De Gids. Jaargang 89

[p. 73]

Het wiskunde-onderwijs.

Het Bestuur van het twintigste Nederlandsch Natuur- en Geneeskundig Congres, in April van dit jaar te Groningen gehouden, heeft, met juist begrip van een begeerte, die reeds lang bij vele enkelingen bestond, in een bijeenkomst van de onderafdeeling voor Wiskunde de stelling doen verdedigen, dat grondige wiskunde-beoefening een onmisbaar bestanddeel vormt van alle middelbaar en voorbereidend hooger onderwijs en daardoor de eerste gelegenheid geboden tot openlijk verzet tegen de anti-mathematische strooming, die de publieke opinie van onzen tijd dreigt te gaan beheerschen en die reeds bezig is, de leiding van ons onderwijs te doordringen.

Het pleidooi voor de waarde der mathesis als leervak, door schrijver dezes in die bijeenkomst gehouden, werd echter niet in de eerste plaats daar vereischt, waar het werd uitgesproken: in een milieu van menschen, die vrijwel allen in hun eigen studie den invloed der wiskunde als zegenrijk hadden leeren waardeeren en die in hun onderwijs dien invloed dagelijks trachten uit te oefenen. Het was veeleer bestemd voor hen, die tegenover de wiskunde als wetenschap vreemd staan, die aan het leervak wiskunde, zooals zij zich dat uit hun schooltijd herinneren, misschien ten deele wel met genoegen, maar, naar te vreezen staat, in overwegende mate met minder aangename gevoelens zullen terugdenken, maar die in ieder geval voldoende onbevooroordeeld zijn, om ontvankelijk te zijn voor een poging, hen de ideëele waarde te doen beseffen van wat hun in het gunstigste geval misschien niet meer lijkt dan een aardig spel en wat zij vaker

[p. 74]

slechts als een nuttelooze kwelling kunnen beschouwen. De schrijver betuigt zijn dank aan de redactie van dit tijdschrift, dat zij hem plaatsruimte heeft willen verleenen, om zijn betoog eenigszins gewijzigd, tot de belangstellende kringen onder de niet-mathematici te doen doordringen.

Men zou het bestaansrecht van de Groningsche protestbijeenkomst en daardoor ook van dit opstel in twijfel kunnen trekken door de vraag te stellen, of eigenlijk de anti-mathematische strooming, die ongeruste wiskundigen meenen waar te nemen, wel voldoende realiteit bezit, om een bestrijding ervan te motiveeren. Wanneer ik deze vraag bevestigend beantwoord, ontveins ik mij niet, dat de daartoe aan te voeren argumenten eenigszins subjectief getint zijn, dat er weinig bewijsplaatsen zijn aan te halen, waaruit een opzettelijk streven tot verzwakking van den invloed der wiskunde kan blijken en dat de overtuiging van het bestaan van een aan het wiskunde-onderwijs vijandige stemming meer op persoonlijke (maar dan toch door velen gedeelde) indrukken, dan op feiten berust.

Niet dat die feiten geheel zouden ontbreken: sedert 1917 is bijvoorbeeld het wis- en natuurkundig gedeelte van het H.B.S. onderwijs reeds in belangrijke mate geschaad, eenerzijds door het aanbrengen van wijzigingen in het programma, die zich voor een gedetailleerde bespreking hier ter plaatse niet leenen, maar welker uitwerking aan alle ingewijden bekend is, anderzijds echter door het nalaten van tal van hervormingen, die een meer moderne opvatting van de wiskunde als leervak dringend eischt. En waar in deze beide gevallen uit de schadelijke gevolgen nog niet met zekerheid tot het anti-mathematisch karakter van de motieven mag worden geconcludeerd (het staat bijvoorbeeld vast, dat de ontwerpers van de wijziging in het programma van 1920 niet bedoelden, den invloed der wiskunde te verzwakken), ontbreekt de twijfel aangaande de motieven geheel bij de jongste reorganisatie van het H.B.S. onderwijs, de instelling van wat met een hybridischen naam de litterair-oeconomische H.B.S. genoemd wordt. Immers hierbij is het duidelijk uitgesproken, dat het de steeds verder gaande ontwikkeling van het H.B.S. onderwijs in wis- en natuurkundige richting was, die aanleiding

[p. 75]

gaf tot de vorming van een nieuw schooltype en nadat men aldus aan een zuivere fictie (immers het is niet waar, dat de H.B.S. zich meer en meer in wis- en natuurkundige richting ontwikkelt en het onderwijspeil is op dit gebied gemiddeld zelfs lager dan een tiental jaren geleden) een argument had ontleend tot het oprichten van een aparte school voor leerlingen, die de H.B.S. in haar tegenwoordigen vorm niet kunnen volgen, heeft men het er van den beginne af op aangelegd, het nieuwe schooltype, waarvan de wis- en natuurkundige vakken vrijwel geheel zijn geweerd, als geheel gelijkwaardig naast de oude H.B.S. te plaatsen en daarmede de overtuiging van de ontbeerlijkheid der mathematisch-physische ontwikkeling ten duidelijkste gedemonstreerd.

En toch zijn deze feiten nog niet het voornaamste. Belangrijker is, dat, wie het oor te luisteren legt, niet alleen voortdurend door eigen waarneming in onderwijskringen en daarbuiten, maar ook op grond van betrouwbare inlichtingen omtrent de stemming, die bij tal van onderwijsautoriteiten heerscht, kan ervaren, hoezeer overal de opvatting veld wint, ‘dat het nu maar eens uit moet zijn met al die wiskunde’, hoezeer het denkbeeld zich verspreidt, dat beoefening der wiskunde alleen waarde heeft voor hen, die dit vak bij latere studie noodig hebben en dat het noodelooze plagerij is, ook andere leerlingen daarmee lastig te vallen. Deze zienswijze, in vereeniging met het steeds sterker wordend streven, om de degelijkheid van het onderwijs op te offeren aan een tijdgeest, die geregelde en ernstige inspanning voor de schooljeugd onnoodig of zelfs schadelijk acht en met een neiging tot nivelleering op geestelijk gebied, die alle onderwijs bereikbaar gemaakt wil zien ook voor de geestelijk zwakkeren, is het, die het grootste gevaar voor de wiskunde in zich sluit. De toetssteen, die de onechtheid openbaart van het verschijnsel, dat men als bloei van het middelbaar onderwijs pleegt te verheerlijken, moet worden weggeworpen.

