|
| |
| |
| |
De intrede der wiskunde in de natuurwetenschap
II
Het jaar 1687, waarin Newton's Principia verscheen, vormt in zekeren zin het eindpunt van de ontwikkeling der 17e eeuwsche mechanica, omdat in dat werk èn de algemeene axiomata worden geformuleerd, waaruit de wetten der beweging zijn te deduceeren èn het bijzondere gravitatieaxioma, dat de toepassing van die wetten op den val en de planetenbeweging mogelijk maakt, terwijl het tevens de uiteenzetting van het wiskundig hulpmiddel voor de beoefening der mechanica bevat, dat in de infinitesimaalrekening was gevonden. Het zou nu kunnen lijken, alsof daarmede de geschiedenis der klassieke mechanica in beginsel beeindigd was. We moeten er echter voorzichtig mee zijn, om een oordeel, dat wij tegenwoordig op grond van onze inzichten in de intrinsieke beteekenis van een werk uitspreken, nu ook maar dadelijk te formuleeren als een historische uitspraak over de wijze, waarop dat werk in zijn tijd werd gezien en over de waarde, die er toen aan werd toegekend. Dat zulk een overdracht van beoordeeling onjuist kan zijn en dus steeds ongeoorloofd is, blijkt wel heel duidelijk juist aan het voorbeeld van Newton's werk, dat door meer dan één oorzaak een veel minder diepen indruk op zijn tijdgenooten heeft gemaakt, dan wij thans op grond van zijn wetenschappelijke beteekenis meenen te mogen verwachten.
In de eerste plaats wordt Newton's afleiding van val en planetenbeweging uit het gravitatieaxioma in de eerste tientallen jaren na de publicatie door de meest competente beoordeelaars op het vasteland vrijwel eenstemmig verworpen. Dat is eigenlijk heel begrijpelijk, wanneer men bedenkt, dat omstreeks 1700 de Cartesiaansche wijze van natuurbeschouwing, hoewel in haar
| |
| |
concrete uitwerking reeds door velen veroordeeld, in beginsel nog de heerschende is, terwijl daarnaast het klassieke atomisme van Demokritos en Epikouros in zijn o.a. door Gassend vernieuwden vorm veld wint. Deze twee denkrichtingen, waarvan de eerste de materie ziet als continu in de ruimte uitgespreid of zelfs als identiek daarmee, terwijl de tweede een discontinue materieverdeeling in een overigens leege ruimte aanneemt, hebben in dien tijd het gemeenschappelijk kenmerk, dat zij alle verschijnselen terugbrengen tot de inwerking op elkaar van aangrenzende deelen der materie, hetzij dat aangrenzend zijn doorloopend is als in de theorie van Descartes of momentaan, zooals bij de botsingen der atomen. In geen van beide is daardoor plaats voor een werking op afstand, zooals Newton die scheen te postuleeren, om den val en de planetenbeweging te verklaren. Vandaar dan ook, dat zijn gravitatietheorie èn door Huygens èn door Leibniz èn door Johan Bernoulli, om drie van de grootsten van hun tijd te noemen, volstrekt wordt verworpen. Zoo schrijft b.v. Leibniz in 1690 aan Huygens, na waardeerende woorden aan Newton's boek te hebben gewijd: ‘cependant je ne comprends pas comment il conçoit la pesanteur ou attraction. Il semble que selon luy ce n'est qu'une certaine vertu incorporelle et inexplicable, au lieu que vous l'expliqués tres plausiblement par les loix de la mecanique’; en Huygens zegt in zijn antwoord kortweg, dat het attractieprincipe hem absurd lijkt. Er is een algemeen streven, om de zwaarte te verklaren met behulp van een hypothetischen aether, zooals Huygens dat in zijn Discours de la cause de la Pesanteur had gedaan, en de methode van Newton, die later als het ideale voorbeeld van een mechanische natuur-theorie zou gelden, kon, blijkens de woorden van Leibniz, in dien tijd nog om haar niet-mechanisch karakter worden veroordeeld.
Er is nog een andere reden, die tot dit gemis aan waardeering kon bijdragen. Men moet namelijk steeds bedenken, dat de 17e eeuwsche natuurwetenschap zich heeft ontwikkeld in scherpe en bewuste oppositie tot de methode van natuuronderzoek der peripatetische philosophie en er is dan ook niets wat aan haar beoefenaren zoo verwerpelijk voorkomt dan een terugvallen in de denkwijze en de terminologie van een standpunt, dat men voor goed meende te hebben overwonnen. Maar moest het nu niet den schijn hebben, dat in de attractietheorie van Newton de
| |
| |
beruchte qualitates occultae der Scholastiek, waarmee alle natuurverschijnselen maar al te gemakkelijk waren verklaard, in volle kracht herleefden? Men denke b.v. aan de beroemde passage uit Le Malade Imaginaire, waarin Molière, die met Gassend bevriend was en die dus de anti-scholastische stemming der nieuwe natuurwetenschap van nabij moet hebben gekend, de traditioneele wetenschap bespot, doordat hij aan een Baccalaureus de vraag laat stellen, waarom opium doet slapen, waarop deze triomphantelijk en met lof van het koor het antwoord geeft: Quia est in eo virtus dormitiva, cujus est natura sensus assoupire. Zou de sarcastische bedoeling van deze passage voor de tijdgenooten niet even goed bereikt zijn, wanneer de vraag had geluid, waarom zware lichamen naar de aarde toevallen en wanneer de candidaat daarop met een anticipatie van Newton's theorie had geantwoord: Quia est in ea virtus attractiva cujus est natura gravia movere. Zoo ziet Leibniz het blijkbaar, wanneer hij van een vertu incorporelle et inexplicable spreekt en al de kritiek op Newton, die men tot in het midden van de 18e eeuw ontmoet, past in dezen zelfden gedachtengang.
