De Gids. Jaargang 84

[p. 242]

Over meerdimensionale ruimten.

Door de Redactie met aandrang uitgenoodigd, voor de lezers van ‘De Gids’ in bevattelijken vorm iets mede te deelen over ruimten van een willekeurig aantal afmetingen, heb ik, na eenig beraad, gemeend mij aan deze eervolle taak niet te mogen onttrekken; het wil mij namelijk voorkomen dat wij, mathematici, er slechts wèl bij varen kunnen indien wij tegenover ieder blijk van belangstelling van de zijde van het publiek, tegenover iedere poging tot toenadering tot onze, inderdaad ietwat ‘abseits’ liggende, en moeilijk genaakbare, wetenschap een tegemoetkomende houding aannemen. Intusschen, de taak die wij aanvaarden indien wij op ons nemen in populairen vorm over wiskundige dingen te schrijven, is geen gemakkelijke, en eischt zelfs, indien het hoogere dimensies betreft, eenige zelfverloochening; immers, hoe beter wij slagen, hoe meer wij den lezer er van weten te doordringen dat een ruimte van meer dan drie afmetingen iets doodgewoons, ja in allerlaatste instantie eigenlijk iets triviaals is, de vraag n.l. naar de bestaansmogelijkheid van zulk een ruimte feitelijk identisch is met de, haast onnoozel klinkende, vraag of men zich een groep van vier, vijf, of algemeen n getallen kan denken,.... hoe beter wij slagen, zeg ik, hoe grondiger wij ons zelf berooven van een nimbus van hooge, en geheimzinnige, geleerdheid, waarover wij binnenskamers wel eens moeten glimlachen, maar die ons niettemin, menschen als ook wij nu eenmaal zijn, toch niet onwelgevallig is, en dit te minder, waar wij er zelf in geenen deele naar gestreefd hebben ons met dien nimbus te sieren, hij ons integendeel van buiten af, door een voor onze wetenschap ietwat angstig publiek, letterlijk is opgedrongen.

[p. 243]

Beschouwingen over meerdimensionale Meetkunde worden wellicht het best ingeleid door enkele opmerkingen, de ruimten betreffende waarmede wij vertrouwd zijn, n.l. de rechte lijn, zijnde een ruimte van slechts ééne afmeting, het platte vlak, dat tweedimensionaal is, en datgene wat wij gewoon zijn kortweg ‘de ruimte’ te noemen, en waaraan wij drie afmetingen toekennen. Wij willen ons het hoofd niet breken met de vraag (die geenszins zoo heel eenvoudig is) naar strenge definities der begrippen ‘rechte lijn’, ‘plat vlak’, ‘driedimensionale ruimte’, ‘dimensie’, ook niet met de vraag of de begrippen ‘recht’ en ‘plat’ in laatste instantie, en bij diepgaand onderzoek, niet slechts betrekkelijk blijken te zijn, zoodat datgene wat ieder ‘recht’ en ‘plat’ noemt, uit zeker ander standpunt gezien misschien met evenveel recht ‘krom’ en ‘gebogen’ genoemd kan worden; wat dit laatste betreft willen wij volstaan met op te merken dat ook de meetkunde haar ‘relativiteitsbeginsel’ bezit, en wat het eerste aangaat willen wij ons op het naieve standpunt stellen van over en weer toe te geven dat wij elkaar begrijpen indien wij spreken van, of hooren spreken over, een rechte of kromme lijn, een plat of een gebogen oppervlak, enz. Wij moeten er dan allereerst nog even uitdrukkelijk aan herinneren dat het aantal dimensies alleen den aard eener ruimte nog geenszins bepaalt; immers ook een kromme lijn is een lijn, dus ééndimensionaal, maar niettemin is het toch geheel iets anders dan een rechte.

In de tweede plaats moeten wij doen opmerken dat volstrekt niet iedere ruimte van een geringer aantal afmetingen plaats vindt in iedere ruimte van een hooger dimensiegetal; zoo past bijv. een cirkel, zijnde een gebogen lijn, dus een ééndimensionale ruimte, in een plat vlak, dat twéé afmetingen heeft, maar een schroeflijn, die wij allen kennen door onzen kurketrekker, niet. Omgekeerd ligt iedere kromme lijn op oppervlakken, zelfs op oneindig vele, alleen zijn deze in den regel niet plat; men heeft slechts een willekeurig punt der ruimte, dat ook wel op de kromme lijn zelve mag liggen, door rechte lijnen met alle punten dier kromme lijn te verbinden, om een kegeloppervlak te krijgen dat die lijn bevat. Men ziet dat niet alleen het aantal dimensies eener ruimte een getal van fundamenteel belang is, maar niet minder de

[p. 244]

kromming, en men bemerkt dat de vraag of een zekere ruimte zich ten volle kan ontplooien in een andere van een grooter aantal dimensies, niet, of slechts losjes, samenhangt met de meerdere of mindere uitgebreidheid dezer laatste; immers de schoeflijn, om bij deze nu maar te blijven, ligt wèl op een omwentelingscylinder, maar niet in een plat vlak, terwijl toch, indien wij den cylinder langs een beschrijvende lijn open snijden, en daarna uitspreiden in een plat vlak, slechts een strook van dat vlak bedekt wordt, zoodat het wel is waar niet zoo heel exact, maar vergeeflijk is indien wij zeggen dat het platte vlak uitgebreider is dan de cylinder.

Maar ook indien wij nu voorloopig de kromming maar buiten beschouwing laten, zijn er nog enkele belangrijke inleidende opmerkingen te maken. Denken wij eens twee verschillende, natuurlijk naar weerskanten onbegrensd verlengd gedachte, rechte lijnen in éénzelfde vlak; trekken wij ze geheel willekeurig, dan hebben zij een punt gemeen, zij kunnen echter ook zóó getrokken worden dat zij géén punt gemeen hebben, en dan heeten zij evenwijdig, en bezitten zij oneindig vele, onderling even lange, gemeenschappelijke loodlijnen, terwijl er, indien zij elkaar snijden, geen enkele lijn in het vlak bestaat die beide tegelijk loodrecht snijdt. Nemen wij echter diezelfde twee lijnen uit het vlak en plaatsen ze willekeurig ten opzichte van elkaar in de ruimte, dan kunnen zij een veel onafhankelijker positie ten opzichte van elkaar innemen dan in het vlak mogelijk was; zij snijden elkaar niet, maar zijn ook volstrekt niet evenwijdig, kunnen immers totaal verschillende richting hebben; men zegt dat zij elkaar kruisen. Slechts kruisende lijnen zijn pas in den waren zin des woords onafhankelijk van elkaar; zij hebben geen snijpunt, geen gemeenschappelijke richting, niets; en zoo zien wij dat de figuur, bestaande uit twéé rechte lijnen, twee ééndimensionale ruimten dus, om zich ten volle te kunnen ontplooien aan een tweedimensionale ruimte nog niet eens genoeg heeft, maar een driedimensionale eischt.

Denken wij nu eens twee platte vlakken, twee volledige, d.w.z. zich in alle richtingen die zij bevatten tot in het oneindige uitstrekkende, platte vlakken; deze kunnen slechts twee posities ten opzichte van elkaar innemen, zij hebben nl. òf een rechte lijn gemeen, òf zij zijn evenwijdig, en in dit

[p. 245]

laatste geval bezitten zij weer oneindig vele, onderling even lange, gemeenschappelijke loodlijnen.

Is het nu onmogelijk een ruimte, maar dan natuurlijk van meer dan drie afmetingen, te construeeren, waarin ook twee vlakken onafhankelijker van elkaar worden dan in een driedimensionale mogelijk is? Waarin zij bijv. nog slechts één punt, of in het geheel geen punt, gemeen hebben, en toch niet evenwijdig zijn, zoodat zij elkaar in den waren zin des woords kruisen? Is dit onmogelijk, vragen wij. Nu, physisch zeer zeker, maar logisch, in onze verbeelding? En wat kan het den mathematicus schelen of iets physisch realiseerbaar is! Zijn rechte lijnen en platte vlakken zijn toch immers physisch óók niet te realiseeren, hoogstens door dunne draden en bladen papier gebrekkig na te bootsen; wat doet het er dan toe of andere figuren, waarmede hij zich bezig houdt, in het geheel niet zijn weer te geven! De mathematicus, evenals de artist, met wien hij trouwens veel nauwer verwant is dan men gewoonlijk wel meent, schept de objecten waarmede hij zich wenscht bezig te houden, zelf, uit eigen, vrije verbeelding, en bij deze scheppingsdaad heeft hij nergens anders tegen te waken dan tegen logische tegenstrijdigheden; de kwestie der physische realiseer baarheid zijner concepties staat hier geheel naast, en is voor hem van hoegenaamd geen belang. Neen, er is een ander bezwaar aan de studie der meerdimensionale meetkunde verbonden, nl. dat het voorstellingsvermogen daarbij uitgeschakeld moet worden, aangezien wij met ons voorstellingsvermogen geen grooter aantal dimensies kunnen omvatten dan drie; doch dit bezwaar is in werkelijkheid veel geringer dan het schijnt. Ons voorstellingsvermogen toch is in hooge mate beperkt, kan door gestadige oefening weliswaar wat bijgewerkt worden, maar blijft toch altijd ver beneden wat wij zouden moeten eischen, wilden wij er werkelijk iets aan hebben. Zeker, de figuren waarmede wij ons op school bezig houden, zijn geestelijk nog wel volledig te aanschouwen, maar bij die waarmede de mathematicus van professie zich bezig houdt, is hier in de verste verte geen sprake meer van; deze is bij zijn studiën uitsluitend aangewezen op het logisch denkend verstand, terwijl zijn voorstellingsvermogen hoogstens zoo'n beetje als wegwijzer dienen kan; en nu is het merkwaardig

[p. 246]

dat zich bij de studie der meerdimensionale meetkunde van zelf, en onzes ondanks, een soort van pseudo-voorstelling ontwikkelt, die voor de studie der hoogere ruimten even goede, of, zoo men wil, even slechte, diensten bewijst als het werkelijke voorstellingsvermogen voor de ruimten met een aantal dimensies niet grooter dan drie.

Wij gaan er nu toe over ruimten van een willekeurig aantal afmetingen in onze verbeelding daadwerkelijk te construeeren, doordien wij een algemeen procédé aangeven met behulp waarvan uit een ruimte van een bepaald aantal afmetingen, zeg n, een ruimte van één afmeting hooger, dus n + 1, kan worden afgeleid; hiertoe is geenerlei geleerdheid, van welken aard ook, noodig; het eenige wat men te doen heeft is af te spreken dat men het onder alle omstandigheden als mogelijk zal beschouwen twee verschillende punten door één, maar ook slechts één, rechte lijn te verbinden.

Denk dan twee punten A en B; wij brengen de rechte lijn door deze twee punten, en noemen het inbegrip van alle punten van die lijn een ééndimensionale ruimte, die wij kortheidshalve door het teeken R₁ zullen aanduiden; nadat deze ruimte er eenmaal is bemerken wij dat de punten A en B, met behulp waarvan zij ontstaan is, geen bijzondere rol meer spelen, door ieder ander paar vervangen kunnen worden, en dus in de menigte kunnen verdwijnen.

Laat nu buiten de ruimte (dus de lijn) R₁ een punt C gegeven zijn; wij kunnen dan volgens het onderstelde C met alle punten van R₁ door rechte lijnen verbinden, (waarbij wij er voor alle zekerheid nog eens nadrukkelijk aan willen herinneren, dat wij onder een rechte lijn steeds verstaan een naar weerskanten oneindig verlengde rechte lijn), wat hierop neerkomt dat wij een rechte lijn door C op een of ander punt van R₁ laten rusten, en daarna om C laten draaien, en over R₁ laten glijden; het inbegrip van alle punten die op deze wijze door den draaienden en glijdenden straal getroffen worden, indien deze een volle omwenteling volbrengt (een halve is feitelijk al voldoende), noemen wij een plat vlak, of een tweedimensionale ruimte R₂.

Evenmin als wij zooeven konden bewijzen dat door twee punten steeds één, maar ook slechts één rechte lijn te trekken

[p. 247]

is (wij hebben het integendeel eenvoudig afgesproken), evenmin kunnen wij thans bewijzen dat een rechte lijn, die met het zooeven geconstrueerde vlak R₂ twee punten gemeen heeft, geheel in dit vlak ligt, hoewel ieder er van overtuigd is dat indien hij een volkomen rechte liniaal op een volkomen vlakke tafel legt, de liniaal in al haar punten met de tafel in aanraking is. De onmogelijkheid deze schijnbaar zoo eenvoudige dingen te bewijzen is geenszins een gevolg van gemis aan inventie bij de mathematici, waarover, althans bij sommigen, niet te klagen valt, en men behoeft niet de allergeringste hoop te koesteren dat er te eeniger tijd nog wel eens een man zal opstaan zóó schrander dat hij de ontbrekende bewijzen zal vinden; het relativiteitsbeginsel der meetkunde komt hier om den hoek gluren, en leert ons dat de beide stellingen weliswaar zeer wel mogelijk, maar logisch niet noodzakelijk zijn, m.a.w. dat het ook wel anders kan, dat door twee punten wel eens meer dan ééne rechte lijn te trekken is, en dat een rechte lijn en een plat vlak wel eens twee punten gemeen kunnen hebben zonder dat de lijn geheel in het vlak ligt. Sedert een kleine honderd jaar n.l. bezit het zelfstandig naamwoord ‘meetkunde’ ook een meervoud; d.w.z. sedert een kleine honderd jaar kennen wij allerlei verschillende meetkunden, logisch alle even onaantastbaar als diegene waarvan wij aannemen - want volkomen zeker weten doen wij het niet, integendeel, de jongste successen van de relativiteitstheorie van Einstein doen ons tegenwoordig al weer meer twijfelen dan vroeger - dat de materieele wereld er aan gehoorzaamt, en in sommige van deze meetkunden kunnen twee rechte lijnen, of een lijn en een vlak, twee punten gemeen hebben zonder samen te vallen. Waar wij ons echter voorstellen den weg, dien wij in onze schooljaren gevolgd hebben, en die wordt aangeduid door de beide woorden Planimetrie en Stereometrie, eenvoudig verder door te trekken, daar zullen wij de eigenschap dat een rechte lijn, die met een plat vlak twee punten gemeen heeft, geheel in dat vlak ligt, en waarvan de mogelijkheid, zooals reeds gezegd, experimenteel te toetsen is, eenvoudig eischen, om er onmiddellijk de conclusie uit te trekken dat het punt C en de rechte lijn AB = R₁, met behulp waarvan wij zooeven het vlak deden ontstaan, in geen enkel

[p. 248]

opzicht een bijzondere rol spelen, en dus door ieder ander punt en iedere andere rechte vervangen kunnen worden. Inderdaad, denken wij een punt C′ en een rechte R′₁, beide in R₂ gelegen, dan heeft iedere rechte die C′ verbindt met een punt van R′₁, twee punten met R₂ gemeen, zoodat zij er geheel in ligt; hetzelfde vlak ontstaat dus ook, indien men een rechte, die door C′ gaat, over R′₁ laat glijden.

Wij komen nu tot de constructie eener driedimensionale ruimte R₃, en behoeven hiertoe eenvoudig te onderstellen dat er buiten het platte vlak R₂, dat wij zooeven deden ontstaan, nog andere punten bestaan, d.w.z. dat het platte vlak R₂ nog niet het heelal is. Daarbij weten wij precies wat wij onder ‘buiten R₂’ hebben te verstaan; immers de punten van R₂ zijn dìe punten, maar ook uitsluitend dìe punten, die bereikt worden door den straal door C die glijdt over R₁; een punt D ligt dus buiten R₂ indien het door dien wentelenden straal niet getroffen wordt. Dan echter kan ook een lijn, die D verbindt met een punt van R₂, met dit vlak nooit meer dan dit ééne punt gemeen hebben; want had zij er twee mee gemeen, dan lag zij geheel in R₂, en was dus ook D een punt van R₂, wat tegen het onderstelde is.

Wij verbinden nu D met alle punten van R₂, en noemen het inbegrip van alle punten die zoodoende bereikt worden, een driedimensionale ruimte R₃. Is dit nu noodwendig het heelal, en identisch met de ruimte waarin de Aarde en de hemellichamen geplaatst zijn? Immers neen. Onze hier geconstrueerde R₃ is zuiver denkbeeldig, een zuiver product van onze phantasie, en de vraag of de physische ruimte met onze R₃ gelijkenis vertoont, is uit een mathematisch oogpunt van hoegenaamd geen belang. Maar indien wij dan inderdaad zuiver in het rijk der verbeelding vertoeven, welke reden is er dan om ons ruimte-voortbrengend procédé, dat ons tot dusver zulke uitnemende diensten bewezen heeft, nu plotseling stop te zetten, en ons aldus moedwillig den weg af te snijden tot hoogere ruimten? Wat is er op tegen om aan te nemen dat er buiten de R₃ die wij zooeven gecreëerd hebben, nog andere punten bestaan, te meer waar wij nauwkeurig weten aan te geven wat wij onder ‘buiten R₃’ heb-

[p. 249]

ben te verstaan. R₃ n.l. bevat alle punten, die gelegen zijn op alle stralen die het punt D verbinden met alle punten van het vlak R₃; is dus een punt P een punt van R₃, dan moet de lijn DP het vlak R₂ in een bepaald punt snijden (of er evenwijdig aan zijn), is echter P géén punt van R₃, dan... ja, dan mag de lijn DP het vlak R₂ nòch snijden, nòch er evenwijdig mee zijn, zoodat wij aan moeten nemen dat de lijn DP dat vlak dan kruist. Dit is, waar het voor de eerste maal geschiedt, misschien wel wat veel gevergd, omdat wij ons zoo iets absoluut niet kunnen voorstellen; intusschen meenen wij er nu genoegzaam bij stil gestaan te hebben dat ons voorstellingsvermogen met de bestaansmogelijkheid van meetkundige vormen niets te maken heeft, en logisch is de onderstelling dat een lijn een vlak kruist niet ongewoner dan die dat een lijn een lijn kruist. Toen wij het platte vlak hadden doen ontstaan uit een lijn R₁ en een punt C, hebben wij aangenomen dat er buiten dat vlak nog andere punten waren, d.w.z. wij hebben aangenomen dat er punten P bestonden zóódanig dat de lijn CP de lijn R₁ kruiste. Denken wij ons nu eens wezens, wier voorstellingsvermogen beperkt is tot het tweedimensionale gebied, die zich dus op een rechte en in een plat vlak àlles, in R₃ echter niets kunnen voorstellen; van deze zou precies evenveel gevergd worden indien zij de mogelijkheid van elkaar kruisende lijnen moesten toegeven als van ons nu wij de mogelijkheid moeten aanvaarden van lijnen en vlakken die elkaar kruisen. En denken wij omgekeerd eens wezens, begiftigd met een vierdimensionaal voorstellingsvermogen, dan zouden deze medelijdend neerzien op ons arme, driedimensionale creaturen, voor wie kruisende lijnen en vlakken zoo ijselijk ongewoon zijn. Men ziet het, ook deze dingen zijn alle slechts betrekkelijk, en afhankelijk van het standpunt van waaruit men ze beschouwt; en wie waarlijk met vrucht wetenschap wil beoefenen, moet zich weten los te maken van zichzelf, en bedenken dat slechts datgene ‘vreemd’ is wat men niet begrijpt.

Keeren wij na deze uitweiding nu terug tot onze R₃, die wij ons dus denken als een soort wolk, zwevende in een R₄ of hooger, evenals wij ons een lijn of een vlak denken als zwevende in R₃; moesten wij bij het platte vlak aan-

[p. 250]

nemen dat een rechte lijn, die er twee punten mee gemeen heeft, er geheel in ligt, bij R₃ kunnen wij dit nu bewijzen. Immers, heeft een rechte l met R₃ de beide punten P en Q gemeen, dan wil dit zeggen dat de lijnen DP en DQ het vlak R₂ snijden in twee punten P′ en Q′; dan echter ligt de lijn P′Q′ geheel in 'R₂, dus het vlak DP′Q′ geheel in R₃, en dus PQ, die met dit vlak de beide punten P en Q gemeen heeft en er dus geheel in ligt, eveneens geheel in R₃. Een lijn die niet geheel tot R₃ behoort, kan er dus hoogstens één punt mee gemeen hebben.

Thans komt de beslissende stap, die nu echter door het voorgaande al zóózeer is voorbereid dat hij ons wel niet veel moeite meer zal kosten. Wij denken een punt E buiten R₃, verbinden dit door rechte lijnen met alle punten van R₃, en noemen het inbegrip van alle punten die op deze wijze bereikt worden, een vierdimensionale ruimte R₄; en door nu te onderstellen dat er ook buiten R₄ nog punten zijn, en één van deze met alle punten van R₄ te verbinden, ontstaat een R₅, enz. Zoo levert ons ruimte-voortbrengend procédé op de allereenvoudigste wijze ruimten van een willekeurig aantal afmetingen, en die alle de eigenschap bezitten een rechte lijn in haar geheel te bevatten, zoodra zij er twee punten van bevatten.

Blijven wij nu echter voorloopig maar eens bij R₄. Wat is de algemeenste ligging van twee rechte lijnen in een R₄? In R₃ konden zij elkaar reeds kruisen; is nu in R₄ iets nog algemeeners mogelijk? Wij nemen op de ééne twee punten A en B aan, waardoor zij bepaald is, en op de andere twee punten C en D; nu bepalen A, B en C een vlak, en de verbindingslijnen van alle punten van dit vlak met D een R₃; maar tot die verbindingslijnen behoort ook CD, dus liggen de beide gegeven lijnen in R₃. Twee rechte lijnen die elkaar kruisen liggen dus altijd in een R₃, óók als zij in een hoogere ruimte aangenomen worden; zij bepalen, zooals wij het uitdrukken, een R₃, evenals twee punten een lijn bepalen, ook al worden zij aangenomen in een R_n.

Wat is de algemeenste onderlinge ligging van een lijn en een vlak in R₄? Hebben beide een punt C gemeen, dan bepalen wij het vlak door C en nog twee andere punten A

[p. 251]

en B, de lijn door C en nog een punt D. Maar indien wij dan D met alle punten van het vlak ABC verbinden, waardoor een R₃ ontstaat, dan behoort ook DC tot de verbindingslijnen; een lijn en een vlak die een punt gemeen hebben bepalen dus slechts een R₃. Nemen wij dus aan dat zij elkaar kruisen. Dan moeten wij het vlak bepalen door drie punten A, B, C, de lijn door twee punten D en E. Verbinden wij dan D met alle punten van het vlak, dan ontstaat een R₃, tot welke echter het punt E niet behoort; was dit n.l. zoo, dan zou de lijn DE, dus de gegeven lijn, het vlak moeten snijden, wat tegen het onderstelde is. De verbindingslijnen van E met alle punten van R₃ bepalen dus een R₄, en in deze ligt zoowel het vlak ABC als de lijn DE; omgekeerd kunnen wij dus zeggen dat een lijn en een vlak in R₄, in algemeenste ligging ten opzichte van elkaar, elkaar kruisen.

Wat is de algemeenste, dus meest onafhankelijke, onderlinge ligging van twee vlakken in R₄? Hebben zij een lijn gemeen, dan bepalen wij deze door twee punten A en B, en daarna het ééne vlak nog door een punt C, het andere door een punt D; maar indien wij nu D met alle punten van het vlak ABC verbinden, waardoor een R₃ ontstaat, dan moeten wij D óók met alle punten van AB verbinden; het vlak ABD ligt dus in de R₃, en twee vlakken die een lijn gemeen hebben bepalen altijd een R₃.

Wij zullen dus aannemen dat zij slechts een punt gemeen hebben. Het ééne vlak bepalen wij dan door dit punt A en twee andere punten B en C, het andere door A en twee punten D en E. De lijn DE behoort nu niet tot de R₃, bepaald door het vlak ABC en het punt D, want wàs dit zoo, dan zou DE het vlak ABC in een punt S moeten snijden, en zouden dus de beide vlakken de punten A en S, dus de geheele lijn AS, gemeen hebben. Het punt E bepaalt dus met de R₃ een R₄, en omgekeerd hebben twee vlakken, die wèl in een R₄, maar niet in een R₃ liggen, een punt gemeen; neemt men n.l. aan dat zij in het geheel niets gemeen hebben, dus elkaar kruisen, dan heeft men ter hunner bepaling zes punten noodig, en komt men van zelf tot het resultaat dat zij dus niet meer in een R₄, maar in een R₅ liggen; twee vlakken kunnen elkaar dus pas in R₅ kruisen.

De lezer zal er nu ongetwijfeld zelf wel in slagen te bewij-

[p. 252]

zen dat een lijn en een R₃, in een R₄ gelegen, noodzakelijk een punt gemeen moeten hebben, en elkaar pas kunnen kruisen in R₅; dat een vlak en een R₃ in R₄ een lijn, in R₅ een punt gemeen hebben, en elkaar pas in R₆ kunnen kruisen; en eindelijk dat twee R₃'s in R₄ een vlak, in R₅ een lijn, in R₆ een punt gemeen hebben, en elkaar pas in R₇ kunnen kruisen. De methode is steeds dezelfde, en alles hangt slechts af van het geringste aantal punten dat noodig is om de beide figuren te bepalen, waarbij een gemeenschappelijk punt steeds onder de bepalende punten is op te nemen, en op een gemeenschappelijke lijn twee, in een gemeenschappelijk vlak drie van die bepalende punten te leggen zijn.

Door het voorgaande hopen wij den belangstellenden lezer met het begrip ‘meerdimensionale ruimten’ nu eenigszins vertrouwd gemaakt te hebben; de volgende opmerkingen kunnen het inzicht in deze ruimten wellicht nog iets verhelderen. Men kan in een vlak in ieder punt O van een lijn één loodlijn op die lijn oprichten, maar ligt die lijn tevens in een R₃, dan zijn er oneindig veel, immers men kan den rechten hoek om zijn ééne been laten draaien; en al die loodlijden liggen zelve weer in een vlak, n.l. het vlak dat in O loodrecht staat op de lijn. Maar hoe nu indien de lijn in een R₄ ligt? Het onderzoek leert dat er ook dan oneindig veel loodlijnen zijn, die echter niet slechts een vlak, maar een R₃ vullen, de R₃ die in O loodrecht staat op de lijn. Omgekeerd kan men in ieder punt O van een R₃ die in een R₄ ligt, ééne loodlijn op die R₃ oprichten. Laat ons nu die R₃ eens identificeeren met de ruimte waarin wij zelf leven, en onderstellen dat het heelal een R₄ is. Wij kunnen dan door een willekeurig punt O van onze R₃ gemakkelijk drie lijnen trekken die in die R₃ liggen en onderling loodrecht op elkaar staan, in den trant van drie ribben van een kubus die van één hoekpunt uitgaan; maar wij kunnen nu bovendien de lijn door O denken die loodrecht staat op de geheele R₃, en dus o.a. op de drie ribben van den kubus. De geringste verplaatsing in de richting van deze laatste loodlijn zou ons buiten onze R₃ brengen, evenals de geringste verplaatsing in de richting loodrecht op een vlak ons uit dat vlak brengt; het is ons echter ontzegd die richting loodrecht op onze R₃ te ontdekken!

[p. 253]

Maar in ieder geval leert ons deze beschouwing dat er door een punt van R₄ groepen van vier lijnen te trekken zijn die twee aan twee loodrecht op elkaar staan, terwijl er in een R₅ zelfs groepen van 5 zulke lijnen bestaan, enz. En indien wij door twee van die 4 lijnen een vlak brengen, en door de beide overige eveneens, dan krijgen wij twee vlakken, die slechts het punt O gemeen hebben, en waarbij iedere lijn in het ééne loodrecht staat op iedere lijn in het andere.

Wij hebben tot nu toe uitsluitend gesproken over de eenvoudigste soort van meerdimensionale ruimten, n.l. diegene die een geheele rechte lijn bevatten zoodra zij twee punten van die lijn bevatten. Deze ruimten behoorden aangeduid te worden door een adjectief, dat het analogon vormde van het ééndimensionale ‘recht’, en het tweedimensionale ‘plat’, maar aangezien zulk een bijvoeglijk naamwoord begrijpelijkerwijze ontbreekt, hebben de wiskundigen zelven er een moeten maken; zij hebben, op goede gronden, het woord ‘lineair’ gekozen, en noemen dus iedere ruimte lineair indien zij de eigenschap bezit een geheele rechte lijn te bevatten zoodra zij er twee punten van bevat. Het is nu echter een uiterst eenvoudige zaak ook andere, zoogenaamd ‘gebogen’ ruimten voort te brengen. Denken wij in R₃ alle lijnen door een punt O getrokken, en op elk daarvan van O uit, en naar weerskanten, een stuk r uitgezet, dan is de meetkundige plaats der uiteinden van al die stukken r een bol met middelpunt O en straal r; wat ontstaat nu indien wij hetzelfde doen in R₄? In R₃ kan men alle lijnen door een punt O vinden door O te verbinden met alle punten van een vlak, in R₄ echter door O te verbinden met alle punten van een R₃; zet men dus nu op al die lijnen een stuk r af, dan zal een driedimensionale ruimte ontstaan, de zoogenaamde ‘hyperspheer’, het vierdimensionale analogon van het boloppervlak, en waarvan gemakkelijk is aan te toonen dat zij door een rechte lijn in twee punten gesneden kan worden, zonder dat die lijn over haar geheele uitgestrektheid er toe behoort. Door een plat vlak wordt zij gesneden volgens een cirkel, door een R₃ volgens een boloppervlak, en indien zij beschenen wordt door de vierdimensionale zon, dan is haar slagschaduw op een R₃ een ellipsoïde, in bijzondere gevallen een bol; binnen die ellip-

[p. 254]

soïde of dien bol zou geen zonnestraal kunnen komen. Onze driedimensionale zon echter zou van de hyperspheer slechts den bol kunnen bestralen dien deze eventueel met onze physische ruimte gemeen heeft; want, men bedenke het wel, onze driedimensionale zon met al haar glans en pracht laat R₄ in het duister! R₄ is slechts te verlichten door de stralen van het menschelijk vernuft.

Ik zal van den belangstellenden lezer niet meer attentie vergen dan ik tot nu toe gedaan heb, en dit te minder waar ik er van overtuigd ben dat ik, hoezeer ik mij ook beijverd heb om eenvoudig en duidelijk te zijn, toch tamelijk hooge eischen gesteld heb; wiskunde laat zich nu eenmaal niet lezen als een roman! Er zouden anders nog interessante dingen genoeg te behandelen zijn, ja dingen die aan het wonderbaarlijke grenzen; of is het soms niet wonderbaarlijk indien ik u zeg dat ik kan maken dat gij uw linker handschoen aan uw rechter hand kunt aantrekken, en dat hij daar als aangegoten zal zitten? Ik heb hem daartoe maar even door de 4^e dimensie te halen; als linker handschoen verlaat hij onze ruimte, als rechter keert hij er terug!

Een klein weinigje inspanning zal ons ook dit doen begrijpen. Denken wij in een plat vlak eens een driehoek, zoo onregelmatig mogelijk, dus met drie ongelijke zijden en hoeken, en denken wij verder in dat vlak ook een rechte lijn l. Wij laten nu dien driehoek om de lijn l als scharnier, en door de driedimensionale ruimte heen, wentelen, totdat hij aan den anderen kant van l weer in het vlak terug komt; de onderkant is dan boven gekomen, de bovenkant onder, en het effect der wenteling is hetzelfde als wanneer wij van den driehoek ten opzichte van de lijn l het spiegelbeeld geconstrueerd hadden. Hier nu is hetzelfde wonder geschied als met den handschoen. Een wezen, welks voorstellingsvermogen niet meer omvat dan twee dimensies, voor hetwelk dus een R₃ even geheimzinnig is als voor ons een R₄, en voor hetwelk een draaiing om een lijn ten eenenmale onvoorstelbaar is, zulk een wezen acht het uitgesloten en onmogelijk dat twee driehoeken die elkaars spiegelbeeld zijn, ooit tot dekking gebracht zouden kunnen worden; want welke bewegingen hij ook met die driehoeken moge uitvoeren (maar natuurlijk

[p. 255]

ìn hun vlak), zij zullen nooit op elkaar passen; en als hij gewaar wordt dat zij tòch op elkaar passen, zal hij zeggen dat er een wonder heeft plaats gegrepen. Dit wonder is dan een simpele draaiing om een lijn!

In R₄ heeft een draaiing plaats om een vlak. Nemen wij in R₃ een willekeurig vlak aan, en laten wij R₃ met onzen linker handschoen erin om dit vlak een halven slag wentelen (waardoor de handschoen dus nu door R₄ heengaat), dan valt hij na afloop dier wenteling samen met zijn spiegelbeeld; maar het spiegelbeeld van een linker handschoen is een rechter!

Amsterdam, 11 Jan. 1920.

Hk. de Vries.