|
| |
| |
| |
Wijsbegeerte in en over wiskunde
Dr. Evert W. Beth, Inleiding tot de Wijsbegeerte der wiskunde. - N.V. Dekker & van de Vegt, Nijmegen-Utrecht 1940.
In de Philosophische Bibliotheek van Dekker en van de Vegt, deze veelzijdig opgezette reeks van wijsgeerige uitgaven, waaraan wij al zoo menig voortreffelijk werk te danken hebben, verscheen als jongste publicatie een Inleiding tot de Wijsbegeerte der Wiskunde van den mathematicus en philosoof Evert Beth. Dit is een boek, waarover veel te zeggen valt, een boek tevens, dat belangstelling verdient in ruimeren kring dan waarin men zich voor de wiskunde als zoodanig pleegt te interesseeren; deze twee overwegingen geven aanleiding, het hier in grootere uitvoerigheid dan waartoe de rubriek Bibliografie de gelegenheid zou geven, te bespreken.
De titel doet natuurlijk onmiddellijk de vraag rijzen, wat men onder wijsbegeerte der wiskunde heeft te verstaan. De schrijver, die overal met verheugende duidelijkheid zijn onderwerpen weet te bepalen en zijn bedoelingen te omschrijven, geeft er reeds dadelijk in zijn Voorwoord uitsluitsel over: men kan er bij denken aan een wijsgeerig gerichte beoefening der wiskunde, waarin men zich niet tevreden stelt met het hanteeren van de reeds bekende begrippen en methoden en het bereiken van nieuwe resultaten, maar waarin men tevens stelselmatig streeft naar inzicht in de gronden, waarop de verkregen wiskundige kennis berust; men kan er echter ook een wijsgeerige beschouwing van de wetenschap der wiskunde onder verstaan, waarin men zich ten doel stelt, hare betrekkingen tot andere wetenschappen te bepalen, de natuur harer objecten te omschrijven, den graad van zekerheid harer resultaten vast te stellen en zoo mogelijk te verklaren, haar waarde aan te geven en de geestelijke functies, die voor haar beoefening worden vereischt, op te sporen. Volgens de eerste opvatting philosofeert men in, volgens de tweede over de wiskunde.
| |
| |
Deze twee vormen van de philosofie der wiskunde staan nu echter niet als gelijkwaardige wetenschappen naast elkaar: men kan den eersten wel tot op zekere hoogte zonder den tweeden beoefenen, maar het is onmogelijk om over de wiskunde iets verstandigs te zeggen zonder op de hoogte te zijn met de resultaten, waartoe het nadenken over eigen wezen haar in de laatste decennia geleid heeft.
Daar nu echter dit denken, zooals het in het moderne, met behulp van de logistiek beoefende grondslagenonderzoek tot uiting komt, tot inzichten in het wezen der wiskunde heeft geleid, waarvan men in vroegere tijden, ondanks intense beoefening van het vak als zoodanig, niet heeft kunnen droomen, is het begrijpelijk, dat van de beschouwingen over het wezen der mathematische kennis, die in de klassieke wijsgeerige systemen voorkwamen, veel, zooal niet geheel weerlegd, dan toch wel in zoo hooge mate onzeker is geworden, dat men er niet meer op kan voortbouwen. Het zal hierdoor tevens duidelijk zijn, waarom de wiskundige philosophie in de eerste der boven onderscheiden beteekenissen in het boek van Dr. Beth een zooveel grootere plaats inneemt dan de beschouwingen over de wiskunde en haar methode, die in de tweede werden omschreven. Eerst in het laatste hoofdstuk gaat de schrijver definitief tot den tweeden vorm over, al is in het voorafgaande al menig resultaat aan het licht gekomen, dat ook daarvoor waarde heeft.
Een boek voor wiskundigen dus, zal men vragen, een van die specifiek-mathematische werken, die voor buitenstaanders ondanks allen goeden wil altijd met zeven zegelen gesloten zullen blijven? Dat toch niet. Natuurlijk geldt Goethe's woord ‘Wer das Dichten will verstehen, muss ins Land der Dichtung gehen’ ook ten aanzien van de poëzie der wisconst en wie dus van het wezen der wiskunde iets begrijpen wil, zal dan ook, wel geenactief medewerker, maar toch zeker een begrijpend toeschouwer van haar bedrijf moeten worden. Dat wordt hem echter hier zóó goed mogelijk gemaakt als met de geestelijke eischen, die de mathesis natuurlijk steeds blijft stellen (eischen vooral van abstractievermogen en denkgeduld) vereenigbaar is. De schrijver beschikt over een benijdenswaardig vermogen om de wezenlijke kern van een mathematischen gedachtengang kort en helder uiteen te zetten; daarbij is hij vervuld van de begeerte, om het maar al te
| |
| |
vaak verloren gegane contact tusschen de wiskunde en de systematische wijsbegeerte te herstellen; de combinatie van die gave en dat verlangen met zijn zoowel mathematische als philosophische scholing maakt hem tot den aangewezen gids voor iederen lezer, die zich tot het onderwerp van zijn boek aangetrokken gevoelt.
Wanneer we nu in groote trekken den inhoud van het werk nagaan, dan vinden we in de eerste drie hoofdstukken de wijziging in de denkbeelden over het wezen en den opbouw van de meetkunde behandeld, die het gevolg zijn geweest van de voor de geschiedenis van het denken zoo uitermate belangrijke opstelling van de niet-Euclidische meetkunden. Bondig, maar volkomen helder zet de schrijver uiteen, hoe de meetkundigen er toe gekomen zijn, zich te emancipeeren van de heerschappij van het stelsel van Euclides, dat zij twintig eeuwen als eenige geometrische denkbaarheid en tevens als adaequate uitdrukking van de structuur der physische ruimte hadden beschouwd, en welke beteekenis aan het inzicht, dat men niet van de meetkunde, maar van verschillende meetkunden moet spreken, voor de beoordeeling van de ruimteleer van Kant toekwam. De schrijver merkt in dit verband echter op, dat er in Kant's eigen tijd ook wel feiten bekend waren, waaraan men bij grondige analyse argumenten van dezelfde strekking tegen die leer had kunnen ontleenen als de niet-Euclidische meetkunden later zouden leveren; als zoodanig noemt hij ook ‘de mogelijkheid van een ruimte van meer dan drie dimensies, ontdekt door.... Kant’, welke ‘op dit gebied natuurlijk evenwel 〈bewijst〉 als de mogelijkheid van een ruimte, waarin het parallelenpostulaat niet geldt’. Geheel overtuigend lijkt ons deze redeneering niet. Want vooreerst kan men de overweging van de denkbaarheid, dat er in de physische ruimte een andere gravitatiewet als die van Newton had kunnen gelden (Deo volente) en dat de ruimte dan niet driedimensionaal zou zijn geweest (en dat is het toch, wat Kant zegt en wat hem aanleiding geeft, om aan een wetenschap van alle mogelijke ruimtesoorten te denken), niet op een lijn stellen met de werkelijke uitvoering van den opbouw eener meetkunde, waarin het Euclidisch parallelaxioma niet geldt, zooals Ganss, Lobatschefsky en Bolyai die hebben gegeven.
En ten tweede was de onttroning van dit axioma toch wel in veel hoogere mate fnuikend voor de overtuiging van
| |
| |
de uitsluitende geldigheid der Euclidische meetkunde dan de ontwikkeling eener meerdimensionale meetkunde in Kant's tijd ooit had kunnen zijn. Want die laatste meetkunde zou men hebben opgebouwd als uitbreiding der traditioneele stereometrie, zooals deze het was van de planimetrie en ze zou zoo Euclidisch gebleven zijn als deze.