Wanneer men nu echter meer let op wat Newton zelf met zijn theorie heeft bedoeld dan op wat sommigen van zijn volgelingen ervan hebben gemaakt, blijkt deze kritiek wel geheel op misverstand te berusten. Ze zou gerechtvaardigd zijn, wanneer Newton hypothetisch de gravitatie als een aan de materie inhaerente qualiteit had ingevoerd en daarmee val en planetenbeweging verklaard had geacht. Qualiteiten zijn nu eenmaal occult en men kan ze niet anders manifest maken dan òf door samenvatting onder één gezichtspunt van wat schijnbaar verschillend van aard is of door mathematische omschrijving en bepaling. En nu kan men ten eerste volhouden, dat Newton zoowel het eene als het andere heeft gedaan, door de grootte der gravitatiewerking vast te leggen in een quantitatief geformuleerde wet en door de identiteit van de kracht, die de maan in haar baan houdt en die den steen naar de aarde doet vallen, door berekening aan te toonen. Maar ten tweede kan men zijn gedachtengang nog beter benaderen en hem daardoor nog effectiever tegen de kritiek van zijn groote tijdgenooten verdedigen, door te zeggen, dat de gravitatie voor hem heelemaal geen qualiteit der materie is en haar bestaan geen hypothese. Dat op een planeet een kracht
| |
| |
werkt, die gericht is naar de zon en omgekeerd evenredig met het vierkant van den afstand tot de zon, is een mathematische consequentie uit de wetten van Kepler in verband met de algemeene axiomata der mechanica; het woord kracht, dat altijd de illusie van een oorzaak wekt, is daarbij niets anders dan een volkomen ontbeerlijke afkortende uitdrukking voor het product van de massa en de versnelling. Het gravitatieaxioma geeft van de verschijnselen van val en planetenbeweging noch een physische, noch een metaphysische verklaring, maar uitsluitend een mathematische beschrijving. Een verklaring tracht Newton in de Principia voor de gravitatie evenmin te geven als Galilei het in de Discorsi voor de wetten van den vrijen val had trachten te doen. De passage, waaraan het beroemde woord Hypotheses non fingo ontleend is, spreekt het met den grootsten nadruk uit, dat verklaringshypothesen, van welken aard ook, in de Philosophia Experimentalis of Naturalis niet thuishooren.
In deze strenge beperking tot beschrijving in mathematische termen van de langs empirischen weg verkregen kennis der natuurverschijnselen, in deze afwijzing van iedere pretentie tot het doordringen in het wezen der verschijnselen door hypothetische verklaringen, komt een kennistheoretische visie op het doel en de draagwijdte der natuurwetenschappelijke methode tot uiting, die in veel nauwer verband staat met de opvattingen, die er op dit punt in onzen eigen tijd bestaan, dan met de minder geresigneerde denkbeelden, die er in de 19e eeuw over in omloop zijn geweest. Het hangt daarmee samen, dat de waardeering voor Newton's werk tegenwoordig weer een aanmerkelijke stijging vertoont en dat er weer een nieuwe phase schijnt te zijn ingetreden in de merkwaardige wisselingen, die zijn historisch beeld in den loop der tijden reeds heeft ondergaan. Die wisselingen zijn reeds in de 18e eeuw duidelijk waar te nemen; in den zelfden tijd, waarin Huygens, Leibniz en Bernoulli nog zonder juist begrip tegenover de Principia staan, vinden Newton's denkbeelden in Engeland reeds warme instemming, zij het dan ook niet steeds op zuiver wetenschappelijke gronden; die instemming breidt zich in den loop van de 18e eeuw wel uit tot het continent, maar ze gaat dan gepaard met een interpretatie van de gravitatietheorie, die geheel tegen de bedoelingen van haar schepper indruischt.
Het is namelijk wel waar, dat Newton zich in de Principia
| |
| |
streng heeft beperkt tot het ontwikkelen van een mathematische theorie der bewegingsverschijnselen, maar we weten uit de Optica, uit zijn brieven en uit de uitlatingen van zijn vroegste en door hem zelf geautoriseerde interpretatoren, zooals Cotes, Bentley en Clarke, ook nog wel het een en ander omtrent de motieven, die hem tot de stricte beperking van zijn onderzoek hebben gevoerd en over de verwachtingen, die hij aangaande de uitwerking van zijn geschriften koesterde. En wel wordt men langs dezen weg, waarvan het bewandelen onmisbaar is, wanneer men een volledigen kijk op Newton's persoonlijkheid wil verkrijgen, voornamelijk gewaar, in welk een sterk theistisch gestemde sfeer de geheele gravitatietheorie is geconcipieerd en uitgewerkt. Newton heeft zich uitvoerig bezig gehouden met het vinden van een dieperliggende verklaring der gravitatie, waarover hij twee verschillende theorieën heeft ontwikkeld, waarvan de eene in nauw verband staat met zijn theologische overtuigingen. Deze bewering schijnt wellicht in tegenspraak met de boven geciteerde woorden, dat verklaringshypothesen, van welken aard ook, in de Philosophia Naturalis niet thuis hooren; die tegenspraak bestaat echter niet; men moet in die woorden den nadruk leggen op Philosophia Naturalis, een uitdrukking, die gelijkwaardig is met wat wij natuurwetenschap noemen; daarin passen inderdaad geen andere theorieën dan die door axiomatiseering of algorithmiseering van de resultaten der empirie zijn verkregen; maar dat sluit niet uit, dat men in de Philosophia Generalis, die voor Newton wel ongeveer met de theologie samenvalt, wel kan trachten, de resultaten van het natuuronderzoek in te passen in het algemeene wereldbeeld der geopenbaarde Christelijke religie. Dat heeft Newton inderdaad beproefd en zoo is hij, onder invloed van Jacob Boehme, wiens werken hij intens heeft bestudeerd en van den Engelschen
neo-platonischen theoloog Henry More, gekomen tot zijn theorie van het immaterieele actieve principe, dat de op zichzelf inerte materie beweegt volgens de bedoelingen van den Schepper, welke in de mathematische gravitatiewet worden uitgedrukt.
Empirisch kan het nu den schijn hebben, alsof een lichaam een werking op afstand op een ander lichaam uitoefent. Echter verwerpt Newton het denkbeeld, dat die actio in distans een physische realiteit zou beduiden, dat de gravitatie een attribuut der
| |
| |
materie zou zijn, waardoor het lichaam zou kunnen werken, waar het niet is, met den meesten nadruk; er moet een intermediair agens zijn, waaruit de schijnbare werking op afstand voortvloeit en dat, zelf onstoffelijk, door het medium van de absolute ruimte, die het eindelooze sensorium Gods is, de materie beweegt. Zoo beschouwd, kon de gravitatietheorie in Newton's eigen oogen een direct bewijs worden voor het bestaan van God in den theistischen zin van het woord; en hij heeft zelf uitdrukkelijk verklaard, dat niets hem meer zou verheugen, dan wanneer zijn Principia op deze wijze zouden kunnen bijdragen tot de bestrijding van het atheisme.
Vergelijkt men de manier, waarop de gravitatietheorie in de 18e eeuw in Frankrijk is toegepast, met Newton's uitgesproken bedoelingen aangaande haar psychologische uitwerking, dan blijkt dat, naarmate de theorie zelf grootere triomphen viert, van die bedoelingen minder terecht komt. Met de verdoezeling van het onderscheid tusschen de causa mathematica van een verschijnsel en de causa physica, dat Newton zoo zorgvuldig in acht neemt, kreeg de werking op afstand steeds meer het karakter van een physische inwerking van twee lichamen op elkaar, werd de gravitatie steeds meer als inhaerent aan de materie beschouwd, en werd het streng-mathematische wereldsysteem van de Principia steeds meer los gemaakt uit het theistische verband, waarin het oorspronkelijk was geplaatst. ‘Ce système, qui soulage si fort la Providence’, zooals Montesquieu zegt, scheen la Providence langzamerhand overbodig te maken. En man kan nauwelijks een meer treffend voorbeeld vinden van het contrast, dat er vaak tusschen Newton's bedoelingen en de uitwerking van zijn denkbeelden heeft bestaan, dan door de theologische beschouwingen van hem en zijn vrienden inzake de gravitatie als existentiebewijs Gods te vergelijken met het befaamde antwoord, dat Laplace aan Napoleon gaf, toen deze hem vroeg, waarom hij in zijn Mécanique Céleste nergens den Schepper had vermeld: ‘Sire, je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là.’
Als tweede voorbeeld van verschil in waardeering van Newton's werk in zijn eigen tijd en later kan de fundeering der Mechanica in de drie Axiomata sive Leges Motus gelden, die aan het eerste Boek der Principia voorafgaan. Het blijkt namelijk dat deze fundeering kort na het verschijnen van het werk lang niet zoozeer
| |
| |
als definitief werd beschouwd, als wij ons dat thans onwillekeurig voorstellen. Men krijgt zelfs wel eens den indruk, dat men er aanvankelijk zelfs maar heel weinig aandacht aan heeft geschonken. Wanneer Johan Bernoulli en Leibniz in de laatste jaren der eeuw uitvoerig correspondeeren over fundamenteele vragen der mechanica, noemen ze Newton nauwelijks; tot midden in de 18e eeuw worden, geheel onafhankelijk van den axiomatischen grondslag, die in de Principia gelegd was, zelfstandige mechanische principes axiomatisch aanvaard en de groote discussies over de mechanica gaan voor een groot deel geheel buiten Newton en zijn werk om. Er bestaat namelijk naast de ontwikkelingslijn der Mechanica, die we tot dusver hoofdzakelijk hebben beschouwd, en die door de namen Galilei, Huygens, Newton kan worden gekenmerkt, een andere, die in groote trekken te typeeren is door de namen Descartes, Leibniz, Bernoulli en misschien Maupertuis. Een van haar voornaamste kenmerken is, dat zij in veel nauwer verband staat met philosophische en religieuse opvattingen van haar scheppers, dan dat bij de eerstgenoemde schrijvers het geval was. Bij dezen bestond natuurlijk, zooals we al zagen, ook wel verband tusschen philosophie of godsdienst aan den eenen kant en den stijl van natuuronderzoek aan den anderen, maar dat verband bepaalde uitsluitend den achtergrond, waarop zich hun werk afspeelt; metaphysische argumenten werden niet in den opbouw van de systemen gebruikt (men kan b.v. de Principia met uitzondering van het laatste Scholium lezen, zonder iets van de theologische overtuigingen van Newton te vermoeden) en ze zijn dus meer psychologisch belangrijk voor de kennis van de persoonlijkheid van de schrijvers, dan essentieel voor den logischen samenhang van hun systemen.
Geheel anders is dit bij philosophen als Descartes en Leibniz. Bij hen wordt de opbouw der mechanica onmiddellijk in verband gebracht met, ja afgeleid uit het metaphysische stelsel en men kan hun mechanische redeneeringen in het geheel niet volgen zonder van hun metaphysica kennis te nemen. Ik wil trachten van die noodzaak een indruk te geven door iets mee te deelen over den grooten strijd tusschen de Cartesianen eenerzijds en Leibniz met zijn aanhangers anderzijds over het wezen der materie en de maat van de z.g. kracht.
| |
| |
Descartes, die de subjectiviteit verkondigde van de z.g. secundaire qualiteiten der materie, zooals kleur, smaak, hardheid en gewicht, heeft des te krachtiger vastgehouden aan de objectiviteit van de geometrisch-mechanische primaire qualiteiten grootte, vorm en beweging. Dat hij dit deed, is op grond van zijn algemeene denkbeginselen volkomen begrijpelijk. Wáár toch is, volgens den eersten regel van het denken in het Discours de la Méthode, alles, waarvan wij ‘des idées claires et distinctes’ hebben; zulke denkbeelden had hij echter van de fundamenteele inzichten van wiskunde en kinematica in hooge mate en de schepping van een geometrisch-mechanisch wereldbeeld blijkt feitelijk bij hem de directe consequentie te zijn van de typisch-mathematische geestesgesteldheid, waardoor hij zelf een onuitwischbaren stempel op het natuurwetenschappelijk denken van de 17e eeuw heeft gedrukt. In overeenstemming met de aanvaarding van grootte, vorm en beweging als objectieve qualiteiten ziet Descartes het wezen der materieele substantie in de driedimensionale uitgebreidheid en daarin alleen. Wat het is, dat zich in drie dimensies uitstrekt, zegt hij niet. Hij heeft, zooals Huygens het uitdrukt, van de materie de voorstelling, die anderen van het vacuum hebben. Voor Descartes zelf bestaat natuurlijk het vacuum niet; waar ruimte is, is materie. De materie nu is in den aanvang geschapen in rust en beweging, van welke modi God dus de primaire oorzaak is. Uit de onveranderlijkheid Gods leidt Descartes nu het diepstliggend axioma van zijn mechanica af: de totale hoeveelheid beweging in het heelal, dat is dus de som van de producten van iedere hoeveelheid materie en haar snelheid, kan niet veranderen. Uit dezelfde metaphysische overweging volgen nu ook de bijzondere bewegingswetten, die de secundaire en particuliere oorzaken zijn van de bewegingen, die we in de lichamen opmerken. Ten eerste de wet, dat ieder
lichaam behoudens inwerking van uitwendige oorzaken, vorm en bewegingstoestand, d.w.z. grootte en richting der snelheid, behoudt. En vervolgens, dat bij de botsing van twee lichamen de totale hoeveelheid beweging behouden blijft. Schijnbaar wordt dus in deze wetten aangenomen, dat in de materie de eigenschap der traagheid zetelt, die als streven naar behoud van impuls kan worden omschreven en dat twee lichamen bij een botsing krachten op elkaar uitoefenen, die de wederzijdsche impulsen met behoud van
| |
| |
hun som wijzigen. In werkelijkheid is voor het consequente Cartesianisme noch het een noch het ander het geval. De materie volhardt in haar bewegingstoestand niet op grond van een inwendig vermogen, dat zich uit als weerstand tegen uitwendige pogingen, om de grootte of de richting der snelheid te wijzigen, maar omdat God op ieder oogenblik haar momentanen impuls in stand houdt. En metaphysisch beschouwd, werkt een lichaam niet op een ander in, wanneer het er tegen botst, maar God regelt bij de ontmoeting beider impulsen zoo, dat de som niet verandert. De materie zelf is zuiver passief, in overeenstemming met haar geometrische essentie. Empirisch echter vertoont ze natuurlijk den schijn van activiteit; een bewegend lichaam oefent, phaenomenologisch gesproken, werkingen op andere, mits kleinere lichamen uit, die het in een botsing ontmoet; het kan den weerstand van een medium gedurende eenigen tijd overwinnen. Als maat voor het vermogen, zulke werkingen uit te oefenen, dient nu ook hetzelfde prodcut van massa en snelheid; de Cartesianen noemen het force motrice van het lichaam, waarbij blijkbaar deze ‘kracht’ identiek is met wat wij den impuls noemen en toto genere verschillend van kracht in den zin van Newton, die met de fluxie, de veranderingssnelheid, van den impuls evenredig is.
Tegen deze theorie van zijn grooten voorganger in de philosophie is nu Leibniz onophoudelijk met al de kracht van zijn argumentatie opgekomen. Telkens weer betoogt hij de ongerijmdheid van het denkbeeld, het wezen der materie in de uitgebreidheid te zoeken en de totale hoeveelheid beweging te zien als het voor ieder afgesloten systeem onveranderlijke quantum, dat ook hij in de wisseling der bewegingsverschijnselen wil vinden. En zoozeer gaat het onderwerp hem ter harte, dat men al spoedig den indruk krijgt, dat het niet zuiver interne aangelegenheden der theoretische mechanica zijn, die hem aansporen tot zoo heftig verzet. Dat die indruk juist is, bevestigt hij zelf in zijn briefwisseling met Antoine Arnauld, den theoloog en mathematicus van Port Royal. Het blijkt hier, dat althans een van de wortels van zijn eigen opvatting over het wezen der materie en de maat van de kracht van een bewegend lichaam geheel op religieus gebied ligt. Leibniz heeft zich namelijk langen tijd ernstig beijverd, een weg te vinden, waarlangs Katholieken en Protestanten weer tot vereeniging in één kerk konden worden gebracht en hij heeft daarbij
| |
| |
geprobeerd, de bezwaren die van Protestantsche zijde tegen het dogma der transsubstantiatie werden aangevoerd, te weerleggen en in het algemeen de logische tegenstrijdigheden op te heffen, die de menschelijke rede in het mysterie der Eucharistie kon ontdekken.
Het dogma der transsubstantiatie, zooals het door het concilie van Trente in 1551 was vastgesteld, leert, dat na de consecratie de substantie van het brood en den wijn met behoud van de accidentia, dus der uitwendige verschijningsvormen, veranderd zijn in de substantie van het lichaam en het bloed van Christus en dat Christus dus, hoewel volgens zijn natuurlijke wijze van bestaan voortdurend gezeten ad dexteram patris, niettemin vere, realiter ac substantialiter aanwezig is onder den vorm van de zintuigelijk waarneembare stoffen brood en wijn. Tegen dit dogma kon de menschelijke rede in hoofdzaak drie bezwaren aanvoeren; er kon ten eerste gevraagd worden, hoe de substanties van brood en wijn kunnen veranderen in andere substanties, die slechts ad modum spiritus aanwezig zijn; ten tweede, hoe het mogelijk is, dat Christus gelijktijdig aanwezig is in den hemel en op alle altaren der aarde, waarop de consecratie wordt verricht; en ten slotte, hoe de accidentia van brood en wijn kunnen blijven voortbestaan zonder een substantie, die hun drager is. Het is nu duidelijk, dat deze drie moeilijkheden met de materietheorie van Descartes niet zijn op te lossen. Immers als uitgebreidheid identiek is met de lichamelijke substantie, is een bestaan van het lichaam en het bloed van Christus ad modum spiritus ongerijmd, is de gelijktijdige aanwezigheid van een substantie op verschillende plaatsen, de z.g. multilocatio, ondenkbaar en moet het bestaan van accidentia sine subjecto worden ontkend. Descartes, die er altijd erg op uit was, met de Kerk op goeden voet te blijven en die nooit verlegen was om theorieën, heeft wel geprobeerd, zijn systeem met de Eucharistie in overeenstemming te brengen door middel van hypothesen ad hoc, maar die pogingen hebben evenmin resultaat opgeleverd als de latere theorie der transsubstantiatie van
den mechanicus Varignon.
Al de logische bezwaren, die de theorie van Descartes nog eens had geaccentueerd, kon nu echter Leibniz gemakkelijk oplossen door zijn fundamenteele stelling, dat het wezen der materie niet gelegen is in de uitgebreidheid, maar in een inwendige onstoffe- | |
| |
lijke activiteit, een force active, die, vereenigd met het passieve principe, de materia prima, de waarlijk reëele substanties, demonaden, vormt. Een lichaam is nu een verzameling van een oneindig aantal continu met elkaar samenhangende monaden, die het, naar een beeld van Leibniz zelf, bevat, zooals het ordinatenoppervlak van een kromme het zijn ordinaten doet; die monaden zijn zelf zonder uitgebreidheid, maar ze doen zich gezamenlijk voor als een res extensa met al de primaire en secundaire eigenschappen der materie, omdat God gewild heeft, dat alles in de wereld zou verloopen in pondere, in numero et in mensura.
Hoe Leibniz nu op grond van deze nieuwe theorie der materie het mysterie der Eucharistie wel begrijpelijk meent te kunnen maken voor de menschelijke rede, zal hier niet verder worden uiteengezet; wellicht heeft de lezer toch reeds den indruk gekregen, dat de bespreking zich thans toch wel heel ver verwijdert van het onderwerp dezer verhandeling, dat immers in de ontwikkeling der mechanica bestond. Die indruk is echter onjuist. Zoolang men over Leibniz spreekt, die een van de meest veelzijdige genieën is, waarvan de geschiedenis van het denken melding maakt, staan alle gebieden van ons weten in even onmiddellijken samenhang als de monaden het in een organisme doen. Want inderdaad: wanneer men zich afvraagt, hoe die force active, die entelechie, die in de theologie de praesentia realis van Christus in het H. Avondmaal kan verklaren en die in de metaphysica de theorie der voorbeschikte harmonie mogelijk maakt, waardoor Leibniz de raadselen van den samenhang van lichaam en ziel kan verklaren, zich empirisch aan ons voordoet, dan zijn we ineens weer midden in de mechanica: het blijkt namelijk dat die inwendige kracht bij een bewegend lichaam wordt gemeten door het product van de massa en het quadraatvan de snelheid, zoodat zij zich slechts door een getallenfactor onderscheidt van onze kinetische energie en dat ze bij een rustend lichaam als vis mortua toch in ieder zeer nauw verwant is metwatwij potentieele energie noemen. In de materietheorie van Leibniz, waarin de lotgevallen der lichamen worden bepaald door de spontane veranderingen van de inwendige activiteit, vindt men dus de kern van de zuiver energetische beschouwingswijze van de natuur, die aan het eind van de 19e en het begin der 20e eeuw haar vurige aanhangers heeft gehad.
| |
| |
Leibniz zelf heeft de waarde mv2 (product van de massa en het quadraat van de snelheid) als maat voor de kracht van een bewegend lichaam in de plaats gesteld van de Cartesiaansche waarde mv (product van massa en snelheid). De argumentatie, waarmee hij dit doet, berust op misverstand. Hij beweert namelijk, dat de Cartesianen gevolg en oorzaak verwarren, wanneer ze niet de quantitas potentiae, d.i. het vermogen tot beweging, maar de quantitas motus, d.i. de beweging zelf, als invariant beschouwen. Maar zoo redeneerende, hecht hij een overdreven waarde aan den inderdaad ongelukkigen term van quantitas motus, die in de bovendien onjuiste vertaling ‘hoeveelheid van beweging’ nog in de tegenwoordige mechanica voortleeft. Wanneer de Cartesianen die grootheid impuls hadden genoemd of er den scholastischen terminus impetus voor hadden gebruikt, zou er a priori niet de minste reden meer zijn, om de levende kracht boven den impuls of den impetus als maat voor het vermogen van een bewegend lichaam, om weerstanden te overwinnen, te verkiezen. En bij nader onderzoek blijkt die reden evenmin te bestaan. Sedert d'Alembert weten we, dat de impuls van een stoffelijk punt evenredig is met den tijd, waarin het door een constante remmende kracht tot rust wordt gebracht en de levende kracht met den weg, waarover het onder de werking van die kracht kan blijven bewegen. Om dit inzicht te verwerven hebben de beoefenaren der mechanica echter een halve eeuw moeten twisten. Het is een strijd geweest, die, zooals dat in dien tijd met natuurwetenschappelijke kwesties meer ging - de controversies over den vorm van de aarde zijn er een treffend voorbeeld voor -, de geheele intellectueele wereld interesseerde. Voltaire en Mme du Châtelet hebben er elkaar zelfs over bestreden en Immanuel Kant heeft er zijn eerste werk aan gewijd.
Ik moet nu, over Leibniz sprekende, nog een andere bijdrage van hem tot de mechanica vermelden, die met de besprokene de eigenschappen gemeen heeft, dat ze eigenlijk geheel buiten de theorie van Newton omgaat, dat ze voortvloeit uit metaphysische beschouwingen en dat ze in den loop van de 18e eeuw in hooge mate de belangstelling van alle wetenschappelijk ontwikkelde kringen heeft getrokken. Het is het z.g. principe der kleinste actie, waarin wordt uitgesproken, dat voor de werkelijke bewegingen in de natuur een zekere grootheid, die de som is van de
| |
| |
producten der bewegende massa's met de wegen, die ze doorloopen en de snelheden, waarmee ze dit doen, een extreme waarde heeft, vergeleken met fictieve bewegingen tusschen dezelfde eindpunten, die weinig van de werkelijke afwijken. Dit principe, dat Leibniz nooit heeft gepubliceerd, maar waarvan men den invloed op verschillende plaatsen in zijn werken kan nagaan, is het eerst in 1744 in het openbaar uitgesproken door den president der Berlijnsche Academie Maupertuis. Deze formuleert het zoo, dat voor alle natuurlijke bewegingen de actie een minimum is en dat ook voor lichamen in rust de actie bij een intredende kleine beweging zoo klein mogelijk blijft. Hij hecht er vooral waarde aan, omdat hij in deze klaarblijkelijk natuurlijke spaarzaamheid met de actie een onomstootelijk bewijs ziet van het bestaan van een wijzen schepper, die de wereld zoo economisch mogelijk beheert; hij is overtuigd, dat hij met dit principe het metaphysisch beginsel heeft gevonden, waaruit de geheele mechanica te deduceeren zal zijn. De wetenschappelijke toepassingen, die Maupertuis van het met zooveel ophef aangekondigde beginsel van de kleinste actie heeft gemaakt, zijn hoogst onbeduidend en het is dan ook niet aan hem, maar aan zijn genialen tijdgenoot Euler te danken, dat het zich tot een bruikbaar principe heeft kunnen ontwikkelen. De philosophische beschouwingen echter, die hij in zijn Essay de Cosmologie geeft over het metaphysische doel, dat hij met zijn theorie vervolgt, zijn als illustratie van den nauwen samenhang, die er bij de 18e eeuwsche mechanici en physici tusschen religieuse of philosophische overtuigingen en natuurwetenschappelijke opvattingen bestaat, hoogst merkwaardig.
Ze leeren vooral, in wat voor misverstand men verkeert, wanneer men het enge verband, dat er in de latere 18e en in de 19e eeuw tusschen mechanistische natuurbeschouwing en materialistische philosophie en wereldbeschouwing heeft bestaan, als een essentieele consequentie van de toepassing der mechanica op het natuuronderzoek beschouwt. Het valt namelijk op, dat Maupertuis en met hem verschillende andere schrijvers er voortdurend den nadruk op leggen, dat de overtuiging van het bestaan van een goddelijk wereldbestuur niet in strijd is met de aanname van de streng mechanische wetmatigheid van het natuurgebeuren, waarbij men het woord mechanisch dan echter niet figuurlijk in
| |
| |
den zin van machinaal moet opvatten, maar in den ruimeren zin van ‘onderworpen aan de algemeene axiomata der bewegingsleer.’ De ongelukkige omstandigheid, dat mechanica etymologisch op werktuigkunde schijnt te duiden, heeft het doordringen van dit inzicht altijd in den weg gestaan; de tegenstelling, die philosophische schrijvers wel gemaakt hebben tusschen dynamisme en mechanisme, waarbij ze dan Leibniz, die een mechanistisch philosoof par excellence is, als tegenstander van een mechanistische natuurwetenschap laten optreden, heeft het bepaald tegengewerkt.
De nadruk, waarmee het bedoelde punt herhaaldelijk besproken wordt, wekt den indruk, dat de mechanistische natuurbeschouwing in de eerste helft der 18e eeuw een strijd op twee fronten heeft moeten voeren, een tegen een geloof, dat in de vermogens van den menschelijken geest geen vertrouwen had, een tegen een ongeloof, dat zijn vertrouwen alleen daarin stelde. Vandaar de herhaalde verzekeringen van Leibniz, dat de natuur streng mechanisch moet worden verklaard, maar dat de axiomata der mechanica zelf van metaphysischen oorpsrong zijn; vandaar ook de woorden van Maupertuis: ‘une mécanique aveugle et nécessaire suit les desseins de l'Intelligence la plus éclairée et la plus libre.’ En we vinden hier nog eens opnieuw de verklaring, waarom men Newton's axiomata niet als een definitieve basis der mechanica kon aanvaarden, waarom de Cartesianen vasthielden aan hun behoud van impuls, Leibniz aan de force active, Maupertuis en Euler aan de minimum-actie.
