekse invloed van zijn werk kon nauwelijks sprake zijn. En zo heeft het geniale geschrift, dat een eeuw geleden verscheen, slechts, en heeft het nimmer anders gehad dan, historische betekenis.

Het heeft weinig zin een verklaring te zoeken voor het lot van Grassmann's mathematisch werk en zich te verdiepen in veronderstellingen omtrent de vraag of het onder andere maatschappelijke omstandigheden van de schrijver de erkenning zou hebben gevonden, die het in werkelijkheid werd ontzegd. Klein is genegen ook wel voordelen te zien in de geïsoleerde positie, welke hij innam en die hem toestond zich harmonisch en naar zijn aard te ontwikkelen. In elk geval zien wij bij Grassmann een grote tegenstelling tussen de inhoud en de vorm zijner geschriften; deze laatste werd ongetwijfeld beïnvloed door zijn neiging tot abstracties, tot ‘begriffliche Beweisführungen’ zoals hij het zelf noemt. Stäckel meent dit laatste in verband te kunnen brengen met het feit, dat Grassmann op betrekkelijk rijpere leeftijd met de studie der mathesis is begonnen en trekt een parallel met Lie.

Bij het ontstaan van een nieuwe algorithmus is het gevaar niet denkbeeldig, dat de betekenis en de toepasbaarheid der nieuwe begrippen worden overschat. Een merkwaardig voorbeeld daarvoor doen de quaternionen zien, die voor een groep van wiskundigen van de tweede rang tot een mathematisch evangelie uitgroeiden, waarbuiten geen wiskunde mogelijk was. Ook de Ausdehnungslehre heeft een dergelijke secte doen ontstaan, waarbij een overdreven bewondering voor de draagwijdte der daarin neergelegde denkbeelden vermengd was met een psychische factor, voortgebracht door het besef van de miskenning waaronder de schrijver had geleden en die de profeet versierde met de attributen van het martelaarschap. Maar naast deze ongezonde verheerlijking, die zo geheel indruist tegen het karakter van Grassmann en die trouwens spoedig is geëbd, is ook een

[p. 173]

zuivere en oprechte wetenschappelijke belangstelling gegroeid. Zij heeft geleid tot de uitgave van Grassmann's mathematische en physische geschriften, welke op initiatief van Klein door de Sächsische Gesellschaft der Wissenschaften tot stand werd gebracht en van 1894-1911 in zes delen verscheen. Zij werd geleid door Engel, die merkwaardigerwijze geen bijzonder groot bewonderaar van Grassmann was, maar die behalve door wetenschappelijke, ook door menselijke motieven werd geleid. ‘Ich gestehe es offen, mich reizte auch der Gedanke, etwas dazu beitragen zu können, dass der so verkannte Mann zu seinem Rechte käme’. Het laatste der zes delen bevat een zeer uitvoerige biographie van zijn hand, geschreven zonder veel enthousiasme en wars van alle verheerlijking, maar buitengewoon zorgvuldig gedocumenteerd. De figuur van Grassmann en het milieu waarin hij leefde staan bij de lezing duidelijk voor ons en de aaneenrijging der gebeurtenissen in de kroniek van zijn leven is voldoende om ons er van te overtuigen, dat wij staan tegenover een uitzonderlijk begaafd, maar tevens een zeldzaam zuiver en oprecht mens.

O. Bottema

Literatuur

Victor Schlegel: Hermann Grassmann, sein Leben und seine Werke (Leipzig 1878).

Hermann Grassmann, sein Leben und seine mathematisch-physikalischen Arbeiten (door Sturm, Schröder en Sohncke) (Math. Annalen 14 (1879) pag. 1-45).

Hermann Grassmann's Gesammelte mathematische und physikalische Werke, herausgegeben von Friedrich Engel (Leipzig, 1894-1911).

Engel: Hermann Grassmann (Jahresbericht D.M.V. 1909, pag. 344-356).

Engel: Grassmann in Berlin (Sitzungsber. Berl. Mathem. Ges. 8 (1909), pag. 79-88).

Jahnke: Hermann Grassmanns Ausdehnungslehre (id. pag. 89-99).

P. Stäckel: Hermann Grassmann, ein Beitrag zur Psychologie des Mathematikers (Intern. Monatsschr. f. Wissensch., Kunst u. Technik, 6, 1912, pag. 1-10).

Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, III, 1, 2; II. Systeme geometrischer Analyse; III. Die Grassmannsche Ausdehnungslehre (A. Lotze) (Leipzig 1923).

Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert I (Berlin 1926, pag. 173-182).