Na bespreking van de onderzoekingen, waartoe de nieuwe formuleering van het ruimteprobleem (hoe uit de wiskundig mogelijke meetkunden diegene uit te zoeken, die met de empirisch gegeven physische werkelijkheid overeenstemt) in de 19e eeuw aanleiding heeft gegeven (behandeld worden in het bijzonder de resultaten van Helmholtz), komt de schrijver tot den nieuweren axiomatischen opbouw der meetkunde, die feitelijk het begin vormt van het moderne grondslagenonderzoek, en daar door tot de uiteenzetting van de oorzaken, die er toe hebben geleid, dat dit onderzoek zich in de latere jaren steeds meer naar de getallenleer en in verband daarmee naar de logica is gaan verplaatsen. Als inleiding tot de leer van het getalbegrip geeft hij een eigen versie van de in het volgende benoodigde deelen van de onderzoekingen van Dedekind, den wiskundige, die door zijn werkje Was sind und was sollen die Zahlen? (1882) het eerst diepere aandacht wekte voor het slechts schijnbaar onproblematische karakter van het begrip natuurlijk getal. Daarna zich tot de logica wendend, zet hij met bijzondere zorg de betrekking uiteen, waarin de traditioneele (ten onrechte uitsluitend op naam van Aristoteles gestelde) vorm van deze wetenschap tot de nieuwere ontwikkeling staat, die zij in de logistiek heeft verkregen. Ware het niet, dat een afzonderlijk, aan logistiek gewijd deel der Philosophische Bibliotheek in het vooruitzicht was gesteld, zoo zou men gaarne nog uitvoeriger en duidelijker de tekortkomingen van de klassieke en de voordeelen der moderne logica uiteen gezet hebben willen gezien; dit vooral met het oog op de nog steeds voorkomende meening, als zoude de logica in haar traditioneelen vorm in feite een afgesloten wetenschap zijn en de logistiek slechts een uitvloeisel van de neiging der wiskundigen, om alles, wat zich daartoe maar leenen wil, in teekenschrift te formuleeren.
Thans overgaande tot het eigenlijke grondslagenonderzoek schetst hij achtereenvolgens de denkbeelden van het logicisme (waarbij hij de theorie van Frege op zeer gelukkige wijze laat aan- | |
| |
sluiten bij de historisch jongere van Dedekind), van het intuitionisme (de schepping van den Amsterdamschen hoogleeraar L.E.J. Brouwer) en van de bewijstheorie van Hilbert. Dit gedeelte van het werk vindt een zekere afsluiting in het Hoofdstuk Syntaxis en Semantiek, welke aan de taalwetenschap ontleende termen hier gebezigd worden in de speciale beteekenis, waarin ze in de theorie der geformaliseerde wiskundige talen voorkomen en waarin de syntaxis de leer van het hanteeren der symbolen beduidt, terwijl de semantiek de relaties van die symbolen tot de daardoor geintendeerde objecten beschouwt.
Men moet in al deze hoofdstukken telkens weer de wijze bewonderen, waarop de schrijver met kennelijke beheersching van de moeilijke stof de belangwekkende nieuwere denkbeelden over de grondslagen der wiskunde en de vaak allerverwonderlijkste daarmee bereikte resultaten beknopt en in systematisch verband uiteen weet te zetten. Toch mag hier niet verzwegen worden, dat in dit gedeelte van het werk de behandelingswijze niet steeds strookt met het karakter van inleiding, dat de titel aankondigt. De schrijver heeft er in een van zijn vroegere publicaties zelf op gewezen ‘dat de symbolen van pasigraphische systemen.... zonder nadere toelichting niet de beoogde (wiskundige) denkprocessen zullen opwekken’ en dat, wanneer die toelichting ontbreekt, de wèl opgewekte reacties ‘het midden 〈plegen〉 te houden tussen ontzetting en afschuw’. Daar hij nu echter bij talrijke logistische passages òf slechts een tot het uiterste beknopte òf in het geheel geen toelichting in woorden van de omgangstaal geeft, kan men verwachten, dat zijn lezers niet steeds voor ontzetting en afschuw gevrijwaard zullen blijven. Men stelle zich slechts eens voor, wat iemand, die logistisch ongeschoold is, voor gewaarwordingen moet hebben, wanneer men hem dezen regel voor oogen zet
((sϵ Cls) & ((oϵs) & ((γ)((γϵs) → ((γ + 1)ϵs))))) →
((zϵN) → (zϵs))
en hem dan, als ware dit de gewoonste zaak ter wereld, meedeelt, dat hier het beginsel der volledige inductie staat uitgedrukt.
In het algemeen krijgt men den indruk, dat de schrijver in deze centrale hoofdstukken de moeilijkheid van zijn onderwerp te laag of het bevattingsvermogen van den in te leiden en dus niet spe- | |
| |
ciaal in grondslagenonderzoek geschoolden lezer te hoog heeft aangeslagen. Dit is in mathematicis geen ongewoon verschijnsel: wiskundige gedachtengangen krijgen voor iemand, die ze volkomen beheerscht, iets zoo doorzichtigs, dat hij zich moeilijk meer kan voorstellen, dat een oningewijde er duistere plekken in ontwaart.