Wanneer men dan bovendien nog ziet, hoe sommige wiskundigen zich paradoxale uitlatingen over de onwaarde der wiskunde als leervak voor middelbare scholen meenen te mogen veroorloven, die door de tegenstanders der mathematische ontwikkeling gretig en zonder kritiek worden aanvaard en als argument aangehaald, dan kan er nauwelijks

[p. 76]

meer twijfel overblijven, of er wel aanleiding bestaat, de verdediging van het blijvend bestaansrecht van het wiskundeonderwijs ter hand te nemen.

Om tot die verdediging voor mijn bescheiden deel bij te dragen, wil ik allereerst de vraag aan de orde stellen, welke oorzaken bij ernstige menschen, die het met het belang van het onderwijs in het algemeen wèl meenen, een vijandige stemming tegen de wiskunde in het leven hebben kunnen roepen.

Het zou nu dwaze kortzichtigheid zijn, om niet te willen inzien, dat een deel van de schuld daaraan het wiskundeonderwijs zelve treft, doordat het, wellicht in het gevaarlijke besef van onaantastbaarheid, gezondigd heeft en ook thans nog zondigt door star en kritiekloos conservatisme, door het dulden van uitwassen, die met het wezen der wiskunde niets meer hebben uit te staan, door het leggen van een overdreven nadruk op technische vaardigheid, door het onvoldoend rekening houden met de belangen van hen, die den z.g. aanleg voor wiskunde missen. Er is dan ook inderdaad veel gegronds in de tallooze klachten, die men, vooral van menschen uit een oudere generatie, kan hooren over het wiskunde-onderwijs, dat zij op school hebben genoten en ongetwijfeld zijn de mathematici van onzen tijd doordrongen van het besef, dat er veel verbeterd en hervormd zal moeten worden, voordat de wiskunde als leervak voor alle leerlingen voldoende tot haar recht zal komen. Besnoeiïng van het wiskunde-onderwijs is echter niet de weg, om dit te bereiken.

De vraag, wat er gedaan zou kunnen worden, om het onderwijs in hoogere mate, dan tot dusver het geval was, dienstbaar te maken aan de ontwikkeling van een den geest verrijkend inzicht in doel en methode der wiskunde, leent zich, door haar deels zuiver mathematisch, deels didactisch karakter, tot gedetailleerde bespreking in dit tijdschrift niet. Zeker is het echter, dat, wanneer het den mathematici zal gelukken, in deze richting iets te bereiken (en de wil daartoe bestaat!), zij daardoor vanzelf ook zullen bijdragen tot het wegnemen van een andere oorzaak van impopulariteit van hun vak: de thans nog in den regel volkomen onbekendheid van den leek, ook al staat zijn wetenschappelijke ontwikkeling op ander

[p. 77]

gebied nog zoo hoog, met het wezen der mathesis. Want laat niemand zich over de gangbare waardeering der wiskunde illusies maken: nog steeds is in de oogen van velen een wiskundige een doorgaans droog en taai individu, dat er een onbegrijpelijk genoegen in schept, om al maar meer en al maar moeilijker vraagstukken op te lossen, terwijl de wiskunde niet meer is dan de verzameling van al de producten van dit dorre bedrijf. Pogingen, om dit misverstand op te heffen, helpen gewoonlijk niet veel: men wekt slechts ongeloovige verbazing op, wanneer men bijvoorbeeld wijst op de overweldigende phantasie, die zich in de mathesis openbaart en wanneer men tracht, iets te laten voelen van de bekoring, die er uitgaat van de vereeniging dier voor niets terugdeinzende verbeeldingskracht met de meest koele logische strengheid en met de pijnlijke zorg, om geen schakel in de redeneering te veronachtzamen. En men kan zelfs op wrevelige verwondering stuiten, wanneer men, na eenerzijds de mathesis als scientiarum genetrix te hebben getoond, anderzijds hare grootsche vondsten in één adem noemt met de uitingen van den scheppenden menschelijken drang naar schoonheid.

Terwijl de onbekendheid met het ware wezen der mathesis uit den aard der zaak aan het elementaire wiskunde-onderwijs de waardeering onthoudt, waarop het reeds als inleiding in een wonderlijke schepping van den menschelijken geest recht zou hebben, heeft oppervlakkige bekendheid met wat men voor haar ware wezen houdt, ernstiger gevolgen. Het is namelijk een wijd verbreid misverstand, dat de wiskunde haar voornaamste bestaansrecht zou ontleenen aan de diensten, die zij als hulpvak aan de natuurwetenschappen kan bewijzen. Velen schatten haar daarom, maar ook alleen daarom, hoog; anderen echter, die juist bij de elementaire beoefening der natuurwetenschappen geestelijke gevaren zien dreigen voor de opgroeiende jeugd, betrekken haar mee in het afkeurend oordeel, dat zij over den invloed der natuurwetenschappen vellen. Men beschouwe het niet als afdwaling van mijn onderwerp, wanneer ik op dit punt wat dieper inga.

Het is langen tijd gewoonte geweest, en als ik goed zie, is het gebruik nog geenszins uitgestorven, om de openbare hoogere burgerschool te beschouwen als een bolwerk van

[p. 78]

materialistische levens- en wereldbeschouwing en om in het bijzonder de wis- en natuurkundige wetenschappen verantwoordelijk te stellen voor de schade, die men daar aan de kinderziel meende te zien toebrengen. Wanneer we de vraag onder oogen willen zien, of er voor dit verwijt reden bestond en nog bestaat, zal het wenschelijk zijn, eerst goed te beseffen, dat er in den tegenwoordigen tijd menigmaal een volslagen verwarring heerscht tusschen wat men philosophisch en ethisch materialisme kan noemen. Ik versta hierbij onder philosophisch materialisme die natuurbeschouwing, die op het voetspoor van Demokritos, Lucretius, Gassend en anderen en onder invloed van de triomphen, die de atomistiek en de kinetische moleculairtheorie in het midden der negentiende eeuw vierden, het bestaan en de beweging van kleine stoffelijke deeltjes als laatste verklaringsprincipe aanvaardde en dus de materie en hare beweging als hoogste realiteit stelde; met ethisch materialisme echter bedoel ik, in overeenstemming met de beteekenis, die het woord materialist in de spreektaal van het dagelijksch leven menigmaal heeft, die levensopvatting, die geheel opgaat in het streven naar stoffelijke genietingen en die in stoffelijke welvaart het hoogste ideaal stelt. Het zal zonder meer duidelijk zijn, dat er tusschen deze twee geesteshoudingen geenerlei noodzakelijk en essentieel verband bestaat en dat het een volkomen begripsverwarring is, wanneer men een hartstochtelijken natuuronderzoeker, die zich, misschien met opoffering van eigen materieele belangen of tegen het karig loon, dat de maatschappij voor zulk werk over heeft, aan zijn wetenschap wijdt en daarbij de kennistheoretische dwaling begaat, zijn bewustzijn voor een product van zijn hersenen te houden, met hetzelfde woord ‘materialist’ aanduidt als den rijken levenswellusteling, wiens hoogste wijsheid in het edite, bibite, post mortem nulla voluptas besloten ligt, maar die zich voor de mogelijkheid, om de natuurverschijnselen moleculair-theoretisch te verklaren, niet in het minst interesseert. Dit neemt niet weg, dat menige bestrijder der materialistische philosophie in het vuur van zijn apologie die begripsverwarring heeft begaan en dat nog steeds in het bewustzijn van vele menschen de begrippen natuurwetenschap, materialisme en aanbidding van het Gouden Kalf bedenkelijk dicht bijeen liggen.

[p. 79]

Kan nu aan het wis- en natuurkundig onderwijs op de middelbare scholen een aankweeken van materialistische gezindheid, hetzij in philosophischen, hetzij in ethischen zin, ten laste worden gelegd? Men kan zich omstandigheden denken, waarin althans het natuurkunde onderwijs (ik laat de biologie, waarover ik niet kan oordeelen, opzettelijk ter zijde) zoowel voor het eene, als voor het andere gevaar zou kunnen opleveren en het is verre van mij, te willen beweren, dat die omstandigheden zich nooit hebben voorgedaan en nooit meer zullen voordoen. Te populair opgevat onderwijs, gegeven door wetenschappelijk onvoldoend ontwikkelde docenten, kan eenerzijds door misverstand van den zin, waarin de physica er aanspraak op maakt, de natuurverschijnselen te kunnen ‘verklaren’, in zooverre een overschatting van de waarde der physische hypothesen veroorzaken, dat het de illusie van een doordringen in het wezen der verschijnselen wekt, anderzijds, wel niet tot Mammon-dienst verleiden, maar wel door het aankweeken van overdreven ontzag voor de ‘wonderen der moderne techniek’ te veel den nadruk leggen op de practische rol, die de vondsten der natuurwetenschap in de tegenwoordige maatschappij tot het gemakkelijker (of gecompliceerder) maken van het leven en tot het scheppen (of vernietigen) van stoffelijke welvaart spelen.

Wat nu echter het eerste betreft: er is niet veel kans, dat onderwijs, in onzen tijd door mathematisch-physisch geschoolde docenten gegeven, spoedig tot een overschatting van wat de physica kan bereiken, zal voeren. Is er iemand, die beter begrijpt, hoe weinig wij van de natuur werkelijk begrijpen, dan de moderne natuurkundige? Blijkt niet weer de moderne physica de door Goethe¹⁾ zoo energiek afgewezen resignatie van het Ins Innere der Natur dringt kein erschaffener Geist; glückselig, wem sie nur die aüssere Schale weist, te belijden, wanneer wij Eddington²⁾, wijzend op de groote verheldering in physisch denken, die de algemeene relativiteitstheorie bracht, hooren verklaren: And yet in regard to the nature of

1) Goethe, Werke. Jubiläums-Ausgabe. Band 2, S. 259.

2) Eddington, Space, Time and Gravitation, Au outline of the general relativity theory. Cambridge, Univ. Press 1920, p. 200.
Verg. ook Weyl, Raum. Zeit. Materie. Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie. Berlin 1918, S. 227.

[p. 80]

things, this knowledge is only an empty shell - a form of symbols. It is knowledge of structural form, and not knowledge of content.

En dit inzicht in wat de physica wel en wat ze niet kan bereiken, dateert niet van de laatste jaren. Wanneer Du Bois Reymond¹⁾, na zich in de fictie van den Laplace'schen Geist de hoogste triomf der moleculairtheorie voor den geest te hebben gehaald, niettemin ten aanzien van de mogelijkheid van verder doordringen zijn Ignorabimus uitspreekt, dan trekt hij, hoewel nog niet wetend, in hoe sterke mate ook het inzicht van dat gephantaseerde intellect meer den vorm, dan den inhoud der natuurverschijnselen zou betreffen, niettemin aan de physica reeds grenzen, die zij nooit zal kunnen overschrijden. Is het aannemelijk, dat docenten, die zelf in het bewustzijn van die grenzen wetenschappelijk zijn opgevoed, in hun onderwijs de ondoordachtheden van het philosophisch materialisme zullen bevorderen?

Nu blijft het andere gevaar, de overschatting van de techniek. Dit gevaar is dreigender voor de moderne jeugd, die opgroeiend in nauw contact met de in dienst van den mensch gestelde natuurkrachten, spoedig geneigd is te vergeten, dat vertrouwdheid met een verschijnsel nog geen inzicht daarin beteekent. Maar hier ligt juist de taak van het physica-onderwijs dat, wetenschappelijk opgevat, de aandacht van den leerling voorloopig afleidt van de nuttige practische toepassingen, om hem het moeizame werk te doen ervaren, waardoor de menschheid tot de kennis van hare fundamenteele inzichten in de natuur is gekomen en hem te oefenen in het gebruik van de eenige taal, die fijn genoeg gebouwd is, om niet volkomen te kort te schieten tegenover de gecompliceerdheid der natuurverschijnselen: de mathesis. Want dit is toch de ware relatie, die de twee overigens zoo ver van elkaar staande wetenschappen Wis- en Natuurkunde verbindt: dat de physica slechts kan stamelen, waar ze zich niet van de mathematische taal kan bedienen. Daarom ook is het noodig, dat het physica-onderwijs van den aanvang af zooveel mogelijk wiskundig worde opgezet en dat niet, zooals tegenwoordig wel eens dreigt te geschieden, de aandacht voor de em-

1) Du Bois Reymond, Über die Grenzen der Naturerkennens Leipzig, 1916.

[p. 81]

pirisch-inductieve methode de zorg voor de mathematische behandeling der verkregen resultaten verdringe. Zoo leert het ook de leidster, naar wier wenken het onderwijs in de wis- en natuurkundige wetenschappen zich steeds met voordeel zal richten: de historie dier wetenschappen. Zij toont aan, dat in den grooten opbloei der physica in de 16e en 17e eeuw de empirisch-inductieve methode weliswaar een belangrijke rol heeft gespeeld, maar dat de groote drijvende kracht toch eigenlijk de zich ontwikkelende en spoedig consequent doorgevoerde mathematische behandeling van de fundamenteele natuurverschijnselen is geweest, die de mechanica tot haar gebied rekent. We kunnen uit deze laatste opmerking concludeeren, hoe onbegrijpelijk kortzichtig het was, om bij de wijziging van het programma der H.B.S. in 1920 juist de mechanica en de daarmee zoo nauw samenhangende astronomie te gaan besnoeien. Daarnaast echter kan als slotsom van de geheele beschouwing de stelling worden uitgesproken, dat in den tegenwoordigen tijd van goed physica-onderwijs nauwelijks meer eenige nadeelige invloed in materialistischen zin te vreezen valt en dat de wiskunde, die voor de zonden der physica nooit mede verantwoordelijk is geweest, juist medewerkt, om het wetenschappelijk en dus grensbewuste karakter van dat onderwijs te helpen waarborgen.

Ik kom nu tot een oorzaak van geheel anderen aard, die in het bijzonder het tot stand komen van een juiste waardeering der wiskunde als onderwijsvak tegenwerkt: de neiging, om in het onderwijs vóór alles bedacht te zijn op het practische nut, dat de onderwezen vakken voor de latere studie of het latere leven van den leerling hebben en slechts geringe waardeering te toonen voor die vakken, die, bewust afstand doende van onmiddellijke practische toepasbaarheid, zich slechts ten doel stellen den blik van hem, die ze beoefent, te verruimen, zijn geest te ontwikkelen, zijn verstand te scherpen. Het is duidelijk, dat deze opvatting voor het aanzien, dat de wiskunde als leervak voor hen, die haar niet bij verdere studie noodig hebben, geniet, fnuikend is; men kan nu eenmaal in het practische leven toe met de vier hoofdbewerkingen der rekenkunde en hieruit volgt vanzelf de klacht, waartoe het toch noodig is, zoovele jonge menschen te ‘kwellen’, zooals tegenwoordig de geijkte term luidt, met al die wis-

[p. 82]

kunde, ‘waar ze later niets meer aan hebben’, zooals een andere, niet minder gangbare, uitdrukking het zoo treffend zegt. Deze wijze van redeneeren, die men vroeger alleen verwacht zou hebben van ontevreden ouders met geringe ontwikkeling, vindt tegenwoordig steeds meer ingang en het is niet moeilijk, een ander gebied aan te wijzen, waarop ze wordt toegepast; inderdaad lijkt het wel, alsof uit haar niet alleen de oppositie voortkomt, die zich tegen de wiskunde begint te verheffen, maar alsof zij tevens een der oorzaken is van de actie, die reeds sinds zoo langen tijd tegen de studie van de oude talen gevoerd wordt. Hoe vaak heeft men niet in de laatste jaren bij de discussies over de opleiding van den jurist kunnen hooren betoogen, - en dat door menschen met een hooge wetenschappelijke positie -, dat een jurist in de practijk zooveel behoefte heeft aan kennis van het boekhouden en zoo weinig aan bedrevenheid in het Grieksch en dat men hem dus op school maar liever boekhouden moet leeren dan zoo'n nuttelooze, immers doode, oude taal; en hoe velen onder hen, die een aantal jaren geleden het tot stand komen van de wet-Limburg bepleitten, hebben niet met dezelfde, naar mijn smaak wat laag bij de grondsche redeneering, de waarde eener klassieke opleiding voor wis- en natuurkundigen ontkend en daardoor medegewerkt tot een wijziging, die destijds voor sommige vakken wellicht door practische overwegingen tot op zekere hoogte geboden was, maar die uit een ideëel oogpunt nog steeds moet worden betreurd.

Zoo kunnen de wiskunde en de oude talen, die elkander door hun eischen van langdurige, degelijke, betrouwbare en toegewijde studie steeds al als verwanten hebben kunnen beschouwen, zich thans gezamenlijk bedreigd voelen door een opvatting, die hoe langer hoe meer invloed op ons onderwijs begint te krijgen, door de te groote aandacht voor wat men de eischen van het practische leven noemt. De overschatting van die eischen leidt er toe, als ideaal een schoolsysteem te stellen, waarin men zoo vroeg mogelijk van een leerling te weten zal willen komen, wat hij worden wil, waarin men hem dan dadelijk zal gaan trainen in die denkwijze, die hij voor zijn lateren werkkring het meest noodig heeft en hem die kennis zal bijbrengen, die hij daarin het best kan benutten;

[p. 83]

ze verwezenlijkt dit ideaal door een steeds verder gaande differentiatie van het onderwijs; in zooverre is iedere nieuwe schoolsoort tegenwoordig al een gevaarlijk symptoom.

Het zal geen nader betoog behoeven, dat, zoo ik aan het geschetste ideaal ook maar de geringste waarde hechtte, ik me niet zou hebben opgeworpen als verdediger van de stelling, dat de wiskunde onmisbaar is als leervak voor alle leerlingen van alle bestaande of nog op te richten schooltypen. Laat ik daarom, ter duidelijke omschrijving van het standpunt, van waaruit ik die verdediging wil voeren, een ander ideaal formuleeren, welks invloed ik, bij alle onvermijdelijke aanpassing aan de practijk, gaarne het onderwijs zou willen zien doordringen.

Het middelbaar en voorbereidend hooger onderwijs behoort niet in de eerste plaats aandacht te schenken aan de toekomstige maatschappelijke of wetenschappelijke werkzaamheid van den leerling; het moet voor alles zorg dragen voor de ontwikkeling van zijn geest; het moet hem leeren denken en hem zoodoende voorbereiden op latere meer speciale studie en het moet zich tot vervulling van die taak bedienen van de klassieke middelen van intellectueele opvoeding, die het met groote intensiteit en in zuiveren vorm zal hebben toe te passen.

Het is thans mijn taak, nader te betoogen, dat in het zoo opgevatte onderwijs de wiskunde steeds een overheerschende rol zal moeten spelen. Laat ik daartoe vooreerst opmerken, dat het als zuivere, d.w.z. ter wille van zich zelve beoefende wetenschap is, dat de wiskunde haar plaats, ook in het onderwijs, opeischt; toepasbaarheid op andere wetenschappen, hoe waardevol ook zoowel voor deze, als, om de tot vruchtbaarheid prikkelende werking, indirect ook voor haar zelve, komt voor haar steeds slechts in de tweede plaats en de vraag naar onmiddellijke toepasbaarheid in het practische leven zal zij nog steeds met dezelfde verontwaardiging van zich werpen, als Euclides het, volgens het verhaal van Stobaeus, deed tegenover den leerling, die na kennismaking met de eerste stelling der Stoicheia weten wilde, wat voor voordeel hij er nu eigenlijk bij had, deze dingen te leeren.

En welke zijn nu de argumenten, die voor haar pleiten?

[p. 84]

Ik durf geenerlei aanspraak op volledigheid maken, wanneer ik ga trachten, ze uiteen te zetten. Ik wil slechts de aandacht vestigen op enkele overwegingen ten gunste van de beoefening der mathesis, die mij persoonlijk na aan het hart liggen en niemand zal het met meer vreugde dan ik begroeten, wanneer anderen in staat zullen blijken, mijn argumentatie verder uit te breiden.

Laat ons; om te beginnen, bedenken, hoe het wiskunde-onderwijs den leerling in kennis brengt met een vermogen van den menschelijken geest, waarvan we, bij het voortdurend gebruik, dat we er van maken, goed zullen doen, de wonderlijke eigenschappen steeds te blijven beseffen, met de scheppende kracht van het mathematische denken. Men kan dat besef niet levendiger voelen, dan wanneer men luistert naar een uiteenzetting van een goed mathematicus. De man komt voor u staan; hij heeft een bord en een stuk krijt; hij heeft niets gezien of ervaren, waarvan hij verslag komt doen; hij heeft geen apparaten noodig, om verschijnselen in het leven te roepen, die tot vragen aanleiding geven, maar hij bouwt een onstoffelijke wereld voor u op uit wat schijnbaar niets is. Hij behoeft niet eens te eischen, dat ge al wat weet; alles kan hij terugbrengen tot beweringen, waaraan het een kunst is, te twijfelen of tot afspraken, die ge gewillig met hem maakt. Zoo stapelt hij, kalm en helder, vanaf de fundamenten, steen voor steen op en alles, wat hij doet, ligt open voor uw critisch oog.

Kan men een intellectueele opvoeding volledig noemen, waarin deze wonderlijke gave van ons intellect, sinds Plato een bron van problemen voor iedere philosophie, niet zou worden ervaren?

Of is wellicht het geestelijk peil van hen, die die opvoeding moeten ontvangen, te laag, om deze ervaring te ondergaan en te waardeeren? Laten we dat niet vreezen. Het komt bij de beoefening der mathesis niet in de eerste plaats aan op het behandelde onderwerp; het gaat voor alles, om wat ik de mathematische geestesspheer zou willen noemen, om de harmonische stemming van helderheid, exactheid en betrouwbaarheid, en ik zou als mijn overtuiging willen uitspreken, dat die spheer in het onderwijs op H.B.S. of Gymnasium evengoed geschapen kan worden als bij de behandeling van

[p. 85]

welk hooger deel der wiskunde ook, dat dus ook de jeugdige leerling reeds eenigszins kan ervaren, wat wiskunde eigenlijk is, zooals een kind, dat piano speelt, in het eenvoudigste praeludium van Bach iets van de muzikale mathesis kan voelen die de volwassene in het Wohltemperierte Klavier geniet.

En hoe zal nu de wiskunde-docent er in slagen, die spheer te scheppen? Hij zal het kunnen doen, door in het onderwijs de idealen niet uit het oog te verliezen, die hij in zijn wetenschap nastreeft, de idealen van exacte formuleering, overzichtelijken opbouw en streng logische bewijsvoering. Men versta dit wel. De mathematicus, die zich tot taak gesteld ziet, de wiskunde op een H.B.S. of Gymnasium te onderwijzen, zal nooit mogen vergeten, dat hij staat tegenover jeugdige, in abstract denken nog niet geoefende en meerendeels voor wiskunde niet speciaal aangelegde leerlingen en hij zou een grove fout kunnen begaan, wanneer hij van hen reeds dadelijk die mate van mathematische exactheid wilde eischen, waartoe hij zelf door zijn studie in staat is. Grover echter zou zijn fout nog zijn, wanneer hij zich, zooals men tegenwoordig meer dan eens ziet gebeuren, door zijn eigen kennis der moderne wiskunde liet verleiden tot geringschatting van den in het schoolonderwijs bereikbaren graad van strengheid, om dan, wanhopend aan de mogelijkheid, dien graad te verhoogen, maar ineens alle strengheid over boord te gooien of alle onderwijs in wiskunde voor onmogelijk en overbodig te verklaren.

Men vergeet, dunkt mij, tegenwoordig, veel te veel, - het is ook bij de discussies over eventueele invoering van de infinitesimaalrekening in het Middelbaar Onderwijs, waar de tegenstanders zich onder meer beriepen op de vroeger onvermoede moeilijkheden, die in de beginselen der z.g. hoogere wiskunde schuilen, herhaaldelijk gebleken - dat de moderne mathesis niet in dezelfde volmaaktheid uit het menschelijk brein te voorschijn is gekomen, waarin Pallas Athena aan het hoofd van Zeus ontsproot, dat zij de vrucht is van een eeuwenlange ontwikkeling, dat de strengheid harer redeneeringen gaandeweg een steeds hoogeren graad heeft bereikt en dat zij nog bezig is, zich tot hooger peil op te werken. Op die vroegere stadia van ontwikkeling met geringschatting neer te zien, getuigt van een kortzichtigheid, die uit gemis aan

[p. 86]

historische ontwikkeling wel te verklaren, maar daarom nog niet te verontschuldigen is; en het strengheidspeil, dat tot voor 100 jaar de grootste mathematici bevredigde, ontoereikend te achten voor ons schoolonderwijs, sluit een miskenning in van het inzicht, dat het onderwijs zich altijd meer te richten heeft naar de wetenschap, zooals ze in een vorige periode was, dan zooals ze nu bezig is, zich te ontwikkelen.

En ten slotte komt het toch ook in het wiskunde-onderwijs hoofdzakelijk op het streven naar de op ieder oogenblik bereikbare logische strengheid aan. Hoofdzaak is, dat de leerling voelt, dat hij hier een gebied betreden heeft, waar het uit is met het om de dingen heen praten, het ongeveer weten, het slordig uitdrukken, dat hij zich in het dagelijksch leven en in zoovele gevallen ook op school heeft mogen veroorloven, dat hij van nu af aan over enkele eenvoudige en scherp omschreven dingen een exacte kennis zal moeten bezitten, dat hij rekenschap zal moeten geven van al de beweringen, die hij doet, van de beteekenis, die hij aan ieder woord hecht. De kennismaking met die nieuwe atmospheer is voor het jeugdig intellect een gebeurtenis van de hoogste waarde en het is de belangrijke, maar daardoor juist moeilijke en in schijn vaak ondankbare taak van den wiskunde-leeraar, die kennismaking zoo vruchtdragend te maken, als mogelijk is.

Die taak is veelomvattend. Ze bestaat niet alleen, zooals de buitenstaander zoo vaak meent, in het bijbrengen van een soliede kennis van zekere wiskundige eigenschappen en relaties; de bewezen eigenschappen en opgeloste problemen ontleenen hun waarde voor het onderwijs niet in de laatste plaats daaraan, dat zij aanleiding geven tot oefening in logisch denken, in het met voortdurend inzicht in het verloop der redeneering aaneenrijgen van syllogismen. Het vermogen hiertoe, slechts aan de kleine minderheid der menschen vrijwel aangeboren, is bij de groote meerderheid slechts door langdurige en moeizame oefening te ontwikkelen en ik zie vooralsnog niet in, welk vak op dit gebied de rol der mathesis, welker eenvoudige en scherp omlijnde objecten een doorzichtig en dwingend logisch redeneeren mogelijk maken, zou kunnen overnemen.

Het is echter duidelijk, dat de taak van den wiskundedocent hiermee geenszins is uitgeput; hij zal niet mogen vol-

[p. 87]

staan met het ontwikkelen van het wiskundig inzicht, met het aanbrengen van wiskundige kennis, met het oefenen van het vermogen tot logisch redeneeren, maar hij zal zorg moeten dragen, dat ook de vorm, waarin dat inzicht zich uit, waarin die kennis meegedeeld wordt, of waarin het betoog wordt gehouden, helder en duidelijk zij; hij zal moeten toezien op taal en stijl van zijn leerlingen; hij zal de onbeholpen en onnauwkeurige breedsprakigheid, die van geringe geestelijke ontwikkeling altijd een der meest opvallende symptomen is, moeten vervormen tot de lenige en exacte, heldere en zakelijke zeggingswijze der mathesis en hij zal, althans op zijn terrein, een einde moeten maken aan de illusie, dat men iets werkelijk zou kunnen doorzien, zonder in staat te zijn, zich er duidelijk over uit te spreken.

En daarmee niet genoeg. Er vereischen nog dingen zijn aandacht, die men volkomen zou miskennen, door ze als uiterlijkheden gering te schatten: de manier, waarop een algebraische uitdrukking wordt opgeschreven, waarop een figuur wordt geteekend en van letters wordt voorzien, het geheele uiterlijk van de oplossing van een vraagstuk. Zooals hij helderheid eischt in denken en spreken, zal hij ook duidelijkheid, accuraatheid en overzichtelijkheid moeten eischen in de schriftelijke weergave van het gedachte.

En zijn het nu eigenlijk alleen intellectueele waarden, die hij zoo kweekt? Schuilt er ook niet een groote moreele waarde in de geesteshouding, die hij zoo helpt ontwikkelen, in de geestelijke eerlijkheid, die hij leert na te streven, in de verzorging van den vorm, die hij leert waardeeren en zou hij niet, wanneer hij zoo jaren lang voor zijn leerlingen heeft gestaan, altijd kort en helder in zijn spreken, exact en duidelijk in zijn redeneeren, zorgvuldig en accuraat in zijn schrijven en teekenen, hen zoover hebben kunnen brengen, dat zij, welke richting ze later ook zullen volgen, den stijl der mathesis altijd als een geestelijk ideaal zullen blijven beschouwen?

Is het verblinding, dit alles zoo te zien? Ik zal ontvankelijk zijn voor het betoog van ieder, die mij daarvan zal willen overtuigen, maar ik blijf voorloopig liever aan verblinding gelooven bij hen, die de beoefening van de wiskunde ontbeerlijk achten en die de tegenwoordig steeds meer ingang vin-

[p. 88]

dende stelling verkondigen, dat er, wat invloed op de intellectueele vorming betreft, geen rangverschil tusschen de wetenschappen is en dat het uitsluitend van de persoonlijkheid van den docent afhangt, van welk onderwijs de sterkste werking uitgaat.

Natuurlijk wil ik niet ontkennen, dat de persoonlijke eigenschappen van den docent soms de waarde der wiskunde zullen kunnen verminderen, zooals ze die van andere vakken kunnen verhoogen, maar dat neemt niet weg, dat het wiskunde-onderwijs, nu in idealen vorm gegeven gedacht - en deze onderstelling moet men bij een algemeene beschouwing, zooals hier gehouden wordt, toch wel maken - altijd eigenschappen zal blijven bezitten, die op ander gebied niet na te volgen zijn en die voor de ontwikkeling van den geest onmisbaar mogen heeten. Ik noemde zoo juist al tal van zulke eigenschappen en wijs er thans nog op, dat de wijze, waarop het menschelijk intellect functioneert, nergens zoo duidelijk bloot gelegd wordt als in de abstracte redeneeringen der wiskunde; zij is daardoor, in vereeniging met het meest voor mathematische behandeling vatbare deel der elementaire physica, de mechanica, in staat, den leerling in de helderste gedaante verschillende fundamenteele denkvormen te laten beleven, hem het in de practijk van het leven zoo vaak verlaarloosde verschil te laten voelen tusschen een stelling en haar omgekeerde, en daartegenover hare logische identiteit met hare logische omkeering, hem te leeren onderscheiden tusschen het noodig en voldoende zijn van een voorwaarde, tusschen analyse en synthese, tusschen inductie en deductie. Ze vormt daardoor een elementaire toegepaste logica en men kan het niet anders dan verwonderlijk noemen, dat men ooit op de gedachte is gekomen, haar bij eenige intellectueele opvoeding te kunnen ontberen.

De nadruk, die in het voorafgaande menigmaal viel op de formeele waarde van de beoefening der wiskunde, kan misschien voedsel schijnen te geven aan het verwijt, dat de wiskunde den mensch weliswaar ontwikkelt in zijn verstandelijke vermogens, maar dat ze zijn geest niettemin leeg laat, dat ze hem van een verfijnd instrument voorziet, maar dat het ge-

[p. 89]

bruik van dat instrument hem niet het voedsel verschaft, waarnaar hij geestelijk hongert.

Dit verwijt is, voorzoover het de mathesis als wetenschap betreft, ongegrond. Hoe, de wiskunde, die eenerzijds onder de schijnbaar meest fundamenteele, aan de aanschouwing onmiddellijk ontleende begrippen met subtiele analyse den gecompliceerden logischen onderbouw blootlegt, om vervolgens in een oneindig geduldige en zorgzame synthese die begrippen opnieuw te fundeeren, die anderzijds in onuitputtelijke phantasie met verbreking van de enge boeien, die het voorstellingsvermogen tracht aan te leggen, met overschrijding van de grenzen, die men eertijds tot het wezen van het intellect heeft willen rekenen, den menschelijken geest langs paden voert, waar hij, bewust doordenkend, moet duizelen van eigen stoutheid, de wiskunde, die meer dan een andere wetenschap het denkend verstand de verbazing over zich zelven leert en die dus den mensch zich zelven doet kennen in een van zijn wonderlijke psychische vermogens, zou geen geestelijk voedsel bieden? Niet aan allen wellicht, maar kan men het aan de wiskunde ten laste leggen, wanneer niet ieder even ontvankelijk is voor de bekoring van die wetenschappen, die den menschelijken geest tot object van hun studie maken?

Waar het echter de wiskunde als leervak betreft, bestaat er inderdaad voortdurend gevaar, dat het verwijt van het verwekken van geestelijke leegheid althans ten deele gegrond wordt. Een der essentieele moeilijkheden van alle wiskunde-onderwijs bestaat hierin, dat men aan den eenen kant de mogelijkheid moet vermijden, dat de telkens nieuw ingevoerde begrippen en methoden door een tekort aan toepassingen en voorbeelden niet voldoende voor den leerling gaan leven, aan den anderen kant echter zorg moet dragen, dat men niet verstrikt raakt in een eindelooze rij van steeds gecompliceerdere vraagstukken over een in principe behoorlijk begrepen gebied. De eerste fout veroorzaakt onbevredigende oppervlakkigheid, de tweede leidt tot een machinaal en geestdoodend toepassen van steeds weer dezelfde procédé's. De eerste wordt in de hand gewerkt door besnoeiïng van het onderwijs, de tweede door versteening. Beide rechtvaardigen het ververwijt, dat de wiskunde zelf niet kon deren en dat dus ook het wiskunde-onderwijs heeft te vermijden.

[p. 90]

Niemand zal kunnen beweren, dat het hierin volkomen is geslaagd; op nieuw blijkt hier aanleiding tot herziening, tot een verbetering, die met instandhouding van de geest-vormende waarde van de wiskundige vakken, de geest-voedende zal moeten vergrooten. Over de vraag, wat er veranderd zal moeten worden, verschillen de meeningen van hen, die allen eenstemmig van de wenschelijkheid van hervorming overtuigd zijn. Het is hier niet de plaats, op dit meeningsverschil in te gaan. Als persoonlijke wensch moge hier daarom slechts worden uitgesproken, dat de verwachte wijziging een einde zal maken aan de rampzalige en onwezenlijke scheiding tusschen lagere en hoogere wiskunde, die grootendeels verantwoordelijk is voor de hypertrophie, waaraan in het middelbaar onderwijs en in nog veel hoogere mate bij de studie voor sommige actes, de elementaire meetkunde, de lagere algebra en de vlakke driehoeksmeting ten prooi zijn gevallen. Besnoeiïng van de uitwassen, die in al deze drie vakken te vinden zijn, zou tijd vrij maken om dieper inzicht op te wekken in tal van begrippen, die nu slechts zoover ontwikkeld worden, dat het practisch rekenen onbelemmerd voort kan gaan (als voorbeelden noem ik het irrationale getal en de limietovergangen), en om aandacht te schenken aan de logische structuur van de opgebouwde systemen (axiomatische behandeling van de grondslagen der vlakke meetkunde aan het einde van den cursus). Daarnaast zou men dan in de hoogere klassen door een uiteenzetting van de beginselen van de analytische en de synthetisch-projectieve meetkunde en vooral van de differentiaal- en integraalrekening een zeer veel ruimeren kijk op de wiskunde kunnen geven, dan bij de thans heerschende beperking, nu het H.B.S.-onderwijs in meetkunde toch eigenlijk in principe niet verder voert dan tot waar de Grieksche wiskunde reeds gekomen was, mogelijk is, om zoodoende bij te dragen tot de bestrijding van de uit onbekendheid met het ware wezen der mathesis ontstane vooroordeelen, waarover ik in het begin sprak.

Ik wil hier uitdrukkelijk aan toevoegen, dat de hier in groote lijnen geschetste reorganisatie niet alleen zou moeten gelden voor hen, die later de wiskunde bij hun studie noodig hebben en die thans al tenminste op het β-Gymnasium een meer modernen vorm van onderwijs kunnen genieten dan op de

[p. 91]

schromelijk verwaarloosde H.B.S. mogelijk is), maar, althans tot op zekere hoogte, voor alle leerlingen van scholen, welker einddiploma's recht geven tot het afleggen van universitaire examens.

Deze eisch zal ongetwijfeld onredelijk worden gevonden; men is er nu eenmaal van overtuigd, dat een theoloog, een philosoof, een jurist niets ter wereld met de wiskunde hebben uit te staan en dat het dus even groote dwaasheid, hen mathematisch te willen ontwikkelen, als dat men oude talen wil leeren aan wis- en natuurkundigen. En toch! Het is waar, dat voor de meerderheid van hen, die tot een der genoemde categorieën behooren, de gebruikelijke stellingen en berekeningen van de lagere wiskunde niet meer belang hebben, dan er gelegen is in de vormende waarde, die er van de bestudeering daarvan uitgaat (een belang, dat trouwens voor hen allerminst te versmaden is). Maar zouden zij niet gebaat zijn met eenig inzicht in het begrip der functioneele afhankelijkheid en de mogelijkheid tot aanschouwelijke voorstelling daarvan, in de fixeering door een differentiaalquotient van een oogenblikkelijken toestand van een veranderlijke grootheid, in de mogelijkheid van een exact gebruik van het woord oneindig (bron van zoovele sophismata), in het begrip verzameling, in het wezen van een axiomatischen opbouw?¹⁾

En zou dit alles niet kunnen worden bereikt, wanneer men het onderwijs wat ernstiger opvatte, de ongeschikten weerde en van de geschikten grootere inspanning eischte; wanneer men de verlammende fictie wilde laten varen van een tegenstelling tusschen wiskunde-aanleg en aanleg voor talen en wanneer men in het wiskunde-onderwijs niet langer wiskundig inzicht met wiskundig uitvindingsvermogen wilde verwarren? Want in die laatste verwarring ligt de oorzaak van het voor de wiskunde schijnbaar zoo bedenkelijke feit, dat menschen met groote intellectueele qualiteiten soms verklaren, dat ze in hun schooltijd in de wiskunde nooit iets hebben kunnen praesteeren. Men moet onderscheiden tusschen theoretisch-mathematisch inzicht en vaardigheid in het oplossen van pro-

1) Het bekende werkje: Jules Tannery Notions de Mathématiques, Notions Historiques par Paul Tannery, 5ième édition, Paris 1921 geeft het voorbeeld voor de gewenschte wijze van behandeling.

[p. 92]

blemen. Slechts het eerste kan, maar mag ook gevergd worden van hen, die in een andere faculteit dan die der wis- en natuurkunde hooger onderwijs willen genieten; indien zij zich in staat toonen, mathematische redeneeringen met inzicht te reproduceeren, behoeft men geen eigen vondsten van hen te eischen.

Er zal veel moeten veranderen, voor het hier geschetste doel bereikt zal kunnen worden; de vooroordeelen tegen de wiskunde zijn voorloopig nog taai en wijd verspreid; bovendien echter zal een behandelingswijze, zooals boven is voorgesteld heel wat meer van den docent eischen dan de sleurgang, die nu nog vaak gevolgd wordt.

De intrinsieke waarde van de wiskunde is groot, maar de oppervlakkige beschouwer ziet haar niet. Om den leerling die waarde te doen beseffen, heeft een docent meer noodig dan eigen inzicht en eigen vaardigheid in wiskundig werk. Dat meerdere echter - en hier raken we aan een zeer bedenkelijke zijde van het vraagstuk, dat ons bezig houdt - krijgt hij in zijn opleiding in den regel niet.

Dit artikel is niet bestemd, om op dit punt dieper in te gaan. Ik volsta dus met de stelling uit te spreken, dat het hooger onderwijs (en a fortiori de studie voor de middelbare acten) in ons land den a.s. docent in de wis- en natuurkundige wetenschappen, in het algemeen gesproken (dus met waardeering van de sporadische uitzonderingen), op drieërlei gebied verwaarloost: het ontwikkelt hem niet didactisch, niet kennistheoretisch en niet historisch. Daardoor begint hij zijn onderwijs als dilettant in paedagogischen zin; hij loopt gevaar zich niet helder te kunnen uitspreken over het wezen van zijn vak en hij mist het vermogen, om het inzicht in de waarde van de begrippen en methoden, die hij doceert, te wekken door een uiteenzetting van den weg, waarop de wetenschap eens met moeizame inspanning bereikte, wat thans als elementair aan den beginneling wordt geleerd.

Wanneer het hooger onderwijs zal gaan beseffen, dat het zonder schade voor zijn wetenschappelijk karakter in meerdere mate dan tot dusver rekening kan houden met de intellectueele belangen van die overwegende meerderheid onder de studenten in wis- en natuurkunde, die later in het middelbaar en gymnasiaal onderwijs werkzaam zullen zijn en waarvan

[p. 93]

het dus in de eerste plaats afhangt, of de vooruitgang der bijzondere wetenschappen ook aan het algemeene geestelijk peil van het ontwikkelde deel van het volk ten goede zullen komen; wanneer deels ten gevolge van een verbeterde opleiding der docenten, deels door hervormingen op grond van eigen initiatief het middelbaar onderwijs zijn eigenlijke doel beter zal kunnen vervolgen, zullen de mathematici er de anti-mathematische strooming van onzen tijd misschien nog eens dankbaar voor zijn, dat zij hen mede gebracht heeft tot het bewustzijn van hunne tekortkomingen.

Oisterwijk.

E.J. Dijksterhuis.