De Gids. Jaargang 86

[p. 244]

Relativistische studie.
Proeve van antwoord aan Prof. Dr. G. Heymans.

Aanleiding tot deze studie werd mij het opstel dat Prof. G. Heymans onder den titel: ‘Leekenvragen ten opzichte van de Relativiteitstheorie’ in de April-aflevering 1921 van ‘De Gids’ plaatste. Daarin onderwierp hij de genoemde theorie aan een kritiek, zoowel voorzoover zij een ‘kennistheoretisch-methodologisch postulaat’ bevat als naar hetgeen zij pretendeert te leveren als ‘natuurwetenschappelijke theorie’.

Het zij mij vergund, enkele opmerkingen te berde te brengen, welke, naar ik hoop, voor dezen of genen onder de Gids-lezers de onderhavige kwesties in een ander licht zullen kunnen stellen. Want, men moge al waardeeren dat Prof. Heymans de moeite genomen heeft om zijne bezwaren te formuleeren, en van meening zijn, dat een kritiek als de zijne dienstig kan wezen om, scherper dan nog gedaan werd, in Einstein's theorie het wezenlijke van het onwezenlijke te scheiden, het wil mij voorkomen dat de positieve verdiensten en uitkomsten der nieuwe gravitatietheorie op hoogere waardeering aanspraak mogen maken dan hun van de zijde van Prof. Heymans ten deel valt, en dat men deze uitkomsten, tot hoeveel omstreden vraagpunten zij ook nog aanleiding geven, mag rekenen te behooren tot de vaststaande gegevens der natuurwetenschap, van welke Prof. Heymans in zijnen aanhef getuigt, dat zij ‘een der toetssteenen vormt voor de aannemelijkheid van de hypothesen der metaphysica’.

[p. 245]

Dat de algemeene relativiteitstheorie geenszins staat of valt met een positivistisch-wijsgeerige opvatting, - die haren schepper geïnspireerd moge hebben en de richting bepaald, waarin hij de oplossing van het probleem der zwaartekracht zocht, en na een tien jaren hardnekkig volgehouden zoeken ook vond, - blijkt voldoende uit boeken als van Whitehead¹⁾ en van Cassirer²⁾, wier opvattingen, naar het mij toeschijnt, even ver van elkander als van het positivisme afstaan. De een stelt kritische eischen aan de natuurleer, waaraan de relativiteitstheorie op gelukkige wijze beantwoordt, de ander ziet in haar een exempel te meer ter staving van zijne leer aangaande onze kennis der werkelijkheid. Men moet m.i. trachten de theorie in haar eigen waarde te zien, zooveel mogelijk los van een min of meer wijsgeerige toelichting, welke haar ter begeleiding wel eens is medegegeven.

Nu is dat bijzonder moeilijk; niet slechts is er tot recht begrip der theorie een zekere wiskundige ontwikkeling noodig, maar ook behoort daartoe een geschoolde kritiek op in het dagelijksch leven absoluut geldig geachte vooroordeelen, zooals wij er enkele zullen tegenkomen, een kritiek zelfs op sommige vooroordeelen, die door anderen op kentheoretische gronden bewezen worden geacht.

Het is mijne bedoeling in het volgende te trachten enkele misverstanden op te helderen. Het zou plaatsroovend zijn, Prof. Heymans op den voet te volgen. Het zal beter zijn, in een iets vrijere uiteenzetting enkele hoofdzaken te behandelen. Ik vertrouw dat daarbij de vragen van Prof. Heymans, althans de voornaamste, een passend antwoord zullen vinden, dat, naar ik hoop, ook bevredigend zal zijn.

1. Van nature zijn vierdimensionale gebeurtenissen ons bijzonder vertrouwd. Wij voelen ons erin thuis. In het vierdimensionale zijn wij eerst recht in ons eigen element. Het is ons dagelijksch leven.

En toch fronsen de meesten het voorhoofd, wanneer zij van de vierde dimensie hooren, alsof dat iets mystieks, of spookachtigs, of iets onbegrijpelijks is. Waarom? Ligt dit hier aan,

1) Whitehead, The Concept of Nature, Cambridge Univ. Press, 1920.

2) Cassirer, Zur Einstein'schen Relativitätstheorie, Berlin, 1921.

[p. 246]

dat men meestal de ‘vierde’ dimensie zich als wederom een ruimte-dimensie meent te moeten kunnen voorstellen? Vaak wordt de volgende weg ingeslagen om het besef te wekken van wat met een vierdimensionaal stuk werkelijkheid bedoeld wordt. Het is niet moeilijk om zich voor te stellen hoe een mikroskopist een klein organisme onderzoekt door een serie te maken van een groot aantal evenwijdige doorsneden, die afzonderlijk bekeken worden. De reconstructie van het driedimensionale voorwerp, door een compilatie van de vele equidistante doorsneden, is een kwestie van voorstellingsvermogen, misschien ook van geduld, maar bergt geenerlei moeilijkheid in zich. Op dezelfde manier wordt bijv. ook een scheepsromp geconstrueerd uit een aantal profielteekeningen.

Hetzelfde kan men doen met een gebeurtenis die kinematografisch is opgenomen. Men kan de vele filmprentjes, alle momentopnamen met gelijke tusschenpoozen, op elkander leggen, en heeft dan vóór zich een filmstapeltje, dat de gebeurtenis representeert. Men kan het filmstapeltje opvatten als een grafische voorstelling van het opgenomen avontuur. De prentjes van een auto, die daarbij aan kwam rijden, stilhield en weer wegreed, liggen in het stapeltje boven elkaar in een of andere slingerlijn. Deze ‘tijdlijn’ is de grafische voorstelling van de bewegingen van die auto. Indien men nu, bij de aanschouwing van het filmstapeltje, hetwelk nog maar een driedimensionaal ding is, zich voorstelt, - en dit niet in de aanschouwing, maar in het begrip, - dat er een driedimensionale situatie komt in de plaats van elk tweedimensionaal prentje, dan komt men tot iets, en vermoedelijk met niet al te veel inspanning, dat een weinig op de vierdimensionale werkelijkheid lijkt.

Inderdaad lijkt het erop, op de manier, zooals gezegd, van een grafische voorstelling, maar niet overmatig veel, omdat in het filmstapeltje de ruimtelijke richting, waarin de elkander in werkelijkheid opvolgende prentjes gelegd zijn, zich niet onderscheidt van andere richtingen, in het vlak van een der prentjes bijvoorbeeld, terwijl toch niemand kan wegredeneeren dat een tijdsduur, figuurlijk gesproken een ‘afstand’ in de ‘tijdrichting’, iets heel anders is en blijft dan een ruimtelijke afstand.

[p. 247]

Het eigenaardige van de beschreven wijze om tot eenig besef te geraken van een vierdimensionaal brok werkelijkheid ligt wel hierin, dat men zijn toevlucht neemt tot het compileeren van een aantal elementen, die, naar hun wezen, eerst gewonnen moeten worden door min of meer bewuste verstandelijke abstractie uit de vierdimensionale werkelijkheid waarin wij ademen en leven. Zonder een zeer intieme kennis van het vierdimensionale kunnen wij geen stap doen, - en toch meenen wij dit niet dan moeizaam te kunnen reconstrueeren uit statische, driedimensionale verstandsabstracties. Laat ons daarom beproeven, uit een ander begin ons iets van dit vierdimensionale bewust te maken.

2. Elk onzer oogen afzonderlijk vermag ons slechts een twee-dimensionale projectie van de werkelijkheid op ons netvlies te zien te geven. Wij zien de wereld geprojecteerd op twee tafereelen, die wel boven en onder, links en rechts hebben, maar geen diepte. Hoe komt het, dat wij niettemin bij den eersten oogopslag met beide oogen diepte zien?

Ieder die zich wel eens rekenschap gegeven heeft, op welke manier in een stereoskoop twee plaatjes, tegelijk bekeken, de sensatie reproduceeren van relief-zien, van vóór en achter, weet, dat het essentieele hierbij is, dat de twee prentjes een weinig verschillend zijn. Opgenomen uit twee verschillende oogpunten, vertoonen de dingen erop hun aspect van iets meer links, of iets meer rechts, juist zooals onze twee oogen de voorwerpen bekijken, het eene wat meer van links, het andere wat meer van rechts. Elk der oogen ziet iets anders. Toch weten wij zoo zeker als wij maar iets weten kunnen, door de gewenning en aanpassing, van kindsbeen af, der gezichts- aan de tastgewaarwordingen, dat wij maar één ding zien, slechts ééne wereld tegenover ons hebben. Bij de door gestadige oefening tot onbewuste gewoonte geworden verwerking der gezichtsbeelden, staan wij daarom geen moment stil bij de tegenstrijdigheid der getuigenissen van beide oogen: wij interpreteeren, voor ons gevoel onmiddellijk, het verschil als de diepte-uitgestrektheid van het zichtbare ding. Het gebruik van beide oogen tegelijk verleent ons de macht tot het directe ruimtelijke zien.

Op dergelijke wijze beleven wij ook direct een gebeurtenis

[p. 248]

als gebeurtenis, als een werkelijkheid met een hoogere uitgestrektheid dan de ruimtelijke, als een vierdimensionaal aggregraat. Hetgeen wij in twee oogenblikken, het een na het ander, zien, is nimmer hetzelfde. Het is altijd een weinigje anders. Toch weten wij, zoo zeker als iets, dat het één en dezelfde buitenwereld is. Misschien wordt deze zekerheid afgeleid uit ons allerzekerste weten van de doorloopende bestendige identiteit van ons ik, op een wijze, die hier thans niet nader behoeft te worden geanalyseerd. De boven allen twijfel gepostuleerde vereenzelviging van den inhoud der gegevens van twee oogenblikken doet de verschillende gewaarwordingen versmelten tot één gewaarwording, van één werkelijkheid, met nog een diepte meer van hoogere orde, met het perspectief van den tijd eraan. In stede van een statische ruimtelijkheid, beleven wij een dynamische werkelijkheid, waar ook wij met ons lijf deel van uitmaken, die wij in onze leden zelf ervaren kunnen, als bewegende krachten en uitwerkselen.

Het vermogen om de verschillende ruimtelijkheden van verschillende oogenblikken te beleven in ééne werkelijkheid, kan een soort van geheugen heeten. Zonder geheugen geen besef van verandering of van tijd, evenmin als een enkel tweedimensionaal prentje een diepte kan doen zien. Het ontbreken van geschikte woorden in de taal, maakt het moeilijk om de functie van dit vermogen te omschrijven zonder op een onderscheiding vooruit te loopen, die thans nog niet aan de orde is, die van vroeger en later. Het houdt het vroeger geziene vast en smeedt het samen met het later geziene tot een waarneming van een ongedeelde, in zichzelf presente eenheid van wat vóór was en na.

Dit vermogen, hetwelk wij een soort van geheugen genoemd hebben, is met dat woord niet voldoende aangeduid, omdat het ook de toekomst kan anticipeeren. Wanneer een jongen met zijn katapult, of een jager met zijn geweer, een vogel treffen wil, dan weet hij, wat er gebeuren zal. Hij kent, uit onmiddellijke ervaring, het (vierdimensionale) verloop van de projectielslingering. Een musicus die in een ensemble afwacht tot hij te juister tijd met zijne stem invalt, kent het muziekstuk en overziet het in zijn geheel, zoowel de reeds verklonken en verstomde als de nog komende partijen. Hier

[p. 249]

geldt het een vermogen, dat het nog in de toekomst wordende doel naar voren trekt en met het heden verweeft tot een eenheid van in de toekomst reikend, het ‘nu’ voortzettend gebeuren.

Misschien is dit vermogen onze levenskracht zelf. Wij hebben het hier niet verder te onderzoeken. Ons doel was slechts in het licht te stellen, dat dit concentreerend, concretiseerend vermogen ons onze ervaringen geeft als vierdimensionale evenementen, als dynamische veranderingen, als verschijnselen, als gebeurens, als bewegingen en conflicten, nog vóór er, methodisch gesproken, sprake is van een afzonderlijk ruimte- of tijdbesef. Deze moeten eerst door een verstandsabstractie onderscheiden worden. Het elementaire feit is een voorval, een proces.

3. Er is een voortschrijden van ons bewustzijn. Wij leven in het fundamenteele mysterie van den tijdstroom. Daarin leeren wij het voor en na onderscheiden. Op de spits gedreven, leidt dit onderscheid tot de abstractie van het nu.

De volgende abstractie is die van het oogenblik. Naar willekeur kunnen wij ons in contact stellen met de buitenwereld of ons afsluiten. Hetgeen wij met eenen blik der oogen daarvan zien kunnen, dat is de wereld van een oogenblik.

Zoo kort echter kunnen wij den oogenblik niet maken, of hij heeft nog eenigen duur. Zoolang er nog een duur is, hebben wij nog niet het oogenblik. Het oogenblik heeft geen duur meer. Het is ondeelbaar. Daaraan kan men merken, dat het oogenblik een abstractie is buiten de werkelijkheid. Ook de kortste lichtflits dien wij zien kunnen, heeft nog altijd een duur van vele millioenen lichttrillingstijden. Het allerkortste wat onze zinnen, of onze inwendige zin, ons kan doen kennen, heeft nog eenige tijd-diepte. Nooit beleven wij een oogenblik, altijd een tijdsduur. Het oogenblik is een verstandsabstractie. Het is de limiet, om een wiskundigen term te gebruiken, van een oneindige verzameling van tijdsduren, waarvan er telkens één een ander, een korter, bevat; een limiet, die zelf niet tot de verzameling behoort, immers zelf geen korter duur in zich sluit, en ook geen duur meer is. Het oogenblik, als limiet van korter en korter, ja beneden alle waarnemingsmogelijkheid steeds korter gedachte tijdsduren,

[p. 250]

staat buiten de werkelijkheid. Het is een verstandsabstractie. Het is de uitkomst, in het begrip, van eene, hoewel oneindige, niettemin voltooid onderstelde taak.

Heeft men in een tijdsduur, hoe kort ook, nog altijd een bewegings-moment, uit het oogenblik, uit het absolute instantanee, is alle beweging verbannen. Men heeft daarin de abstractie van de statische ruimtelijkheid der wereld, zonder beweging.

Vergelijkt men het ruimte-aspect der wereld op verschillende oogenblikken, dan valt het op, - althans indien men niet op den oceaan, maar aan den vasten wal is, - dat het aantal plaatsen, die er hetzelfde blijven uitzien, veel grooter is dan het aantal plaatsen, waar men verschillen kan opmerken. Inderdaad is het aantal zich bewegende lichamen, levende organismen of doode mechanismen, veel en veel kleiner dan het aantal star onbewegelijke. Dit leidt ertoe, de vaste punten te gebruiken als merkteekenen, als mijlpalen voor de ruimtelijkheid. Of men daarbij, met de antieken, de aarde, dan wel, met Copernicus, de zon, of, zooals later, het systeem der z.g. ‘vaste’ sterren neemt, om er de ruimte aan vast te leggen, maakt principieel geen verschil.

4. In dit opzicht was van grooter belang de ontdekking der eindige voortplantingssnelheid van het licht door den Deen Römer in de 17de eeuw. Men weet waarop deze berustte. De astronomische waarneming der verduisteringen van een der manen van Jupiter leerde, dat wij deze eclipsen niet met gelijke tusschenpoozen zien. In de perioden dat de aarde zich van Jupiter verwijderde, waren de tusschenpoozen grooter dan in de perioden dat de aarde naar Jupiter toebewoog, en des te grooter of des te kleiner naarmate de snelheid der verwijdering of nadering grooter was. Toch moesten de intervallen tusschen twee eclipsen volgens de destijds bekende natuurwetten, telkens even groot zijn.

Hier stond men voor een dilemma. Men kon een kracht onderstellen, door de aarde uitgeoefend op de Jupitermanen, en afhankelijk van den afstand en snelheid der aarde; maar men kon ook aannemen dat het licht, hetwelk ons de verduisteringen boodschapt, tijd noodig heeft om van Jupiter de aarde te bereiken, en des te meer tijd naarmate wij verder af

[p. 251]

staan, zoodat bij een beweging der aarde van Jupiter weg de boodschappen met telkens meer vertraging aankomen en de tusschenpoozen grooter schijnen dan zij werkelijk zijn. Geplaatst voor deze keus, zal, na Römer, niemand meer aarzelen. Natuurlijk kiest men de laatste onderstelling, als de eenvoudigste en meest bevredigende, en, gelijk wij thans weten, met tal van andere verschijnselen in prachtige overeenstemming.

Maar de conclusie die wij dan niet af kunnen wijzen, is dat hetgeen wij zien, niet meer iets is van nu. De zon, die wij nu zien, moet de zon heeten van 500 seconden geleden. De Sirius dien wij zien, is de Sirius van bijna 9 jaar geleden. De Melkwegsterren die wij zien, zijn - of moet men zeggen: waren? - de Melkwegsterren van gemiddeld eenige duizenden jaren geleden.

Wat blijft er dan over van hetgeen wij meenden te kunnen ervaren en weten van een oogenblikkelijke ruimte? Wat blijft er over van de gelijktijdigheid, overal in die oogenblikkelijke ruimte, die wij als vanzelfsprekend stelden zonder erbij te denken? Weinig. Wij moeten de naïeve oogenblikkelijke ruimte, welke zelf al een verstandelijke abstractie was, prijsgeven en vervangen door een nog gecompliceerder constructie. De verschillende deelen der ruimte die wij op één oogenblik zien, zijn niet gelijktijdig. Om een gelijktijdige ruimte te krijgen moeten wij eerst den afstand der verschillende punten tot ons meten, en vervolgens beproeven de punten die wij in onze onmiddellijke nabijheid zien, tezamen te denken met de verderafgelegen punten, zooals wij die een poosje later zien zullen - zooveel later als het licht tijd noodig heeft om tot ons te komen. In een wereld waar alles stilstaat, zal ons dit wel gelukken, daar zal de aangeduide begripsconstructie niet verschillen van hetgeen wij kunnen zien, maar in een bewegende wereld heeft de geconstrueerde gelijktijdigheidsruimte niet veel gelijkenis met wat wij waarnemen. Of zij wel met recht gelijktijdigheidsruimte mag heeten, wordt aan twijfel onderhevig, zoodra het constructievoorschrift, in één geval opgevolgd, feiten gelijktijdig zou doen noemen, die bij de opvolging van hetzelfde voorschrift, in een ander geval, niet gelijktijdig zouden heeten.

Het aanwijzen van een verzameling van voorvallen uit het

[p. 252]

vierdimensionale aggregaat als gelijktijdige, is een begripsconstructie. Of zij, onafhankelijk van het uitgangspunt, ondubbelzinnig slechts één enkele uitvoering toelaat, is twijfelachtig, althans van te voren niet zeker. Dit zal afhangen van de eigenschappen der physische hulpmiddelen, die bij de gelijktijdigheidsaanwijzing dienst moeten doen. De nieuwste uitkomsten leerden, dat deze eigenschappen dusdanig zijn, dat er verschillend resultaat te verwachten is, indien men van verschillend bewogen standpunt hetzelfde constructievoorschrift uitvoert. Dit is een reden om op onze hoede te zijn tegen het axiomatisch vooroordeel, dat er een absolute gelijktijdigheidsaanwijzing mogelijk zou zijn. Daarmede is nog niet gezegd, dat het begrip gelijktijdigheid dubbelzinnig, of van zin ontbloot zou zijn. Het is een scherp omlijnd begrip, met evenveel zin als andere verstandsabstracties (bijv. een plat vlak) hebben kunnen. Wel echter is dit de bedoeling, dat de ondubbelzinnigheid der toepassing in de werkelijkheid niet eens voor al zeker behoeft te zijn, en dat men op meer dan ééne wijze, en telkens met hetzelfde recht, de voorvallen der wereld kan rangschikken in gelijktijdigheidslagen. Slechts wanneer twee feiten tezelfder plaatse voorvallen, is er geen vergissing mogelijk betreffende hun gelijktijdigheid-of-niet. Ook niet indien er van het eene voorval een werking kan uitgaan op het andere, want dan kan dit laatste alleen na het eerste zijn. Wij mogen echter de mogelijkheid niet over het hoofd zien, dat er ook voorvallen, op verschillende plekken, kunnen plaats grijpen, zonder dat er, noch in de eene, noch in de andere richting, een werking van het eene op het andere kan overgaan. In tegenstelling met de andere gevallen, waar er duidelijk een verhouding is van vóór en na zonder meer, zouden wij dan, in de feiten, niets kunnen vinden om te weten welk voorval eerder is en welk later. De natúúr onthoudt ons de middelen, om de verhouding dezer voorvallen nader te bepalen dan als een verhouding van noch vóór, noch na. De nadere bepaling wordt een zaak van definitie, van constructievoorschrift. Vooral Robb¹⁾ heeft er den nadruk op gelegd, dat deze verhouding van noch vóór, noch na op zichzelf nog geen gelijktijdigheid beteekent.

1) A.A. Robb, The absolute relations of time and place, Camb. Univ Press, 1921.

[p. 253]

5. Verstandelijke abstracties en begripsconstructies kunnen wij in de natuurwetenschap niet ontberen. Evenzeer als het oogenblik een abstractie is, is het punt er een. In de ruimte beschouwen wij een klein gebied. Daarbinnen een nog kleiner gebied, dat binnen zich een weer kleiner besluit, en zoo ad infinitum. De limiet van deze verzameling telkens inkrimpende ruimten is het punt. Dit is zelf geen ruimte meer. Het staat buiten de ruimte. Het is een verstandsabstractie. De ruimte bestaat niet uit punten. Wel bevat zij oneindig vele reeksen van de-een-de-ander-omvattende ruimten, die naar verschillende punten als limieten convergeeren.

Wij behoeven de abstractie van het oogenblik en die van het punt niet afzonderlijk en na elkander uit te voeren. Wij kunnen ons in het aggregaat der gebeurtenissen een reeks van voorvallen denken, oneindig vele van steeds geringer omvang, die elk op hunne beurt een voorval van nog geringer omvang omgeven. De limiet van zulk een voorvallenreeks is een punttijdstip. De punttijdstippen zijn geen deel van de werkelijkheid. Wel is deze vol van abstraheerende rijen van steeds geringer voorvallen, die tot punttijdstippen als hun limieten convergeeren.

Wij hebben de abstracties dezer punttijdstippen bij de wetenschappelijke bestudeering der natuur noodig. Wij moeten weten, waar en wanneer zich de verschijnselen afspelen, die wij met elkander in onderling verband beschouwen willen. In de wiskundige beschrijving wenschen wij dit waar en wanneer te kunnen aangeven met behulp van een getal, of een stel van getallen. Daarvoor is het noodig, als geraamte voor deze beschrijving, de punttijdstippen, althans een groot aantal hunner, te nemen, en ze te nummeren. Dit geschiedt met behulp van een viervoudig getallen-continuüm zoodanig, dat een stel van vier getallen een bepaald punttijdstip aangeeft. Een dier getallen (‘coördinaten’) kan daarbij een tijdstip, de drie andere te zamen kunnen de plaats van een punt bepalen. Een aldus aangebrachte nummering zal ik een beschrijvingsraam noemen.¹⁾ De nummering op zichzelf vol-

1) ‘Bezugsystem’. Vaak ziet men ook het woord ‘Bezugskörper’ gebruikt. Dit getuigt niet van purisme, omdat het in de onderhavige gevallen gaat om vierdimensionale gebeurtenissen, en een lichaam slechts driedimensionaal is. Men diende dan minstens van ‘Bezugsprozess’ te spreken.

[p. 254]

staat weliswaar ter aanwijzing van onderscheiden punttijdstippen, maar van maat en afstand, van die meetkundige eigenschappen die men metrische gesteldheid der werkelijkheid kan noemen, is daarbij nog geen sprake. Daarom zullen wij ons beschrijvingsraam eerst volledig gegeven achten, indien erbij bekend is, hoe groot de afstanden zijn tusschen de verschillende, al was het slechts tusschen de naburige punttijdstippen. Het gebruik van het beschrijvingsraam in physicis vooronderstelt dat metingen ter bepaling van die afstanden zijn voorafgegaan; wij komen hierop straks terug.

Het beschrijvingsraam is een wiskundig hulpmiddel, een begripsconstructie die door ons verstand in de werkelijkheid gelegd wordt, om het natuurkundig gebeuren in getallen te kunnen vatten.

Men kan het vastleggen aan de aarde, zoodat het door deze bij haar wentelingen en op haar tocht door het wereldruim wordt medegenomen, men kan het vastleggen aan de zon, men mag het, - indien men kans ziet, - vastleggen aan de ‘absolute ruimte’ van Newton. Het is een eisch van zuinigheid met denkinspanning, dat men het beschrijvingsraam zoo eenvoudig mogelijk maakt.

6. Met opzet is in het voorgaande de nadruk gelegd op het abstracte en verstandelijk constructieve, dat in het gebruik maken van beschrijvingsramen gelegen is, om de kern der relativiteitsgedachte in het licht te kunnen stellen:

Elke natuurwet, uitgesproken met behulp van een of ander bijzonder beschrijvingsraam, geeft evenzeer een eigenschap weer van het beschrijvingsraam als van de natuur.

Het spreekt toch wel vanzelf, dat de natuur zich, in verschillende beschrijvingsramen bekeken, anders schijnt te gedragen. Indien, bijvoorbeeld, de zg. traagheidswet met behulp van een of ander beschrijvingsraam, op de gewone manier kan worden uitgedrukt: ‘een vrij vliegend lichaam legt in gelijke tijdsduren gelijke, in een rechte lijn gelegen einden af’, dan kan dezelfde traagheidswet stellig niet zoo luiden wanneer men het beschrijvingsraam aan de wentelende aarde heeft vastgemaakt. Immers, hier uit zich de inertie der lichamen niet alleen als de gewone middelpuntvliedende kracht, maar ook nog in de samengestelde middelpunt-

[p. 255]

vliedende kracht van Coriolis, die zich openbaart in de werveling der cyclonen en die in de beroemde slingerproef van Foucault het slingervlak doet draaien. De natuur volgt hare eigen wetten, onafhankelijk van de begripsconstructie waarmede wij haar trachten te benaderen.

Eerst dan kunnen wij een natuurwet voldoende bekend achten, indien wij weten, hoeveel van het uitgesprokene slaat op het beschrijvingsraam, en hoeveel op de beschreven natuur. Daarom kunnen wij slechts vrede hebben met een zoodanige formuleering, die ons in staat stelt, bij overgang van het gebruik van één beschrijvingsraam tot het gebruik van een ander (bij een zg. transformatie), onmiddellijk, door eenvoudigweg invullen van zekere grootheden die op het beschrijvingsraam betrekking hebben en die van raam tot raam verschillen, te vinden wat de nieuwe inhoud der wet zijn zal in de nieuwe beschrijving.

Dit is de kern der theorie. Dit is de beteekenis van den eisch, dat de vergelijkingen der physica hun vorm bij gansch willekeurige transformaties niet zullen veranderen.¹⁾ Duidelijk ligt dat in de rede, en ook Prof. Heymans blijkt in zijn gedachten dergelijke denkbeelden te huldigen, waar hij cursiveert (pag. 95, bovenaan): ‘wij richten onze natuurwetten er op in, door daarin eenvoudig de voorwaarden hunner geldigheid mede op te nemen’, en waar hij vraagt: ‘Wat is er nu tegen, in de formuleering van het traagheidsbeginsel een dezer betrekkingssystemen op te nemen?... Ik kan niet inzien dat daardoor aan de algemeenheid en bepaaldheid der natuurwetten... te kort zou worden gedaan’. Inderdaad is er niets tegen, en de bewering der relativisten is juist, dat in den regel verzuimd wordt, die voorwaarden der geldigheid, dat betrekkingssysteem hetwelk aan de formuleering ten grondslag ligt, mede op te nemen, ja, dat het een uitzondering geworden was, dat men dit verzuim opmerkte.

1) Er is een verschil in nuance tusschen den eisch dezer onveranderlijkheid van den vorm, en wat Prof. Heymans als den relativiteitseisch schetst, alsof de formules der natuurwetten moesten ‘ongewijzigd blijven gelden’ (pag. 89 r. 2 v.o.), voor elk willekeurig betrekkingssysteem. Misschien heeft Prof. Heymans dezen indruk gekregen uit enkele verhandelingen over de voorloopige, bijzondere relativiteitstheorie voor translaties. In de algemeene relativiteitstheorie gaat het echter juist om het medeveranderen der natuurwet bij verandering van beschrijvingsraam.

[p. 256]

Waarom een aanhanger der relativiteitstheorie niet genoeg heeft aan een beperkte formuleering als door Prof. Heymans wordt aanbevolen, is hierboven reeds aangegeven. Een voorbeeld kan wellicht door analogie strekken ter verduidelijking.

Het is bekend dat goud en zilver niet, ijzer wel door verschillende zuren worden aangetast.¹⁾ Bij de constateering dezer chemische eigenschappen kan echter een natuuronderzoeker niet blijven staan. Hij wil er meer van weten. Hij wenscht deze eigenschappen in verband te zien met andere eigenschappen van de onderhavige atomen. Hij onderstelt naar aanleiding van andere onderzoekingen en uitkomsten, dat alle atomen opgebouwd zijn uit dezelfde twee soorten elektrische deeltjes: elektronen en positieve waterstofkernen. Hij is pas tevreden indien hij meent te begrijpen, hoe een combinatie van deze zelfde soorten deeltjes in ietwat gewijzigde aantallen en rangschikking het verschil in chemische eigenschappen met zich brengt.

Zoo ziet ook de theoretisch-physicus zich geplaatst tegenover een en dezelfde natuur, die zich in zijn verschillende beschrijvingsramen met schijnbaar verschillende eigenschappen uit. Hij heeft met dezen schijn geen vrede. Hij wil expliciet weten hoe de overgang van een beschrijvingsraam naar een ander verantwoordelijk is voor deze schijnbare wispelturigheid. Zoolang hij dit probleem niet onder de knie heeft, koestert hij achterdocht, hoeveel wel van zijn kennis inbeelding is, gesuggereerd door de bijzondere keus van het gebruikte beschrijvingsraam, hoe weinig misschien benadering der werkelijkheid.

Vandaar dat hij aan de formuleering een hoogeren eisch stelt. In deze formuleering moeten de bijzonderheden van het beschrijvingsraam volstrekt ondergeschikt blijven, en het meest bevredigend is die formuleering, waarbij het laatste in het geheel geen rol meer speelt, - indien er zulk een te geven is.

7. Zoolang het traagheidsbeginsel uitgesproken wordt in een vorm, die spreekt van eenparige rechtlijnige beweging, blijft het onbevredigende liggen in de moeilijkheid om aan te geven, aan welk beschrijvingsraam men daarbij denkt.

1) Het voorbeeld is van Prof. Heymans.

[p. 257]

In de nieuwe theorie liggen zoowel het traagheidsbeginsel als de vrije val opgesloten in de stelling: een vrij deeltje volgt een geodetische lijn. Het zou niet doenlijk zijn de beteekenis van dezen mathematischen kunstterm hier te verklaren. Genoeg zij de vermelding dat een geodetische lijn een geodetische lijn blijft, welk beschrijvingsraam men ook gebruikt.

De eigenlijke, diepere beteekenis van het traagheidsbeginsel kan misschien door de volgende formuleering duidelijker worden. Men kan zich ergens in de ruimte een handvol molekulen uitgestrooid denken, die elkander niet merkbaar beinvloeden. Laat ons erbij onderstellen, dat zij met niet te groote snelheid uit elkander vliegen, en dus, althans gedurende eenigen tijd, in elkanders buurt blijven. Het zal dan mogelijk zijn, een beperkt aantal, zeg tien of twintig, eruit te kiezen, en een beschrijvingsraam zóó aan te leggen, dat daarin deze molekulen rechtlijnige banen met eenparige snelheid doorloopen. Hiermee zij niets anders bedoeld, dan dat de bij elkander behoorende aangroeiïngen der vier coördinaten van elk molekuul steeds in dezelfde vaste verhouding tot elkander staan. Indien dit zoo uitkomt voor het beperkte aantal uitgekozen molekulen, zal het uitkomen ook voor alle andere molekulen, die wij tegelijkertijd uitstrooiden. Dat is de beteekenis van het traagheidsbeginsel. In een beschrijvingsraam waarin een zeker aantal vrije molekulen geen versnelling vertoont, zal geen enkel ander vrij molekuul een versnelling vertoonen.

Hier is ook het aanknoopingspunt voor beschouwingen over de zg. absoluutheid der rotatie; deze zouden ons echter te ver voeren.

8. Hierboven (§ 5) hebben wij reeds opgemerkt dat een beschrijvingsraam eerst geschikt was voor een beschrijving die ook maten aangeeft, wanneer een meting van de ‘afstanden’ tusschen de verschillende punttijdstippen was voorafgegaan. Immers, hierop hebben betrekking die ‘zekere grootheden’, waarvan in § 6 bij de toelichting van het relativiteitsbeginsel sprake was, en die van raam tot raam verschillen. Onder dit eene woord ‘afstand’, wordt in het vierdimensionale continuüm der punttijdstippen tweeërlei be-

[p. 258]

grepen. Men heeft, - en dit fundamenteele onderscheid blijft, - afstanden die het karakter hebben van een tijdpoos, en andere die het karakter hebben van een ruimtelijk eind. In de wiskundige behandeling komt dit verschil hierin tot uiting, dat de afstanden van het eene soort door een reëel, die van het andere soort door een imaginair getal worden voorgesteld.

Vat men twee bepaalde punttijdstippen in het oog, dan is er geen bijzondere moeilijkheid, indien zij òf in hetzelfde punt twee verschillende oogenblikken bepalen, òf op hetzelfde oogenblik twee verschillende ruimtepunten aangeven. In het algemeen echter zullen zij zoowel ruimtelijk als in den tijd, verschillend zijn. Het kan nu zijn, dat men uit het eene punttijdsstip deze of gene werking het andere kan doen bereiken. Dan heeft de afstand tijdskarakter. Men kan dan met een klok van het eene naar het andere komen. Door aflezing van het aantal seconden op de klok tusschen de twee punttijdstippen meet men den afstand, als tijdpoos. Is het niet mogelijk, uit het eene punttijdstip het andere met een of andere werking te bereiken, bereikt zelfs een lichtsignaal het andere punt op een later oogenblik, dan kan men niet met een klok van het eene naar het andere punttijdstip komen. Wel kan men nu op een bepaalde manier met een bewegenden lineaal den afstand meten als een ruimtelijk eind. Over de details dezer zg. ‘natuurlijke meting’ kan ik hier niet uitweiden; bij een andere gelegenheid ben ik daar uitvoeriger op ingegaan¹⁾. Men zal uit het gezegde reeds voldoende bespeuren, dat de afstand het karakter eener tijdpoos heeft, indien de punttijdstippen in den zin van Robb (zie boven) de verhouding ‘voor en na’ hebben, en dat hij een ruimtelijk karakter heeft, indien de verhouding deze is van ‘noch voor, noch na’.

Bij de proefnemingen, die men aan kan geven, geschikt om de bedoelde afstanden door natuurlijke meting te vinden, komen er eenige finesses te pas, die althans even vermeld moeten worden. Ik bedoel de door Fitz Gerald en door Lorentz uitgesproken hypothese, die men door de beroemde proeven van Michelson en Morley bevestigd mag achten, dat

1) Over de natuurlijke verkorting van lichamen die zich bewegen en een paradox van de relativiteitstheorie. Vragen van den Dag, 1918, p. 395.

[p. 259]

bewegende lichamen gecontraheerd zijn in de bewegingsrichting, en de door Einstein uit het relativiteitsbeginsel, in zijn vroegeren vorm van beperkt relativiteitsbeginsel voor eenparige translaties, gepostuleerde verlangzaming in den loop van uurwerken, wanneer zij in translatie geraken.

9. Laat ons de zaken ook uit het oogpunt van de toenmalige theorie nog eens bezien. Men kan als postulaat uitspreken: de verschijnselen, die zich tusschen een bepaald stel van lichamen kunnen afspelen, verloopen niet anders, indien men aan dat stel als geheel een gemeenschappelijke translatiebeweging mededeelt. Toegepast op een bijzonder geval levert dit: indien een experimentator uitgerust wordt met een standaardmeter en een standaardklok, met eenige spiegels, en met eenige lichtgolven, dan zal de opschuiving van de wijzers zijner klok, gedurende een bepaald aantal heen-en-weergangen van een lichtgolf tusschen de aan de einden van den meter opgestelde spiegels, telkens even groot zijn, onverschillig of hij zijne opstelling maakt in een laboratorium op den vasten grond, of daarmee plaats neemt in een sneltreinwagen, dan wel - en dit kunnen wij er thans na de veralgemeening der theorie bijvoegen - in de kajuit van het projectiel, dat Jules Verne's fantasie afvuurde naar de maan, of in de eeuwige jachtvelden ergens in den Melkweg, waar de gravitatiepotentialen gansch andere zijn dan hier.

Dit is een natuurkundige hypothese. Velen zullen toegeven, dat zij weliswaar niet vanzelf spreekt, maar toch op zijn minst genomen zeer plausibel is¹⁾.

Men kan nu in twee richtingen verder. Overweegt men, dat de lichtgolven, waarmee de onderstelde experimentator zijn onderstelde proeven doet, uitgezonden worden door een lichtbron die mede deel uitmaakt van de door hem gebruikte

1) Terecht merkt Prof. Heymans op, dat men van een onvoorbereid lezer niet vergen mag, dat hij de hypothese aanneemt in de lezing die Prof. Heymans aldus weergeeft (pag. 90), dat een lichtstraal, die een bewegenden trein achterna gestuurd wordt, ten opzichte van dien trein dezelfde voortplantingssnelheid hebben moet als ten opzichte van den vasten grond. De schuld ligt hier echter aan de geringe precisie der zegswijze. De gespatieerde woorden loopen ten eenenmale over de fijnere onderscheidingen in het probleem heen. Zij onderstellen van te voren als vanzelfsprekend bekend den inhoud en de beteekenis van een meting, die juist onze theorie aan een analyse onderwerpt, welke tot de slotsom leidt, dat er heel wat aan vast zit, en wij niet zoo maar zonder meer ondubbelzinnig weten kunnen, wat een snelheid ten opzichte van iets beteekent. De t z.p. geciteerde woorden van Einstein: ‘Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum... für den Eisenbahnwagen als Bezugskörper’ impliceeren meer dan ‘ten opzichte van den trein’, nl. de uitrusting van den trein als ‘Bezugskörper’, d.w.z. instrumenten, hun ijking en hun instelling.

[p. 260]

opstelling, dan zou men met Ritz kunnen concludeeren, dat het licht, van een zich bewegende lichtbron afkomstig, in de richting dier beweging met grootere, in de tegengestelde richting met kleinere snelheid voortgaat dan dat van een stilstaande lichtbron. Dit zou echter indruischen tegen hetgeen astronomische waarnemingen van dubbelsterren ons te zien geven, bij welke men, spektroskopisch, afwisselend snelheden naar ons toe en van ons af waarneemt. De Sitter maakte de opmerking, dat de intervallen tusschen de tijdstippen waarop een grootste snelheid naar ons toe, resp. een grootste snelheid van ons af, waargenomen worden, gelijk zijn; zooals op andere gronden te verwachten was. Maar indien het licht, door de ster uitgezonden gedurende dat deel van de periode, waarin de beweging naar ons toe gericht is, een grootere snelheid naar ons toe hebben zou, (zooals de onderstelling van Ritz meebrengt), dan het licht, gedurende de andere helft der periode uitgezonden, dan zouden wij onmogelijk de bovengenoemde intervallen in de waarneming gelijk kunnen vinden. Het interval tusschen de waarneming van het maximum der naderingssnelheid en de volgende van het maximum der verwijderingssnelheid moest dan grooter zijn dan het interval tusschen de waarnemingen van maximum der verwijderingssnelheid en daaropvolgende maximum der naderingssnelheid; zoo er niet nog veel verwarder verhaspeling der waarnemingen het gevolg van zou zijn. Men moet wel besluiten, dat het licht zich door de ruimte voortplant met een snelheid, onafhankelijk van de beweging der stralende lichtbron.

Maar als dat zoo is, dan moet men ook de andere richting inslaan, de richting die Einstein gevolgd heeft. Einstein bestempelde de bovengenoemde hypothese met den naam van postulaat over de constantie der lichtsnelheid.

[p. 261]

Men mag dit postulaat beschouwen, hetzij als de samenvatting van de beteekenis der interferentieproef van Michelson, hetzij als een hypothese, die in de genoemde proef een bevestiging vindt.

10. Eene andere vraag, die wel eens tot misverstand leidt, is deze, waarom de relativiteitstheorie nu juist uitgaat van de constantie der lichtsnelheid, en niet van de constantie eener andere, of van alle snelheden? Ja, Prof. Heymans gaat zoover van hierbij in eenen adem te noemen het geluid, een postduif, een voetganger. Nu is er een duidelijk verschil tusschen de snelheid van een materieel individuum, die alle mogelijke waarden hebben kan, en waarbij van geen wet betreffende een bepaalde snelheid sprake kan zijn, en tusschen een voortplantingssnelheid van een evenwichtsverstoring. Alleen het geluid zou dus in de verte met het licht op een lijn kunnen worden gesteld. Maar bovendien, indien wij ons de zaak voorstellen op de manier die in het begin der voorgaande paragraaf aangegeven is: ongetwijfeld zal een voetganger in den trein, op zijn horloge ziende, en met normalen tred heen en weer loopende langs een meetkoord, daar net zooveel seconden van zijn horloge voor noodig hebben als wanneer hij dit in zijn tuin doet. En met het geluid is het niet anders gesteld; tenzij men gelieft te onderstellen dat men de proeven in de open lucht neemt op een platform van den trein, maar dan is ook de voorwaarde niet meer vervuld dat alle lichamen die bij het verschijnsel betrokken zijn, in een gemeenschappelijke translatie deelen: immers, dan deelen de luchtmolekulen, die de geluidsgolven overbrengen, niet in de beweging van den trein.

Voorts is er nog een groot verschil tusschen den adel van het licht, dat geen ponderabele middenstof noodig heeft om zich voort te stralen, en ook door het vacuum heen schijnt, en het geluid, dat ophoudt als er geen stoffelijke molekulen zijn om zijn impuls door te geven. - De eigenlijke grond voor een vraag als hier geschetst werd ligt echter dieper. Immers, het is niet uitgesloten, dat er andere werkingen zouden kunnen zijn die zich voortplanten, ook door het vacuum heen, met een andere snelheid dan die van het licht? Van de zwaartekracht meende men vroeger dat zij onmid-

[p. 262]

dellijk werkte overal op willekeurigen afstand. Direct weten wij hierover weinig. Einstein is in zijn theorie verder gegaan dan Newton; hij neemt aan dat ook de zwaartekrachtwerking zich uitbreidt met een snelheid gelijk aan die van het licht.

Indien er een werking zich met oneindig groote snelheid kon uitbreiden, dan zouden er geen paren van punttijdstippen kunnen zijn, die, in den zin van Robb, noch voor noch na elkaar zijn, zonder gelijktijdig te zijn. Dan zou men, bij de proef met lichtgolven in den trein, moeten kunnen vaststellen dat de tijd voor een heengang der lichtgolf langs de meterstaaf, als deze in de bewegingsrichting ligt, een andere was dan voor een teruggang. Dan zou het relativiteitsbeginsel geen geldigheid kunnen hebben. In de relativiteitstheorie kan er slechts sprake zijn van ééne snelheid van voortplanting voor alle werkingen die zich door het vacuum heen mochten voortplanten, en deze is gelijk aan de lichtsnelheid.

Voor deze bijzondere uitverkorenheid der lichtsnelheid kan men verder geen reden geven. Zij is niet evident. Men kan niet anders zeggen dan dat het in de natuur nu eenmaal zoo gelegen schijnt te zijn. Er is, wat dit betreft, aan de lichtsnelheid een kant van mysterie, waar men de oogen niet voor sluiten mag en waar men niet spoedig doorheen zal zien¹⁾, maar die toch niet behoeft te beletten, dat men, zij het slechts als experimenteele uitkomst, het postulaat over de constantie der lichtsnelheid kan laten gelden.²⁾

11. Dat men het in § 9 besproken postulaat in de beperktere theorie min of meer als axioma vooropstelt, geschiedt niet krachtens een a priori duidelijke innerlijke evidentie. Axiomaas worden niet vooropgesteld, omdat zij geen bewijs behoeven, maar omdat zij niet bewijsbaar zijn, en om, waar zij den wortel der problemen blootleggen, aan de voordracht

1) Een poging om op bollandistisch-wijsgeerigen grondslag van de bijzondere beteekenis der lichtsnelheid rekenschap te geven, werd onlangs gedaan door Ir. B. Wigersma. Het is mij echter niet gelukt tot het door hem bedoelde begrip door te dringen. (Natuurkunde en Relativiteitstheorie; pp. 31-33; Haarlem, J.W. Boissevain & Co., 1922).

2) Ter vermijding van misverstand zij uitdrukkelijk gezegd, dat dit postulaat behoort tot de relativiteitstheorie der translaties, en niet de mogelijkheid uitsluit, dat door een gravitatieveld de waarde der lichtsnelheid kan worden beïnvloed.

[p. 263]

eener leer een innerlijken logisch gesloten samenhang te verschaffen.

Zoo was het ook met de constantie der lichtsnelheid. Einstein stelde ze voorop als kernpunt en deduceerde daaruit zijne theorie met een meer verfijnde bewegingsleer, die de mogelijkheid niet a priori uitsloot, integendeel impliceerde, dat meetstaven en klokken wel eens den invloed konden ondervinden van een simpel in beweging geraken. Deze theorie legde een verband tusschen een menigte van experimenteele resultaten: die van Michelson en Morley, van Trouton en Noble, van Rayleigh en Brace, en anderen. Zij voorspelde een veranderlijkheid van de traagheidsmassa der elektronen, die, ook wat den vorm betreft der veranderlijkheid met de snelheid, bevestiging heeft gevonden, niet alleen in de experimenteele onderzoekingen van Neumann, en van Guye en Lavanchy, maar opnieuw in de overeenstemming met groote nauwkeurigheid van de spektrale metingen door Paschen over de detailstructuur der lijnen in het waterstofspectrum met de door Sommerfeld op grond van deze veranderlijkheid der traagheidsmassa berekende verwachtingen.¹⁾

Het succes der eerste, beperkte relativiteitstheorie, hoe groot en belangrijk ook op zichzelf, heeft nog niet de algemeene aandacht gaande gemaakt. Dit geschiedde eerst toen de experimenteele bevestiging bekend werd der door Einstein veralgemeende theorie. Ik mag bekend onderstellen, dat in deze theorie ook de zwaartekracht opgenomen is, en dat zij een innigen samenhang geeft tusschen traagheid, zwaarte en het licht. Ik behoef slechts terloops eraan te herinneren, hoe deze theorie, uit algemeene motieven en overwegingen ontstaan, haar schepper onmiddellijk als vrucht de verklaring in den schoot wierp der door de astronomen reeds lang opgemerkte anomale seculaire beweging van het perihelium van Mercurius, welke tot dusver met alle pogingen ter ongedwongen verklaring op grond der klassieke theorie van Newton had gespot. Voorts hoe de waarnemingen bij de zon-

1) Dus is de bewering van Prof. Heymans niet juist, ‘dat men uitsluitend ter wille van de proef van Michelson, deze geheel nieuwe... onderstelling... heeft aanvaard, hoewel bij andere bewegingsverschijnselen (zooals de mechanische...) niets is waargenomen dat die onderstelling zou steunen.’ (pag. 98).

[p. 264]

eclips te Sobral en Principe, door expresselijk gezonden expedities verricht, aangaande de voorspelde afwijking der lichtstralen in het sterke potentiaalveld dicht bij de zon, een positief gunstig resultaat leverden.

12. Wanneer men al deze dingen voor oogen houdt, is het onbegrijpelijk, hoe Prof. Heymans af kan dingen op de verklaringen die de relativiteitstheorie ons van eenige raadsels gegeven heeft, en een vergelijking met de klassieke mechanica min of meer te haren nadeele laat uitvallen. Alles wat de klassieke mechanica presteerde, presteert de relativiteitsmechanica eveneens, en nog meer bovendien. De relativiteitstheorie werpt de klassieke mechanica niet overboord. Zij vult ze integendeel aan en preciseert ze, waar de oudere zuster te kort schoot. Zij legt tusschen tot dusver zoo uiteenliggende verschijnselen als traagheid, zwaarte en lichtuitbreiding een innigen, onverbrekelijken samenhang. Vooral dit laatste is een geweldige schrede voorwaarts.

Er bestaat ook geen ‘principieel verschil tusschen datgene, wat die oudere natuurwetenschap als “verklaring” nastreefde en ten deele bereikte, en wat ook in het gunstigste geval’, - zoo niet ‘door’, gelijk Prof. Heymans eischt, dan toch in - ‘de relativiteitstheorie bereikt zou kunnen worden’.¹⁾

Het is waar, dat de relativiteitstheorie ter verklaring geen mechanismen verzonnen heeft. Dit wordt nadrukkelijk toegegeven, en door iemand als Eddington zelfs met nadruk gezegd. Men moge het betreuren, dat zij geen mechanische verklaring geeft, op dezen grond echter kan men haar niet disqualificeeren als natuurwetenschappelijke theorie. Zij blijft hierin niet achter bij de klassieke theorie van Newton. Deze zelf zegt: ‘Ik heb de verschijnselen van de hemellichamen en van de bewegingen der zee door de zwaartekracht verklaard, maar ik heb nergens de oorzaak van de laatste aangewezen. Het is voldoende, dat de zwaartekracht bestaat, dat ze volgens wetten werkt, die wij geformuleerd hebben, en dat ze in staat is de beweging van alle hemellichamen en van de zee te verklaren.’

1) 1 c. pag. 101, het aldaar gecursiveerde.

[p. 265]

Het schijnt mij toe, dat het kernpunt van Prof. Heymans' bezwaren geconcentreerd is in den door hem gecursiveerden zin: ‘Die formules zouden derhalve den eigenlijken en uitsluitenden grondslag vormen van wat de relativiteitstheorie aan verklaringen vermag te geven’¹⁾. Weliswaar noemt hij onmiddellijk daarop het opbouwen van zulk een stel formules een eerbiedwaardige prestatie, maar toch wekt de andere opmerking aan het slot, deze nl.: ‘dat men moet onderscheiden tusschen het uitkomen van zekere formules en de aannemelijkheid der daarvan gegeven interpretatie’²⁾, den indruk, dat hij deze formules niet in het juiste verband beoordeelt met de begripsconstructies waarvan zij slechts de mathematische uitdrukking zijn, en ook niet de rol van beteekenis dezer constructies bij ons begrijpen der natuur op de goede waarde schat.³⁾

13. Wij zeiden reeds eerder, dat wij, om de natuurverschijnselen te begrijpen, denkinstrumenten noodig hebben, hulpmiddelen, begripsconstructies. De vraag of wij ons deze eerst uit de empirie eigen maken of dat onze geest ze uit eigen kracht opbouwt, de vraag naar positivisme of idealisme, behoeft ons hierbij niet op te houden. Zeker is, dat Galilei den vrijen val niet had kunnen begrijpen zonder het begrip van een eenparig versnelde beweging.

Een uitstekende uiteenzetting hiervan vindt men in het aangehaalde boek van Cassirer. Ook Kohnstamm zegt het duidelijk in een onlangs verschenen brochure, en, al hebben wellicht vele anderen vóór hem hetzelfde geschreven, ik wil mij toch veroorloven hier zijne woorden nog eens aan te halen. ‘De werkelijkheid is zoo gecompliceerd’, schrijft hij⁴⁾, ‘dat wij haar niet kunnen overzien, en als wij ons

1) Pag. 104.

2) Pag. 107.

3) Men moet onderscheiden tusschen formules en formules. Er zijn er, die slechts wiskundige samenvattingen, zonder verklaring, geven, bijv. de stelling van Fermat, die den loop van lichtstralen bij spiegeling, breking, omvat. Andere daarentegen zijn de uitkomst van begripsconstructies, zooals bijv. die van de golftheorie van Huygens - Fresnel - Kirchhoff, en hebben als zoodanig verklarende waarde. Eenzelfde onderscheid valt te maken tusschen de formules van Newton en die van Einstein.

4) Ph. Kohnstamm, Over Natuurwetten, Wetmatigheid en Determinisme; Erven Bohn, Haarlem; pag. 9.

[p. 266]

zouden blijven bezighouden met die volle werkelijkheid, zouden wij nooit verder komen. In plaats van met werkelijkheden gaan we ons bezig houden met ideale constructies, met verschijnselen losgemaakt uit en geïsoleerd van het verband waarin zij empirisch worden aangetroffen. Ze zijn onontbeerlijk als hulpmiddel bij het steeds verder benaderen der werkelijkheid; telkens vullen we onze constructies aan om in dit of dat opzicht de werkelijkheid weer wat verder nabij te komen; en de “natuurwetten” - of juister, niet de wetten van de natuur, maar de wetten van de ideale constructies, die onze hulpmiddelen zijn om de natuur te begrijpen, - zijn de mijlpalen op den weg onzer vorderingen bij dit werk’.

Op den achtergrond van deze natuurwetenschapsopvatting teekent zich duidelijker af de beteekenis van de relativiteitstheorie en van de niet-euclidische constructies die zij voor haar natuurbegrip aanwendt.

Laten wij weer tot een voorbeeld onze toevlucht nemen. Stel dat landmeters te werk gaan volgens de triangulatiemethode om de wereld in kaart te brengen. Stel verder dat zij slechts bekend zijn met de meetkunde van het platte vlak, zooals hun die geleerd is door wetenschappelijke meetkundigen die de, met behulp van teekeningen ter grootte van hun teekenbord, bewijsbare en bewezen, stellingen geëxtrapoleerd hebben tot de euclidische meetkunde van het oneindige platte vlak. Zoolang dit het geval is, zoolang zullen onze landmeters de door hen opgemeten driehoeken niet goed aan elkaar weten te passen. Zij moeten noodzakelijk tot conflicten komen. Om daaruit te geraken, staan er twee wegen open. Zij kunnen als hypothese het bestaan van natuurkrachten aannemen, die hun metingen dusdanig beïnvloeden, dat hun driehoeken, hoe verder zij van hun oorspronkelijke basis afkomen, steeds kleiner, in getalmaat, uitvallen. Immers, zoo moeten zij redeneeren, het blijkt dat de omtrek van een grooter en grooter wordende cirkel, volgens de trangulatie gemeten, kleiner uitvalt, dan hij volgens de meetkunde zijn moet, en telkens erger mis is, naarmate zijn straal grooter is. - Of, zij kunnen op het idee komen om een, uit speelsch vernuft door een geniaal mathematicus uitgedachte, van de gangbare platte meetkunde afwijkende, geometrie van een

[p. 267]

boloppervlak eens toe te passen. Indien zij dit doen, vinden zij dat met dit schema het wel mogelijk is, hun driehoeken aan elkaar te passen zooals ze in werkelijkheid aaneensluitend opgemeten zijn, zonder hypothetische storende ‘krachten’. Mij dunkt, dat zij dan zouden mogen zeggen, dat de toepassing der nieuwe begripsconstructie hun waarnemingen verklaren kan.

Welken weg uit het dilemma zullen zij kiezen? Voor ons, die de meetkunde van een boloppervlak aanschouwelijk voor ons kunnen zien, met zijn boldriehoeken, is het antwoord niet twijfelachtig. Men mag echter met reden vermoeden, dat het voor de nieuwlichters onder de landmeters geen gemakkelijke taak zou zijn, de euclidici van de redelijkheid hunner afwijkende opvatting te overtuigen.

14. Tot den aanvang der twintigste eeuw heeft men, om voor het begrip een weg te vinden door de verschijnselen, genoeg gehad aan de begripsconstructies van de euclidische ruimte, en van een daarvan ondubbelzinnig gescheiden tijd. In 1905 droeg Einstein zijn relativiteitsbeginsel voor eenparige translaties voor. Dit liet de zwaartekracht voorloopig nog ganschelijk buiten spel. Minkowski gaf er een overzichtelijke samenvattende inkleeding van door de taal te gebruiken van een vierdimensionale meetkunde. Het gebeuren in de werkelijkheid kon voortaan worden aangepakt met één vierdimensionale, euclidisch-minkowskiaansche begripsconstructie, welke ruimte en tijd in éénen omvat. Dit was de eerste stap op den weg ter vervulling van de taak, de verschijnselen dynamisch, als geheel, te begrijpen, inplaats van als stuksgewijze compilatie van opeenvolgende statische toestanden.

Echter laat de gedachte Einstein niet los, dat de ingeslagen richting tot een theorie der zwaartekracht moet kunnen leiden. Hij neemt in 1912 kennis van de meetkundige begripsconstructies, die door Ricci en Levi-Civita zijn uitgewerkt op het voetspoor van Riemann en Christoffel: een systeem van differentiaalmeetkunde, toepasselijk op uitgebreidheden van een willekeurig aantal dimensies en van willekeurige kromming. Hier vindt hij dan eindelijk het denkinstrument, dat hij zoekt en noodig heeft! Na drie jaren tasten, bijna wanhopen, en stug volhoudend doorwerken gaat

[p. 268]

hem eindelijk het ware licht op en voelt hij zich in het einde van 1915 zijn doel nabij. De verklaring van Mercurius' periheliumbeweging vaagt thans allen twijfel aan de zekerheid van zijn uitkomst weg.

Wat is daarmee gebeurd? Wat is de verdienste van de nieuwe prestatie? Deze, dat Einstein voldoende onbevangen was om in een begrippencyclus, die door Saccheri, Bolyay, Lobatschewski, Gauss, Riemann als ‘niet-euclidische’ meetkunde met de uiterste scherpzinnigheid streng logisch vastgehouden en doorgevoerd werd, die tot dusver een weliswaar belangwekkende, maar overigens voor de meesten een nuttelooze begripsconstructie scheen, waaraan geen ‘realiteit’ toegeschreven werd, - om daarin te herkennen het meest toepasselijke en ongedwongen schema ter benadering van de werkelijkheid, en om te volharden in zijn pogingen het ook werkelijk sluitend toe te passen, met het succes, waarvan wij getuigen zijn.

15. Indien men anders te werk zou willen gaan, en vast zou willen houden aan het euclidische schema, dan moet men daarbij tot nieuwe krachten concludeeren, die de perihelium-eigenaardigheid van Mercurius en die de afwijking der lichtstralen van de rechte baan teweegbrengen. Deze krachten echter zou men op een of andere wijze weer moeten ‘verklaren’. Het is toch op zijn minst genomen veel eenvoudiger, om een ander begrippenschema te gebruiken, waarin geen onbegrepen, onverklaarde plaatsen zijn, al is het ook gecompliceerder, dan te meenen op het spoor te zijn van nieuwe, ganschelijk onbegrepen krachten!

Het door Römer ontsluierde raadsel der anomalieën in de tusschenpoozen der eclipsen van een der manen van Jupiter is ook niet verklaard geworden door het aannemen van nieuwe krachten, maar door het opgeven van de tot dan gebruikelijke naïeve oogenbliks-ruimte-opvatting, door de erkenning dat het licht zich met een eindige snelheid voortplant en door de aanvaarding van de hierdoor noodzakelijk geworden grootere gecompliceerdheid der begripsconstructie eener gelijktijdigheidsruimte, die wij reeds onder de oogen hebben gezien.

In dezen zin verklaart de toepassing van het niet-euclidische

[p. 269]

begrippencomplex der relativiteitsmechanica verschillende details van de zwaartekrachtswerking; niet in den zin van een mechanisme verzinnen. Verlangt men verder een verklaring voor het raadsel der toepasselijkheid zelf van dat begrippencomplex op de wereld der verschijnselen, dan moeten wij, stellig, het antwoord schuldig blijven. Maar dan mogen wij eischen, dat men erkennen zal evengoed voor een raadsel te staan waar het gaat om de toepasselijkheid van een euclidisch begrippenschema op de werkelijkheid, aan welke men zoo gewend is, dat het raadsel nauwelijks meer opvalt.

16. In dien zin ook hebben de ‘ruimtevormen’ der nieteuclidische meetkunden evenveel recht van ‘bestaan’ als de euclidische. Ten onrechte schrijft Prof. Heymans, dat die niet-euclidische meetkundige onderzoekingen slechts iets aangetoond hebben betreffende ‘algebraïsche formules’. De eerste niet-euclidici, zooals Saccheri en Bolyay, bewezen hun stellingen uit de figuren, niet rekenende. Ook de lateren bedoelden meetkunde te geven, geen algebra. Hetgeen zij uitwerkten waren eigenschappen van ruimtebegrippen. Welk daarvan men, in het begrip, bij uitstek en met uitsluiting der andere, de ruimte wil noemen, kan hoogstens een kwestie van definitie zijn, van woorden. In de natuur, in de werkelijkheid, heeft men een andere ruimte te onderscheiden¹⁾, waarvan men niet te voren kan zeggen dat zij deze of die eigenschappen noodzakelijk moet hebben. Of het ooit zin kan hebben te zeggen, dat zij euclidisch is, staat nog te bezien. Want het al of niet euclidisch zijn is een eigenschap van wiskundige begripsconstructies, en die zijn niet hetzelfde als de ruimte in de natuur. Mij dunkt dat de vraag naar de euclidiciteit opgevat moet worden als een vraag naar de toepasselijkheid der euclidische of niet-euclidische begripsconstructies in de natuur. Het zal eerst door proefnemingen kunnen blijken, welk ruimtebegrip zich het beste bij de waargenomen verschijnselen aanpast.

Er is bij dit alles ééne omstandigheid, die niettemin aan de euclidische meetkunde een voorsprong geeft boven de andere.

1) Prof. Van der Waals Jr. spitst het verschil toe in de woorden: ‘dat de wiskundige als zoodanig van de ruimte niets afweet.’ Over de ruimte, overdruk uit Onze Eeuw. n^o. 2, pag. 8.

[p. 270]

Evenals in het oneindig kleine een cirkel met zijn raaklijn, een bol met zijn raakvlak samenvalt, zoo wijkt de meetkunde in een oneindig klein gebied slechts oneindig weinig af van de euclidische. Hoe kleiner het gebied, met des te grooter benadering gelden de axiomaas en stellingen van Euclides. Zou dit niet de reden zijn, waarom wij van huis uit zooveel beter vertrouwd zijn met de euclidische voorstellingen dan met de daarvan afwijkende, omdat onze ruimte-ervaringen zich over slechts een betrekkelijk klein gebied uitstrekken; en zou hierin niet de verklaring kunnen liggen van de apodictische zekerheid, die den euclidischen axiomaas wat betreft hun geldigheid in de buitenwereld in veler gevoel aankleeft? - Dat bij kleiner en kleiner wordende afstanden met toenemende nauwkeurigheid euclidische stellingen gelden, is een voorbeeld van de algemeen waarneembare vereenvoudiging der betrekkingen wanneer wij ons beperken tot kleiner en kleiner gebied. Wij hebben reeds eerder ons bezig gehouden met de beschouwing van reeksen steeds kleiner wordende uitgestrektheden, die naderden tot punttijdstippen. Naarmate een gebeurtenis, een voorval van geringen omvang meer en meer tot de limiet van het punttijdstip nadert, naar die mate vereenvoudigen zich ook de inwendige verhoudingen tot een limiet van uitersten eenvoud en overzichtelijkheid. Deze limiet van eenvoud staat even goed buiten de werkelijkheid, als het punttijdstip, als het punt, als het oogenblik, buiten de werkelijkheid staan. Het zijn abstracties. Zoo'n limiet hebben wij ook in het eenvoudige en overzichtelijke begrippencomplex der euclidische meetkunde. Het zal nu duidelijk zijn, hoe het bedoeld is, wanneer wij zeggen dat de euclidische meetkunde buiten de werkelijkheid staat, en dat werkelijke toepasselijkheid in de natuurwereld, na de experimenteele bevestiging van Einsteins theorie, bij scherper toezien blijkt weggelegd te zijn voor een niet-euclidische begripsconstructie, van ruimte-en-tijd in hun vierdimensionale eenheid van het geschieden.

17. Dat door de relativiteitstheorie ‘alle axiomatische en hypothetische fundamenten der vroegere natuurbeschouwing volledig worden omvergeworpen’¹⁾, kan ik niet met Prof.

1) l c. pag. 101.

[p. 271]

Heymans inzien. Ze worden gepreciseerd, en aangevuld. Het komt mij voor, dat men over het algemeen bezig is de revolutioneerende kracht der theorie sterk te overschatten en in verkeerde richting overdreven voor te stellen. De theorie is een toetssteen, geen helsche machine! Zij werkt met een verbeterde benadering. Inderdaad is zij de theorie van de volgende decimaal. Het overgrootste deel der verschijnselen moet letterlijk eerst tot in de volgende decimaal nauwkeuriger bestudeerd en waargenomen worden, om de voorspellingen der theorie te kunnen op de proef stellen. Er zijn slechts enkele weinige verschijnselen, waarvoor de waarnemingsmethoden reeds nu daartoe scherp en fijn genoeg zijn. Bij twee van de drie is reeds een positief gunstig resultaat verkregen. -

Men vergunne mij, tot slot, naar aanleiding van deze gevreesde omwenteling der natuurbeschouwing, een vergelijking. Bij ons, in Europa, worden de fundamenten van groote gebouwen bij voorkeur zwaar en vast gelegd. In andere landen, in Japan bijv., construeert men de grootste en heiligste tempels op een grondstelling van houten palen, zoo licht en soepel mogelijk. De reden ligt in het veelvuldig voorkomen van aardbevingen ginds. Een zwaar en vast fundament zou bij een aardschok het gansche gebouw in gruis doen vallen. De buigzame houten stelling laat, subtiel, den aardbodem rustig onder zich golven, zonder ook maar een oogenblik te doen vreezen voor schade aan den tempel.

Waarom zouden wij dan niet den ‘tempel onzer natuurbeschouwing’ aldus kunnen en mogen optrekken, dat zijn grondstellingen zich buigzaam voegen kunnen, voegen naar de werkelijkheid?

A.D. Fokker.