Wie door de opgedane ervaringen thans eenigszins is ontmoedigd, zal herademen, wanneer hij in een volgend hoofdstuk een uitermate boeiende en heldere uiteenzetting aantreft van de merkwaardige paradoxen, die bij onbekommerde toepassing van logische en wiskundige denkvormen kunnen optreden. Evenals op andere plaatsen treft ook hier de verhelderende werking van de onderscheidingen, waardoor de schrijver verschillende opvattingen en standpunten ten opzichte van elkander begrenst. Het woord Qui bene distinguit, bene docet is bij hem levende werkelijkheid geworden.
Het nu volgende hoofdstuk over wiskundige significa vormt door de aandacht, die er uiteraard in gewijd wordt aan de psychische processen, welke zich bij het verrichten of ondergaan van wiskundige taaldaden afspelen, een geleidelijken overgang tot het slotwoord, waarin dan eindelijk de wiskunde niet langer het terrein is, waarop zich de bespiegeling beweegt, maar het object, waarop ze zich richt. Als intermezzo treft men echter eerst nog een korte studie aan over den psychologischen oorsprong van onze ruimtevoorstelling, waarbij het resultaat, ‘dat binnen het naïeve bewustzijn de indrukken van den tastzin tegenover die van den bewegings- en vooral van den gezichtszin een bijzonder overwicht bezitten’ den schrijver aanleiding geeft tot een merkwaardige digressie over de sporen, die deze bevoorrechte positie van den tastzin in sommige phasen van de Grieksche wijsbegeerte en wiskunde heeft achtergelaten.
Langzamerhand verkrijgt het werk nu meer het karakter van een verzameling van fragmentarische beschouwingen dan van een samenhangend betoog. Men treft een uitweiding aan over het aesthetisch element in de wiskunde, waaraan een (wel wat oppervlakkige) behandeling van het probleem van de wiskundige begaafdheid (beter: van de z.g. onbegaafdheid) wordt vastgeknoopt; een kritiek op neo-positivistische en neo-scholastische opvattingen over wiskunde en een schets van neo-intuitionistische
| |
| |
denkbeelden, die weer duidelijk van de neo-scholastische worden afgegrensd.
De schrijver ziet er hier, gelijk ook elders, van af, zelf de te bespreken gedachten uiteen te zetten en geeft inplaats daarvan uitvoerige citaten uit de werken, waarin ze worden uitgesproken. Men kan betwijfelen, of die methode wel doeltreffend is. Er zit altijd iets onbevredigends in, wanneer een auteur zich ter wille van een citaat effaceert, ook wanneer hij dat doet in de overweging, dat ‘de te bespreken gedachtengang van zeer ongewonen en uitermate subtielen aard is, zoodat elke paraphraseering het gevaar van een vervalsching met zich meebrengt’. Immers, zoo handelend doet hij afstand van de functie van middelaar tusschen de door hem speciaal bestudeerde stof en den lezer; en de laatste voelt zich eenigszins in de positie van een bergklimmer, dien de gids vaarwel zegt, omdat het nu toch te gevaarlijk wordt.
Er was, zeiden we, veel over dit boek op te merken. Uit dat vele nog enkele grepen. De Inleiding begint met de opmerking, dat de wiskunde van oudsher de opmerkzaamheid der philosophen heeft getrokken en dat dan ook geen klassiek systeem van wijsbegeerte er buiten kon, zijn positie ten aanzien van het mathematisch denken te bepalen. Daarna volgt de vraag: Vanwaar deze belangstelling voor een wetenschap, die naar het vrijwel eenstemmig oordeel der modernen met het wijsgeerig denken in eigenlijken zin ternauwernood eenig punt van aanraking vertoont?
Deze zin vormt voor ons het groote raadsel van het boek. Haar formuleering en haar plaats in het betoog wekken den indruk, dat de auteur het geciteerde oordeel tot het zijne maakt, terwijl zijn geheele boek als het ware één pleidooi voor het tegendeel is en dat tegendeel ook meermalen uitdrukkelijk wordt geformuleerd; zoo pag. 91: de problemen van het wiskundig grondslagenonderzoek zijn tevens hoofdproblemen van de systematische wijsbegeerte; pag. 92: Wie het wezen van de wiskundige denkwijze heeft begrepen, begrijpt het wezen van den denkenden geest; pag. 110: De logische fundeering van de wiskunde leidt.... tot een radicale hervorming van de metaphysica.
Heeft de schrijver, zijn vraag stellend, wellicht tè objectief willen zijn? Het is denkbaar, omdat hij vaker de neiging vertoont, van de deugd der objectiviteit een nood te maken. Hij verzekert
| |
| |
herhaaldelijk, dat hij den lezer in staat wil stellen, zelf een oordeel te vormen, dat hij zijn persoonlijke opvattingen niet wil propageeren, dat hij zijn eigen standpunt niet op den voorgrond wil plaatsen. Dat is een heel loffelijke gezindheid, maar er zijn twee bezwaren aan verbonden: het is niet vol te houden en de lezer stelt het niet op prijs. Hoe de auteur over de verschillende kwesties denkt, komt toch wel tot uiting (vooral bij iemand, die met zooveel hartstocht denkt en schrijft als Dr. E.W. Beth) en dan is het voor den lezer prettiger, als hij het standpunt van den auteur door hem zelf volledig ziet bepalen; het slot van het boek zou er wèl bij zijn gevaren, als hij het daarvoor gebezigd had.
Het ondanks dit alles natuurlijk toch uitermate toe te juichen streven naar objectiviteit, dat den schrijver kenmerkt, komt ook tot uiting in den hoffelijken toon, waarop hij critiseert en polemiseert. Ten overvloede verzekert hij in zijn Voorwoord met nadruk, dat hij nooit de bedoeling heeft gehad, iemand in zijn overtuiging te kwetsen. Voor niet ingewijden kan het wonderlijk lijken, dat dit zoo uitdrukkelijk verklaard wordt: kan men iemand kwetsen door anders dan hij over natuurlijke getallen, meetkundige axiomata, symbolen of paradoxen te denken? Maar de ervaring leert wel anders: een discussie over de grondslagen der wiskunde (en hieruit blijkt ook weer, hoe nauw de gedachten over dit onderwerpmet iemands algemeen-wijsgeerige instelling samenhangen) kan de hartstochten even goed opwekken als een debat over politiek en ook met de beste bedoelingen kan vaak kwetsing van gevoelens niet vermeden worden: de spreker, die, niets kwaads vermoedend, aanstoot gaf, toen hij de wiskunde ‘een vrije schepping van den menschelijken geest’ noemde, heeft het kunnen ervaren.
Of de schrijver er nu inderdaad in geslaagd is, alle gevoeligheden te ontzien? Men kan het betwijfelen; de aanhangers van de ‘zeer verspreide’ onjuiste en niettemin ‘van zeer gezaghebbende zijde’ verdedigde opvattingen ten aanzien van de wiskunde en hare grondslagen, waarover hij in het Voorwoord spreekt, zullen zijn beschouwingen wellicht niet overal waardeeren en een boven geciteerde uitlating op blz. 92 zal alleen al toereikend blijken, om hem het verwijt van grensoverschrijding op den hals te halen. Hij zal zich daartegen ongetwijfeld weten te verweren.
| |
| |
We vermelden ten slotte nog, dat de schrijver aan zijn vele andere goede hoedanigheden de gave van een voortreffelijken, ongedwongen en helderen stijl paart en dat hij op enkele Germanismen na (‘meerdere’ voor ‘meer dan een’; ‘zich betrekken’ voor ‘betrekking hebben op’, ‘zich verhouden’ voor ‘in betrekking staan tot’) zijn taal opmerkelijk vrij heeft weten te houden van de besmetting, waaraan zij in verband met de overwegend Duitsche literatuur over het onderwerp bloot stond. En aan de hulde, die hij om dit werk verdient, verbinden we de hoop, dat hij ons nog vaak over wiskunde en wijsbegeerte in onderlingen samenhang zal mogen voorlichten.
E.J. Dijksterhuis
|
|
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd