De Gids. Jaargang 98

[p. 189]

De grenzen der Grieksche wiskunde

De mathematicus van onzen tijd, die met het wiskundig werk der Grieken in nauwer contact komt, zal zich, vooral wanneer dat contact verkregen wordt door zelfstandige studie van de klassieke schrijvers, weldra heen en weer geslingerd voelen tusschen de meest tegenstrijdige gewaarwordingen. Het eerste, wat hij ervaart, zal ongetwijfeld wel het verbaasde inzicht zijn, hoe weinig de algemeen gangbare voorstellingen over de Grieksche wiskunde recht doen wedervaren aan den rijkdom van haar inhoud, aan het vernuft van haar methoden, aan de scheppende kracht van haar probleemstellingen, en wanneer hij eenigszins den aanleg tot de historische beschouwingswijze in zich heeft, wanneer hij dus eenigszins het vermogen en den lust bezit, om zich met behoud van de kritische gezindheid der moderne wetenschap, maar onder abstractie van de kennis harer resultaten, te verplaatsen in het denken van voorbij gegane perioden, zal hij niet kunnen nalaten, een diepe bewondering te gevoelen voor de onvergankelijke bijdrage tot de ontwikkeling van het menschelijk denken, die de antieke cultuur in haar wiskundig werk aan de wereld heeft geschonken.

In deze stemming van bewondering zullen zich nu echter na korten tijd onvermijdelijk gevoelens van bevreemding en teleurstelling komen mengen; bij volledige erkenning van de hooge waarde van het door de Grieken tot stand gebrachte, zal hij zich onwillekeurig gaan afvragen, waarom eigenlijk een volk, dat blijkbaar zoo volstrekt was voorbeschikt voor den mathematischen denkvorm, in de toch talrijke eeuwen van zijn werkzaamheid niet nog veel verder in de wiskunde is gekomen; meer dan eens zal hij moeten vaststellen, dat de begripsvorming en probleemstelling plotseling ophouden op een punt, waar één

[p. 190]

stap verder nieuwe gebieden van onderzoek aan het licht zou hebben gebracht; hij zal verwonderlijke onevenwichtigheden opmerken, sterk verschil in ontwikkeling en groot onderscheid in waardeering van onderwerpen, die tegenwoordig in één adem worden genoemd en een voor onze opvattingen onvatbaar naast elkaar bestaan van abstruus gedachtenspel met mathematische begrippen en diepe wijsgeerige inzichten in de grondslagen der wiskunde. En wanneer zoo eenmaal de kritiek gewekt is, zal hij steeds meer gewaarworden, hoe vreemd hij, bij alle vertrouwdheid met de resultaten, die bereikt worden, toch tegenover den stijl van deze geheele gedachtenwereld blijft staan. Het zal lang duren, voordat hij aan de klassieke opvatting der wiskunde voldoende gewend is, om met eenige zekerheid te kunnen zeggen, welke onderwerpen binnen den gezichtskring der Grieksche mathematici kunnen zijn gevallen en welke daarvan principieel uitgesloten zijn geweest en hij zal een uitgesproken historischen zin moeten hebben, om niet onophoudelijk gewaarwordingen van wrevel, ergernis en ongeduld bij zich te voelen opkomen over de ondoorzichtige, moeilijk weer te geven wijze, waarop zij resultaten bereiken, die hij met behulp van de vertrouwde methoden der actueele mathesis zonder moeite in enkele oogenblikken kan terugvinden.

Het is volkomen begrijpelijk, dat bij een niet uitzonderlijk historisch geinteresseerden mathematicus van al deze gewaarwordingen de gevoelens van bevreemding en ergernis al spoedig zoozeer de overhand zullen behouden, dat hij weinig aandacht meer aan de Grieksche wiskunde zal wijden. Wat zij bereikt heeft, betreft immers niet meer dan wat voor de hedendaagsche wiskunde de eerste beginselen zijn en door de wijze, waarop zij te werk gaat, zondigt zij voortdurend tegen formeele gewoonten, die, hoewel betrekkelijk nog van jongen datum, reeds tot een onvervreemdbaar element van de huidige mathematische denkwijze zijn geworden.

Voor wie nu echter de wiskunde juist in haar historische ontwikkeling tracht te begrijpen, zal natuurlijk noch het eene, noch het andere bezwaar eenig gewicht hebben; integendeel: waar zijn niet historische vakgenoot zich met ongeduld en wrevel - de ervaring leert, dat dit een veel voorkomende reactie is - afwendt, voelt hij het bestaan van een historisch probleem. Het

[p. 191]

is dit probleem, dat het onderwerp van dit opstel vormt en dat geformuleerd kan worden als de vraag, hoe het te begrijpen is, dat het Grieksche wiskundige denken, dat toch de zuivere mathesis niet alleen heeft geschapen, maar ook tot grooten bloei heeft gebracht, niettemin in zijn materieele en formeele ontwikkeling beperkt is gebleven binnen de eigenaardig verloopende grenzen, die ons beletten, er ons evenzeer vertrouwd mee te gevoelen, als we er ons afhankelijk van weten.

Een vraag als deze kan bij eerste beschouwing wellicht volkomen onvruchtbaar lijken en zelfs principieel onvatbaar voor eenige beantwoording. De ontwikkeling van het denken kost tijd; wat in een gegeven periode in een gegeven wetenschap bereikt werd, is door het aantal van hen, die in die periode die wetenschap beoefenden en door het werk, dat zij verrichtten, volkomen bepaald en het moet wel een ijdele bezigheid lijken, zich erin te verdiepen, waarom het aantal van die beoefenaren niet grooter was en hun werk niet omvangrijker. Zal men ooit iets meer kunnen doen, dan zuiver beschrijvend vaststellen, tot hoever de ontwikkeling in het beschouwde tijdvak is gegaan?

Hoe juist deze redeneering ook moge zijn, in het geval van de Grieksche wiskunde is er toch wel aanleiding tot dieper gaande vragen. Immers hier doet zich het merkwaardige feit voor, dat, terwijl het tijdvak, waarin zij werd beoefend, zich, ruw geschat, over negen eeuwen uitstrekt, het hoogtepunt van haar ontwikkeling reeds omstreeks drie eeuwen na het begin bereikt werd; wat daarna nog gekomen is, was, op enkele uitzonderingen na, epigonenwerk, aanvulling en uitbreiding, verbetering en toelichting met slechts hier en daar een poging, nieuw leven in te blazen aan een blijkbaar verstarde wetenschap. En we nemen dus waar, dat een veelbelovende en snel verloopende groei plotseling tot stand komt, zonder dat ooit nog weer een noemenswaarde opleving plaats vindt.

Men zal het streven, een zoo merkwaardig verschijnsel, zooal niet causaal te verklaren, dan toch door historisch-mathematische beschouwing te verhelderen, niet zonder meer als ijdel kunnen afwijzen en dus aan het probleem van de grenzen der Grieksche wiskunde niet bij voorbaat het bestaansrecht kunnen ontzeggen. Vooral niet, omdat dit verschijnsel reeds eenmaal als element van essentieele beteekenis in een grootsch opgezet systeem van histo-

[p. 192]

rische beschouwingswijze heeft gefungeerd. Oswald Spengler, de Cassandra van onze hedendaagsche civilisatie, ziet nl. in het eerste hoofdstuk van zijn Untergang des Abendlandes de Grieksche wiskunde, evenals alle andere wiskunden, als een onafhankelijke gesloten schepping, die, als een organisme, haar tijden van opbloei, van rijpheid, van verwelken en van afsterven heeft gekend en die niet dan in schijn voortleeft in de volkomen anders geaarde mathesis van het avondland. Dat schijnbestaan verklaart voor hem de gewaarwordingen van vreemdheid, die wij ook bij dieper doordringend contact met haar voortbrengselen ervaren. Dat zij echter het hoogtepunt van haar ontwikkeling reeds eeuwen voor het definitieve einde van de Grieksche beschaving bereikte, wordt begrepen door de overweging, dat reeds toen de ontwikkelingsmogelijkheden, die het klassieke getalbegrip, uitdrukking bij uitnemendheid van den stijl van een cultuur, in zich sloot, waren uitgeput, welke uitputting zelf slechts een der vele symptomen was van het uitdooven van de scheppende krachten der klassieke oudheid. Wat men gewoonlijk ziet als het vroeg bereikte en door geen verdere stijging gevolgde hoogtepunt der Grieksche mathesis, het werk van Euclides, van Archimedes en Apollonios, beduidt voor Spengler de inwendige voltooiïng van een aan de Grieksche cultuur eigen wiskundige vormenwereld, welke voltooiïng in den zin van zijn systeem gelijktijdig is met het werk van de groote meesters der analyse in de 19e eeuw, Gauss, Cauchy, Riemann. Het is een winterverschijnsel, een symptoom van de wereldstadcivilisatie, die aan den definitieven ondergang voorafgaat. Wat daarna nog voor waarlijk origineels optreedt, behoort innerlijk reeds niet meer tot het afstervend organisme: Diophantos maakt reeds deel uit van de morgenperiode der Arabische cultuur, die met de slotperiode der Grieksche samenvalt en dat hij nog Grieksch schreef en wellicht meende, nog Grieksch te denken, sluit niet uit, dat hij niet meer als vertegenwoordiger van de Grieksche wiskunde mag worden beschouwd.

De opvatting van Spengler, die ik hiermee kort heb geschetst, heeft zonder eenigen twijfel veel verleidelijks; zij beziet het verschijnsel van verslapping en verstarring, dat de Grieksche wiskunde vertoont, in zoo grooten samenhang, dat het in de algemeen-historische beschouwing op zich zelf bijna niet meer als

[p. 193]

problematisch gevoeld wordt en zij baseert zich op mathematische uitspraken, die met onbetwijfelbare resultaten van het historisch onderzoek der wiskunde, i.c. het inzicht in het verschil tusschen klassiek en modern getalbegrip schijnbaar zoo identiek zijn, dat de wiskundige, hoe vaak hij zich ook verplicht zal zien, Spengler's beschouwingen als onhoudbaar en zelfs als wiskundig volkomen fout te verwerpen, zich bij oppervlakkige beschouwing toch altijd weer geneigd zal voelen, de groote lijn van zijn betoog als juist te erkennen.

Of de instemming, die men op deze gronden en onder invloed van het meesleepend pathos van zijn schrijfwijze aan Spengler wel gaarne wil schenken, nu echter ook steeds tegen een meer kritische lezing van zijn uiteenzettingen en vooral tegen een toetsing van zijn mathematische argumenten aan de nieuwere inzichten in het wezen der Grieksche wiskunde bestand zal blijken te zijn, is een andere vraag. Wanneer men zich eenmaal ontworsteld heeft aan het imposante karakter van de zekerheid, waarmee Spengler in één ademtocht over meer gebieden van menschelijk weten, voelen en kunnen spreekt dan de gemiddelde sterveling in den duur van zijn leven zal leeren verstaan, wanneer men in het aangezicht van zijn ontzaglijke synthetische visie nog den moed tot nauwgezette studie van een detail weet te behouden en wanneer men dus in het geval, dat ons bezighoudt, de Grieksche wiskunde in haar eigen ontwikkeling en in haar samenhang met de West-Europeesche buiten verband met ondergangsbeschouwingen in het oog durft vatten, ziet men het gestelde probleem weer in scherpe omtrekken opduiken uit de nevelen van algemeenheid, waarin het bij Spengler een tijdlang verdwenen scheen en men voelt zich gedrongen het nog eens onbevangen te beschouwen, alsof men de eerste was, die het gesteld had.

De eerste plicht, welke die onbevangenheid ons oplegt, is wel deze, dat we eens met eenige principieele nauwkeurigheid moeten aangeven, waar de grenzen der Grieksche wiskunde eigenlijk liggen. Ik wil deze plicht vervullen, door in groote trekken het verloop van haar ontwikkeling in den tijd te schetsen vanaf het oogenblik, dat voor het eerst een onbetwijfelbaar document de duisternis verdrijft, die over haar vroegste phasen uitgebreid ligt.

