De Gids. Jaargang 3
(1839)– [tijdschrift] Gids, De–
Auteursrechtvrij
[pagina 405]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Arnhem, W.J. Kruyt, 1838. 4o. 16 bl.Het benaderen van de wortels eener vergelijking op eene min omslagtige en toch zekere wijze, is een vraagstuk in de Wiskunst, van welks afdoende oplossing ieder deskundige het hoog belang gaarne zal toegeven. Niet te verwonderen is het daarom, dat velen hierop hunne ijverigste en scherpzinnigste pogingen aanwendden. Die pogingen waren van tweederlei aard: het kwam er op aan, het aantal en de natuur der wortels voorloopig te beoordeelen, en ze naauwkeurig en zoo beknopt mogelijk te bepalen. Ten aanzien van het eerste boogt de wetenschap te regt op mannen als girard, descartes, budan, fourier, sturm en zoo vele anderen uit vroegeren en lateren tijd. Het was lagrange, die voor een zeventigtal jaren de sierlijkste en zekerste methode uitdacht, om de wortels werkelijk te benaderen. Budan schonk vervolgens der Stelkunst een vermogend bekortingsmiddel, dat lagrange's handelwijze in groote mate van de omslagtigheid die haar aankleeft, kan verligten, zie Prof. de gelder's Wiskundige Lessen, IIe Cursus, bl. 207, § 304. Daarenboven stelde hij zelf in zijne Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques, twee verschillende benaderingsleerwijzen voor, waarvan de eene alle aanprijzing verdiende, de andere minder fraai was, ofschoon zij zich vrij wel voordoet in het aangehaalde werkje, doordien het voorbeeld ter toepassing gekozen, juist daarvoor zich onder bijzonder gunstige omstandigheden verhoudt, terwijl van datzelfde voorbeeld voor lagrange's methode het tegendeel geldt. De Heer krajenbrink leverde in het boekske, waarvan de titel aan het hoofd dezes staat, eene nieuwe Leerwijze ter bereiking van hetzelfde doel. In een zeer bescheiden Voorberigt onderwerpt hij zijnen arbeid aan het oordeel van anderen, terwijl hij meent dat zijne handelwijs, zoo ten aanzien van den spoed, waarmede | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 406]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de benadering voortgaat, als van de aan te wenden moeite boven lagrange's manier de voorkeur verdient. Wij meenen daarin de tweede leerwijze van budan te herkennen, maar met schrander overleg verbeterd en bruikbaarder gemaakt. Budan namelijk, zoekt eerst twee limieten a en a + 1, tusschen welke een wortel inligt, en maakt dan de afgeleide vergelijking in x - a = x′ op, die nu noodzakelijk een wortel tusschen 0 en 1 zal hebben. Deze wortel is altijd grooter dan de bekende of achterste term, gedeeld door de som van den grootsten coëfficiënt, die met een tegengesteld teeken is aangedaan, en den bekenden term zelven. De wortels der vergelijking in x′ worden nu verminderd met dat gebroken, bijaldien het de eenheid tot teller mogt hebben, anders met zoodanig een, dat kleiner is, maar naast bijkomende, stel i/p, zoodat men eene nieuwe afgeleide vergelijking in x′ - i/p = x″ verkrijgt. Wederom wordt er een gebroken als boven bepaald, waarbij nog deze willekeurige voorwaarde komt, dat de noemer een veelvoud moet zijn des vorigen noemers, laat het i/pq zijn, daarmede worden dan de wortels der vergelijking in x″ verminderd en men heeft de afgeleide in x″ - i/pq = x‴. Alzoo voortgaande, vindt men voor den benaderden wortel: x = a + i/p + i/pq + i/qr + i/rs +..... Deze benadering gaat alles behalve spoedig in het werk, wanneer p een klein getal is, en dit kan de bijzondere gesteldheid der vergelijking medebrengen; daarbij komt nog, dat er een opzettelijk onderzoek vereischt wordt naar den graad van naauwkeurigheid, dien men reeds bereikt heeft, vermits die niet bedongen wordt door eenig noodzakelijk verband tusschen p, q, r, s,.... De Heer K. stelt nu het navolgende voor. Zoek tusschen welke twee getallen a en a + 1, een wortel van de vergelijking inligt, en maak de afgeleide vergelijking in x - a = x′ op. Deze heeft een wortel tusschen 0 en 1. Bepaal de vergelijking tot de omgekeerde wortels i/x′ = y′ deze heeft er dan noodzakelijk een grooter dan 1, beslis tusschen welke getallen p en p + 1, dan is x′ > 1/p+1 en < 1/p, derhalve x > a + 1/p+1 en < a + 1/p. Maak voorts de afgeleide vergelijking in x′ - 1/p+1 = x″ op, en uit deze die tot de omgekeerde wortels i/″ = y″; laat daarvan den wortel invallen tusschen q en q + 1, dan is x″ > 1/q+1 en < 1/q, dus x > a + 1/p+1 + 1/q+1 en < a + 1/p+1 + 1/q. In dier voege voortgaande, vindt men x > a + 1/p+1 + 1/q+1 + 1/r+1 en < a + 1/p+1 + 1/q+1 + 1/r, enz. Bij het einde van elken benaderingsstap verschilt de verkregen waarde | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 407]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
achtereenvolgens minder van de wezenlijke waarde des wortels dan 1/p - 1/p+1 = 1/p(p+1), 1/q - 1/q+1 = 1/q(q+1), 1/r - 1/r+1 = 1/r(r+1), enz., bijgevolg is 1/q+1 < 1/p(p+1), 1/r+1 < 1/q(q+1), enz., of q + 1 > p(p + 1), r + 1 > q(q + 1); waaruit men ziet, dat de reeks vrij sterk convergeert, en een vijfde en zesde gebroken een aanzienlijk aantal decimalen des wortels aan het licht zullen brengen, bijaldien de eerste dit niet reeds mogten gedaan hebben. Van de waarde van p hangt ook hier vooral de meerdere of mindere spoed af, en valt die te gering, zoo kan men, en dit is dan geraden, de wortels der vergelijking in y′ vertien-, ja des noods verhonderdvoudigen, en de gevonden limieten naderhand weêr door tien of honderd deelen. Worden de getallen op het laatst te groot, men behoeft maar ééne decimaal meer uit te schrijven, dan men er van den wortel verlangt te kennen. De Schr. past zijne Leerwijze op twee voorbeelden toe. Het eene is de door lagrange beroemd geworden vergelijking: x3 - 2 x - 5 = 0, welker bestaanbare wortel blijkt te zijn: > 2 + 1/10.6 + 1/1814 + 1/3551864, men vindt dus x = 2.09455 14815 423..., tot de 13de decimaal ingesloten, nog naauwkeurig. Het is aan geenen twijfel onderhevig, of de nieuwe Leerwijze is zoo gestreng als ze maar behoeft te zijn, ze voert spoediger en met minder omslag ten doel dan en de methode van lagrange en de twee leerwijzen van budan. Ze getuigt dus van des Heeren K. schranderheid en bedrevenheid, en zeker had voor een twintig jaren de nieuwe vond belangrijk geheeten. Sedert echter hebben fourier in Frankrijk en horner in Engeland de opgave zoo in het naauw gedreven, dat eene dergelijke benaderingsmanier tegenwoordig niet meer dan geschiedkundige waarde zoude hebben. De laatste vooral heeft het benaderen van de wortels eener vergelijking zoo uiterst beknopt en geleidelijk gemaakt, dat er bezwaarlijk iets doelmatigers op zal worden gevonden. Ter overtuiging laten wij hetzelfde voorbeeld volgens horner uitgewerkt, hier volgen, waarbij men wel in het oog gelieve te houden, dat men niet enkel het hoofdbeloop, maar de bewerking in haar geheel voor zich ziet. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 408]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 - 2x - 5 = 0.
Het is waar, de wortel is hier niet nader dan tot 8 decimalen uitgerekend, doch Ref. vervolgde denzelven verder, en het was alleen om den Gids voor zoo veel nommers niet te doen terugdeinzen, dat hij het geheel terughield; hij vond voor den wortel: x = 2.09455 14815 42326 591, en bezigde daartoe niet meer dan 573 cijfers. De geschiedenis dezer benaderingsmethode is niet van belang ontbloot, en levert een bewijs op, hoe langzaam onze kennis toeneemt; hoe de weg, die ons bij den eersten aanblik de geschiktste voorkwam, naderhand meestal ook de beste blijkt te zijn; hoe veel omwegen er niet eerst betreden worden, voor en aleer het ware pad wordt ingeslagen, dat regelregt ten doel leidt. François viète, Fransch Wiskunstenaar uit de laatste helft der 16de eeuw, trachtte de uit Hindostan herkomstige, door Arabische Schrijvers ons bekend geworden, nog gebruikelijke wijze van quadraats- en cubiekwortel-trekken, met een beproevingsdeeler die naderhand aangevuld wordt, ook tot het oplossen van vergelijkingen dienstbaar te doen zijn. Zulks gelukte hem indedaad, maar de bewerking was zoo omslagtig, dat men er kwalijk gebruik van konde maken. Harriot, oughtred, wallis namen deze zijne manier in hunne werken op, met weinig verandering, en newton's benaderingswijze verdrong ze in vervolg van tijd geheel. Lagrange kende | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 409]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ze en spreekt er van in zijn beroemd Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés, waar hij ze wel is waar afkeurt, maar toch niet geheel verwerpt, ten minste dan niet wanneer al de termen der vergelijking met éénzelfde teeken zijn aangedaan, met uitzondering van den laatsten, bekenden term, waarop hij laat volgen, zie bl. XXIV: ‘Il faudrait, pour l'emploi de cette méthode, qu'on pût par une préparation préliminaire, réduire toutes les équations à cette forme. Nous prouverons, que cette réduction est toujours possible, etc.’ Het schijnt dat die voorbereiding niet zoo dringend noodig is, indien men althans in sommige ongunstige gevallen zich een weinigje tastens en beproevens wil getroosten. Het kwam er slechts op aan, viète's handelwijze tot haren kortstmogelijken vorm zaâm te brengen, en alzoo voor het werkdadige geschikt te maken. De eer van dit meesterlijk te hebben volbragt komt geheel en onverdeeld toe aan w.g. horner van Bath, nog geene twee jaren geleden der wetenschappen ontvallen. Zijne uitvinding werd der Kon. Maatschappij te London voorgelezen 1o Julij 1819, en 1o December van hetzelfde jaar verscheen ze in de Phil. Transactions. De steller dezes las onlangs eene soort van uitdaging, om een bepaalden wortel van zekere vierde magtsvergelijking, die vroeger aan wallis gezonden werd, ten einde er zijne krachten aan te beproeven, en die naar horner's methode slechts 730 cijfers vereischt, op eenige andere manier tot evenveel decimalen, het waren er 15, te benaderen, mits geene 1500 cijfers te bezigen, en de lust bekroop hem de wapens des Heeren K. in dit strijdperk eens te beproeven. Met behulp van budan's algorithmus bragt hij in diens handelwijze nog aanzienlijke bekortingen aan, en toch mogt het hem niet gelukken, beneden de 3000 cijfers te blijven. De vergelijking is deze: x4 - 80 x3 + 1998 x2 - 14937 x + 5000 = 0, de wortel bleek te liggen tusschen 12 + 1/1.4 + 1/22 + 1/694 + 1/557265 + 1/93075005634, en 12 + 1/1.4 + 1/22 + 1/694 + 1/557265 + x/93075005633 en dus te zijn = 12.75644 17944 80744 02298.... Zeker werden er niet meer dan 15, en geene 20 decimalen gevraagd, maar de voorlaatste breuk was niet voldoende, immers zij gaf er nog slechts 10. Niet meer dan 16 decimalen werden in de bewerking uitgeschreven, waardoor de laatste breuk dan ook niet geheel juist is, doch zoo weinig verschilt van die, welke door het bijbehouden van 22 decimalen voor den dag kwam, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[pagina 410]
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dat zulks op de 20ste decimaal van den wortel nog geenen invloed uitoefende. Hiermede achten wij onze taak ten einde, en besluiten met den wensch, dat in de wezenlijke behoefte in ons Vaderland aan een degelijk boek, dat onze jeugdige landgenooten met de vorderingen in dit gewigtig gedeelte der Stelkunst: de oplossing der hoogere magtsvergelijkingen in de laatste vijfentwintig jaren, bekend maakt, eerlang naar eisch voorzien moge worden.
E. |
|