|
| |
| |
| |
De intrede der wiskunde in de natuurwetenschap
I
In het hier volgende opstel, waarin een der voordrachten, die in den cursus 1932-'33 aan de Leidsche Universiteit onder den algemeenen titel Wereldbeeld en Wetenschap omstreeks 1700 zijn gehouden, met enkele vormwijzigingen wordt weergegeven, wordt getracht, de vraag te beantwoorden, waar en hoe de wiskunde toepassing heeft kunnen vinden in de natuurwetenschap der 17e eeuw en welke invloed daarvan op het wetenschappelijk denken in het algemeen is uitgegaan. Daarbij zullen, met het oog op de impopulariteit der wiskunde buiten de kringen der mathematisch geschoolden, op één uitzondering na, alle mathematechnische uiteenzettingen worden vermeden, terwijl de bezwaren, die uit den grooten omvang van het onderwerp voortvloeien, ondervangen zullen worden door beperking tot de groote lijnen en de principieele gezichtspunten.
Om die groote lijnen reeds dadelijk vast te leggen, knoopen we aan bij een bekende passage uit een geschrift van Descartes over de methodiek van het wetenschappelijk denken, de Regulae ad directionem ingenii, waarin hij de kenmerken opsomt, waaraan een gebied van ons weten moet voldoen, om vatbaar te zijn voor mathematische behandeling. Die vatbaarheid bestaat, wanneer het bestudeerde gebied kan worden onderworpen aan ordo of mensura, d.w.z. wanneer men de oordeelen, die men er over uitspreekt, kan rangschikken in deductieve ketens of wanneer men tusschen de optredende grootheden quantitatieve relaties kan vestigen, die een algebraische behandelingswijze toelaten. Dit is een omschrijving, die met eenige wijziging en uitbreiding tot in onzen tijd dienst kan doen: alles, wat zich leent tot een van de twee behandelingswijzen, die we door de kenwoorden axiomatiseering en algorithmiseering kunnen aanduiden, wordt eo ipso
| |
| |
getrokken binnen de spheer der mathesis. Wiskunde toch beduidt veeleer een stijl van ons denken dan een gebied van ons weten en ze kan dan ook, onafhankelijk van den aard der behandelde stof, overal daar toepassing vinden, waar men axiomata kan opstellen, die uitgangspunt van deductieve redeneeringen kunnen zijn en waar men eigenschappen of relaties van qualitatieven of quantitatieven aard kan voorstellen door symbolen, die aan een systeem van verbindingsregels, dat in gegeneraliseerden zin van het woord een algorithmus moge heeten, kunnen worden onderworpen.
Past men deze algemeene beschouwingswijze toe op de natuurwetenschap der 17e eeuw, dan vinden we in hoofdzaak twee gebieden, waarop de wiskunde in den omschreven zin onmiddellijk toepasbaar kon zijn en waarop ze dan ook inderdaad toegepast is. Het zijn de mechanica van vaste en vloeibare lichamen en de optica, twee vakken, die te samen op den eersten blik wellicht slechts een klein gedeelte van het geheele, hemel en aarde, levende en doode materie omvattende gebied der natuurwetenschap zullen schijnen te vormen, maar die, zooals het verdere verloop der geschiedenis zou leeren, beide juist wegens hun vroegtijdige mathematische ontwikkeling voor dat geheel van fundamenteele beteekenis zijn geweest. Ik zal, om het doel van dit artikel, dat niet bestaat in het nastreven van encyclopaedische volledigheid, te bereiken, kunnen volstaan met de behandeling van een dezer twee gebieden; ik beperk me dus tot een schets van den groei der mathematische mechanica, van de wiskundige behandelingswijze dus van de verschijnselen van beweging en evenwicht.
Die wiskundige behandelingswijze dateert niet voor alle deelen der mechanica eerst uit de 17e eeuw; er zijn integendeel twee van haar onderwerpen aan te wijzen, waarop reeds lang voor dien tijd wiskundige methoden zijn toegepast of die zelfs als onderdeel der wiskunde zijn beschouwd. Het zij de kinematica van de eenparige beweging en de leer van het evenwicht. De eerste was, zonder dat er nog van een meer algemeene behandeling van het bewegingsbegrip sprake was geweest, in de Grieksche wiskunde gebruikt voor het voortbrengen van kromme lijnen en in de Grieksche astronomie voor het beschrijven van de bewegingen der planeten. De tweede was reeds tot op zekere hoogte geaxio- | |
| |
matiseerd in de statische geschriften van Archimedes, waarin de leer van zwaartepunt en hefboom en die van de rustende vloeistoffen een mathematische basis had gekregen; op dit gebied was verdere vooruitgang bereikt in de 13e eeuw in de school van Jordanus Nemorarius en in de 15e en 16e door de Italiaansche mechanici.
In het begin van de 17e eeuw is men nu, op één aanstonds nader te behandelen uitzondering na, principieel nog niet tot een verdere uitbreiding van de mathematische behandelingswijze der mechanica gekomen; nog steeds zijn het alleen de eenparige beweging en het evenwicht, die met eenige exactheid in begripsbepaling, terminologie en bewijs kunnen worden behandeld, terwijl van alle meer gecompliceerde bewegingsverschijnselen, zooals val, worp en botsing nog slechts een zeer onvolkomen kennis bestaat. Men zal als tegenvoorbeeld wellicht op de vondst van Kepler willen wijzen, dat de planeten zich in ellipsen bewegen, welke beweging immers niet eenparig is, maar, nog afgezien van het feit, dat Kepler juist een van hen is, waarmee de nieuwe tijd zich aankondigt, moet er op gewezen worden, dat hij in het verschijnsel der planetenbeweging toch ook juist het element van eenparigheid in het licht stelt: de voerstraal van de planeet naar de zon beschrijft een oppervlak, dat evenredig is met den tijd; de perksnelheid is constant. Ook zal men wellicht Simon Stevin willen noemen en men wijst dan opnieuw iemand aan, die, hoewel zijn sterkste productiviteit nog in de 16e eeuw valt, niettemin reeds thuishoort in de mathematische natuurwetenschap der 17e; maar bij nadere beschouwing blijkt toch ook hij, op één voor de ontwikkeling der dynamica fundamenteel axioma, dat van de onmogelijkheid van het perpetuum mobile, na, geheel te blijven binnen de banen, die Archimedes voor de ontwikkeling der statica had aangegeven.
Zoo is de toestand dus nog, wanneer in 1608 Stevin's Wisconstighe Ghedachtenissen en in 1609 Kepler's Astronomia Nova het licht zien. Verplaatsen we ons nu echter, om van te voren een overzicht te krijgen van het vele, dat de 17e eeuwsche mechanica zou brengen, naar een tijdstip, dat ongeveer 80 jaren later ligt en dat een keerpunt beduidt in de geschiedenis van het denken: in 1687 verschijnen Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, waarin de stormachtige ontwikkeling van een
| |
| |
wetenschap, die in het begin der eeuw nog niet bestaan had, een voorloopige afsluiting vindt. Op alle punten blijt de stand der dingen nu diepgaand gewijzigd te zijn: de kinematica van val en worp is nu geheel bekend; de dynamica van het stoffelijk punt is ontwikkeld; die van het vaste lichaam in beginsel gefundeerd; de verschijnselen van botsing, cirkelbeweging en slingerbeweging zijn bestudeerd. De axiomatiseering is reeds zoover gevorderd, dat Newton met drie Axiomata of Bewegingswetten kan volstaan voor de deductie van het geheele systeem der rationeele mechanica. Met opheffing van de eeuwenoude, schijnbaar onverzoenlijke tegenstelling tusschen aardsche en hemelsche verschijnselen, die de leer van Aristoteles had gevestigd, zijn val en planetenbeweging onder één gezichtspunt samengevat en onderworpen aan de algemeene mechanische axiomata. Tegelijkertijd heeft de mechanica haar stempel gedrukt op het geheele onderzoek der anorganische natuur; mechanistische verklaring van alle natuurverschijnselen is aan het eind der 17e eeuw bij alle onderlinge meeningsverschillen tusschen philosophen of physici over het wezen der materie, over vacuum of plenum, over atomistiek of energetica, over werking op afstand, beinvloeding door een medium of bewegingsoverdracht door botsing, een algemeen aanvaard werkprogramma geworden; de gebieden, waarop dit programma een begin van uitvoering heeft gevonden, astronomie en optica, zijn reeds tot sterken bloei gekomen en de takken der natuurwetenschap, die bij de andere achter staan in ontwikkeling, warmteleer, magnetisme en electriciteit en vooral chemie, zijn juist diegene, waarop men noch met mechanica in het bijzonder, noch met wiskunde in het algemeen nog iets had kunnen beginnen.
Wel zelden heeft in de geschiedenis een tak van wetenschap zich in zoo korten tijd tot een zoo groote hoogte ontwikkeld en daarbij een zoo sterken invloed op het wetenschappelijk denken en op de wereldbeschouwing uitgeoefend. Het is een historisch probleem van de eerste orde, dit verschijnsel in zijn voorbereiding en ontplooiing nauwkeuriger te leeren kennen en te begrijpen. Wanneer dan daarbij blijkt, wat ik aannemelijk hoop te maken, dat die sterke groei der mechanica niet alleen gepaard is gegaan met haar mathematiseering, maar dat zij daarvan het onmiddellijk gevolg is geweest, dan zal meteen aan het denkbaar duidelijkste voorbeeld de historische beteekenis in het licht zijn gesteld, die
| |
| |
aan de intrede der wiskunde in de natuurwetenschap moet worden toegekend.
Beziet men, om tot de oplossing van het gestelde probleem te komen, de 17e eeuwsche mechanica in vergelijking met die van vroegere eeuwen vanuit de beide Cartesiaansche gezichtspunten van ordo en mensura, dan trekt vooreerst onmiddellijk, dat wil zeggen vanaf de eerste jaren der eeuw, de sterke ontwikkeling van haar algorithmiseering de aandacht. Men kan die ontwikkeling in algemeenen zin zoo omschrijven, dat de mechanica gebruik leert maken van nieuw ontdekte of teruggevonden mathematische methoden ter behandeling van de continu veranderlijke grootheid, die in het eind der eeuw tot de uitvinding der Infinitesimaalrekening zouden leiden. Om deze uitspraak te verduidelijken, moet ik even tijd nemen voor een korte historisch-mathematische uitweiding.
Noch de Grieksche wiskunde, noch de uit Indische en Arabische bronnen gevoede Algebra der Renaissance heeft het vermogen bezeten tot mathematische behandeling van de continue veranderlijkheid. De gedachte, om de wijze, waarop een continu veranderlijke grootheid op zeker oogenblik bezig is, haar waarde te wijzigen, quantitatief te fixeeren door een nieuwe grootheid, die men in het algemeen de intensiteitvan deverandering der eerst beschouwde zou kunnen noemen, lag geheel buiten beider gezichtskring; geen van beide b.v. zou hebben kunnen aangeven, wat men te verstaan heeft onder de snelheid van een niet-eenparige beweging op zeker oogenblik of onder de richting van een kromme lijn in zeker punt. Mathematisch beduidt dit, dat de beide genoemde phasen der wiskunde het grondbegrip der differentiaalrekening missen, wat tot uiting komt èn in de tallooze fouten, die er in de kinematica der valbeweging worden gemaakt ten gevolge van de verwarring van de snelheid op zeker oogenblik en de gemiddelde snelheid gedurende zeker tijdvak èn in de omslachtige, niet tot het wezen der zaak doordringende wijze, waarop raaklijnen aan kromme lijnen worden bepaald. Dit gemis heeft, althans voor de Grieksche wiskunde, die toch onder de verschillende stroomingen, die in de West-Europeesche wiskunde der 17e eeuw samenvloeien, de overheerschende blijft, een diepen grond; zij toch is in de periode van haar snelste ontwikkeling en van haar definitieve axiomatiseering onder den sterken invloed
| |
| |
gekomen van de philosophische opvattingen van Plato, waarvan de wezenlijke eigenschappen, voorzoover ze ons onderwerp betreffen, weer zijn af te leiden uit de theorieën van zijn en veranderen der Eleatische school, die door Zeno van Elea toepassing op de wiskunde hadden gevonden. Volgens die theorie komt alleen aan het onveranderlijke zijn realiteit toe terwijl worden en veranderen slechts een onwezenlijke schijn beduiden. Het is daarmee in overeenstemming, dat in het systeem van Plato de wiskunde zich bezig houdt met de onveranderlijke ideëele mathematische vormen, die hun plaats hebben tusschen de schijnwereld, die wij waarnemen en het rijk der ideeën; ontstaan en vergaan is bij die vormen uitgesloten en Plato verbant dan ook met volkomen consequentie uit de meetkunde het begrip der constructie in den zin van het voortbrengen eener figuur. Van deze zienswijze nu is de Grieksche wiskunde, zooal niet de volkomen verwerkelijking, dan toch de duidelijke afspiegeling. Euclides vermijdt toepassing van het bewegingsbegrip in de meetkunde, zoolang hij het eenigszins doen kan en in de eenparige bewegingen, die andere mathematici in hun wiskundige redeneeringen toelaten en die Plato zelf in zijn ideëele astronomie gebruikt, overheerscht toch altijd het constante element der eenparigheid het denkbeeld van verandering, dat aan de beweging eigen is.
Nu kon Plato zoo streng theoretisch te werk gaan, omdat voor hem de eenige realiteit in de ideeën ligt, terwijl de wereld, die de natuurlijke mensch de werkelijke noemt, niets anders is dan een spel van schaduwen. Voor Aristoteles echter vormt dat schaduwenspel zelf de werkelijkheid, die hij wil onderzoeken en het probleem der verandering, dat voor Plato niet bestond, wordt het centrale probleem van zijn philosophie, dat hij door de onderscheiding van het potentieele en het actueele zijn tracht op te lossen. Onder zijn invloed wordt in de peripatetische wijsbegeerte de studie der beweging, d.i. het algemeene begrip, dat alle soorten van verandering, zoowel qualitatief als quantitatief, omvat en waarvan de verandering van plaats, de motus localis, slechts een bijzonder geval is, het essentieele element der physica, wat tot uiting komt in de zegswijze der Scholastiek: Ignorato motu ignoratur natura.
Van al de philosophische beschouwingen over de verandering, die uit de Aristotelische opvatting zijn voortgevloeid, is nu voor ons doel voornamelijk de behandeling van de vraag van belang,
| |
| |
hoe men zich de intensiteitsverandering van een qualiteit moet denken. In de Scholastiek treedt dit probleem het eerst op in deze formuleering, hoe de caritas in een mensch kan toe- of afnemen en hoe ze dus op verschillende oogenblikken verschillende waarden kan hebben. Hierover vormen zich twee hoofdrichtingen van opvatting, elk met nog weer fijnere schakeeringen, waarvan de eerste steeds een principieel verschil blijft maken tusschen versterking en verzwakking van een qualiteit aan den eenen kant en toe- of afname van een quantiteit van den anderen, terwijl de tweede den nadruk legt op de analogie tusschen de beide verschijnselen en daardoor de voor de natuurwetenschap zoo belangrijke quantitatieve behandeling van qualiteiten voorbereidt. De tweede opvatting is vooral tot ontwikkeling gekomen in de Parijsche school der Terministen, die in de veertiende eeuw onder leiding van Buridan, Albert van Saksen en Oresme in oppositie tegen Aristoteles zulke belangrijke denkbeelden over mechanica en astronomie heeft ontwikkeld. Daarbij heeft Oresme, die in 1382 als bisschop van Lisieux stierf, voorzoover onze tegenwoordige kennis reikt, als eerste een hulpmiddel toegepast, dat voor het geheele wetenschappelijke denken van onafzienbare beteekenis zou blijken te zijn: om de verandering van een qualiteit duidelijk voor oogen te voeren, stelt hij iedere achtereenvolgens optredende intensiteit voor door een lijnstuk, de latitudo, waarvan de lengte de waarde der intensiteit aangeeft en dat wordt uitgezet loodrecht op de extensio, dat is de uitbreiding in ruimte of tijd van het subjectum, dat met de veranderlijke qualiteit is aangedaan. Beschouwen we b.v. het geval van een extensio in den tijd, dan wordt dus b.v. een veranderlijke caritas, om het in onze tegenwoordige taal te zeggen, beschouwd als functie van den tijd en graphisch voorgesteld op een
assenstelsel, waarin de tijd als abscis en de intensiteit der caritas als ordinaat fungeert. Oresme bestudeert nu allerlei verschillende mogelijkheden van verandering aan het voorbeeld van de snelheid eener veranderlijke beweging, een qualiteit, waarvan de intensiteit op een gegeven oogenblik volgens hem wordt bepaald door den weg, die in een op dat oogenblik aanvangend tijdvak van gegeven duur zou worden afgelegd, wanneer de beweging plotseling eenparig werd; is de snelheid uniformis, eenparig, dan is de graphiek een rechte, evenwijdig aan de extensio, die met de assen en de laatste latitudo
| |
| |
een rechthoek bepaalt, waarvan de oppervlakte, de mensura der qualiteit, blijkbaar den afgeleiden weg voorstelt; is ze uniformiter difformis, eenparig veranderlijk, dan vindt men een hellende snelheidsrechte, een trapezium als ordinatenoppervlak en een mensura, die het product is van den tijd en de latitudo van het middelste oogenblik. Is ze niet eenparig veranderlijk, difformiter difformis, dan wordt de snelheidslijn gebogen. Het blijkt nu, dat Oresme, althans voor het geval van den motus uniformiter difformis, volkomen helder heeft beseft, dat de mensura, de oppervlakte van de ordinatenfiguur, evengoed den afgelegden weg voorstelt als bij den motus uniformis en het lijkt niet gewaagd, te onderstellen, dat hij ook voor het algemeene geval van den motus difformiter difformis aan de mensura, die wij tegenwoordig den integraal van de snelheid naar den tijd noemen, deze beteekenis zal hebben gehecht. In geheel algemeene termen spreekt hij voor iedere eenparig veranderlijke qualiteit de eigenschap uit, die de regel van Oresme behoort te heeten en die voor den motus localis aldus luidt: de weg, in zekeren tijd afgelegd in een eenparig veranderlijke beweging, is gelijk aan den weg, die in denzelfden tijd zou worden afgelegd in een eenparige beweging, waarvan de snelheid voortdurend gelijk is aan die van de veranderlijke beweging op het middelste oogenblik van den beschouwden tijd. Of hij dezen regel ook op andere qualiteiten dan de snelheid heeft toegepast, of hij dus b.v. ook de caritas naar den tijd heeft geintegreerd, wat zoo iets als de goede werken zou hebben moeten opleveren, die in het beschouwde tijdvak zijn verricht, is helaas niet bekend.
Het behoeft den lezer niet te verontrusten, dat ik, hoewel eigenlijk bezig met de mathematiseering van de mechanica in de 17e eeuw, nog altijd vertoef bij de Parijsche scholastici der 14e. Want terwijl ik schrijf over het werk van Oresme, behandel ik tegelijkertijd al het fundamenteele denkmiddel, dat de 17e eeuwsche Mechanica in de handen van Stevin, Galilei, Beeckman, Descartes en Huygens tot ontwikkeling zal brengen, dat de meetkundigaanschouwelijke voorstelling mogelijk zal maken van de symbolische bewerkingen der Infinitesimaalrekening en dat in onzen tijd, na een periode van overheersching van symbolische en daardoor onvermijdelijk eenigszins machinale methoden, sterker dan ooit tevoren toepassing vindt, niet alleen in de wiskunde en de
| |
| |
natuurwetenschap, maar ook op tal van andere gebieden van ons weten, waaronder de meest uiteenloopende: de graphische voorstelling van een functioneele afhankelijkheid. Het zal hierdoor duidelijk zijn, welk een keerpunt in de geschiedenis Oresme's theorie de latitudinibus formarum beduidt; hier gelukt, wat de Grieksche wiskunde niet tot stand had kunnen brengen, maar waarvan alle verdere ontwikkeling van het wiskundig denken èn op zichzelf beschouwd èn in zijn toepassing op de natuur afhing: de mathematische fixeering van het begrip der continue veranderlijkheid. Het gelukte door den kunstgreep, een primaire veranderlijkheid als gegeven te beschouwen en alle andere in haar betrekking tot deze te omschrijven. Voor die primaire veranderlijke was natuurlijk de tijd, opgevat als in zich zelf gelijkmatig vloeiend, aangewezen; de vondst van Oresme bestond hierin, dat hij de extensio van het subject in den tijd aanschouwelijk maakte als extensio in de ruimte, waardoor hij op één oogenblik naast elkaar kon plaatsen, wat op één plaats na elkaar gebeurde. De historie der natuurwetenschap heeft langen tijd geen goed woord overgehad, noch voor Aristoteles, noch voor de scholastiek en inderdaad kan men niet ontkennen, dat hun wijze, om de natuur te beschouwen, in vele opzichten onvruchtbaar is gebleken. Nu we hier echter over den grooten opbloei der natuurwetenschap in de 17e eeuw spreken, mag er wel eens aan herinnerd worden, dat we aan Aristoteles het begrip eener natuurwetenschap, dat voor Plato eigenlijk niet bestond, te danken hebben en dat de Scholastiek het wiskundige hulpmiddel schiep, dat, ruim twee eeuwen later, de sterke ontwikkeling der mechanica mogelijk zou helpen maken.
Want inderdaad, het heeft ruim twee eeuwen geduurd, voor men geleerd heeft van de graphieken van Oresme een werkelijk vruchtbaar gebruik te maken. Stevin gebruikt ze in 1585 in de Hydrostatica, Galilei leidt er in de eerste jaren der 17e eeuw de wet mee af, die voor vrijen val uit rust het verband uitdrukt tusschen den afgelegden weg en den daaraan besteden tijd, Descartes en Beeckman vinden in 1619 te Breda gezamenlijk hetzelfde resultaat, waarbij Beeckman zeer waarschijnlijk het physisch beginsel der afleiding, nl. het behoud van een eenmaal voortgebrachte snelheid, heeft aangegeven en Descartes het mathematische hulpmiddel. Dat er tusschen deze toepassingen en de theoretische behandeling bij Oresme een continue samen- | |
| |
hang bestaat, is, gezien de sterke verspreiding van zijn denkbeelden in de scholastiek en de opleiding, die niet alleen Descartes, maar ook Galilei had genoten, nauwelijks meer voor twijfel vatbaar. Verwonderlijk kan het alleen lijken, dat een methode van zoo groote draagwijdte eerst ruim twee eeuwen na haar ontstaan plotseling allerwege een zoo vruchtbare toepassing vindt.
Dat is nu echter bij nadere beschouwing zoo verwonderlijk niet. Men moet namelijk ten eerste bedenken, dat voor het toepassen der graphische methode bij alle veranderingen, die niet uniformiter difformis zijn en voor het voortbouwen op de resultaten, die men er mee verkrijgt, ook in de eenvoudigere gevallen, een veel grootere mathematische ontwikkeling noodig was, dan er in West-Europa vóór de 16e eeuw bestond. De wiskunde is pas op hooger peil gekomen, toen men in de 16e eeuw de Grieksche mathematische schrijvers in vertalingen en weldra ook in het origineel had leeren bestudeeren en eerst in het begin der 17e eeuw is de geest der Grieksche wiskunde, die zoowel het vernuftige uitvindingsvermogen insluit als de gave der heldere uiteenzetting, voldoende vaardig geworden over de mathematici van West-Europa, om de meetkundige behandeling van het veranderlijke tot volle ontplooiing te brengen. En ten tweede is voor de ontwikkeling van de mathematische physica nog iets anders noodig dan de schepping van een mathematisch instrument en een mathematische taal: de physische begripsvorming brengt eerst het materiaal aan, dat met dat instrument wordt behandeld en in die taal wordt beschreven. Het komt niet zelden voor, dat de natuurkunde aan een wiskundig hulpmiddel eerst vele jaren na zijn ontstaan behoefte heeft: de niet-Euclidische meetkunden en de matrixtheorie zijn er twee sprekende voorbeelden van.
Over die begripsvorming in de mechanica aanstonds nader; eerst nog iets over het gebruik van de formeele wiskundige hulpmiddelen in den tijd, toen de mathematische ontwikkeling al wel de noodige hoogte had bereikt. De heterogeniteit van hun oorsprong maakt het begrijpelijk, dat de toegepaste denkwijzen, de Grieksche methode van onderzoek en uiteenzetting, de aan de scholastiek ontleende graphische voorstelling der veranderlijkheid, waarbij dan nog de door indo-arabische invloeden gewijzigde rekentechniek en de pas geschapen symbolische algebra kwamen, zich niet onmiddellijk tot een harmonisch geheel lieten
| |
| |
versmelten. In het bijzonder kan men in de 17e eeuw bij alle bewondering en vereering, die de groote mathematici voor hun Grieksche voorgangers aan den dag leggen, een duidelijk streven opmerken, zich van de langzamerhand als belemmering gevoelde eigenaardigheden der Euclidische methode los te maken, wat op enkele punten met een verloochening van de meest fundamenteele beginselen van die methode gepaard ging. Dit verschijnsel doet zich voornamelijk voor op een gebied, dat de wiskunde èn in haar eigen ontwikkeling èn in haar toepassing op de natuur telkens weer moet betreden en dat zij in het bijzonder bij de behandeling van de continue veranderlijkheid nooit vermijden kan, het gebied der oneindige processen.
Dat de studie van de continue veranderlijkheid inderdaad onvermijdelijk tot oneindige processen voert, kan men zich onmiddellijk aan enkele voorbeelden duidelijk maken. Men behoeft daartoe slechts een poging te doen, exact te omschrijven, wat men verstaat onder de snelheid van een veranderlijke beweging op zeker oogenblik of aan te geven, hoe men tot de berekening van de mensura eener graphiek komt. In het eerste geval is men geneigd, de snelheid op zeker oogenblik te definieeren als het quotient van den weg, die in een klein tijdvak, dat op het beschouwde oogenblik volgt, wordt afgelegd en den duur van dat tijdvak, maar als men, om een grootere nauwkeurigheid te verkrijgen, dien duur steeds kleiner gaat nemen, wordt men ad infinitum gevoerd, omdat men bij ieder tijdvak een ander kan aangeven, dat kleiner is. En in het tweede geval zou men de figuur wel graag willen beschouwen als som van smalle rechthoeken, wanneer het maar mogelijk was, een kromme lijn uit rechte lijnstukjes samen te stellen. Door rechthoekjes te beschrijven, bereikt met dus slechts een benadering; tracht men die benadering te verbeteren, door de rechthoeken smaller te nemen, dan overschrijdt mèt de onbeperkte afname van de breedte het aantal rechthoeken iedere willekeurig aangegeven waarde, terwijl toch in geen enkel stadium van de bewerking de opvulling met rechthoeken gelukt. Weer ziet men dus het duizelingwekkende oneindige voor zich. En toch kan men de breedte der rechthoeken hier evenmin nul laten zijn als men bij de snelheidsbepaling het beschouwde tijdvak zonder duur kon kiezen. Want door iuxtapositie van lijnstukken krijgt men geen oppervlak en in een tijdvak, dat geen duur heeft, wordt geen weg afgelegd.
| |
| |
Ook de Grieksche wiskunde heeft in den loop van haar ontwikkeling de twee denkmoeilijkheden die hier aan concrete voorbeelden zijn toegelicht, maar waarvan het algemeen karakter onmiddelijk duidelijk zal zijn, onder oogen moeten zien. Van de eerste, die de mathematische fixeering der momentane veranderlijkheid betreft, is zij zich bewust geworden in de bewegingsparadoxen van Zeno van Elea en de invloed van zijn kritiek, dien men op zoovele plaatsen in de Grieksche wiskunde kan vermoeden, is blijkbaar sterk genoeg geweest, om het heele probleem uit te sluiten van den opbouw der mathesis. De tweede, die bij de berekening van de oppervlakten van kromlijnig begrensde figuren optreedt, heeft zij opgelost op een zeer strenge wijze, die echter, zooals strengheid altijd doet, tot moeilijke en langdurige redeneeringen voert. Die oplossing was zoo radicaal als ze maar zijn kon: het woord oneindig werd uit het wiskundig vocabularium geschrapt en de eisch werd gesteld, om, wanneer na een eindig aantal benaderingen het resultaat intuitief kon worden voorvoeld, door een redeneering uit het ongerijmde, waarin geen termen mochten voorkomen, die op het oneindige betrekking hadden, de juistheid van dat resultaat aan te toonen.
Nu bestaat er echter altijd naast de officieele wiskunde van de publicaties, waarvoor exactheid in uitdrukking en bewijs het eenig ideaal is en die daarom ook vaak den weg, waarlangs de vondst is gedaan, opzettelijk en zonder eenige tegemoetkoming aan de behoeften van den lezer verdoezelt, een meer officieuse mathematische uitvindingskunst, die allerlei niet geheel te verantwoorden gedachtengangen niet schuwt, wanneer ze maar tot het beoogde doel voeren. Bij de Grieken was dat niet anders. Archimedes, die in zijn officieele werken de strengheid zelve is en die daarin het woord oneindig niet in den mond zou durven nemen, blijkt in de intimiteit van zijn werkkamer bij de bepaling van oppervlakten wel degelijk den stap te hebben gedaan, dien het natuurlijke, voor de gevaren van het oneindige nog niet gewaarschuwde denken ook altijd doen wil: hij heeft een oppervlak beschouwd als de som van al zijn lijnen en op grond van die logisch onhoudbare opvatting heeft hij dingen gevonden, die hij misschien nooit zou hebben ontdekt langs den weg, waarop hij ze daarna exact bewijst.
Wat nu echter bij Archimedes nog in het gehim van de werk- | |
| |
plaats geschiedde, wordt in het begin van de 17e eeuw de methode der officieele wiskunde. Kepler beschouwt een cirkel ronduit en zonder dat dit een afkorting is van een meer correcte spreekwijze, als een veelhoek met oneindig veel zijden. Cavalieri laat de mathematische atomistiek van de prae-Euclidische meetkunde herleven, door een oppervlak te beschouwen als de som van z.g. indivisibilia, van ondeelbare oppervlaksatomen. Wat dat eigenlijk zijn, lijnstukken of smalle rechthoeken, wordt men niet gewaar en men kan dat ook nooit gewaar worden, omdat het eene zoo ongerijmd zou zijn als het andere. De wiskunde heeft die indivisibilia weldra overgenomen onder den naam van infinitesimale of oneindige kleine grootheden. Dat was een zinledige zegswijze, die daarom bijzonder geschikt was, om de eigenlijke mathematische moeilijkheid weg te doezelen; ze is daarvoor dan ook tot in de 19e eeuw druk en tot groot voordeel van de ontwikkeling der mathematische techniek gebruikt. Eerst sedert een eeuw is de wiskunde teruggekeerd tot de strenge beginselen der Grieken, waarbij ze wel bleef spreken van oneindig kleine grootheden, maar nu bij wijze van afkorting van een langere, geheel correcte manier van uitdrukken.
Het spreekt natuurlijk wel vanzelf, dat de ontwikkeling van de wiskundige opvattingen inzake het oneindige niet zoo eenvoudig en vlot verloopen is, als ik het hier ter wille van de overzichtelijkheid vertel. De toepassing van de nieuwe en onstrenge methoden moest natuurlijk bij mathematici, die in de ideologie van de Grieksche wiskunde waren opgevoed, tot gewetensconflicten voeren en het zijn juist de grootste figuren der 17e eeuw, waarbij we zulke conflicten zien optreden. Galilei, Huygens en Newton volgen alle drie het voorbeeld van Archimedes, om in de publicaties alle sporen van het uitvindingswerk te overpleisteren met een correct-Euclidische façade. Huygens laat er zich in zijn particuliere aanteekeningen over uit, dat hij het eigenlijk overbodig vindt, maar als het Horologium Oscillatorium in 1673 verschijnt, blijkt het geheel in den streng-Euclidischen stijl geschreven te zijn. En Newton heeft in 1687 nog heele passages uit de Principia, die met behulp van de nieuwe analytische methoden waren gevonden, in de taal der Grieksche wiskunde overgebracht. Zoo sterk werkte de invloed van den Stoicheiotes, waaraan immers zelfs onze tijd zich nog niet heeft ontworsteld, nog na.
| |
| |
De veranderde houding ten aanzien van het oneindige, die in het bovenstaande kort werd geschetst, is, hoe belangrijk ook, natuurlijk niet de eenige factor geweest, die den sterken opbloei der 17e eeuwsche wiskunde heeft bevorderd. Twee andere vermeldde ik al terloops: de ontwikkeling der rekentechniek, die sterk in de hand was gewerkt door de invoering der decimale breuken door Simon Stevin en door de uitvinding der logarithmen door Napier; en de schepping der symbolische algebra door Viète, die vooral van belang werd, nadat Descartes met haar hulp aan de analytische methoden der Grieksche wiskunde een grooter terrein van toepassing had geopend. In de analytische meetkunde werd het probleem, in een willekeurig punt van een kromme, waarvan de vergelijking gegeven is, de raaklijn te trekken, het meetkundig-algebraische analogon van de snelheidsbepaling in de kinematica. Steeds meer vragen bepalingen van oppervlakten, inhouden en zwaartepunten, die in wezen alle verwant zijn met de bepaling van de mensura eener graphiek, de aandacht. En tegen het einde der eeuw vloeien al die verschillende stroomingen van onderzoek in wiskunde en mechanica samen in de vondst, die het karakter der wiskunde definitief zou bepalen en die haar toepassing op de natuurwetenschap eerst tot den hoogsten graad van vruchtbaarheid zou opvoeren, de uitvinding van de differentiaalen integraalrekening door Newton en Leibniz.
Wat die vondst in beginsel inhield, is na het voorafgaande in korte woorden te zeggen. Boven bleek reeds dat er, als men de snelheid van een veranderlijke beweging op zeker oogenblik wil bepalen door het quotient van weg en tijd te berekenen over een klein tijdvak, dat op het beschouwde oogenblik begint, een moeilijkheid optreedt, omdat men dat tijdvak onbeperkt kan en moet verkleinen, terwijl het toch nooit nul mag zijn, terwijl zich een analoog probleem voordoet bij de bepaling van de mensura van een graphiek. Wanneer nu echter blijkt, dat er in het eerste geval een vast gestal bestaat, waartoe men door voldoende verkleining van het beschouwde tijdvak de berekende gemiddelde snelheid zoo dicht kan laten naderen, als men zelf maar wil en dat men in het tweede geval in denzelfden zin van het woord een grenswaarde voor de som der beschouwde rechthoeken kan aangeven, dan kan men die grenswaarden resp. als de snelheid van de beweging op het beschouwde oogenblik en als de oppervlakte van de
| |
| |
kromlijnig begrensde figuur beschouwen. De bepaling van die grenswaarden langs den weg der berekening vormt nu het onderwerp der differentiaal- en integraalrekening; men vindt de snelheid door differentieeren van den weg naar den tijd, de mensura van een graphiek door integratie van de ordinaat.
Tusschen beide bewerkingen bestaat nu een eenvoudig verband; wanneer men in een graphiek de horizontale extensio, dus de abscis, met een klein bedrag laat aangroeien, verandert ook de mensura, of zooals we thans kunnen zeggen, de integraal. Die verandering is voor een gegeven aangroeiing van de abscis des te sterker, naarmate de eindordinaat y grooter is. Bepaalt men nu op dezelfde wijze, waarop men de momentane snelheid eener veranderlijke beweging vindt, de intensiteit dezer verandering, dan blijkt deze juist door de waarde van die eindordinaat y te worden aangegeven. Zooals dus eenerzijds de mensura uit y door integreeren ontstaat, vindt men anderzijds y door differentieeren uit de mensura terug. Integreeren en differentieeren, hoe verschillend ook van oorsprong, blijken elkaars omgekeerde bewerkingen te zijn zooals optellen en aftrekken.
De manier waarop ik heb getracht, de begrippen differentieeren en integreeren, vondsten van onafzienbare historische beteekenis, voor niet-mathematici te verduidelijken, voldoet evenmin aan de eischen van mathematische exactheid als aan die van historische juistheid. Om aan de eerste te voldoen, zou ik het begrip grenswaarde nader hebben moeten omschrijven, wat de zaak wellicht niet duidelijker zou hebben gemaakt; om de tweede te bevredigen, zou ik weer over oneindig kleine grootheden hebbben moeten spreken, waardoor het hoogstens een schijn van begrijpelijkheid zou hebben kunnen krijgen. Nu achteraf kan ik het spraakgebruik van het oneindig kleine echter niet meer vermijden, omdat de grondleggers der Infinitesimaalrekening het met zooveel succes hebben toegepast. Voor Leibniz is een integraal inderdaad een som van oneindig veel oneindig kleine rechthoeken, waarin men het woord oneindig klein niet moet opvatten in de figuurlijke of potentieele beteekenis van naderend tot nul, waarin wij tegenwoordig zeggen, dat een grootheid oneindig klein wordt, maar in de actueele beteekenis van iets dat niet nul is en niet eindig. Zoo iets bestaat in het getallensysteem, waarvan de Analyse zich bedient, niet en we ontmoeten hier dus een typisch voorbeeld van
| |
| |
het element van irrationaliteit, dat aan sommige wiskundige theorieën in de eerste phasen van hun bestaan eigen is. Men kan zich inderdaad in onzen tijd, nu wij de hier te pas komende begrippen en methoden helder hebben leeren doorzien, nauwelijks meer voorstellen, hoe Leibniz, Newton en hun eerste aanhangers erin geslaagd zijn, zelf hun nieuwe methode te begrijpen en toe te passen. Alle transparante helderheid, die men onwillekeurig als wezenlijk kenmerk van de wiskunde beschouwt, omdat ze eigen is aan haar voltooide bouwsels, is in de beginjaren van de Infinitesimaalrekening ver te zoeken. Wat men waarneemt, is, zou men kunnen zeggen, meer Dionysisch dan Apollinisch van aard, meer uiting van een half onbewusten scheppingsdrang van enkele mathematische genieën dan heldere en doelbewuste redeneering. Slechts een sterk intuitief gevoel voor mathematische juistheid heeft de eerste beoefenaren der nieuwe methode kunnen bewaren voor bijna al de dwalingen, waartoe het oneindige het z.g. gezonde menschenverstand, met welks vooroordeelen het spot, zoo gemakkelijk verleidt. Het is geen wonder, dat alleen de grootste mathematici van dien tijd met zekerheid het werktuig hebben kunnen hanteeren, dat men tegenwoordig aan den eerste-jaarsstudent en weldra aan den schooljongen in handen geeft.
Ik moet nog een enkele opmerking maken over het verschil tusschen de methoden van Newton en Leibniz op het gebied der Infinitesimaalrekening. Bij Newton is alles gebaseerd op het aan de mechanica ontleende snelheidsbegrip; wanneer een grootheid x met den tijd verandert, wordt de veranderingssnelheid, aangeduid door ẋ, de fluxie van deze vloeiende grootheid, dezen fluens, genoemd. Hangt een andere grootheid y weer van x af, dus middellijk van dentijd, dan geeft het quotient ẋ/ẏ de verhouding van de gelijktijdige veranderingssnelheden van y en x aan; het is het aequivalent van wat wij tegenwoordig het differentiaalquotient van y naar x noemen. Bij Leibniz daarentegen staat het begrip differentiaal op den voorgrond. Wat dat bij hem beduidt, is weer moeilijk in klare woorden te zeggen. Het is, zooals het woord zegt, een verschil, maar dan een verschil van twee onmiddellijk op elkaar volgende waarden van een continu veranderlijke grootheid, wat echter niets beteekent, omdat het juist in het wezen der continuiteit ligt, dat er geen onmiddellijke opvolging van
| |
| |
waarden in voorkomt. Toch heeft de opvatting van Leibniz een zeer heilzamen invloed op de ontwikkeling van de wiskunde en de mathematische physica uitgeoefend. Leibniz, die een der eersten geweest is, die het groote belang van een goede verzorging van de mathematische symboliek helder heeft beseft, heeft namelijk in de keuze van zijn notaties op het gebied der infinitesimaalrekening een zoo gelukkigen greep gehad, dat de wiskunde zich geheel naar zijn voorstellen heeft gericht, terwijl de fluxienotatie alleen nog maar in de mechanica voortleeft. Van hem is de notatie dx voor de differentiaal of oneindig kleine aangroeiing van x, waarvan de waarde vooral bestaat in de analogie, die er tusschen sommige rekenregels voor het symbool d en de regels de r gewone algebra bestaan; van hem is het symbool ∫ ydx voor een integraal, waarin ∫ een somteeken beduidt en dx de basis van de opvolgende oneindig smalle rechthoekjes, die de opvolgende waarden van y tot hoogte hebben. De differentiaal van deze integraal is nu weer ydx en de integraal is dus een som van differentialen.
Hoe nu eigenlijk de techniek van deze differentiaal- en integraalrekening is, kan ik hier niet gaan uiteenzetten en het doet voor mijn doel ook eigenlijk niet ter zake. Hoofdzaak is, dat men nu in beginsel kan inzien, hoe de graphische methode, die zich uit de theorie van Oresme had ontwikkeld en die zich van de meetkundige terminologie en de meetkundige resultaten van de Grieksche wiskunde moest bedienen, nu kon worden omgezet in symbolische rekenwijzen.
Door deze vondst, die de mathematische behandeling der veranderlijkheid in analytischen vorm mogelijk maakte, gaf de wiskunde aan de natuurkunde, die immers de veranderingen bestudeert, die we in de stoffelijke wereld zien optreden, juist datgene, waaraan zij het sterkst behoefte had. Het was de mechanica, de leer van die meest aanschouwelijke veranderingen, die de bewegingen der materieele lichamen ons te zien geven, die daarvan het eerst en het meest profiteerde. Immers met behulp van de differentiaalrekening kon men nu uit het verloop van een grootheid in den tijd tot de kennis van haar momentane veranderingssnelheid komen, terwijl omgekeerd de integraalrekening uit de wijze, waarop de veranderingssnelheid van den tijd afhing, het verloop van de grootheid zelve leerde terugvinden. De Infinitesimaalrekening deed echter in den loop harer ontwikkeling meer
| |
| |
dan dit. In het bijzonder gaf zij de oplossing van bepaalde probleemgroepen, die, in woorden geformuleerd, voor een nietwiskundige aanvankelijk volkomen onoplosbaar moeten schijnen, omdat zij den indruk maken, een logischen cirkelgang te bevatten. Het zijn b.v. die problemen, waarin het verloop van de waarde van een grootheid wordt gevraagd, wanneer de factoren, die haar verandering bepalen, van haar eigen waarde afhangen. Men denke b.v. aan een stoffelijk punt, dat valt, maar dat daarbij een luchtweerstand ondervindt, die op ieder oogenblik evenredig is met de snelheid, die het vallende punt dan heeft. Hierbij is dan voortdurend de momentane snelheid beinvloed door den luchtweerstand op alle vorige tijdstippen, terwijl men voortdurend de snelheid moet kennen, om den luchtweerstand te bepalen. Mathematisch geformuleerd voeren zulke problemen tot de z.g. gewone differentiaalvergelijkingen, d.z. vergelijkingen, waarin naast een onbekende grootheid, die b.v. functie van den tijd is, ook haar fluxie of veranderingssnelheid of eventueel de fluxie van de fluxie optreedt. Gelukt het nu, zulk een vergelijking op te lossen, dan is daardoor de schijnbare logische cirkelgang toch binnen het bereik der mathematische methode gebracht. Het bleek nu al spoedig, dat het vooal de differentiaalvergelijkingen waren, waaraan de physica voor de beschrijving der natuurverschijnselen en voor de oplossing van haar problemen behoefte had; echter waren die differentiaalvergelijkingen in vele gevallen van een moeilijker type dan de gewone, omdat bij deze de onbekende grootheid slechts wordt beschouwd in haar afhankelijkheid van een enkele variabele, terwijl zij in den regel van meer dan één veranderlijke grootheid afhankelijk zal zijn. Dat voert tot de z.g. partieele differentiaalvergelijkingen. Het is echter moeilijk, hiervan veel meer te vertellen, zonder werkelijk wiskundige redeneeringen te houden. Om dezelfde reden kan ik niet meer dan den naam vermelden van
een anderen tak der Infinitesimaalrekening, die in de 18e eeuw naast de leer der differentiaalvergelijkingen en mede tot groot nut der mechanica werd ontwikkeld. Het is z.g. variatierekening, waarin men het b.v. het verloop van een werkelijk in de natuur optredende beweging leerde vergelijken met andere fictieve bewegingen, die onder weinig veranderde omstandigheden verliepen. Door al deze wiskundige vondsten en hun toepassingen hebben vooral de Zwitsersche wiskundigen, de familie Bernoulli
| |
| |
en Leonhard Euler, en de Franschen d'Alembert en Lagrange de mechanica in de 18e eeuw verder ontwikkeld tot op de aanzienlijke hoogte, waarop Lagrange zelf in zijn Mécanique Analytique van 1788 de ontwikkeling aan het eind der eeuw weer afsluit.
Gaan wij thans over tot het tweede gezichtspunt, dat men aan de beschouwing van Descartes ontleenen kan, dat der axiomatiseering, dan moet vooreerst worden bedacht, dat het woord axiomatiseering in een dubbele beteekenis kan worden opgevat; men kan een gebied axiomatiseeren in dien zin, dat men een reeds aanwezig systeem van oordeelen logisch ordent, door te onderzoeken, uit welke onbewezen grondstellingen al die oordeelen kunnen worden gededuceerd; maar ook zoo, dat men een of andere uitspraak om haar groote evidentie of op empirische gronden zonder bewijs aanvaardt en nu nagaat, welke conclusies men daaruit in verbinding met andere reeds bekende stellingen kan trekken. Van beide vormen, die men als axiomatica a posteriori en axiomatica a priori kan onderscheiden, levert de mechanica der 17e en 18e eeuw duidelijke voorbeelden. Ik noem in de eerste plaats de behandeling van het verschijnsel van den vrijen val. Galilei had hierbij a priori aangenomen, dat de snelheid van een vallend lichaam in onderling gelijke tijden met onderling gelijke bedragen toeneemt, en daaruit met behulp van de graphische methode al de kinematische eigenschappen der valbeweging afgeleid. Het probleem was nu verder, axiomata van dynamischen aard te vinden, die in staat zouden stellen, deze resultaten te deduceeren uit de steeds aan de heele beschouwing ten grondslag liggende overtuiging, dat de val veroorzaakt wordt door de zwaarte van het lichaam en dat die zwaarte tijdens den val constant blijft. Voor de peripatetische physica was het namelijk altijd een onoplosbaar raadsel gebleven, hoe het mogelijk is, dat een constante bewegingsoorzaak een versnelde beweging kan opleveren. De pogingen nu tot dynamische axiomatiseering van de kinematica der valbeweging hebben in een langdurige ontwikkeling, waarop ik hier niet kan ingaan, geleid tot de opstelling van de eerste twee Axiomata sive Leges Motus, die Newton aan het eerste boek van zijn
Principia laat voorafgaan, de traagheidswet en de wet van de evenredigheid van de kracht en de fluxie van den impuls of de
| |
| |
hoeveelheid beweging, welke laatste grootheid wordt bepaald als product van massa van het lichaam en zijn momentane snleheid. Van die twee axiomata had het eerste nog verschillende andere wortels dan het inzicht, dat men de versnelling van de valbeweging kon verklaren door de aanname, dat de zwaarte in gelijke tijdsdeelen gelijke snelheden voegt bij de reeds vroeger voortgebrachte, waarvan men onderstelt, dat ze behoudens uitwendige oorzaken van verandering blijven voortbestaan. Galilei had nl. reeds op tal van empirische gronden het voorkomen van de eigenschap der traagheid, die een van zijn voornaamste wapenen was in zijn weerlegging van de peripatetische bezwaren tegen de leer der bewegende aarde, betoogd en ook verder blijken bij de definitieve formuleering der traagheidswet de argumenten, die de empirie rechtstreeks aan de hand deed en die aan de axiomatische bruikbaarheid, dus indirect ook aan de aansluiting aan de empirie, waren ontleend, elkaar voortdurend te ondersteunen. Het krachtbegrip van Newton echter dankt zijn ontstaan wel geheel aan de pogingen, om voor de leer van den vrijen val de grondslagen te vinden, waaruit de reeds bekende kinematische stellingen deductief konden worden afgeleid; het is in zijn scherp contrast tot het gelijknamige begrip in de peripatetische natuurbeschouwing een van de duidelijkste voorbeelden van de begripvormende werking der axiomatische methode. Een tweede niet minder duidelijk voorbeeld vindt men in het gravitatie-axioma van Newton, dat tot opbouw van zijn wereldsysteem dient; ook hieraan ligt het streven ten grondslag, een algemeene basis te vinden, waaruit de verschijnselen van val en worp op aarde en van de planetenbeweging aan den hemel met behulp van de algemeene mechanische axiomata zouden kunnen worden gededuceerd. Het is waar, dat Newton zelf zijn denkwijze bij de invoering van de gravitatietheorie als inductie betitelt, maar inductie en axiomatica a posteriori zijn dan ook zeer nauw verwant; het
zijn twee aspecten van hetzelfde denkproces, namelijk het opsporen van den onbekenden grond van een gegeven verschijnsel; men noemt het inductie, wanneer men dien grond beschouwt als de physische causa, axiomatica, wanneer men haar ziet als de logische ratio, of, om met Newton te spreken, als de causa mathematica.
Van de axiomata a priori, die om hun evidentie uitgangspunt van redeneering worden en waaruit dan stellingen worden afge- | |
| |
leid, die men nog niet kende, zijn in de 17e eeuw niet minder treffende voorbeelden te vinden. Ik noemde al even het axioma van de onmogelijkheid van het perpetuum mobile, waaruit Stevin de wet van het hellend vlak en de wet van Archimedes afleidt; een tweede is het axioma van Huygens, dat voor het homogeen gedachte zwaarteveld der aarde aequivalent is met de wet van behoud van mechanisch arbeidsvermogen. Huygens kwam tot dit axioma door generaliseering van een statisch axioma van Aristotelisch-scholastischen oorsprong, dat in de 15e en 16e eeuw door de Italiaansche mechanici was toegepast en dat door Torricelli in 1644 uitdrukkelijk was geformuleerd. Het luidt bij Torricelli aldus, dat een stelsel van zware lichamen, die onderling verbonden zijn, niet uit zichzelf in beweging kan komen, wanneer niet hun gemeenschappelijk zwaartepunt daalt. Huygens heeft nu vooreerst van ditzelfde axioma nieuwe toepassingen gemaakt, door het als grondslag te gebruiken voor de theorie van het evenwicht van een zwaar koord en van zijn hydrostatische onderzoekingen. Bovendien heeft hij het echter dynamisch gegenaraliseerd door het toe te passen op een systeem van lichamen in beweging, waarbij hij op een gegeven oogenblik onder de zwaartepuntshoogte van het systeem, die niet zonder uitwendige oorzaken kan toenemen, de hoogte verstaat, waarop het zwaartepunt zich zou bevinden, indien alle lichamen de snelheden, die zij op dat oogenblik hebben, gebruikten voor een verticale stijgbeweging en wanneer zij dan in het hoogste bereikte punt werden vastgehouden. Met behulp van dit axioma werdt dan bij hem de botsingstheorie ontwikkeld. Als derde voorbeeld van een axioma van de nu behandelde soort noem ik nog het z.g. relativiteitsaxioma der klassieke mechanica, waarin wordt uitgesproken, dat alle mechanische verschijnselen in een stelsel van lichamen
onveranderd blijven, wanneer men aan het geheele systeem een eenparige rechtlijnige translatie geeft ten opzichte van het beschrijvingsraam, waarin men de mechanische wetten had afgeleid. Van dit axioma heeft weer vooral Huygens, ook weer in de botsingstheorie, een vernuftig gebruik gemaakt.
Ik zal mij tot de genoemde voorbeelden beperken en vermeld dus slechts even terloops de axiomatiseering der statica bij Stevin en Varignon en dat meesterstuk van logische ordening van een reeds in hoofdtrekken bekend systeem van stellingen, dat Blaise
| |
| |
Pascal voor de hydrostatica verricht in zijn Traité de l'Equilibre des Liqueurs.
Ik neem nu aan, dat door het bovenstaande aannemelijk zal zijn gemaakt, dat de toepassing der wiskunde een belangrijk hulpmiddel is geweest in de beoefening van de mechanica der 17e eeuw. Mag men hieruit - zoo zou men kunnen vragen - nu echter ook besluiten, dat de opbloei, die juist deze wetenschap in dien tijd vertoont, geheel of althans in hoofdzaak aan haar mathematiseering is toe te schrijven? Bestaat niet de mogelijkheid, dat een belangrijk deel van den bereikten vooruitgang op rekening van andere factoren moet worden gesteld en dat de intrede der mathesis geen andere dan secundaire en formeele beteekenis heeft gehad? Als men die vraag zoo stelt - en het is niet zelden gebeurd - dan denkt men natuurlijk in de eerste plaats aan de nieuwe kenbron, die het 17e eeuwsche denken over de natuur in de empirie en het experiment had verworven en men bedoelt er meestal reeds de bewering mee, dat in het intense gebruik van deze kenbron de ware oorzaak van den waargenomen bloei te zoeken is. Nu leert echter de studie van de werken der groote mechanici der 17e eeuw, dat empirie en experiment, hoe hoogst belangrijk ook in het algemeen hun invloed op de natuurwetenschap van dien tijd zijn geweest, in de ontwikkeling der mechanica toch ongetwijfeld niet die groote beteekenis hebben gehad, die het dogmatisch empirisme der 19e eeuw er wel graag op dit gebied aan heeft willen toedichten.
Er wordt natuurlijk wel geëxperimenteerd in de mechanica, maar het geschiedt vrijwel uitsluitend ter verificatie van mathematisch afgeleide wetten, dus niet met heuristische bedoelingen. Galilei controleert met valproeven op een hellend vlak de langs deductieven weg gevonden afhankelijkheid van afgelegden weg en verstreken tijd in val uit rust; met slingerproeven demonstreert hij achteraf de betrouwbaarheid van het als basis van de theorie van het hellend vlak gekozen axioma, dat de in val uit rust over zekeren verticalen afstand verworven snelheid onafhankelijk is van den hellingshoek. Dat de relatie van theorie en experiment bij deze onderwerpen in werkelijkheid een andere zou zijn geweest dan in de definitieve uiteenzetting, dat hij de valwet uit waarnemingen zou hebben afgeleid en het postulaat der gelijke eindsnelheden inductief uit slingerproeven zou hebben gevonden,
| |
| |
is vaak beweerd maar nooit aannemelijk gemaakt, laat staan bewezen. Er worden verder enkele toestellen ontworpen, om den vrijen val te kunnen bestudeeren, maar ook zonder de voltooiïng daarvan wint de overtuiging van de juistheid van Galilei's theorie onweerstaanbaar veld. De proeven over vrijen val, die Riccioli vanaf den toren te Bologna doet, zijn interessant voor de geschiedenis van de meettechniek, maar invloed op de historische ontwikkeling der mechanica hebben ze nauwelijks gehad en de al te schoone overeenstemming van hun resultaten met de te verifieeren valwet maakt ze verdacht. In de hydrostatica ontmoet men dezelfde situatie. Stevin bouwt zijn theorieën streng mathematisch op en eerst in een aanhangsel van zijn werk beschrijft hij een toestel ter demonstratie van den hydrostatischen paradox. Pascal vermeldt wel allerlei experimenten met lange glasbuizen, die hij te Rouen zegt te hebben gedaan, maar als Boyle in zijn Hydrostatical Paradoxes die proeven behandelt, moet hij meer dan eens opmerken, dat niet iedere proef, die een mathematicus kan verzinnen, ook door een physicus kan worden uitgevoerd, en men krijgt inderdaad den indruk, dat Pascal bij het schrijven van zijn Traité niet steeds nauwgezet onderscheid heeft gemaakt tusschen werkelijk uitgevoerde en slechts in gedachten verrichte experimenten. Het belangrijkst voor de ontwikkeling der mechanica zijn waarschijnlijk nog de proeven over slingerbeweging geweest, waaruit Galilei al te veel heeft willen afleiden (namelijk isochronisme voor alle amplitudines), die Huygens hebben geinspireerd tot zijn prachtige theorieën over den physischen slinger en tot zijn ontdekking van het tautochronisme van de cycloidale valbeweging en die bij Newton worden gebruikt, om de evenredigheid van trage en zware massa aan te toonen.
Door deze enkele opmerkingen is het vraagstuk van de relatie tusschen wiskunde en empirie in de ontwikkeling der mechanica niet uitgeput; ze zijn echter wel toereikend, om de nog veel voorkomende overschatting van de beteekenis, die in de ontwikkeling van de 17e eeuwsche mechanica aan de empirie als kenbron moet worden gehecht, in het licht te stellen en daardoor de oogen voor den machtigen invloed van de mathematiseering der mechanische theorieën te helpen openen. Of de opvattingen, die de groote grondleggers dezer theorieën over de onderlinge betrekkingen tusschen mathematische deductie en empirische
| |
| |
inductie hadden, volgens de zienswijzen van onzen tijd meer of minder juist zijn, doet daarbij niet ter zake. Het is een historisch feit dat zij over het algemeen een sterke neiging hebben, de mechanica geheel als onderdeel der wiskunde te beschouwen, hare axiomata op een lijn te stellen met die der wiskunde en zich over de aansluiting aan de ervaring, die wegens de verwaarloozing van alle storende invloeden als wrijving en luchtweerstand, toch altijd zeer onvolkomen is, evenmin zorgen te maken als de meetkundigen dat doen over de overeenstemming van hunne stellingen met de resultaten van metingen aan physische lichamen. In de 18e eeuw wordt die neiging door schrijvers als Euler en d'Alembert zelfs zoozeer op de spits gedreven, dat men gerust van een inlijving van de mechanica bij de wiskunde spreken kan.
Over het waarheidsgehalte van die opvatting kan men, kennistheoretisch redeneerend, van meening verschillen; over hare vruchtbaarheid in de historische ontwikkeling nauwelijks. Alle lectuur van de groote schrijvers over mechanica, die de 17e en de 18e eeuw hebben voortgebracht, wekt de overtuiging, dat zij hun wetenschap groot hebben kunnen maken, omdat zij het inzicht hebben bezeten in de dubbele functie, die de wiskunde in de natuurwetenschap heeft te vervullen, die van taal en die van instrument. Ze hebben begrepen, dat noch de gewone omgangstaal, noch de kunsttaal der philosophie fijn genoeg waren gebouwd, om de complicatie der natuurverschijnselen te beschrijven en het infinitesimale karakter van de fundamenteele natuurwetenschappelijke begrippen tot zijn recht te doen komen. Als hun aller zinspreuk zouden de befaamde woorden kunnen gelden, die Galilei in Il Saggiatore heeft gesproken: ‘De wetenschap staat geschreven in het groote boek, dat ons voortdurend open voor oogen ligt (ik bedoel het heelal), maar zij kan niet begrepen worden, indien men niet eerst de taal leert verstaan, en de letters leert kennen, waarin zij staat uitgedrukt. Zij is geschreven in mathematische taal en de letters zijn driehoeken, cirkels en andere geometrische figuren, zonder welke middelen het onmogelijk is, haar woorden op menschelijke wijze te verstaan en zonder welke men niets anders kan doen, dan doelloos ronddwalen in een duister labyrinth.’ Het is het oude motief van de Pythagoraeisch-Platonische philosophie, dat hier op nieuw weerklinkt: de dingen zijn getallen en God gaat steeds geometrisch te werk. Wat echter
| |
| |
in de Grieksche natuurwetenschap in hoofdzaak programma was gebleven, werd in de 17e eeuwsche mechanica werkelijkheid; zij heeft zoozeer partij weten te trekken van de nieuwe methoden, die de wiskunde had geschapen, dat zij een blijvend fundament kon worden voor de vruchtbare beoefening van de natuurwetenschap.
E.J. Dijksterhuis
(Slot volgt) |
|
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd