Logo DBNL
De Gids. Jaargang 99 (1935)

De Gids. Jaargang 99

(1935)– [tijdschrift] Gids, De–rechtenstatus Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd

Vorige Volgende

Prae-Helleensche wiskunde

De historici der wiskunde hebben de phasen van het mathematisch denken, die door de culturen van Babylon en Egypte worden vertegenwoordigd, van oudsher beschouwd met een aandacht, die dieper gefundeerd is dan in een op zich zelf begrijpelijk en gewettigd verlangen, het peil te leeren kennen, waartoe zich in historisch zoo belangwekkende tijdvakken het grondvermogen van den menschelijken geest, maat en getal toe te passen op de verschijnselen der buitenwereld, had ontwikkeld. Wat zij van de navorsching van de mathematische productie dier perioden nog meer vragen, komt tot uiting in den samenvattenden naam, die den titel van dit opstel vormt: de Grieken hebben er zelf zoo vaak den nadruk op gelegd, dat hun eigen wiskunde, die de voedingsbodem zou worden voor den sterken bloei, die het mathematisch denken in de West-Europeesche beschaving te wachten stond, op haar beurt wortelt in de cultuur van het Oosten, dat het historisch onderzoek onmogelijk bij Thales of Pythagoras als bij een begin halt kan houden, maar zich onafwijsbaar voor de vraag gesteld ziet, op welke grondslagen de oudste Helleensche mathematici reeds hebben kunnen voortbouwen; de term prae-Helleensch is daardoor meer dan een practische tijdsbepaling; hij drukt den wezenlijken samenhang uit, waarin de bij eerste beschouwing wellicht onbelangrijk schijnende wiskundige voortbrengselen van tijden, die veertig eeuwen achter ons liggen, door bemiddeling der Grieksche wetenschap met ons eigen denken staan; hij is de directe uiting van het besef, dat het gekozen gebied van historisch onderzoek, wel verre van een in den tijd geïsoleerd verschijnsel te vormen, dat, zonder merkbare nawerking verloopen, slechts van enkele historiomanen de belangstelling zou vermogen te prikkelen, integendeel een schakel vormt in de geleidelijke ontwikkeling van het menschelijk denken,

welker reconstructie de wetenschapsgeschiedenis, hoezeer ook overtuigd van het aprioristisch karakter van deze hare doelstelling, met een onuitdoofbaar vuur blijft nastreven.

Langen tijd scheen nu echter dat streven juist daar, waar het de prae-helleensche wiskunde betrof, tot onvruchtbaarheid gedoemd te zullen blijven; het beschikbare materiaal was uiterst fragmentarisch; de bewerking ervan bood onoverkomelijk lijkende moeilijkheden; slechts weinige kenners der Oostersche culturen voelden zich tot het onderzoek van mathematische teksten aangetrokken. En men kon maar al te duidelijk waarnemen, dat de toch zoo volkomen gewettigde mathematisch-historische belangstelling, al naar den aard der bezitters, wegkwijnde in een geresigneerde skepsis over de mogelijkheid, nog eens ooit dit onherroepelijk aan onze kennis onttrokken verleden tot nieuw leven te wekken, òf (en dit in het bijzonder, waar het de Aegyptische wiskunde betrof) omsloeg in een alle perken te buiten gaande neiging, door phantasterij aan te vullen, wat de exacte historie nu eenmaal niet scheen te kunnen leveren.

In dezen onbevredigenden toestand is nu echter in den loop van de laatst verstreken tien jaren wel een onmiskenbare wijziging gekomen: er is veel en goed werk gedaan, om het schaarsche materiaal, dat reeds ter beschikking stond, in een vorm te brengen, waarin het ook door wiskundigen, die de Oostersche talen niet machtig zijn, kan worden bestudeerd; talrijke nieuwe bronnen zijn toegankelijk gemaakt en onderzocht en hoewel onze kennis van het geheele gebied natuurlijk in nog veel hoogere mate fragmentarisch blijft, dan ze in het geval der reeds zooveel langer beoefende (en niettemin nog slechts zoo onvolledig gekende) Grieksche wiskunde is, kan men thans toch reeds trachten, enkele groote lijnen van het beeld, dat zich aan het vormen is, weer te geven en ziet men de richtingen, waarin het onderzoek voorloopig verder zal hebben te gaan, zich reeds afteekenen.

In dit artikel zal een poging worden gedaan, om op een voor niet-mathematici bevattelijke wijze iets mee te deelen over de resultaten, waartoe de historici in hun studie der Babylonische wiskunde zijn gekomen. Mathematische beschouwingen zullen daarbij uiteraard niet vermeden kunnen worden; ze zullen echter slechts begrippen en methoden betreffen, die in onzen tijd reeds op een zeer matig ontwikkelingspeil, zooal niet helder doorzien,

dan toch vlot toegepast plegen te worden; er zal veel gesproken worden over tellen en rekenen en wat er nog verder bij te pas komt, zal technisch het niveau van een tegenwoordige Middelbare School niet te boven gaan. Er wordt daarbij gehoopt, dat de te behandelen onderwerpen ook om hun wiskundigen inhoud eenigszins de belangstelling zullen kunnen boeien en dat ze daardoor zullen kunnen bijdragen tot bestrijding van het onder niet speciaal wiskundig geschoolden (die gewoonlijk niet beseffen, hoe hoog hun eigen mathematische ontwikkeling, historisch beschouwd, staat) zoo wijd verspreide misverstand, dat alle wiskundige beschouwingen onherroepelijk uit den kring van hun belangstelling, hoe wijd deze anders ook moge zijn, uitgesloten behooren te blijven. Het streven naar begrijpelijkheid voor den algemeenen lezer dwingt natuurlijk wel tot verzwijging van menige opmerking, die voor mathematisch meer ontwikkelden de vermelding waard zou zijn, terwijl de aard dezer publicatie ook de doorloopende opgave der gebruikte bronnen niet toelaat. Wie op een van deze beide punten echter meer volledige informatie wenscht, vindt een aan de hoogste eischen voldoende uiteenzetting van den huidigen stand van het onderzoek in de verschillende geschriften van den Duitschen (thans in Denemarken werkzamen) historicus der wiskunde Otto Neugebauer, die, steunend op een merkwaardige combinatie van diep mathematisch inzicht met volkomen beheersching der in aanmerking komende Oostersche talen, meer dan iemand anders tot de navorsching der prae-Helleensche wiskunde heeft bijgedragen. Voorzoover het tegendeel niet vermeld wordt, zijn alle in het volgende voorkomende mededeelingen van feitelijken aard over de Babylonische wiskunde aan zijn werken ontleend1).