Ik kan hier op de in meer dan een opzicht merkwaardige geschiedenis van het principe der kleinste actie, dat zich in het eind van de 18e en het begin van de 19e eeuw in de handen van Lagrange, Jacobi en Hamilton tot een der meest fundamenteele principes der mechanica zou ontwikkelen, niet ingaan. Twee opmerkingen moet ik echter er over maken. De eerste is deze, dat met dit principe de teleologische beschouwingswijze der natuur, die in de 17e eeuw sterk op den achtergrond was gedrongen, haar plaats in de physica ten deele weer herovert, om dan verder in de 18e eeuwsche natuurbeschouwing niet meer te verdwijnen. Leibniz, die al niet meer zoo vijandig staat tegenover de Scholastiek als men dat in het begin van de 17e eeuw had gedaan en die b.v. voor de inwendige activiteit heel rustig den scholastischen ter- | |
| |
minus forma substantialis gebruikt, aanvaardt in zijn philosophie volmondig de causae finales of doeloorzaken naast de causae efficientes. En Maupertuis is van oordeel, dat men bij de verklaring der natuurverschijnselen niet alleen moet trachten, ze uit de eigenschappen der lichamen af te leiden, maar tevens moet letten op het doel, dat in het natuurgebeuren kan worden beoogd.
De tweede opmerking betreft de groote beroering, die de toch tamelijk abstracte wetenschappelijke aangelegenheid der kleinste actie in breede kringen heeft verwekt, toen in 1751 de opzienbarende onthulling werd gedaan, dat het principe in den vorm, waarin Maupertuis het had uitgesproken, in zooverre onjuist was, dat de actie bij bewegingen, zooals ze in de natuur verloopen, ook wel een maximum kon zijn, (waarmee het heele spaarzaamheidsbewijs voor het bestaan van God in het water viel) en dat het bovendien reeds door Leibniz in juisteren vorm was opgesteld. Die onthulling kwam van Samuel König, een Zwitserschen mathematicus, die een tijdlang in nauwe relaties heeft gestaan tot Voltaire en Mme du Châtelet, welke laatste hij in de hoogere wiskunde onderwees, en die later een geziene persoonlijkheid is geworden aan het hof van den stadhouder in den Haag. Het gevolg was het heftige conflict van de Berlijnsche Academie met König, waarin Maupertuis, die gevoelig in zijn ijdelheid gekwetst was, met ondersteuning van Euler zoo hoogst onbillijk is opgetreden en waarin Voltaire heeft ingegrepen met de satirieke Histoire du Docteur Akakia, waarin zoowel Maupertuis als Euler op de meest onbarmhartige wijze worden bespot. Dit geschrift, dat in Berlijn niet mocht verschijnen, maar dat er, in Holland gedrukt, toch doordrong, werd de directe aanleiding van de breuk van Voltaire met den koning, die het libel wel door den beul openlijk kon laten verbranden, maar die den president van zijn Academie nooit meer heeft kunnen herstellen in de positie, die hij voor dien tijd in veler oog had ingenomen.
De weinig sympathieke wijze, waarop Euler, die toch beter dan iemand anders kon weten, hoezeer Maupertuis ongelijk had, in deze zaak is opgetreden, hangt, hoewel materieele motieven er ook wel niet vreemd aan zullen zijn geweest, waarschijnlijk eveneens ten nauwste samen met de nauwe relatie, waarin ook in zijn werk theologische en mathematische gezichtspunten tot elkaar stonden. Euler was n.l. een streng rechtzinnig Protestant,
| |
| |
die in geloofszaken fanatiek partij trok. Dat fanatisme toont hij vooral, wanneer het er om gaat, de philosophie van Leibniz, zooals die door Wolff verder was ontwikkeld, te bestrijden, wat hij b.v. uitvoerig en niet onvermakelijk doet in de Lettres à une princesse allemande. Het is zeer aannemelijk, dat het principe der kleinste actie in de teleologische wending, die Maupertuis eraan gegeven had, hem om religieuse redenen zeer ter harte ging en dat hij het niet heeft kunnen verdragen, dat het met de gehate philosophie van Leibniz in verband werd gebracht.
Over den samenhang van theologie en wiskunde in de 17e en 18e eeuw zou nog veel gezegd kunnen worden. Men zou b.v. tal van mathematici kunnen noemen, vooral in Engeland, die tevens theoloog waren of dit later werden, zooals Oughtred, Wallis, Barrow, Pell; anderen, die althans sterk theologisch geinteresseerd zijn, zooals Napier, de uitvinder der logarithmen, die een commentaar op de Openbaring van Johannes schreef, waarin hij aantoont, dat de anti-Christ de Paus van Rome is en Newton, die in zijn werken dezelfde Openbaring en bovendien de Profetieën van Daniel uitvoerig heeft behandeld; men zou nog kunnen wijzen op menige onverwachte gedachtenverbinding tusschen mathematische vondsten en inzichten en godsdienstige overtuigingen in de werken van de Bernoulli's en Euler.
