De Gids. Jaargang 99

[p. 337]

Prae-Helleensche wiskunde

II

Na onze uitweiding over het ontstaan van het sexagesimale stelsel keeren we thans terug tot de bespreking van de z.g. mathematische teksten, waaruit wij onze kennis der Babylonische wiskunde putten. Deze zijn in hoofdzaak in twee soorten te onderscheiden: die van de eerste soort bevatten tafels, bestaande uit twee kolommen, waarin men bij ieder getal van de eerste kolom een getal in de tweede vindt, dat met het eerste in een nader te onderzoeken samenhang staat; in die van de tweede soort worden, veelal met behulp van deze tafels, vraagstukken van verschillenden aard door berekening opgelost.

De vondst der tafelteksten (waarvan tot dusver ca. 200 exemplaren bekend zijn) heeft de Assyriologen in een soortgelijke situatie gebracht als waarin een latere generatie, die de resten van onze Europeesche cultuur zou opgraven, zich geplaatst zou zien bij het vinden van een groot aantal logarithmentafels zonder eenige aanduiding van gebruikswijze en doel. Men is echter, vooral dank zij de onderzoekingen van Neugebauer reeds ver in de verklaring ervan gevorderd; de bereikte resultaten kunnen als volgt worden samengevat:

Een groot aantal tafels leert bij ieder getal van de eerste kolom in de tweede kolom een ander getal kennen, dat daarmede in een door het woord igi uitgedrukte relatie staat; we zullen ze daarom igi-tafels noemen. Men leest dus b.v. igi 2 = 30, igi 3 = 20 enz. Welke die relatie is, laat zich uit de woordbeteekenis van igi, dat eigenlijk oog beduidt, niet afleiden; zooals bij mathematische termini in den regel het geval is, moet de wiskundige beteekenis worden opgespoord met behulp van het gebruik, dat ervan gemaakt wordt. Het is echter al spoedig gebleken, dat de

[p. 338]

igi-tafels in de tweede kolom de omgekeerde of reciproke waarden van de getallen der eerste kolom, in positioneelen breukvorm geschreven, opgeven. Igi 3 = 20 beduidt dus ⅓ = 0,20; dat dit inderdaad de bedoeling is, blijkt nog daaruit, dat in vele gevallen op den voorafgaanden regel inplaats van igi 2 = 30 in woorden te lezen staat: zijn helft (nl. van 1) is 30, terwijl daaraan nog weer de mededeeling voorafgaat, dat zijn ⅔ deel 40 bedraagt¹⁾, wat blijkbaar beduidt, dat ⅔ = 0,40. De igi-tafels kunnen natuurlijk achter getallen als 7 en 11, die een priemfactor bezitten, welke niet in 60 voorkomt en waarvan de reciproken dus niet als (eindige) positioneele breuken te schrijven zijn, geen waarde opgeven; zulke getallen worden òf weggelaten òf van de mededeeling igi-nu, waarin nu een negatie aanduidt, voorzien.²⁾

Naast de besproken tafels voor reciproke waarden heeft men nu een groot aantal tafels gevonden, waarin telkens uit een bepaald getal, dat we het grondtal van de tafel zullen noemen, en elk der getallen 1, 2... 19, 20, 30, 40 en 50, door een bewerking, die met a-rá wordt aangeduid, een derde getal wordt gevonden; we zullen ze verder als ara-tafels betitelen. Het blijkt al spoedig, dat dit producttafels zijn, ingericht op de wijze, die men tegenwoordig nog vaak in tafels voor de logarithmen van de goniometrische functies aantreft in de z.g. hulptafeltjes, die de interpolatie moeten vergemakkelijken. Men vindt er dus de producten van het grondtal met elk der boven opgegeven getallen in en bepaalt daaruit dan door optelling gemakkelijk het product van het grondtal met elk ander getal tusschen 1 en 59. Bij nadere be-

1) Dat de tafels, die dus verder sexagesimale schrijfwijzen van de stambreuken ½, ⅓ enz. geven, met ⅔ beginnen, is een uitvloeisel van het bekende feit, dat bij het ontstaan van het breukbegrip de breuk ⅔ een der oudste vormen geweest is; zij wordt steeds op een rij gesteld met de stambreuken.

2) Tot welke wonderlijk phantastische beschouwingen ook de Babylonische wiskunde (zij het dan ook in mindere mate dan de Aegyptische) aanleiding heeft gegeven, kan uit dit eene voorbeeld blijken, dat Hilprecht getracht heeft, de absolute onbepaaldheid van de positioneele schrijfwijze weg te interpreteeren, door alle getallen principieel als geheel te beschouwen en ze bovendien in verband te brengen met het z.g. Platonische getal 60⁴ = 12960000. Hij leest daarom voor igi 2 in plaats van 0,30 de waarde 6480000 (= 30.60³). (O. Neugebauer, Ueber die Rolle der Tabellentexte in der babylonischen Mathematik (Det Kgl. Danske Vidensk. Selskap. Math. Sys. Medd. XII, 13 (1934). Sep. blz. 5.

[p. 339]

schouwing blijkt nu echter, dat de ara-tafels niet in dezen zin als producttafels kunnen worden opgevat, dat ze een compleet stel tafels van vermenigvuldiging zouden bevatten. In dat geval toch zou men mogen verwachten, dat ook de grondtallen alle waarden van 1 tot 59 of tenminste de boven weergegeven selectie daaruit zouden doorloopen; echter zijn er samenhangende (op één tablet vereenigde) systemen van ara-tafels bekend, waarin dat geenszins het geval is; de rij de grondtallen blijkt hier te beginnen met 1|15; 1|20; 1|30; 1|40; 2; en te eindigen met 40; 44|26|40; 45; 49; 50. Door vergelijking met een igi-tafel blijkt, dat hierin al deze grondtallen in de tweede kolom voorkomen en dat het dus sexagesimale omschrijvingen van stambreuken zijn; men vindt er 1|15 als reciproke waarde van 48 (d.w.z. 1/48 = 0,1|15), zoo ook 1|20 bij 45 enz., terwijl b.v. 44|26|40 met behoorlijk gekozen positiewaarde (nl. 0,0|44|26|40) het reciproke van 1|21 (dus van 81) blijkt te zijn.

Het is nu wel duidelijk, dat er tusschen de igi- en de ara-tafels verband bestaat; door ze beide te gebruiken, kan men nl. alle echte breuken, die een noemer hebben met geen andere priemfactoren dan 2,3 of 5, sexagesimaal schrijven.

Wordt dit b.v. verlangd voor 53/81, dan zoekt men eerst in een igi-tafel op, dat 1/81 = 44|26|40, waarna de ara-tafel het 53-voud hiervan opgeeft als 39|15|33|20. Met inachtname van de juiste positiewaarde beduidt dit:

53/81=39/60+15/60²+33/60³+20/60⁴

Het analogon in onze rekenkunde zou een stel tafels zijn, waarvan de eene van alle stambreuken (voorzoover mogelijk) de decimale uitdrukking opgaf (b.v. 1/64 = 0,015625) en de andere de producten daarvan met alle getallen beneden 100 leerde kennen, zoodat men er dus b.v. in kon vinden, dat 37/64 = 0,578125.

Dat de igi- en ara-tafels werkelijk systematisch voor het omschreven doel gebruikt zijn, blijkt hieruit, dat de ara-tafels, wanneer ze geisoleerd op een tablet voorkomen, aan het slot een verwijzing naar de nu volgende tafel bevatten, terwijl ze daar, waar ze op één tablet gecombineerd staan, door een igi-tafel worden voorafgegaan. Men heeft ze blijkbaar goed hanteerbaar

[p. 340]

kunnen maken: er is een volledige tafel bekend, die op een oppervlakte van 21 bij 28 cm de ara-tafels voor 38 grondtallen bevat en waarop men dus, hoogstens met behulp van een optelling, 59.38 = 2242 sexagesimale schrijfwijzen van gewone breuken kan vinden.

Uit een mathematisch-historisch oogpunt is het samenstellen van deze igi- en ara-tafels een uiterst belangwekkend verschijnsel. Het cijferen met breuken is in de geheele oudheid en tot voorbij de middeleeuwen altijd een zoo groot struikelblok voor de rekenkunde geweest en het heeft zoo ontzaglijk veel moeite gekost, hierin helderheid van inzicht en bruikbaarheid van notatie te bereiken, dat de wijze, waarop zich de oude Babylonische rekenmeesters in deze gered hebben, wel zeer hooge bewondering verdient. In sterke tegenstelling tot de gelijktijdige Aegyptische wiskunde is voor hen het rekenen met breuken niet langer een probleem, maar een hulpmiddel bij de oplossing van vraagstukken. Dat verklaart en rechtvaardigt het aanleggen van tafels, die in staat stellen tot machinale uitvoering van principieel begrepen bewerkingen.

Daar komt nog bij, dat zij met hun tafels nog veel meer hebben kunnen doen, dan we tot nu toe hebben leeren inzien en wel hangt dit verdere gebruik samen met een eigenschap van hun positiestelsel, die bij oppervlakkige beschouwing niets anders dan een gebrek schijnt te zijn, nl. de onbepaaldheid van de absolute positiewaarde. Als men in een igi-tafel naast elkaar de waarden 32 en 1|52|30 opgegeven vindt, dan kan men onder 32 evengoed 32.60ⁿ verstaan (n geheel) als twee-en-dertig en het reciproke van dat getal wordt evengoed door 1|52|30 uitgedrukt, mits men slechts 1 als 1/60ⁿ + 1 leest. Evenzoo bij de ara-tafels. De hierin opgegeven producten zijn oorspronkelijk wel bedoeld geweest als sexagesimaal geschreven echte breuken, maar men kan het ze niet aanzien en ze kunnen dus evengoed worden opgevat als geheele getallen, die veelvouden zijn van het product van het grondtal en een macht van 60. Neugebauer heeft nu kunnen aantoonen, dat de tafels inderdaad als algemeene product-tafels (en in combinatie met igi-tafels als algemeene quotienttafels) gebruikt zijn¹⁾; als zoodanig zijn zij blijkbaar

1) Het is duidelijk, dat zij hiertoe eenige uitbreiding moesten ondergaan; zoo was een ara-tafel noodig voor het grondtal 7, dat natuurlijk niet als sexagesimale ontwikkeling van een stambreuk kon optreden. Het gebruik van tafels voor bewerkingen met getallen, die slechts op factoren 60ⁿ na bepaald zijn, vindt een analogon in het rekenen met logarithmentafels, waarin men mantissen vindt van getallen, die slechts op factoren 10ⁿ na bepaald zijn.

[p. 341]

krachtige hulpmiddelen geweest bij de waarschijnlijk zeer omvangrijke berekeningen, die de Babyloniers zoowel in zuiver mathematische als in astronomische problemen hebben moeten uitvoeren.

Hoever zich dit meer algemeene gebruik der tafels eigenlijk heeft uitgestrekt, kunnen wij weliswaar nog niet overzien, maar uit de reeds ontcijferde teksten blijkt wel, dat men met de samenstelling althans van igi-tafels zeer ver gegaan is; er is b.v. uit den Seleukidentijd een omvangrijke tekst bewaard, waarin men reciproke waarden vindt van getallen, die tot zes plaatsen gaan, terwijl sommige van die reciproken er zeventien bevatten. Een bescheiden voorbeeld is igi 1|1|30|33|45 58|31|39|35|l8|31|6|40

Vat men in het eerste getal 45 als vijf-en-veertig op, dan beduidt het eerste cijfer 1 de waarde 60⁴, terwijl 40 in het tweede getal de waarde 40/60¹² voorstelt.

Naast de vermelde igi- en ara-tafels kent men nog tafels voor de quadraten van alle getallen van 1 tot 60, die ook in omgekeerde lezing als vierkantsworteltafels aangelegd zijn; men kent er ook voor derde wortels en het is blijkbaar slechts toeval, dat er nog geen voor derde machten gevonden zijn. Wel bekend zijn nl. tafels, die voor alle getallen n van 1 tot 60 de som van de tweede en de derde macht, dus n² + n³ opgeven, b.v. 26² + 26³ = 5|4|12 (d.w.z. 18252); deze zijn natuurlijk aangelegd voor een bepaald rekendoel, dat we nog zullen leeren kennen.

Na aldus een indruk te hebben gegeven van de tafels, die den Babylonischen rekenaars bij de oplossing hunner problemen ter beschikking stonden, zullen we nu in het kort iets mededeelen over aard en behandelingswijze dier problemen zelf, zooals de tot dusver ontcijferde wiskundige teksten die doen kennen. Volledigheid kan daarbij uiteraard niet worden betracht. We beperken ons dus tot enkele typen van vraagstukken, waarvan de interpretatie werkelijke nieuwe inzichten in de prae-Helleensche wiskunde heeft verschaft. Dat beduidt, dat we de berekeningen aan meetkundige figuren, die ten doel hebben, onbekende

[p. 342]

lengten, oppervlakten of inhouden te vinden, met stilzwijgen voorbij zullen gaan. Hierbij zijn weliswaar merkwaardige dingen aan het licht gekomen, maar toch geene, die men niet redelijkerwijze altijd al had kunnen verwachten; het heeft steeds voor de hand gelegen te vermoeden, dat aan de Grieksche pogingen, om de logische structuur der meetkunde bloot te leggen een lange periode van ontwikkeling van elementair-geometrische inzichten is voorafgegaan, waarin men meer op het vinden van oplossingen van vraagstukken bedacht was, dan dat men aandacht schonk aan den onderlingen samenhang der toegepaste eigenschappen. Dat vermoeden is nu ten volle bevestigd door de ontdekking van planimetrische en stereometrische berekeningen, minstens dateerend uit het tweede millennium, waarin van gelijkvormigheids-beschouwingen gebruik wordt gemaakt, de stelling van Pythagoras wordt toegepast, eenvoudige uitdrukkingen voor oppervlakten en volumina bekend blijken. Het eigenlijk verrassende ligt daarbij in den omvang en de complicatie der opgeloste problemen: vraagstukken, die tot vijf lineaire of quadratische vergelijkingen in vijf onbekenden aanleiding geven, zijn geen zeldzaamheid; het is duidelijk, dat bij de uitvoering der vereischte berekeningen de igi- en ara-tafels goede diensten zullen hebben kunnen bewijzen. Een bijzondere vermelding verdient nog het feit, dat voor de rationale benadering van irrationale vierkantswortels, die bij toepassing van de stelling van Pythagoras optreden, een methode voorkomt, die uit de Grieksche wiskunde reeds bekend was, maar die nu ook ineens van zeer veel ouderen datum blijkt te zijn.

We zullen dit alles laten rusten, omdat er naast deze dingen zooveel andere aan het licht zijn gekomen, waarvan niemand ooit het bestaan heeft kunnen vermoeden. Het is nl. gebleken - om het resultaat maar vast kort samen te vatten - dat de Babylonische wiskunde als haar meest typeerende kenmerk een zoover doorgevoerde ontwikkeling van algebraische methoden vertoont, dat eerst door de Italiaansche algebra der 16e eeuw een hiermee gelijkwaardig peil zou worden bereikt.

Deze uitspraak vereischt eenige verduidelijking in verband met een tegenwoordig wijdverspreid misverstand over de wijze, waarop het woord algebra in historisch-mathematische beschouwingen wordt gebruikt. Men stelt zich nl. vaak voor, dat men van algebra

[p. 343]

alleen kan spreken in den zin van wat in de geschiedenis der wiskunde letter-algebra heet en wat aan ieder ontwikkeld mensch van onzen tijd als leervak uit zijn schooljaren bekend is. Die letter-algebra, waarin de optredende grootheden door letters worden voorgesteld, vertegenwoordigt echter een betrekkelijk late (uit de 17e eeuw dateerende) ontwikkelingsphase van een vak, dat, zoo men op andere, door de historici meer wezenlijk geachte kenmerken let, reeds ettelijke eeuwen eerder heeft bestaan. Die kenmerken zijn er in hoofdzaak twee: het eerste, dat er samenhangen worden geformuleerd tusschen verschillende grootheden en operaties daarmee worden uitgevoerd, die van de toevallige getalwaarden dier grootheden onafhankelijk zijn; het tweede, dat men onbekende grootheden op denzelfden voet als bekende in zulke formeele samenhangen opneemt en aan zulke formeele operaties onderwerpt. Men gaat, om een voorbeeld te noemen, volgens deze opvatting algebraïsch te werk, wanneer men zegt, dat de som van een aantal opvolgende termen van een rekenkundige reeks gelijk is aan het product van dat aantal en het gemiddelde van de twee uiterste termen, zelfs indien men zich aan een getallenvoorbeeld (maar dan op een wijze, die van de waarden der neergeschreven getallen onafhankelijk is) van de juistheid van deze uitspraak heeft overtuigd; en men verlaat het terrein der algebra evenmin, wanneer men bij een vierkantsvergelijking, die getallen tot coëfficienten heeft en waarin de onbekende door een woord wordt uitgedrukt, in woorden een methode omschrijft, waardoor uit de coëfficienten de waarde der onbekende kan worden bepaald. Het essentieele kenmerk der algebra is dus te zoeken in de mogelijkheid van den algemeenen regel, van de formule en het doet daarbij in eersten aanleg niet ter zake, of men die formule in woorden omschrijft of in letters weergeeft of in een mengeling van beide uitdrukt, dus of men, om een gangbare terminologie te gebruiken, rhetorisch, symbolisch of syncopisch te werk gaat.

Beschouwen we nu, na deze verduidelijking van het historischmathematisch gebruik van den term algebra, de teksten der Babylonische wiskunde, dan vinden we daarin telkens reeksen van analoog gebouwde, in getallen geformuleerde opgaven, die volgens vaste algemeene regels worden opgelost. Enkele voorbeelden: er zijn twee teksten bekend, die samen tien opgaven

[p. 344]

van de volgende soort bevatten: van elk van twee korenvelden is de opbrengst per oppervlakteeenheid bekend; wanneer bovendien de totale opbrengst en de totale oppervlakte (O) gegeven zijn, vraagt men, hoe groot die velden zijn. De berekening van deze twee onbekenden geschiedt nu telkens volgens een vast schema, dat punt voor punt klopt met een algemeene algebraïsche oplossing, die het probleem toelaat (hierin bestaande, dat men de onbekende oppervlakten 1/2O ± x stelt). Zeer veelvuldig treden vraagstukken op, waarin tusschen twee onbekenden, welker product 1 bedraagt, een lineaire betrekking gegeven is; onveranderlijk wordt dit probleem door invoering van nieuwe onbekenden herleid tot den normaalvorm: twee getallen te berekenen, als gegeven zijn product en som of verschil; en dit wordt dan volgens een vaste, niet expliciet vermelde, maar uit de oplossing af te lezen rekenwijze behandeld.

Het algebraïsche karakter van deze wiskunde wordt nog hierdoor geaccentueerd, dat ook waar in de opgaven woorden voorkomen, die b.v. een geometrische beteekenis hebben, aan die beteekenis geenerlei aandacht wordt gewijd. Er zijn b.v. talrijke vraagstukken, waarin een ‘lengte’ en een ‘breedte’ worden gevraagd, terwijl er ook sprake is van een ‘oppervlakte’. Dat klinkt heel reëel meetkundig. Echter wordt heel rustig de lengte bij de oppervlakte opgeteld en worden twee oppervlakten met elkaar vermenigvuldigd, wat meetkundig niets meer beduidt. Den Griekschen wiskundigen was zoo iets, wanneer het eens voorkwam (Heroon doet het wel eens) een gruwel; zij vatten de gebruikte termen zuiver meetkundig op en zagen in de veronachtzaming der dimensies niets dan een elementaire fout. Voor de Babyloniers hadden in dergelijke vraagstukken de woorden ‘lengte’ en ‘breedte’ reeds lang hun meetkundige beteekenis verloren; zij waren geworden tot even conventioneele aanduidingen voor twee onbekenden, als het in de letter-algebra de symbolen x en y zijn en ‘oppervlakte’ is eenvoudig synoniem met ‘product’.

In vele gevallen voeren de vraagstukken over lengte en breedte tot biquadratische vergelijkingen, die ook weer volgens een vast schema worden opgelost. Er is b.v. een serie van 55 problemen bekend, waarin telkens het product der twee onbekenden gegeven is èn de som of het verschil van de vierkanten van twee lineaire

[p. 345]

uitdrukkingen in de onbekenden. Zij leiden alle tot eenzelfde biquadratische vergelijking en zijn dus blijkbaar als oefenvoorbeelden in elkaar gezet, door van de oplossing uit te gaan. Een tweede merkwaardig voorbeeld van een dergelijke, aan een schoolboek herinnerende echte vraagstukkenverzameling heeft men in een reeks van veertien genummerde tabletten, die in afmetingen van 9,5 bij 6,5 tot 11,5 bij 8,5 cm elk 40 à 60 opgaven van verwante soorten zonder volledige uitvoering der berekeningen bevatten; in het geheel heeft men hier dus een collectie van ca. 700 vraagstukken. Het ziet er dus wel naar uit, dat er bij de Babyloniers reeds een intens onderwijs in wiskunde moet hebben bestaan.

Met al deze tamelijk verbluffende onthullingen is de rij der verrassingen, waarvoor de onderzoekingen van Neugebauer ons plaatsen, nog geenszins uitgeput. Er is nog een geheele klasse van problemen, die hij als transcendent in den oorspronkelijken zin van het woord (= quod vires algebrae transcendit) betitelt, problemen dus, waarbij het niet gelukt, een algemeene oplossingsmethode algebraïsch te formuleeren, maar waarbij men niettemin met andere hulpmiddelen tot een oplossing komt. Hiertoe behooren o.a. vergelijkingen van den derden graad, die zich laten herleiden tot den vorm x³ + x² = c en waar dan zonder toelichting de oplossing bij wordt geschreven. Dat zou onbegrijpelijk zijn, wanneer niet, zooals boven reeds bleek, tabellen waren gevonden voor de berekening van n³ + n² bij de opvolgende waarden van n. Hiervan blijkt nu het gebruik: men gaat na, of er een waarde van n in de tafel voorkomt, waarbij aan de bovenstaande betrekking voldaan wordt. Het is nog niet bekend, of men, wanneer zulk een waarde van n niet te vinden was, ook tot interpolatie zijn toevlucht heeft genomen.

Zooals uit dit voorbeeld duidelijk blijkt, is men voor het begrijpen zoowel van de manier, waarop dergelijke problemen worden opgelost als van het doel, dat met het aanleggen van bepaalde tafels is nagestreefd, afhankelijk van het toeval, of men opgaven-teksten en tafel-teksten vindt, die op de beschreven wijze bij elkaar passen. In andere gevallen is dat nog niet gelukt; zoo weet men nog niet zeker, hoe de Babyloniers te werk kunnen zijn gegaan bij de oplossing van de algemeene vergelijking van

[p. 346]

den derden graad, die in twee gevallen is aangetroffen¹⁾ en het is ook nog onbekend, hoe zij geslaagd zijn in de behandeling van een probleem op het gebied van samengestelde interestrekening, waarbij uit de gegeven waarden van begin- en eindkapitaal en van rentevoet het aantal perioden van vijf jaar (waarover telkens enkelvoudige interest à 20% per jaar wordt berekend) gevonden moet worden, gedurende welke het kapitaal op interest heeft gestaan. Dit probleem toch vereischt òf een logarithmen- òf een rentetafel. Tafels voor de exponentieele functie (de opvolgende machten van bepaalde geheele getallen bevattend) zijn bekend; hebben deze wellicht in omgekeerde lezing een rol gespeeld bij vraagstukken als het gestelde?

Zooals men ziet, blijft er nog veel te vragen over en de verdere ontcijfering der wiskundige teksten kan nog heel wat verrassingen opleveren. Thans staat echter reeds vast, dat de opgedane inzichten over het sterk algebraïsch karakter der Babylonische wiskunde als een bezit van blijvende waarde in onze kennis van de historische ontwikkeling van het mathematische denken zullen blijven voortleven. Daardoor is de historische gezichtskring, waarbinnen tot dusver de Arabische algebra als oudste phase voorkwam (terwijl hoogstens Diophantos als voorlooper daarvan werd beschouwd) reeds ontzaglijk verruimd. Het loont daarom wel de moeite, iets dieper in te gaan op de omstandigheden, die het ontstaan eener algebra bij de Babyloniers bevorderd kunnen hebben.

We knoopen daartoe aan bij de boven gemaakte opmerking, dat voor de beoefening eener algebra het gebruik van symbolen ter aanduiding van de onderling verbonden grootheden en van de bewerkingen die erop worden toegepast, niet principieel noodig is, om haar thans aan te vullen in dezen zin, dat het voor een doeltreffende uitvoering van algebraïsche operaties toch wel zeer wenschelijk en, zoodra er eenigszins gecompliceerde berekeningen optreden, practisch onmisbaar is, een symboolschrift in te voeren. De gewoonte der Grieken, alles altijd voluit in woorden te zeggen, heeft hun ongetwijfeld den weg tot de algebra sterk bemoeilijkt en wie ooit na elkaar algebraïsche verhandelingen

1) De belangstellende lezer kan hierover nog raadplegen: Kurt Vogel, Kubische Gleichungen bei den Babyloniern? Sitzungsber. d. Bayer. Akad. d. Wiss. 1934. p. 87-94.

[p. 347]

uit de 15 of 16e en uit de 17e eeuw gelezen heeft, zal uit ervaring de sterke verheldering en vereenvoudiging kennen, die de thans wellicht onbelangrijk schijnende invoering van enkele teekens, waar men voordien woorden gebruikte, heeft teweeg gebracht. De zaak stond nu bij de Babyloniers zoo, dat het boven behandelde gebruik van Sumerische ideogrammen, dus van geisoleerde symbolen ter aanduiding van bepaalde begrippen, hun als het ware een passende symboliek voor wiskundige redeneeringen kant en klaar aanbood, waardoor hun als geschenk in den schoot werd gelegd, wat andere volkeren in moeizamen arbeid hebben moeten veroveren.

Het is over het algemeen bekend, dat in Akkadische teksten het syllabische schrift, waarin de Sumerische teekens als phonogrammen optraden en het ideographische, waarin zij woorden beduidden, voortdurend willekeurig met elkaar afwisselen. In het bijzonder heeft zich nu in wiskundige verhandelingen de gewoonte ingeburgerd (blijkbaar een duidelijke aanwijzing, dat de wiskundige redeneeringen zelf van Sumerischen oorsprong waren), om de optredende grootheden en de bewerkingen, die er op werden toegepast, ideographisch te schrijven. Het gevolg hiervan is, dat men, wanneer men slechts dat beperkte aantal ideogrammen kent, dat voor de voorstelling van mathematische termen gebruikt wordt, men een wiskundigen tekst vaak beter onmiddellijk kan overbrengen in de schrijfwijze van onze symbolische algebra, dan hem in woorden te vertalen; hoe de gebruikte teekens in het Akkadisch hebben geheeten, doet daarbij eigenlijk niets ter zake; men leest in vele gevallen de mathematische teksten der Babyloniers op dezelfde wijze, waarop men hedendaagsch wis- of scheikundige wijs wordt uit een wetenschappelijke verhandeling, die geschreven is in een taal, die hij niet kent.

Het is in dit verband interessant te vernemen, dat, voorzoover men thans den ouderdom der teksten kan beoordeelen, de jongere in het algemeen sterker ideographisch geschreven zijn dan de oudere; men ging dus blijkbaar hoe langer hoe meer de wiskundige redeneeringen in teekens weergeven, een verschijnsel, dat ook in latere perioden der wiskunde en wel niet het minst in onzen eigen tijd valt waar te nemen. Er komen dan verhandelingen tot stand, waarvan de uitdrukkingswijze met een gesproken taal

[p. 348]

niets meer te maken heeft en voor welker ontcijfering de kennis van zulk een taal dan ook niet meer noodig is.

Aan het eind van de uiteenzetting der Babylonische wiskunde gekomen, keeren we terug tot de vraag, die, naar we in de inleidende beschouwingen van dit opstel opmerkten, niet in de laatste plaats de huidige belangstelling in toch zoo ver achter ons liggende phasen van de ontwikkeling der wiskunde motiveert, de vraag nl., in hoeverre de mathematische cultuur, waarvan de spijkerschriftteksten getuigen, invloed kan hebben gehad op de beoefening van de wiskunde bij de Grieken, dus op het ontstaan van die wiskundige gedachtenscheppingen, waarvan wij ons nog steeds de directe erfgenamen weten. Veel meer dan die vraag stellen, kunnen wij helaas niet, want voor haar beantwoording ontbreekt vrijwel alle materiaal. Het is natuurlijk aan den eenen kant alleszins aannemelijk, dat een volk als de Hellenen, dat in zoo velerlei relaties tot het Oosten stond en waarin de beoefening der wis- en natuurkunde haar begin juist daar genomen heeft, waar die relaties het allerlevendigst moesten zijn, nl. op de kust van Klein Azië, wel kennis heeft moeten nemen van de methoden en resultaten van de Babylonische wetenschap, maar het valt aan den anderen kant evenmin te ontkennen, dat van eenzelfde sterke beinvloeding als hun astronomie, naar den laatsten tijd steeds meer blijkt¹⁾, daarvan heeft ondergaan, op het gebied der wiskunde zeer weinig te bespeuren valt. Een autochthone ontwikkeling der Grieksche wiskunde moge historisch weinig waarschijnlijk zijn, logisch denkbaar is ze zeer zeker; het zou, oeconomisch en geographisch gesproken, vreemd zijn, indien de Grieken niets van de Babyloniers hadden geleerd, maar het is een feit, dat er wel heel weinig van te merken valt, dat ze het gedaan hebben²⁾. Voor een groot deel zou dit natuurlijk wel kunnen liggen aan de intense voorliefde voor het abstractlogische, die de Grieksche wiskunde kenmerkt en die er o.m.

1) Men vindt hierover nadere bijzonderheden in het artikel van J.K. Fotheringham, The indebtedness of Greek to Chaldaean Astronomy. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abt. B. Studien. II (1932), 28-44.

2) Men bespeurt van Babylonische invloeden feitelijk alleen iets in de astronomie, waar de cirkel in 360 deelen verdeeld wordt en waar met sexagesimale breuken gewerkt wordt èn in de benadering van irrationale vierkantswortels.

[p. 349]

toe leidde, de practische toepasbaarheid van wiskundige redeneeringen als een onwezenlijke bijkomstigheid te beschouwen en in verband daarmee de rekenkunde, voorzoover ze rekentechniek was en geen getallentheorie, als een banausisch bedrijf te beschouwen, dat geen plaats in de zuivere mathesis waardig werd gekeurd; voor een ander deel aan de suprematie, die het meetkundig denken, ook in de behandeling van arithmetische vragen, steeds heeft uitgeoefend en aan de daarmee samenhangende geringe ontwikkeling van een mathematische symboliek; mogelijk is ook, dat in den tijd, waarin de relaties met de Babyloniers tot kennismaking met hun wiskunde begonnen te leiden, teltaal en cijferschrift der Hellenen zich reeds te zeer langs eigen wegen hadden ontwikkeld, om nog een assimilatie van een vreemde rekentechniek, die zoo sterk aan de eigenschappen van een ander talstelsel en een ander cijferschrift gebonden was, mogelijk te maken en dat tengevolge van den nauwen samenhang van de Babylonische algebra met de positie van het Sumerisch in de geschreven taal ook van overname van algebraïsche methoden niets gekomen is.

Dit zijn echter niet meer dan gissingen en nog wel gissingen over een hypothetisch verschijnsel; ze zouden eerst eenige reëele beteekenis verkrijgen, wanneer het vaststond, dat de omstandigheden ooit de assimilatie van Oostersche wiskundige kennis door Grieksche geleerden mogelijk hebben gemaakt en dat deze toen niet tot stand is gekomen. Voorzoover onze kennis thans reikt, moeten we ons echter reeds op dit punt van een uitspraak onthouden en daarmee verliezen alle pogingen, om den samenhang tusschen Grieksche en Babylonische wiskunde te schetsen of het ontbreken van zulk een samenhang te verklaren, hun fundament.

De toekomst zal moeten leeren, of dit alles nog eens ooit zal worden opgehelderd; mocht dit niet geschieden, dan zal echter de bestudeering der Babylonische wiskunde nog geenszins haar bestaansrecht in de wetenschapsgeschiedenis verliezen; zij onthult in de laatste jaren zoo sterke intrinsieke mathematische waarden van de cultuur, die zij leert kennen, dat zij steeds meer haar doel in zich zelve vinden kan.

E.J. Dijksterhuis

(Slot volgt)