 

De term ‘Babylonische wiskunde’ is een door de practijk geijkte verzamelnaam voor een zeer langdurige mathematische productie, waarvan de documenten vanuit den tijd vóór Hammurapi, dus voor ca. 2000 v. Chr. tot in dien der Seleukiden (dus tot

ca. 200 v. Chr.) reiken. Van die documenten staat het oudste (een in Senkereh gevonden, in het Louvre bewaarde en door F. Thureau-Dangin1) uit de eerste Babylonische dynastie gedateerde tekst) mee op het hoogste niveau, dat we in de geheele onderzochte periode aantreffen en dit getuigt reeds van het bestaan van een rekentechniek, die zoover ontwikkeld is en zoo sterk geformaliseerd, dat zij niet anders dan als vrucht van een lange voorafgaande ontwikkeling kan worden begrepen. Het staat dan ook wel vast, dat de beoefening der z.g. Babylonische wiskunde zich tot in veel dieper liggende tijdvakken uitstrekt en dat we ook op mathematisch gebied de grondslagen van de cultuur van Mesopotamië te zoeken hebben bij de Sumeriërs, de oorspronkelijke bewoners van het Zuidelijk gedeelte van het Tweestroomenland, die in de eerste helft van het derde millennium met de meer Noordelijk wonende Semietische stammen (gewoonlijk als Akkadiërs aangeduid) tot één volk zijn vereenigd, waarin op geestelijk gebied hun invloed overheerschend is gebleven. Het lijkt dus niet overdreven, wanneer men den geheelen duur van het tijdvak der Babylonische wiskunde op meer dan vijf en twintig eeuwen stelt. Dat wekt wellicht twijfel aan het doeltreffende der samenvatting; practisch wordt dit bezwaar echter nauwelijks gevoeld. De prae-Helleensche wiskunde vertoont nl. in hare beide voornaamste uitingen, de Babylonische en de Aegyptische, eenzelfde zeer opvallend karakter van conservatisme, van behoud van stijl en van niveau. Vergelijking van de oudste en de jongste beschikbare teksten bewijst, dat van een ontwikkeling van het mathematisch denken in de talrijke eeuwen, die er tusschen liggen, ternauwernood sprake is geweest; men kan daardoor voorloopig althans met groote veiligheid tijdvakken als één geheel beschouwen, die langer hebben geduurd dan de periode, die van Euclides tot aan onze dagen reikt en men behoeft zich er weinig aan te storen, dat de meeste teksten niet de minste mogelijkheid van dateering bieden.

 

De teksten, waaruit men de Babylonische wiskunde kan leeren kennen, zijn ontcijferd op tafeltjes of prismata van gedroogde of

gebakken klei, die met het z.g. spijkerschrift beschreven zijn. Dit spijkerschrift, dat ook van Sumerischen oorsprong is, schijnt in het midden van het vierde millennium nog een zuiver ideographisch schrift te zijn geweest, waarin dus de gebruikte teekens werkelijk voorstellingen waren van de aangeduide objecten. Deze voorstellingen zijn toen langzamerhand meer schematisch van aard geworden en wel in dien zin, dat alle omtrekken ten slotte werden opgelost in systemen van cuneiforme, d.z. wigvormige inscripties. Het oorspronkelijke picturale karakter is ten slotte geheel verloren gegaan, toen het Sumerische schrift door de Akkadiërs is overgenomen; er was nu nog slechts een stelsel van symbolen over, die alle uit verschillende combinaties van twee teekens bestonden en die op conventioneele wijze de verschillende Sumerische woorden aanduidden. Zij bleven dus weliswaar afbeeldingen der aan te duiden objecten, dus ideogrammen, maar ze waren dit niet meer in den picturalen, maar slechts in den mathematischen zin van het woord, die geen gelijkenis tusschen het afgebeelde ding en het beeld impliceert.

Daar de Sumerische woorden voor een groot gedeelte monosyllabisch waren, volgde uit het conventioneele karakter der afbeelding voor de Akkadiërs de mogelijkheid, de Sumerische woordteekens als phonogrammen of klankteekens in een syllabisch schrift te gebruiken. Het teeken, dat b.v. het Sumerische woord ka aangaf, kon dienen om den klank ka uit te drukken, waar deze als bestanddeel van een Akkadisch woord voorkwam, zonder dat het iets ter zake deed, dat ka in het Sumerisch ‘mond’ aanduidde. Het is het beginsel, dat thans nog schertsenderwijs in den rebus wordt toegepast, wanneer men b.v. de lettercombinatie ‘den’ door een teekening van een denneboom aangeeft. Een andere mogelijkheid was echter, dat de Akkadiërs, een teeken ziende, dat in het als geleerdentaal voortlevend en tot op zekere hoogte met het Latijn in de Europeesche cultuur vergelijkbare Sumerisch ‘mond’ beduidde, dit in de uitspraak door het Akkadische woord voor mond weergaven, zoodat het dan toch weer als ideogram fungeerde. Voegt men hier nog bij, dat hetzelfde teeken, dat ‘mond’ beduidde, in het Sumerisch nog allerlei andere daarmee samenhangende begrippen (tand, spreken, woord enz.) kon voorstellen, die natuurlijk alle weer door verschillende klanken werden uitgedrukt en waarvoor ook weer

verschillende Akkadische woorden bestonden, dan heeft men eenigen indruk van de groote complicatie van het verkregen schriftsysteem en van de ontzaglijke moeilijkheden, die te overwinnen zijn geweest, voordat men het spijkerschrift heeft kunnen ontcijferen.

We zullen op deze dingen niet ingaan; het was echter noodig, er een weinig van te zeggen, omdat, zooals nog blijken zal, het geschetste gebruik van het Sumerische schrift in alle tijden der Babylonische wiskunde van groote beteekenis is gebleven voor de vorming van de terminologie en van de symboliek der wiskunde.

 

We gaan thans over tot de wijze, waarop in de Babylonische wiskunde de getallen (onder welk woord we in het volgende, behoudens vermelding van het tegendeel, uitsluitend de natuurlijke getallen een, twee, drie enz. zullen verstaan) in woord en symbool werden uitgedrukt, dus tot de behandeling van teltaal en cijferschrift.

We zullen daarbij niet trachten, het getalbegrip, dat aan deze uitdrukkingswijzen ten grondslag ligt, met mathematische exactheid te bepalen; de Babyloniërs hebben het woord getal blijkbaar gebruikt in denzelfden zin, waarin het ook thans nog in het onwiskundig spraakgebruik voorkomt en het zou ook niet wel mogelijk zijn, dien zin nauwkeurig te omschrijven, zonder hem mathematisch te preciseeren, maar daardoor ook te veranderen. Het is dus voldoende vast te stellen, dat zij een abstract systeem van telwoorden hebben bezeten, van klanken dus, die bij het opvolgend aanwijzen van de elementen der te tellen verzameling in vaste volgorde werden uitgesproken en waarvan het laatst opgenoemde het aantal dier elementen (dat in de taal nog wel homonym met getal zal zijn geweest, zooals dit zelfs in het Grieksch nog het geval is) bepaalde en dat zij die telwoorden symbolisch, d.w.z. zonder ze voluit als woorden te schrijven, hebben kunnen weergeven door getalteekens, bestaande uit combinaties van een beperkt aantal grondvormen, die met hetzelfde recht als de grondvormen 0, 1, 2 .... 9, waaruit wij tegenwoordig onze getalteekens samenstellen, cijfers mogen heeten. In het bezit van zulk een (nog nader te omschrijven) teltaal en zulk een cijferschrift openbaart zich (op twee verschillende wijzen, daar het cijferschrift hier evenmin als elders een directe af-

beelding van de teltaal is) een ordening in de getallenverzameling, die mathematisch reeds op een zeer hoog peil van ontwikkeling van het getalbegrip wijst. Van de meer primitieve phasen, die de ontwikkeling heeft doorloopen, zooals ze tot uiting komen in het tellen met telklassen (waarbij het van den aard der getelde objecten afhangt, welke telwoorden men gebruikt) of in het gebruik van lichaamsgetallen (waarin de achtereenvolgens bij het tellen aangewezen voorwerpen wederzijds ondubbelzinnig aan bepaalde punten van het lichaam worden toegevoegd en dus het telinstrument nog in concreto gegeven is) zijn we hier reeds zeer ver verwijderd. De getallenrij wordt ook, hoewel nog niet bewust als eindeloos gezien, practisch reeds als onbegrensd gebruikt en reeds zijn er de geledingen in aangebracht, die het mogelijk maken, het aantal elementen van een uitgebreide verzameling van eenheden gemakkelijk te overzien en uit te drukken en die eerst het recht geven van een getallensysteem te spreken.

 

We moeten nu, om den eigen aard van het Babylonische getallensysteem duidelijk te kunnen aangeven, nog enkele algemeene beschouwingen over het ordenen van de getallenverzameling houden. Voor zulk een ordening komen in de phase van ontwikkeling der wiskunde, waarmee we hier te maken hebben, twee verschillende middelen in aanmerking, die men kan onderscheiden als de methode der telbundels en die der teltrappen1). De eerste bestaat hierin, dat men van de verzameling der te tellen eenheden telkens bepaalde onderling gelijke bundels afsplitst en telkens na voltooiïng van zulk een bundel van voren af aan gaat tellen. De verkregen bundels kunnen dan volgens hetzelfde beginsel opnieuw tot bundels van hoogere orde worden samengenomen. Van dit betrekkelijk primitieve ordeningsmiddel wordt nog tegenwoordig veelvuldig gebruik gemaakt: bij het tellen van geld b.v. bundelt men centen en dubbeltjes in tientallen, kwartjes in viertallen; het zal iedereen gemakkelijk vallen, dit voorbeeld met tal van andere te vermeerderen. Het ken-

merkende van de methode (die slechts de kennis van een zeer beperkte teltaal vereischt) is, dat de bundels van dezelfde orde als het ware naast elkaar en niet achter of boven elkaar worden gezien.

De tweede methode, die der teltrappen, bestaat hierin, dat men bij het tellen de onbegrensde rij der natuurlijke getallen ononderbroken blijft doorloopen, maar daarbij zekere rustpunten aanneemt, van waaruit het tellen in dezen zin van het woord opnieuw kan beginnen, dat men tot aan het bereiken van het volgende rustpunt telkens slechts behoeft te zeggen, hoeveel men nu meer heeft dan bij het (doorloopend te vermelden, en alleen bij voldoend vertrouwen op het geheugen te verzwijgen) vorige. Zóó tellend (na twintig een-en-twintig enz. totdat dertig weer een rustpunt vormt) ziet men de opvolgende getallen als de treden van een trappenstelsel, dat men bestijgt: zes-en-dertig ligt hooger of komt later dan een-en-twintig.

Gaan we nu na, hoe deze wijze van ordening b.v. in ons eigen getallensysteem tot uiting komt, dan vinden we, beginnend bij de trede één (die we de nulde rusttrede noemen) de treden der eerste orde een, twee .... negen, die samen de eerste trap vormen; met tien (de eerste rusttrede) begint de tweede trap, die tot aan honderd reikt en waarop we de treden der tweede orde tien, twintig .... negentig aantreffen, welker onderlinge afstanden telkens door een herhaling van de eerste trap op steeds hooger niveau worden overbrugd. Van honderd (de tweede rusttrede) leidt de derde trap, bestaande uit de honderdtallen van één- tot en met negenhonderd als treden der derde orde mèt de tweede trappen, die ze verbinden, naar de derde rusttrede duizend en zoo steeds voort.

Zuiver wiskundig beschouwd kan de methode der teltrappen natuurlijk worden toegepast op allerlei wijzen, die met de oudere der telbundels geenerlei samenhang vertoonen. Men zou b.v. twee rusttreden zoo dicht bij elkaar kunnen aannemen, dat men slechts een deel van een vorige trap noodig had, om ze te verbinden en men zou ook de hoogere rusttreden zoover uit elkaar kunnen nemen, dat er achteraf nog treden van lagere orde moesten worden bijgemaakt, om ze met elkaar in samenhang te brengen. Van zulk een willekeur is historisch niets te bemerken; de getalsystemen zijn niet wetenschappelijk geconstrueerd, maar

in de practijk van het leven gegroeid en wel heeft zich de methode der teltrappen geleidelijk uit die der telbundels ontwikkeld. Het blijkt namelijk, dat de rusttreden, die de methode der teltrappen aanneemt, telkens bepaald zijn door bundeling van de telkens juist voorafgaande rusttrede; zoo worden tien tientallen tot honderd gebundeld, tien honderdtallen tot duizend enz.

Dat het zoo inderdaad gegaan is, kan taalhistorisch op overvloedige wijze worden aangetoond door den oorsprong van de namen der rusttreden (de grondtelwoorden) na te gaan; we zullen hierover echter niet verder spreken en ook niet ingaan op het verschijnsel, dat in de namen van verschillende ordetreden vaak andere bundelingswijzen voortleven, dan die ten slotte de overheerschende werd. We beperken ons dus verder tot de beschouwing van een tot volledige ontwikkeling gekomen getrapt telwoordensysteem en duiden verder een getallenverzameling, waarvan de ordening door zulk een teltaal wordt uitgedrukt, met den traditioneelen naam talstelsel aan.

Het kenmerkende van een talstelsel bestaat blijkbaar in de keuze der rusttreden en wel is het geheele stelsel morphologisch bepaald door de vastlegging van de eerste rusttrede (de nulde is altijd één) en van de wet, volgens welke daaruit de volgende rusttreden worden gevormd. Het is nu een bekend feit, dat in alle historische talstelsels het getal tien als eerste rusttrede fungeert. Weliswaar blijkt in sommige talen uit den bouw der telwoorden voor zes, zeven enz. als vijf-en-een, vijf-en-twee enz., dat daarin oorspronkelijk vijf de rol heeft vervuld, die tien later zou overnemen; blijkbaar heeft echter het natuurlijke telinstrument, dat we in de vingers van onze twee handen hebben, overal tot de suprematie van het totale vingertal als eerste rustpunt bij het tellen geleid.

In de overgroote meerderheid der gevallen zijn nu als volgende rusttreden de opvolgende machten van de eerste, die dan meer speciaal het grondtal of de basis van het talstelsel heet, gekozen. Die keuze leidt tot het ons allen van jongs af vertrouwde z.g. decimale stelsel, waarnaast alleen in mathematische onderzoekingen andere talstelsels worden beschouwd, waarin de basis tien door een andere is vervangen, maar die verder op dezelfde wijze gebouwd zijn. Historisch is nu echter de overeenstemming van verschillende volkeren over dezen verderen opbouw niet zoo

volkomen geweest als bij de keuze van de eerste rusttrede. Zoo vertoont het getallensysteem der Maya de eigenschap, dat na het passeeren van tien eerst op de wijze van het decimale stelsel wordt doorgeteld tot twintig, maar dat men dan twintig zelf en de opvolgende machten daarvan als rusttreden aanneemt, zoodat b.v. 100, 120 enz. als vijfmaal-twintig, zesmaal-twintig enz. worden aangeduid en eerst bij 400 een nieuw grondtelwoord optreedt.

Een andere afwijking van de groote meerderheid en wel een, die op de ontwikkeling der rekentechniek een sterken, tot in onzen tijd voortwerkenden invloed heeft uitgeoefend, vinden we in het talstelsel der Sumeriers en daardoor in de geheele Babylonische wiskunde; zij vormt zelfs een van de voorname redenen van de belangstelling, die aan die wiskunde wordt gewijd.

In dit talstelsel wordt nl. als tweede rusttrede niet honderd, maar zestig aangenomen; voor de volgende rusttreden worden dan echter niet (wat een analogon van het Maya-stelsel zou hebben opgeleverd) alleen de opvolgende machten van zestig genomen, maar, daarmee afwisselend, ook de tienvouden dier machten. Men krijgt dus als rusttreden, van de nulde af gerekend, (dus overeenkomend met onze rij één, tien, honderd, duizend enz.) de getallen, die worden aangeduid door geš (1), u (10), geš of gešta (60), geš-u (10.60), šar (602), šar-u (10.602), šar-gal (603): In dit stelsel volgt dus op een eerste trap, die negen treden der eerste orde bevat, een tweede, die slechts vijf treden der tweede orde heeft, dan een derde met weer negen treden der derde orde enz. Om het in onze taal weer te geven, zou men dus, na gewoon te hebben geteld tot en met negen-en-vijftig, zestig (of een nieuw daarvoor ingevoerd grondtelwoord) zóó moeten beschouwen, als wij het honderd doen, dus via zestig-en tien, zestig-en-twintig enz. door moeten tellen tot tweezestig (120) enz. om op negenzestig-en-negen-en-vijftig een nieuw grondtelwoord voor 600 te laten volgen. Bij het doordringen van de Sumerische cultuur in de Akkadische schijnt dit systeem in het practische leven zijn zuiverheid weldra te hebben ingeboet; in inscripties uit den tijd der Akkadische dynastie vindt men althans een soort compromis tusschen het Sumerische en het decimale stelsel, waarin de rusttreden van de tweede af decimaal uit de vorige zijn afgeleid; het zijn dus 1, 10, 60 (šuššu), 600 (nêr) enz.1),

terwijl daarnaast nog Akkadische telwoorden voor 100 (me) en 1000 (lim) voorkomen. Wel bleef men voor 70, 80 en 90 zestigen-tien, zestig-en-twintig, zestig-en-dertig zeggen; het Sumerische systeem bleef dus in dit opzicht op een analoge wijze voortleven als thans nog in het Fransch de telwoorden, waarvoor het systeem de namen septante, octante en nonante eischt, de herinnering aan een oud gebruik van twintig als rusttrede of aan een bundeling in twintigtallen bewaren.

Terwijl echter het Sumerische stelsel in het dagelijksche leven langzamerhand afsleet, bewaarde het zijn volle zuiverheid in de toepassing, die het bij de wiskundigen vond en waarmee we ons nu verder uitsluitend zullen bezig houden.

 

Het is in de geschiedenis der wiskunde gangbaar spraakgebruik, het Sumerische getallensysteem als een sexagesimaal of zestigtallig stelsel aan te duiden. Het zal den lezer van de bovenstaande beschouwingen echter duidelijk zijn, dat deze benaming, die den indruk wekt, als zoude zestig inplaats van tien als eerste rusttrede fungeeren, onvolledig en misleidend is. In een sexagesimaal talstelsel zouden ten eerste alle getallen van 1 tot en met 59 door grondtelwoorden moeten worden aangeduid en zouden bovendien uitsluitend de opvolgende machten van 60 (dus niet tevens de tienvouden daarvan) als rusttreden moeten voorkomen. Het is duidelijk, dat het Sumerische stelsel feitelijk twee grondtallen bezit, zestig èn tien, waarvan het eerste praevaleert in de vorming der rusttreden van de tweede af (die steeds òf machten van 60 zijn of tienvouden daarvan, maar nooit machten van 10), maar waarvan het tweede niet gemist kan worden, omdat de eerste en de tweede trap decimaal gebouwd zijn. We hebben dus te maken met een gemengd talstelsel, waarvan zestig de hoofden tien de nevenbasis kan heeten. Het is gewenscht, dit in het oog te houden, wanneer we ons verder in overeenstemming met het spraakgebruik van den term ‘sexagesimaal stelsel’ zullen bedienen.

We hebben ons tot dusver beperkt tot het systeem der natuurlijke getallen; het eigen karakter, dat de Babylonische wiskunde bij de constructie daarvan vertoont, openbaart zich echter in niet mindere mate bij de invoering van en het werken met breuken. Het blijkt nl., dat de Sumeriërs de beide bases van hun

talstelsel, zestig en tien, ook hebben toegepast, om de breukdeelen van de eenheid systematisch aan te duiden en dat zij daardoor tot een harmonie van opvatting in de weergave van geheele en gebroken getallen zijn gekomen, die zich in het decimale stelsel eerst omstreeks 1600 na Chr. en dan nog in veel mindere volkomenheid zou laten verwezenlijken. De opvolgende treden 1, 10, 60 van het talstelsel nl. in omgekeerde richting doorloopend, verdeelen zij de eenheid in zes deelen (šuš), die elk weer uit tien deelen (gin) bestaan. De eenheid (geš) wordt dus gelijk aan 60 gin en de rij gin-šuš-geš vertoont dezelfde structuur als de opvolgende treden geš-u-gešta.

De moderne lezer, die met de kronkelpaden, waarlangs zich het wiskundige denken heeft ontwikkeld, in het algemeen niet vertrouwd is, zal wellicht geneigd zijn, dit niet zoo heel merkwaardig te vinden. Dat het in werkelijkheid hoogst merkwaardig is, kan alleen beseft worden, wanneer men eerst een volledig overzicht heeft van de groote moeilijkheden, die het breukbegrip aan de oude volkeren in den weg heeft gelegd en die o.m. in de Aegyptische wiskunde in krassen vorm aan het licht komen. We kunnen hierop thans niet uitvoerig ingaan en volstaan dus met op twee punten te wijzen, die geschikt zijn, de waardeering voor de Sumerische opvatting te voeden. Het eerste is dit, dat de Sumeriërs blijk geven, het algemeene breukbegrip (m/n als m ne deelen van de eenheid) te bezitten en in hun notatie tot uiting te brengen, terwijl b.v. de Aegyptenaren (ook al wil men volhouden, dat zij hetzelfde begrip wel hebben gekend) zich toch altijd genoodzaakt hebben gezien, alle breuken als sommen van stambreuken (d.z. breuken van de gedaante 1/n) te schrijven. Het tweede echter bestaat hierin, dat de indeeling van geš in 60 gin en 6 šuš, die eigenlijk beduidt, dat men den systematischen trappenbouw beneden de nulde rusttrede voortzet, het mogelijk maakt, veel meer breukdeelen van de eenheid als veelvouden van 1 gin te schrijven, dan men, toen men eeuwen later hetzelfde denkbeeld in de z.g. tiendeelige breuken ging toepassen, voor het decimale stelsel doen kon. Voor ⅔, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/12 kan men opv. 40, 30, 20, 15, 12, 10 en 5 gin schrijven, terwijl slechts twee ervan als tienden en slechts drie als honderdsten te schrijven zijn. We zien hier reeds iets van de voornaamste reden, waarom

de keuze van zestig als hoofdbasis zoo gelukkig moet worden geacht, zoodra het getallensysteem tot breuken moet worden uitgebreid: zestig is door drie deelbaar en tien is het niet. De deelbaarheidseigenschappen van de basis van een talstelsel bepalen den omvang der mogelijkheid, het op het breuksysteem toe te passen. Dat die toepassing, eenmaal begonnen, even onbegrensd is als de vorming van steeds grootere geheele getallen, is duidelijk. Het Sumerische stelsel heeft haar dan ook even goed voortgezet als wij het doen in het decimale: aan de trap, die van gin tot geš leidt, gaat een andere vooraf, die 1/60 gin als uitgangspunt heeft.

In het voorafgaande hebben we uitsluitend over de wijze gesproken, waarop de structuur van het Sumerische talstelsel zich in de teltaal openbaart. Van grootere beteekenis echter dan de vraag, hoe men getallen uitspreekt, is het, hoe men ze symbolisch schrijft. We zullen dus thans over het Sumerische cijferschrift moeten berichten.

Daarover valt uit alles, wat we over de teltaal zeiden, niets af te leiden. Zooals we reeds terloops opmerkten, bestaat immers tusschen het woordsysteem, waarmee men getallen mondeling uitdrukt en het symbolenstelsel, waardoor men ze schriftelijk weergeeft, geenerlei noodzakelijke en ondubbelzinnige samenhang: ze hebben zich onafhankelijk van elkaar ontwikkeld en het cijferschrift behoeft geen afbeelding van de teltaal te zijn. Ook tusschen getallenstelsel en cijferschrift bestaat geen ondubbelzinnige relatie: wij bedienen ons b.v. van hetzelfde decimale talstelsel als de Grieken en de Romeinen; onze telwoorden zijn, met niet-essentieele afwijkingen, zoo gebouwd als de hunne en toch wordt hetzelfde getal, dat wij door 2357 aanduiden, in het Grieksch als βτνζ geschreven (waarin τ niet het symbool voor 3 en ν niet dat voor 5 is1)) en in het Latijn als MMCCCLVII; bij identiteit van talstelsel en isomorphie van teltaal dus drie toto genere verschillende cijferschriften.

Het mag algemeen bekend worden geacht, in welke mate het thans algemeen gebruikelijke Indo-Arabische cijferschrift, waarin het teeken 2357 thuis hoort, boven de twee andere hier toegepaste stelsels uitmunt. Het geeft met een aantal cijfers, dat gelijk is aan de basis van het talstelsel, dus in het practische rekenen tien,

alle getallen kort en overzichtelijk weer; in het Grieksche stelsel, waar iedere trede van de eerste drie orden, benevens de vierde grondtrede door een afzonderlijke letter wordt aangeduid, moet men daarentegen de beteekenis van 28 teekens uit elkaar onderhouden en dan ontmoet men boven 10.000 toch al moeilijkheden; over de beperktheid en onoverzichtelijkheid van het Romeinsche cijferschrift ten slotte behoeft geen woord verloren te worden.

Het Indo-Arabische cijferschrift dankt zijn groote verdiensten aan het denkbeeld, eenzelfde cijfer, al naar de plaats, waarop het staat, telkens eenzelfde veelvoud van een andere rusttrede van het stelsel te laten aanwijzen en wel zoo, dat het een veelvoud van de(n-1)e rusttrede aanduidt, als het op de ne plaats, van rechts naar links gerekend, staat. De gedachte, die aan dit z.g. positiestelsel ten grondslag ligt, kan pas ten volle verwezenlijkt worden, door de invoering van het symbool 0 voor het ontbreken van veelvouden van een bepaalde rusttrede; de invoering van dit symbool - een daad van verstrekkende beteekenis voor de ontwikkeling der moderne rekentechniek - beduidt dan ook wel de meest belangrijke bijdrage, die Indië, voorzoover we thans weten, aan den groei der mathesis heeft geschonken.

Het denkbeeld zelf namelijk, de waarde, die een cijfer aanduidt, afhankelijk te stellen van de plaats, die het inneemt, is wellicht in het geheel geen origineele Indische vondst geweest; op dit denkbeeld is nl. reeds vóór 2000 v. Chr. het cijferschrift der Sumeriërs gebaseerd geweest en het is - hoewel nog niet bewijsbaar - geenszins uitgesloten, dat het vanuit Babylonië naar Indië is doorgedrongen, om vandaar via Arabië in Europa te belanden. Inderdaad wordt in het Sumerische cijferschrift gebruik gemaakt van het positiebeginsel: hetzelfde symbool, dat 1 aanduidt, kan, op een andere plaats 60 aangeven of 602 enz.; het teeken voor 10 kan ook 10.60, 10.602 beduiden.

Hiermee wil echter weer niet gezegd zijn, dat de Babylonische wiskunde reeds over een volledig positiesysteem zou hebben beschikt; daarvoor ontbrak haar het onmisbare bestanddeel, dat wij, zooals bleek, aan de Indiërs te danken hebben, het symbool 0. Om duidelijk te maken, hoe dit alles met elkaar te rijmen is, schetsen we thans eerst de structuur van het Babylonische cijfersysteem.

Er is dan ten eerste een symbool voor één, een enkel streepje.

De getallen van één tot en met negen worden geschreven, door dit teeken zoo vaak te zetten, als het getal aangeeft. Inplaats van tien als tien eenen te schrijven, voert men een nieuw teeken in, waarvan de vorm niet ter zake doet en dat we daarom, waar we het noodig hebben, ter vermijding van typographische moeilijkheden wel door de letter i kunnen aanduiden. Alle getallen van tien tot en met negen en vijftig worden nu geschreven door zoo vaak i te zetten, als het getal tienvouden bevat en zoovaak 1 als het daarnaast nog eenheden heeft. Men moet dus telkens de waarden van alle naast elkaar staande getalteekens optellen; zij zijn geschreven in z.g. additieve iuxtapositie.

Dan brengt de nieuwe rusttrede zestig de groote verrassing; men schrijft hiervoor weer 1 en kan dan tot en met 599 ieder getal uitdrukken door eerst zooveel eenen te schrijven, als er zestigvouden in begrepen zijn, dan zooveel maal i, als er daarna nog tienvouden zijn en ten slotte nog een aantal eenen voor de resteerende eenheden. 600 wordt dan weer als i geschreven en zoo voort.

In dit systeem zijn blijkbaar op wonderlijke wijze meer primitieve en meer kunstig-mathematische denkbeelden vermengd; het primitieve bestaat in het herhalen van eenzelfde symbool tot het aantal weer te geven eenheden of tienvouden bereikt is; dit is het bekende verschijnsel, dat de bundeling in het cijferschrift blijft voortleven, als het getallensysteem reeds volgens de trappenmethode geordend is; men ontmoet het in precies denzelfden vorm bij de Aegyptenaren en (vermengd met een bundeling in vijven) bij de Romeinen; de Grieken hebben het niet en in het Indo-Arabische stelsel is het door de toepassing der positiegedachte vanaf de eerste rusttrede vanzelf overbodig geworden; het kunstig-mathematische echter wordt opgeleverd door de waarlijk geniale gedachte, om zestig, die een nieuwe rusttrede is, als een nieuwe 1 te schrijven.

Om helder de beteekenis van deze gedachte te toonen, zullen we eerst niet op de meer primitieve schrijfwijze der getallen van 2 tot en met 59 letten; we geven deze dus weer in Indo-Arabische symbolen, die we ter voorkoming van vergissingen door verticale strepen afscheiden. Op grond van deze afspraak kunnen we dan de Sumerische schrijfwijze in moderne symbolen adaequaat uitdrukken. Voor 128 schrijven we 2|8, voor 1296, d.i. 21.60 + 36 vinden we 21|36. Nauwkeuriger, maar minder overzichtelijk zou

dit getal kunnen worden weergegeven door de schrijfwijze ii1iii111111.

Hoe echter, wanneer er eenheden van een bepaalde orde ontbreken? Het lijkt voor de hand liggend, om, wat er niet is, ook niet te schrijven: de voorstelling van 30 als iii drukt vanzelf uit, dat er geen eenheden meer bijkomen. Schrijft men nu echter 120 als 2, nl. twee zestigvouden en houdt men dan op, dan staan er twee eenheden en wat dus met het z.g. gezonde verstand in overeenstemming was, blijkt, zooals zoovaak, toch juist niet mathematisch bruikbaar te zijn. Hier voelen we de behoefte aan het symbool 0; in het Indo-Arabische stelsel beduidt de 2 in 200 hetzelfde als in 234, nl. tweehonderd en wel omdat ze staat op de derde plaats van rechts, maar we zien die plaats in het eerste geval pas, als we door de nullen aangeven, dat de 1e en de 2e plaats leeg zijn.

De Sumerische mathematici, die het positiesysteem hebben gevormd en de Babylonische, die het hebben overgenomen, zijn op dit denkbeeld niet gekomen; ze hebben wel een symbool, dat het ontbreken van veelvouden van een bepaalde rusttrede in het midden van een getalteeken aangeeft en dat men dus door 0 zou kunnen weergeven, maar ze schrijven dit nooit aan het einde van het teeken. Het fatale gevolg is, dat men ook nooit weten kan, of 2 eigenlijk twee beduidt of 2.60 of 2.602 enz. Het staat vast, dat in 2|2 de eerste 2 een waarde uitdrukt, die 60 maal zoo groot is als wat de tweede 2 voorstelt: de relatieve positiewaarde der verschillende cijfers is dus bepaald; de absolute, wegens het ontbreken van het symbool 0 aan het eind, niet.

Voor het practische rekenen is dat natuurlijk wel een hindernis geweest, maar een, die men met eenige oplettendheid wel te boven heeft kunnen komen. Men gaf zeer waarschijnlijk de waarde van de aanvankelijk optredende grootheden in woorden aan en hield dan verder de orde van grootte der in de berekening nieuw bepaalde getallen in het oog. Men zei er dus b.v. bij, dat 15 en 32 resp. vijftien en twee-en-dertig beduidden; vond men dan door vermenigvuldiging van deze twee factoren het product 8, dan moest men onthouden, dat dit 8.60 beduidde.

Stond dus in dit opzicht het Babylonische stelsel bij het Indo-Arabische achter, zoo vertoont het daarentegen een zeer aanzienlijken voorsprong, wanneer het gaat om de symbolische

weergave van breuken. Het blijkt namelijk, dat de Sumeriërs hierbij een inzicht hebben bezeten, dat de Indiërs en de Arabieren hebben gemist en dat pas de West-Europeesche mathematici van de 16e eeuw (Simon Stevin is de eerste geweest, die het met volle bewustheid heeft toegepast en ook bij hem is de juiste vorm nog niet geheel bereikt) hebben verworven, en wel het inzicht, dat het systeem der positieschrijfwijze kan worden uitgebreid tot die breuken, die een macht van het grondtal van het stelsel als noemer hebben. Voor het decimale stelsel is deze gedachte natuurlijk heden ten dage elementair geworden; echter drukt de terminologie, waarvan men zich bij haar toepassing bedient, geenszins het essentieele van het denkbeeld uit. Men spreekt van tiendeelige breuken in tegenstelling tot gewone breuken, alsof het een bijzonder soort breuken was, die niet onder de gewone viel en men zegt niet, dat het uitsluitend aankomt op de symbolische weergave van breuken, die een macht van tien tot noemer hebben volgens het systeem der positieschrijfwijze; we zullen daarom in het volgende de schrijfwijze van onze tiendeelige breuken als de positieschrijfwijze aanduiden en dus voor tien- of g-deelige breuken positioneele breuken zeggen. Met behulp van dezen term kan nu als onvergankelijke verdienste van het Sumerische cijferschrift worden opgegeven, dat daarin vóór 2000 v. Chr. reeds het denkbeeld, om breuken positioneel te schrijven is opgevat en tot volledige ontwikkeling is gebracht; Babylonië is Europa hierin minstens 3600 jaar voor geweest.

Na wat wij boven over de deelbaarheidseigenschappen van de basis zestig gezegd hebben, zal het nu onmiddellijk duidelijk zijn, dat dit denkbeeld in het Babylonische stelsel noodzakelijk veel vruchtbaarder moest zijn dan het in het decimale ooit zou kunnen worden. Van de breuken met noemer beneden tien laten zich slechts die met de noemers 2, 4, of 5 in het decimale stelsel positioneel schrijven, omdat slechts deze getallen geen andere priemfactoren hebben dan het grondtal van het stelsel; van dezelfde breuken zijn alleen die met noemer 7 niet eindig positioneel te schrijven in het sexagesimale stelsel; van alle andere bevat de basis 60 alle priemfactoren.

Evenmin als bij de toepassing van het positiesysteem op de schrijfwijze van geheele getallen is het den Sumeriërs echter bij

de breuknotatie gegeven geweest, de volmaaktheid te bereiken. Mèt de nul ontbreekt hun nl. die andere groote vondst op het gebied der cijfersymboliek, het positiekomma (of -punt), dat men in het decimale stelsel wel het decimaalteeken noemt en dat ons duidelijk maakt, dat in 0,2 de 2 twee tienden beduidt. Daardoor komen zij op het gebied van breuken ook slechts tot aanduiding der relatieve positiewaarden; ze schrijven ⅔, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ⅛, 1/9, 1/10 opv. als 40, 30, 20, 15, 12, 10, 7|30 6|40 en 6, zonder dat men er aan zien kan, dat 30 niet dertig en 7|30 b.v. geen 450 beduidt. Bij het practische rekenen zal men zich over deze moeilijkheid op de boven voor geheele getallen geschetste wijze hebben moeten heenzetten.

Volledigheidshalve wijzen we er hier nog op, dat een ander punt, waarop het Sumerische positiestelsel bij het Indo-Arabische achterstaat, natuurlijk wordt gevormd door de boven ter wille van de overzichtelijkheid eerst nog ter zijde gelaten schrijfwijze van de getallen van 1 tot en met 59, die berust op het denkbeeld der additieve iuxtapositie. Dit heeft tengevolge, dat de verschillende plaatsen van het volledige getalteeken niet, zooals in het Indo-Arabische schrift steeds door één cijfer worden ingenomen, maar dat ze telkens een groep van teekens bevatten, waarvan het aantal tot veertien kan stijgen.

Om in het volgende ook positiebreuken kort en overzichtelijk te kunnen weergeven, breiden we de boven gemaakte afspraak over het aanduiden der getallen in dier voege uit, dat we ons zoowel van de nul als van het positiekomma zullen bedienen. We schrijven dus b.v. 0,18|42 voor 18/60 + 42/602 enz. Ook zullen we de nul aan het eind van een getalteeken gebruiken, dus b.v. 12|0 voor 720 schrijven.

Ten slotte zijn we nu in staat, nauwkeurig alle eigenschappen van het getallensysteem en het cijferschrift der Babylonische wiskunde te omschrijven: een gemengd talstelsel met zestig als hoofd- en tien als nevenbasis wordt symbolisch weergegeven in een positiestelsel met relatieve positiewaarde, dat ook toegepast wordt op de notatie van breuken, waarvan de noemer geen andere priemfactoren bevat dan 2, 3 en 5; dit cijferschrift maakt gebruik van twee cijfers, resp. een en tien aanduidend, die voor het uitdrukken van de verschillende plaatsen der positioneel te lezen getalteekens in additieve iuxtapositie worden geschreven.

We zouden thans, nu we kennis hebben gemaakt met het rekeninstrument der Babyloniërs en met het cijferschrift, waardoor het wordt uitgebeeld, kunnen overgaan tot de uiteenzetting van het wiskundig werk, dat zij er mee hebben verricht. Zoodoende zouden wij echter een der meest dringende vragen, waartoe de studie van hun wiskunde aanleiding geeft, onbesproken laten en wel deze, of het nog nader te verklaren is, dat zij alleen onder alle volkeren een zoo merkwaardig getallensysteem als het z.g. sexagesimale hebben gevormd en dat zij bovendien daarvoor reeds zoo vroeg de positieschrijfwijze hebben ingevoerd. We zullen daarom, voordat we ons overzicht voortzetten, enkele beschouwingen aan deze vraag wijden.

De eerste theorieën over het ontstaan van het sexagesimale stelsel zijn van zeer veel ouderen datum, dan men op grond van het recente karakter van onze meer volledige kennis der Babylonische wiskunde zou vermoeden. Hierin ligt niets verwonderlijks, wanneer men slechts bedenkt, dat de sexagesimale uitdrukkingswijze van breuken door de Grieksche astronomen is overgenomen en dat ze door hun toedoen zich waarschijnlijk wel voor altijd in de wiskunde voor bepaalde doeleinden heeft ingeburgerd. Dat wij thans nog b.v. den graad in zestig minuten en de minuut in zestig seconden indeelen, is een nawerking van de Babylonische traditie, waarvan we echter weer afwijken door de symbolen °, ′ en ″ te gebruiken, die feitelijk een opgeven der positieschrijfwijze beduiden en door met tiende deelen van seconden te rekenen. Reeds de Grieksche commentatoren hebben zich verdiept in de motieven der sexagesimale breukaanduiding en de oudste theorie daarover (die op de gunstige deelbaarheidseigenschappen van de basis zestig steunt) dateert dan ook reeds van Theoon van Alexandria (4e eeuw na Chr.), die haar geeft in zijn theorie op de Megale Syntaxis van Ptolemaios.

We zullen hier niet treden in een opsomming en bespreking van de talrijke verklaringspogingen, die sindsdien van het verschijnsel zijn gegeven; voor het grootste gedeelte zijn ze onhoudbaar gebleken en tegenwoordig gaat het eigenlijk nog slechts om twee mogelijkheden van opvatting, waarvan de eene door F. Thureau-Dangin en de andere door O. Neugebauer verdedigd wordt.

Beide theorieën hebben dit gemeen, dat zij nauw verband leggen tusschen het sexagesimale getallensysteem en de eigen-

aardigheden van de Babylonische stelsels van maten en gewichten (aldus de gangbare term in onze taal, die wij echter, daar gewichten toch ook maten zijn, door maatstelsels zullen vervangen). Het blijkt nl. dat de gebruikelijke eenheden voor lengten, oppervlakten en gewichten niet zelden onderling door dezelfde verhoudingsgetallen 1 : 10 : 60 verbonden zijn als de rusttreden van het getallenstelsel. Men kan de beide bedoelde theorieën nu in groote trekken aldus onderscheiden, dat Thureau-Dangin hierin een gevolg, Neugebauer daarentegen de oorzaak van het sexagesimale stelsel vindt.

Neugebauer beroept er zich op, dat in de meer primitieve phasen der metrologie voor grootheden van dezelfde soort, maar verschillende orde van grootte voor elk dier orden individueele maatstelsels kunnen voorkomen, die nog niet in onderlingen samenhang zijn gebracht. Men meet b.v. kleine lengten met handbreedten, grootere met ellen of met voeten, nog grootere met uren gaans, zonder dat men er zich in verdiept, hoeveel handbreedten b.v. een afstand van een uur gaans bevat. Naast elk van die afzonderlijke eenheden komen hare kleine veelvouden voor èn de meest voor de hand liggende z.g. natuurlijke breukdeelen ½, ⅔, ⅓, misschien ook ¼ en ¾. Er vormen zich zoo geïsoleerde kernen van maten. In de verdere ontwikkeling van de metrologie zal dat isolement natuurlijk verbroken worden en zal de behoefte ontstaan, de eenheden van verschillende kernen in elkaar uit te drukken. We zullen niet ingaan op de groote verscheidenheid van de verschijnselen, die zich daarbij kunnen voordoen; voor ons doel is het voldoende, om met Neugebauer te onderstellen, a) dat de behoefte aan een zoodanige aaneenschakeling en daardoor systematiseering van de Babylonische maten is ontstaan in een tijd, waarin (zooals in het vierde millennium het geval blijkt te zijn geweest) het getallenstelsel zich op de natuurlijke decimale basis nog niet zoover had ontwikkeld, dat honderd, de bundel van tien tientallen, reeds als een rusttrede voor verdere tellingen werd beschouwd, en b) dat een der meest gebruikelijke maatstelsels (waarschijnlijk het gewicht- en tevens geldsysteem Šekel-Mina-Talent) toevallig de verhouding 1 : 60 voor opvolgende eenheden vertoonde of met kleine wijzigingen daartoe te vervormen was. Bij die verhouding konden de natuurlijke breukdeelen van elke hoogere eenheid door geheele veel-

vouden van de voorafgaande worden uitgedrukt, wat het rekenen natuurlijk sterk vergemakkelijkte. Daar nu in zoo vroege perioden, als waarover we thans spreken, alle rekenen natuurlijk een rekenen met benoemde getallen geweest is, kan men zich voorstellen, dat men ook bij andere maatsoorten de gunstige deelbaarheidseigenschappen van 60 min of meer kunstmatig toepasbaar heeft gemaakt. In dit verband verdient het merkwaardige feit de aandacht, dat, terwijl de Aegyptische el zeven handbreedten en elke handbreedte vier vingerbreedten mat, welke getallen blijkbaar ongeveer de natuurlijke verhouding der als maat gebruikte lichaamsdeelen uitdrukken, de Babylonische el verdeeld is in dertig vingerbreedten, de helft van zestig.

Het is nu denkbaar, dat op de beschreven wijze het getal zestig een zoo sterken invloed op het zich ontwikkelende getallenstelsel heeft uitgeoefend, dat men ook bij het uitdrukken van getallen in het algemeen zestig als een nieuwe, een groote, eenheid is gaan beschouwen. Deze onderstelling is in overeenstemming met het feit, dat in teksten uit perioden, waarin van zuiver wiskundige beschouwingen nog geen sprake is, maar waarin men natuurlijk wel eens getallen moet schrijven, zestig wordt voorgesteld door het symbool voor één (dat destijds nog niet wigvormig is) vergroot neer te schrijven. Kwam daar nu nog een natuurlijk en onvermijdelijk slijtproces van de notatie bij, dan was het nog maar een stap, om tot een symbool voor zestig te komen, dat van dat voor één heelemaal niet meer te onderscheiden was. Dan had men echter meteen een positieschrijfwijze, dus juist datgene, wat we als opvallend kenmerk van het Babylonische cijferschrift hebben leeren kennen.

De theorie van Neugebauer gaat veel dieper dan uit de boven gegeven korte schets blijkt en ze verklaart veel meer dingen (vooral op het uiterst gecompliceerde gebied der Babylonische metrologie) dan we vermeld hebben; het meegedeelde zal echter toereikend zijn, om althans in beginsel te begrijpen, hoe hij in één samenvattende beschouwing - en hierin ligt de groote kracht van zijn theorie - de beide opvallende eigenaardigheden der Babylonische rekentechniek, het gebruik van zestig als basis van het talstelsel èn de positieschrijfwijze, verklaart.

Over de theorie van Thureau-Dangin kunnen we hierna kort zijn. Zooals reeds werd opgemerkt, verklaart deze de sexage-

simale structuur van verschillende Babylonische maatstelsels uit de bewuste toepassing van het reeds voltooide sexagesimale getallensysteem op de metrologie, in overeenstemming met het beginsel Erst Zählen, dann Messen, waarmee Kewitsch in 1904 verschillende oudere theorieën, die deze volgorde hadden omgekeerd, op gelukkige wijze heeft bestreden. Men moet er zich echter wel voor hoeden, dat beginsel te overspannen; het is waar, dat men moet kunnen tellen, voor men kan gaan meten, maar men heeft historisch niet met meten kunnen wachten, totdat een getallensysteem tot volledige ontwikkeling was gekomen; veeleer is die ontwikkeling door het doen van metingen en het rekenen met maatgetallen bevorderd en heeft ze omgekeerd weer het meten beïnvloed. Men kan deze beide processen niet in een tijdvolgorde plaatsen. Wanneer dus Thureau-Dangin het herhaalde malen onbetwijfelbaar noemt, dat de verhouding 1 : 60 van verschillende maateenheden aan het sexagesimale stelsel is ontleend, dan schuilt hierin reeds een petitio principii.

Om nu het sexagesimale stelsel zelf te verklaren, beroept Thureau-Dangin zich op de veelvuldig vastgestelde neiging bij het tellen en meten, om het getal zes als nieuwe eenheid aan te nemen, dus te bundelen in zestallen, welke neiging hij weer afleidt uit het feit, dat zes niet alleen door twee, maar ook door drie deelbaar is, zoodat alle natuurlijke breukdeelen van den bundel geheele veelvouden van de eenheid worden. Dat zes zich niettemin nooit als basis van een talstelsel heeft kunnen doorzetten, is gemakkelijk te begrijpen uit de natuurlijke overheersching van het bundeltal tien. De invloed van zes zou zich nu echter bij de Sumeriërs hierin hebben geopenbaard, dat zij tientallen in zessen bundelden, wat tot de eenheid zestig voerde. Over het positioneele karakter van het cijferschrift spreekt hij niet.

Het verdient opmerking, dat de beide geschetste theorieën als diepste verklaringsgrond de gunstige deelbaarheidseigenschappen van zes of zestig aanvoeren, aldus voortbouwend op de opvatting, die we reeds in de oudheid aantroffen. Mathematisch beschouwd ligt hierin ook ongetwijfeld de eigenlijke oorzaak van het succes, dat het sexagesimale stelsel te wachten stond en van de taaiheid, waarmee het zich althans ten deele door de eeuwen heen heeft weten te handhaven.

E.J. Dijksterhuis

(Wordt vervolgd)


Vorige Volgende

Over dit hoofdstuk/artikel

auteurs