Logo DBNL
De Gids. Jaargang 29 (1865)

De Gids. Jaargang 29

(1865)– [tijdschrift] Gids, De–rechtenstatus Auteursrechtvrij

Vorige Volgende

Wiskundig onderwijs.

Van der Ven, De theorie en de oplossing van hoogere magtsvergelijkingen. Leiden, Sythoff, 1864. Verdam, Handboek der spherische trigonometrie. Leiden, van der Hoek, 1865. Bierens de Haan, Overzigt van de differentiaal-rekening. Leiden, Engels, 1865.

Indien men de wiskunde met de natuurkundige wetenschappen zoo als scheikunde of physica vergelijkt, blijkt zij uit een paedagogisch oogpunt een geheel eigenaardig karakter te hebben. Hoe veel nieuws in de physica deze eeuw aan het licht bragt, de handboeken zijn er naar die mate niet uitvoeriger om geworden. Vergelijkt men Musschenbroek, waar behalve de algemeene physica slechts een weinig over het licht en de warmte gevonden wordt, met een tegenwoordig handboek, zoo wint eerstgenoemde het verre aan uitgebreidheid zonder daarom zooveel dieper te gaan en zonder dat de tegenwoordige handboeken daarom onvolledig behoeven te heeten. Dit is mogelijk, omdat in de physica, naarmate zij zich uitbreidt, meer en meer zamenhang tusschen verschillende verschijnselen gevonden wordt; een groot aantal er van laat zich thans uit een enkel oogpunt beschouwen, en op dit standpunt heeft men den leerling slechts te brengen om hem zelf de gevolgen er uit te doen afleiden. Den langen weg, dien de wetenschap zelf ging, behoeft hij niet andermaal te doorloopen; wat weg kan vallen wordt uit de handboeken weggelaten, hoe merkwaardig sommige dezer onderzoekingen in haren tijd ook waren en hoe verdienstelijk de personen, van wie ze afkomstig zijn. Hunne namen worden zelfs in den regel in de leerboeken niet meer gevonden; men schrijft een leerboek voor den leerling, geene geschiedenis der weten-

schap. Niet anders ging het in de scheikunde. De naam van Lavoisier, althans zijn beroemde proef om de zamengesteldheid van den dampkring aan te toonen, komt zelfs in vele scheikundige handboeken niet meer voor.

Anders is het gesteld met de wiskunde. Hier heeft men eene aaneengeschakelde reeks van redeneringen en gevolgtrekkingen, die, van de eenvoudigste beginselen uitgaande, tot de hoogste en zwaarste problemen opklimt. De eene ontdekking is hier als op de andere gestapeld; de volgende kan gewoonlijk eerst uit de voorgaande bewezen en begrepen worden en ieder is hier dus in het algemeen genoodzaakt den weg, dien de wetenschap eenmaal doorliep, zelf nogmaals te bewandelen. Overhaasting leidt hier tot niets; het volgende moet steeds op het voorgaande steunen, zal men in de hoogere deelen der wiskunde doordringen en haar op physica, sterrekunde, werktuigkunde en andere vakken kunnen toepassen.

Wel is waar vindt men hierop uitzonderingen. Zelfs is het bijna regel, dat eene stelling later een bijzonder geval eener meer algemeene blijkt te zijn, maar gewoonlijk loopt de weg om tot deze laatste te komen juist door de vroegere eenvoudige stellingen, die de leerling dan wel als zoodanig zou kunnen vergeten, maar waardoor hij weinig gebaat is, daar hij ze eerst heeft moeten leeren kennen. Ik heb hier slechts te herinneren aan de spherische trigonometrie, waaruit de platte driehoeksmeting kan afgeleid worden of de elliptische functiën, waaruit de goniometrie zelve weder voortvloeit. Soms is dit echter niet het geval, maar hoogst zelden wordt dan bij het wiskundig onderrigt de wijze van handelen uit de physica gevolgd.

Er blijft dus eigenlijk niets over dan de geheele wetenschap te doorloopen, een weg die hoe langer hoe grooter wordt, en waarvoor het dus wenschelijk zijn zoude, dat het menschelijk leven, althans de leertijd, meer en meer gerekt werd. Dit is intusschen niet mogelijk; de leertijd omvat steeds weinige jaren; het leven is kort en de kunst is lang.

Men heeft dus het volgende alternatief: òf de hoogere deelen der wiskunde weg te laten bij het onderwijs, òf te trachten den weg te bekorten. Dit geval doet zich intusschen alleen voor, waar de wiskunde als hulpwetenschap voor den toekomstigen natuurkundige, ingenieur, enz. beschouwd wordt. Deze vormen verreweg de talrijkste klasse en deze omstandigheid moge de vraag wettigen, hoe men op den kortsten weg het verst in de

wiskunde kan vorderen. Uit den aard der zaak verliest deze vraag haar meeste gewigt voor den theoretisch wiskundige; deze heeft zijn geheele leven voor zich om zich in dit vak te oefenen, maar wie ze als hulpwetenschap moet aanwenden, vindt later in zijn eigen vak zooveel te doen, dat hij eer van het standpunt, dat hij in zijnen leertijd bereikte, zal afdalen, dan nog hooger opklimmen.

Hoe de weg dus bekort kan worden, verdient wel eene nadere overweging.

Welligt zullen sommige deze vraag op andere wijze beantwoorden, dan hieronder geschied is, maar het is mij van meer waarde dit onderwerp ter sprake gebragt te hebben, dan juist in alle opzigten mijne meening door ieder gedeeld te zien. Dit laatste is trouwens ook niet waarschijnlijk; althans zal men mij wel niet verwijten iets geschreven te hebben, dat, omdat niemand er anders over oordeelt, overbodig is, aangezien juist de twee eerste hierboven aangehaalde en in den laatsten tijd uitgekomene leerboeken volgens de hier uiteengezette zienswijze niet practisch kunnen genoemd worden.

Men bestudeert de wiskunde òf om de wetenschap vooruit te brengen, òf alleen voor vorming òf mede voor toepassing. Het eerste geval komt hier niet nader ter sprake; wat het tweede betreft, hieronder reken ik vooral theologen, litteratoren en juristen, die hun academisch wiskundig examen doen, en kom ook hierop slechts eene enkele maal in het vervolg terug.

Hoofdzakelijk heb ik dus hen op het oog, die de wiskunde als hulpwetenschap beoefenen.

 

Het vraagstuk reeds sinds Euclides aanhangig, hoe men de vlakke meetkunst het best onderwijst, is thans nog verre van opgelost, maar hierbij wil ik mij thans niet ophouden. Zij vormt met de beginselen der algebra steeds den aanvang van het wiskundig onderrigt. Hiervan kan niets gemist worden. Oefening in algebraïsche herleidingen is onmisbaar; in dit technische gedeelte moet men goed te huis zijn; het vormt als het ware het alphabet der wiskundige taal. De vergelijkingen van den 1en en 2en graad komen hierbij en geven, vooral in toepassing op vraagstukken, veel meer voedsel voor het verstand; zij

ontwikkelen de redenering en teregt wordt de kennis hiervan dan ook gevorderd van hen, die de wiskunde alleen voor algemeene ontwikkeling beoefenen.

Hierop volgen de logarithmen, de goniometrie, de vlakke en spherische trigonometrie en de stereometrie.

De betrekkelijke waarde dezer vakken is intusschen zeer verschillend. Indien men bedenkt dat bij het zoogenaamd klein mathesis-examen de drie eerste vakken gevraagd worden, en bij het groot mathesis-examen spherische trigonometrie en stereometrie als vakken van gelijke waarde worden beschouwd (dezen indruk maakt het althans op den examinandus), wordt aan het laatste vak veel te weinig waarde toegekend. Schlömilch heeft m.i. volkomen regt, waar hij zegt in de voorrede voor zijne Grundzüge der Geometrie des Raumes, 2e Theil.... ‘dass die so häufige Bevorzugung der Planimetrie ein pädagogischer Missgriff ist, dass im Gegentheile der Accent auf die Stereometrie gelegt werden muss, denn nicht in der Ebene sondern im Raum bewegt sich das vielgestaltige Leben.’ Vooral geldt dit bij de behandeling der stereometrie, zoo als ze door hem in zijn voortreffelijk handboek wordt gegeven, en die geheel verschilt van die, welke in de hollandsche leerboeken van la Croix (uitgave van Schmidt en Bierens de Haan), Badon Ghyben, Kempees, enz. voorkomt. Hoogst belangrijke stellingen zoo als die van Euler, het terugbrengen van iederen bolvormigen veelhoek tot den bolvormigen driehoek, het construëren van het net der polyeders, komen in geen dezer boeken voor en zullen dan ook in den regel wel niet bij het onderwijs medegedeeld worden. Verder is de uiteenzetting bij Schlömilch oneindig duidelijker. Wat Goethe zeide van de Duitschers, dat zij de kunst verstonden om de wetenschap ontoegankelijk te maken, kan hier met meer regt op de Hollanders toegepast worden. Men vergelijke b.v. Schlömilch met onze schrijvers ten opzigte van het hoofdstuk over de onderlinge ligging van lijnen en vlakken in de ruimte. Daar volgt alles uit eenvoudige aanschouwing en prent zich op die wijze vast in het geheugen; in de hollandsche boeken vindt men daarentegen eene reeks van stellingen, die den aanvanger het overzigt bijna onmogelijk maken. De ontwikkeling moge in wiskundig opzigt onberispelijk zijn, of zij dit uit een paedagogisch oogpunt ook is, meen ik te moeten betwijfelen. Een enkel voorbeeld slechts. In Badon Ghyben, Beginselen der Meetkunst, 2e uitgave, § 323, komt ter sprake

de stelling, dat van twee vlakken, die ieder in het bijzonder loodregt staan op een derde vlak, de doorsnede eveneens op dit vlak loodregt staat. Om dit te bewijzen wordt ondersteld, dat de doorsnede eens schuin of evenwijdig was, en vervolgens het onmogelijke dezer twee gevallen aangetoond. Hiervoor moet men zich echter eerst iets denken, wat men zich onmogelijk helder kan voorstellen, namelijk dat deze doorsnede niet loodregt is, en vervolgens nagaan, wat uit dit onmogelijke geval logisch zou voortvloeijen, om zoo tot het ongerijmde der gemaakte onderstelling te geraken. Dit is toch waarlijk niet de weg, dien men met leerlingen moet volgen; men gewent hen niet aan goede voorstellingen omtrent de ruimte, maar dwingt hen iets, wat zij zich bij geene mogelijkheid helder kunnen voorstellen, als uitgangspunt der redenering te gebruiken.

Hiermede verwerp ik natuurlijk niet in het algemeen het bewijs uit het ongerijmde bij het onderrigt; eene voorstelling kan onwaar en toch niet ongerijmd zijn, maar in dit bijzonder geval schijnt mij dit bewijs niet op zijne plaats.

Een uitstekend docent moge nu door zelf in het ontbrekende te voorzien, ook bij het gebruik dezer handleidingen, goede resultaten verkrijgen, veel grooter zal steeds het aantal van hen zijn, die zulk een werk als een orakel beschouwen en er nergens van durven afwijken. Hoogst moeijelijk wordt het dan voor den leerling een goed overzigt der stereometrie te verkrijgen, als hij achtereenvolgens zoo vele stellingen bestudeert, en op geene enkele bijna zijne aandacht meer hoofdzakelijk gevestigd ziet en bovendien telkens voor het bewijs naar de figuren verwezen wordt en niet op de voorstelling, die hij zich zelven in de ruimte maken kan. Alle stellingen trekken hem voorbij met de eenvormigheid van een regiment soldaten, waar ieder even belangrijk schijnt als zijn voorganger.

Maar duidelijk uiteengezet is de stereometrie ongetwijfeld èn om zich zelve èn ter oefening van het voorstellingsvermogen van het hoogste belang. Voor hen die verder in de wiskunde doordringen zijn gonio- en trigonometrie onmisbaar, maar de stereometrie ware stellig boven de trigonometrie te verkiezen voor hen, die wiskunde alleen voor vorming beoefenen. Hier worden de resultaten niet zoo spoedig vergeten als de trigonometrische formulen en ze laten in elk geval een grooter theoretisch residu achter.

Zoo komen wij aan de spherische driehoeksmeting, die bij

ons te lande al een zeer gunstig onthaal heeft gevonden. Zij heeft eene plaats gevonden bij het groot mathesis-examen, is met name genoemd onder de vakken, die aan de polytechnische school gedoceerd moeten worden, ontbreekt bij geen enkel acteexamen voor de wiskunde en is in tal van leerboeken behandeld, zoo als van Badon Ghyben, Lobatto, terwijl nu weder eene nieuwe uitgave van het telkens meer en meer uitgebreide handboek der spherische driehoeksmeting van Prof. Verdam verschijnt. Hier is zij het uitvoerigst behandeld, namelijk in circa 272 pag. in groot octavo, en volgens den titel mede met het oog op het middelbaar onderwijs uitgegeven. Ik wil de wetenschappelijke waarde van dit werk niet betwisten; mijn doel is geenszins eene recensie van dit werk te geven; ik bespreek slechts de vraag of het zaak is bij het onderwijs zoo veel tijd en moeite aan de spherische driehoeksmeting te besteden, als het doorwerken van zulk een lijvig boekdeel noodwendig vordert. Van de analytische meetkunst is in ons land op verre na zooveel werk niet gemaakt; het aantal leerboeken is veel geringer, bij het groot-mathesis examen komt het niet voor (althans volgens de wet), en het wordt dan ook wel zelden anders behandeld dan na de spherische driehoeksmeting. Dit gelijkof liever vooropstellen der spherische trignometrie schijnt mij geenszins gewettigd, en hier kon m.i. veel wegvallen. Zeker is het een niet onbelangrijk vraagstuk den bolvormigen driehoek te berekenen. Hiervoor is het echter niet noodig al die bijzondere gevallen benevens de analogiën van Gauss zoo naauwkeurig door te werken. Met eene eenvoudige redenering vindt men de formulen voor de regthoekige spherische driehoeken, die men dan ligt door den regel van Neper kan onthouden, terwijl al de gevallen van scheefhoekige driehoeken door de twee grondformulen gevonden kunnen worden, wier bewijs uit die der regthoekige driehoeken volgt. Bovendien wordt dan hier de reeds in de stereometrie behandelde pooldriehoek bekend ondersteld. Hiermede kan men geheel volstaan, als men, en dit is ook in het algemeen voldoende, den leerling slechts het middel wil leeren kennen om deze driehoeken op te lossen.

Ik voorzie hier echter twee tegenwerpingen. Men zal opmerken, dat deze weinige formulen wel voor ieder geval voldoende zijn, maar dat haar gebruik omslagtig is, als men eene bepaalde onbekende onmiddellijk uit de drie gegevens wil

berekenen, daar men dan vaak gedwongen is andere onbekenden eerst te berekenen. Dit is volkomen waar, maar eene practische quaestie. Slechts in sterre- en zeevaartkunde komt de numerische berekening dezer driehoeken aanhoudend voor, en heeft eene uitvoerige behandeling van dit vak waarde, maar zelfs voor onderwijs in cosmographie is zooveel omhaal van formules onnoodig. Onpractisch schijnt het mij daarom personen, die nooit of hoogst zelden zulk een driehoek hebben te berekenen, al die bijzondere gevallen zoo naauwkeurig te doen kennen. Komt eene enkele maal het geval voor, dat men na een zeker tijdsverloop zich met practische astronomie bezig houdt, zoo zijn deze bijzondere gevallen, schrijver weet het bij ondervinding, in den regel weder vergeten en moeten toch op nieuw bestudeerd worden.

Eene andere opmerking is, dat de gegevene hoofdformulen vaak ongeschikt zijn voor logarithmen en dus herleid moeten worden. Ook deze herleiding is een van de kwellingen voor den examinandus, te meer daar deze herleiding uit een practisch oogpunt geheel overbodig is. Maar de schrijvers der wiskundige handboeken schijnen hier te lande ten opzigte der lagere wiskunde uitermate conservatief te zijn. Reeds voor meer dan 50 jaren heeft Gauss de aandacht gevestigd op de optellings- en aftrekkingstafelen, die de logarithmen-tafels aanvullen, haar eigenlijk eerst hare wezenlijke waarde geven. In Duitschland zijn ze thans bijna algemeen in de logarithmentafels opgenomen, zoo als die van Zech als aanhangsel op de tafelen van Vega in 7 decimalen en die van Wittstein in 5 decimalen, waar ze in nog veel practischer vorm voorkomen. Deze laatste vooral hebben mij bij het onderwijs zoowel als bij eigen gebruik uitstekend voldaan en ik vermeld dit opzettelijk, omdat ze mij hier te lande nog veel te weinig bekend toeschijnen. Ik leid dit o.a. hieruit af, dat de hoogleeraar Bierens de Haan in zijne verhandeling over logarithmen-tafels1

deze niet opnoemt. Gedurende een vijfjarig gebruik ben ik op geen enkele cijferfout gestooten. Deze tafelen maken de talrijke herleidingsformulen der vlakke en bolvormige driehoeksmeting uit een practisch oogpunt geheel overbodig, die daarentegen nu zelfs omslagtiger worden dan de gewone formulen. Ik zou dit niet durven beweren, als mij dit niet bij ondervinding gebleken was. Toen ik als student mij met astronomie bezig hield, en soms een vrij groot aantal breedte-bepalingen met het sextant verrigt te berekenen had, begon ik ook met de gewone herleidingsformulen, alwaar dan steeds de halve som van twee bogen moet berekend worden, maar liet deze spoedig voor goed varen, toen de genoemde optellings- en aftrekkingstafels mij veel gemakkelijker de oplossing gaven. Eigenlijk begrijp ik volstrekt niet, wat anders dan onbekendheid er mede, het invoeren dezer logarithmen tegenhoudt; in geen enkel hollandsch handboek of hollandsche logarithmen-tafel, voor zoo verre ik heb kunnen nagaan, komen deze tafelen of eene uiteenzetting er van voor, en toch verdubbelen deze eigenlijk de waarde der tafels. Men kan wel zeggen, dat de logarithmen, zoo als ze met het oog op de tafels geleerd worden, niets tot vorming en ontwikkeling bijbrengen; hun doel is hoogst nuttig maar zuiver practisch. Met het oog hierop, kan ik mij niet goed voorstellen, met welk leidend beginsel de programma's onzer examina zijn vastgesteld. De logarithmen komen steeds voor bij het mathesis-examen van toekomstige litteratoren, theologanten en juristen, die wel nimmer later eene logarithmische berekening zullen uitwerken; en zulk een zuiver practisch onderdeel, waar geen enkele theoretische beschouwing aan vast te knoopen is, wordt dien te gevolge jaar in jaar uit op de gymnasiën aan hen onderwezen, die juist gerekend worden de wiskunde alleen voor vorming van hun denkvermogen te beoefenen. Hoeveel beter ware het dit te gelijk met de driehoeksmeting voor hen door de stereometrie te vervangen. Maar wie logarithmen leert, leere ze niet als een nog maar half geschikt hulpmiddel maar volledig kennen, zoodat de hieraan bestede moeite later ook rijkelijk beloond worde.

Al te vaak echter wordt het practische der logarithmische berekening weder weggenomen door de ongelukkige zucht om tafels met 7 decimalen te gebruiken, waarbij men soms nog wel meent, dat men hierdoor den leerling met meer naauw-

keurigheid zou leeren rekenen1. 7 decimalen komen schier alleen in sommige sterrekundige berekeningen voor en zeer enkele malen in de physica, maar overigens kan men in de gewone geodesie, zeevaartkunde en mechanica wel altijd met 5 decimalen volstaan. Reeds voor jaren heeft Encke2 er op gewezen, dat meer decimalen te gebruiken als noodig is, slechts aantoont, dat de berekenaar zijn vraagstuk niet best begrijpt3. Logarithmen dienen slechts om de berekening te bekorten, maar men blijve nu niet halverwege staan met zeven decimalen wel en optellings- en aftrekkingstafelen niet te gebruiken, en dus slechts de halve bekorting te geven; aan deze inconsequente handelwijze is het welligt voor een groot deel te wijten, dat zoo weinige van hen, die de logarithmen geleerd hebben, ze later gebruiken. Teregt zegt Schlömilch dan ook (Zeitschrift für Math. und Phys., 1865, pag. 37) bij het bespreken van een logarithmen-tafel: ‘Wer das Kunststück zu Wege gebracht hat, eine Standlinie von 10,000 Meter Länge bis auf einen Millimeter genau zu messen, der mag in Gottes Namen mit siebenstelligen Logarithmen rechnen; wer es aber noch nicht zu einer solcher Genauigkeit gebracht hat, der gleicht beim Rechnen mit sieben Stellen einem Rentier, der sich seine Zinsen bis auf Tausendtelpfennige auscalculirt.’

Oneindig belangrijker dan de spherische driehoeksmeting, schijnt mij de analytische meetkunst, en ik geloof, dat men hiermede zeer goed een aanvang zou kunnen maken na de spherische trigonometrie slechts in hoofdtrekken, als hierboven gemeld, behandeld te hebben, hetgeen niet veel tijd en moeite kan kosten. Men kan ze echter, zoo men wil, veel later be-

handelen, zoo als Leroy in zijne ‘Analyse appliquée à la Geométrie des trois dimensions’, die ze eerst aan het einde van zijn werk ter sprake brengt, hetgeen mij, mede opgevoed in het geloof aan het overwegend belang der spherische trigonometrie, aanvankelijk zeer vreemd toescheen, maar nu wel begrijpelijk is.

Voor algemeene vorming toch geeft dit vak niet veel en voor oefening in algebraïsche en goniometrische formules vindt men in analytische meetkunst en hoogere analyse gelegenheid genoeg; vakken die zoowel practisch van nut zijn als het denkvermogen ontwikkelen. Met name schijnt mij echter de spherische trigonometrie geheel misplaatst bij het groot mathesisexamen, alwaar zij den kwelgeest voor den medicus of litterator uitmaakt, zoo als de vlakke driehoeksmeting dit maar al te vaak voor den jurist of theologant is.

Voor den medicus ware dit vak zeker met voordeel door de analytische meetkunst te vervangen, mits men bij de regte lijn niet blijve stilstaan. Dit vak toch, dat men welligt beter de leer der coördinaten zou kunnen noemen, is van het hoogste belang zoowel uit een theoretisch als een practisch oogpunt, en tot op zekere hoogte zelfs voor den wetenschappelijken medicus onmisbaar, in wiens vak de graphische methode hoe langer hoe meer aanwending vindt.

Indien iemand uit het aantal leerboeken, die over eenig vak geschreven zijn, de belangrijkheid van dit onderwerp zelve wilde afleiden, zoude hij ook alweder de hoogere algebra boven de analytische meetkunst stellen; immers ook aan deze ontbreekt het in ons land niet aan handboeken, zooals die van Strootman en Badon Ghyben, Lobatto, Smaasen, enz. Van dit vak schijnt mij bijna geheel te gelden, wat ik in den aanvang zeide omtrent sommige deelen der wiskunde, die later onderdeelen van hoogere stellingen blijken zonder dat de weg tot de laatste noodwendig door de eerste loopt. Doorloopen wij om dit aan te toonen het bekende leerboek van Lobatto. Van de 27 hoofdstukken zijn de 13 eerste aan de hoogere magtsvergelijkingen gewijd, een bij ons te lande naar het schijnt nog al geliefd onderwerp, onder anderen hieruit af te leiden, dat Dr. van der Ven er nu onlangs een afzonderlijk leerboek over heeft uitgegeven. Gewoonlijk worden ze behandeld als vervolg op de lagere algebra, soms gelijktijdig met de analytische meetkunst, maar toch eerder vroeger dan later. Ik

geloof echter, dat deze hier niet op hare plaats zijn; wat men hier leert omtrent de eigenschappen der wortels is voor een groot deel oneindig duidelijker, als men eerst de analytische meetkunst behandeld heeft en hier iedere vergelijking door eene kromme lijn heeft leeren voorstellen. Daar het omgekeerde nu niet het geval is, d.i. de hoogere algebra de analytische meetkunst of leer der coördinaten niet duidelijker maakt, ware het in elk geval veel practischer ze eerst na de analytische meetkunst te behandelen. Een tweede bezwaar is, dat ze eigenlijk eerst volledig behandeld kunnen worden als men in de differentiaal-rekening eenigzins te huis is. Reeds de grondstelling moet hier, zoo als Lobatto dan ook doet, zonder bewijs gegeven worden, namelijk dat iedere hoogere magtsvergelijking minstens een wortel heeft; het theorema van Sturm, waardoor het aantal bestaanbare wortels bekend wordt, moet weggelaten worden als te zamengesteld, en is door die van Descartes en Budan vervangen, die niet algemeen deze vraag beantwoorden, terwijl ten slotte de zoogenaamde afgeleide functien worden ingevoerd bij gelegenheid van het vermeerderen of verminderen der wortels met een gegeven getal, en later op het vinden der wortels worden toegepast door de stelling, dat tusschen twee wortels eener vergelijking steeds een wortel der afgeleide ligt. Later als de differentiaalrekening bestudeerd wordt, komt hetzelfde veel duidelijker terug bij de beschouwing der kromme lijnen, waar natuurlijk tusschen twee snijpunten steeds een maximum of minimum liggen moet; de lezer herinnert zich dan soms van dit theoreem op veel gebrekkiger wijze eene bekrompene uiteenzetting vroeger geleerd te hebben, maar zal het in het vervolg zeker volgens de nieuwe voorstelling onthouden. De directe berekening der derde en vierdemagtsvergelijkingen kon men als mathematische curiosa veilig aan ieders liefhebberij overlaten, terwijl de methode van Horner, hoe schoon en eenvoudig ze genoemd moge worden, toch ook met het oog op het uiterst zeldzame voorkomen eener numerische oplossing der hoogere magtsvergelijkingen, uitgenomen welligt bij examina, gevoegelijk kon voorbijgegaan worden. Van dit oogpunt uit kan ik de uitgave van het leerboek van Dr. van der Ven niet zeer gewenscht noemen; dat er voor de wiskundigen handboeken over dit onderwerp bestaan is goed, maar voor deze is dit werk niet geschreven; immers noch analytische meetkunst noch hoogere analyse worden er bekend ondersteld,

en vele ontwikkelingen moeten dus noodwendig veel omslagtiger uitvallen. Dit maakt het voor hen, die de analyse behandeld hebben, minder bruikbaar, daar deze in den regel weinig lust zullen hebben een langen weg te gaan, waar een kortere mogelijk is. Daarentegen is het werk, blijkens de voorrede, geschreven voor hen, die dit hoofdstuk of uit weetgierigheid of door examina en besluiten gedrongen beoefenen. Daar intusschen niet het examen maar de studie zelve het hoofddoel moet zijn, vervalt de waarde dezer behandeling, zoodra aangetoond is, dat dit onderwerp ten onregte in programma's van examina zoozeer op den voorgrond is gesteld. Wat het eerste argument betreft, dit onderstelt, dat er vele zijn, die zonder leiding uit weetgierigheid dit onderwerp behandelen. Wie dit doet is in den regel wel geschikt verder in de wiskunde door te dringen, en met dit oogmerk zulk een werk uit te geven zal welligt menigeen verleiden in dit betrekkelijk onvruchtbare gedeelte der wiskunde te verdwalen.

Omtrent de verdere hoofdstukken van het werk van Lobatto geldt nog vaak hetzelfde. De binomiaal-vergelijkingen en het splitsen der breuken vinden de voornaamste toepassing bij het integreren; waarom het niet tot daartoe bewaard. Men ziet dan te gelijk waartoe deze bewerking dient, hetgeen vroeger niet duidelijk worden kan, en behoeft niet hetzelfde tweemaal te leeren, wat nu nog wel eens zal voorkomen. Voordat men echter in de handboeken van Lobatto aan dit deel der integraal-rekening komt, heeft men in de differentiaal-rekening een hoofdstuk over hetzelfde onderwerp behandeld, alwaar eene veel eenvoudiger methode wordt medegedeeld, die de vroeger met veel moeite geleerde geheel overbodig maakt. Intusschen komt men er hier nog niet toe om in te zien, waartoe dit splitsen dient, daar dit in de differentiaal-rekening nergens te pas komt, en het kan dus zeer goed gebeuren, dat men de methode tweemaal geleerd en vergeten heeft om ze voor de derde maal te leeren als men ze eindelijk noodig heeft en nu, daar men de bewerking in haar geheel heeft leeren kennen, onthoudt.

Het boek eindigt met de beschouwing der reeksen, het binonium van Newton en de ontwikkeling der logarithmische, exponentiëele en goniometrische functiën. Wie dit door heeft gewerkt en bij voortgaande studie het theoreem van Taylor in de differentiaal-rekening leert kennen, bemerkt alweder dat

alles wat hij hier op omslagtige wijze geleerd heeft, niets is dan een van de vele toepassingen van dit theoreem, dat hij in elk geval toch moet kennen. Voeg hierbij, dat de theorie der differentiaal-rekening, althans de leer der limieten, er bedektelijk bij gehaald wordt, en dat de methoden vrij onvruchtbaar zijn, daar ze slechts in enkele gevallen toepasselijk zijn, en men zal er welligt geen groot bezwaar maar een voordeel in zien, om alles wat hier ter sprake komt eerst na het theoreem van Taylor te behandelen. Wel zal men verpligt zijn de toepassingen van dit theoreem eenigzins uitvoeriger te bespreken, maar daar men dan vrijelijk over de hulpmiddelen der differentiaal-rekening kan beschikken, wordt er over het geheel zeer veel tijd uitgespaard.

Hier zoude mijns inziens de methode, die in de natuurwetenschappen gebruikt wordt, aanbeveling verdienen; laat namelijk den aanvanger niet den weg, dien de wetenschap zelve ging, andermaal doorloopen, maar breng hem waar dit kan, en dit is hier het geval, zoo spoedig mogelijk op het standpunt, van waaruit alle voorheen afzonderlijk behandelde gevallen hem eenvoudige gevolgen eener enkele stelling blijken te zijn.

Meent men zonder hoogere algebra te weinig oefening in het technische der wetenschap te hebben, zoo kan men in elk geval de analytische meetkunst uitvoeriger behandelen, en hier zelfs een gedeelte van de leer der drie afmetingen bijvoegen, waarvoor differentiaal-rekening geheel overbodig is. Voor inleiding in de leer der functiën is de analytische meetkunst bovendien welligt veel geschikter dan de hoogere algebra. Acht men niettemin eenige kennis der hoogere magtsvergelijkingen volstrekt onmisbaar, zoo vindt men in het uitnemende werkje: ‘de beginselen der hoogere stelkunde van Badon Ghyben en Strootman’ hieromtrent het voornaamste in een kort bestek bijeen. Men kan dan in weinig tijd hieruit het meest wetenswaardige leeren en behoeft niet een geheel jaar aan hoogere algebra te geven.

Welligt zal men meenen, dat ik te veel gewigt op het practische nut leg en dat de volgende woorden door Prof. Lobatto in de voorrede voor zijne hoogere algebra nedergeschreven een antwoord op mijne redenering zijn. Men vindt hier namelijk het volgende:

‘Voor zoo verre sommigen van oordeel mogten zijn, dat het tegenwoordig leerboek reeds te vele zaken bevat, welker kennis

voor den toekomstigen ingenieur als overtollig te beschouwen is, moet ik hier nog de algemeene aanmerking bijvoegen, dat, al zoude ook het grootste gedeelte van het zuiver wiskundig onderwijs aan inrigtingen als die der Delftsche Academie gegeven wordende, immer buiten eenige toepassing blijven, voor hen nogtans die dat onderwijs met vrucht gevolgd zullen hebben, het groote nut zal ontstaan zijn van zich gedurende eenen geruimen tijd in wiskundige beschouwingen geoefend, en zich hierdoor een geest van onderzoek eigen gemaakt te hebben, welke niet nalaten kan, op hunnen volgenden practischen werkkring van gunstigen invloed te zijn. Nimmer toch zal de wetenschappelijk gevormde practicus den tijd betreuren, door hem aan zuiver theoretische bespiegelingen ten koste gelegd.’

In het algemeen genomen zal zeker ieder geneigd zijn met deze woorden in te stemmen, maar beschouwen wij de zaak nader. Indien de toekomstige ingenieur zich nergens aan zuiver theoretische bespiegelingen kon wijden, dan alleen in de aan practische toepassingen vrij arme hoogere algebra, zoo zou het zeer zeker van het grootste belang zijn dit vak zeer uitvoerig te behandelen, maar ik durf gerustelijk beweren, dat analytische meetkunst en hoogere analyse niet alleen veel practischer, maar bovendien, ik zoude haast zeggen in weerwil daarvan, daar sommigen deze eigenschappen als tegengesteld schijnen te beschouwen, ook oneindig meer stof tot theoretische beschouwingen opleveren. Het is zeker van groot nut zich geruimen tijd in wiskundige beschouwingen geoefend te hebben en zich hierdoor een geest van onderzoek eigen te maken, maar men zal bezwaarlijk beweren, dat het oplossen der vergelijkingen volgens de methode van Horner in dit opzigt veel geeft. Een enkel hoofdstuk als § 18 daarlatende, vindt men over het geheel niets dan stellingen en methoden, die men bij vraagstukken nagenoeg mechanisch moet volgen, maar nergens heeft men hier eigenlijk zijn eigen weg te zoeken, nergens vindt men iets wat voor ontwikkeling met het construeren en berekenen der eigenschappen der kromme lijnen in de analytische meetkunst kan vergeleken worden1.

Volgens de gegevene voorstelling heeft men dus, na de vlakke

driehoeksmeting en stereometrie behandeld te hebben, waarbij men, zoo men dit noodig oordeelt, een weinig van spherische trigonometrie en hoogere algebra kan voegen, daarna goed de leer der coördinaten (analytische meetkunst) zoowel voor twee als voor drie afmetingen beoefend, en is, als men hier de kegelsneden heeft doorgewerkt, voldoende voorbereid voor de differentiaal- en integraal-rekening. Zoo ergens moet men echter hier bij de beginselen zeer langzaam vooruitgaan. Schijnt mij de hoogere algebra van Lobatto, om bij deze veel gebruikte leerboeken te blijven, te uitvoerig toe, zoo zou ik eerder het tegendeel beweren ten opzigte der eerste hoofdstukken der differentiaal-rekening, en hetzelfde schijnt mij in nog hoogere mate te gelden van de mede ten behoeve van het middelbaar onderwijs uitgegevene differentiaal-rekening van Prof. Bierens de Haan. Voor zoo verre beide boeken bestemd zijn om bij het onderwijs gebruikt te worden en de leeraar dus het ontbrekende of te kort behandelde zelf uitvoeriger kan ontwikkelen, maak ik hiermede geene aanmerking op deze werken; maar bij eigen onderrigt geloof ik, dat men bij het doorlezen wel zal meenen een helder begrip der differentialen te hebben, maar nogtans later zeer dikwijls, vooral in de toepassingen, op allerlei bezwaren zal stooten en dan gaan bemerken, dat men het eigenlijke begrip volstrekt niet gevat heeft. Niet uitdrukkelijk genoeg wordt in dit laatste werk er m.i. op gewezen, dat het hier vooral op de limiet der verhouding aankomt; dy/dx wordt kortweg een breuk genoemd, zonder uitdrukkelijk te zeggen, dat, hoewel het geene breuk is, maar slechts eene eenvoudige schrijfwijze voor lim. Δ y/Δ x, men nogtans er mede werken mag als ware het eene breuk. Nadat verder eerst gezegd is (pag. 7) dat voor Gr. Δ x = 0 ook Gr. Δ y = 0 is, komt men (pag. 8) tot de vergelijking Δ y = f' x Δ x + ε Δ x, en daar voor de grens ε = 0 gesteld moet worden, heeft men volgens den schrijver d y = f' x d x. Maar dan verandert ook Δ y in Gr. Δ y en Δ x in Gr. Δ x en men komt dus zeer logisch tot de vergelijking 0 = 0, een bezwaar dat den aanvanger wel meer overkomt, die zoo vaak in den beginne alles in nullen ziet verdwijnen. Dit zal steeds het onvermijdelijk gevolg zijn, als men niet uitdrukkelijk op de limiet der verhouding de aandacht vestigt; de differentialen zijn eigenlijk

slechts gevolgen der schrijfwijze; stelt men ze = 0 of niet = 0, in beide gevallen stuit men op bezwaren. Beschouwt men ze niet = 0, zoo hangt hiermede zamen, dat men ook den cirkel als een veelhoek van een oneindig aantal zijden beschouwt en dus een oneindig kleinen boog met zijne koorde laat zamenvallen. De tijd nu, waarin een slinger een oneindig kleinen boog doorloopt is bekend en = π/2 √ l/g als wij den boog tot aan den verticaal beschouwen; dezelfde tijd, zoo zal men nu zeer logisch redeneren, zal ook vereischt worden voor een ligchaam dat onder de werking der zwaartekracht zich langs de koorde van dien oneindig kleinen boog beweegt, daar identische wegen ceteris paribus natuurlijk in gelijke tijden moeten worden doorloopen. Intusschen is het bekend dat dit niet het geval is; dat daarentegen een ligchaam evenveel tijd noodig heeft om langs eene koorde van eenig punt van den omtrek zich naar het laagste punt te begeven, en wel den tijd = 2 √ l/g, als l de straal van den cirkel is, hoe groot of klein de koorde zijn moge, dus ook als ze in bovengenoemde beteekenis oneindig klein is. Stelde men ze = 0, zoo zoude men in eenen driehoek met oneindig kleine basis het zwaartepunt op de halve hoogte moeten leggen, daar de afstand van beide zijden dan zoowel aan den top als aan de basis = 0 is. Uit de inhoudsberekening der omwentelingsligchamen volgens den regel van Guldin blijkt echter onmiddellijk, dat men ook in deze driehoeken met oneindig kleine basis het zwaartepunt op ⅓ der hoogte leggen moet en dat dus de conclusie uit de stelling d x = 0 valsch is. Zulke gevallen kunnen meer voorkomen en zijn het gevolg van het beschouwen der differentialen als werkelijk bestaande grootheden, en niet als gevolgen der schrijfwijze der limiet. Zij zijn in staat iemand later alle vertrouwen op de toepassingen der analyse te ontnemen, en het is te gevaarlijker over deze beginselen oppervlakkig heen te loopen, daar juist in den aanvang deze bezwaren niet voor den dag komen; bij het gewone differentiëren en later bij de kromme lijnen kan men vaak volstaan met de differentialen als zeer kleine grootheden te beschouwen; eerst veel later, vooral in de toepassingen, stuit men op bezwaren. Daarom zijn ook voor de analyse kleine werkjes, zoo als de bekende Engelsche shillingeditiën, geenszins aan te bevelen; integendeel bij de beginselen

moet men zeer lang stilstaan. Ongetwijfeld is in dit opzigt het werk van Badon Ghyben over de differentiaal- en integraalrekening veel vollediger, maar ik ken geen werk, dat mij uit een paedagogisch oogpunt beter voorkomt, dat het engelsche werk van de Morgan, ‘differential and integral calculus’, een lijvig boekdeel, waar meer dan 100 bladzijden alleen aan het eerste begrip van differentialen en limieten gewijd zijn. Maar ik geloof niet, dat iemand zich den tijd, met het bestuderen van dit werk doorgebragt, zal beklagen.

Bij het vorderen in de differentiaal-rekening geeft nu het theorema van Taylor tevens gelegenheid om het binonium van Newton voor alle exponenten te bewijzen en tevens de reeksen te behandelen. De toepassing op de kromme lijnen leert dan van zelf menige belangrijke eigenschap der hoogere magtsvergelijkingen vinden, die men nu als van zelf opmerkt en niet zooals vroeger met veel moeite moet begrijpen en soms met nog meer moeite onthouden. De klagt toch, door Dr. van der Ven in bovengenoemde voorrede vermeld, omtrent de overdreven kortheid en daaruit volgende onduidelijkheid der meeste schrijvers over dit hoofdstuk, ligt m.i. niet zoozeer aan deze werken zelve, maar daaraan dat men een vak, dat eerst later ter sprake moest komen, volstrekt in den aanvang wil behandelen. Verder volgt dan het integreren van functiën, bepaalde integralen en het bepalen van lengten, oppervlakken en inhouden, en dit was, de waarschijnlijkheidsrekening uitgenomen, gewoonlijk wel het hoogste punt, dat te Delft door ingenieurs bereikt werd; de eindige differentialen toch komen weinig voor en hetgeen verder volgt is althans in de leerboeken van Lobatto niet behandeld. En toch volgt er nog zooveel hoogst belangrijks. In de eerste plaats komen hier de differentiaalvergelijkingen in aanmerking, die in de mechanica zoo vaak en in de mathematische physica schier overal voorkomen. Maar dan volgen nog de elliptische functiën, de verdere ontwikkeling der onbestaanbare grootheden, de theorie der potentialen, welke voor eenige jaren alleen nog in wetenschappelijke verhandelingen maar nu reeds in leerboeken zijn uiteengezet, van welke ik slechts die van Lamé, Briot en Bousquet, Durège heb te noemen. Ook hieronder is veel wat voor den theoretischen ingenieur en den natuurkundige van waarde is; het is welligt nu nog niet mogelijk dit alles in een academischen of polytechnischen cursus op te nemen, maar deze hoofdstukken

kunnen onmogelijk voor altijd als uitsluitend eigendom der zuiver wiskundigen beschouwd worden en van toepassing op verwante vakken verstoken blijven. De wiskundige cursus van den ingenieur gaat thans ongetwijfeld veel verder dan voor 100 jaar toen de gewone integraal-rekening voor den wiskundige nagenoeg de grens der wetenschap was, maar ook de thans gevolgde cursus moet met der tijd zich verder uitstrekken. Of zoude, terwijl alle vakken vooruitgaan, alleen de wiskunde, voor zoo ver de ingenieur of de natuurkundige ze leert, tot stilstand veroordeeld worden.

Maar voor vooruitgang is bekorting en vereenvoudiging der beginselen onmisbaar. Wat niet noodig is voor latere toepassingen worde in den regel weggelaten; wat zonder schade kan uitgesteld worden, stelle men tot later uit, als wanneer het gewoonlijk veel gemakkelijker kan begrepen worden. Welligt zoude men, als de wet op het middelbaar onderwijs dit niet verhinderde, reeds op de hoogere burgerschool in plaats van beschrijvende meetkunst, die toch aan de polytechnische school weder ter sprake moet komen, in het laatste jaar met de leer der coördinaten kunnen aanvangen, na in het vierde jaar stereometrie benevens gonio- en trigonometrie goed behandeld te hebben. Men noeme dit niet eene eenvoudige verwisseling van vakken, want in het laatste geval zoude men aan de polytechnische school veel spoediger met de differentiaal-rekening kunnen beginnen en hiervan bij het onderwijs, zoowel in practische en theoretische mechanica als in toegepaste natuurkunde gebruik kunnen maken, hetgeen nu tot later moet uitgesteld worden. Diezelfde reden van spoed bestaat niet bij de beschrijvende meetkunst, hoe onmisbaar deze voor den ingenieur zijn moge, daar hier geen ander vak op wacht.

Zelfs al was ieder het volkomen eens met de hier uiteengezette meeningen, zoo zou echter in Delft de analyse daarom niet veel vroeger ter sprake komen. De wet zelve noemt als vakken waarin onderwijs gegeven wordt, de hoogere stelkunde, de bolvormige driehoeksmeting en de analytische meetkunst, de beschrijvende meetkunst en de differentiaal- en integraal-rekening, en vermeldt uitdrukkelijk, dat de zamenvoeging dezer vakken onder den naam van hoogere wiskunde, waarbij men de handen vrij zoude hebben, niet gebruikt is, omdat alweder de spherische driehoeksmeting, dat troetelkind der nederlandsche wiskundigen, niet onder den naam van hoogere wiskunde

kan doorgaan en dus gevaar zou loopen stiefmoederlijk bedeeld te worden. Menigeen deelt welligt deze vrees en zou het betreuren als, door het vak niet met name te noemen, het welligt zijns inziens te kort zoude behandeld worden, waarbij dan de zoo geroemde analogiën van een zoo vermaard wiskundige als Gauss er welligt bij zouden inschieten, maar zou het niet veel wenschelijker zijn, als men door deze en al het overige wat gemist kan worden weg te laten, den aankomenden ingenieur zoo verre bragt, dat hij de verhandeling van Gauss over de oppervlakken of wel zijne verhandeling over de potentialen met vrucht kon lezen, zaken die toch nog vrij wat meer belang hebben dan bovengenoemde analogiën?

Men houde intusschen wel in het oog, dat de onlangs verschenen leerboeken benevens de bepalingen der wet op het middelbaar onderwijs, en geenszins de feitelijke toestand, tot grondslag dezer beschouwing genomen zijn. Minder wenschelijk schijnt het mij, dat met de analytische meetkunst in plaats van beschrijvende niet reeds aan den vijfjarigen cursus een aanvang wordt gemaakt en dus van den beginne af aan de Polytechnische school moet onderwezen worden; dat verder hoogere algebra en spherische trigonometrie uitdrukkelijk door de wet als verpligte vakken zijn opgenoemd, hetgeen ligt tot eene te uitvoerige behandeling dezer vakken kan leiden. Het gevolg hiervan is o.a. dat voor ingenieurs de theoretische en practische mechanica eerst in het derde jaar ter sprake kan komen, terwijl de tijd van twee jaren voor al deze wiskundige vakken nog waarlijk niet te lang is. Zooals veelal, hangt echter ook hier de nuttige werking der inrigting veel meer af van het personeel dan van de wet, en hoewel het onmogelijk is nu reeds een oordeel over het onderwijs der Polytechnische school uit te spreken, heeft men echter alle reden om van de thans aan die inrigting verbondene leeraren te vertrouwen, dat zij de betrekkelijke waarde der verschillende onderdeelen goed zullen weten te schatten. Reeds de omstandigheid, dat hoogere algebra en hoogere analyse door een en denzelfden persoon worden gegeven, kan vele geopperde bezwaren doen wegvallen.

Er is voorwaar geen gebrek aan stof om uit te kiezen bij het onderrigt in de wiskunde, waar bovendien in de latere jaren nog een geheel nieuw hoofdstuk, dat der zoogenaamde nieuwere meetkunde, is bijgekomen. In hoeverre het tijd is deze bij het onderwijs op te nemen, waag ik niet te beslissen; aan de

gymnasiën en hoogere burgerscholen schijnt ze mij echter misplaatst. Aan de eerste moet in elk geval stereometrie voorgaan en hiertoe komt men zelfs in den regel niet; aan de laatste moet alles beschouwd worden als voorbereiding voor de differentiaal- en integraal-rekening, die later meer dan iets anders noodig is, en stellig wel nooit door de nieuwere meetkunde zal worden verdrongen. Een eigenlijke cursus wordt er trouwens wel zelden over gegeven en men is dus hier zoo goed als geheel tot eigen studie verwezen. Veel bestaat hierover in onze taal nog niet, maar naar mijne ondervinding schijnt mij, wat er is, niet in dien vorm opgesteld, waarin het het gemakkelijkst wordt ingezien en begrepen.

In de laatste door Bierens de Haan bezorgde uitgave van la Croix ‘lagere meetkunst’, vindt men daarover een kort resumé, maar zoo kort, dat het haast niets meer geeft dan de definitiën der verschillende termen met eene enkele stelling ter opheldering. De lezer, die dit bestudeert, ziet volstrekt niet in, waartoe al die nieuwe begrippen moeten dienen; men vindt òf bekende stellingen terug, òf nieuwe, maar die zoo onmiddellijk uit de definitiën voortvloeijen, dat ze alleen waarde hebben ten opzigte der pas aangegevene grondbegrippen. Dat dit echter met name bij de kegelsneden zulk een vruchtbaar hulpmiddel is, dat in vele opzigten de analytische meetkunst verre overtreft, wordt op die wijze volstrekt niet duidelijk. Beter, dunkt mij, dit hoofdstuk niet behandeld dan op deze wijze. Misschien zal de een of ander in de nieuwere meetkunde ervaren wiskundige dit hoofdstuk naar aanleiding van het hier geschrevene nog eens doorloopen, en er dan toch eene nette uiteenzetting der grondbegrippen en hoofdstellingen in vinden en mijn oordeel dus te hard rekenen, maar in dit geval plaatst hij zich mijns inziens niet op het standpunt van den aanvanger. Hij weet waartoe al de daar gegevene stellingen leiden, toetst ze bij zich zelven aan de hem bekende gevolgen en weet ze dus dadelijk in hun onderling verband te rangschikken, maar de aanvanger tast als in den blinde rond en weet niet waartoe al die nieuwe begrippen moeten leiden. De andere mij bekende leerboeken zijn die van v. Loghem en Adams (vertaald door Eger) over de theorie der transversalen, wier innerlijke waarde ik thans hier niet ter sprake wil brengen maar slechts den vorm, waarin zij geschreven zijn. Mij schijnen ze vooral het eerst zeer weinig geschikt bij het onderrigt. In het eerste volgen 393 paragra-

phen, even zoo vele stellingen, gevolgen of werkstukken bevattende, elkander regelmatig op als de artikelen van een wetboek; alles schijnt van gelijk belang; alle stellingen passeren met eene wanhopige regelmatigheid de revue; nergens vindt men eens eenige regelen tekst, die de betrekkelijke waarde, de meer of min uitgebreide toepassing aangeven; men leest meer stellingen dan dat men in den geest der beginselen indringt. Zulk een boek kan, even als een wetboek, zeer geschikt zijn om na te slaan in bepaalde gevallen, maar om de wetenschap er uit te leeren, schijnt het mij hoogst onpractisch, hoe populair de daar aangewende methode ook bij vele schrijvers over wiskunde zijn moge; even als bij het bestuderen der wet, schijnen ook hier memoriën van toelichting mij onmisbaar. En het is zeer goed mogelijk de wetenschap op andere wijze te behandelen; als uitstekend leerboek voor zelfonderrigt kan ik hier aanhalen het duitsche werk: ‘Grundliniën der neueren Geometrie’ van Chr. Paulus. Stuttgard, W. Paulus, 1853. Hier wordt niet meer behandeld dan de grondbegrippen en de toepassing op de kegelsneden, en toch omvat het 360 blz. en schijnt dus zeer uitvoerig, vooral als men het vergelijkt met eene andere handleiding van Zech1, alwaar in 100 blz. van een veel kleiner formaat hetzelfde met bijvoeging der oppervlakken wordt besproken. Maar dit schijnt mij een verdienste en geen gebrek. Terwijl men uit een kort boek vaak niets leert, bereikt men hier een vrij belangrijk standpunt en heeft dit vak tevens als werktuig bij verdere onderzoekingen leeren gebruiken. Dat een groot boek meer werk zoude kosten ter bestudering is in het algemeen ook onwaar. Vindt men hier b.v. in 6 bladzijden behandeld, wat elders in een blz. of minder wordt afgehandeld, zoo zal men ook vaak in het eerste geval de zaak volkomen begrijpen bij eene enkele aandachtige lezing, terwijl men het andere vaak herhaaldelijk moet overlezen, geheel voor zich zelven moet uitwerken, waarmede nog veel meer tijd verbruikt wordt en men het gewenschte doel soms nog volstrekt niet bereikt. Het is een der grootste dwalingen, dat, door de leerboeken uitermate beknopt te maken, de wetenschap zelve kon worden ingekrompen, en bij het oog op de vele handboeken van die soort moet men haast wel aannemen, dat deze gedachte bewust of onbewust aan vele schrijvers voor den geest zweefde, waarbij dan soms van

een klein formaat en fijnen druk ook nog eenig voordeel schijnt verwacht te worden.

De Hollanders hebben over het geheel den naam van een niet onpractisch volk te zijn, maar merkwaardig is het hoe bij de wiskunde als het ware instinctmatig steeds de minst practische deelen bij voorkeur worden behandeld. Zoo als wij gezien hebben wordt van spherische trigonometrie meer werk gemaakt dan van stereometrie, van hoogere algebra meer dan van analytische meetkunst; en terwijl aan de bepaalde integralen bij ons te lande eene bewerking ten deel viel, die alle buitenlandsche aan volledigheid verre overtreft, zijn de in de toepassingen nog wel zoo belangrijke differentiaal-vergelijkingen slechts zeer zelden ter sprake gekomen. Van de nieuwere meetkunde zijn de harmonische snijdingen en de transversalen, niet de toepassing op de kegelsneden, een ook voor de praktijk zeer belangrijk hoofdstuk, bij ons behandeld. Het is werkelijk bijna een wonder als een autodidact uit zich zelven tot analytische meetkunst komt; de nieuwe uitgaven over spherische trigonometrie, hoogere magtsvergelijkingen en hoogere algebra moeten hem noodwendig doen denken, dat het op deze vakken bij voorkeur aankomt, terwijl het enkele oorspronkelijke werk over analytische meetkunst der latere jaren, dat van Badon Ghyben, hetgeen bovendien als aan de Militaire Academie verschenen eene verpligte uitgave is, hem zeer ligt onbekend kan blijven. Zoo gaat in eene weinig vruchtbare rigting veel tijd en, wat erger is, veel lust voor wiskunde verloren.

Nog een enkel woord ten slotte. Dat het wiskundig onderrigt hier openlijk ter sprake is gebragt, kan op zich zelf wel niemand bevreemden; de publieke zaak dient publiek besproken te worden en het heeft mij steeds zeer verwonderd, dat de wiskunde schier nimmer uit een paedagogisch oogpunt ter sprake kwam, terwijl dit toch met andere vakken vaak het geval was. Maar men zal zich welligt verwonderen, dat dit geschiedt door iemand, die de wiskunde niet tot hoofdvak heeft gekozen maar ze slechts als hulpwetenschap gebruikt. Mijns inziens ten onregte. De wiskunde is hier niet om zich zelve beschouwd geworden, maar juist als hulpwetenschap; de zuiver wiskundige meet de wiskundige waarde niet af naar de practische toepassingen; voor hem staan de differentiaal-vergelijkingen en de theorie der getallen welligt op gelijke lijn, even als de physicus, hij moge voor zich zelven aan eenig vak de voorkeur geven, aan

alle hoofdstukken in absoluten zin gelijke waarde toekent. De scheikundige rekent daarentegen de leer van het spectrum en die der warmte veel belangrijker, dan die van het geluid of het magnetisme, en evenzoo is het ook voor hem, die de wiskunde als hulpwetenschap noodig heeft, lang geene onverschillige zaak, welke vakken en in welke orde ze behandeld worden. Hiervoor moet een middenweg gevonden worden tusschen eene zuiver theoretische behandeling en het eenvoudig opsommen, zonder op het theoretisch verband te letten van die stellingen, die later in de praktijk voorkomen. Het zal mij niet verwonderen als anderen omtrent dezen middenweg met mij in meening verschillen, maar eene meening te verkondigen, die door ieder onveranderd zou overgenomen worden, lag evenmin in mijn plan, als eene eigenlijke recensie van de hier aangehaalde werken te geven, welke als zoodanig beschouwd zeer onvolledig zou kunnen genoemd worden. Mijn eenig doel was dit onderwerp ter sprake te brengen.

 

Zutphen, 20 September 1865.

 

Dr. H.W. Schroeder van der Kolk.


Vorige Volgende

Over het gehele werk

titels


Over dit hoofdstuk/artikel

auteurs


datums