|
| |
| |
| |
De evolutiën der ruimte.
I.
De vraagstukken omtrent ruimte en tijd, die door het optreden der relativiteitstheorie de algemeene belangstelling hebben gewekt, houden nog steeds de gemoederen bezig.
Weliswaar is de zuiver wetenschappelijke activiteit op dit gebied eenigszins verslapt. Ieder deskundige is langzamerhand wel overtuigd, dat de relativiteitstheorie te consequent is opgebouwd, te stevig in elkaar zit, om door redeneeringen te worden overwonnen. Het aanwezige feitenmateriaal is met de theorie in overeenstemming, terwijl de meeste consequenties nog niet experimenteel kunnen worden getoetst. De proeven van Miller, die een oogenblik een ernstige bedreiging schenen te vormen, zijn van verschillende zijden overgedaan en niet bevestigd. Aan den anderen kant hebben de pogingen van Weyl, Schouten, e.a., om de theorie uit theoretisch oogpunt nog volmaakter te maken, dan zij al was, niet datgene opgeleverd, wat men hoopte, hoe belangrijk deze onderzoekingen voor de zuivere wiskunde ook mogen zijn. Ten slotte hebben nieuwe feiten, nieuwe vraagstukken aller aandacht tot zich getrokken, zoodat het gebied der relativiteitstheorie eenigszins verlaten is.
Buiten den kring der specialisten echter wordt de gedachtenwisseling voortgezet. En waar technische bijzonderheden hier vanzelf niet besproken worden, komen alle oude vraagstukken aangaande het wezen van ruimte en tijd, de beteekenis der wiskunde, enz. weer aan de orde. Een bewijs hiervan is, dat telkens weer boeken verschijnen, waarin deze dingen uit een algemeen-wijsgeerig gezichtspunt worden beschouwd.
| |
| |
Een der nieuwste is het laatste werk van Maeterlinck: ‘La vie de l'Espace’, en naar aanleiding van dit werk zou ik gaarne het een en ander in het midden brengen.
Zooals alle werken van Maeterlinck is ook dit zeer lezenswaard, minder om wat M. voor positiefs zegt, dan wel om de vragen, die hij stelt, de gedachten, die hij opwekt, de vergezichten, die hij opent. Dat de schrijver geen wiskundige is, blijkt duidelijk genoeg; op blz. 17 bijv. treffen wij de gewone verwarring aan tusschen ‘oneindig’ en ‘onbegrensd’. Maar men kan M. den lof niet onthouden, dat hij veel gelezen heeft, veel nagedacht, en op de vraagstukken vaak een merkwaardig juisten kijk heeft.
| |
II.
In het bijzonder zou ik de aandacht willen vestigen op de bladzijden 26-39, waar de vraag aan de orde wordt gesteld naar het wezen der wiskunde. Deze vraag is niet alleen voor wiskundigen van belang, maar voor ieder, die het menschelijk denken in al zijn geheimzinnigheid wil leeren kennen. Want zooveel is zeker, dat de wiskunde een der merkwaardigste uitingen is van het menschelijke geestesleven. Eenerzijds geldt de wiskunde, met haar logischen opbouw, haar strenge redeneeringen, van oudsher als model van gewisheid en zekerheid. Anderzijds blijkt bij nader toezien bijna alles onzeker en twijfelachtig. Waarmede houdt de wiskunde zich eigenlijk bezig? Waar vinden wij de punten, rechte lijnen, enz., waarmede de wiskunde zich bezighoudt? Zijn het abstracties uit de ervaring en is de wiskunde dus een ervaringswetenschap? Of gaan zij aan alle ervaring vooraf en maken zij haar eerst mogelijk? Zoo kan men doorgaan met vragen en de antwoorden, die de wijsgeeren geven, zijn verre van eensluidend.
Nog geheimzinniger wordt de zaak, indien men de nieuwere hoofdstukken der wiskunde gaat beschouwen. Daar vinden wij de verschillende oneindigheden met hare paradoxe eigenschappen. Daar vinden wij de Niet-Euclidische en meerdimensionale meetkunden, die elk voorstellingsvermogen tarten Wat moeten wij hiervan denken? Aanvankelijk hebben sommigen wellicht gehoopt, dat deze uitwassen door innerlijke
| |
| |
tegenstrijdigheden een natuurlijken dood zouden sterven. Maar wat de verschillende meetkunden betreft, kan deze hoop wel definitief als ijdel worden beschouwd, en alleen over sommige vormen van het oneindige woedt de strijd nog voort. Wat beteekent dit alles?
Maeterlinck citeert verschillende uitspraken, die op deze dingen betrekking hebben. Ouspensky betoogt, dat eindige, constante grootheden, zooals de lagere wiskunde die beschouwt, in de werkelijkheid niet voorkomen. In de werkelijkheid verandert alles voortdurend, is alles in een of ander opzicht oneindig. De hoogere wiskunde nu is als het ware een telescoop, die ons toestaat, op deze werkelijkheid een blik te werpen. Maar, vraagt Maeterlinck, als wij door deze telescoop zulke blikken kunnen slaan, moeten wij dan niet in onszelf de middelen hebben, te begrijpen, wat wij zien? En onthult deze telescoop ons dus niet veeleer de verborgen diepten van ons eigen wezen? In dit verband wordt op blz. 34 een uitspraak geciteerd van Eddington, die spreekt van een voetspoor, dat wij gevonden hebben op de stranden van het onbekende, en waarvan wij ten slotte zien, dat onze eigen voet het gezet heeft. En ten volle beseffen wij de duisternis, waarin wij ons bevinden, door de bekende paradox van Russell: ‘In de wiskunde weten wij nooit, waarover wij eigenlijk praten, noch, of hetgeen wij zeggen, waar is.’
Samenvattend, vergelijkt M. de wiskunde met een betooverd werktuig, dat wij vervaardigd hebben voor ons eigen gebruik, maar dat door een geheimzinnige macht is gegrepen, en dat ons nu medevoert en dingen doet verrichten, waarvan wij niet droomden. Buitengewoon treffend geeft dit beeld den toestand weer, en ik zou den lezer willen vragen, het vast te houden. Wat verder volgt, kan als een commentaar op deze uitspraak worden beschouwd.
| |
III.
Hun, die deze dingen nog eens anders geformuleerd willen zien, en vooral hun, die een definitief antwoord op de hier gestelde vragen mogelijk zouden achten, kan ik de lectuur aanraden van het eerste hoofdstuk van het werk van den
| |
| |
Amerikaan G.N. Lewis: ‘The Anatomy of Science’, dat eveneens kort geleden verschenen is. Lewis betoogt hier (blz. 12), dat de ontwikkeling van het menschelijk denken te vergelijken is met die van een levend organisme, of nog beter met die van een geheele flora: een groeiproces, dat volgens eigen, innerlijke wetten zijn gang gaat, dat wij wel met voorzichtigheid en wijsheid kunnen leiden, maar niet kunnen beheerschen, en niet ongestraft zouden dwingen volgens onze vooropgezette meeningen.
Dit stemt overeen met de innerlijke ervaring van vele denkers en kunstenaars. Prof. H. de Vries heeft indertijd in een artikel in het ‘Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde’ medegedeeld, dat het werk eerst dan vlot, als hij zich als het ware passief houdt; dat het hem dan is, of hij niet denkt, maar er in hem gedacht wordt; dat het hem zelfs niet vrijstaat, naar willekeur een onderwerp te kiezen, maar een innerlijke drang hem in een zekere richting drijft. En menigeen zal, met schrijver dezes, die dingen uit eigen ervaring kunnen bevestigen.
Is zoo het menschelijk denken, dan ziet men, hoe dwaas het is, het aan banden te leggen; te willen zeggen: ‘Dit is onzin.’ ‘Dat is niet geoorloofd.’ Het jonge, gezonde leven lacht ten slotte om voorschriften en conventies - ook het leven der wiskunde!
Dan behoeft men echter ook niet te hopen op een definitieve oplossing van de groote vragen, die het denken bezighouden. Immers, een antwoord, dat ons heden bevredigt, zal dit morgen niet meer doen. Morgen zal het weer nieuwe vragen doen oprijzen, die op haar beurt een antwoord verlangen, en dan is er weer een groei-proces aan den gang, dat volgens innerlijke wetten voortgaat, en geen einde behoeft te nemen. Lewis spreekt in dit verband van den boom der kennis, waarvan de takken steeds hooger groeien naar het onbekende, en waarvan de wortels tegelijk doordringen in steeds dieper lagen van ons denken en spreken, van het bewuste en het onbewuste.
Teleurstellend zal dit klinken voor hem, die hoopte, eenmaal alle raadselen te zien opgelost. Maar is er wel reden tot teleurstelling? Is het dan zulk een hard lot, te mogen leven en groeien?
| |
| |
Waarborgt ons liefde, lief,
't Eeuwige leven, lief, -
zingt de dichter P.C. Boutens. En deze woorden kunnen wij als leuze kiezen.
En ten slotte is deze opvatting bemoedigend voor elke individueele poging. Want, als een definitief antwoord toch onmogelijk is, behoeven wij ons niet ternedergedrukt te gevoelen, zoo zulk een antwoord ons niet gelukt. Dan mogen wij ons verheugen, indien het ons gelukt, iets tot verheldering bij te dragen, een enkele belemmering weg te nemen voor den groei der gedachte. In dit vertrouwen zijn deze regels geschreven.
| |
IV.
In de eerste plaats stellen wij de vraag, of de wiskunde zelf eenig antwoord geeft op de vraag naar haar wezen, en vooral naar de beteekenis der merkwaardige hoofdstukken, die in den nieuweren tijd aan haar zijn toegevoegd. Niet, dat deze vraag in de wiskundige leerboeken besproken wordt, maar, wanneer men de moderne leerboeken doorziet, waarin de tegenwoordige opbouw der wiskunde uiteen wordt gezet, is er toch duidelijk een bepaalde tendens waarneembaar, die telkens weer tot uiting komt. En deze tendens kan in het kort worden uitgedrukt door de formule: ‘Alles of niets.’
Om dit aan een voorbeeld duidelijk te maken, zou ik in de eerste plaats willen wijzen op de verschillende soorten van getallen, die men gaandeweg heeft ingevoerd: de negatieve, de irrationale, de imaginaire getallen. Ook hierover heeft een hevige strijd gewoed, die tot in de negentiende eeuw voortduurde. De namen ‘irrationale’ en ‘imaginaire’ getallen wijzen nog op het wantrouwen, dat men oorspronkelijk tegen deze getallen koesterde. Dit wantrouwen is eerst weggenomen, toen men erin slaagde, bepaalde interpretaties en toepassingen van deze getallen te vinden. Door deze interpretaties werd onweerlegbaar vastgesteld, dat het werken met deze getallen nooit tot tegenstrijdigheden aanleiding kon geven.
| |
| |
Wat ziet men nu, wanneer men een modern leerboek der rekenkunde raadpleegt? Nog steeds wordt de invoering der irrationeele en imaginaire getallen gerechtvaardigd met behulp van de interpretaties, die Cauchy, Dedekind, en anderen, van deze getallen hebben gegeven. Maar de lezer kan tot zijn verbazing opmerken, dat de gewone breuken op volkomen analoge wijze ingevoerd worden als de minder alledaagsche getallensoorten. Blijkbaar zijn de wiskundigen tot de overtuiging gekomen, dat uitdrukkingen als ½ × ½ evenmin vanzelf spreken en evenzeer toelichting behoeven als -1 × -1 of i × i.
Den lezer, die dit mocht willen nagaan, kan ik verwijzen naar de werken van Prof. Schuh: ‘Leerboek der Theoretische Rekenkunde’ en ‘Het Getalbegrip’.
Hetzelfde heeft op het gebied der meetkunde plaats gevonden. Aanvankelijk is de Niet-Euclidische meetkunde op zuiver meetkundige wijze opgesteld.
Hierbij bestond nog steeds de mogelijkheid, dat op een zeker oogenblik een tegenstrijdigheid voor den dag zou komen. Deze mogelijkheid werd eerst weggenomen, toen men erin slaagde, de eigenschappen dezer meetkunde weer te geven door middel van algebraïsche formules, die door eenvoudig rekenen uit elkander volgen en waarbij van tegenstrijdigheid geen sprake is.
Thans echter is de overtuiging der wiskundigen geworden, dat niet alleen deze bizarre meetkunden een dergelijke rechtvaardiging behoeven, maar dat hetzelfde voor de gewone meetkunde geldt; dat ook haar stellingen in algebraïsch gewaad moeten worden gekleed, wil men zeker zijn, dat geen tegenstrijdigheden tusschen hen bestaan.
Zoo streeft de wiskundige er naar, zijn wetenschap tot een harmonisch geheel te maken, waarvan alle onderdeelen van uit dezelfde gezichtspunten worden behandeld. En wanneer dan een criticus met bezwaren mocht komen tegen de meerdimensionale meetkunde, kan de wiskundige daarop antwoorden: ‘Uwe bezwaren, of zij gegrond zijn of niet, raken mij niet. Want zij gelden niet alleen voor de meerdimensionale meetkunde, maar evengoed voor de gewone driedimensionale, die ik immers op dezelfde wijze opbouw. Wilt
| |
| |
gij deze laatste dus behouden, zijt gij van haar waarde overtuigd, dan moet gij Uwe bezwaren laten vallen en zwijgen. En mocht gij ook de gewone meetkunde willen verwerpen - ja, dan zijt gij zulk een abnormaal wezen, dat ik mij niet met U behoef bezig te houden.’
Ik zou er op willen wijzen, dat een volkomen analoge situatie zich voordoet met betrekking tot de metaphysica. Telkens weer zijn er stemmen opgegaan, die ijdel en nutteloos verklaren het zoeken naar het ‘wezen der dingen’, naar een werkelijkheid ‘achter’ de zichtbare verschijning; stemmen, die ons vermanen, ons te beperken tot het positief gegevene. Dat klinkt erg mooi, maar - geen van ons denkt er aan, zich in het dagelijksch leven zulk een beperking op te leggen. En wel hierom, dat ieder van ons zijn medemenschen een bewustzijn, een gevoels- en gedachtenleven toeschrijft, analoog aan het zijne. Hier overschrijden wij kalmpjes de grenzen van het gegevene, en nemen zonder bedenken een werkelijkheid aan achter de verschijningen. Heeft men deze stap eenmaal gedaan, dan is er geen principiëel bezwaar meer tegen, verder te gaan; dan kan nog slechts sprake zijn van de grootere of geringere moeilijkheid der problemen, van de grootere of kleinere waarschijnlijkheid der gemaakte onderstellingen. Alleen de solipsist, die slechts zijn eigen bestaan aanneemt, en al het andere, inclusief zijn medemenschen, voor een product zijner verbeelding uitmaakt, kan principiëel weigeren, zich met metaphysische vraagstukken bezig te houden; maar hem kunnen wij aan zichzelf overlaten, want redetwisten met menschen, die alleen in zijn verbeelding bestaan, strijdt natuurlijk tegen zijn beginselen!
| |
V.
‘Ja’, zal nu iemand zeggen, ‘dat zou nu alles heel mooi zijn, als de verschillende hoofdstukken der wiskunde enkel in de wereld waren gekomen om de wiskundigen aangenaam bezig te houden. Dan zou ik gaarne gelooven, dat zij principiëel gelijkwaardig zijn, zooals gij zooeven betoogdet. Maar de wiskunde is toch ook een hulpmiddel, om de natuurlijke werkelijkheid te leeren kennen. En wat hebben de meerdimen- | |
| |
sionale en Niet-Euclidische meetkunden nu met de werkelijkheid te maken?’
Het hier geschetste standpunt wordt nog steeds door verschillende wijsgeeren ingenomen. Zij willen wel toegeven, dat de verschillende meetkunden uit zuiver wiskundig oogpunt gelijkwaardig zijn. Zij houden echter vol, dat de driedimensionale, Euclidische meetkunde een soort innerlijke voortreffelijkheid bezit, waardoor zij alleen voor de beschrijving der natuurverschijnselen in aanmerking kan komen. Dit standpunt wordt bijv. ingenomen door Natorp in zijn werk: ‘Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaften.’ Daarbij staat de een aan de Niet-Euclidische meetkunde nog genadig een zekere toepasbaarheid toe, de ander doet haar geheel in de ban.
Men kan dit standpunt op allerlei wijzen toelichten. Zoo kan men erop wijzen, dat drie het kleinste aantal afmetingen is, waarbij levende wezens kunnen bestaan, welker organisatie eenigszins op de onze lijkt. Een twee-dimensionaal wezen zou bijv. geen darmkanaal kunnen hebben, daar dit zijn lichaam in twee volkomen gescheiden deelen verdeelen zou. Het aantal dimensies der ruimte moet dus minstens drie zijn. Daar het, terwille van de zuinigheid, zoo klein mogelijk moet wezen, (iets dergelijks betoogt Natorp inderdaad) vindt men, dat de ruimte juist drie afmetingen moet hebben.
Ook kan men betoogen, dat het alleen in de meetkunde van Euclides mogelijk is, dat twee figuren, die verschillend van grootte zijn, gelijkvormig zijn. In de Niet-Euclidische meetkunde kunnen twee figuren alleen dan gelijkvormig zijn, als zij tevens gelijk zijn van grootte. Zoo zijn twee boldriehoeken, wier hoeken gelijk zijn, congruent. Dit geeft natuurlijk een bijzonderheid der Euclidische meetkunde.
Ik kan het niet helpen, maar dergelijke redeneeringen doen mij sterk denken aan die van den Arabischen aardrijkskundige Kazwini, die er een bewijs van de voortreffelijkheid der schepping in zag, dat de regen niet neerviel in de onbewoonde steppen, maar in de bewoonde streken der aarde. Want ook de Niet-Euclidische meetkunde heeft haar bijzondere voortreffelijkheden. Mocht bijv. voor figuren van zeer groote afmetingen gelden, dat de som der hoeken van een driehoek
| |
| |
grooter is dan twee rechte hoeken, en bij het tegenwoordig standpunt der relativiteits-theorie is dat niet onmogelijk, dan volgt daaruit, dat de gansche ruimte een eindig volumen bezit. Wij zouden dus verlost zijn van het eenigszins benauwende beeld van een heelal, dat een eindeloos aantal melkwegen bevatten zou.
Een bezwaar, dat veelvuldig tegen de meerdimensionale en Niet-Euclidische meetkunden wordt ingebracht, is, dat men zich de figuren en eigenschappen, waarover zij handelen, toch niet kan ‘voorstellen’. Nu is het zeer wel mogelijk, dat ons voorstellingsvermogen een zekere voorkeur heeft voor de driedimensionale, Euclidische meetkunde. Daarbij zou nog de vraag te overwegen zijn, of dit een aangeboren eigenschap van ons voorstellingsvermogen zou wezen, of alleen hieraan te wijten, dat wij in onze schooljaren, toen ons voorstellingsvermogen zich vormde, geen andere meetkunde hebben leeren kennen. Het wil mij echter voorkomen, dat, ondanks alles, wat over deze kwestie geschreven is, het aanwezige materiaal nog veel te onvoldoende is, om deze psychologische vragen te beantwoorden. Met zuivere introspectie komt men er blijkbaar niet, anders was de vraag al lang de wereld uit.
Eén ding is echter zeker: dat de vraag naar de voorstelbaarheid der Niet-Euclidische figuren een geheel andere is, als die naar hun toepasbaarheid op de wetenschappelijke ervaring. De wiskunde zelf heeft er steeds naar gestreefd, zich zooveel mogelijk van het voorstellingsvermogen onafhankelijk te maken. Dit blijkt bijv. hieruit, dat Euclides voor verschillende stellingen een bewijs noodig acht, die voor het gewone voorstellingsvermogen direct duidelijk zijn, bijv. de stellingen. ‘In een driehoek is één zijde kleiner dan de som der beide andere,’ en: ‘Het is steeds mogelijk, een cirkel te beschrijven, die een gegeven punt tot middelpunt heeft, en waarvan de straal gelijk is aan een gegeven rechte.’
De eisch, dat bij de beschrijving der natuurverschijnselen alleen voorstelbare figuren mogen worden gebruikt, had misschien zin voor de natuurkunde der negentiende eeuw. Deze toch stelde zich tot ideaal, eenvoudige mechanische modellen te leveren, waarmede de natuurverschijnselen zouden kunnen worden verklaard. Zoo wilde men de verschijnselen
| |
| |
van licht en electriciteit verklaren door de mechanische eigenschappen van den ‘aether’, door trillingen, spanningen en dergelijke. Deze pogingen hebben echter een zeer onbevredigend resultaat opgeleverd en zijn nu ook opgegeven. Thans is het ideaal, de natuurverschijnselen te beschrijven met behulp van wiskundige begrippen, genomen uit die deelen der wiskunde, die hiertoe het meest geschikt blijken, zonder dat men van te voren eenige voorkeur laat gelden.
Het standpunt der meeste hedendaagsche wis- en natuurkundigen ten opzichte van deze vragen is in den laatsten tijd herhaaldelijk uiteengezet; toch is het misschien niet ondienstig het nog eens te kenschetsen. Wij nemen dus een eenvoudige wiskundige stelling, bijv. ‘De som der hoeken van een driehoek, die door drie rechte lijnen gevormd wordt, is gelijk aan twee rechte hoeken.’ Wij beschouwen deze stelling nu niet als een schakel uit een abstract wiskundig systeem, maar als een uitspraak, die ons iets omtrent de werkelijkheid wil leeren. En dan stellen wij de vraag, of deze stelling juist of onjuist is.
Het antwoord hierop moet luiden: ‘Deze stelling is noch juist, noch onjuist; zij is zinloos.’ Zin krijgt zij pas, en daarmede de mogelijkheid, juist of onjuist te zijn, indien men erbij vertelt, op welke wijze men wil vaststellen, of een gegeven figuur een rechte lijn is. Men kan bijv. een der volgende definities kiezen:
1e. Een rechte lijn is de baan, die men beschrijven moet om met een gegeven snelheid in den kortst mogelijken tijd van een punt A naar een punt B te komen, waarbij dan weer verteld moet worden, hoe men die snelheid en dien tijd meten wil.
2e. Een rechte lijn is de baan van een lichtstraal in een ledige ruimte.
3e. Een rechte lijn is de gedaante van een dunne draad, die men zooveel mogelijk gespannen houdt.
Dat deze drie definities dezelfde figuur opleveren, is van te voren volstrekt niet zeker. Laten wij nu onderstellen, - en volgens de relativiteitstheorie is dit zoo, - dat bij geen dezer drie definities de genoemde stelling volkomen juist blijkt te zijn. Wij kunnen dan andere definities probeeren, en
| |
| |
zullen er zeker wel een vinden, waarbij de genoemde stelling juist is. Het kan echter zijn, dat deze definitie zoo ingewikkeld wordt, dat de aldus verkregen figuren voor de natuurkunde van slechts weinig belang zijn. Een andere weg is in dit geval, dat men voor de rechte lijn een eenvoudige definitie kiest, maar dan de genoemde stelling voor onjuist verklaart. Dan wordt dus niet de Euclidische meetkunde, maar een andere op de werkelijkheid toegepast. Welke handelwijze men zal toepassen, is een zaak van doelmatigheid.
| |
VI.
Dit is dan het antwoord, dat wij voorloopig kunnen geven op de vraag naar het verband tusschen wiskunde en werkelijkheid. De verschillende hoofdstukken der wiskunde zijn zelfstandige scheppingen van den geest, die door een innerlijke aandrang gedreven wordt. Het verband met de werkelijkheid bestaat alleen hierin, dat achteraf proefondervindelijk wordt uitgemaakt, of en op welke wijze men hen kan toepassen. Zooals Prof. Mannoury het uitdrukt: ‘De wiskunde staat tot de ervaring als netten knoopen staat tot visschen vangen.’
Deze situatie is vooral duidelijk in een tijd als de tegenwoordige, nu wij tegenover uitgebreide wetenschappen staan, met specialisten in ieder onderdeel. De zuivere wiskundige werkt de vraagstukken uit, die hem interesseeren, zonder veel naar practische toepassingen te vragen. En dan blijkt op een zeker oogenblik, dat hij werktuigen gesmeed heeft, die den physicus van dienst zijn, om de natuurverschijnselen te beheerschen.
Bij minder ontwikkelde stadiën der wetenschap, waarbij een persoon een grooter gebied bewerkt, is de gang van zaken wel niet zoo duidelijk, maar is het verloop toch principiëel hetzelfde. Ook dan worden onderstellingen opgeworpen, uitgewerkt en aan de feiten getoetst. En vraagt men, waar deze onderstellingen vandaan komen, dan moet het eerste antwoord luiden: ‘Zij verschijnen in oogenblikken van verlichting; de een heeft ze en de ander niet.’
En gaat het in het dagelijksch leven eigenlijk niet evenzoo? Inderdaad, het logische redeneeren, het trekken van strenge
| |
| |
conclusies, speelt in ons geestelijk leven een zeer ondergeschikte rol. Meestal dient het slechts, om achteraf te bevestigen, wat men intuïtief gezien heeft. Zelfs voor den wiskundige zijn de logische redeneeringen niet meer dan een onmisbaar werktuig, dat door de intuïtie bestuurd wordt.
Analoge verschijnselen treffen wij aan, wanneer wij het gebied der menschelijke werkzaamheid verlaten en de handelingen der dieren bestudeeren. Wanneer een dier voor een ongewone situatie geplaatst wordt, beproeft het van alles, tot het na langer of korter tijd de juiste handelwijze vindt. In de dieren-psychologie noemt men dit de methode van ‘trial and error’. Zoo handelt in beginsel ook de mensch. Alleen is hij, door zijn geestelijke vermogens, in staat, verreweg de meeste ‘trials’ in zijn geest uit te voeren, zoodat zijn lichamelijke handelingen een veel methodischer indruk maken.
Ja, wellicht heeft de gansche ontwikkeling der levende natuur volgens dezelfde beginselen plaats. Immers, een zeer gangbare opvatting is op het oogenblik, dat een plant- of diersoort nu en dan, uit een innerlijken aandrang, nieuwe vormen, zoogen. mutaties, voortbrengt. Deze worden dan aan de vuurproef der uiterlijke omstandigheden onderworpen, de ondoelmatige verdwijnen, de doelmatige blijven bestaan. Weer dus de methode van ‘trial and error’.
Dit beeld van de evolutie der levende natuur voert ons vanzelf tot een nieuwe vraag, die juist op het gebied der evolutieleer veelvuldig besproken en nog lang niet opgelost is. Grijpt de vorming van nieuwe mutaties zonder eenige regelmaat plaats? Treden m.a.w. doelmatige en ondoelmatige vormen beide op, al naar het toeval dit wil, zoodat ten slotte alleen de uitwendige factoren over het resultaat beslissen? Of heerscht, reeds bij de vorming der mutaties, een zekere grondgedachte; is er van den aanvang af een zekere richting, een zekere ‘Zielhaftigkeit’? Of zouden er factoren te vinden zijn, die de oorzaak zijn van het optreden van mutaties in het algemeen, en die in het bijzonder de oorzaak daarvan zijn, dat er bepààlde mutaties ontstaan? Al deze vragen kunnen wij ook stellen voor de geestelijke mutaties, die wij bijv. in de meerdimensionale ruimten voor ons hebben, en noch in
| |
| |
de levende natuur, noch op het geestelijk gebied zullen wij hen voorloopig kunnen beantwoorden.
Eén ding wordt steeds waarschijnlijker; dat vrijheid en wetmatigheid, spontaneïteit en gebondenheid altijd en overal tezamen voorkomen; dat ieder verschijnsel in de natuur en in den geest deze beide aspecten vertoont. Alleen ligt nu eens het accent op de vrijheid, dan weer op de wetmatigheid. Dit samengaan van vrijheid en wetmatigheid komt bijv. tot uitdrukking in het waarschijnlijkheidsbegrip, dat in de moderne natuurkunde zulk een groote rol speelt. Een voorbeeld moge dit even ophelderen.
Wij nemen een zekere hoeveelheid van een gas, sluiten deze op in een vat en brengen dit gas onder bepaalde omstandigheden van temperatuur en druk. Wij vragen ons nu af, wat er gaat gebeuren. De natuurkunde leert ons nu, dat dit, streng genomen, onberekenbaar is. Bij gegeven omstandigheden is er echter één toestand, die zooveel waarschijnlijker is dan alle andere, dat wij eigenlijk geen andere kunnen verwachten. Daardoor krijgen wij den indruk, dat het gedrag van het gas door strenge wetten bepaald is. Wie deze kwesties nader wil bestudeeren, verwijs ik naar de ‘Warmteleer’ van Prof. Kohnstamm, of naar het bovengenoemde boek van Lewis.
Het genoemde voorbeeld illustreert de mogelijkheid, dat een proces op het eerste gezicht door strenge wetten bepaald schijnt, terwijl bij nader toezien wel degelijk een zekere vrijheid aanwezig blijkt te zijn. Dergelijke mogelijkheden bestaan nu ook in het geestelijke.
Onder de processen, die zich in onzen geest afspelen, zijn er sommige, die geheel door vaste wetten van oorzaak en gevolg bepaald schijnen. Dit geldt in het bijzonder voor de zintuigelijke waarneming. De indrukken, die wij door de zintuigen ontvangen, onderscheiden zich juist daardoor van andere bewustzijnsinhouden, dat zij vaster en onveranderlijker zijn. Wij constateeren, dat zij van onzen wil onafhankelijk zijn; wij krijgen den indruk, dat zij ons opgedrongen worden. Dit is juist de reden, dat wij als oorzaak dezer zintuigelijke indrukken een stoffelijke buitenwereld aannemen, die onafhankelijk van ons bestaat.
Dat onze geest echter bij de zintuigelijke waarnemingen
| |
| |
volstrekt niet zoo passief is, als het wel lijkt, blijkt op verschillende wijzen. Ik wil slechts een enkel argument noemen. Een der meest fundamenteele handelingen, die tot een werkelijke kennis van onze omgeving leiden, is het vaststellen van gelijkheid of ongelijkheid tusschen zintuigelijke indrukken. De meeste alledaagsche ervaring leert ons reeds, hoezeer het oordeel over gelijkheid of ongelijkheid bij verschillende menschen uiteenloopt; men denke slechts aan de vraag naar de gelijkenis van een portret. Hieruit blijkt, dat gelijkheid en ongelijkheid geen eigenschappen zijn van de dingen zelf, maar relaties, die onze geest tusschen de dingen vaststelt. En toch, wanneer wij niet de indrukken, die wij gisteren en vandaag ontvingen, zouden vergelijken, zouden wij nooit tot bepaalde begrippen kunnen komen, als ‘deze tafel’, ‘die stoel’, enz. Duidelijk blijkt hier dus de actieve rol, die de geest bij de meest gewone ervaring speelt.
Door Kant en anderen is dan ook de leer opgesteld, dat onze meest fundamenteele begrippen, de z.g. ‘categoriën’, zooals ruimte, tijd, substantie, causaliteit, niet uit de ervaring zijn afgeleid, maar uit onze eigen geest hun oorsprong nemen. Met behulp van deze begrippen worden de zintuigelijke indrukken, reeds vóór zij bewust geworden zijn, zoodanig bewerkt en verwerkt, dat een geordend geheel ontstaat, dat den naam ‘ervaring’ verdient.
Vaak wordt echter uit deze categoriënleer afgeleid, dat deze fundamenteele begrippen nu ook in alle bijzonderheden onveranderlijk moeten zijn. In het bijzonder beweert men, dat de meetkunde van Euclides zulk een vast bestanddeel van onzen geest zou zijn, dat geen enkele andere meetkunde op de ervaring zou kunnen worden toegepast. Deze leer miskent echter het levende en groeiende van ons geestelijk wezen. Sedert meer dan een eeuw wordt dan ook door de wiskundigen deze opvatting bestreden.
Niemand zal natuurlijk ontkennen, dat de wereld van het dagelijksche leven, dat de wereld van ambacht en techniek, zeer bevredigend met behulp van de Euclidische meetkunde beheerscht kan worden. Het is dan ook geen wonder, dat de Euclidische meetkunde zich het eerst ontwikkeld heeft. Misschien zijn er wel in onze lichamelijke en geestelijke organisatie
| |
| |
eigenaardigheden, die ons aan de Euclidische meetkunde een zekere voorkeur doen schenken; men heeft in dit verband weleens gedacht aan de halfcirkelvormige kanalen in ons inwendig oor.
Hoe dit zij, het verzet der wiskundigen gaat tegen de opvatting, die nog steeds verkondigd wordt, dat de Euclidische meetkunde op alle gebieden van wetenschappelijke ervaring de alleenheerschappij moet hebben. Ook hier mag geen enkele mogelijkheid van groei en ontwikkeling van te voren worden afgesloten.
Ja, het is zelfs de vraag, of ons voorstellingsvermogen wel zoo uitsluitend Euclidisch is ingesteld, als men vaak aanneemt. Een feit is het, dat men bij de studie der meerdimensionale meetkunde zich wel degelijk zekere voorstellingen maakt. Deze kunnen zoo levendig worden, dat men bij oogenblikken werkelijk de illusie heeft, de meerdimensionale figuren te aanschouwen. Enkelen hebben reeds beweerd, dat hun dit gelukt zou zijn; bijv. Hinton.
| |
VII.
Samenvattend, kunnen wij het resultaat van onze overwegingen aldus weergeven:
Onze geest voelt zich geplaatst tegenover, omgeven door een werkelijkheid, die op hem inwerkt, die in hem tot menschelijk bewustzijn komt. Reageerend op deze invloeden, schept de geest zijn voorstellingen, zijn denkbeelden en begrippen. Deze vormen op hun beurt een werkelijkheid, die nieuwe reacties opwekt. En zoo, in voortdurende wisselwerking, groeit het denken steeds verder.
Gaan wij deze reacties nader na, dan stuiten wij telkens op het spontane, het onverwachte, het onberekenbare. Onze bewuste wil kan het proces slechts ten deele leiden; zij werkt vaak eerder belemmerend dan bevorderend. Boven alles is ontvankelijkheid noodig. En de volgende beschrijving van den dichter Boutens past ook op den wiskundige:
Een Godgeroepen kind zoo vroom,
Mag opgaan tot steeds nieuwen dagedroom.
|
|
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd