De Gids. Jaargang 99

[p. 41]

Prae-Helleensche wiskunde

III

Waar Grieksche schrijvers zich over den oorsprong der wiskunde uitlaten of den levensloop van hare beoefenaren beschrijven, noemen zij als voedingsbodem en leerschool vaker en nadrukkelijker nog Aegypte dan Babylon. Dat leidt er toe, om onder de prae-Helleensche wiskunden naast de Babylonische ook de Aegyptische te rangschikken en dus de in het voorafgaande beproefde schets van de Oostersche bronnen, waaruit de eerste Grieksche mathematici voor hun eigen scheppingen mogelijk hebben geput, aan te vullen met een beschrijving van wat zij in Aegypte hebben kunnen leeren.

Als inleiding berichten we eerst over de documenten, waaraan de huidige kennis der Aegyptische wiskunde is ontleend en over de uitdrukkingswijzen, waarvan zij zich bedient.

Er bestaat een merkwaardig contrast tusschen de groote verscheidenheid van de spijkerschriftteksten, waardoor we over de Babylonische wiskunde worden ingelicht en het zeer beperkte aantal papyri, waaruit we de Aegyptische leeren kennen. Practisch gesproken, kan men zich tot twee bepalen, die resp. bekend staan als de papyrus-Rhind (verder vaak als R aan te duiden) en de papyrus van Moskou of papyrus-Golenischeff (verder als M te citeeren). De eerste, die genoemd wordt naar den Engelschman A. Henry Rhind, die haar in 1858 te Thebe kocht, is een rol van ca. 5,5 m lengte en 32 cm hoogte; zij bevindt zich voor het grootste gedeelte in het British Museum te Londen, terwijl de meest belangrijke van de ontbrekende fragmenten in het bezit zijn van de New York Historical Society; de tweede, die door den Aegyptoloog W.S. Golenischeff omstreeks 1893 verworven

[p. 42]

werd, is sedert 1912 in het Museum voor Schoone Kunsten te Moskou; zij is even lang als R, maar slechts 8 cm hoog.

Van beide documenten bestaan uitmuntende moderne edities; bij het schrijven van dit opstel is gebruik gemaakt van de Amerikaansche uitgave van R, die door den kanselier van de Brown University, Arnold Buffum Chace, verzorgd is¹⁾ en van de Duitsche editie van M, die door den Russischen geleerde W.W. Struve is bewerkt²⁾.

De twee papyri zijn, voorzoover we weten, beide afkomstig uit het Middelste Rijk (dus van ca. 2000 v. Chr.), hoewel R pas neergeschreven is onder de regeering van ‘A-user-Rê’ uit de Hyksos-dynastie, ca. 1650 v. Chr.³⁾. In welken tijd de mathematische problemen, die erin worden behandeld, het eerst zijn gesteld en opgelost, is onmogelijk te zeggen; echter zijn dergelijke dateeringskwesties voor de kennis van de Aegyptische wiskunde al even weinig belangrijk als ze dat in het geval van de Babylonische wiskunde waren; de methoden en problemen, die R en M bevatten, verschillen niet noemenswaard van wat we in papyri uit den Griekschen tijd vinden en we kunnen dus weer met gerustheid ook over de Aegyptische wiskunde, al strekt ze zich dan ook over meer dan twintig eeuwen uit, als over een enkel onveranderlijk gebied van kennis spreken.

Hoewel we in dit opstel verder niet in zullen gaan op de taal, waarin de mathematische redeneeringen der papyri zijn uitge-

1) The Rhind Mathematical Papyrus. British Museum 10057 and 10058. In two volumes. Volume I. Free translation and commentary by Arnold Buffum Chace with the assistance of Henry Parker Manning. Bibliography of Egyptian Mathematics by Raymond Clare Archibald. Volume II. Photographs, Transcription, Transliteration, Literal Translation by Arnold Buffum Chace, Ludlow Bull, Henry Parker Manning. Bibliography of Egyptian and Babylonian Mathematics by Raymond Clare Archibald. Mathematical Association of America. Oberlin, Ohio, U.S.A. 1927. 1929.

2) Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Herausgegeben und kommentiert von W.W. Struve unter Benutzung einer hieroglyphischen Transkription von B.A. Turajeff. Quellen und Studiën zur Geschichte der Mathematik. Abt. A. Quellen. Band I. Berlin, Julius Springer, 1930.

3) De schrijver A'h-mosè (ook wel Ahmes genaamd) zegt, dat zijn werk lijkt op oude geschriften, gemaakt in den tijd van den koning van Boven- en Reneden Aegypte, Ne-ma'et-Rê'. Dit is koning Amen-em-hêt III, die van 1849 tot 1801 regeerde.

[p. 43]

drukt en op het systeem van hare schriftelijke weergave, zal het toch goed zijn, hierover enkele opmerkingen van algemeenen aard te maken, omdat eerst daardoor voldoende kan worden verduidelijkt, in hoeverre de geciteerde edities den inhoud der Aegyptische geschriften toegankelijk maken¹⁾.

Het oudste schriftsysteem der Aegyptenaren, waarvan wij kennis dragen, bestaat uit de z.g. hieroglyphen; men kan deze in hoofdzaak omschrijven als teekens, die, oorspronkelijk bedoeld als ideogrammen, dus als picturale afbeeldingen van de aan te duiden voorwerpen, later door toepassing van het rebusprincipe ook zijn gebruikt voor de schriftelijke weergave van woorden, die dezelfde consonantengroep bevatten²⁾ als het afgebeelde ding en ten slotte zijn geworden tot graphische symbolen voor bepaalde letters of lettercombinaties in abstracto. Op den duur zijn deze hieroglyphen bijna alleen toegepast voor inscripties op gewijde gebouwen, aan welk gebruik de Grieksche naam, waarmee ze thans worden genoemd, ontleend is (van? ἰεϱόϛ = heilig; γλύϕω = graveeren). In het practische gebruik op papyri heeft zich nl. een afgekorte en cursieve schriftvorm ontwikkeld, die als het hieratische (d.i. priesterlijke) schrift bekend staat en die men als een soort stenographie kan opvatten. In dit hieratische

1) Voor een meer uitvoerige behandeling van Aegyptische taal en Aegyptisch schrift in verband met de lectuur van den papyrus R moge verwezen worden naar een artikel van schrijver dezes: Drie Problemen uit de Aegyptische Wiskunde, Euclides VIII (1931-'32), 49-74. Men vindt daar ook nog verdere literatuuropgaven.

2) De Aegyptische taal heeft met andere Semitische talen de eigenschap gemeen, dat de woordstammen bestaan uit combinaties van consonanten en dat grammaticale flecties en geringe wijzigingen in beteekenis voornamelijk worden weergegeven door veranderingen in de inwendige vocalen; daardoor kon het consonant-skelet van een woord als het wezenlijke bestanddeel ervan gevoeld worden, waaruit de voor ons taalgevoel zoo wonderlijk schijnende gewoonte kon voortkomen, die het Egyptisch met het Phoenicisch, het Hebreeuwsch en het Arabisch gemeen heeft, namelijk, dat slechts de consonanten van een woord worden opgeschreven, terwijl de vocaliseering aan den lezer wordt overgelaten. Het behoeft wel geen betoog, hoezeer deze gewoonte de ontwikkeling van het hieroglyphensysteem in de hand heeft gewerkt. Met het oog op enkele in dit opstel te vermelden Egyptische termen moge nog worden opgemerkt, dat de tegenwoordige Egyptologie de in consonanten weergegeven termen gewoonlijk vocaliseert met behulp van vocalen e, terwijl voor enkele klanken zonder algemeen bekend modern aequivalent a wordt gezegd en enkele half-vocalen als i en u worden uitgesproken.

[p. 44]

schrift nu zijn de papyri R en M beide vervaardigd; de geciteerde edities bevatten echter, naast photographische reproducties van den tekst, een transcriptie daarvan in hieroglyphische symbolen en, voorzoover R betreft, een transliteratie, d.w.z. een weergave van de hieroglyphen in moderne consonantteekens, benevens een letterlijke vertaling. Men kan daardoor reeds met een zeer oppervlakkige kennis van Egyptische taal en Egyptisch schrift nauwkeurig nagaan, hoe alle redeneeringen en berekeningen in het origineel eruit zien; natuurlijk moet men echter, als niet-Egyptoloog, blijven vertrouwen op de juistheid der hieroglyphische transcriptie.

Thans overgaande tot ons eigenlijk onderwerp, bespreken we eerst in het kort de notatie en de techniek der Aegyptische rekenkunde. Hieraan ligt een decimaal getallenstelsel ten grondslag, waarvan de schriftelijke weergave, analoog aan wat bij letters het geval is, zoowel door een hieroglyphisch als door een daaruit door kortschrift afgeleid hieratisch cijfersysteem kan geschieden. Het hieroglyphisch cijferschrift, waartoe we ons verder beperken, weerspiegelt in zuiveren vorm de achtereenvolgende bundelingen, die we in onze inleidende beschouwingen (blz. 215 seq.) als eerste ordeningen van een getallenstelsel leerden kennen. Tot en met negen worden de getallen dus niet, zooals wij dat thans gewend zijn, weergegeven met individueele teekens, waarvan men stuk voor stuk de beteekenis moet leeren, maar door een streepje, dat de eenheid aangeeft, zoo vaak te herhalen, als het aan te duiden getal eenheden bevat. Inplaats van tien zulke streepjes schrijft men dan echter één nieuw teeken (dat waarschijnlijk een kniehalster voor vee voorstelt), om een bundel van tien eenheden uit te drukken en herhaalt dit zoo vaak als er tientallen in het uit te drukken getal voorkomen. Tien tientallen worden tot een bundel van honderd (afgebeeld door een maatsnoer, dat wellicht honderd ellen bevat heeft) samengevat en zoo voortgaande vindt men telkens nieuwe individueele teekens voor de machten van tien tot en met millioen¹⁾. De getallen worden dus steeds weergegeven volgens de methode der additieve iuxtapositie, die de Babyloniërs slechts beneden zestig toepasten:

1) De teekens voor 10{su4}, 10{su5} en 10{su6} verdwijnen in omgekeerde volgorde geleidelijk weer sedert het Nieuwe Rijk (ca. 1500 v. Chr.) en worden tot onbepaalde veelheidsaanduidingen.

[p. 45]

men moet de teekens voor de opvolgende machten van tien kennen en telt dan uit, hoeveel er van elk staan. Het is het systeem dat iedereen thans nog in het Romeinsche cijferschrift kent; daar is het echter nog weer gecompliceerd door het optreden van bundeling in vijven.

De beschreven eigenschap van het Egyptische cijferschrift heeft blijkbaar in hooge mate de techniek van het rekenen, voorzoover het de geheele getallen betreft, mede bepaald; de meest opvallende karaktertrek daarvan kan namelijk worden uitgedrukt door hetzelfde woord additief, dat de schrijfwijze der getallen kenmerkt. Dit is in de eerste plaats zoo te verstaan, dat de bewerking van het optellen in een der twee beteekenissen, die men aan dit woord kan hechten, nl. het tellen van het aantal elementen eener verzameling, die door vereeniging van twee reeds getelde verzamelingen is ontstaan¹⁾, haar directe schriftelijke uitdrukking vindt in het vereenigen van de cijfersymbolen der op te tellen getallen, gevolgd door nieuwe bundelingen, waar men tien gelijksoortige teekens aantreft. Terwijl dus bij ons een kind eerst (b.v. door vereeniging van een verzameling van zes en een van zeven elementen) moet ondervinden, dat zes en zeven samen dertien is en dan daarnaast moet leeren, dat men voor 6 + 7 ook 13 schrijven kan (dus een symbool, dat niet door combinatie van een 6 en een 7 is ontstaan), vallen voor den Aegyptischen rekenaar de bewerking van het optellen van 6 en 7 en het schrijven van het resultaat van deze optelling (op één bundeling na) samen.

Additief kan men echter zijn rekenwijze nog in een tweede opzicht noemen en wel hierin, dat hij zich in veel hoogere mate dan bij verdergaande ontwikkeling der rekentechniek het geval is geworden, ervan bewust is, dat van de vier hoofdbewerkingen der rekenkunde de optelling de eigenlijk fundamenteele en eenige zelfstandige is, omdat uit haar de aftrekking door omkeering en de vermenigvuldiging door herhaling ontstaat, terwijl de deeling weer als omkeering van de vermenigvuldiging wordt verkregen. In de Egyptische rekenkunde worden nu al deze bewerkingen inderdaad nog als varianten der optelling gevoeld. Wanneer wij b.v. vragen: ‘hoeveel is dertien min zeven?’, zal de Egyptenaar

1) De andere beteekenis is: het doortellen vanaf het getal, dat als eerste term in de optelling fungeert tot aan het oogenblik, dat men zooveel nieuwe getallen heeft opgenoemd, als de tweede term aangeeft.

[p. 46]

die vraag formuleeren, zooals men haar thans nog aan kinderen stelt: ‘Wat moet men bij zeven optellen, om dertien te krijgen?’ of korter: ‘zeven plus hoeveel is dertien?’. Zevenmaal acht voelt hij nog duidelijk als acht + acht + acht + acht + acht + acht + acht, en de opgave, om vierentwintig door zes te deelen, beduidt voor hem niet anders dan de vraag, hoeveel termen men in de som zes + zes + enz. nemen moet, om vierentwintig als uitkomst te krijgen.

De hiermede omschreven additieve opvatting der hoofdbewerkingen wordt nu echter tot op zekere hoogte gewijzigd door een tweede fundamenteele eigenaardigheid der Egyptische rekentechniek, die men haar dyadisch karakter kan noemen. Dit bestaat hierin, dat, als een eerste stap op den weg naar een autonomen vermenigvuldigingsalgorithmus (die op de kennis van de z.g. tafels van vermenigvuldiging zal berusten) de verdubbeling als een zelfstandige bewerking wordt ingevoerd en toegepast. Wanneer men b.v. moet uitrekenen, hoeveel dertien maal acht is, bepaalt men toch niet door herhaalde optelling de som van dertien termen acht, maar men vormt door opvolgende verdubbeling uit 8 het tweevoud 16, het viervoud 32, het achtvoud 64, om vervolgens, opmerkend, dat 13 = 8 + 4 + 1, het dertienvoud van acht als 64 + 32 + 8 = 104 te vinden.

Volgens denzelfden gedachtengang worden nu opgaande deelingen uitgevoerd: de vraag b.v., die wij zouden formuleeren als: ‘deel 117 door 9’, wordt gesteld als ‘tel, te beginnen met 9, zoolang 9 op, tot men 117 vindt’, (letterlijk: ‘werk op 9 voor het vinden van 117’) en opgelost met de dyadische rekenwijze, door onder 9, telkens verdubbelend, de getallen 18, 36, 72 neer te schrijven en nu uit het feit, dat 117 = 72 + 36 + 9 is, af te leiden, dat het gevraagde aantal (een term voor quotiënt ontbreekt uiteraard) 8 + 4 + 1, dus 13 bedraagt.

Het dyadisch karakter der Egyptische rekenwijze zal practisch hierin tot uiting zijn gekomen, dat de rekenaar geen tafels van vermenigvuldiging behoefde te kennen, maar wel bij voorkeur van allerlei getallen vlot het dubbele moest kunnen noemen.

We merken - met voorbijgaan van tal van andere details - nog op, dat de regelmaat van het dyadische rekenschema niet zelden wordt onderbroken door het optreden van een dekadisch element: de vermenigvuldiging van een getal met tien wordt

[p. 47]

namelijk onmiddellijk uitgevoerd en niet vervangen door optelling van het achtvoud en het tweevoud van het getal. Dit hangt natuurlijk samen met het bundelkarakter van het cijferschrift: om een getal met tien te vermenigvuldigen, heeft men slechts ieder bundelteeken (inclusief het eenheidsteeken zelf) door het daarop in waardegrootte volgende te vervangen. In verband hiermee wordt nu b.v. ook vermenigvuldiging van een getal met veertien uitgevoerd door optelling van het tienvoud en het viervoud.

Het zal onmiddellijk duidelijk zijn, dat, zoodra er met breuken moet worden gerekend, het dyadisch karakter der rekenkunde niet langer zuiver gehandhaafd kan blijven en dat dus de halveering, hoewel ze als zelfstandige bewerking fungeert, hier niet even sterk op den voorgrond zal treden, als de verdubbeling dat bij bewerkingen op natuurlijke getallen doet: immers het is wel mogelijk, om ieder natuurlijk getal te schrijven als som van getallen uit de rij de opvolgende machten van 2, nl. 1, 2, 4, 8...., en dus vermenigvuldiging met een getal uit te voeren door optelling van veelvouden met factoren uit deze rij, maar men kan niet iedere echte breuk als som van getallen uit de naar beneden voortgezette rij ½, ¼, ⅛ enz. opvatten en het nemen van het zevende deel van een getal kan dus niet door een optelling van door voortgezette halveering ontstane breukdeelen daarvan worden vervangen. Men ziet dan ook in het rekenen met breuken naast de deelen ½, ¼, ⅛ enz. van een getal ook vaak ⅓ en ⅔ daarvan optreden, waarbij zich nog deze eigenaardigheid voordoet, dat men, om van een getal het derde deel te vormen, eerst het twee-derde deel neemt en dit vervolgens halveert. Hiermede is echter nog niet gezegd, dat dit ook de werkelijke volgorde der bewerkingen was: voorzoover men op grond van de bewaard gebleven berekeningen kan oordeelen, waren de Egyptenaren best in staat, om zuiver conventioneele redenen aan de volgorde ⅔, ⅓ te blijven vasthouden, wanneer ze maar eenmaal om een of andere reden (die ons onbekend is) traditioneel was geworden. Ten slotte uit zich de invloed van de basis tien van het getallenstelsel ook hier weer in het veelvuldig rekenen met het breukdeel 1/10 van een getal, waaruit door verdubbeling dan weer het vijfde deel ontstaat.

Om het meegedeelde met enkele voorbeelden te kunnen toelichten en daarbij de werkwijze van den Egyptischen rekenaar in

[p. 48]

ons cijferschrift zoo nauwkeurig mogelijk weer te geven, schrijven we verder voor de breuk 1/n het symbool ̅n; het streepje is dan de afbeelding van een hieroglyphisch teeken, dat in het Egyptische cijferschrift boven het teeken voor n wordt geplaatst, om het omgekeerde van dit getal uit te drukken. Verder schrijven we ⅔ als ̿3. We voeren nu uit de deelingen 19 :8; 16 : 3 en 4 : 15; of, Egyptisch gesproken, we werken resp. op 8, 3 en 15, om 19, 16 en 4 te krijgen.

19 : 8	16 : 3	4 : 15
1 8	1 3	1 15
2 16	2 6	̅10 1 + ̅2
̅2 4	4 12	̅5 3
̅4 2	̿3 2	̅15 1
̅8 1	̅3 1
_____	_____	_____
Quotiënt 2+̅4+̅8	Quotiënt 5+̅3	Quotiënt ̅5+̅15

In deze voorbeelden komt nu tevens al de eigenaardigheid tot uiting, die wel in de allereerste plaats het karakter van de Egyptische breukenrekening bepaalt en die men het woord stambreukpostulaat pleegt aan te duiden. Zij komt hierop neer, dat, met uitzondering van de breuk ̅3, op welker speciale positie we reeds vroeger opmerkzaam maakten, geen andere breuksymbolen werden gebruikt dan die voor stambreuken. Teekens, correspondeerend met ons ⅗ of ⅞ zijn er dus niet; alle optredende breukteekens zijn ̿3, ̅2, ̅3, ̅4, enz. In overeenstemming hiermee vonden we boven voor 19 : 8 niet 23/8 maar 2 + ̅4 + ̅8 en terwijl wij voor ⅕ + 1/15 allicht 4/15 zouden schrijven, beschouwt de Egyptenaar ̅5 + ̅15 als de zoover mogelijk herleide uitkomst van de deeling 4 : 15.

We zullen nu trachten, de consequenties voor het rekenen met breuken, waartoe het stambreukpostulaat heeft geleid, en die wel het meest belangwekkende beduiden, wat de Egyptische wiskunde, uit historisch oogpunt beschouwd, bevat, nader te verduidelijken. Daartoe moeten we den lezer echter eerst in kennis brengen met het onmisbare hulpmiddel, dat den Egyptischen rekenaar ter beschikking heeft gestaan in den vorm van een tafel,

[p. 49]

waarin hij voor alle stambreuken tot en met ̅101 het tweevoud in stambreukontwikkeling kon opzoeken. Deze tafel, die men de 2 : n tafel pleegt te noemen, bevat uiteraard slechts oneven getallen n (het dubbele van ̅2k is immers ̅k). Zij begint met voor n = 5 de waarde ̅3 + ̅15 op te geven (wat dus zeggen wil: ⅖ = ⅓ + 1/15), bevat dan b.v. voor n = 13 de waarde ̅8+̅52+̅104, voor n = 29 de waarde ̅24 + ̅58 + ̅174 + ̅232 en eindigt met bij 101 te vermelden ̅202+̅303+̅606. Sedert de eerste publicatie van den papyrus R heeft zich reeds een omvangrijke literatuur over de wijze van berekening van deze tafel gevormd; we zullen daar niet op ingaan¹⁾, maar alleen bij de verdere bespreking van het rekenen met breuken de tafel als hulpmiddel aanvaarden.

We ontleenen nu als voorbeeld aan het 33e probleem van R (voortaan als R 33 te schrijven), de opgave, om 37 te deelen door 1 + ̿3 + ̅2 + ̅7, wat dus in eersten aanleg beduidt, dat men, van deze laatste uitdrukking uitgaande, zoolang de achtereenvolgende tweevouden moet nemen, dat men door optelling van een deel daarvan zoo dicht mogelijk bij 37 komt. Men vindt nu door verdubbeling uit 1+̅2 de waarde 3, uit ̿3 zonder tafel 1+̅3, uit ̅7 met de tafel ̅4+̅28 en komt dus op
4 + ̅3 + ̅4 + ̅28.

Opnieuw verdubbelend, vindt men met behulp van den regel ̿3 + ̅2 = 1 + ̅6
9 + ̅6 + ̿14
waaruit onmiddellijk
18 + ̅3 + ̅7
en, weer de tafel gebruikend, 36 + ̿3 + ̅4 + ̅28.

We hebben dus 16 als quotiënt gevonden, maar houden een rest over, die nu als som van breukdeelen van 1 + ̿3 + ̅2 + ̅7 moet worden uitgedrukt. Op deze plaats treden nu de z.g. hulp-

1) De belangstellende lezer zij verwezen naar de reeds vaker geciteerde Vorlesungen van Neugebauer en naar Kurt Vogel, Die Grundlagen der ägyptischen Mathematik in ihrem Zusammenhange mit der 2 : n Tabelle des Papyrus Rhind. München 1929.

[p. 50]

getallen in actie, die men in de papyri rood geschreven vindt en die naast de 2 : n tafel een tweede onmisbaar instrument van de Egyptische breukenrekening vormen. In ons voorbeeld komt het hierop neer, dat men ̅42 als een nieuwe eenheid invoert en nu den deeler 1 + ̿3 + ̅2 + ̅7 als 42 + 28 + 21 + 6 = 97 schrijft. In dezelfde eenheid vindt men nu voor ̿3 + ̅4 + ̅28 (het breukgedeelte van het 16-voud van den deeler) de waarde 28 + 10 + ̅2 + 1 + ̅2 = 40 en constateert dus, dat de rest, noodig om hieruit de ééne oorspronkelijke eenheid te krijgen, die de verkregen 36 tot 37 zal aanvullen, twee nieuwe eenheden bedraagt. Men moet dus nu nog 2 door 97 deelen, maar vindt hiervoor in de tafel direct ̅56 + ̅679 + ̅776. Het verlangde quotiënt is dus
16 + ̅56 + ̅679 + ̅776.

Men kan aan dit eene voorbeeld reeds zien, tot wel een merkwaardigen algorithmus het stambreukpostulaat de Aegyptische rekenkunde heeft geleid en men zal zonder moeite kunnen begrijpen, hoe de meer nauwkeurige analyse van deze methode de historici der wiskunde voor tal van problemen heeft gesteld, die we hier stilzwijgend voorbijgaan. De vraag, die daarbij steeds met de grootste levendigheid is besproken, is deze, of de Egyptenaren nu eigenlijk geen andere breuken dan stambreuken hebben gekend of dat ze het algemeene breukbegrip wel hebben bezeten en in mondelinge berekeningen hebben gebruikt, maar daarvoor geen notatie hebben ontwikkeld. Bij aandachtige beschouwing van het meegedeelde voorbeeld voelt men zich geneigd, tusschen deze beide extreme opvattingen een middenweg te kiezen: de invoering der hulpgetallen is (althans in dit geval) ongetwijfeld aequivalent met de herleiding van een aantal stambreuken tot algemeene breuken met gemeenschappelijken noemer (i.c. ̿3=28/42 enz.) en in zooverre kan men van bekendheid met het algemeene breukbegrip (28/42 in de beteekenis van 28 42e deelen van de eenheid) spreken. Voor het rekenen met zulke algemeene breuken is echter geen enkele methode ontwikkeld; slechts stambreuken en geheele getallen kunnen worden uitgedrukt en aan de bewerkingen der rekenkunde worden onderworpen). De Egyptenaar heeft dus ongetwijfeld kunnen zeggen, dat het dubbele van één-negen-en-twintigste twee negen-en-twintigsten bedraagt, maar

[p. 51]

hij is niet in staat geweest, deze grootheid door een symbool weer te geven en nog veel minder, er mee te rekenen. Het dyadisch karakter van zijn rekenwijze dwong hem, om 2/29 niet als ̅29+̅29 te laten staan, maar er (wat, oppervlakkig beschouwd, een minder eenvoudige uitdrukking is) ̅24+̅58+̅174+̅232 voor in de plaats te zetten. Deze uitdrukking kon hij nl. opnieuw verdubbelen tot ̅12 + ̅29 + ̅87 + ̅116 en hij zou niets verder gekomen zijn, door hiervoor ̅29 + ̅29 + ̅29 + ̅29 te schrijven.

Hoewel in het bovenstaande nog lang niet alle bijzonderheden van de Egyptische rekentechniek ter sprake zijn gekomen, zal de lezer toch wellicht reeds een toereikenden indruk hebben gekregen van den geheel eigen aard der toegepaste methoden, die volstrekt niets gemeen hebben met wat in denzelfden tijd in de Babylonische cultuurgebieden de gangbare rekenwijzen waren. We kunnen dus nu overgaan tot een kenschets van de problemen, die in de papyri worden gesteld en opgelost. De informaties, die M en R daarover geven, loopen onderling weinig uiteen en we ontleenen onze voorbeelden dus aan beide zonder onderscheid.

Het valt dadelijk op, dat men telkens veel opgaven met analoge structuur ontmoet, zoodat men ze in slechts betrekkelijk weinig typen alle kan samenvatten. We vermelden als eerste soort de veel besproken groep der aha-vraagstukken, die vroeger veelal als hau-berekeningen bekend stonden. Dit zijn eigenlijk niet anders dan lineaire vergelijkingen met een onbekende, waarvan de oplossing, wat het wezen der zaak betreft, niet anders verloopt dan in onzen tijd nog in de lagere klassen der Middelbare School wordt geleerd. De onbekende wordt aangeduid door den terminus ‘h’, die men tot aha vocaliseert¹⁾ en waaraan de problemen hun naam ontleenen. Zij speelt geheel dezelfde rol als de ‘lengte’ bij de Babyloniërs, als de res of cosa van de algebra der Middeleeuwen en als de x in onzen tijd. Het woord beduidt zoo iets als hoeveelheid, maar heeft zich geheel als technische term voor de te berekenen grootheid ingeburgerd. Om een voorbeeld van een aha-vraagstuk te geven, vertalen we het probleem R 33:

Een grootheid, twee derde ervan, de helft en zijn zevende deel eraan toegevoegd, wordt 37.

1) hau is een oudere vocaliseering.

[p. 52]

Dit beduidt, dat een grootheid x moet worden bepaald, die voldoet aan x + ⅔ x + ½ x + 1/7 x = 37.

Het probleem wordt opgelost door 1 + ̿3 + ̅2 + ̅7 zoolang te vermenigvuldigen dat er 37 komt; hoe dit wordt uitgevoerd, is boven reeds gebleken. Het antwoord bleek te zijn
16 + ̅56 + ̅679 + ̅776

Wij zouden tegenwoordig niet anders te werk gaan, maar alleen een anderen breukalgorithmus en een andere breuknotatie toepassen; het resultaat zou dan geschreven kunnen worden als 162/97.

Blijkens het gekozen voorbeeld, dat typeerend is voor de geheele soort, gaat het hier nog om zuiver technische opgaven, die als cijferoefening worden gesteld. Naast deze staan nu verschillende z.g. ingekleede vraagstukken, die min of meer reëele aangelegenheden uit het dagelijksch leven betreffen. Een belangrijke groep hiervan wordt gevormd door de z.g. psw-vraagstukken (gevocaliseerd als pesu of pefsu), die op de bereiding van brood of bier betrekking hebben. Men verstaat onder de psw van een bepaalde soort brood of bier het getal, dat aangeeft, hoeveel brooden kunnen worden gebakken of hoeveel kruiken bier worden bereid uit een hekat graan¹⁾; blijkbaar is dus de psw omgekeerd evenredig met het graangehalte, dus met de qualiteit van het product. In de gestelde opgaven moet nu in het eenvoudigste geval telkens een van de drie grootheden gebruikte hoeveelheid graan, aantal gebakken brooden of gebrouwen kruiken bier en de psw berekend worden, als de andere twee gegeven zijn; complicaties kunnen optreden, doordat de psw gegeven is voor een hekat boven-Egyptisch koren, terwijl de bereiding van het brood of het bier plaats heeft uit een andere graansoort, die daartoe in een zekere qualiteitsrelatie staat. In andere gevallen moet een hoeveelheid brood van bepaalde psw geruild worden tegen een of meer aantallen brooden van andere psw. Zoo verlangt de opgave R 76, om 1000 brooden van psw 10 te vervangen door gelijke aantallen brooden van psw 20 en 30; de bedoeling is, dat de totaal gebruikte hoeveelheid graan dezelfde blijft. Men heeft hier het oudste voorbeeld van een probleemsoort, die vele eeuwen

1) 1 hekat is een volumemaat voor graan, waarvan de grootte tusschen 4 en 5,4 liter moet hebben gelegen.

[p. 53]

lang de wiskundigen heeft bezig gehouden en waarmee thans nog de schooljeugd in het wiskundig denken wordt geoefend: de tegenwoordig gangbare inkleeding spreekt over werklieden, die samen een werk verrichten of een vat, dat door meer dan een kraan kan leegloopen.

Bij de lectuur van de papyri R en M wordt men vaker getroffen door de analogie van de daar gestelde opgaven met wat men in de Middeleeuwen in werken over rekenkunde en in onzen tijd in schoolboeken aantreft; voorbeelden van het laatste zijn de vraagstukken over verdeeling van een gegeven aantal brooden onder een gegeven aantal menschen, zoodat de aandeelen, die ieder krijgt, onderling bepaalde verhoudingen vertoonen of een rekenkundige reeks vormen of iets dergelijks; van het eerste doet zich in R een merkwaardig geval voor, waar men in opgave 79 de volgende laconieke opsomming aantreft: 7 huizen, 49 katten, 343 muizen, 2401 korenaren, 16 807 hekat's. Totaal 19 607. De berekening komt blijkbaar neer op de bepaling van de som van de eerste vijf termen van de meetkundige reeks 7,7² enz. Om aan het vraagstuk een beteekenis te kunnen hechten, kan men onderstellen, dat er sprake is van zeven huizen, in elk waarvan zeven katten wonen, die elk zeven muizen dooden; elk dier muizen zou, zoo zij in leven ware gebleven, zeven korenaren hebben opgegeten, terwijl uit elke korenaar anders zeven hekat graan zouden hebben kunnen groeien. Men zou nu verwachten, dat de steller der opgave verlangt te weten, hoeveel graan door toedoen der muizen voor verderf is bewaard; in plaats daarvan wordt de absurde berekening gemaakt van de som van alle huizen, katten, muizen, korenaren en hekat's graan.

Een volkomen analoog vraagstuk treft men nu aan in het befaamde Liber Abbaci van den Pisaanschen wiskundige Fibonacci (Leonard van Pisa), dat in 1202 verscheen. Hier handelt het over zeven oude vrouwen, die naar Rome gaan en die ten slotte bij zakken, die ze dragen, brooden, die in die zakken zitten, messen, die in die brooden steken enz. worden opgeteld; men vindt het opnieuw in een Vlaamsch cijferboek van 1569 en in het Engelsche kinderversje As I was going to St. Ives I met a man with seven wives worden nog steeds de meest heterogene zevenvouden op de wijze van den papyrus Rhind met elkaar in verbinding gebracht; onmiskenbaar is bij dit alles natuurlijk de magische bekoring van

[p. 54]

het getal zeven, die reeds den schrijver van R de oogen deed sluiten voor de reëele beteekenis van zijn berekening.

Tal van vraagstukken handelen over de herleiding van volumina tot andere eenheden; het gaat hierbij speciaal om de herleiding op elkaar van twee stelsels onderdeden van de hekat; deze wordt namelijk eenerzijds ingedeeld in 10 hînu en 320 ro; anderzijds echter worden er door voortgezette halveering de breukdeelen ½, ¼....1/64 van gevormd, die bekend staan als de Horus-oog-detlen en die door een speciale notatie worden aangeduid. Naam en notatie zijn beide van mythologischen oorsprong: het Uzat-oog of oog van Horus was nl. in een gevecht met Seth in stukken gerukt, waarvan er zes zijn teruggevonden; hiervan stelt het linkerwit de breuk ½ voor, de pupil ¼, de wenkbrauw ⅛ enz.; de genoemde breuken worden nu aangegeven door teekens, die de bedoelde oogdeelen afbeelden. Men kan nu vragen, allerlei combinaties van Horus-oog-deelen, eventueel aangevuld met een aantal ro's of gewone breukdeelen daarvan in de hînu of in de hekat zelf uit te drukken. Dit leidt tot relaties als de volgende (̅4 + ̅16 + ̅64) hekat¹⁾ + (1 + ̿3) ro = (3 + ̅3) hînu = ̅3 hekat.

Naast de meegedeelde vraagstukken, die men in onzen tijd bij het rekenen of de algebra zou indeelen, staan andere, die men thans onder de meetkunde zou rangschikken; voor den Egyptenaar bestaan dergelijke verdeelingen nog niet. De schrijvers van de papyri toonen bekendheid met uitdrukkingen voor de oppervlakte van driehoek, rechthoek en trapezium en gebruiken een benaderingsformule voor de oppervlakte van een willekeurigen vierhoek; zij bepalen de oppervlakte van den cirkel als functie van den diameter d door het vierkant van 8/9 d te nemen, wat neerkomt op een benadering van het getal π, die, decimaal geschreven, 3, 1605.... bedraagt. Met behulp hiervan wordt dan ook b.v. de inhoud van een cylindrisch graanreservoir gevonden.

Een ander type van meetkundige vraagstukken heeft betrekking op pyramiden; hierin gaat het steeds om een grootheid, die door den term skd (gewoonlijk gevocaliseerd als seked) wordt aangegeven en die een verband legt tusschen de hoogte van het lichaam en de ribbe van het (quadratische) grondvlak. Men heeft

1) Geschreven te denken in Horus-oog-notatie.

[p. 55]

aanvankelijk over de beteekenis van deze grootheid in het onzekere verkeerd; wat ze beduidt, kan echter niet twijfelachtig zijn, wanneer men (in R 56) voor een pyramide, waarvan de hoogte 250 el bedraagt en de grondvlaksribbe 360 el, haar waarde ziet bepalen door deeling van 250 op 180¹⁾. Wij noemen het verkregen quotiënt thans den cotangens van den hoek, die een opstaand zijvlak met het grondvlak maakt; de Egyptische rekenaar, die de uitkomst opgeeft als (̅2 + ̅5 + ̅50) el, of na omrekening op handpalmen (1 el = 7 palmen) als (5 + ̅25) palm, zal dit hebben kunnen omschrijven als terugsprong van den hellenden pyramidewand per el verticale stijging.

De meegedeelde voorbeelden zijn toereikend, om een algemeenen indruk te krijgen van het wiskundig peil, waarop de papyrus R, die toch nog steeds het hoofddocument blijft, geheel en de papyrus M grootendeels staat. Dat peil is, zooals men ziet, uiterst bescheiden: het gaat algebraïsch niet uit boven de lineaire vergelijking met één onbekende en meetkundig niet boven een elementaire vormleer. Van bekendheid met vierkantsvergelijkingen of met de stelling van Pythagoras (om twee onderwerpen te noemen, die de Babylonische wiskunde in denzelfden tijd reeds beheerscht) blijkt niets²⁾.

Nu heeft echter de publicatie van den papyrus M in enkele opzichten wel weer een hoogeren dunk gegeven van de praestaties, waartoe de Egyptische wiskunde in staat is geweest. Men vindt hierin nl. (M 14) een berekening van den inhoud van een afgeknotte pyramide, waarvan grond- en bovenvlak vierkanten zijn. Uit de ribbelengten a = 4 en b = 2 van deze vierkanten en den afstand h = 6 van hun beide vlakken wordt de inhoud gevonden door de som 16 + 4 + 8 te vermenigvuldigen met ̅3.6, wat blijkbaar neerkomt op de toepassing van de formule

1) Men zal wellicht vragen, hoe men hierover ooit in het onzekere heeft kunnen verkeeren. Dat ligt echter daaraan, dat men niet zeker wist, of de ukha-tebet, die 360 el bedraagt, de ribbe of den diagonaal van het grondvlak beduidde. In het laatste geval zou de seked de helling van een opstaande ribbe bepalen; het is echter op zichzelf al onwaarschijnlijk, dat men deze zou zijn gaan berekenen; men kon bij het bouwen met haar niets beginnen en met den terugsprong per el verticale stijging alles.

2) Men heeft lang gemeend, de bekendheid met de stelling van Pythagoras te kunnen afleiden uit een uitlating van Demokritos over de Egyptische harpedonapten; deze interpretatie is echter onhoudbaar gebleken.

[p. 56]

⅓ h (a² + b² + ab) welke uitdrukking inderdaad den inhoud van het bedoelde lichaam voorstelt.

Een tijd lang heeft het verder zeker geleken, dat M ook nog (M 10) een berekening zou bevatten van de oppervlakte van een halven bol, waarin het beroemde resultaat van Archimedes, dat deze oppervlakte het dubbele is van die van een grooten cirkel, zou worden gebruikt. In dezen zin is nl. door Struve een berekening van den inhoud van een als ‘korf’ betiteld lichaam geïnterpreteerd, waarin, met behulp van de boven vermelde benadering voor π, uit een in getalwaarde gegeven grootheid t de uitdrukking ½ π t² wordt gevormd; wanneer t hier den diameter van een bol voorstelt, geeft deze uitdrukking inderdaad de halve oppervlakte aan. Wanneer het vast was komen te staan, dat deze interpretatie juist was, zou dat ten gevolge hebben gehad, dat we onze opvattingen over het peil der Egyptische wiskunde nog in vrij wat ingrijpender mate hadden moeten wijzigen dan door het bekend worden van de berekening van den inhoud van een afgeknotte pyramide noodzakelijk is geworden; dit zou dan tevens tot een moeilijk op te lossen conflict met de in de papyri overal elders opgedane indrukken hebben geleid. Een latere discussie van het probleem M 10 door den Egyptoloog T.E. Peet heeft het echter onwaarschijnlijk doen voorkomen, dat men inderdaad het recht zou hebben, de kennis van de uitdrukking voor de oppervlakte van den halven bol bij den schrijver van M aanwezig te onderstellen; volgens zijn interpretatie, die van philologische zijde boven die van Struve wordt gesteld, heeft nl. de berekening niet betrekking op een halven bol, maar op de helft van een cylinder, verkregen door dit lichaam te snijden door een vlak, dat de as en een diameter van het grondvlak bevat. De uitdrukking ½ π t² zou dan moeten worden beschouwd als het product van den halven omtrek van een cirkel met diameter t èn een hoogte t, die aan den diameter gelijk is, dus als halve oppervlakte van een cylindermantel. Ook is het niet onmogelijk, dat men te doen heeft met een vrij ruwe benaderingsformule voor de oppervlakte van een koepelvormigen zolder.

De geheele kwestie, op welker details we hier niet kunnen ingaan, heeft nog weer eens met bijzondere duidelijkheid de groote moeilijkheden in het licht gesteld, die aan de interpretatie van de

[p. 57]

Egyptische mathematische teksten, die zeer beknopt geformuleerd zijn en waarin allerlei termen voorkomen, welker beteekenis gewoonlijk alleen uit het verloop der bewerking kan worden opgemaakt, verbonden zijn.

We kunnen thans, na voltooiing van ons overzicht van de twee belangrijkste mathematische papyri, ten aanzien van de Egyptische wiskunde opnieuw de vraag stellen, die we naar aanleiding van de Babylonische onbeantwoord hebben moeten laten, de vraag namelijk naar de historische beteekenis van de hier aangetroffen mathematische kennis als bron voor de beoefening van de wiskunde bij de Grieken. De situatie blijkt dan in hoofdzaak dezelfde te zijn als voorheen: de bron zelf is weliswaar minder rijk, maar de directe getuigenissen, dat er uit geput is, zijn daarentegen veelvuldiger en nadrukkelijker; en opnieuw kan men de opmerking maken, dat, indien de Grieksche mathematici al iets van de Egyptische hebben geleerd, er toch maar heel weinig van te merken valt, zoodat, bij hun eigen werk voor de ontwikkeling der wiskunde vergeleken, een eventueele bijdrage van Egyptische leermeesters in het niet schijnt te zullen vallen.

Deze conclusie pleegt nu echter gewoonlijk een veel sterkere oppositie te ontmoeten dan wanneer men haar ten aanzien van de Babyloniërs trekt en wel voornamelijk op grond van de wijd verspreide en diepgewortelde overtuiging van het bestaan van een geheime wetenschap der Egyptische priesters, waarin slechts enkele buitenstaanders (waaronder dan wellicht Thales, Pythagoras en later Plato) zouden zijn ingewijd; van die wetenschap zouden verder de pyramiden door menige metrische bijzonderheid en door verscheidene verborgen uitdrukkingen van astronomische samenhangen een even zwijgend als onweerlegbaar getuigenis afleggen. Vergeleken met die ware Egyptische wijsheid zouden papyri als R en M slechts volslagen onbelangrijke schrifturen zijn, oefenschriften van leerlingen of elementaire rekenboeken, maar niet de ware documenten, waarop men een oordeel over de Egyptische wiskunde zou mogen baseeren¹⁾.

1) Evenals bij de relatie met Babylon het geval was, blijkt van een Egyptischen invloed weer het meest in de toegepaste wiskunde, dus in het gebied, waarvoor de Grieksche mathematici de geringste belangstelling aan den dag leggen: de logistica der Grieken toont namelijk vaak een opvallende voorliefde voor stambreuken en voor de berekening van oppervlakten worden niet zelden Egyptische benaderingsformules toegepast.

[p. 58]

We zullen op de eindelooze controversen, waartoe deze beschouwingswijze aanleiding pleegt te geven, hier niet ingaan. Wat er over de Egyptische priesterwijsheid en het stomme getuigenis der pyramiden te berde is gebracht, behoort namelijk thuis in een spheer, die zoozeer verschilt van die, waarin de wetenschappelijke Egyptologen hun moeilijk werk verrichten, dat men als het ware incommensurabele grootheden zou gaan vergelijken, wanneer men de schaarsche, maar exacte resultaten, waartoe de arbeid van mannen als Peet, Chace, Struve, Neugebauer en Vogel heeft geleid, in samenhang zou trachten te brengen met de even overvloedige als onbetrouwbare vondsten en inzichten, die de beschouwing der pyramiden steeds opnieuw bij occult aangelegde personen pleegt op te wekken.

Of die beschouwing dan nooit eens iets te voorschijn zou kunnen brengen, dat den toets eener wetenschappelijke kritiek zou kunnen doorstaan? Het ware gevaarlijk, de mogelijkheid hiervan bij voorbaat uit te sluiten. Met zekerheid kan echter wel worden gezegd, dat zij tot op dit oogenblik aan de historie der wiskunde nog niets heeft gegeven, dat bij de reconstructie van de wiskunde der Egyptenaren zou kunnen worden gebruikt.

E.J. Dijksterhuis