[p. 194]

Dat document, een fragment van een werk over de quadratuur van den cirkel van den wiskundige Hippokrates van Chios, die tusschen 450 en 400 v. Chr. te Athene moet hebben geleefd, toont ons de Grieksche wiskundigen in het midden der 5e eeuw in het bezit van een geordend systeem der planimetrie en van het vermogen tot behandeling van meetkundige problemen over de oppervlakten van door cirkelbogen begrensde figuren, die nog in onzen tijd aan de grenzen der elementaire wiskunde gelegen zijn. Hoe de wiskunde zich in de omstreeks 150 jaren, die sedert Thales van Milete waren verstreken, tot zoo aanzienlijke hoogte had ontwikkeld, is ons vrijwel geheel onbekend en zal, afgezien van de mogelijkheid van ontdekking van nieuwe bronnen, wel steeds onbekend blijven. Wel zullen we door voortgezette studie van reeds beschikbare, maar nog niet uitgeputte bronnen nog meer te weten kunnen komen over het mathematische feitenmateriaal dat de Grieksche mathematici uit Egypte en Babylon kunnen hebben overgenomen. Dat blijkt reeds nu meer te zijn dan men in een periode van reactie op de vroeger gebruikelijke overschatting van de oeroude wijsheid, die men vooral in Egypte vermoedde, placht aan te nemen. Maar het kan nog heel veel meer worden, zonder dat daardoor het wonder, dat er in het wiskundig werk van de Hellenen der 6e en 5e eeuw gelegen is, meer begrijpelijk zal worden gemaakt en zonder dat de meest wezenlijke verdienste van het Grieksche mathematische denken zal worden verkleind. Want Grieksch blijft toch ongetwijfeld het voor de wording der zuivere wiskunde beslissende denkbeeld, de ongeordende, op een mengeling van redeneeren, meten, raden en probeeren gebaseerde verzameling van mathematische uitspraken te rangschikken in een logisch sluitend systeem, waarin enkele fundamenteele stellingen onbewezen als juist werden aanvaard en waarin men er nu verder naar streefde, om onder uitschakeling van ieder beroep op de physische ervaring of op het residu daarvan in de voorstelling en op grond van nauwkeurige definities der gebruikte termen, alle andere uitspraken door redeneering af te leiden. Het denkbeeld van zulk een axiomatiseering van een zeker gebied van ons weten is voor de verdere ontwikkeling, zoowel van wiskunde als van natuurwetenschap, van het hoogste belang gebleken en er is nauwelijks één plaats in onze geestelijke cultuur aan te wijzen, waar wij den samenhang van

[p. 195]

het moderne en het klassieke denken zoo sterk gevoelen als hier.

Het zal wel nauwelijks noodig zijn, te vermelden, dat het ideaal van een volstrekte axiomatiseering der meetkunde bij een eerste poging niet kon worden verwezenlijkt. Eerst de ontwikkeling der moderne wiskunde van de laatste halve eeuw heeft aan het licht gebracht, hoe sterk het beste, wat de Grieken op dit punt hebben bereikt, bij dat ideaal ten achter blijft; zelf hebben zij echter al spoedig ingezien, hoeveel er aan het Hippokratische elementensysteem ontbrak en ze hebben er onophoudelijk naar gestreefd, den logischen opbouw der meetkunde te verbeteren. Een sterke prikkel moet daarbij gevormd zijn door de befaamde crisis, die, naar we aannemen, omstreeks 400 v. Chr. het wiskundig denken tot in zijn grondslagen heeft geschokt. Die crisis werd veroorzaakt, eenerzijds door het inzicht in de ontoereikendheid van een theorie der verhoudingen, waarin stilzwijgend werd aangenomen, dat twee gelijksoortige grootheden zich steeds als getallen verhouden, anderzijds door het besef van de onuitputtelijkheid van oneindige processen, waarvan het afloopen in menig sophistisch schijnbewijs als denkbaar was voorgesteld. Uit deze beide inzichten hebben de Grieksche mathematici, die in de strengheid van hun denken voor niets terugdeinsden, de volle consequenties getrokken: in een reconstructie van het geheele systeem der wiskunde, waaraan vooral de namen van Eudoxos en Theaitetos verbonden zijn, hebben zij een nieuwe redentheorie opgesteld, die zoo algemeen is, dat de gevallen van onderlinge meetbaarheid en onderlinge onmeetbaarheid der optredende grootheden niet onderscheiden behoeven te worden, een exacten opbouw der arithmetica gegeven, die de middelen verschaft, om, waar dit noodig is, de onderscheiding tusschen rationale en irrationale redens toch weer te maken en een zeer strenge theorie ter behandeling van oneindige processen ontwikkeld, die vroeger gewoonlijk met den onjuisten en niet-klassieken naam van exhaustiemethode werd aangeduid, maar die men beter karakteriseert als methode van den indirecten grensovergang. De synthese van al deze belangrijke vondsten, hun uiteenzetting, afronding en toepassing vindt ca. 300 v. Chr. plaats in het beroemde werk van Euclides, de Elementen, dat het fundament is geworden, waarop alle latere Grieksche mathematici hebben voortgebouwd en dat tot het begin van de 19e eeuw toe als de

[p. 196]

onaantastbare grondslag voor alle wiskundig denken is beschouwd.

Na Euclides heeft zich in de Alexandrijnsche school de wiskunde zeer snel tot groote hoogte ontwikkeld en wel voornamelijk door het werk van twee der grootste mathematici van alle tijden, Archimedes en Apollonios. De beteekenis van Archimedes ligt vooral in de vondst van vernuftige en strenge methoden ter bepaling van lengten, oppervlakten en inhouden, in de geometrie van de maat dus, die van Apollonios in de opstelling van een theorie der kegelsneden, waarin de geometrie van de ligging op den voorgrond staat. Beiden bewegen zich daarbij op gebieden die men, op grond van een niet recht duidelijke en niet zeer consequente onderscheiding, in onzen tijd wel tot de hoogere wiskunde pleegt te rekenen: Archimedes ontwikkelt beschouwingen, die mathematisch aequivalent zijn met de theorie der bepaalde integralen: wanneer hij b.v. de oppervlakte wil berekenen, die wordt begrensd door een winding van de later naar hem genoemde spiraal, sluit hij de beschouwde figuur in tusschen twee reeksen van om-resp. ingeschreven cirkelsectoren en bepaalt nu volgens de methode van Eudoxos de gemeenschappelijke limiet, waartoe de sommen van beide reeksen bij voortgaande verkleining van den middelpuntshoek der sectoren naderen. Apollonios past methoden toe, die later den grondslag der analytische meetkunde zullen vormen: hij karakteriseert de bestudeerde krommen door de betrekkingen, waaraan de coördinaten harer punten voldoen en leidt met behulp van de Grieksche oppervlakterekening of geometrische algebra uit de aldus verkregen symptomen (later vergelijkingen genoemd) nieuwe eigenschappen dier krommen af. Van geen van beiden is echter met de gegeven karakteristiek de werkzaamheid afdoende omschreven: beiden beoefenen de arithmetica; Archimedes legt bovendien het eerste verband tusschen wis- en natuurkunde, doordat hij evenwichtsvraagstukken voor vaste en vloeibare lichamen mathematisch behandelt en statische methoden in de meetkunde toepast; Apollonios beweegt zich ook op terreinen, die wij thans tot de projectieve meetkunde rekenen, hierin, evenals in de studie der kegelsneden, reeds voorafgegaan door Euclides.

Wanneer nu met de voltooiïng der 3e eeuw v. Chr. aan de werkzaamheid van de twee grootste mathematici der oudheid

[p. 197]

een eind is gekomen, blijkt de impuls, dien zij aan de wiskunde hebben gegeven, wel verre van nieuwe onderzoekingen in te leiden, zonder veel noemenswaarde uitwerking te blijven. Niet, dat de komende eeuwen niet nog menig interessant mathematisch werk zouden opleveren: de groote problemen van hoektrisectie, kubusverdubbeling en cirkelquadratuur blijven de vindingrijkheid prikkelen en leiden tot de bestudeering van verschillende merkwaardige krommen. Zenodoros ontsluit met zijn onderzoekingen over isoperimetrische problemen een nieuw gebied, dat in latere eeuwen groote rijkdommen zou blijken te bevatten. Maar iets waarlijk nieuws, iets, wat niet evengoed bij Archimedes of Apollonios zou kunnen staan, komt op het gebied der meetkunde niet tot stand. En de grootsche poging, die ca. 300 na Chr door Pappos wordt gedaan, om de beoefening der wiskunde te bevorderen door een werk, dat als gids bij de studie van de vroegere schrijvers zou kunnen dienen, heeft ook al geen nieuw leven gebracht.

Slechts op twee punten is na de periode van hoogsten bloei iets nieuws ontstaan: Menelaos en Ptolemaios ontwikkelen als vervolg op de door Euclides en Theodosios gesystematiseerde meetkunde op den bol de sphaerische trigonometrie en leiden daarmee voor het eerst rekenende methoden in de meetkunde in. Diophantos vervormt de van de Egyptenaren overgenomen, maar in het bloeitijdperk veronachtzaamde algebra tot een eenigszins meer symbolische gedaante, ontplooit groot vernuft in de oplossing van onbepaalde vraagstukken in rationale getallen en vindt verschillende resultaten der latere getallentheorie.

Maar beide praestaties blijven geisoleerd staan: sphaerische trigonometrie is uitsluitend een hulpvak voor en wordt zelfs behandeld als onderdeel van de astronomie, wat haar mathematische verdieping en het ontstaan van een goniometrie en vlakke trigonometrie belemmert. En de arithmetica van Diophantos, een vuurwerk van mathematisch vernuft, dat zich in de 3e eeuw na Chr., voorzoover we weten onvoorbereid, ineens in de Grieksche wiskunde vertoont, zal dertien eeuwen lang moeten wachten op een bestudeering, die tot voortzetting leidt.

Na 300 wordt het voor wat er van de Helleensche beschaving over is, zelfs moeilijk, het ontzaglijk erfdeel aan kennis en methode, dat aan haar zorg is toevertrouwd, in stand te houden en

[p. 198]

behoorlijk te beheeren. Voor een deel blijft het in Byzantium geconserveerd. Maar wanneer niet ca. 800 de groeiende Arabische wetenschap behoefte had gevoeld, zich de groote mathematische schatten der Grieksche cultuur eigen te maken, zouden wij waarschijnlijk van de Grieksche wiskunde een nog veel meer fragmentarische kennis bezitten, dan thans tot onze beschikking staat.

Ziehier, wat men zou kunnen noemen, een principieele geschiedenis der Grieksche wiskunde, die met verwaarloozing van alle details slechts de groote lijnen van het beeld wil doen uitkomen. Rechtvaardigt zij niet reeds voor een deel de karakteristiek, die ik als inleiding gaf, doordat ze duidelijk de onevenwichtigheid van de ontwikkeling voor oogen voert? Want inderdaad: naast een drie eeuwen voor Christus reeds vrijwel voltooide plani- en stereometrie komt eerst drie eeuwen na Christus een zeer bescheiden begin van algebra te staan; naast de redeneering in woorden komt de redeneering in getallen, het rekenen, te kort; metrische beschouwingen overheerschen sterk de toch niet geheel afwezige projectieve; naast een trigonometrie op den bol staat er geen voor het platte vlak; terwijl het begrip van de bepaalde integraal aanwezig is, blijkt geen spoor van de grondgedachtente der differentiaalrekening.

Wanneer we nu het aldus bepaalde grillig begrensde gebied in het oog vatten, kunnen we al dadelijk de onhoudbaarheid inzien van de door Spengler verdedigde opvatting van een inwendige voltooiïng van een aan de Grieksche cultuur eigen vormenwereld, van een uitputten van de combinatiemogelijkheden, die potentieel aanwezig waren in de grondslagen van het systeem. Wel verre van voor ons te staan als een volgroeid organisme, maakt de Grieksche wiskunde in hooge mate den indruk van een onvoltooid gebouw, waaraan het werk door een te kort aan arbeidskrachten en als gevolg van voorloopig onoverkomelijke moeilijkheden tijdelijk gestaakt is, maar dat slechts wacht op nieuwe bouwmeesters en nieuwe werklieden, die het met eigen initiatief en frissche krachten in den geest der oorspronkelijke plannen zullen voltooien. Want het is toch inderdaad in latere tijden voltooid en achteraf kunnen we vaak de plaatsen, waar het werk na een onderbreking van eeuwen weer is voortgezet,

[p. 199]

niet meer herkennen. Wanneer in de 17e-eeuw de getallentheorie haar tijdperk van grooten bloei ingaat, knoopt zij onmiddellijk aan bij het werk der Grieken; de oude problemen van volmaakte en bevriende getallen trekken weer de aandacht; Fermat schrijft zijn diepste gedachten als kantteekeningen in zijn Diophantos en bevestigt veel, wat deze reeds vermoed had; zijn geliefkoosde redeneermethode van de descente infinie zou in een Grieksch geschrift niet misstaan. De analytische meetkunde van Descartes, volgens Spengler toto genere verschillend van de meetkunde van Euclides, is voor een aanzienlijk deel niet meer dan de Grieksche analuomenos topos in een nieuwe inkleeding; haar proefstuk is de algemeene behandeling van een probleem van Pappos, dat de Grieksche wiskunde reeds in bijzondere gevallen had behandeld; de meetkundige behandeling van een kubische vergelijking in het derde boek van de Géométrie verschilt in beginsel niet van de Archimedische. Het heeft een tijdlang kunnen schijnen, alsof de integratiemethoden van Kepler, Cavalieri, Fermat en Huygens principieel verschilden van de Grieksche, maar we weten sedert 1906, dat ook hun meer heuristisch vruchtbare dan wiskundig zuivere werkwijze bij Archimedes als middel om resultaten op het spoor te komen, in gebruik is geweest. Wanneer echter ca. 1800 de verwaarloozing van de exactheid, die de Grieken bij de definitieve formuleering van hun oneindige processen steeds in acht hadden genomen, tot contradicties gaat voeren en de 19e-eeuwsche analyse zich genoodzaakt ziet, hoogere eischen aan de strengheid te stellen, dan die der 18e in haar ontdekkingsroes gedaan had, behoeven de wiskundigen niets anders te doen dan de redeneeringen van Eudoxos in modern symbolisch gewaad te steken: de methode van den indirecten grensovergang herleeft in de moderne theorie der convergente varianten, de redentheorie uit het vijfde boek van Euclides in de snedetheorie van het irrationale getal.

Zoo blijkt in tal van gevallen de kiem van de moderne mathematische begripsvorming in het Grieksche wiskundige denken reeds aanwezig te zijn en er is dus wel alle aanleiding naar de oorzaken te vragen, die hebben kunnen belemmeren, dat die kiem zich reeds in de Grieksche cultuur ontwikkelde. Om die oorzaken op het spoor te komen zullen we onze aandacht niet langer op die punten moeten richten, waarin Grieksche en

[p. 200]

moderne wiskunde overeenstemmen, maar veeleer op die, waarin ze verschillen.

Dat er zulke verschilpunten bestaan, weet ieder, die ooit een Griekschen wiskundigen schrijver in het oorspronkelijke heeft gelezen en zich daarbij beijverd heeft, zich in zijn gedachtengang werkelijk te verplaatsen. Men merkt dan, dat het groote inspanning kost, bij de langdurige, onoverzichtelijke, geheel in woorden ingekleede redeneeringen de aandacht te blijven bepalen en in de lange reeksen van mathematische conclusies, die zonder toelichting over richting of doel der deductie worden meegedeeld, de groote lijn van het betoog te blijven zien. Die inspanning wordt nog vergroot door de vrij aanzienlijke formeele complicatie van de toegepaste operatieve methoden, de redentheorie, de oppervlakterekening, de indirecte grensovergang, waarmee men eerst na langdurige oefening zoo vertrouwd raakt, dat men een bewijs in Griekschen trant zelfstandig kan weergeven.

Tracht men de moeilijkheden van de lectuur te ontgaan door een vertaling van den Griekschen tekst, dan merkt men al spoedig, dat een overzetting in het Latijn of in een moderne taal slechts een zeer geringe verlichting met zich mee brengt; het is natuurlijk waar, dat men wegens het meer vertrouwde lettertype een passage sneller kan overzien; maar men kan zich door kennis te nemen van de voortreffelijke absoluut letterlijke vertalingen van Grieksche wiskundige werken in het Fransch, die de Belgische waterstaatsingenieur Paul Ver Eecke in zoo grooten getale tot stand heeft gebracht, ervan overtuigen, dat men even vreemd blijft staan tegenover de geheele wijze van inkleeding der redeneeringen en tegenover de toegepaste methoden.

Een geheel ander resultaat verkrijgt men echter, wanneer men het Grieksche betoog weergeeft met behulp van de internationale taal der moderne wiskunde en den tekst dus schrijft in het teekenschrift, dat zij sedert de invoering der symbolische algebra in het begin der 17e eeuw voor de groote meerderheid van haar onderwerpen gebruikt. Plotseling blijken dan bladzijden tekst ineen te krimpen tot enkele regels algebraische herleiding; langdurige omwegen, die de techniek der redentheorie vereischt, kunnen door een eenvoudige algebraische berekening worden ontgaan;

[p. 201]

de bewerkingen der oppervlakterekening met hun vreemd aandoende terminologie kunnen worden uitgedrukt door de theorie der vierkantsvergelijkingen; het resultaat van een indirecten grensovergang kan op grond van eenvoudige stellingen over limieten onmiddellijk worden voorspeld. En men merkt daarbij telkens weer tot zijn verbazing op, dat de inhoud van het aldus ontcijferde mathematische betoog geheel identiek is met wat een moderne wiskundige redeneering over hetzelfde onderwerp bevat: de wijze, waarop Apollonios de kegelsneden behandelt, kan niet, zooals men zoo vaak meent, als synthetisch-meetkundige methode tegenover de algebraisch-analytische van Descartes worden gesteld; Conica en Géométrie onderscheiden zich alleen in de taal der in beide toegepaste analyse, meetkundig in het eene werk, algebraisch in het andere. Wat Pappos schrijft over fundamenteele stellingen der projectieve meetkunde, schijnt bij eerste kennismaking zonder veel verband te zijn met de manier, waarop wij ze thans bewijzen, maar in modern teekenschrift overgezet, blijkt b.v. zijn afleiding van de stelling van Pascal voor een ontaarde kegelsnede identiek met de redeneering, waardoor de projectieve meetkunde die stelling voor kegelsneden in het algemeen bewijst.

We zien dus, dat het zeer aanzienlijke verschil, dat we tusschen Grieksche en moderne wiskunde moeten vaststellen, in veel hoogere mate den vorm dan den inhoud van de mathematische redeneering betreft en verder, dat dit verschil in vorm in de eerste plaats hierdoor wordt veroorzaakt, dat de Grieken niet beschikken over een symbolische algebra, waardoor hun bewijzen voor ons gevoel omslachtig en ondoorzichtig zijn. Datzelfde gemis heeft echter nog meer tengevolge gehad. Het heeft de Grieksche mathematici in vele opzichten belet, hun resultaten en methoden in algemeenen vorm te formuleeren; het heeft hen genoodzaakt, talrijke gevalonderscheidingen te maken, waar de algebraische afleiding alle gevallen in eens omvat, en eenzelfde redeneering in extenso te herhalen bij alle gelegenheden, waarin ze kan worden toegepast en het heeft daardoor alle onderzoekingen mateloos uitvoerig gemaakt.

De hierdoor veroorzaakte eigenaardigheid der Grieksche wiskunde wordt zeer uiteenloopend beoordeeld: wanneer Archimedes bij iedere bepaling van een oppervlakte of een inhoud op-

[p. 202]

nieuw het geheele apparaat van den indirecten grensovergang in werking stelt, verwijt de een hem, dat hij casuistisch is en geen algemeene methode bezit, terwijl de ander zijn werkwijze tegenover die der hedendaagsche wiskunde plaatst als handwerk tegenover fabrieksproductie. In waarheid zijn hier natuurlijk blaam en lof even ongemotiveerd: de denkmethoden der Grieksche wiskunde zijn even algemeen als de onze; het streven naar algemeene formuleering bezit ze, getuige den opbouw der meetkunde, zoo goed als wij; maar het gemis aan een symbolische algebra verhindert dat streven in alle gevallen, waarin de meetkundige inkleeding te kort schiet.

Zoodra men dit feit nu niet meer aesthetisch waardeert, maar in zijn practische gevolgen tracht te overzien, wordt het duidelijk, welk een belemmerende werking het moest uitoefenen. Wanneer de tegenwoordige analyse nog zoo te werk ging als Archimedes, zou ze nergens, waar van een limiet sprake is, een vroeger bewezen stelling der variantentheorie mogen toepassen, maar ze zou overal tot de oorspronkelijke limietdefinitie terug moeten gaan. Men ziet gemakkelijk in, dat er van een efficiente algorithmiseering van eenig vak onder zulke omstandigheden geen sprake kan zijn.

En hiermee is de invloed van het ontbreken van een symbolische algebra nog geenszins uitgeput. Een zeer belangrijk gevolg ervan was ook, dat de Grieksche analytische meetkunde, die zich van de planimetrische methoden der oppervlakterekening moest bedienen, zich nooit heeft kunnen verheffen tot de behandeling van algebraische krommen van hoogeren dan den tweeden graad en dat zij altijd gebonden is gebleven aan den eisch van homogeniteit van alle vergelijkingen. En verder staat het wel vast, dat het groote verschil tusschen Grieksch en modern getalbegrip - een verschil, welks invloed door Spengler ongetwijfeld overdreven wordt voorgesteld, maar dat in ieder geval toch een belangrijke uitwerking heeft gehad - voor een groot deel aan dezelfde oorzaak is toe te schrijven. De latere wiskundigen hebben nl. al de getalsoorten, die de Grieken niet hebben gekend, de negatieve, de irrationale, de complexe, om van nieuwere uitbreidingen van het getalbegrip nog maar te zwijgen, niet eerst ingevoerd en daarna algebraisch voorgesteld, maar ze zijn veeleer door het formalisme van de algebraische bewerkingen tot die

[p. 203]

invoering gedwongen. En wel gedwongen in de meest letterlijke beteekenis van het woord: met tegenzin en weerstrevend tegen wat onredelijk lijken moest. Vandaar de historische naam absurde getallen voor de negatieve, de nog gangbare term irrationaal, die als letterlijke vertaling van het Grieksche alogos direct door onredelijk kan worden weergegeven; en vooral de merkwaardige benaming imaginair voor complexe getallen (of een bijzonder geval daarvan), die zelfs den indruk wekt, alsof die bepaalde getalsoort heelemaal niet bestond.

Wanneer ik nu op grond van al deze beschouwingen de geringe ontwikkeling van de symbolische voorstelling als een belangrijke oorzaak van de opvallende stagnatie van den groei der Grieksche wiskunde aanwijs, hoop ik het juiste midden te bewaren tusschen twee naar mijn meening beide te scherp toegespitste opvattingen over de relatie, waarin moderne en klassieke wiskunde tot elkaar staan. De eene is de meening van Spengler, die zich door het inderdaad opvallende vormverschil tusschen beide heeft laten verleiden, een verschil in wezen aan te nemen; de andere is een o.a. door Otto Toeplitz voorgestane zienswijze, waarin op beider essentieelen samenhang zoo sterke nadruk wordt gelegd, dat aan het onderscheid, dat ze verdeeld houdt, als slechts den vorm betreffend, nauwelijks aandacht wordt gewijd.

Over de stelling van Spengler sprak ik straks al; de meening van Toeplitz lijkt mij in zooverre aanvechtbaar, dat zij het probleem van de grenzen, waaraan de Grieksche wiskunde in haar historische ontwikkeling toch ongetwijfeld gebonden is geweest, onaangeroerd laat. En haar zwakke zijde ligt wel in het bijzonder in het woordje ‘slechts’, in verband met vormverschillen gebruikt. Men moet in het algemeen al voorzichtig zijn met begripmatige dualistische onderscheidingen in wat zich als één verschijnsel voordoet; men moet het echter met de onderscheiding van vorm en wezen in het bijzonder zijn, waar het de wiskunde betreft. Want de studie der historie leert - en waarlijk niet alleen in het geval der Grieksche wiskunde - dat de manier van inkleeding van een mathematische redeneering, de keuze van nomenclatuur, notatie en symbool een zoo zterken invloed op de lotgevallen eener theorie kon uitoefenen, dat men wel eens geneigd is te vragen, of niet de vorm der mathesis tot haar wezen

[p. 204]

behoort. In het bijzonder gaat van het mathematische symbool niet zelden een haast magische kracht uit; ingevoerd als hulpmiddel tot verkorting der uitdrukkingswijze, verandert het al spoedig van een volgzamen dienaar in een eigenwilligen leidsman, die zijn oorspronkelijken meester langs wegen leidt, die hij niet had gedroomd, ooit te zullen betreden en waarvoor zijn redelijk denken aanvankelijk, soms zelfs duurzaam, terugdeinst. Met een lichte variant op een bekend woord van Goethe zou men de wiskundige teekentaal kunnen betitelen als ‘eine gebildete Sprache, die für dich rechnet und denkt,’ en die formuleering maakt het duidelijk, welk een krachtigen steun het Grieksche wiskundige denken zich heeft onthouden, toen het zich voor zijn redeneeringen steeds door is blijven bedienen van de woordtaal alleen.

We zijn nu met het aangeven van althans één mogelijke oorzaak voor de begrensdheid der Grieksche wiskunde een trede beneden de oppervlakte der feiten gekomen; bestaat er kans, nog een stap verder omlaag te gaan en de vraag te beantwoorden hoe het komt, dat het vermogen tot symbolische voorstelling van mathematische begrippen en redeneeringen bij de Grieken zoo weinig ontwikkeld is gebleven? Die stap zal, zoo zij al uitvoerbaar is, met groote voorzichtigheid dienen te geschieden en het is dan ook slechts als een bescheiden bijdrage tot een meer volledige beantwoording der gestelde vraag, dat ik op een intern mathematische omstandigheid wil wijzen, die het ontstaan van die bijzondere symboliek, die wij in onze letter-algebra toepassen, bij de Grieken, gesteld, dat het gronddenkbeeld ervan ooit is opgekomen, op een voor ons zeer verrassende wijze zou hebben moeten belemmeren. Zij bestaat hierin, dat de letters van het alphabet al in beslag waren genomen voor het cijferschrift; hiervoor was nl. het z.g. alphabetische systeem in gebruik, waarin de getallen een tot tien, de tientallen en de honderdtallen elk door een afzonderlijke letter worden aangegeven. Als men echter de letters al gebruikt heeft, om bepaalde getallen te schrijven, kan men er niet nogmaals een beroep op doen, om de onbepaalde getallen voor te stellen, die de algebra noodig heeft. Een Grieksch wiskundige zou in (α + β) nooit iets anders hebben kunnen lezen dan (1 + 2).

We moeten ons er nu echter voor hoeden, in de tot dusver

[p. 205]

in het oog gevatte eigenaardigheid der Grieksche wiskunde de eenige oorzaak van belemmering van haar groei te zien. We komen een tweede op het spoor, wanneer we nagaan, in welk opzicht de moderne wiskunde in de eerste phase van haar ontwikkeling zich van de Grieksche nog meer onderscheidt dan door de toepassing van de algebra op meet- en rekenkunde. Onmiddellijk trekt dan de belangrijke tak van het wiskundig denken de aandacht, die in de 17e eeuw door behandeling van het snelheidsbegrip in de mechanica en van het raaklijnprobleem in de meetkunde tot de invoering van de differentiaalrekening heeft geleid. Daardoor toch werden allerlei gedachtengangen, die in de Grieksche wiskunde tot stilstand waren gekomen, weer in beweging gesteld, terwijl er tal van gebieden door werden ontsloten, die de Grieken nooit hadden betreden. Het raaklijnbegrip dat in de Grieksche leer der kromme lijnen weliswaar was ingevoerd en tot op zekere hoogte ontwikkeld, maar dat men toch nooit in volledige algemeenheid had weten te doorgronden, werd nu eerst volkomen doorzichtig gemaakt en vatbaar voor rekenende methoden. Het integraalbegrip van Archimedes, plotseling op verrassende wijze in verband gebracht met het grondbegrip van de differentiaalrekening, bleek vatbaar voor een algorithmiseering, die de toepasbaarheid ervan sterk verhoogde. En naast de mathematische statica groeide als tweede fundament voor de wiskundige behandeling der natuurverschijnselen de wiskundige leer der beweging, die zich bij de Grieken nooit boven het geval van eenparigheid had kunnen verheffen; welke omstandigheid, naast de onvoldoende ontwikkeling van empirische methoden, het tot stand komen van een Grieksche natuurwetenschap van eenigen omvang heeft belet.

Hier trad voor het eerst het wiskundig denken voor goed buiten den Griekschen gezichtskring, waarin een algebra nog denkbaar zou zijn, maar een differentiaalrekening nauwelijks. In de Grieksche wiskunde was geen plaats voor de mathematische behandeling van de verandering; zij ziet op grond van haar samenhang met de wijsgeerige opvattingen van Plato de wiskundige vormen als eeuwig en onveranderlijk; ze kan de raaklijn aan een kromme slechts beschouwen als rechte, die één punt op en alle andere binnen een zekere omgeving daarvan aan dezelfde zijde der kromme heeft, niet als rechte, die de (veranderlijke) richting in

[p. 206]

elk punt bepaalt; ze kan bewegingen slechts behandelen, wanneer ze eenparig zijn, omdat ze dan, zooal niet actu, dan toch potentia eeuwig mogen heeten.

De geschetste karaktertrek der Grieksche wiskunde verklaart tot aanzienlijke hoogte nog een ander in het oog springend verschil, waardoor zij zich van de moderne onderscheidt, nl. het ontbreken van het algemeene begrip van de functioneele afhankelijkheid tusschen twee grootheden. Want het moge waar zijn, dat voor dat begrip het denkbeeld van verandering niet volstrekt noodig is, omdat men met een wederzijdsche toevoeging van waarden uit twee verschillende systemen kan volstaan, en dat zelfs in het begrip van de continuiteit niets zit van het vloeiende, dat de aanschouwelijke voorstelling eraan verbindt; dit neemt niet weg, dat voor de practische behandeling van het functiebegrip de aanschouwelijke voorstelling van een grootheid, die in afhankelijkheid van een onafhankelijk veranderlijke grootheid zelf verandert, van de hoogste heuristische waarde is; voor die voorstelling is echter in het strenge wiskundige denken der Grieken geen plaats. Zij missen het vermogen, dat de moderne wis- en natuurkunde tot zoo groote virtuositeit hebben ontwikkeld, nl. volmaakt streng gedefinieerde begrippen aan te duiden met woorden, die aanschouwelijk klinken en nu van de suggestie van die aanschouwelijkheid te profiteeren, om den weg te vinden in het wijde land der abstractie. In het bijzondere geval der functioneele afhankelijkheid krijgt hun wiskunde daardoor iets stars en stroefs. De symptomen der analytische meetkunde drukken wel uit, welke betrekking er tusschen abscis en ordinaat van elk punt eener kromme bestaat, maar de kromme wordt niet beschouwd als te worden beschreven door een punt met continu veranderlijke abscis. Zulk een voorstelling treedt slechts op, wanneer een kromme mechanisch door combinatie van bewegingen wordt voortgebracht, maar in die gevallen is ze juist onvatbaar voor de methoden der Grieksche oppervlakterekening, die in het bijzonder voor krommen van den tweeden graag bestemd zijn. En het is teekenend, dat, hoewel in hun projectieve meetkunde wel de invariantie van de dubbelverhouding van vier punten op een rechte bij centrale projectie op een andere rechte wordt bewezen en de voorwaarde voor perspectieve ligging van twee puntviertallen op verschillende dragers wordt afgeleid,

[p. 207]

van projectieve toevoeging van twee puntreeksen (of stralenbundels) niets blijkt, zoodat ook van een projectieve voortbrenging van de kegelsneden geen sprake is.

Overigens hangt het ontbreken van de functioneele beschouwingswijze natuurlijk ook weer samen met het gemis aan een symbolische algebra. Om functies te kunnen beschouwen, moet men ze kunnen uitdrukken en de geschiedenis leert zelfs, dat de beschouwing ervan eerst ten gevolge van de algebraische uitdrukking is ontstaan.

In het bovenstaande zijn enkele oorzaken van intern-mathematischen aard opgesomd, die tot op zekere hoogte begrijpelijk kunnen maken, hoe het mogelijk was, dat de Grieksche wiskunde lang voor de voltooiïng van den tijd van haar beoefening de grenzen van haar ontwikkeling bereikte. Ze deed dit, om het nog eens kort samen te vatten, niet, omdat ze haar onderwerp had uitgeput, maar omdat ze als gevolg van eenzijdigheid in haar denk- en uitdrukkingswijze de wegen niet kon vinden, waar langs ze verder moest gaan en ook had kunnen gaan. Eerst na de overwinning van die eenzijdigheid in de Indische en Arabische wiskunden kon door synthese van de daarin gevolgde methoden met de Grieksche de moderne wiskunde ontstaan.

Het zal wel nauwelijks betoog behoeven, dat in de gegeven beschouwingen de principieele verschilpunten tusschen Grieksche en moderne wiskunde niet volledig zijn aangegeven. Niet vermeld is onder meer dit belangrijke punt, dat het meetkundig denken der Grieken altijd gebonden is gebleven aan de physische eigenschappen der ervaringsruimte, waardoor hun geometrie nooit meer geworden is dan een geaxiomatiseerde physica van de metrische eigenschappen der vaste lichamen, terwijl de moderne wiskunde naar willekeur een veelheid van geometrieën in ruimten van eigen schepping voortbrengt. En hiermee hangt weer een verschil in opvatting van het woord axioma samen, dat voor de Grieken een evident inzicht beduidt, terwijl het voor ons de beteekenis van een bestanddeel van een impliciete definitie heeft. Voor de beantwoording van de vraag, waaraan dit opstel gewijd is, komt de beschouwing van dergelijke verschilpunten echter niet in aanmerking. Want die vraag was niet deze, òf de Grieksche wiskunde van de onze verschilt; dat staat

[p. 208]

buiten twijfel; waar het om ging, was ten eerste dit: of men mag zeggen, dat zij zoo van de onze verschilt, als in een menschenleven de jongen een andere is dan de volwassen man, die dezelfde persoonlijkheid is gebleven, maar die zijn eigen jonger ik ver te boven kan zijn gekomen in physieke en psychische ontwikkeling; en het doel was vervolgens, in te zien, waardoor de vreemde stagnatie, die er na veelbelovende jeugdjaren plotseling in de ontwikkeling bleek op te treden, veroorzaakt kon zijn. Ik hoop, aannemelijk te hebben gemaakt, dat men tot de beschouwing der beide wiskunden als phasen van eenzelfde groeiverschijnsel eenig recht heeft en voorts althans de voornaamste oorzaken voor de groeibelemmering, voorzoover deze van internmathematischen aard zijn, te hebben aangegeven.

Natuurlijk zullen er ook wel factoren van externen aard hebben meegewerkt. De klassieke spreuk ‘primum vivere, deinde philosophari’ herinnert er aan, dat ook in de oudheid de beoefening van de wetenschap niet steeds beschouwd kan worden zonder verband met de vraag, hoe haar beoefenaren in hun levensonderhoud voorzagen. De gedachte aan Plato, doceerend in den Olijvenhof, de Akademeia, aan Aristoteles, rondwandelend met zijn discipelen, kan weliswaar de voorstelling wekken van een idyllisch amateurisme van materieel onbezorgde geleerden; op den duur zal echter toch wel de vraag, of een bepaald vak in voldoende mate werd bestudeerd, niet zelden afhankelijk zijn geweest van de andere vraag, of die bestudeering door de samenleving om practische redenen werd verlangd en of de maatschappelijke toestanden van dien aard waren, dat men een voldoend aantal geschikte personen in staat kon stellen, zich aan haar te wijden. De vorstelijke geste der Ptolemaeën, die te Alexandria het Mouseion stichtten en in stand hielden, heeft ongetwijfeld een even grooten dienst aan de wetenschap bewezen als in de 17e en 18e eeuw de instelling van de groote Europeesche academies gedaan heeft. Of echter in de latere eeuwen er eenige andere noemenswaarde uitwendige prikkel tot de studie der wiskunde heeft bestaan,dan er gelegen was in de beteekenis, die zij als propaedeuse voor de wijsbegeerte en als hulpmiddel voor de astronomie bezat, mag zeer twijfelachtig heeten.

Intusschen weten we van dergelijke invloeden nog te weinig

[p. 209]

af, om er bij de studie der wetenschapsgeschiedenis ernstig rekening mee te houden, zooals ook de zoo vaak als vaststaand aangenomen samenhang tusschen haar en de politieke geschiedenis nog veel te vaag is, om er iets meer dan een mogelijk programma van toekomstig onderzoek in te kunnen zien.

Zoodat het voorloopig nog maar het veiligste lijkt, zich bij de beschouwing van de historische ontwikkeling der wiskunde tot de zuiver-mathematische factoren, waardoor die ontwikkeling beinvloed kan zijn, te bepalen en zich daarbij bewust te blijven van het hopelooze van de taak, een stuk verleden ooit in waarheid te doen herleven.

Oisterwijk

E.J. Dijksterhuis