Liever dan hierover uit te weiden, wil ik denzelfden samenhang nog van den anderen kant uit toelichten, door een voorbeeld te noemen van de toepassing van mathematische methoden in de theologie. Het is te vinden in de Demonstratio Evangelica van den Franschen bisschop Pierre Daniel Huet, die niets minder nastreeft dan een complete axiomatiseering van den Christelijken godsdienst. Het gaat streng Euclidisch in zijn werk: 7 Definitiones; 2 Postulaten, waaronder een den eisch bevat, dat de lezer zal komen met een gewillig en naar waarheid strevend gemoed, niet met weerbarstige en stijfhoofdige gevoelens; 4 Axiomata, zooals: alle vermogen tot profeteeren is uit God. Daarop volgen dan tien proposities, bewezen volgens alle regelen der mathematische kunst. De bewijzen onderscheiden zich van die van mathematische stellingen echter vooral door hun omvang: zoo eischt de 4e propositie: ‘De boeken van het Oude Testament zijn echt’, een bewijs van 473 blz., de 9e: ‘Jezus van Nazareth is de Messias’, een van 517 blz.
| |
| |
Een dergelijke toepassing van de wiskundige methode is natuurlijk tevens een symptoom van een algemeene neiging in de 17e en 18e eeuw, om van de helderheid en de overtuigende werking van den mathematischen betoogtrant ook op andere gebieden partij te trekken. Spinoza's Ethica is er het beroemdste voorbeeld van; een duidelijke formuleering van de overtuiging, die er aan ten grondslag ligt, vindt men in de verklaring van Fontenelle in de voorrede van zijn Eloges: ‘Un ouvrage de Morale, de Politique, de Critique, peut-être même d'Eloquence en sera plus beau, s'il est fait de main de Géomètre’.
Natuurlijk rijst tegen de toepassing van de wiskunde in philosophische en theologische beschouwingen ook wel verzet; vooral in pietistische kringen zag men de rationaliseering der theologie, die men er als gevolg van vreesde, met leede oogen; de uitlating van den pietistischen professor Francke uit Halle, dat hij iemand, die Euclides bestudeerde, niet meer tot Christen kon maken en de meening van zijn orthodoxen collega Lange, dat de wiskunde een falsa eruditio is, die rechtstreeks naar het atheisme voert, zijn er sprekende uitingen van.
Andere theologen staan ook wel kritisch tegenover de wiskunde, maar met meer begrip en inzicht. Ik wil als slot van dit artikel hiervan een historisch belangrijk voorbeeld behandelen, nl. dat van den Engelschen philosoof en theoloog Berkeley, die in 1734 door zijn critiek op de fluxierekening van Newton den stoot heeft gegeven tot een jarenlang voortgezette polemiek over de grondslagen van de infinitesimaalrekening, die voor de verheldering der denkbeelden van waarde is geweest.
Berkeley publiceerde in dat jaar een geschrift The Analyst met den ondertitel An Address to an infidel mathematician, dat zeer waarschijnlijk gericht is geweest tegen den bekenden astronoom Halley en waarin hij betoogt, dat de redeneeringen van Newton's fluxierekening zoo zeer spotten met alle redelijkheid, dat het onbegrijpelijk is, dat iemand, die zijn logisch denken in voldoende mate kan verloochenen, om die redeneeringen te volgen, verstandelijke bezwaren kan inbrengen tegen de dogma's der Christelijke religie. Om dit toe te lichten, gaat hij na hoe Newton de fluxie afleidt van de functie y = xn. Hij doet dit, door aan x een kleine aangroeiïng te geven, voorgesteld door de letter o en nu de bijbehoorende aangroeiïng van y uit te rekenen. Dat wordt dan
| |
| |
Δ y = (x + o)n - xn = n.o.xn-1 + .... + on
De verhouding der bijeenbehoorende aangroeiïngen van y en van x is nu
n.xn-1 + n(n-1) / 2. o.xn-2 + .... on-1
Hierna vervangt Newton o door de waarde nul, laat dus alle termen verdwijnen, die nog o bevatten en vindt voor de gevraagde fluxie nxn-1, wat ook inderdaad de waarde is, die de differentiaalrekening daarvoor aangeeft.
Berkeley verklaart dit geheele betoog voor een groot sophisma. De redeneering, zegt hij, is gebaseerd op de onderstelling, dat x aangroeit met een bedrag o; o is dus essentieel verschillend van nul; het is dus ongeoorloofd, nu achteraf o gelijk aan nul te stellen.
En daaruit volgt nu een geharnast betoog tegen de geheele behandeling van de infinitesimaalrekening door Newton en Leibniz, één felle en niet eindigende aanklacht tegen al die oneindig kleine grootheden, kleinste tijdsdeelen, ontstaande aangroeiïngen, beginnende snelheden en beginnende snelheden van beginnende snelheden, waarvan hun beschouwingen vervuld zijn. Wie dat alles kan slikken kan, meent Berkeley, ‘needs not be squeamish about any point in divinity’. Wie een derde fluxie aandurft, behoeft voor de Drieëenheid niet terug te deinzen. En als er nu toch eenmaal mysteriën moeten worden aanvaard, dan nog maar liever in Divine Faith dan in Human Science.
Het is natuurlijk voor den hedendaagschen wiskundige duidelijk, dat de bisschop, strikt genomen, met zijn critiek volkomen gelijk had. Het is inderdaad ongeoorloofd, o gelijk aan nul te stellen; men mag o alleen tot nul laten naderen. Voor de ontwikkeling der wiskunde kunnen we dankbaar zijn dat de productieve mathematici der 18e eeuw minder scrupuleus zijn geweest dan hun geestelijke criticus.
Met de bovenstaande beschouwingen is het onderwerp, waarover dit opstel handelt, natuurlijk niet in het minst uitgeput. Wellicht heeft het echter eenigen indruk kunnen geven van de groote beteekenis, die het wiskundig denken in de 17e en 18e eeuw voor de ontwikkeling der natuurwetenschappen heeft gehad en van den sterken invloed, dien het op de geheele cultuur van dien tijd heeft uitgeoefend.
Oisterwijk.
E.J. Dijksterhuis
|
|
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd