De Gids. Jaargang 75

[p. 333]

De verdeeling der zetels over de verschillende partijgroepen bij evenredige vertegenwoordiging.

Das wichtigste Problem im ganzen Verhältniswahlsystem ist die Methode der Verteilung der Mandate unter die verschiedenen Gruppen.
Dr. Ernst Cahn. Das Verhältniswahlsystem in den modernen Kulturstaaten (1909).

Tweemaal is in dit tijdschrift een voor ons land passend stelsel van evenredige vertegenwoordiging ontwikkeld, beide keeren door mannen van gezag op staatkundig gebied.

Het eerste stelsel werd ontworpen door Mr. R.A. Fruin in 1869 en komt in het kort hierop neer.

Elk kiezer wordt in de gelegenheid gesteld, schriftelijk te verklaren, of hij zich bij eenige erkende partijgroep wenscht aan te sluiten en, zoo ja, bij welke. Uit de ingekomen verklaringen blijkt vooreerst het totaal aantal kiezers, dat aan de stemming zal deelnemen. Deelt men dit getal door het aantal te verkiezen vertegenwoordigers, dan vindt men het aantal kiezers, dat noodig is voor - maar tevens recht heeft op - één zetel, d.i. het zoogenaamde kiesquotient. Ten tweede kan men er uit afleiden het aantal stemmen, dat door elke partij zal worden uitgebracht. Deelt men deze getallen door het kiesquotient, dan vindt men het aantal afgevaardigden, dat door elke partij moet gekozen worden.

Nu ontvangt ieder kiezer, die eene verklaring heeft ingezonden, een stembiljet, waarop hij zooveel namen invult, als het aantal afgevaardigden bedraagt, waarop de partij, waartoe hij behoort, recht heeft. Men telt de stemmen, die op ieder der candidaten zijn uitgebracht, en verklaart in elke partij

[p. 334]

als gekozen zoovelen van hen, die de meeste stemmen op zich vereenigd hebben, als het aantal aan de partij toegewezen zetels bedraagt.

Bij de berekening van het aantal vertegenwoordigers, dat aan iedere partij toekomt, wenschte Fruin den ‘gewonen regel’ gevolgd te hebben, ‘dat de helft en daarboven voor een geheel, daarbeneden voor niets wordt gerekend’, en hij merkt er het volgende bij op: ‘Het zou kunnen gebeuren, dat de Kamer een lid boven of beneden de 80’ (het toenmaals vastgestelde aantal) ‘bekwam, al naardat er toevallig meer getallen boven de helft voor heele, of beneden de helft voor niet gerekend moesten worden; maar dit zou tamelijk onverschillig zijn’.¹⁾.

Hieruit volgt m.i., dat Mr. Fruin er geen bezwaar in zou gezien hebben, als de wet een zekere speling in het aantal kamerleden toeliet. Wanneer dit geschiedde, zou daardoor een der lastigste kwesties (volgens Dr. Cahn ‘das wichtigste Problem’) bij de evenredige vertegenwoordiging op zeer eenvoudige wijze opgelost kunnen worden. Men dient echter te bedenken, dat bij toepassing van de door Fruin voorgestelde manier er niet altijd sprake is van slechts één meer of één minder, maar dat de overmaat of het te kort op kan loopen tot een bedrag, gelijk aan de helft van het aantal partijen, wanneer dit even, en aan het naast kleinere geheele getal, wanneer het oneven is. Vooral in het stelsel van Fruin zou dan de toegestane speling vrij groot genomen moeten worden, daar dit systeem juist de strekking heeft, het vormen van een groot aantal partijgroepen uit te lokken.

Het tweede stelsel, dat in de Gids werd ontwikkeld, is van Mr. W.H. de Beaufort en ligt nog versch in het geheugen van de Gidslezers.²⁾

Wat de verdeeling der zetels over de verschillende partijen betreft, volgt deze schrijver het stelsel van Hare, in zoo verre, dat de stemmen. die een kandidaat meer heeft verkregen, dan door het kiesquotient wordt aangewezen, aan een anderen kandidaat van dezelfde partij ten goede kunnen komen. Maar hij laat het van het beleid der partij-

1) Gids 1869 IV, blz. 29.

2) Gids, Juli 1910, blz. 31.

[p. 335]

leiders en van de volgzaamheid der kiezers afhangen, in hoe verre dit werkelijk geschieden zal. Hij zelf zegt hiervan: ‘Misrekeningen zijn natuurlijk niet uitgesloten, in dit opzicht staan alle partijen evenwel gelijk. In elk geval zal de uitslag der stemming een veel juister uitdrukking zijn van de verhouding der partijen, dan dit onder het thans geldend stelsel mogelijk is.’¹⁾

Eene studie van de methoden, die bepaaldelijk ten doel hebben, de evenredigheid tusschen het aantal vertegenwoordigers van elke partij en hare getalsterkte naar een vasten regel zoo nauwkeurig mogelijk te benaderen, vindt derhalve in het stelsel van Mr. de Beaufort geen aanknoopingspunt. Toch zij het mij vergund eene zinsnede uit zijn artikel aan te halen, die op deze kwestie betrekking heeft en, naar mijne bescheiden meening, wellicht aanleiding zou kunnen geven tot misverstand.

Na het grondbeginsel van het evenredig kiesrecht in het algemeen te hebben toegelicht, zegt de schrijver: ‘Bij elke oplossing is wiskundige juistheid uitgesloten en moet er van eenige benadering sprake zijn. Het bezwaar ligt in het geheim der stemming; bestond dit niet, dan ware de mogelijkheid gevonden, om tot eene vertegenwoordiging der partijen te komen in juiste verhouding tot hunne wezenlijke getalsterkte.’²⁾

Men zou hieruit kunnen opmaken, dat alle zwarigheden, die een zuiver evenredige vertegenwoordiging bemoeielijken, uit den weg geruimd zouden kunnen worden, als slechts het geheim der stemming werd opgeheven. Dit kan natuurlijk de bedoeling van den schrijver niet geweest zijn. Immers, al was van ieder kiezer bekend, tot welke partij hij behoort en op welken kandidaat hij zijn stem uitbrengt, dan zou men toch even goed voor de vraag komen te staan, hoe te handelen met de breuken in de uitkomsten der deelingen van de getalsterkte der partijen door het kiesquotient. De schrijver kan dus met de aangehaalde woorden niet gedoeld hebben op de verdeeling der zetels over de verschillende partijen, maar veeleer op de vraag, welke kandidaten van

1) T.a.p. bl. z. 44.

2) T.a.p. blz. 36.

[p. 336]

elke partij als gekozen moeten worden beschouwd, als eenmaal het aantal afgevaardigden, waarop elke partij recht heeft, is vastgesteld. De bespreking van deze kwestie, eveneens van groot gewicht, ligt echter niet op mijn weg.

In het volgende bepaal ik mij dus uitsluitend tot het volgende probleem:

Gegeven: de getalsterkte van elke partij en het aantal beschikbare zetels; vrage: deze zetels zooveel mogelijk in evenredigheid van de getalsterkte over de partijen te verdeelen.

Met blijkbare instemming haalt Cahn¹⁾ de opmerking aan van Klöti in diens werk over het evenredig kiesrecht in Zwitserland, dat de evenredige verdeeling van een gegeven aantal onverdeelbare eenheden over gegeven sommen een wiskundig vraagstuk is, dat tot nog toe weinig de aandacht getrokken heeft.

Als men echter de Revue scientifique (Revue Rose) van eenige jaren geleden doorbladert, komt men hier en daar een artikel tegen over evenredige vertegenwoordiging, waarin dit vraagstuk wel degelijk wiskundig behandeld wordt.²⁾ Met behulp van stelkundige formules tracht elk der schrijvers het bewijs te leveren, dat de methode, die door hem verdedigd wordt, de beste is. Maar m.i. bewijzen die wiskundige betoogen weinig meer, dan dat de wiskunde in deze zaak geen uitspraak kan doen. Terecht zegt A. Sainte-Laguë³⁾, dat de keuze tusschen twee methoden meer een kwestie is van het gevoel dan van het verstand.

Dit neemt niet weg, dat de bedoelde verhandelingen aanleiding geven tot beschouwingen en opmerkingen, die het inzicht in de eigenaardigheden van elke methode kunnen

1) Dr. Ernst Cahn, Das Verhältniswahlsystem in den modernen Kulturstaaten, blz. 315.

2) Zoo bijv.: Revue scientifique 1905 II p. 545 en 584: Examen critique des divers procédés de répartition proportionnelle en matière électorale, par Emile Macquart, Secrétaire général de la Ligue pour la Représentation proportionnelle. - 1906 I p. 174: Théorie mathématique de la représentation proportionnelle par Pierre Faure. - 1907 I p. 161 en 199: Représentation et répartition proportionnelles par G. La Chesnais - enz.

3) Revue générale des sciences, 1910 p. 846.

[p. 337]

verhelderen en waarop ik in de volgende bladzijden de aandacht van belangstellenden wenscht te vestigen. Ik ontleen de vrijmoedigheid daartoe ten eerste aan de omstandigheid, dat noch in het werk van Cahn - dat zeker wel als een standaardwerk in zake evenredig kiesrecht kan beschouwd worden - noch ook in het daaraan toegevoegde uitgebreide litteratuur-overzicht melding gemaakt wordt van de artikelen in de Revue Rose; en in de tweede plaats aan het feit, dat na het verschijnen van dat boek een fransch geleerde langs wiskundigen weg tot eene methode gekomen is, die bij onderzoek blijkt niet anders te zijn, dan een volledige uitwerking van de door Fruin in 1869 als ter loops aangeduide rekenwijze.

Bij de bespreking van de verschillende manieren, om de zetels zooveel mogelijk naar evenredigheid van de getalsterkte der partijen over deze te verdeelen, ga ik uit van een voorbeeld, dat er op gemaakt is, om de eigenaardigheden van elke methode duidelijk te doen uitkomen.

Er worden 5 partijen A, B, C, D en E ondersteld, die onderscheidenlijk uitbrengen:

A	500 stemmen.
B	370 stemmen.
C	220 stemmen.
D	120 stemmen.
E	70 stemmen.
_____
totaal	1280 stemmen.

Er moeten 8 afgevaardigden gekozen worden. Het kiesquotient, dat is dus het aantal stemmen, dat recht geeft op één zetel, bedraagt 1280: 8=160.

Deelt men dit kiesquotient op de getalsterkte van elke partij, dan komt er:

A	3,12 zetels of	3 zetels en een rest van	20 stemmen
B	2,31 zetels of	2 zetels en een rest van	50 stemmen
C	1,38 zetels of	1 zetels en een rest van	60 stemmen
D	0,75 zetels of	0 zetels en een rest van	120 stemmen
E	0,44 zetels of	0 zetels en een rest van	70 stemmen
	_____	_____	_____
te zamen	8,00 zetels;	bezet 6 zetels;	resten: 320 stemmen

De 320 stemmen, die te zamen recht hebben op de twee nog onbezette zetels, zijn nu zoo over de 5 partijen verdeeld,

[p. 338]

dat elke partij slechts op een breukdeel van een zetel aanspraak kan maken. De twee zetels moeten echter ongeschonden vergeven worden. Aan welke twee partijen zal men ze toewijzen?

Het antwoord, dat het meest voor de hand ligt, is zeker wel: aan die partijen, waarbij het grootste aantal ongebruikte stemmen is overgebleven, dat zijn D en E; want deze partijen komen een grooter breukdeel van een zetel te kort, dan elk der andere en zullen dus ook door één zetel meer het minst bevoordeeld worden. Zij krijgen dan namelijk 0, 25 en 0,56 zetel meer, dan haar theoretisch toekomt, terwijl A, B en C resp. 0,88, 0,69 en 0,62 zetels meer zouden krijgen.

Naar dit beginsel wordt inderdaad bij sommige verkiezingen in Duitschland en in een enkel kanton in Zwitserland gehandeld. In ons voorbeeld wordt dan de verdeeling:

A	B	C	D	E
3	2	1	1	1 zetels.

Om te onderzoeken, in hoeverre deze uitkomst voldoet aan den eisch der evenredigheid, deelen wij de getalsterkte van elke partij door het aantal zetels, dat aan die partij is toegewezen, en vinden dan:

voor A	500 : 3 = 167
voor B	370 : 2 = 185
voor C	220 : 1 = 220
voor D	120 : 1 = 120
voor E	70 : 1 = 70

Deze getallen, waarvan de beteekenis voor de afzonderlijke partijen analoog is met die van het kiesquotient voor al de kiezers samen, zullen wij de partijquotienten noemen. Zij geven het aantal kiezers aan, dat nu in elke partij door één afgevaardigde vertegenwoordigd wordt.

Bij een ideale evenredige vertegenwoordiging zouden de partijquotienten alle even groot zijn en gelijk aan het kiesquotient. Het is er verre van af, dat dit hier het geval is. Terwijl 160 stemmen noodig en voldoende zijn, om recht te geven op één vertegenwoordiger, krijgen D en E met resp. slechts 120 en 70 stemmen één vertegenwoordiger, terwijl A, B en C zich tevreden moeten stellen met één vertegenwoordiger op resp. 167, 185 en 220 stemmen.

Vergelijkt men de meest bevoorrechte partij E met de

[p. 339]

meest benadeelde C, dan blijkt het, dat in partij C ruim 3 maal zooveel kiezers door één afgevaardigde worden vertegenwoordigd als in partij E.

De hier toegepaste methode heet de methode der grootste resten. Wij zullen haar in het volgende kortheidshalve aanduiden door: Gr. R.

Beschouwt men den eisch van de onderlinge gelijkheid der partijquotienten als van overwegend en dien van de gelijkheid aan het kiesquotient als van ondergeschikt belang, dan kan men een kleiner getal als kiesquotient aannemen, zoodanig, dat alle zetels terstond vergeven worden. Men voert inplaats van het ware kiesquotient een hulpkiesquotient in, zoo gekozen, dat de evenredigheid, voorzoover die verkregen wordt, als men van alle partijen de getalsterkte door een zelfde getal deelt, niet weer verstoord behoeft te worden, doordat aan enkele partijen een zetel meer moet worden toegekend. Wel is dan het aantal stemmen, dat recht geeft op één zetel, eigenlijk te klein, maar in dit voordeel deelen alle partijen.

Nemen wij in ons voorbeeld inplaats van het ware kiesquotient 160 een der getallen 121, 122, 123 als hulpkiesquotient aan, dan krijgen wij terstond de volgende verdeeling der zetels:

A	B	C	D	E
4	3	1	0	0 zetels.

Het is gemakkelijk zulk een hulpkiesquotient te vinden. Stelt men zich namelijk voor, dat het kiesquotient, van 160 af, geleidelijk kleiner wordt genomen, dan is het duidelijk, dat bij bepaalde getalwaarden nu eens deze dan gene partij een zetel meer krijgt. En deze getalwaarden bepaalt men door de getalsterkte van elke partij te deelen door het aantal reeds verkregen zetels vermeerderd met 1. Zoo moet het kiesquotient tot 500 : 4 = 125 gedaald zijn, om aan A 4 zetels te geven in plaats van 3; tot 370 : 3 = 123⅛, om aan B 3 zetels te geven inplaats van 2; tot 220 : 2 = 110 om aan C een zetel meer te geven, tot 120, om D en tot 70, om E één zetel te bezorgen.

Daar 125 het grootste dezer quotienten is, zal, bij het geleidelijk kleiner worden van het kiesquotient, A het eerst een zetel winnen. Men mag nu echter niet zonder nader

[p. 340]

onderzoek aannemen, dat B, die het in grootte volgende quotient levert, het tweede aan de beurt zal zijn, om een zetel te winnen, want het zou kunnen zijn, dat A nog eer een 5^en zetel kreeg, dan B een 3^en. Daarom moet men, alvorens verder te gaan, het quotient 500 : 5 = 100 bepalen. Daar dit kleiner is dan 123⅓ doet zich dat geval hier niet voor¹⁾, zoodat B inderdaad den 2^en vacanten zetel krijgt.

Schrijft men de bewerking in dezen vorm neer:

A	500 : 4 = 125; 500 : 5 = 100
B	370 : 3 = 123^2)
C	220 : 2 = 110
D	120 : 1 = 120
E	70 : 1 = 70,

dan ziet men terstond, dat A en B de partijen zijn, die de twee nog overgebleven zetels zullen krijgen, en tevens, dat als hulpkiesquotient 123 of een kleiner getal genomen moet worden, mits grooter dan 120, omdat anders ook D een zetel zou krijgen en er dus in het geheel 9 zetels bezet zouden worden.

Deze methode is afkomstig van den Belgischen rechtsgeleerde d' Hondt en wordt, behalve in België, ook bij sommige verkiezingen in Duitschland en in een paar Zwitsersche kantons in praktijk gebracht. Zij werd in dit tijdschrift uitvoerig besproken en warm aanbevolen door Prof. Molengraaf³⁾, die zich echter aan de oorspronkelijk door d' Hondt voorgeschreven rekenwijze gehouden heeft.⁴⁾

1) Een voorbeeld, waarbij dit wel het geval is, geeft de volgende verdeeling der 1280 stemmen over de vijf partijen: A 600, B 330, C 190, D 90, E 70.

2) In den regel kunnen bij deze berekening de breuken weggelaten worden.

3) Gids. 1900 IV, blz. 113.

4) Volgens het voorschrift van d' Hondt deelt men alle partijsterkten achtereenvolgens door 1, 2, 3, enz. en nummert de quotienten naar hunne grootte, te beginnen met het grootste, totdat het rangnummer gelijk is aan het aantal te verdeelen zetels. Hierbij wordt veel overbodig werk verricht, hetgeen des te meer gevoeld wordt, naar gelang het aantal te verkiezen vertegenwoordigers grooter is.
De in den tekst aangegeven rekenwijze komt overeen met die van Hagenbach-Bischoff, met dit verschil, dat deze schrijver begint met te deelen - niet door het ware kiesquotient - maar door het getal, dat verkregen wordt, als men het totale aantal stemmen deelt door het met 1 vermeerderde aantal zetels. Hierdoor kan het gebeuren, dat al dadelijk alle zetels bezet worden en alzoo de bewerking bekort wordt. Maar daartegenover staat de mogelijkheid, dat er een zetel meer bezet wordt, dan er beschikbaar zijn. Deze manier van Hagenbach-Bischoff heeft eigenlijk alleen beteekenis voor die systemen, die als het ware een combinatie zijn van de methode d' Hondt met die der Gr. R., waarbij men bijv. een min of meer willekeurig kleiner kiesquotient gebruikt en de zetels, die dan eventueel nog onbezet zijn gebleven, toewijst aan de partijen met de grootste stemresten, gelijk in enkele Zwitsersche kantons geschiedt.
Om niet te uitvoerig te worden heb ik deze en andere wijzigingen onaangeroerd gelaten en mij uitsluitend bepaald tot de methoden in haar zuiveren vorm.

[p. 341]

Ik zal de methode van d' Hondt bij verkorting aanduiden door: d' H.

Het quotient, dat verkregen wordt, als men de getalsterkte eener partij deelt door het aantal reeds verworven zetels vermeerderd met 1, is niets anders dan hetgeen het partijquotient van die partij wordt, als deze er één zetel bij krijgt. En daar telkens een zetel toegewezen wordt aan de partij, waarvoor dit quotient het grootst is, zoo blijkt hieruit, dat bij de methode d' H. als beginsel wordt aangenomen, dat de partij, die door één zetel meer het grootste partijquotient krijgt, er het minst door bevoordeeld wordt.

In ons voorbeeld worden, door toepassing van de methode d' H., de partijen D en E van de vertegenwoordiging uitgesloten. Voor de drie andere partijen worden de partijquotienten:

voor A	500: 4=125
voor B	370: 3=123
voor C	220: 1=220.

Deze getallen loopen minder sterk uiteen dan bij de verdeeling volgens de Gr. R. Het grootste partijquotient is nu nog niet het dubbele van het kleinste.

Men zal echter de opmerking maken, dat de partij D toch in het oog vallend onbillijk behandeld wordt, daar zij met 120 stemmen nog geen vertegenwoordiger krijgt, terwijl toch 121 stemmen al recht geven op een zetel.

Ik kom nu tot een derde methode.

Zij berust op den regel, die bij alle berekeningen, waarbij breuken verwaarloosd worden, gevolgd wordt en die ook

[p. 342]

Fruin in zijn systeem toegepast wenschte te zien, namelijk, dat in de uitkomsten der deelingen door het kiesquotient elke breuk gelijk 0,5 of meer voor een geheel en elke kleinere breuk voor 0 gerekend wordt. In het werk van Cahn, dat de verschillende systemen, zooals zij in onderscheidene landen worden toegepast, uitvoerig behandelt, heb ik geenerlei aanwijzing gevonden, waaruit blijkt, dat van dezen regel ergens gebruik gemaakt wordt, terwijl toch de toepassing ervan zoo voor de hand ligt. Ook is de wiskundige, die in het vorige jaar eene daarop gebaseerde methode van evenredige verdeeling ontwikkelde, met name A. Sainte-Laguë te Douai¹⁾, er niet toe gekomen langs den eenvoudigen rekenkundigen weg, maar met behulp van niets minder dan de ‘leer der kleinste kwadraten’, een welbekend hoofdstuk uit de hoogere wiskunde, waar deze toegepast wordt op de berekening der uitkomsten van een reeks waarnemingen.

Dat evenwel eene uiteenzetting en verklaring der methode van Sainte-Laguë (bij verkorting S.-L.) zonder hoogere wiskunde zeer goed mogelijk is en ook niet ingewikkelder dan van de methode d' H., moge uit het volgende blijken.

Past men op ons voorbeeld den bedoelden rekenkundigen regel voor de breuken toe bij de deeling door het kiesquotient 160, dan krijgt D terstond 1 zetel, omdat de breuk 0,75 (zie blz. 5) grooter is dan 0,5, of, wat op hetzelfde neerkomt, de rest 120 grooter dan de helft van 160. Wij hebben dus nu:

A	3 zetels
B	2 zetels
C	1 zetel
D	1 zetel
E	0 zetel
	_____
totaal	7 zetels,

zoodat er nog slechts 1 zetel te vergeven blijft.

Evenals bij de methode d' H. kan men nu ook hier een ander kiesquotient zoeken, waarmede alle 8 zetels terstond

1) Revue générale des sciences, 1910, p. 846: La Représentation proportionnelle et les Mathématiques par A. Sainte-Laguë, Prof. de Mathém. au Lycée de Douai.

[p. 343]

worden bezet, maar nu met toepassing van den regel voor de breuken. Hiervoor kan een der getallen 147, 148 gebruikt worden en dan vindt men:

A	B	C	D	E
3	3	1	1	0 zetels.

Men vindt die getallen door dezelfde redeneering als bij de methode d' H. Er is echter dit verschil, dat de getalwaarde, waartoe het geleidelijk afnemende kiesquotient moet dalen, om aan eene partij een zetel meer te geven, nu gevonden wordt, als men de getalsterkte der partij deelt door het aantal reeds verworven zetels vermeerderd met ½, omdat in dit systeem ½ zetel reeds voor een geheelen zetel telt.

In ons voorbeeld moet men dus de getalsterkte der vijf partijen resp. deelen door 3½ = 7/2, 2½ = 5/2, 1½ = 3/2, 1½ = 3/2 en ½. Gemakshalve deelt men door 7, 5, 3, 3, 1 - in het algemeen door het dubbele van het aantal reeds verkregen zetels vermeerderd met 1 - bedenkende, dat men nu niet de gezochte getalwaarden zelf krijgt, maar de helften er van.

Wij vinden zoodoende:

A	500 : 7 = 71
B	370 : 5 = 74
C	220 : 3 = 73
D	120 : 3 = 40
E	70 : 1 = 70.

Daar B het grootste quotient geeft, komt aan deze partij de 8^e zetel toe.

Waren er meer zetels te vergeven, dan zou men eerst 370 moeten deelen door 2 × 3 + 1 = 7, om te zien, of dit quotient misschien grooter was dan elk der vier andere.

Het hulpkiesquotient moet nu gelijk zijn aan 2 × 74 = 148 of kleiner, mits grooter dan 2 × 73 = 146.

Bij deze verdeeling der zetels is alleen E van de vertegenwoordiging uitgesloten, terwijl voor de andere partijen de partijquotienten worden:

voor A	500 : 3 = 167
voor B	370 : 3 = 123
voor C	220 : 1 = 220
voor D	120 : 1 = 120

[p. 344]

De verhouding tusschen het grootste en het kleinste dezer getallen is hier iets ongunstiger dan de overeenkomstige verhouding, die wij met de methode d' H. kregen.

Bij de toepassing van de methode S.-L. kan het echter ook gebeuren, dat bij deeling door het ware kiesquotient het aantal zetels, dat bezet kan worden, grooter is, dan het aantal beschikbare zetels. In dat geval laat men het kiesquotient geleidelijk grooter worden.

Om ook hiervan een voorbeeld te geven, onderstel ik, dat de 1280 stemmen aldus verdeeld waren:

	A	644 stemmen
	B	279 stemmen
	C	123 stemmen
	D	120 stemmen
	E	114 stemmen
		_____
totaal		1280 stemmen.

Deelt men nu door 160 met inachtneming van den regel voor de breuken, dan vindt men:

A	B	C	D	E
4	2	1	1	1 zetels,

dat is 1 te veel.

De getalwaarden van het kiesquotient, waarbij elk der vijf partijen een zetel gaat verliezen, worden nu gevonden, als men de getalsterkte der partijen resp. deelt door 3½ = 7/2, 1½ = 8/2, ½, ½ en ½. Gemakshalve deelen wij weer door 7, 3, 1, 1, 1, - dat is in het algemeen door het dubbele van het aantal verworven zetels verminderd met 1 - zoodat de helften der bedoelde getallen verkregen worden.

Deze berekening geeft:

A	644 : 7 = 92
B	279 : 3 = 93
C	123 : 1 = 123
D	120 : 1 = 120
E	114 : 1 = 114

Nu komt bij het geleidelijk toenemen van het kiesquotient A het eerst aan de beurt, om een zetel te verliezen; en dit zal gebeuren, als het quotient boven 2×92=184 stijgt. Boven 2×93=186 zou ook B een zetel verliezen. Alleen de getallen

[p. 345]

185 en 186 kunnen dus als hulpkiesquotient gebruikt worden, en men vindt dan deze verdeeling:

A	B	C	D	E
3	2	1	1	1 zetels^1).

Keeren wij tot ons eerste voorbeeld terug en schrijven wij de uitkomsten, die de drie methoden daarvoor hebben opgeleverd, ter vergelijking onder elkaar, dan hebben wij:

	A	B	C	D	E
met:	500	370	220	120	70 stemmen
methode Gr. R.	3	2	1	1	1 zetels
methode S.-L.	3	3	1	1	0 zetels
methode d'H.	4	3	1	0	0 zetels

Men ziet, dat de verdeeling volgens S.-L. in zekeren zin het midden houdt tusschen de beide andere. En dit kan inderdaad als een algemeene regel worden aangenomen. Het is namelijk kenmerkend voor de methode d' H., dat zij de sterkste partijen tracht te bevoordeelen. Zij zal dus allicht een fusie der zwakkere partijen uitlokken met het doel, om aan deze een zetel of een grooter aantal zetels te bezorgen.

De methode der Gr. R. daarentegen geeft zelfs aan zeer kleine partijgroepen nog kans op een zetel²⁾ en kan daardoor aanleiding geven tot de splitsing van een sterkere partij in twee of meer kleinere, in de hoop daardoor een zetel te zullen winnen.

Een dergelijke kunstmatige vermindering of vermeerdering van het aantal partijen heeft men van de methode S.-L. niet te wachten. Deze methode toch vertoont een minder sterke

1) Analoog met de methode d' H. kan men hier de getalsterkte van alle partijen achtereenvolgens deelen door 1, 3, 5, 7, enz, en de quotienten, van het grootste af, nummeren totdat men er zooveel heeft als het aantal te verdeelen zetels bedraagt. - Deze rekenwijze eischt weliswaar meer tijd, vooral wanneer een groot aantal afgevaardigden gekozen moet worden, maar zij heeft het voordeel, dat zij in alle voorkomende gevallen werktuigelijk kan worden toegepast, zoodat een voorafgaande deeling door het ware kiesquotient overbodig is en de regel voor de breuken van zelf tot zijn recht komt, zonder dat men zich daarmee behoeft in te laten.

2) In ons voorbeeld zou aan E nog een vertegenwoordiger worden toegekend, als deze partij niet meer dan 33 stemmen uitbracht en de overige 1247 stemmen aldus over de andere partijen verdeeld waren, dat A 512, B 352, C 192, en D 191 stemmen telde.

[p. 346]

neiging tot begunstiging der zwakste partijen, dan die der Gr. R., maar zal vaak een zetel, die door d' H. aan een der sterkste partijen wordt toegewezen, op een minder sterke partij overbrengen.¹⁾

Ieder, die niet om eene of andere reden in beginsel de bevoorrechting hetzij van de sterkere, hetzij van de zwakkere partijen voorstaat, zal moeten toestemmen, dat dit voor de methode S.-L. pleit.

De geprononceerde neiging van de methode der Gr. R. om de zwakkeren te steunen en van die van d' H. om de sterkeren nog sterker te maken, heeft natuurlijk haren grond in de verschillende manieren, waarop in de twee methoden beoordeeld wordt, aan welke partijen één zetel meer het kleinste voordeel oplevert. En dit is een principieel verschil.

Het is over dit punt, dat door de fransche geleerden G. La Chesnais, als voorstander van de Gr. R. en Emile Macquart, verdediger van de methode d' H., een vrij heftige strijd gevoerd werd. Maar het blijkt niet, dat een hunner zich door de wiskundige vertoogen van den ander heeft laten overtuigen. Trouwens het geldt hier een petitio principii waaromtrent de wiskunde niet kan beslissen.

In een der pleidooien van La Chesnais voor de methode der Gr. R.²⁾ komt een redeneering voor, die de beide beginselen op een eigenaardige wijze karakteriseert. Zij komt in het kort hierop neer.

1) Hoe de drie methoden zich in dit opzicht tot elkaar verhouden, wordt scherper aangegeven in de volgende twee stellingen, waarvan het bewijs, hoe eenvoudig overigens ook, hier niet op zijn plaats zou zijn.
1. Wanneer de methode Gr. R. aan twee partijen evenveel recht toekent op een nog vacanten zetel, omdat beide gelijke stemresten overlaten bij de deeling door het kiesquotient, geeft de methode d' H. dien zetel altijd aan de sterkste van de twee partijen. De methode S.-L. wijst hem aan de sterkste of aan de zwakste van de twee partijen toe, naar gelang de gelijke resten kleiner of grooter zijn dan het halve kiesquotient.
2. Als de methode d' H. aan twee partijen evenveel recht toekent op een nog vacanten zetel, omdat de deeling van de getalsterkte der partijen door het aantal reeds verkregen zetels vermeerderd met 1 hetzelfde quotient geeft, wordt die zetel door de methode S.-L. altijd toegekend aan de zwakste der twee partijen.

2) Revue scientifique, 1907 I p. 162.

[p. 347]

Bij de methode der Gr. R. vraagt men: welk voordeel geniet de partij, als geheel beschouwd, wanneer het aantal harer vertegenwoordigers met één vermeerderd wordt? Men let hierbij niet op de getalsterkte, zoodat twee partijen, die hetzelfde breukdeel van een zetel te veel zouden krijgen, gelijk gesteld worden, onverschillig hoeveel zij in getalsterkte verschillen.

Bij de methode d' H. daarentegen wordt het voordeel beoordeeld naar het partijquotient of - wat op hetzelfde neerkomt - naar de zoogenaamde kieskracht (force électorale) van elk kiezer der partij, Met deze kieskracht wordt bedoeld het aandeel, dat elk kiezer heeft in de vertegenwoordiging zijner partij. Zij wordt gemeten door de breuk, waarvan de teller het aantal vertegenwoordigers en de noe mer het aantal stemmen der partij is, dat is derhalve de omgekeerde waarde van het partijquotient.

De opvatting van d' Hondt zou nu volgens La Chesnais de juiste zijn, als het gold de evenredige verdeeling van een druk - bijv. de levering van een zeker aantal soldaten - over eenige provinciën, omdat het effect van één soldaat méér persoonlijk door de inwoners gevoeld wordt. Waar echter sprake is van evenredige vertegenwoordiging, daar moet het beginsel van de methode der grootste resten toegepast worden, omdat het effect van één vertegenwoordiger meer niet individueel door de kiezers, maar door de partij als zoodanig en wel speciaal in het vertegenwoordigend lichaam gevoeld wordt

Ik onthoud mij van kritiek op deze beschouwingswijze en wensch er slechts de aandacht op te vestigen.

Hoe men hierover ook moge oordeelen, zeker is het, dat de methode S.-L. het middel kan zijn, om uit het dilemma te geraken, waarin men zich bevindt bij de keuze tusschen de methode der Gr. R. en die van d' H.

Behalve deze principeele kwestie zijn er nog andere factoren, die van invloed kunnen zijn op de beslissing, aan welke methode van verdeeling men de voorkeur zal geven.

Zoo is het ontegenzeggelijk een groot voordeel van de methode der Gr. R., dat bij de deelingen door het ware kiesquotient alle zetels altijd terstond bezet worden, terwijl

[p. 348]

dit bij de methode S.-L. dikwijls, maar bij die van d' H. nooit¹⁾ kan gebeuren.

Moet men bij S.-L. van een hulpkiesquotient gebruik maken, dan valt niet te ontkennen, dat de daarvoor noodige berekening wat meer overleg eischt dan bij d' H., - tenzij men er niet tegen op ziet, de meer tijdroovende rekenwijze toe te passen, waarop in de noot op blz. 340 gedoeld werd.

Voor S.-L. pleit weer, dat het hulpkiesquotient over het algemeen dichter bij het ware kiesquotient blijft dan bij d' H. en dat de partijquotienten nooit meer van het gebruikte kiesquotient kunnen verschillen, dan de helft hiervan, terwijl zij bij d' H. het dubbele van het hulpkiesquotient nabij kunnen komen.

Ten aanzien van de verhouding tusschen het grootste en het kleinste partijquotient leert het onderzoek, dat in dit opzicht S.-L. in minder gunstige condities verkeert, dan d' H. Bij de verdeeling volgens S.-L. kan namelijk het grootste partijquotient het drievoud van het kleinste nabij komen, terwijl bij de verdeeling volgens d' H. het grootste altijd kleiner blijft dan het dubbele van het kleinste.

Bij de verdeeling volgens de Gr. R. kan deze verhouding klimmen tot een bedrag, gelijk aan het aantal partijen²⁾.

H. Onnen Sr.

1) Behalve natuurlijk wanneer van alle partijen de getalsterkte een veelvoud is van het kiesquotient, hetgeen echter in de praktijk wel nooit voor zal komen.

2) Eene wiskundige uitwerking van het in dit artikel behandelde zal de belangstellende lezer kunnen vinden in de eerstvolgende aflevering van het Wiskundig Tijdschrift (8e jaargang, afl. 2) onder den titel: Bijdrage tot de wiskundige theorie der evenredige vertegenwoordiging.