De Gids. Jaargang 14

[p. 440]

De wiskunde, als gedeelte van het onderwijs op Gymnasiën.

Het wiskundig onderwijs in Nederland beschouwd door Dr. D.S. Steyn Parvé, Prof. der Wiskunde aan het K. Athenaeum te Maastricht. Rotterdam, H.A. Kramers, 1850.

Hoewel reeds sedert lang, volgens de uitspraak der wet en het oordeel van deskundigen, de philologische wetenschappen voor de vorming van den aanstaanden bezoeker der Hoogescholen niet toereikend werden geacht, maar ook aan de beoefening der wiskunde gewigtige invloed op die vorming werd toegeschreven, zoo heeft men echter het onderwijs in deze wetenschap veelal als met weêrzin en beschroomde vrees toegelaten, zoo niet tegengewerkt, tot eerst in de laatste jaren, mede en vooral door het Staats-examen, hare beoefening meer verpligtend geworden is, en zij, als zoodanig, dan ook niet konde ter zijde gesteld worden. Eene tweede oorzaak der verbetering van dit onderwijs ligt in de oprigting van Gymnasiën, waarbij in ééne afdeeling de wiskunde als hoofdzaak optreedt, en daardoor ook aan dat onderwijs voor aanstaande studenten gereedelijk meer zorg wordt besteed. Sedert nu in dit opzigt het middelbaar ononderwijs een stap vooruit heeft gedaan, is er eene nieuwe vraag opgerezen, die hare beslissing nog afwacht: of na-

[p. 441]

melijk het onderwijs in de wiskunde als hulpwetenschap slechts bij het middelbaar onderwijs te huis behoort, dan of het op de Hoogescholen dient te worden voortgezet?

Mede ten dezen opzigte heeft Prof. D^r. Steyn Parvé onlangs in zijne aangehaalde beschouwing van ‘het wiskundig (middelbaar) onderwijs in Nederland’ eenige denkbeelden geopperd, waaronder zeker vele waarheden, die op eene duidelijke wijze ontwikkeld zijn, maar ook enkele punten voorkomen, die, naar Ref. bedunken, nog niet zoo gaaf weg als zeker mogen aangenomen worden. Het is zijn voornemen, deze bijzondere punten nader te overwegen, en hij zal daartoe van genoemd stukje gebruik maken, ten einde niet in noodelooze herhalingen te vervallen. Hier volge eerst de aanstipping van de door S. behandelde hoofdpunten.

Na eene beschouwing van het onderwijs in de wiskunde en van het oordeel hierover door de Commissiën van het Staats-examen geuit, gaat S. blz. 15 over tot het bepalen van het gedeelte, dat hij daartoe geschikt rekent, behandelt dan blz. 28 de Docenten, blz. 36 de Methode, blz. 42 de Leerboeken, en komt, na eenige bijzondere opmerkingen, blz. 51 tot die inrigtingen, welke het tweede deel der Gymnasiën uitmaken.

Er is een punt, door S. met eenige uitvoerigheid behandeld, waarover Ref. liever niet spreken zal: de methode namelijk in wiskundig onderwijs; hij heeft zich toch niet lang genoeg aan dit onderwijs kunnen wijden, om een oordeel hierover te willen vellen; en men zoude misschien aan dat gebrek van ondervinding zijne meening toeschrijven, dat ieder docent, die zich zijn doel bewust is, en de kundigheden daartoe bezit, van zelf de wijze van voordragt zal kiezen, die voor hem, en het soort der leerlingen, dat hij te onderwijzen heeft, het best geschikt is, en die methode naar zijne ondervinding zal wijzigen: - de meening, dat een door gedurige oefening ervaren docent omtrent zijne allengs verkregene en verbeterde methode, als in navolging van een bekend gezegde, zoude moeten verklaren: de methode ben ik.

Als wij nagaan, wat Gymnasiën behooren te zijn, zien wij,

[p. 442]

dat zulke inrigtingen in de eerste plaats moeten dienen, om jongelieden tot de Academische studiën op te leiden, dat is, eensdeels hunne vermogens te ontwikkelen en hun verstand geschikt te maken, om het uit een wetenschappelijk oogpunt gegeven onderrigt te kunnen bevatten en ontvangen, - anderdeels, om hen met de noodige kundigheden te voorzien, die vereischt worden, om dat hooger onderwijs te kunnen volgen en begrijpen. In de tweede plaats evenwel moet dezelfde inrigting ook daartoe strekken, om aan jongelieden - wier bestemming is, om na afloop der cursus al dadelijk praktischer opleiding te ontvangen, en in meer werkdadigen zin ontwikkeld te worden - die mate van kundigheden mede te deelen, welke zij daartoe behoeven, of de beginselen van die wetenschappen te leeren, waarvan hun dáár het vervolg onderwezen wordt; welk onderwijs dan tevens zal strekken, om hun verstand te ontwikkelen.

Reeds dadelijk volgt hieruit de dubbele strekking, de dubbele eisch, waaraan het onderwijs moet voldoen: de formele en de reële ontwikkeling; maar in verschillende mate komen deze beide rigtingen bij de twee hoofdafdeelingen uit, in het algemeen ten opzigte van de gemeenschappelijke studievakken, maar in het bijzonder en wel voornamelijk met betrekking tot de wiskunde. Uit de verschillende opvatting van de bijzondere waarde en het eigenaardige gewigt dier beide rigtingen, met betrekking tot de eerste afdeeling, is, als Ref. meent, het verschil af te leiden, dat er tusschen den S. en hem bestaat ten aanzien van het deel der wiskunde, voor die vorming benoodigd; en hoewel S. eerst spreekt ‘van het louter formele doel,’ en ‘het formeel nut, waarom slechts de wiskunde beoefend wordt,’ is het reële nut, inzonderheid voor den aanstaanden medicus, misschien meer dan hem zelf bewust is, zijn maatstaf geweest, daar hij naderhand beweert, dat ‘de kennis van de meetkunde der vlakke figuren alleen niet voldoende is tot de beoefening der natuurkunde,’ en ‘bovendien de stereometrie (voor den medicus onmisbaar) niet zoo uitgebreid behandeld behoeft te worden, dat men daarom zoude aarzelen, ze bij het wiskundig onderwijs op te nemen.’

Na het doel van het onderwijs in de wiskunde en de uit-

[p. 443]

gebreidheid van de lagere wiskunde te hebben aangestipt, zal Ref. aangeven, welk deel voor het onderwijs hem voldoende voorkomt, en de redenen behandelen, die hem van den S. in gevoelen doen verschillen.

Het formele doel van het wiskundig onderwijs is eensdeels het vormen en ontwikkelen van abstractie-vermogen, ten anderen, het geven van heldere denkbeelden omtrent grond en gevolg en redenering die beide verbindt - omtrent de noodige gegevens waaruit, de gevallen waarin of waarin niet, de wijze waarop men tot een waar besluit, eene waarheid, komt - omtrent de vereischten, waaraan eene bepaling moet voldoen, opdat zij gelden moge - omtrent het onderscheid tusschen synthese en analyse - omtrent de systematische behandeling van een onderwerp - in één woord, van de wiskunde als toepassing van redeneerkunde. Maar bij de vervulling van dit hoofddoel kan van zelf het nevendoel worden bereikt, dat er bestaat voor hen, die de wiskunde als hulpwetenschap of als hoofdvak noodig hebben, de kennis namelijk van de gronden der wiskunde zelve, even als S. dit blz. 28 teregt ook voor de philologische vakken aanmerkt. Maar dit nevendoel moet nevendoel blijven, en mag niet als hoofddoel optreden.

Bij het nagaan, welk deel der wiskunde voor de formele vorming het meest geschikt is, zullen wij eerst de meetkunde, daarna de stelkunde beschouwen. Wat vooreerst de meetkunde betreft, dient men wel, wegens hare uitgebreidheid (niet omdat zij minder formeel is, zoo als uit het gezegde van den S. op blz. 25, omtrent de lagere meetkunde zoude schijnen te volgen), de zoogenaamde hoogere meetkunde buiten rekening te laten; maar ook de lagere in haar geheel is, naar Ref. inzien, voor dit doel nog van te grooten omvang. Wilde men toch de theorie van de lijnen, de vlakke figuren en den cirkel (waarbij de goniometrie behoort), van de lijnen en vlakken in de ruimte, van de meest eenvoudige ligchamen, van de vlakke en bolvormige driehoekmeting, van de transversalen, polaren en harmonische snijdingen, en wat er nog meer bij behooren moge - wilde men dit alles voor de formele vorming noodig oordeelen, de min-

[p. 444]

ste bekendheid met de uitgebreidheid dezer bijzondere deelen zal het ongerijmde van zulk eene meening doen inzien; en toch zijn zij alle voor het gestelde doel uitnemend geschikt. Volgens Ref. behoort men zich slechts te bepalen tot een van de overigen vrij scherp afgescheiden deel, dat de lijnen, de vlakke figuren, den cirkel en de regtlijnige driehoeksmeting behandelt en vlakke meetkunde pleegt genoemd te worden (omdat men zich daar steeds in hetzelfde vlak beweegt), en dan zal men daarin stof genoeg kunnen vinden, om het formele doel te bereiken, zonder zich, ten koste van de grondige en dus langzame behandeling, aan overhaasting te moeten schuldig maken. Wilde men daarentegen ook de lijnen en vlakken in de ruimte, en de ligchamen, al zij het dan ook slechts de eenvoudigste, bij het vorige behandelen (waardoor in zeker opzigt een geheel zoude ontstaan), in den geest, dien S. wil (blz. 21), en die dan ook voor dit doel noodzakelijk is: ten opzigte namelijk van de overeenkomst en het onderscheid, die er tusschen de eigenschappen hier en in de vlakke meetkunde gevonden worden, opdat de leerling ‘zich overtuige van het verband en de harmonie, die tusschen de deelen der meetkunde bestaan,’ - dan wordt het veld minstens driemaal zoo groot, en daardoor, hoe geschikt dan ook naar zijnen inhoud, bezwaarlijk vatbaar naar de uitgestrektheid, om in het vormende onderwijs te worden opgenomen; tenzij er eene methode werd uitgevonden, die het driedubbele goed onderwijst van datgene, wat reeds, zoo als, helaas! de ondervinding bewijst, door velen slechts met moeite wordt geleerd. Er is nog een andere weg, om bij die drievoudige grootte, het einde te bereiken, wanneer namelijk slechts eene driedubbele snelheid of eene driemaal kleinere uitvoerigheid werd gebezigd¹; doch de ondervinding zoude leeren, dat men alsdan het formele doel evenmin zoude bereiken, daar langzame en grondige behandeling wel als hoofdvereischte van het onderwijs, vooral in dien zin, mag gelden. Nu is, wel is waar, de bekende opmerking niet on-

1 Is dit de meening van den S., wanneer hij blz. 62 zegt: ‘Bovendien behoeft de stereometrie ook niet zoo uitgebreid behandeld te worden, dat men daarom zoude aarzelen, ze bij het wiskundig onderwijs op te nemen’?

[p. 445]

gegrond, dat de beschouwing dezer beide deelen het voorstellingsvermogen bijzonder scherpt, en zij daarom vooral voor het onderwijs geschikt zouden zijn, maar Ref. gelooft, dat dit voordeel, hier door de noodzakelijk meer haastige behandeling meer dan opgewogen, even goed en misschien met meer wezenlijk nut ten aanzien der vorming kan verkregen worden door de oefening in meetkundige vraagstukken, wanneer de leerling zelf den weg moet zoeken, om van het bekende terrein het voorgestelde doel langs den gemakkelijksten en kortsten weg te bereiken. Van de overige deelen, die nog tot de lagere meetkunde behooren, is hier niet gewaagd, omdat het wel niet de bedoeling van S. geweest is, om, waar hij van de geheele lagere meetkunde spreekt, ook die in het formele onderrigt op te nemen.

Het formele doel, dat wij als hoofdzaak aannamen, vordert dus eene niet te groote uitbreiding van het studieveld, zal deze uitbreiding het doel zelf niet doen uit het oog verliezen en verloren gaan; maar nu het nevendoel, het reële, wordt dit bereikt door zulk eene beperking? Dit doel bestaat slechts ten opzigte van die jongelieden, die zich op de natuurkunde als hulpwetenschap, of op de wis- en natuurkundige wetenschappen zelve willen toeleggen, daar toch Literatoren¹, Juristen, Theologanten, geene reële kennis van wiskunde behoeven. Maar voor de eersten is het formele veld dan ook niet genoeg: kennis van stereometrie en mede van bolvormige driehoeksmeting zijn hier vereischten, en wilde men dan met den S., blz. 63, de noodzakelijkheid van het laatstgenoemde vak betwijfelen, zoo is toch zeker het reële nut van stereometrie voor den medicus geen grond, om daarom alleen de formele behandeling ook voor den Literator, der Jurist en den Theologant zoo verre op te voeren, te meer daar de Medicus, die deelen der lagere wiskunde niet uit een formeel, maar uit een reëel oogpunt behoevende, veel spoediger tot zijn doel kan komen.

1 Hier is aangenomen, dat thans, bij de meerdere waardering van het formele nut der wiskunde, wel niet meer aan een Literator het onderwijs in deze wetenschap zal worden opgedragen, tot welk doel voorheen de Literator zich verder op de wiskunde, ook uit een reëel oogpunt, moest toeleggen.

[p. 446]

Overgaande tot het tweede deel der wiskunde, de algebra namelijk, en de bepaling van het deel, dat voor het onderwijs het meest geschikt is, kunnen wij deze wetenschap vooreerst verdeelen in de leer der herleidingen, de algemeene oplossing van vergelijkingen van den eersten tot den vierden graad, de algebraische analyse en de theorie der hoogere-magtsvergelijkingen. De beide laatste deelen worden hier, even als vroeger de hoogere meetkunde, en om dergelijke reden, reeds dadelijk afgezonderd; maar welk deel van het overige moeten wij dan voor het onderwijs behouden? De gewoonte en de wet beide zeggen: datgene, wat met de vergelijkingen van den tweeden graad eindigt; deze grens wordt door S. opgegeven, maar niet bijzonder overwogen; het beweerde toch op blz. 16, dat hier wezenlijk de grens der lagere wiskunde zoude zijn, is weinig naauwkeurig, even als wij dit boven ten aanzien der lagere meetkunde zagen. Maar welke is dan de reden dezer verdeeling? Zij bestaat alleen uit een practisch oogpunt, en is daaruit ligt te verklaren. Hoewel men voor het formele doel misschien met de eerste-magtsvergelijkingen zoude kunnen volstaan, of ook wel tot de vergelijkingen van den vierden graad opklimmen, gaat de eerste grens niet ver genoeg, daar men bij de analytische oplossing van meetkundige vraagstukken meermalen tot eene eindvergelijking van den tweeden graad komt; vandaar dat de oplossing van deze vergelijkingen wegens het praktisch oogmerk noodzakelijk is: en daar vergelijkingen van den derden en vierden graad in de lagere meetkunde niet voorkomen, is de oplossing van deze, weder uit hetzelfde oogpunt beschouwd, niet noodzakelijk, en als zoodanig misschien wordt zij ook niet bij het middelbaar onderwijs gevorderd. Daar wij nu evenwel de goniometrie tot het te onderwijzen deel der lagere wiskunde gebragt zagen, die voor de oplossing dezer vergelijkingen somtijds noodig is, zouden, naar de meening van Ref., deze vergelijkingen geschiktelijk tot dit onderwijs kunnen worden gebragt, en zouden zij dan voorzeker eene schoone gelegenheid opleveren tot het verkrijgen van een helder inzigt in den aard van vergelijkingen, eene eigenschap, die S. teregt bl. 28 omtrent de vierkantsvergelijkingen opmerkt.

[p. 447]

Niet moeijelijk is het nu, in den geest van het voorgaande, de vraag te beantwoorden, of het onderwijs in de wiskunde nog op de Hoogescholen dient te worden voortgezet? Immers de formele vorming behoort uit haren aard bij het middelbaar onderwijs, en het hooger onderwijs bemoeit zich slechts met wetenschappelijke vorming. Vandaar de thans vrij algemeen aangenomen meening, waarin ook prof. Opzoomer met den S. deelt¹, dat de student het niet ten onregte vervelend vindt, dáár nog formele opleiding te moeten ontvangen, waar zij niet meer te huis behoort. Wordt nu het veld der lagere wiskunde zóó begrepen, als het in de voorgaande bladzijden is aangenomen, zoo volgt daaruit van zelf, dat Literator, Jurist en Theologant geen wiskundig onderwijs aan de Hoogeschool meer behoeven te erlangen. Doch voor den Medicus schijnt zich eene zwarigheid op te doen, daar hij nog niets van stereometrie en bolvormige driehoekmeting kent; maar heeft hij dan voor zijne propaedeusis niet nog meerdere vakken noodig? Al ware nu het veld der wiskunde bij het middelbaar onderwijs genoeg uitgebreid, om de opzettelijke beoefening van dat vak aan de Hoogeschool te laten varen, is hij toch nog niet gereed, om dadelijk tot zijn hoofdvak over te gaan. Derhalve zoude er, meent Ref., niets ongerijmds in zijn, om het uit een reëel oogpunt gevorderd onderwijs in de leer van lijnen en vlakken in de ruimte, in de stereometrie en in de bolvormige driehoeksmeting bij de overige propaedeutische studievakken te voegen: of deze te zamen op de Hoogeschool behooren onderwezen te worden, dan of zij misschien eerder aan de Gymnasiën, in een afzonderlijk jaar bijv., dienden beoefend te worden, is eene vraag, die hier niet beantwoord behoeft te worden; grootendeels ook zoude het antwoord van

1 Ref. gelooft toch, dat prof. Opzoomer evenmin door ‘weinige achting voor de Wiskunde’ wordt gedreven, waar hij de, door S. op blz. 13 aangehaalde opmerkingen over dezen afkeer der studenten tegen wiskundig onderwijs aan de Academie in zijne ‘Hervorming onzer Hoogescholen’ aangeeft, - als S. zelf, wanneer hij blz. 25 van ‘het ontmoedigende van een elementair wiskundig onderwijs aan de Hoogescholen’ gewaagt.

[p. 448]

de aanstaande herziening der wet op het hooger onderwijs moeten afhangen.

Nu nog een paar opmerkingen over de tweede Hoofdafdeeling der Gymnasiën, waar het onderwijs de strekking moet hebben, om jongelieden voor te bereiden tot een onderwijs in werkdadigen zin, of hun reeds dadelijk de noodige praktische kundigheden moet geven, waarvan zij naderhand in hunnen werkkring gebruik moeten maken of nut kunnen trekken. Het formele en het reële doel van het onderwijs zijn hier in eene verhouding, bijna tegenovergesteld aan die, welke in het straks behandelde op den voorgrond is geplaatst. Hier toch geldt het de reële opleiding en, waar daaraan voldaan is, kan het formele nut niet achterwege blijven; trouwens de opleiding heeft hier niet het doel, om tot eene wetenschappelijke vorming voor te bereiden; maar daarentegen is die vorming zelve hier hoofddoel, al is het dan ook niet in zuiver wetenschappelijken geest, maar eerder met het oog op toepassing, op werkdadig nut; en zulk eene vorming brengt reeds uit haren aard, wil zij goed zijn, tot het oefenen der geestvermogens, het verhelderen der denkbeelden, het ontwikkelen van het verstand. Hier is het van meer nut, een grooter veld te doorloopen, zonder bij ieder afzonderlijk punt met een formeel oogmerk lang te verwijlen; hier treedt de wiskunde als wetenschap, als systematische verzameling van waarheden, van waarnemingen op, welke gekend, maar ook begrepen en onthouden moeten worden, om ze naderhand met vrucht te kunnen toepassen; hier kan men zich niet bij de vlakke meetkunde bepalen, doch moet de leer van lijnen en vlakken in de ruimte en de stereometrie niet alleen, maar ook de beginselen van analytische en beschrijvende meetkunde behandelen, omdat deze juist van zooveel gewigt in de toepassing zijn: hier kan, zoo als S. blz. 15 zegt, de regel gelden: ‘hoe meer, hoe beter, mits slechts de hoedanigheid niet door de hoeveelheid lijde.’

[p. 449]

Beide Afdeelingen van de Gymnasiën hebben dus met betrekking tot de wiskunde eene geheel verschillende rigting, maar dit verschil is niet van dien aard, dat in beide minder geschikt door denzelfden persoon zoude kunnen onderwezen worden; integendeel gelooft Ref., dat dit verschil den docent juist voor eene al te onzijdige ontwikkeling en behandeling van zijn onderwerp, vooral ten aanzien van de tweede Afdeeling, zal kunnen behoeden, zoodat hij met het reële doel gelijktijdig ook zooveel mogelijk het formele zal behartigen, dat altijd voor de ontwikkeling der leerlingen van veel belang zal zijn. Er volgt evenwel uit het gezegde, dat beide Afdeelingen in geen geval gezamenlijk hetzelfde onderrigt mogen ontvangen, waardoor toch óf ééne der beide rigtingen, óf misschien wel beide te gelijk uit het oog zouden verloren worden, dus nimmer het doel van dat onderwijs zoude kunnen bereikt worden. Indien dus hierop gelet wordt, heeft de verbinding van beide Afdeelingen tot een geheel niets verkeerds of ongerijmds, zoo als men misschien uit het onderscheid in rigting zoude opgemaakt hebben; bovendien is deze verbinding niet zonder eigenaardige waarde, daar beide soorten van leerlingen het onderwijs in geschiedenis en aardrijkskunde grootendeels gemeenschappelijk kunnen ontvangen, en de nieuwere talen en beginselen van natuur- en scheikunde, voor de leerlingen der tweede Afdeeling van het grootste belang, ook bij die van de eerste niet geheel mogen achterwege blijven, terwijl voor dezen eindelijk de oude talen mede als hoofdvak van formeel onderrigt optreden, waarvan de eerste beginselen, met het oog op terminologie, voor genen ook niet onontbeerlijk zijn.

Zulk eene verbinding is het nu, wat in een Gymnasium gevorderd wordt, en wanneer daarbij de boven aangetoonde, noodzakelijke afscheiding van het wiskundig onderwijs plaats heeft, is zulk eene verbonden inrigting zeker even goed, zoo niet beter in staat om aan hare eischen te voldoen, dan wanneer bij eene verdeeling in twee bijzondere inrigtingen voor sommige leervakken een dubbel personeel werd gevorderd, en daardoor aan iedere afzonderlijk eene minder groote uitbreiding te beurt konde vallen. Maar

[p. 450]

zulke inrigtingen zijn nog zeldzaam in ons Vaderland, bij welke namelijk ook de tweede Afdeeling eene genoegzame ontwikkeling heeft bekomen, om wezenlijke resultaten te kunnen opleveren; op den voorgrond in dit opzigt staat voorzeker de inrigting te Maastricht, waaraan S. verbonden is, en die, zoo als zij voor weinige jaren gewijzigd werd, wel als een voorbeeld ter navolging mag aanbevolen worden, waarbij het zeer wenschelijk is, dat er zich eerlang vele anderen mogen kunnen scharen; onder deze vertrouwt Ref. dat het Gymnasium te Deventer, bij het bestaande verband met het Athenaeum aldaar, niet zal achterblijven.

Deventer, Febr. 1850.

d. Bierens de haan.