De natuurkunde van 't vrije veld. Deel III

Rust en beweging

[p. 33]

Spel, sport, vervoermiddelen.¹⁾

18. De snelheid van een trein.

Het voorbijvliegen van een sneltrein is altijd een groots schouwspel. De snelheid was vroeger ongeveer 80 km/uur, nu 100 tot 120, straks 140 km/uur; 100 km/uur komt overeen met 100.000/3600 = = 28 m/sec.

In een bepaald geval duurde het voorbijvliegen 5 sekunden. De lengte van de trein moest dus ongeveer 5 × 28 = 140 meter zijn, wat vrijwel uitkwam met het aantal wagens en de lengte van elke wagen.

Als men zelf in de trein zit, is de snelheid op eenvoudige wijze te bepalen. In het dreunen van de wagen is er een sterke, regelmatige rhythmus, dáárdoor veroorzaakt dat de wielen telkens een lichte stoot krijgen bij het overgaan van het ene stuk rail naar het andere. Neem een horloge met sekundenwijzer en bepaal het aantal stoten in 30

Fig. 17. De snelheid van een lokaaltreintje tussen 4 opeenvolgende stations.

sekunden; dit aantal is evenredig met de snelheid van de trein.

Het is leuk om aldus bij een lokaaltreintje de snelheid om de minuut te bepalen, en die als funktie van de tijd grafisch voor te stellen (fig. 17). Men ziet duidelijk dat tussen twee stations de kurve asymmetrisch verloopt: het op gang brengen duurt langer dan het remmen. Verder is de bereikte maximale snelheid gering als de afstand der stations klein is, groter als de trein veel tijd heeft om op gang te komen.

Vergelijk de snelheid op de baanvakken Utrecht - Woerden en

1) Cassell's Book of Sports and Pastimes (London). - E. Lampe, Mathematik und Sport (Teubner, 1929). - H. Schuppe, Physik der Leibesübungen (Stuttgart, 1941).

[p. 34]

Woerden - Gouda: op dit laatste lopen alle treinen langzamer.

Om de snelheid niet alleen relatief, maar in ware waarde te kennen, is het voldoende de lengte van één stuk spoorrail te bepalen. Merk op dat langs onze spoorwegen de afstanden aangegeven zijn door witgeschilderde hektometerpaaltjes, soms alle aan één kant, soms de evene en de onevene afwisselend rechts en links; u herkent ze weldra aan de regelmatige opklimming der cijfers en de gelijke afstanden. Als u nu eenvoudig het aantal stoten per 200 m telt, vindt u eens en vooral uit

Fig. 18. De snelheid van een sneltrein tussen den Haag en Leiden (1930).

welk type rail de spoorweg daar ter plaatse is samengesteld. Gebruikelijke maten zijn 18 m en 24 m; soms, hoewel zelden, komt het voor dat verschillende maten elkaar reeds op een vrij kort trajekt afwisselen. - Bereken nu de ware snelheid van de trein in meters per sekunde of in kilometers per uur (fig. 18).

Er is een eenvoudige manier, om de snelheid van de trein direkt in kilometers per uur te verkrijgen, zonder dat omrekeningen nodig zijn. Denk u eerst eens kilometerpaaltjes langs het spoor, en een waarnemer die telt hoeveel er van die paaltjes in een uur voorbijvliegen. Ga nu over tot een verkleind model: de kilometer-afstand brengen we terug tot de lengte van een rail, stel l meter; het tijdinterval van één uur verkleinen we in dezelfde verhouding tot een veel kortere tijdsruimte t = l/1000 × 1 uur = 3,6 l sekunden. De eenheid van snelheid ‘raillengten in t sekunden’ is nu gelijk aan de eenheid ‘kilometers per uur’. Het aantal stoten in de tijd t zal dus gelijk zijn aan de treinsnelheid in kilometers per uur. - Voor rails van 18 m lengte hebben

[p. 35]

we t = 64 sec te nemen; voor rails van 24 m wordt t = 85 sec.

Willen we vlugger tot een resultaat komen, dan tellen we de stoten gedurende 32 of 42 sec en verdubbelen.

Aantal stoten per 30 sec voor een sneltrein tussen Den Haag en Leiden (bepaald om de halve minuut; lengte rail = 18 m).

	15
1^m -	18
	21
2^m -	27
	30
3^m -	30
	31
4^m -	34
	38
5^m -	39
	38
6^m -	39
	38
7^m -	39
	39
8^m -	39
	39
9^m -	38
	41
10^m -	40
	41
11^m -	40
	--
12^m -	40
	37
13^m -	35 }
	0 } 15 sec

Bij het voorbijvliegen van een station met een sneltrein krijgt men altijd de indruk dat de grote snelheid daar veel beter te merken is dan in het vrije veld. Dat ligt eenvoudig aan het feit, dat de sporen in de stations dikwijls onderbroken zijn door wissels en dat de treinrhythmus dus sneller wordt!

Bepaal de snelheid van de trein tussen Dordrecht en Lage Zwaluwe. De brug over de Moerdijk is 1432 m lang; hoe groot is de treinsnelheid op de brug?

19. Richting van stoompluimen.

Als er geen wind was, zou de stoompluim van een trein naar de

Fig. 19. Verandering der richting van stoompluimen bij wijziging van treinrichting.

tegengestelde richting gericht zijn van die waarin de trein beweegt; 't is dus precies alsof de trein stilstond, maar er een ‘schijnwind’ waaide, waarvan de snelheid gelijken tegengesteld is aan de werkelijke snelheid van de trein. Is er buiten de schijnwind ook nog een ‘echte’ wind, dan moet men hun twee snelheden volgens de parallelogramwet samenstellen, en de resultante is de richting waarin men de stoompluim ziet.

Een leuk vraagstuk is het volgende (fig. 19). - Een trein rijdt eerst in een bepaalde richting AB, en we zien dat de stoompluim gericht is volgens AC; vervolgens rijdt hij (met dezelfde snelheid) in de richting AM, en de stoompluim is gericht volgens

[p. 36]

AN. Wat is de richting van de ware wind en hoe groot is zijn snelheid? - Oplossing. Bij de eerste waarneming was de schijnwind AB' samengesteld met een onbekende ware wind, zó dat de resultante de richting AC had; men ziet gemakkelijk in, dat de onbekende snelheidsvektor AX, waarvoor dit het geval is, zijn uiteinde X ergens op de lijn BC' // AC zal moeten hebben. En een snelheidsvektor die, samengesteld met AM', een resultante geeft in de richting AN, zal evenzo zijn uiteinde moeten hebben op de lijn MN' // AN. De onbekende windsnelheid, die aan beide voorwaarden voldoet, is dus gericht van A naar het snijpunt X van BC' en MN'; de grootte dezer windsnelheid verhoudt zich tot de treinsnelheid zoals AX/AB. Uit een schatting van de treinsnelheid volgt de windsnelheid.

Twee treinen die elkaar in tegengestelde zin voorbijrijden hebben in 't algemeen verschillend gerichte stoompluimen. Pas op dit geval onze constructie toe.

Controleer de uitkomst als de trein stilstaat!

20. Doorhangende telegraafdraden.

Als kind heb ik mij al verbaasd over die merkwaardige draden die langs het spoor lopen en die ik voortdurend zag stijgen of dalen. Ik behoef wel niet te zeggen dat in werkelijkheid de telegraafdraden in rust zijn, maar telkens tussen twee palen iets dóórhangen, terwijl onze trein er langs rijdt. De vorm van zulk een dóórhangende draad is een langgerekte ‘kettinglijn’, waarvan de vergelijking luidt: y = e^x + e^-x (y en x in geschikte eenheden). Van alle vormen die de telegraafdraad tussen zijn twee aanhechtingspunten kan aannemen is dit de kromme met het laagstgelegen zwaartepunt. Deze zelfde lijn treedt op bij bloemfestoenen en telkens als de massa van het lichaam gelijkmatig over de hele lengte verdeeld is.

21. Remmen.

Sluit de ogen terwijl u in de trein zit, en vraag u af of het wel zeker is dat de trein beweegt. - Ja, daar kan geen twijfel aan zijn; we voelen voortdurend schokken, en horen 't geratel en gedruis, dat zelf tot een aantal kleine stootjes terug te brengen is. Toch is het al verrassend moeilijk uit te maken, of u vooruit of achteruit rijdt: u kunt zich zowel het ene als het andere verbeelden. - Stel u nu eens voor dat de beweging geheel zonder

[p. 37]

schokken met volkomen eenparige snelheid gebeurde: dan zouden we aan niets kunnen merken dat we bewegen. In een eenparig bewegende treincoupé gebeuren alle natuurverschijnselen net

Fig. 20. Het meten van de versnelling op een trein.

precies alsof de trein stilstond: het is het klassieke voorbeeld waar de relativiteitstheorie van uitgaat om haar beginselen aanschouwelijk voor te stellen. Zodra echter de trein remt of versnelt, merken we wel degelijk iets bijzonders. Alle voorwerpen die enigszins los zijn komen in beweging: tengevolge van hun traagheid maken ze de versnelling of vertraging van de trein slechts in geringe mate mee: deuren slaan, bagage valt om of rolt uit het net, water in een waskom of soep in een bord gaan scheef staan, onze lichamen voelen zich vóóruit of achteruit gedrukt. Quantitatieve metingen kunnen we doen, door een touwtje met een gewicht bij wijze van een slinger aan een stang van het bagagenet op te hangen, en na te gaan of

Fig. 21. Vertraging van een remmende trein, automatisch geregistreerd.

dit wel loodrecht naar beneden blijft hangen (fig. 20). Bij plotselinge veranderingen van de versnelling begint de slinger heen en weer te zwaaien, dan is hij niet bruikbaar; we moeten wachten tot zijn uitwijking enkele sekunden dezelfde is gebleven, en dan aflezen. We vinden bij het remmen verplaatsingen van 3 tot 4 cm per meter slingerlengte, in de richting van de treinbeweging, wat dus een (negatieve) versnelling betekent van 0,03 of 0,04 maal die van de zwaartekracht: gemiddeld 981 × 0,035 = 35 cm/sec². Een trein die met een snelheid van 1700 cm/sec rijdt

[p. 38]

zou bij een dergelijk remmen na 1700/35 = 50 sec tot stilstand gekomen zijn; bij deze eenparig vertraagde beweging is de remweg ½ . 35 . (50)² = 44000 cm = 440 meter. Dat is inderdaad een orde van grootte zoals die in werkelijkheid vóórkomt.

Dikwijls is het remproces ingewikkelder. Slechts een ervaren machinist slaagt erin de rem van 't begin af zó aan te zetten, dat de trein precies op 't juiste punt stopt; meestal wordt er geleidelijk meer en meer geremd, alhoewel er ook veel te zeggen is voor de omgekeerde volgorde (fig. 21).

In geval van nood kan de machinist bij het remmen vertragingen tot 75 cm/sec² gebruiken, of zelfs nog meer. Dergelijke vertragingen zijn echter al gevaarlijk voor de reizigers, die omgeworpen kunnen worden.

Bij het remmen of aanzetten bewegen een kinderballonnetje, rook van een sigaret en de vlam van een lucifer in tegengestelde richting van een vrij opgehangen slinger¹⁾! Deze lichamen zijn nml. lichter dan de omgevende lucht, de lucht ondergaat dus meer de invloed der traagheid dan zij en verdringt ze. Het is merkwaardig hoe goed en nauwkeurig zulk een kinderballonnetje als indicator voor versnellingen werkt, vooral als de raampjes dicht zijn en storende luchtstromingen vermeden worden; bij het aanzetten van de trein wordt iedere zuigerslag der lokomotief duidelijk aangewezen: de grote luchtweerstand maakt dat het zich bijna onmiddellijk instelt en op elk ogenblik het juiste bedrag der versnelling aangeeft. - Hoeveel van de mensen die op Zaterdagmiddag met zo'n ballonnetje van een van de grote warenhuizen per trein terugkeren, hebben die eenvoudige waarneming ooit gedaan?

De trein nadert het station, remt .... hoep! daar stopt hij! en op hetzelfde ogenblik vallen de reizigers die al waren opgestaan achteruit, - ik bedoel: achteruit ten opzichte van de bewegingsrichting van de trein. Hoe komt dat? Zoudt u niet gedacht hebben dat we integendeel door de traagheid vooruit geduwd moesten worden? Bedenk echter, dat wij ons onwillekeurig schrap stellen tegen de traagheidskrachten zodra we voelen dat de trein begint te remmen; op het ogenblik dat de (negatieve) versnelling wegvalt, worden we door de tegenkracht die we uitoefenden meegesleept.²⁾ Dat deze verklaring wel de juiste

1) Lely, Physica, 6, 313, 1926.

2) H. Weinreich, Zs. math. naturwiss. Unterr. 63. 118, 1932.

[p. 39]

is, blijkt wanneer de trein sterk vaart geminderd heeft, met eenparige beweging rijdt, en dan ineens onverwacht stopt: dan vallen de reizigers vóóruit.

Laten we deze feiten nog van een algemener standpunt beschouwen. Zolang de remming geheel gelijkmatig geschiedt en de trein een zuiver eenparig vertraagde beweging uitvoert, ondervinden we daar niet meer last van dan wanneer hij rustig op een helling stond. Wat ons echter het gevoel van een schok geeft, dat is als de remming verandert, dus als er een wijziging van de versnelling optreedt.

De wijziging van de versnelling is wat de wiskundige aangeeft door het derde differentiaalquotiënt van de weg naar de tijd d³x/d t³. Het is betrekkelijk zelden dat dergelijke hogere differentiaalquotiënten in de natuur een belangrijke rol spelen.
Gezichtsbegoocheling bij het remmen: vgl. I, § 105.

22. Bochten in de spoorlijn.

Wie in een trein zit let er meestal weinig op of hij een bocht maakt ofwel rechtdoor rijdt; alleen in de sterkste bochten geeft men er zich rekenschap van, doordat men het landschap ziet draaien. Zodra er zon is, kan men echter letten op de stralen die door de ruitjes naar binnen vallen: bij elke bocht, ook al is die nog zo klein, verschuiven de lichtvlekken op de wand al zeer merkbaar.

Zou men een bocht ook daaraan kunnen merken dat een vrij opgehangen schietlood naar buiten uitwijkt tengevolge van de middelpuntvliedende kracht? Neem de proef met een gewichtje, dat u aan het bagagenet hangt met behulp van een draad wit naaigaren. U zult tot uw verrassing vinden dat in het algemeen zulk een schietlood niet naar buiten uitwijkt! Bij een bocht wordt namelijk de optredende versnelling al vóóruit gecompenseerd, doordat de buitenrail iets hoger gelegd is dan de binnenrail (‘verkanting’). Ons schietlood ondergaat zelfs soms een kleine afwijking in tegenovergestelde zin van wat we hadden verwacht, hetgeen bewijst dat de helling der sporen aan de snelle treinen is aangepast, en voor langzame treinen dus overcompensatie geeft. Men berekent de verkanting gewoonlijk voor een snelheid van ⅞ der maximale. - We hebben hier opnieuw een mooi voorbeeld van de stelling, dat een versnelling dezelfde uitwerking heeft als een gravitatieveld, en er eventueel door opgeheven kan worden: dit ‘aequivalentiebeginsel’ is de grondslag van Einstein's theorie der zwaartekracht.

[p. 40]

Onze slinger kan ons echter wel inlichten omtrent de bochten van de spoorlijn, wanneer we hem gebruiken als ‘slinger van Foucault’: daartoe is het voldoende hem in een bepaald vlak aan het slingeren te brengen, bijvoorbeeld zo zuiver mogelijk loodrecht op de lengterichting van de trein. We hebben voor onze proef een punt uitgekozen waar de spoorlijn een scherpe bocht maakt; er mogen echter niet teveel wissels in voorkomen, want die geven schokken. Nu zien we zeer duidelijk hoe het slingervlak draait ten opzichte van de coupé, maar hoe het zijn richting in de ruimte bewaart (t.o.v. het landschap, schaduwen, lichtstrepen). Het mooist is de proef's avonds of in een draaiende tunnel (Gotthardbaan!), omdat dan zo aanschouwelijk wordt bewezen dat slingerwaarnemingen ons kunnen inlichten over onze draaiingen, ook al hadden we geen andere vergelijkingsmaatstaf. Meer dan het demonstreren van het beginsel kunnen we echter niet bereiken, daar de storingen door plotselinge schokken veel te groot zijn.

Na afloop van onze treinreis willen we eens rechtstreeks aan de rails zelf onderzoeken, in welke mate de compensatie door verkanting geschied is. Daarvoor kiezen we een sterke bocht van een goed toegankelijk baanvak. - Als de rails naar de binnenzijde

Fig. 22. Bepaling van de kromtestraal van een spoorlijn.

der bocht hellen over een hoekje α, geeft de zwaartekracht een componente αmg, die evenwicht moet maken met de middelpuntvliedende kracht mv²/r. Hieruit volgt:
v²/r = αg, dus v = √αgr.

Dwars over de rails leggen we een zuiver rechte lat. Een glazen buis, bijna geheel met water gevuld en dichtgekurkt, dient als waterpas; daarmee bepalen we over welke hoogte h we de lat aan de binnenzij der bocht moeten optillen om ze horizontaal te maken. Aangezien de Nederlandse sporen op 150 cm afstand van elkaar liggen, is α = h/150. Om de kromtestraal van de bocht te vinden kiezen we een goed begrensd stuk van gelijkmatige kromming (fig. 22); we meten de lengte 2l van de boog door afstappen, de lengte p van

[p. 41]

de pijl met een lintmeter. Men ziet gemakkelijk, dat bij benadering r = l²/2p. - Aan een bocht van de spoorweg Bilthoven - Zeist werd gevonden : h = 6,6 cm, dus α = 0,040; 2l = 220 m, p = 5,30 m, dus r = 1150 m. De bocht is dus berekend op treinen met snelheid v = 22,3 m/sec of 80 km/uur. Deze snelheid wordt door de treintjes op die lijn wel niet gehaald.

23. Op de tram.

Veel der waar te nemen verschijnselen zijn ongeveer dezelfde als in een trein. De snelheden zijn geringer: tot 25 km per uur; maar de versnellingen zijn van dezelfde orde.

Als 't regent kan een tramreiziger zeer fraai zien hoe het water, dat op het dak van het tramrijtuig gevallen is, door de spijers loodrecht naar beneden stroomt ten opzichte van de tram, precies alsof deze in rust was. Bij versnelling of vertraging gaat de straal afwijken; soms ziet men onder een spijer op de tramruit een hele waaier van al de verschillende valrichtingen. Terwijl dus de stralen van de vrij vallende regen een helling vertonen zodra de tram een zekere snelheid heeft, zien we dat de regen, die eerst op het dak van de tram opgevangen was, daar de horizontale snelheid van de tram overgenomen heeft, en dus bij het neervallen geen horizontale snelheidscomponente ten

Fig. 23. Beweging van een tramwagen in een bocht.

opzichte van de tram meer vertoont.

Waar moet men op de tram staan om zo weinig mogelijk last te hebben van plotselinge bochten? Wel, bij een bocht worden alle punten van de wagen naar de binnenkant van de bocht verplaatst, alleen achter de as van het laatste paar wielen bewegen de punten naar de buitenkant van de bocht (fig. 23). Nu is het klaarblijkelijk hinderlijk, als je voeten ineens naar de binnenkant van de bocht getrokken worden, terwijl je hoofd door de traagheid achterblijft en zich meer aan de buitenkant bevindt. Juist de omgekeerde stand is de natuurlijke: de middellijn van het lichaam moet hellen in dezelfde richting als de resultante van zwaartekracht en middelpuntvliedende kracht: Daarom stelle men zich op het achterbalkon, iets achter de achteras, en wel des te verder naarmate de wagen sneller rijdt en scherper bochten

[p. 42]

maakt.¹⁾ Het is waar dat voorbij de bocht het achterbalkon een baanvorm beschrijft, geheel symmetrisch van die welke eerst door het vóórbalkon werd afgelegd; maar nu is de passagier al op de bocht ingesteld en kan zich aan de versnelling aanpassen door doelmatig hellen van het lichaam.

1) Physica, 5, 280, 1925.

24. Versnellingen in een autobus.

We zijn net ingestapt, hebben ons kaartje betaald en begeven ons naar onze plaats. Maar ondertussen heeft de chauffeur de motor al aangezet. Hij schakelt ‘de eerste versnelling’ in: u hoort het geluid snel stijgen, de wagen krijgt vaart. Dan koppelt hij even de wagen los van de motor en schakelt ‘de tweede versnelling’ in, die weer een nieuwe stijging van het geluid en van de snelheid veroorzaakt. Dan koppelt hij andermaal los, en schakelt tenslotte de derde versnelling in. - Het merkwaardige is nu, dat we telkens als schokken voelen de ogenblikken waarop de motor ingeschakeld wordt: dàn is het dat we ineens neergesmakt worden op onze bank! Zonder twijfel zijn dit ook de ogenblikken waarop de versnelling het snelst verandert. En zo komen we weer tot een besluit dat we ook in een remmende trein al hadden getrokken (§ 21).

Evenzo gaat men wankelen als men toevallig staan moet terwijl de bus een bocht maakt, en de chauffeur in de bocht de kromming verandert. Zolang hij niet aan zijn stuurwiel draait, is de kromming constant en de bus beschrijft een cirkelboog. Een draai aan het wiel betekent echter een verandering van de kromtestraal, dus van de middelpuntvliedende versnelling;

Fig. 24. Overhellen van een autobus in de bocht.

en dat is het wat een gevoel van onvastheid geeft.

Bij een scherpe bocht is de middelpuntvliedende versnelling in een autobus soms bijna onweerstaanbaar. Door een onzichtbare hand wordt men opzij gedrukt, en de wagen helt helemaal over, terwijl zijn veren aan de buitenzij van de bocht sterk ingedrukt worden. De mechanische verklaring is natuurlijk, dat de middelpuntvliedende kracht en de wrijvingstegenstand van de wielen op de weg een koppel vormen, waardoor de autobus om zijn lengteas begint

[p. 43]

te draaien, tot de kracht der ingedrukte buitenveren dit koppel compenseert (fig. 24).

Beproef de versnelling in de bocht te bepalen uit de uitwijking van een slinger (§ 21).

25. Het spattende automobielwiel.¹⁾

Van de slijpsteen van een scharenslijper ontsnappen de vonken als een bundel vurige stralen in de richting van de raaklijn.

De automobilist denkt dat hetzelfde geldt voor de druppels modder die van zijn wielen wegvliegen; en de fietser weet wel hoe zijn rug bespat wordt als er geen spatborden aan zijn fiets zitten, wat hij ook toeschrijft aan een tangentiëel ontsnappen van de druppels - van zijn standpunt, terecht. Maar de voetganger die hen ziet oordeelt enigszins anders: hij ziet het wiel draaien en tevens vooruitgaan;

Fig. 25. Beweging der druppels, die van een automobielwiel wegspatten.

bij de tangentiële snelheid van elke druppel komt er dus een voorwaarts gerichte componente die het beeld verandert (fig. 25). Men kan ook zeggen: het wiel draait op elk gegeven ogenblik om zijn tijdelijke draaipunt M, het aanrakingspunt met de grond; om dit middelpunt kan men zich cirkels denken, en aan die cirkels raken de wegvliegende spatten Ze vliegen dus alle naar voren: u kunt als voetganger gerust de modderige straat oversteken, vlak achter een automobiel, zonder dat u bespat wordt. (Maar ik zou toch niet aanraden het te beproeven als er plassen water op de weg liggen!)

1) Pohl, Mechanik und Akusik.

26. In een vliegtuig.

Een tochtje boven Schiphol maakt een onvergetelijke indruk. O het grootse vergezicht over de schone Aarde! O de koninklijke weelde van de vliegdaad zelf, van het zweven, van het voorwaarts dringen in de ijle ruimte!

In de bocht ligt het vliegtuig schuin, de zijde van de buitenbocht is het hoogst (vgl. § 22). Deze helling geeft de piloot met opzet: ze is zo berekend, dat de resultante van zwaartekracht en middelpuntvliedende kracht altijd loodrecht op de vloer

[p. 44]

van de cabine werkt, zodat de passagiers niets van de bocht voelen. Als we een horloge aan zijn ketting laten hangen, schijnt de richting van dit schietlood altijd dezelfde ten opzichte van onze kajuit, ook als het vliegtuig een bocht maakt en de gezichteinder voor ons gevoel geheel scheef staat. Het is dus net zo iets als bij een trein in de bocht.

Daarentegen kunnen we de vertikale versnellingen van het vliegtuig gemakkelijk meten (fig. 26). We bevestigen ons horloge

Fig. 26. Meting der vertikale versnellingen in een vliegtuig.

aan een gummisnoertje, dat bijvoorbeeld niet-uitgerekt 10 cm lang moge zijn. Met een duimstok bepalen we vóór ons vertrek, dat het horloge dit snoer tot 19 cm uitrekt, dus een verlenging van 9 cm teweeg brengt. In het vliegtuig zien we nu die uitrekking voortdurend veranderen. Nu eens krijgen we het ellendige gevoel dat we met vliegtuig en al beginnen te vallen, en zien dan ons horloge stijgen van deelstreep 19 tot 17, soms misschien eens tot 15; even later voelen we ons integendeel steviger op onze zitplaatsen gedrukt doordat we versneld opstijgen, en zien we 't horloge schijnbaar zwaarder worden en het snoer tot deelstreep 21 cm uitrekken. Door de schoksgewijze bewegingen van het vliegtuig zou het horloge teveel op en neer dansen, daarom dempen wij het door het zachtjes tegen de duimstok te laten rusten, die we een geringe helling hebben gegeven.

Het is dus alsof de zwaartekracht veranderd was in de verhouding 7/9 tot 11/9 (een enkele maal 5/9); blijkbaar heeft het vliegtuig vertikale versnellingen van ± 2/9 g = 2,20 m/sec² gekregen. Dat moeten we zó verstaan: in een sekunde legt het vliegtuig misschien een afstand x = 30 meter af; over die afstand verandert dus de vertikale snelheidscomponente v_z der luchtlagen soms met ruim 2 meter per secunde: ∂v_z/∂x bedraagt van 0 tot 0,07 sec^-1. Bij ietwat buiig weer is dit heel plausibel.

[p. 45]

27. Snelheid van een fietser.

We hebben al gezien hoe de trapafstand van onze fiets bepaald kan worden. Deze afstand f, vermenigvuldigd met het aantal pedaalomwentelingen per minuut, geeft de per minuut afgelegde weg. Daaruit is de snelheid in km/uur gemakkelijk te berekenen.

Direkter bereiken we ons doel op dezelfde wijze als we dat bij een trein hebben uitgevoerd. We berekenen eens en vooral een tijd t, zo gekozen dat het aantal omwentelingen in t sec gelijk is aan het aantal km/uur. Neem daartoe:

Voor f = 5 m bijvoorbeeld krijgen we t = 18 sec.

28. Dubbele fietssporen.

Het spoor van een fiets is meestal één enkele lijn, klaarblijkelijk vallen de sporen der twee wielen ongeveer samen; slechts hier en daar ziet men één der sporen een bochtje maken en dan weer met het andere versmelten. Waar de weg echter ombuigt ziet men duidelijk hoe het spoor zich over de hele lengte van de bocht verdubbelt; de afstand der twee sporen is des te groter naarmate de kromming

Fig. 27. Berekening van de afstand tussen dubbele fietssporen.

scherper was.

Waardoor precies wordt de afstand der sporen bepaald? We beschouwen een fiets waarvan het achterwiel A gericht is naar het aanrakingspunt B van het voorwiel met de grond, volgens de eis ener goede constructie, en waarvan het voorwiel door den fietser geruime tijd onder een vaste hoek α met AB wordt gehouden (fig. 27). Het is duidelijk dat de fiets nu een cirkel zal beschrijven. Laat het aanrakingspunt A van het achterwiel in zijn vlak een wegelementje AA' = x beschrijven; in dezelfde tijd beschrijft het aanrakingspunt B van het voorwiel een wegelementje BB' = y en de lijn AB gaat over in A'B', terwijl de afstand AB = A'B' = l constant blijft; de hoek α is overgegaan in α' en is daarbij maar heel weinig veranderd, indien x tot een zeer kleine verschuiving beperkt blijft. Trek met A als middelpunt het boogje BC, dat beschouwd kan worden als loodrecht op

[p. 46]

AC. Men ziet dat x = y cos α. De fiets is als geheel gedraaid over de hoek



; aangezien niets aan het stuur veranderd wordt, is ook elk der wielen over diezelfde hoek gedraaid. De kromtestraal van het spoor is dus:

Het achterwiel beschrijft dus altijd de binnenbocht. Noem R de kromtestraal van de baan van het voorwiel, dan is de kromtestraal voor het achterwiel R cos α, en 't verschil:



als de lengte van de fiets klein is ten opzichte van de kromtestraal der baan. Hiermee is het antwoord op onze vraag gevonden, want het verschil der twee kromtestralen is tevens de afstand tussen de twee sporen, wanneer maar het stuur voldoende lange tijd onder de hoek α wordt gehouden. Voor een gewone fiets is l = 1,20 m, en de afstand tussen de twee sporen:



. Als het fietsspoor een kromtstraal heeft van R = 7,20 m, is de afstand der sporen dus 0,10 m = 10 cm. Doe metingen aan fietssporen! U zult zien dat onze formule uitkomt. (Voor het bepalen van de kromtestraal van het fietsspoor, vgl. fig. 22).

Als de baan zeer sterk gekromd is, of het stuur wordt snel na elkaar heen en weer gedraaid, is onze eenvoudige opzet niet meer voldoende. Het vraagstuk wordt dan zeer ingewikkeld.

Laat het voorwiel langs een tramrail lopen en het achterwiel bij het begin der beweging een eind daarvan af staan. Het achterwiel nadert nu langzamerhand tot de richting van het voorwiel en beschrijft daarbij een tractrix.

29. Absolute en relatieve beweging van de trappers ener fiets.¹⁾

Als een fiets in de normale stand op de grond staat, en men drukt de trapper die beneden is achteruit, wat zal de fiets dan doen? De fiets is een dóórtrapper, de wielen moeten over de grond rollen, niet wrijven.

1) Physica, 11, 160, 1931.

[p. 47]

Antwoord:

1.	als ik dit doe, op de fiets zittend, rijdt de fiets vóóruit.
2.	als ik dit doe, vast op de grond staande, rijdt de fiets achteruit, want de enige kracht die erop werkt is immers naar achteren gericht; de fiets in haar geheel beweegt meer naar achter dan de trapper t.o.v. de fiets naar voren, zodat het netto-resultaat voor de trapper een achterwaartse beweging is.

30. Vergelijking van de trapafstand van twee fietsen.

De trapafstand van onze fiets hebben we al bepaald (§ 1). Nu gaat het om kleine verschillen tussen bijna gelijke fietsen.

Ik rijd naast een ander op een lange rechte weg. We trappen bijna in dezelfde maat; blijkbaar hebben onze fietsen dezelfde trapafstand, wat wel aannemelijk is, daar men thans bepaalde standaardwaarden voor die faktor kiest. Toch schijnt er een heel klein verschil te zijn: na 40 trappen zijn we in tegengestelde phase, na 80 trappen rijden we opnieuw in de pas. Het zijn echte ‘zwevingen’. Blijkbaar zijn onze wielen niet nauwkeurig even groot, en bedraagt het verschil 1/80; dit komt overeen met ongeveer 4 mm verschil in straal, hetgeen ten dele te verklaren kan zijn door ongelijk opgeblazen banden.

Wie heeft niet eenmaal 's nachts het geluid der voetstappen gehoord van twee wandelaars, waarvan de ene iets sneller gaat dan de andere? Nu zijn ze gelijk, iets later wisselen ze regelmatig elkaar af, dan stemmen ze weer overeen. Als ze telkens na 15 stappen weer ‘in de pas’ zijn, betekent dit dat de ene wandelaar 15 stappen doet tegen de andere 14; het aantal stappen per minuut of per uur scheelt 1/15.

31. Omtrek van het fietswiel.

Bevestig aan het ventiel van het voorwiel een stukje papier dat telkens even kleppert als het door de vork gaat. De omwentelingen zijn nu goed op 't gehoor te tellen. Bepaal het aantal omwentelingen per 100 meter: de uitkomst moet ongeveer kloppen met de omtrek die we berekenen uit de middellijn van het wiel (omtrek = 3,14 × middellijn). Vul in!

Vergelijk het aantal trapperomwentelingen en het aantal wielomwentelingen: ze moeten nauwkeurig in dezelfde verhouding staan als het aantal tanden van het kettingrad en dat van de achternaaf.

[p. 48]

Dikwijls ziet men hoe een plas op het fietspad zich een aantal keren herhaalt, in de vorm van donkere banden op vaste afstanden van elkaar. Dat is natuurlijk te wijten aan fietsen die met hun wielen telkens iets van het water hebben meegenomen; de afstand der donkere banden is gelijk aan de omtrek van het wiel.

32. Wrijving van de fiets.

Aan ons klepperend stukje papier hebben we een middel om de snelheid van de fiets te schatten, ook wanneer we de voeten niet op de trappers hebben staan. We stellen ons voor, aan onze fiets een flinke vaart te geven, dan de trappers los te laten of te vrijwielen, en daarbij na te gaan hoe de beweging langzamerhand geremd wordt door de wrijving. Het komt er slechts op aan zó geoefend te zijn in het tellen der sekunden, dat men streng de juiste maat blijft houden onafhankelijk van de snelheid waarmee men fietst. Wie dat niet kan moet een helper hebben die naast hem rijdt en luidop telt met het horloge in de hand.

Kies een dag met weinig wind. Geef aan de fiets op een goed horizontale weg een zodanige snelheid dat het voorwiel 4 omwentelingen per sekunde maakt.

Ga dan ineens vrijwielen of laat de trappers los, en tel van dit ogenblik af: 0, 1, 2, ....; onthoud bij welke tellen de snelheid zo verminderd was dat het voorwiel slechts 3, 2, 1, ½ omwenteling per sekunde meer maakte. Herhaal de proef enige malen op dezelfde weg, zowel heen als terug doorlopen om mogelijke hellingen en windinvloeden onschadelijk te maken, en middel de uitkomsten.

Bij een bepaalde reeks proeven werden aldus de kolommen 1, 2, 3 van onderstaande tabel verkregen; in fig. 28 is grafisch uitgezet hoe de snelheid v in de loop van de tijd t afneemt. Uit deze kromme halen we de (negatieve) versnelling door een aantal raaklijnen aan de kromme te trekken, en hun helling op de tekening te meten (kolom 4).

Snelheid in omwentelingen per sec	Snelheid v in m/sec	Tijd t	Vertraging
4	8	0	0,50 m/sec^2
3	6	4,7	0,32 m/sec^2
2	4	14,5	0,21 m/sec^2
1	2	26	0,14 m/sec^2
0,5	1	36	0,08 m/sec^2

[p. 49]

Deze vertraging is veroorzaakt door de wrijving; wordt de wrijving 2 maal groter, dan verdubbelt ook de vertraging. Zet deze vertraging uit tegen de snelheid: u ziet dat er reeds een wrijvingsweerstand is bij de allerlangzaamste beweging van de fiets, maar dat de weerstand aanzienlijk toeneemt naarmate de fiets sneller beweegt. Bij onze proef is de vertraging in m/sec² ongeveer voor te stellen door de uitdrukking 0,08 + 0,0066 v². Klaarblijkelijk is 0,08 de wrijving in de assen van de fiets en tegen de grond, welke slechts weinig van de snelheid afhangt; 0,0066 v² echter is de luchtweerstand van fiets en fietser, die

Fig. 28. Vertraging van een fiets die vaart heeft gekregen en aan zichzelf wordt overgelaten.

zoals de meeste dergelijke luchtweerstanden ongeveer evenredig met het kwadraat van de snelheid toeneemt. Voor een snelheid van 1 m/sec is de luchtweerstand van een fietser dus ongeveer 1/9,81 × massa × versnelling = 1/9,81 × 100000 × 0,0066 = 67 gramgewicht (100 kg = massa van fietser + fiets)¹⁾.

Welk een eindsnelheid krijgt een fiets op een zeer lange helling, in de onderstelling dat men de trappers niet gebruikt? - Antwoord: de eindsnelheid is bereikt, als de versnelling tengevolge van de zwaartekracht precies wordt opgeheven door de wrijving. Op een helling van 3% bijvoorbeeld bedraagt de versnelling door de zwaartekracht 9,81 × 0,03 ≈ 0,30 m/sec²; en uit fig. 28 lezen we af dat die door de wrijving wordt opgeheven wanneer de snelheid ongeveer 5,4 m/sec heeft bereikt. Dit is dus de gevraagde eindsnelheid.

Zoek een terrein met lange, gelijkmatige helling, en zie of de

1) In het C.G.S.-stelsel: weerstand = massa × versnelling = 10⁵ × 0,66 dyne.

[p. 50]

verwachte eindsnelheid bereikt wordt. Het verschijnsel is in de grond hetzelfde als dat waardoor regendruppels hun eindsnelheid bereiken: u kunt u nu zelf voelen als een regendruppel die aan 't vallen is!

Als de fietser eenmaal de snelheid bereikt heeft die hij wenst, dient zijn arbeid alleen om de wrijvingen te overwinnen. We lezen dus uit onze kromme af, dat hij bij een snelheid van 12 km/uur of 3,33 m/sec de wrijvingsvertraging 0,17 m/sec² heeft te overwinnen. Schat de massa op 100 kg; dan is de te ontwikkelen kracht = 1/9,81 × massa × versnelling = 100 × 0,17/9,81 = = 1,7 kg-gewicht¹⁾; de arbeid per sekunde = kracht × weg (per sec) = 3,33 × 1,7 = 5,7 kgm per sekunde = 1/13 paardekracht.

1) In het C.G.S.-stelsel: kracht = massa × versnelling = 10⁵ × 17 dyne.

33. Rechtstreekse bepaling van de wrijving op een fiets.

Bij deze proef moeten we een helper hebben. Hij krijgt een lang touw in de hand, waaraan we enige gummi-elastiekjes bevestigd hebben zoals ze gebruikt worden voor verpakking. Dan stijgt u op uw fiets, grijpt de gummisnoertjes, en laat uw helper hard voor u uit lopen, terwijl u zelf niets anders te doen heeft dan te vrijwielen, te sturen, en te schatten hoe sterk de snoertjes uitgerekt zijn.

Hoe eenvoudig de proef moge lijken, toch zijn enkele kleine aanwijzingen wel nuttig. Reeds bij de eerste pogingen zult u merken hoe nodig het is een volmaakt vlakke en effen weg uit te kiezen; de wind veroorzaakt altijd storing, men doet de proef liefst op een windstille dag, en in elk geval doorloopt men de baan altijd in de ene zowel als in de andere richting. Degene die trekt, moet trachten een constante kracht uit te oefenen, desnoods ten koste van kleine ongelijkmatigheden in de snelheid waarmee hij loopt. Als de fietser merkt dat de snoertjes te weinig uitrekken, laat hij er enige los, tot de verlenging bijvoorbeeld de lengte verdubbelt.

Tehuis kunnen we dan gewichten aan onze snoertjes hangen, om uit te maken welk een kracht nodig was om ze zover uit te rekken.

Bij een snelheid van 8 km per uur vond ik dat een kracht van 430 g-gewicht vereist was, voor een fietser die samen met zijn fiets 80 kg woog. Uit onze vorige metingen zou gevolgd zijn:

[p. 51]

900 g-gewicht. Vindt u het verschil erg? Bedenk dat de fiets een andere was dan die waaraan de eerste bepaling werd uitgevoerd; de weg was met mooie vlakke tegels bevloerd. Ik vind de overeenstemming niet kwaad, en ik denk dat u het met mij eens zult zijn als u zelf enkele proeven over wrijving heeft genomen!

34. Evenwicht op de fiets.¹⁾

De ranke evenwichtskunst van den fietser is terug te brengen tot dit grondverschijnsel: als

Fig. 29.

de fietser naar rechts dreigt om te vallen, draait het stuur zich vanzelf naar diezelfde kant, de fiets maakt een bocht, en door de middelpuntvliedende kracht blijft de fietser voor een val behoed. Evenzo (mutatis mutandis) bij een overhellen naar links.

Vraag: waarom draait het stuur juist op het goede ogenblik naar rechts? Men zou geneigd kunnen zijn dit toe te schrijven aan handigheid van den fietser, maar daartegenover staat dat hetzelfde ook gebeurt als men het stuur loslaat en met losse handen rijdt. De ware reden is eenvoudig, dat het punt P waar het voorwiel aan de grond raakt altijd iets achter de draaiingsas BC van de vork ligt (fig. 29): ga dit bij uw eigen fiets na! Helt de fiets naar rechts, dan zal dus in de figuur het wiel in zijn aanrakingspunt een druk van de grond ondervinden loodrecht op het vlak van tekening, en wel naar den toeschouwer toe, dus zó dat het wiel zich met het stuur naar rechts keert.

Sommigen beweren, dat de allereerste beweging die men maakt, als men naar rechts wil zwenken, iets ingewikkelder is, en daarin bestaat dat men het stuur eerst plotseling even naar links wendt; het lichaam volgt die beweging niet ineens, helt dus naar rechts over, enz. Deze eerste beweging is zeer snel en zou bijna onbewust geschieden. Bij een driewieler bestaat zulk een complicatie natuurlijk niet, en daardoor is het voor een

1) G.T. Walker Enz. d. mathem. Wiss. IV, 9, blz. 145. - P, Appell, Traité de mécanique rationelle, 2, 267, 1904 (deels verouderd). - Klein-Sommerfeld, Theorie des Kreisels, blz. 863 (Teubner 1893-1910).

[p. 52]

fietser een vreemd gevoel wanneer hij voor 't eerst op een dergelijk ding zit en beproeft te sturen.¹⁾

Dikwijls heeft men ook gedacht aan gyrostatische krachten, en het is inderdaad gebleken dat die een weinig meehelpen. Want het draaiende fietswiel is een zware tol; en een tol die om as A draait, en om as DE begint te kantelen (op het ogenblik dat de fiets naar rechts gaat overhellen), heeft de neiging om tengevolge van die twee draaiingen ook om de as BC te draaien, loodrecht op de twee vorige. De richting der draaiing is in dit geval inderdaad zo, dat het stuur naar rechts gekeerd wordt. - Hoewel uit de berekening blijkt dat deze gyrostatische krachten gering zijn, helpen zij toch de zwaartekracht om het stuur te wenden, en wel ‘op bijzonder intelligente wijze!’ Want terwijl de drukking van het wiel tegen de grond slechts in werking treedt als de helling ϑ van de fiets een merkbaar bedrag bereikt, hangen de gyrostatische krachten af van dϑ/dt, en treden dus reeds in werking zodra de fietser de neiging vertoont om te hellen. Is eenmaal het stuur gedraaid, dan zorgen de sterke middelpuntvliedende krachten wel voor het weer oprichten van de fiets.

De algemene behandeling van de beweging van de fiets is zeer moeilijk. Als men aanneemt dat het lichaam van den fietser een starre massa is, geeft de theorie het resultaat dat rijden met losse handen niet mogelijk is bij kleine snelheden; slechts bij een vaart groter dan 16 km/uur zouden de gyrostatische werkingen sterk genoeg zijn om de beweging stabiel te maken. Boven 20 km/uur zou de beweging dan weer labiel moeten worden: na een lichte draaiing van het stuur neemt het achterwiel nu zó snel dezelfde stand als het voorwiel aan, dat de fiets praktisch te beschouwen is als een star geheel; gyrostatische stabilisatie is echter slechts mogelijk wanneer de gyrostaten al hun bewegingsvrijheden bezitten. De proefondervindelijke ervaring is daarentegen, dat rijden met losse handen des te beter gaat naarmate de snelheid groter wordt. De vergelijking met de theorie leert dus, dat er kleine, onbewuste lichaamsbewegingen nodig zijn om het evenwicht te bewaren, en wel vooral bij de kleine en bij de grote snelheden.

1) Physica, 4, 188, 1925.

35. Lift.

Het zonderlinge, nare gevoel bij vertrek en bij aankomst van dit stijgende en dalende ding is natuurlijk weer een gevolg van de sterke vertikale versnellingen of vertragingen. Als u

[p. 53]

omhoog gaat, lijkt de zwaartekracht bij het vertrek versterkt, bij aankomst verzwakt; als u daalt is het omgekeerd.

Om de versnellingen te schatten, doen we evenals in het vliegtuig (§ 26): we hangen een gewichtje aan een niet te kort elastiekje, en onderzoeken hoe de uitrekking van het snoer verandert als we ons met de lift bewegen. Al naar gelang van de richting der versnelling lijkt het gewichtje zwaarder of minder zwaar. Zolang de verschillen klein zijn, kunnen we aannemen dat de uitrekking evenredig is met de uitrekkende kracht; het is echter wel veilig om rechtstreeks te bepalen hoeveel korter of langer het snoertje wordt als men een extra-gewichtje wegneemt of toevoegt.

We vinden aldus versnellingen van de orde 0,2 g bij het vertrek, 0,4g bij de aankomst; de eerste zijn altijd merkbaar geringer dan de laatste, onverschillig of we stijgende of dalende zijn. Onze bepalingen zijn echter onzeker, omdat zich hier de moeilijkheid voordoet dat de versnellingen zo uitermate kort duren; dan begint ons gewichtje op en neer te dansen, en het is duidelijk dat ons eenvoudig toestelletje dan niet betrouwbaar meer werkt: het is niet gedempt.

36. Wrijving van schaatsen over het ijs.

Laat een schaatsenrijder een touw vastgrijpen waaraan een veerbalansje bevestigd is, en trek hem zachtjes over het ijs voort. Indien de wijzer geen merkbare kracht aanwijst, vervang dan het veerbalansje door gummidraadjes. - Lees nog eens nauwkeurig hoe we de wrijving van de fiets op een dergelijke wijze hebben bepaald (§ 33), maar tracht de snelheid zo gering als enigszins mogelijk te houden.

Het is moeilijk de kracht die we uitoefenen precies af te lezen, maar ook een benaderde waarde volstaat al. Wel verrassend, zulk een geringe kracht als reeds voldoende is om een zwaren man voort te trekken! Het quotiënt



is de wrijvingscoëfficiënt van staal op ijs (we verwaarlozen de luchtweerstand). Om de wrijving bij het eerste bewegen te overwinnen, is er altijd een iets grotere kracht nodig dan om de tot stand gekomen beweging te onderhouden; men onderscheidt daarom ‘wrijvingscoëfficiënt in rust’ en wrijvingscoëfficiënt in beweging’.

De gewone wrijvingscoëfficiënten van vaste stoffen op elkaar liggen meestal tussen 0,10 en 0,80; voor goed ingevet ijzer op

[p. 54]

eikenhout daalt hij tot 0,08. De veel geringere waarde voor den schaatsenrijder wijst er op dat hier een bijzonder verschijnsel optreedt (vloeibaar worden van het ijs onder hoge druk: vgl. II, § 197 bis).

Bepaal insgelijks de ‘wrijvingscoëfficiënt’ voor rolschaatsen op beton.

37. De arbeid van een watermolen.

Aan een der schilderachtige watermolens, die nog op een aantal plekjes van ons land voorkomen, kunnen we gemakkelijk bepalen hoeveel arbeid zulk een werktuig levert. Schat hoeveel water per sekunde door het kanaal stroomt dat de molen voedt (§ 75) en schat ook de hoogte van dewelke het water naar beneden valt. Meer is niet nodig; het mooie van de redeneringen aan de hand van het begrip arbeid is, dat men de afzonderlijke schakels van het bestudeerde proces niet behoeft te kennen, maar dat het voldoende is, de eindtoestand met de begintoestand te vergelijken.

Het produkt van de dóórstromende watermassa in kg met het hoogteverval in meters geeft de theoretisch beschikbare energie in kilogrammeters. De feitelijke arbeidsprestatie is slechts de helft daarvan ongeveer, daar de bakjes het water ten dele laten uitstromen eer ze beneden aangekomen zijn. Het vermogen van de watermolen is de geleverde arbeid per sekunde; we meten die in de eenheid paardekracht = 75 kgm per sekunde.

38. Pijl en boog.

Een prachtig voorbeeld van de omzetting der energie! De potentiële energie van de gespannen boog gaat over in kinetische energie van de pijl; en die wordt weer omgezet in potentiële energie, meer en meer, tot de pijl het hoogste punt van zijn baan bereikt heeft; als hij terugvalt wordt ze weer kinetische energie; en tenslotte, als hij de grond treft: warmte.

Kunnen we de omzettingen van het arbeidsvermogen niet volgen en meten? Aan een boog te komen voor zulke proefjes is niet zo gemakkelijk meer in onze beschaafde maatschappij, waar men (terecht!) zulk kinderspeelgoed als vrij gevaarlijk beschouwt. Als wij er geen meer vinden in de winkel, maken wij er zelf een van essenhout of eikenhout; afmetingen: 100 cm × 2 cm × 1 cm tot 150 cm × 2 cm × 1 cm; hij moet kunnen buigen tot de doorbuiging bijvoorbeeld 5 cm bedraagt. Een touw tussen de uiteinden, iets langer dan het hout. Een pijl met een paar veertjes. - We zijn klaar!

Om te beginnen gaan we bepalen hoeveel arbeid verricht moet

[p. 55]

worden bij het spannen van de boog. We zetten langs de pijl een schaal van potloodstreepjes op 1 cm van elkaar; om de 5 streepjes staat er een bijzonder teken, bv. een kruisje. Nu wordt de boog gespannen met behulp van een veerbalans, terwijl hij tegengehouden wordt door een paaltje; de linkerhand houdt de pijl precies op het laagste punt van het touw, vlak naast de haak van de veerbalans (fig. 31a). Voor iedere stand van de veerbalans, opklimmend met 1 kg, wordt afgelezen bij welk schaaldeel de boog de pijl kruist; telkens vóór het aflezen wordt de boog eerst even te veel, dan te weinig aangetrokken, om wrijvingen te vermijden.

Bij mijn proef nam de uitwijking l vrij geregeld toe voor iedere aangroeiing van de kracht k met 1 kg, zodat ik daaruit gemakkelijk

Fig. 31a. Het meten van de kracht, nodig voor het spannen van een boog.

Fig. 31b. Het bepalen van de arbeid, nodig voor het spannen van een boog.

kon afleiden welke schaalwaarde ik had te nemen voor een kracht 0 (in dit geval: schaaldeel 6). Bij harder aantrekken werd de uitwijking meer dan evenredig met de kracht, ongeveer volgens het formuletje:
k = 0,67l - 0,01l². In het arbeidsdiagram fig. 31b is de arbeid om de pijl 4 cm te verplaatsen voorgesteld door het oppervlak ABC, of ongeveer



Uit ons formuletje zou men vinden:

[p. 56]

Nu gaan we kijken hoeveel arbeidsvermogen de boog aan de pijl geeft! We wegen de pijl en vinden: 6 g. In de tuin trekken we de boog aan tot de pijl juist over 4 cm verplaatst is, schieten loodrecht omhoog, en vragen een helper van op afstand te schatten hoe hoog de pijl vloog, vergeleken met ons huis bijvoorbeeld; de hoogte van ramen, goten, dak meten we gemakkelijk met een duimstok. Bedenk nog dat de pijl niet vertrokken is van op de grond, maar van een hoogte van ongeveer 1,90 m.

Arbeid: mgh = 6 × 981 × (550 - 190) = 2,1 . 10⁶ erg. Drie proeven gaven aldus:

uitwijking van de pijl	arbeid voor het spannen	bereikte hoogte	arbeids- vermogen van de pijl	nuttig effekt
3 cm	2,87 . 10^6 erg	4,00 m-1,90 m	1,24 . 10^6 erg	43%
4	5,0	5,50 m-1,90 m	2,12	42%
5	7,7	6,50 m-1,90 m	2,71	35%

De metingen zijn verre van nauwkeurig en zouden gemakkelijk beter kunnen gebeuren. Toch is het leuk hoe we een zeer plausibel getal krijgen voor het nuttig effekt; de energie gaat gedeeltelijk verloren in boog en touw, gedeeltelijk in de luchtweerstand door de wegvliegende pijl ondervonden. Zelfs kan men zien dat de energie-omzetting des te onvoordeliger is naarmate men hoger schiet: een steeds groter breukdeel wordt omgezet in warmte door wrijving tegen de lucht, want die wrijvingsweerstand neemt eerst evenredig met de snelheid toe, daarna evenredig met het kwadraat ervan.

Herhaal eens deze proeven met een echte sportboog van een boogschutter!

39. De mens als motor.

We hebben gevonden dat een fietser bij betrekkelijk matige snelheid 1/13 PK ontwikkelt. Bepaal eens het vermogen van een bergbestijger, door een hoge toren te beklimmen, en op te nemen hoeveel tijd dat kost. Baedeker geeft op dat men 320 m per uur kan klimmen, de Oostenrijkse soldaten rekenen 300 m. Stel voor het gewicht van een man 75 kg, voor zijn bagage 10 kg, dan is het vermogen: 85 × 310 kgm per uur = 1/10 PK. Dit komt overeen met oudere resultaten van Coulomb en Borda.

Op een lange helling neemt men aan dat de totale tijd bestaat uit een gedeelte voor het afleggen van de horizontale afstand

[p. 57]

(à 5 km/uur); en uit een gedeelte dat voor het stijgen gebruikt wordt. Dit laatste kan men dus schatten.

Op een horizontale weg moeten we arbeid verrichten, doordat we bij iedere stap ons lichaam een weinig opheffen; de arbeid van het weer neervallend lichaam wordt ons natuurlijk niet teruggegeven. Het is bekend dat het zwaartepunt van ons lichaam ergens in de buurt van de nieren ligt; houd een stukje krijt op de hoogte van de heup en loop langs een muur: beoordeel uit de slingerlijn hoeveel dit gedeelte van ons lichaam bij elke stap opgeheven wordt, tel uw stappen per sekunde en bereken daaruit de arbeid. Voorbeeld: 75 kg worden om de 0,7 sec over 2 cm opgeheven; vermogen = 75 × 0,02 / 0,7 : 75 = 1/35 PK. - In werkelijkheid is de arbeid voor het lopen op een vlakke weg aanzienlijk groter, vooral omdat aan de benen telkens een bepaalde snelheid gegeven moet worden. Er wordt zelfs geschat dat de arbeid voor het afleggen van een horizontale afstand s overeenkomt met die voor het stijgen over een hoogte s/12; voor 75 kg en 5 km/uur zou dit een vermogen betekenen van 75 . 5000/3600 . 1/12 : 75 = 1/9 PK. Dit lijkt hoog. Direkte bepalingen hebben opgeleverd: bij een snelheid van 5 km/uur, 1/12 PK; bij 7 km/uur, ¼ PK.

Gedurende een kort tijdsbestek kan de arbeidsprestatie nog aanmerkelijk opgevoerd worden. - Beproef eens, snel een aantal malen na elkaar neer te hurken en weer rechtop te gaan staan. Uw gewicht, zonder de benen, schatten we op 60 kg; de afstand waarover u het zwaartepunt van uw lichaam telkens moet optillen is ongeveer 0,40 m. Als u dit éénmaal in de sekunde uitvoert, levert u een vermogen van 24 kgm/sek = 0,32 PK. - Een geoefend athleet loopt in 4 sekunden een trap op tot een hoogte van 6 meter, en on twikkelt dus een vermogen van 1,5 PK. - Bij het afzetten voor een sprong wordt aan ons lichaam een snelheid medegedeeld die tot 4,5 m/sec bedragen kan; in een tijd, die wellicht op ⅓ sec te schatten is, wordt dus een arbeidsvermogen voortgebracht van ½ . 75/9,81 . (4,5)² = 75 kgm; er is dus een vermogen ontwikkeld van 3PK.

Vergelijk proefondervindelijk het vermogen dat de mens leveren kan als hij trappen bestijgt a) wanneer hij zwaar beladen is, en b) wanneer hij onbelemmerd is in zijn bewegingen.

[p. 58]

40. Zweefmolen.

Zweefmolens in verschillende variëteiten vertonen ons de wedstrijd tussen zwaartekracht en middelpuntvliedende kracht. Naarmate de omwentelingssnelheid groter

Fig. 30. Evenwichtsvoorwaarde van een zweefmolen.

wordt, bewegen de zwevend opgehangen schuitjes verder en verder naar buiten en ziet men de staaf waaraan ze hangen meer en meer hellen.

In een bepaald geval was de omwenteltijd 6 secunden, en weken de schuitjes tot 2 m van de as af. Ze beschreven dus een cirkel van ruim 12 m omtrek, met een snelheid van 12/6 = 2 m/sec. De versnelling der middelpuntvliedende kracht AD was dus: v²/r = 2 × 2 / 2 = 2 m/sec²; de versnelling der zwaartekracht AB was g = 9,81 m/sec². De verhouding dezer twee versnellingen is tevens de verhouding der twee krachten.

Wil er evenwicht zijn, dan moeten de ophangingsstangen zich instellen in de richting van de resultante, dus zo dat AP/OP = AD/AB = 2/10 (fig. 30). Dit kwam voor zover men zien kon vrij behoorlijk uit.

41. De middelpuntvliedende kracht voor een hardloper.¹⁾

Een goede hardloper loopt 100 meter in 11 tot 12 sekunden; hij heeft dus een snelheid van 8 m/sec. Bij de normale vorm van een sportbaan van 400 m lengte variëren de kromtestralen der bochten aan de uiteinden tussen 24 m en 48 m, volgens het gedeelte van de bocht dat men beschouwt. De versnelling der middelpuntvliedende kracht bedraagt dus (8,5)²/24 tot (8,5)²/48 m/sec². Vergelijk dit met de versnelling der zwaartekracht: 9,81 m/sec². De verhouding der versnellingen is tevens de verhouding der krachten die op den hardloper werken: 0,31 tot 0,15. Dit is dus ook de helling waaronder de hardloper helt bij het nemen van de bocht; beproef die te schatten tijdens een wedstrijd!

Eigenlijk moest de baan onder diezelfde hoek scheef liggen,

1) E. Lampe Mathematik und Sport (Teubner 1929), blz. 1-10.

[p. 59]

maar de ervaring heeft bewezen dat dit onmogelijk is, omdat de regen dan onder een te steile helling wegstroomt, voren in het terrein graaft, en de as wegspoelt. In 't algemeen hellen de banen ten hoogste 4 cm per meter, dus 0,04.

42. Onveranderlijkheid van het draaiimpuls bij turnoefeningen.

Buiten in een speeltuin hangen een paar ringen voor turnoefeningen. We grijpen ze en draaien ons enkele malen om onze as, zodat de touwen om elkaar gewikkeld zijn. Nu laten we ons aan de ringen hangen: de touwen wikkelen zich los en we draaien lustig rond om onze eigen as. De proef bestaat hierin, dat we de benen, die we eerst ver naar rechts en links hadden uitgestoken, nu plotseling naar de as terugtrekken, zodat ons traagheidsmoment vermindert: onze omwentelingssnelheid wordt op dit ogenblik ineens groter; het produkt van traagheidsmoment en hoeksnelheid, het ‘draaiimpuls’, is onveranderd gebleven.

Is onze draaiing tamelijk snel, dan bemerken we nog een ander verschijnsel: het lichaam vertoont de neiging, zich scheef in te stellen; bij zeer snelle draaiing zou het zelfs de horizontale stand innemen. We zeggen dat onze lengte-as geen ‘vrije as’ is: de rotatie om die as is een labiele beweging, het draaiende lichaam heeft de neiging er steeds verder van af te wijken.

Hang u aan één enkele ring met gestrekt lichaam. Hef één been zo ver mogelijk naar boven, houd het gestrekt, beweeg het snel naar rechts, dan naar achteren: het beschrijft dus een halve cirkel ten opzichte van het lichaam. Tegelijk echter is het lichaam zelf ongeveer ⅜ slag in tegengestelde richting gedraaid, ten opzichte van de rustende omgeving is het been dus slechts ⅛ slag naar rechts gedraaid.

Dergelijke proeven kunnen we ook zonder ringen uitvoeren. Stel u op een effen, vrij terrein, draai u enige malen om uw as met wijd uitgestrekte armen, en trek dan ineens de armen in. Niettegenstaande de wrijving van de voeten op de grond voelt u toch duidelijk hoe de omwentelsnelheid ineens toeneemt.

Het schijnt dat een schaatsenrijder om zijn vertikale as kan draaien, als hij goed afgeronde kunstrijschaatsen aan heeft en zijn voeten krachtig tegen elkaar aan drukt. Wellicht kan een helper hem beet pakken en een flink draaiimpuls geven. Als hij nu zijn armen zijdelings uitsteekt moet zijn omwentelsnelheid aanzienlijk verminderen; en omgekeerd. - Ik heb dit niet beproefd!

[p. 60]

Weer op andere wijze wordt van het beginsel gebruik gemaakt bij de oefeningen aan het vaste rek. De turner, die aan de stang hangt, begint met eerst in schommelende beweging te komen. Daartoe heft hij de gestrekte benen vóór zich uit, en drukt tevens de armen naar beneden: het zwaartepunt verplaatst zich dan achterwaarts en stijgt. Nu volgt vanzelf de voorwaartse zwaai, weldra is de schommeling voldoende versterkt, en de turner kan beproeven zich hoger op te werken. Direkt na het voorste omkeerpunt heft hij zijn voeten tot de hoogte van de rekstang en weer even later stoot hij de voeten naar voren, het hoofd naar achteren, zodat het lichaam horizontaal en rechtuit gestrekt wordt. Aldus komt het zwaartepunt dichter bij de stang, het draaiimpuls wordt versterkt, en de turner kan zover opwaartskomen dat hij nu op vertikaal naar beneden gestrekte armen steunt (‘streksteun’). - Een andere, moeilijker manier bestaat daarin, dat het lichaam bij het achterwaarts schommelen vertikaal gestrekt hangend door de middenstand gaat, en van dan af vertikaal blijft. Door de draaiing komt ook nu het zwaartepunt dichter bij de stang, het draaiimpuls wordt versterkt, en de hogere stand wordt bereikt.

43. Het werpen van speer, kogel, bal, enz.¹⁾

Bij de geringe snelheden en het grote soortelijk gewicht van die voorwerpen speelt de luchtweerstand slechts een geringe rol en is de baan de zo geliefde ‘kogelbaan’ onzer schoolvraagstukjes.

Het is welbekend dat de officiële kogelbaan onder 45^o opstijgen moet om een zo groot mogelijke dracht te bereiken. Dit is echter weer een van de vele gevallen, waarin de werkelijke omstandigheden heel ver van de onderstellingen der schoolmechanica verwijderd zijn! Neem proeven op het sportterrein; span een touw op 4 m hoogte, en laat degene die werpt eerst dicht bij het touw, dan verder en verder gaan staan, terwijl hij telkens opdracht krijgt, vlak langs het touw te gooien, en zo hard hij kan. Op die wijze krijgt u proeven bij allerlei stijghoeken, en zult stellig vinden, dat de gunstigste hoek ver beneden 45^o blijft, meestal in de buurt van 30^o.

Dit ligt voor een klein gedeelte aan het feit dat de worp op een hoogte h begint, maar op een hoogte 0 eindigt, wat in de 45^o -formule niet in rekening gebracht was. De hoofdzaak is

1) E. Lampe: Mathematik und Sport (Teubner 1929). - E. Lampe, Zs. math. naturwiss. Unterr. 58, 1927 en 59, 1928. - K. Bögel, Zs. math. naturwiss. Unterr. 59. 48, 1928. - Zs. phys. chem. Unterr. 49. 204, 1936.

[p. 61]

echter, dat de beginsnelheid v geen constant getal is, maar sterk van de stijghoek afhangt! Blijkbaar is hier niet alleen de physica, maar ook de physiologie van ons lichaam bij betrokken, waardoor de beweging van het werpen beter in de ene dan in de andere richting gelukt.

Men kan aantonen, dat de beginsnelheid



, wanneer α de hoek is waaronder het werptuig begint op te stijgen, h de hoogte waarop men het loslaat, x de dracht. Bepaal deze grootheden op het sportterrein uit enkele proeven; h mag ruw geschat worden, voor α kunnen we 30^o aannemen. U kunt nu v₀ berekenen (zie het tabelletje!). Als h klein is ten opzichte van x zoals bij het speerwerpen en nog meer bij slagbal, wordt de uitdrukking veel eenvoudiger:

	h	m	l	x	v0	α	T	U	totale energie T × U	totale energie ook voor arm- bewe- ging
kogel	1,7 m	5 kg	1,4 m	8 m	15 m/sec	30^o	38 kgm	3,5kgm	42 kgm	54 kgm
speer	1,8	0,5	1,75	35	21	30^o	11	0,4	11	46
slagbal	1,8	0,1	2,35	66	28	30^o	4	0,1	4	67

We berekenen ook de kinetische energie T en de potentiële energie U die aan het werptuig meegedeeld zijn. In de laatste kolom is aangegeven hoe groot de totale energie wordt, als men bedenkt dat de snelheid niet alleen aan het voorwerp, maar ook aan de massa van de arm wordt meegedeeld (m = 1,6 kg). De energieën worden dan van dezelfde orde van grootte voor deze zo verschillende soorten sport.

Bij gegeven beginsnelheid is de gunstigste hoek α voor het werpen gegeven door de uitdrukking



Hoe groter de beginsnelheid, hoe meer deze hoek nadert tot 45^o, hij is echter altijd kleiner. Met de benaderde waarden die we voor v hebben gevonden, berekenen we nu de gunstigste hoeken: kogel, 37^o; speer, 40^o; slagbal, 41^o.

[p. 62]

Bij het schijfwerpen is de beweging zo eenvoudig en overzichtelijk, dat een mechanische schematisering zich zonder bezwaar laat uitvoeren. Degene die werpt draait om een vertikale as en zwaait de schijf, zijn lichaam trekt naar één kant, de schijf naar de andere kant; het lichaam is zwaarder en beschrijft slechts een kleine baan, de schijf is lichter en beschrijft een grote kring. Een zo grote middelpuntvliedende kracht wordt ontwikkeld, dat de vingers grote moeite hebben om de schijf vast te houden; op het juiste ogenblik laten ze los, en de schijf vliegt weg in de richting van de raaklijn. Uit de dracht, die 35 m kan bedragen, vinden we bij benadering de beginsnelheid v₀ = √gx = √10.35 = 19 m/sec.

De middelpuntvliedende versnelling bedraagt dan v²/r = (19)²/0,85 = 400 m/sec², 40 maal meer dan de versnelling der zwaartekracht. De schijf, die slechts 2 kg weegt, oefent dus bij het zwaaien een kracht van 80 kg uit!

44. Springen.

Het ver-springen, zonder aanloop, gelijkt als mechanisch probleem in zekere mate op de worpbeweging. Ook hier zou het onjuist zijn, klakkeloos de eigenschappen der klassieke kogelbaan toe te passen, en als gunstigste stijghoek die van 45^o aan te houden, want er zijn tal van complicerende omstandigheden. 1^o. De beginsnelheid die we met alle inspanning onzer krachten aan het lichaam kunnen meedelen hangt af van de richting waarin gesprongen wordt. 2^o. Vóór we van de springplank vrijkomen hebben we aan het lichaam reeds arbeidsvermogen moeten meedelen, en wel des te meer naarmate we in steilere richting springen. 3^o. De armen zwaaien opwaarts, en helpen door hun traagheid om het lichaam mee te slepen. 4^o. De afstand waarover gesprongen is wordt niet gemeten naar de verplaatsing van het zwaartepunt, dat de eigenlijke kogelbaan beschrijft, maar naar de afstand tussen de voeten bij het vertrek en bij het neerkomen. Deze laatste omstandigheid maakt dat het lichaam van den springer een draaiing moet uitvoeren, zodat hij voorover hellend de sprong begint, en achterover hellend neerkomt. Hij moet zich dus bij het afzetten een impuls geven, dat gericht is vóór zijn zwaartepunt langs (vgl. fig. 32), en de aldus verkregen draaiing moet hij versnellen door optrekken der benen en naar beneden brengen van de armen, zodat zijn traagheidsmoment kleiner wordt (§ 42).

Een sprong van 3 m geldt als zeer goed. Schat dat het zwaarte-

[p. 63]

punt daarbij een horizontale afstand l = 2,50 m heeft afgelegd, en neem aan dat gesprongen is onder een hoek α = 45^o. Uit de uitdrukking



Het springen met aanloop geeft den springer een horizontale voorwaartse snelheid h, die zich samenstelt met de eigenlijke sprongsnelheid s tot een resultante v. Aangezien we bij het rennen snelheden halen kunnen van 10 m/sec, bij het springen zonder aanloop van 5 m/sec, is h ≈ 2s; de snelheid van de aanloop is hier dus van grote betekenis. Al naar gelang van de richting waarin de springer zich afzet zal de resulterende snelheid v₀ verschillende waarden kunnen aannemen, en tegelijk zal de stijghoek α, waaronder de sprong begint, van waarde veranderen; men ziet hier dus zeer mooi hoe in de formule



de grootheid v van α afhangt. Dit kan precies uitgerekend worden. Men vindt dat de grootste afstand bereikt wordt als de springer zich steil afzet onder een hoek van 68^o; de combinatie met de horizontale snelheid maakt dat de baan dan feitelijk onder 22^o opstijgt. - Dergelijke berekeningen hebben echter slechts beperkte geldigheid, omdat ze alleen toepasselijk zijn op vereenvoudigde modellen van de werkelijke lichaamsbeweging.

Nog veel ingewikkelder en moeilijker te schematiseren is het hoogspringen met de polsstok. Laten we vooreerst het lichaam als helemaal star denken. De voornaamste praktische vraag die de sportbeoefenaar stelt is die naar de gunstigste hoek α waaronder de polsstok bij 't begin van de sprong in de grond geprikt moet worden. Hierbij spelen twee overwegingen een rol. 1^o. We grijpen de polsstok op een hoogte van ongeveer 2 m boven de grond, dus op 2/sin α meter van het uiteinde dat op de grond komt te staan; de springer kan zich dus ten hoogste verheffen over 2/sin α - 2 meter. 2^o. Dit zal echter slechts gelukken, indien de aanloopsnelheid h voldoende groot is. Loodrecht op de polsstok is de snelheidscomponente h sin α, plus nog de snelheid s waarmee de springer zich afzet; de vertikale componente van deze beginsnelheid is dus v = cos α(h sin α + s); de hoogte die bereikt wordt laat zich dan eenvoudig berekenen als die van een opwaarts geworpen steen, zij wordt

[p. 64]

Is deze hoogte kleiner dan die, berekend naar onze eerste overweging (1^o), dan lukt de sprong niet; is ze groter, dan houden we energie over. Het gunstigste geval is dat waarin precies



Voor h = 8 m/sec, s = 3, 5 m/sec, vindt men α = 30^o ongeveer: de polsstok moet dus sterk hellend in de grond gezet worden, we moeten hem op 4 m van het uiteinde vastgrijpen.

In werkelijkheid zouden we nog het zwaaien van het lichaam in rekening moeten brengen, het zich optrekken met de armen, het intrekken der benen, enz.

45. Waarnemingen bij het zwemmen.

Het is bekend dat het gewicht van ons lichaam iets kleiner is dan dat van het verplaatste water; het overschot, waardoor we vanzelf drijven, is verschillend van mens tot mens. De opwaartse druk wordt groter als we inademen, kleiner als we uitademen; in zeewater is hij merkbaar groter dan in zoet water. Het gewicht van het lichaam kunnen we ons denken als één enkele kracht die in het zwaartepunt van het lichaam aangrijpt; de opwaartse druk grijpt aan in het zwaartepunt van het verplaatste water, het zogenaamde drukmiddelpunt. En aangezien dit drukmiddelpunt hoger ligt dan het zwaartepunt, zal het lichaam onder water zich rechtop instellen, voor zover dit niet belet wordt door de bewegingen van den duiker. Evenzo zullen bij het zwemmen de benen steeds neiging hebben tot dalen.

Om te bestuderen in hoeverre de verschillende bewegingen waaruit de zwemslag bestaat tot de voortbeweging bijdragen, hangt men den zwemmer aan de vaste hengel, en beoordeelt de helling die het hengeltouw aanneemt. Bij het onderzoek van de schoolslag bijvoorbeeld doet men de volgende waarnemingen. 1. Het achteruit bewegen der armen veroorzaakt slechts een geringe voorwaartse stuwing. 2. Het intrekken van armen en benen veroorzaakt een geringe achterwaartse stuwing. 3. Het uitstrekken en naar elkaar toe brengen der benen veroorzaakt een sterke voorwaartse stuwing, die in hoofdzaak de voortbeweging van den zwemmer bepaalt.

[p. 65]

46. De mechanica van het schoonspringen.¹⁾

Zeer interessant zijn de bewegingen van den springer, tussen het ogenblik waarop hij de springplank verlaat, en dat waarop hij in het water terechtkomt. We maken hier kennis met de mechanica van een geheel aan zichzelf overgelaten lichaam, waarop alleen de zwaartekracht werkt, terwijl het zich verder los van elke dwang kan instellen. De kunst is, in de korte ogenblikken die voor de waarneming beschikbaar zijn, met de nodige geestelijke concentratie precies de proef uit te voeren zoals men ze bedoeld had, en het resultaat daarvan op te merken!

1.	Zodra men de springplank verlaten heeft, beschrijft het zwaartepunt van het lichaam (in de buikstreek gelegen) een parabool, de klassieke ‘kogelbaan’. Geen spierbewegingen van den springer, hoe heftig of hoe ingewikkeld ook, kunnen daar iets aan veranderen. We kunnen dus onmiddellijk berekenen hoe lang de sprong duurt en met welk een vaart de springer op het water neerkomt: van de 1 m-plank, niet omhoogspringend 0,45 sec, 15 km/uur van de 3 m-plank, omhoogspringend met aanloop 0,90 sec, 30 km/uur van de 10 m-toren 1,40 sec, 50 km/uur De eindsnelheden zijn dus vergelijkbaar met die van een fietser, van een tram, van een ouderwetse trein.
2.	Steek tijdens het springen plotseling een arm zijwaarts uit. U merkt duidelijk dat het lichaam zich een weinig in de tegengestelde richting verplaatst. Dit volgt vanzelf uit het beginsel der constante baan van het zwaartepunt.
3.	Zeer belangrijk is de wet van het behoud van impulsmoment: bij rotatie om een draaiingsas kan men de som mvr opmaken, uitgestrekt over alle deeltjes waaruit het lichaam bestaat (m = massa, v = rotatiesnelheid, r = afstand tot de as). De stelling is nu, dat deze som - ‘de hoeveelheid draaiing’, zou men kunnen zeggen - een onveranderlijke waarde behoudt, zolang er geen koppels van krachten op het lichaam werken. In § 42 leerden we dezelfde wet reeds kennen, maar anders geformuleerd; immers Σ mvr = Σ mr^2. v/r = ω. Σmr^2 = hoeksnelheid × traagheidsmoment, welk produkt dus ook onveranderlijk moet blijven. De proeven die we nu zullen beschrijven geven vanzelf

1) D.J. Gerritsen, de Zwemkroniek, 15, 1938 (blz. 287, 295, 302, 310).

[p. 66]

	een denkbeeld van de betekenis dezer zeer algemene en belangrijke wet.
	Daaruit volgt bijvoorbeeld, dat een rugwaartse of borstwaartse draaiing onmogelijk ingezet kan worden als de springplank eenmaal verlaten is. Dat er dikwijls door sportmensen aan de juistheid dezer bewering getwijfeld wordt, is te verklaren door de moeilijkheid precies waar te nemen wat er gebeurt en onbewuste draaiimpulsen bij het verlaten van de plank te vermijden.
	De draaiingen ontstaan telkens, als het impuls bij het afzetten in een richting werkt die niet door het zwaartepunt van het lichaam gaat: het algemene beginsel, dat we reeds herhaaldelijk hebben leren kennen (§ 44). Hoe sterker men op dat ogenblik vóórover of Fig. 32. Het teweegbrengen van draaiingen bij het springen. Naar H. Schuppe, Physik der Leibesübungen, blz. 197 (Stuttgart 1941). achterover helt, des te groter de lengte van de loodlijn, neergelaten van het zwaartepunt op de afzetrichting: des te groter dus het werkende koppel en dus ook het impulsmoment (fig. 32).
4.	Beproef tijdens de sprong de romp naar voren te buigen. Onmiddellijk blijkt, dat dit alleen mogelijk is wanneer de benen tegelijk de tegengestelde draaiing maken en de romp tegemoet komen.
5.	Tracht tijdens de sprong hoofd en schouders achteruit te werpen: automatisch gaan de benen ook naar achteren (‘hol trekken’). Dergelijke bewegingen en die van vorige alinea kunnen dus nooit helpen om u over de kop te doen slaan en een salto uit te voeren.
6.	Hef vóór het springen de handen boven het hoofd, en zwaai ze vóór u uit en neerwaarts tijdens de sprong: de rest van het lichaam draait in tegengestelde zin. Men kan aldus een sprong corrigeren en beter vertikaal in 't water terechtkomen.

[p. 67]

7.	Hoe dichter men de massa van het lichaam bij het zwaartepunt brengt, hoe sneller de wenteling moet worden (behoud van Σ mvr!). Als men zich dus bij het afzetten een voorwaartse of achterwaartse draaiing heeft gegeven, kan men die draaiing versnellen: a) door de armen aan te sluiten, door hol trekken, door het hoofd te buigen; b) veel effektiever, door over te gaan van de zweefhouding naar de hoekhouding, nog beter naar de hurkhouding; c) door bij hurkhouding het hoofd op de knieën te drukken of de benen nog dieper te vouwen.
8.	Voor ‘schroefsprongen’, waarbij men om de lengte-as van het lichaam draait, gelden dezelfde beginselen die we bij draaiingen om de dwarse as hebben leren kennen. Ook hier is het niet mogelijk de draaiing te beginnen als men zich eenmaal in de lucht bevindt: daarom is het geheel onjuist en misleidend, dat het wedstrijdreglement verbiedt, schroefsprongen ‘van de plank af te draaien’. - Een eenmaal begonnen draaiing om de lengteas kan versneld worden, als men in zweefhouding springt, door de armen boven het hoofd te brengen of aan te sluiten; springt men in hoekhouding, dan kan men tot de gestrekte houding overgaan; het wegnemen van de holle rug geeft insgelijks een kleine versnelling.

47. De veerkracht van een gummibal.¹⁾

Laat de bal van een hoogte van 2,50 m op een harde grond vallen, en bepaal tot welke hoogte hij opspringt.

Hieruit is nu onmiddellijk de ‘sprongcoëfficiënt’ k te berekenen, d.i. de verhouding van de snelheid waarmee hij opspringt tot de snelheid waarmee hij viel (Volgens de wetten der onvolkomen veerkrachtige botsing is deze verhouding een vast getal). Immers is de snelheid waarmee de bal van de hoogte h₁ neerkomt: v₁ = √2gh₁; de snelheid waarmee hij weer opstijgt: v₂ = kv₁; de hoogte h₂ tot waar hij stijgt is weer bepaald door

Bij een goede tennisbal ligt k tussen 0,71 en 0,78 (bij 20^o C).

Bepaal ook de hoogte tot dewelke de bal de 2e, 3e, 4e .... maal opspringt, en vergelijk met de berekening.
Bepaal de hoogte tot waar een bal opspringt bij verschillende temperaturen. Is er een grafische voorstelling te maken van k als functie van t?

In hoeveel tijd komt een bal tot rust, die men van een hoogte h₁ = 2,50 m laat vallen? - Is dat vraagstuk wel oplosbaar? Is het soms

1) E. Lampe, Mathematik und Sport (Teubner 1929), blz. 40.

[p. 68]

niet zó, dat de hoogte tot dewelke de bal opspringt wel kleiner en kleiner en kleiner wordt, maar theoretisch nooit helemaal nul? Wordt de tijd dan niet (theoretisch) oneindig groot? - Deze vragen kunnen alleen met een beetje wiskunde beantwoord worden.

De tijd voor het eerste vallen is



; nadat de bal weer opgesprongen is, is de tijdsduur voor het tweede vallen:



. Bedenkt men dat de bal de eerste maal alleen daalt, terwijl hij alle volgende malen eerst stijgt en dan daalt, dan vindt men dat hij tot rust komt na een tijd T = t₁ = 2t₂ + 2t₃ + .... = t₁ + 2kt₁ (1 + k + k² + ....) =



Voor k = 0.70 is T = 4,0 sec.

Het merkwaardige is dus, dat de bal wel een oneindig aantal keren op en neer springt, - want na elke sprong komt er een die ongeveer half zo hoog als de vorige is -; maar dat de opeenvolgende sprongen minder en minder lang duren (wat men hoort als men de proef neemt), en dat de totale duur van dit oneindige aantal sprongen toch een heel bescheiden tijd is van slechts 4 sekunden! - Bepaal proefondervindelijk zo nauwkeurig mogelijk de tijd die de bal nodig heeft om tot rust te komen, en vergelijk met de berekening!

Intussen is dit alles niet veel anders dan .... wiskunde. De natuur is veel ingewikkelder. Bij de laatste sprongen komt de beweging in resonantie met de elastische trillingen in het balletje zelf, zodat de duur der sprongen constant wordt!

Merkwaardig is de vorm van het kuiltje, door de bal gevormd, als hij in zeer los zand terecht komt. Er mag geen wind zijn; de bal waarmee ik experimenteerde had een middellijn van 15 cm, de vorm van het kuiltje werd des te gecompliceerder naarmate de bal van hoger viel.

48. De baan van een golfbal.¹⁾

De golfbal bestaat uit guttapercha, weegt ongeveer 40 g, en heeft een middellijn van 4,3 cm. Waarnemingen over de baan dienen zoveel mogelijk te geschieden bij zeer windstil weder,

1) P.G. Tait, Trans. R. Soc. Edinburgh, 37, 427, 1893 en 1898, alsook verschillende stukken van denzelfden schrijver in Nature (1887, 1890, 1891, 1893). De berekeningen zouden te wijzigen zijn naar aanleiding van de moderne metingen over de weerstand van bollen. Vgl. ook J.J. Thomson, Nat. 85, 251, 1910.

[p. 69]

omdat de bal zo licht is en over zulke grote afstanden vliegt dat de luchtstromen er een grote invloed op hebben.

Het merkwaardigst zijn de kromme banen die een golfbal aflegt als hij zó getroffen wordt dat hij behalve zijn voortgaande beweging ook nog snel om een vertikale as draait als een tol. Dit is het geval als het eindvlak van de ‘club’ niet loodrecht op de bewegingsrichting staat, maar schuin, zodat het door de wrijving op het ogenblik van de slag de omtrek van de bal enigszins meesleept. Op een afstand van 150 m kan de bal soms 30 m of meer afwijken, en dikwijls is zijn bewegingsrichting op het ogenblik dat hij neerkomt 90^o gedraaid ten opzichte van de oorspronkelijke!

Als men toevallig zulk een scheef getroffen golfbal op de grond ziet neerkomen, kan men dikwijls opmerken dat hij nog snel om zijn as draait: een bewijs dat deze aswenteling gedurende het afleggen van de baan voortdurend gewerkt heeft, en waarschijnlijk slechts weinig gedempt wordt door de voortgaande beweging.

Nog in een ander geval heeft de aswenteling van een golfbal merkbare invloed op de baan die hij aflegt; dat is wanneer de bal iets onder het midden wordt getroffen, zoals dat het geval is bij een lange slag: ‘a long drive’. Om zulk een baan te bestuderen, moeten we liefst met verschillende waarnemers tegelijk een uitstekend speler bekijken, en alles optekenen wat er op te merken valt. Wij sommen op wat men moet schatten, en geven tussen haakjes gemiddelde waarden bij wijze van voorbeeld.

1.	Hoek α waaronder de bal opstijgt (135^o).
2.	Dracht (180 m).
3.	Duur van de baan (6 sec).
4.	Afstand afgelegd in de eerste sekunde (80 m).
5.	Maximale hoogte van de baan (21 m).
6.
7.	Helling bij het neerkomen (38^o).

De 4 eerste waarnemingen zijn de belangrijkste. Hoed u voor het overschatten der opstijgingshoeken! Houd een stok in de richting van de waargenomen helling, en meet daaraan de hoek met een meetlat (uit de tangens). De afstand afgelegd in de eerste sekunde vinden we door verscheiden waarnemers op korte afstand van elkaar te posteren in de buurt van het punt waar we verwachten dat de bal na 1 sekunde aankomen zal.

Beschouw eerst eens de bal als een punt dat beweegt met een wrijving evenredig met het kwadraat van zijn snelheid, en verwaarloos voorlopig de invloed

[p. 70]

der zwaartekracht: dv/dt = v²/b. Uit andere proeven over de weerstand van bollen volgt dat b ongeveer 90 m is, wanneer v in m/sec wordt uitgedrukt. Door eenvoudige integratie volgt:



waarin V de beginsnelheid betekent.

De afgelegde weg wordt
(2) ....x = b log(1 + Vt/b).

Aangezien onze 4e waarneming x = 80 leverde voor t = 1, volgt V = 129 m. De snelheid van een golfbal is aanvankelijk 5 maal zo groot als die van een sneltrein, ze is meer dan een derde van de geluidssnelheid!

Wordt nu de werking van de zwaartekracht in rekening gebracht, dan vindt men voor banen met kleine opstijgingshoek α de vergelijking:



Uit de opstijgingshoek α en de reeds geschatte waarde der aanvangsnelheid kan men met formule (3) alle andere gegevens berekenen die we eerst proefondervindelijk hadden geschat. Men vindt dan een heel aardige overeenstemming op bijna alle punten; mocht dat met uw gegevens niet bevredigend zijn, dan is het waarschijnlijk voldoende de beginsnelheid iets te wijzigen om de vereiste overeenstemming te verkrijgen. Met de hoger aangenomen getallen vindt men: dracht 160 m; maximale hoogte 17 m;

En toch is deze overeenstemming slechts een schijnbare! Want als we de duur van de baan berekenen, - gebruik makend van de eenvoudige vergelijking (2) die voor dit doel voldoende benaderd is -, vinden we slechts 3,4 sec in plaats van de 6 sec der waarneming. Deze éne tegenstrijdigheid is zo duidelijk en overtuigend, dat de overige mooie overeenstemmingen ons niet kunnen bevredigen. De bal blijft veel langer in de lucht dan verwacht kon worden volgens onze eenvoudige theorie; er moet nog een andere kracht werken dan die welke we beschouwd hebben. Van belang is ook dat de verhouding 0,64 merkbaar kleiner is dan de waargenomen 0,73: de werkelijke baan is merkbaar sterker asymmetrisch dan de berekende.

De verklaring van deze verschijnselen is nu juist te vinden in de aswenteling van de bal, die bij zulk een soort slag in de regel onder het midden wordt geraakt, snel gaat wentelen om een

[p. 71]

horizontale as loodrecht op de bewegingsrichting, en stelselmatig neiging tot stijgen gaat vertonen. Deze neiging is het grootst bij het begin van de baan, omdat daar de voortgaande beweging het snelst is. Dikwijls wordt de baan zelfs hol naar boven over de gehele eerste helft harer lengte, en in enkele gevallen is dit rechtstreeks waarneembaar. Het spreekt vanzelf dat de dracht door dit verschijnsel aanzienlijk vergroot wordt. Het effekt is bij golf sterker dan bij de meeste andere balspelen, omdat de ballen betrekkelijk licht zijn, de snelheden en de duur van een worp zeer groot. In volgende paragraaf zal nog nader op de verklaring worden ingegaan.

49. Kromme banen bij tennis en andere spelen.

Toen herinnerde ik mij, dat ik dikwijls een tennisbal zulk een kromme baan had zien volgen, als hij met een schuin gehouden racket geslagen werd. Want. aangezien hij zowel een draaiende als een voortgaande beweging krijgt, moet hij de lucht om zich heen sterker samenpersen aan de zijde waar de bewegingen elkaar versterken, dan aan de andere zijde.
I. Newton, brief aan Oldenburg 1671-72.
(Uitg. Horsley, 4. 297).

Bij allerlei balspelen kan de bal een snelle draaiing om zijn as krijgen, als de slag aankomt in een richting die niet door het middelpunt gaat; het impuls van de slag en de traagheidsreactie van dat middelpunt (= zwaartepunt) veroorzaken dan een koppel, dat de bal aan het draaien brengt. De voetbal- of vuistbalspeler verkrijgt dit effekt, door de nauwkeurige keuze van het punt waar hij de bal raakt; bij tennis of hockey is het voldoende, het slagtuig schuin op de slagrichting te houden; bij handbal, waterpolo, schijfwerpen, brengt de speler met een snelle handbeweging de rotatie teweeg, net vóór hij de bal of de schijf loslaat.

Het merkwaardige is nu, dat dergelijke sneldraaiende ballen een baan beschrijven, die geheel abnormale krommingen vertoont. Ze wijken altijd af in de richting naar dewelke hun voorste punt wentelt: ‘de bal loopt zijn neus achterna’. Een te laag getroffen rugby-bal bijvoorbeeld draait aan de vóórzijde opwaarts, en beschrijft een baan die dikwijls opwaarts gekromd is. De tennisspeler geeft aan zijn bal bij voorkeur de tegenovergestelde draaiing; hij kan hem dan met grote snelheid wegslaan, en toch bereiken dat de bal spoedig naar beneden komt en nog binnen de vereiste afstand achter het net stuit. Evenzo kunnen afwijkingen naar

[p. 72]

rechts of links optreden, die nog gemakkelijker te onderscheiden zijn. - Tracht dergelijke effekten te bereiken; schat het bedrag der afwijking! De verklaring ligt in het feit, dat de bal in zijn aswenteling de lucht om zich heen enigszins meeneemt (fig. 33); aan de ene zijde A beweegt die lucht tegengesteld aan de algemene luchtstroom, die de bal tegemoet waait, aan de andere zijde B in dezelfde richting. Bij A zal daarom de drukking groter worden dan bij B, en hierdoor zal de bal zijdelings afwijken, juist in de richting die we hebben waargenomen. Deze merkwaardige aerodynamische werking is niets anders dan het beroemde Magnus-effekt, waarop de bouw der rotor-schepen van Flettner berust.

Een andere eigenaardigheid vertonen de draaiballen als ze stuiten en teruggekaatst worden. In het korte ogenblik van de

Fig. 33. De kromme baan van een sneldraaiende golfbal.

aanraking met de grond krijgt er de bal tengevolge van zijn draaiing een horizontale snelheidscomponente bij. Hij springt dan soms in de meest onverwachte richtingen terug, precies zoals de ‘effektballen’ bij het biljartspel; in sommige gevallen keert hij zelfs terug naar wie hem weggeslagen heeft!

50. Kiskassen.

Snel draaiende voorwerpen vertonen een wonderlijke stabiliteit, waardoor ze zich schijnbaar heel gek gedragen! Zolang ze maar snel genoeg draaien houden ze hun stand in de ruimte onveranderd, vallen dus ook niet om, waar een gewoon voorwerp dat wel zou doen. Het is dezelfde eigenschap der traagheid, die bij de slinger (ook een draaiend voorwerp!) al zorgde voor het bewaren van het slingervak, en welke wij hier in verhoogde mate tot uiting zien komen.

De diabolo blijft in evenwicht op een touw hangen, en valt in dezelfde stand naar beneden waarin hij omhooggeworpen was. De weggeworpen schijf beschrijft een kromme baan, maar haar vlak behoudt voortdurend dezelfde helling ten opzichte van de horizon.

Platte keien of oesterschelpen die men zó werpt dat ze een rustig wateroppervlak onder een heel kleine hoek treffen, nadat men hun bij 't werpen een snelle draaibeweging heeft gegeven,

[p. 73]

weerkaatsen¹⁾ tegen het wateroppervlak maar bewaren hun stand; ze kunnen zelfs verscheiden malen achtereenvolgens het water raken, telkens intussen verder ‘zeilend’ (wel 10 maal!). Voor de bestudering van dit verschijnsel is het van belang goede foto's te maken, en de vorm van de kurve te onderzoeken die op een bepaald ogenblik alle gevormde golfjeskringen omhult.²⁾

Zeer typisch is het zich geleidelijk oprichten, dat men af en toe bij een geworpen zeilsteen kan waarnemen. Is dit te wijten aan onvoldoend snelle draaiing? Of veeleer daaraan, dat de bewegingsrichting toevallig een vrij grote hoek met het draaiingsvlak vormt, zodat de luchtweerstand een

Fig. 34. Een sneldraaiende priktol, in horizontale stand op een touw rustend zonder te vallen!

koppel op de zeilsteen uitoefent (§ 78)?

1) Dit is natuurlijk een andere soort terugkaatsing dan een gewone botsing. De hydrodynamische theorie van het verschijnsel is nog niet ontwikkeld.

2) Zs. math. naturw. Unterr. 66, 383, 1935.

51. De tol.

De drijftol en de priktol vertonen de gyroskopische verschijnselen het mooist³⁾. Een rustende tol valt om, een draaiende tol blijft staan. De zwaartekracht heeft echter het gevolg dat hij een precessiebeweging gaat uitvoeren: zo noemt men het langzaam omlopen van de zacht hellende as, die een kegelmantel beschrijft.

Fig. 35. Precessiebeweging van een tol.

Merk op dat de precessiebeweging bij een tol in dezelfde zin gebeurt als de aswenteling (fig. 35); dat hangt onmiddellijk samen met het feit, dat de tol gesteund wordt onder zijn zwaartepunt, dus in rust labiel zou zijn. Als men een tol maakt die boven zijn zwaartepunt gesteund wordt, zijn de draaiingsrichtingen tegengesteld.

Een priktol of drijftol die flink aan het draaien gebracht is vertoont eerst een duidelijke precessie; maar de helling der as wordt geringer, de tol gaat meer en meer rechtop staan, tot hij helemaal vertikaal staat en ‘zingt’. Langzamerhand echter ziet men de precessie opnieuw duidelijker en geleidelijk sneller

3) J. Perry: Spinning Tops. London, 1901.

[p. 74]

worden, de tol helt meer en meer; nu bemerkt men dat de as nog een derde soort beweging uitvoert, kleine schommelingetjes om de grote precessiebeweging, die heftiger worden naarmate de tol langzamer draait; eindelijk valt hij om. - Klaarblijkelijk is dit laatste het gevolg van de wrijving, die de draaiing van de tol remt en hem tenslotte tot stilstand brengt. Maar hoe moeten we het eerste gedeelte van het proces begrijpen, het zich oprichten van de as? - ‘Ik vraag mij af of een der lezers de verklaring hiervoor kan vinden; een knap wiskundige onder hen zal u zeggen dat de verklaring stellig ergens te vinden is in het mechanica-leerboek van Routh, of dat hij in elk geval iemand aan de universiteit kent die het zeker weet, en dat hij denkt dat hij het zelf ook wel geweten heeft, alhoewel hij nu de ingewikkelde wiskundige redeneringen vergeten heeft waarop hij eenmaal zijn scherpzinnigheid oefende.’¹⁾

De verklaring staat echter in geen van de klassieke werken, en die welke Perry gemeend heeft te kunnen geven, houdt geen steek. Pas zeer onlangs werd de oplossing gevonden²⁾, een bewijs dat er uit zulk een alledaags verschijnsel toch steeds nieuwe lering te halen valt. - Het is nml. bekend, dat de precessiebeweging van de tol in werkelijkheid gecompliceerd wordt door kleine knikbewegingetjes die de as om haar gemiddelde stand uitvoert, de zogenaamde nutaties. Zodra wij de tol op de grond zetten, begint hij een eindje te vallen; door zijn traagheid valt hij verder dan de helling die met de normale precessie-beweging zou overeenkomen. Daardoor krijgt de zwaartekracht een grotere componente, en treedt er dus een extra-krachtenkoppel op, dat er naar streeft de tol naar beneden te drukken, maar waaraan hij ontsnapt door zijdelings uit te wijken en zich daarna weer op te richten. Weer is het zijn traagheid die hem iets over de gemiddelde precessiestand heen haalt, en in deze steilste stand werkt ditmaal, vergeleken met de gemiddelde precessietoestand, een oprichtend krachtenkoppel, dat ook weer door zijdelings uitwijken beantwoord wordt. Zolang de tol op een wiskundig scherpe spits draait, is het oprichtende extrakoppel bij de steile stand even groot als het neerdrukkende extrakoppel bij de diepste stand.

Maar als de punt van de tol stomp is, komt er een detail in de nutatiebeweging dat voor ons doel van belang is. Let eens

1) Vrij naar Perry, t.a.p. blz. 67.

2) A.D. Fokker: Hoepels en tollen (Arch. Mus. Teyler, Ser. III, 9, 343, 1941). Hier is getracht deze verklaring in eenvoudige woorden weer te geven, natuurlijk buiten verantwoordelijkheid van Prof. Fokker.

[p. 75]

op de afstand tussen de twee aangrijpingspunten: het zwaartepunt Z, waar de zwaartekracht aangrijpt; en het contactpunt C met de vloer, waar de reaktie van deze vloer tegen drukt. De afstand CZ tussen die twee punten wordt een weinig groter als de tol meer rechtop gaat staan. Maar juist in deze phase der beweging zijn de oprichtende extra-krachten aan het werk: het oprichtende koppel is dus altijd een weinig groter dan het neerdrukkende, gemiddeld richt de tol zich op. De potentiële energie die de tol daarbij wint, ontleent hij aan de kinetische energie der nutaties, die geleidelijk uitsterven. - Het effekt neemt toe evenredig met de kromtestraal van de tolteen. Iedere jongen weet immers ook dat dit oprichten beter gaat met een tol die een stompe ‘appelpunt’ heeft, dan met een slankere ‘perepunt’; ook dat is ons nu begrijpelijk.

Aan de snelheid der precessiebeweging kunnen we zien hoeveel maal per sekunde de tol om zijn as draait. Stel T = duur van de precessie-omwenteling, t = duur van de aswenteling; dan is



Hierin is h = afstand van het zwaartepunt tot de spits; g = versnelling van de zwaartekracht; ϱ = ‘traagheidsstraal’ (als

Fig. 36.

de afstand van een deeltje A tot de as voorgesteld wordt door r, is ϱ² het gemiddelde der waarden van r² voor alle deeltjes) (fig. 36).

Men ziet dat bij een onzer gewone tollen de waarden dezer grootheden van de volgende orde zijn: h = 5 cm; g = 981 cm/sec²; ϱ = 2. Dan wordt T = 0,032/t of 1/t = 30T. Als dus de tol zijn precessiebeweging in 1 sekunde uitvoert, is dit een teken dat hij 30 maal per sekunde om zijn as draait. Een langzamer precessie wijst op nog meer omwentelingen.

Bekijk eens van dit standpunt de drijf- en priktollen van de jongens op straat, en vraag u af of dergelijke snelheden aannemelijk zijn.

Het aantal omwentelingen is te schatten, door een witte krijtstreep straalsgewijs op de tol te trekken en hem 's avonds bij het licht van een (op wisselstroom brandende) gloeilamp te bekijken; aanvankelijk ziet men niets, maar

[p. 76]

weldra bemerkt men een ster met drie stralen die een ogenblik stilstaat; iets later zijn het er 4, dan 5, enz. Aangezien een gloeilamp op wisselstroom flikkert met een periode van 0.01 sekunde, betekent uw waarneming dat de omwenteltijd van de tol eerst wellicht van de orde van 0,01 sekunde was en dan verlangzaamde tot 0,03, 0,04, 0,05. ... sec. - Nog mooier slaagt de waarneming bij verlichting met natriumlampen.

Zoek in het grint een keitje dat er min of meer eivormig uitziet,

Fig. 37. Een langwerpig keitje (I) richt zich op wanneer men het snel aan het draaien brengt (II).

en doe het tussen beide duimen en wijsvingers op een goed effen tegelvloer zo snel mogelijk om zijn korte as draaien. Het steentje tolt een ogenblik om die as (fig. 37 I), maar kantelt weldra, en als het snel genoeg draait richt het zich helemaal op en wentelt nu om de lange as (II). Als men omgekeerd de kei eerst om de lange as laat tollen, ziet men de beweging niet veranderen. - Dit eigenaardige verschijnsel werd het eerst ontdekt door W. Thomson en Blackburn tijdens een vakantie, aan het strand doorgebracht, waar ze veel geschikte

Fig. 38. Het uitgooien van een priktol met een kort touw.

keien vonden. De verklaring is waarschijnlijk dezelfde als van de zich oprichtende tol.

Eind September vindt u onder de eikebomen tal van eikeltjes die uit hun napje losgekomen zijn; schop tegen het uiteinde van een eikeltje zodat het snel om zijn as gaat rollen op het gladde asfalt van de weg; tot uw verrassing zult u zien dat het zich ineens rechtop op zijn punt te draaien stelt! Dit gaat veel gemakkelijker dan de proef met het keitje.

Over het werpen van de priktol zijn leuke waarnemingen en proeven gedaan¹⁾; maar ik moet bekennen dat ik er niet goed in geslaagd ben die na te bootsen: ik vrees dat ik op het gebied van het priktollen geen deskundige meer ben! - Bij het werpen gebeuren er twee dingen: 1. de tol wordt aan het draaien gebracht; 2. tegen dat het touw bijna afgerold is, wordt er een koppel op die gyrostaat uitgeoefend. Hiermee rekening houdend, kan men een tamelijk kort touw gebruiken, dit opwinden op de wijze van een linkse schroefdraad (fig. 38), de tol met

1) A. Taber Jones, Science, 64, 254, 1926.

[p. 77]

de punt naar boven houden, en met de rechterhand uitwerpen; door de werking van het koppel keert de tol zich dan onderste boven en komt in de normale stand op de grond. Gebruikt men een lang touw, dan is de draaibeweging al te groot vóór het koppel gaat werken; in dit geval werpt men dus met de punt benedenwaarts gericht; de kunst is om goed horizontaal uit te gooien, en op dat ogenblik geen draaiingsmoment aan de tol mee te delen.

52. Gyrostatische werkingen bij een vliegtuig.

De typische bewegingseigenaardigheden van de tol vinden we in allerlei vormen terug bij snel draaiende voorwerpen. Bij het vliegtuig worden ze veroorzaakt door de snelle wenteling van de schroef. Deze draait in dezelfde zin als de wijzers van een uurwerk, gezien van de zijde waar de piloot zit. Bij elke bocht naar rechts nu, vertoont het vliegtuig neiging om te dalen; bij elke bocht naar links, om te stijgen. Elke opwaartse bocht (= toeneming van de stijging) veroorzaakt tevens een afwijking naar rechts; elke neerwaartse bocht, een afwijking naar links. Dit is precies wat we moeten verwachten volgens de wet der gyrostatische beweging, die we op blz. 52 leerden kennen. Hoewel de schroef snel draait, zijn de effekten slechts gering, daar de schroef de massa van het gehele vliegtuig in beweging moet brengen. Bij de oudere vliegtuigtypen veroorzaakten de draaiende delen der motoren veel sterkere effekten; thans is het alleen nog maar de schroef die een merkbaar draaimoment teweegbrengt.

53. De hoepel.¹⁾

De bewegingswetten van de hoepel vertonen een grote gelijkenis met die van de tol: ook hier dat merkwaardige vermogen om niet te vallen, zodra de wenteling voldoende snel geschiedt. Een principiëel verschil is, dat de tol bij benadering op één punt steunt; terwijl de hoepel langs een cirkel loopt, in het midden waarvan zich het zwaartepunt bevindt. - In plaats van de ingewikkelde vergelijkingen van de hoepelbeweging neer te schrijven en hun oplossing te bespreken, willen we liever een opsomming geven van de voornaamste bewegingsvormen die een hoepel kan vertonen, u uitnodigend die één voor één te verwezenlijken

1) A.D. Fokker: Hoepels en tollen (Arch. Mus. Teyler, Ser. III, 9, 43, 1941).

[p. 78]

en hun fraaie verscheidenheid te bewonderen. Dikwijls zal dit niet ineens gelukken, u zult een aantal keren moeten beproeven, en afwachten wat het toeval brengt. Belangrijk voor de beoordeling van de verkregen beweging is het spoor dat de hoepel op de grond getekend heeft, bijvoorbeeld op het effen, vochtige strand (fig. 39).

1.	Rollen: de hoepel loopt rechtop en wentelt om een horizontale as loodrecht op zijn vlak; zijn zwaartepunt beschrijft Fig. 39. Enkele bewegingsvormen van de hoepel: karakteristieke sporen op de grond. (Naar Fokker, t.a. pl.; iets geschematiseerd.) een horizontale rechte lijn, de beweging is eenparig. Of de rollende beweging stabiel is, hangt van de snelheid van de hoepel af; laat een hoepel met straal r langs een hellende plank naar beneden rollen, variëer de helling en wijzig aldus de eindsnelheid die de hoepel krijgt. Zolang hij van een hoogte <r/4 daalt, is de beweging labiel en de hoepel valt aan de voet van de helling om; is de hoogte > r/4, dan is de beweging stabiel.
2.	Tollen: de hoepel staat rechtop, hij wentelt om de vertikale diameter die door zijn steunpunt gaat; het zwaartepunt blijft onbewegelijk, de beweging is eenparig.
3.	Kantelen: stel de hoepel eerst rechtop, en laat hem nu omvallen, d.i. wentelen om de horizontale raaklijn door zijn steunpunt in de vloer; deze beweging is versneld.

[p. 79]

4.	Eenparig kringrollen: rollen, waaraan een weinig tollen wordt toegevoegd; de hoepel loopt langs een grote kring op de vloer; hoe sneller hij rolt, des te schever stelt hij zich in. Merk op dat we hier een typische precessiebeweging hebben, vergelijkbaar met die van de tol: het koppel, uitgeoefend door de zwaartekracht en de weerstand in het vloersteunpunt, streeft ernaar de hoepel te kantelen om een horizontale as; als het echter inwerkt op de draaiing van de hoepel zelf, krijgen we als resultaat, dat het vlak van de hoepel om een vertikale as gaat draaien.
5.	Eenparig kringtollen: tollen, waaraan een weinig rollen wordt toegevoegd. Het zwaartepunt blijft op zijn plaats, maar het ligt nu iets dichter bij de vloer dan de straal van de hoepel. De hoepel helt dus een weinig; hij draait op elk ogenblik om de middellijn door het vloersteunpunt, maar die middellijn gaat telkens door een ander punt van de hoepel. Het vloersteunpunt beschrijft een cirkeltje. - Dit is de beweging die zich meestal instelt als men de hoepel doet tollen en hem dan zonder voorzorgen vrijlaat.
	Een zeer kenmerkende overgangsvorm tussen kringrollen en kringtollen ziet men dikwijls als de hoepelbeweging uitsterft: het middelpunt is tot dicht bij de grond gedaald, de hoepel zelf vormt slechts een kleine hoek met het horizontale vlak; het contactpunt loopt snel rond in een cirkel, die bijna zo groot is als de hoepel zelf.
6.	Kantelrollen: voortrollen, gestoord door kanteling. De hoepel loopt in een wiegelende slingerlijn, met kleine, afwisselend rechtse en linkse kantelingen. Telkens waar de baan van het contactpunt haar grootste uitwijking bereikt, is zij het sterkst gekromd, daar speelt vermoedelijk de tolbeweging nog even een rol.
7.	Scheef kantelrollen: kringrollen, gestoord door kanteling. De bogen, door het contactpunt beschreven aan beide zijden van de gemiddelde kringrolling, zijn alle groter naar de ene kant dan naar de andere, - zeg bijvoorbeeld naar rechts groter dan naar links.
8.	Waggelzwaai: langzaam rollen, gestoord door sterke kanteling, afwisselend naar rechts en naar links. Het is dank zij de rolling dat de hoepel niet als geheel tegen de grond slaat; telkens zinkt hij diep neer, komt tot onze verrassing weer op (als hij niet slipt), zwaait naar de andere zijde, enz.

[p. 80]

9.	Boogzwaai: kanteling, gepaard aan een weinig tolling. Het contactpunt beschrijft cirkelbogen, nauwer dan de hoepel zelf is, afwisselend naar rechts en naar links; elk boogje bedraagt meer dan 180^o. Meestal is het maar heel even dat deze beweging zich instelt.
10.	Kantelrollen: sterke tolling, gepaard aan een weinig kanteling. De tolling gaat steeds in dezelfde richting door, de vloerlijn wordt een kring van kartelingen met keerpunten, halverwege de keerpunten wisselt de kanteling van teken.
	In het algemene geval komen de drie wentelingen tezamen in de beweging vóór. Een paar typische bewegingsvormen kunnen als vóórbeeld dienen.
11.	Lustolling: ga uit van de kringtolling, maar laat de verhouding van hoepelaswenteling en contactdiameter niet de waarde hebben, nodig om de beweging eenparig te maken. We krijgen nu een afwisselend dalende en weer rijzende kanteling, terwijl de kromming der vloerbaan gelijktijdig af- en toeneemt.
12.	Luskringing: een sterk asymmetrische kanteltolling. De vloerlijn is een aaneenschakeling van lussen, die samen een cirkel beschrijven.

54. Slingertijd van een schommel.

Een goed voorbeeld van een samengestelde slinger!

Schommel bij windstil weer flink hoog, en let op de lucht die u in 't gezicht waait; u merkt duidelijk dat uw snelheid het grootst is nabij het laagste punt van de baan.

Schommel over kleine hoeken en bepaal de duur van 20 gehele slingeringen (heen en terug). Vergelijk dit met de formule



; l is de afstand van het ophangpunt tot het slingerpunt, dat iets lager ligt dan het zwaartepunt van den man die op de schommel staat, dus ongeveer in het kruis.

Bepaal ook de slingertijd bij schommeling over een grotere hoek; een waarnemer vergelijkt de uitwijking met een merkteken, en zegt u telkens of u wel hoog genoeg schommelt. Zolang de uitwijkingshoek ϑ (t.o.v. de vertikaal) niet te groot is, blijft de slingertijd praktisch dezelfde; wordt ϑ echter 40^o of meer, dan begint men te merken dat de slingertijd een weinig toeneemt, volgens de nauwkeuriger formule:

[p. 81]

. Naar mijn ervaring is de toeneming nog iets groter dan uit deze formule volgt, misschien doordat bij grote hoeken de demping een toenemend belang krijgt.¹⁾

1) De slingerformule schijnt nog niet uitgewerkt te zijn voor grote hoeken, wanneer er een wrijving werkt evenredig met het kwadraat der snelheid. Vgl. A. Kriloff en C.H. Müller, Enz. d. mathem. Wiss. IV, 22, 543.

55. Hoe komt de schommel in beweging?²⁾

Op het eerste gezicht is er iets raadselachtigs in, dat een persoon in de schommel groter en groter slingeringen kan maken zonder zich tegen uitwendige steunpunten af te zetten.

Bekijk eens aandachtig iemand die schommelt! We beproeven zo goed mogelijk te ontleden wat hij eigenlijk doet (fig. 40).

Fig. 40. Twee manieren om een schommel in beweging te houden:
I) het zwaartepunt afwisselend hoger en lager brengen;
II) het lichaam afwisselend naar voren en naar achteren doen hellen.
Gewoonlijk komen beide bewegingsvormen tegelijk voor.

I) Hij buigt en strekt de knieën; daardoor gaat zijn zwaartepunt op en neer, teken schematisch de baan ervan! II) Hij houdt zijn lichaam niet altijd in de richting der touwen, maar laat het vooruit of achteruit hellen; teken schematisch de stand ten opzichte der loodlijn in de verschillende delen van de baan!

Nu gaan we zien hoe de bewegingen die de schommelaar instinktmatig maakt, door de theorie verklaard worden.

2) G.T. Walker, Enz. d. Mathem. Wiss. IV, 9, 151.

[p. 82]

I) Stel l = de afstand van het zwaartepunt tot de as bij gestrekte knieën, l + h = de afstand bij gebogen knieën. Valt de schommel van de stand OA naar OB, over een hoek ϑ, dan daalt het zwaartepunt over l(1 - cos ϑ) of over (l + h) (1 - cos ϑ) al naarmate degene die schommelt de knieën strekt of buigt; de zwaartekracht verricht dus in het eerste geval minder arbeid dan in het tweede. Om de slingeringen die de schommel maakt te vergroten, moet de arbeid die men wint bij het dalen groter zijn dan wat men verliest bij het stijgen: in de dalende helft van de baan moet men dus de knieën buigen, in de stijgende helft moet men ze strekken.

II) Daarenboven kan het lichaam een zekere draaiing uitvoeren om het zwaartepunt. Men bewijst: aan het eind van de naar voren gerichte slingering moet men zich vooruit laten hellen, en aan het eind van de terugzwaai moet men achteruit gaan hellen (fig. 40).

Beproef zelf de invloed van de twee bewegingsvormen!

We zullen nu nauwkeuriger berekenen hoeveel arbeid bij elke slingering aan het stelsel meegedeeld wordt. Die arbeid wordt in laatste instantie geleverd door degene die schommelt. Als hij de laagste stand OB bereikt heeft, richt hij zich op, en heeft daarbij de zwaarte Mg van zijn lichaam te overwinnen, en daarenboven nog de middelpuntvliedende kracht Mv² / l; hij voelt het ook, het is alsof iemand hem met kracht neerdrukte. Deze twee bestanddelen van de kracht kunnen we gemakkelijk vergelijken, als we bedenken dat v gelijk is aan de eindsnelheid die een lichaam bereikt nadat het gevallen is van een hoogte l(1 - cos ϑ), dus dat v² = 2gl(1 - cos ϑ).

De totale kracht is:	Mg + 2 Mg(1 - cos ϑ),
en de verrichte arbeid:	Mgh + 2 Mgh(1 - cos ϑ).

Als de schommel een uitwijking bereikt van 60^o, kost het overwinnen van de middelpuntvliedende kracht dus evenveel inspanning als het overwinnen van de zwaartekracht. - Deze arbeid komt niet geheel ten goede aan het stelsel: want in de uiterste stand OC hurkt de schommelaar weer neer en verliest daarbij arbeidsvermogen Mgh cos ϑ, dat door de reactie van de touwen en de tegenstand der gewrichten verbruikt wordt. Er blijft tenslotte de arbeidswinst
Mgh (1 - cos ϑ) + 2 Mgh(1 - cos ϑ) = 3 Mgh(1 - cos ϑ).

[p. 83]

56. Het schommelen zonder extra-draaiing van het lichaam, en de demping der schommelbeweging.

Quantitatief is de invloed (I) van het op- en neergaande zwaartepunt het best te bestuderen. Oefen eerst om telkens de knieën te buigen en te strekken volgens fig. 40 I, maar het lichaam onveranderlijk in het vlak der touwen te houden! Bind aan een der touwen twee stukjes koord, op de hoogte der ogen en 15 cm lager: deze merktekens geven u aan hoe diep u de knieën telkens moet buigen.

Het blijkt nu dat de schommel weldra een bepaalde slingerwijdte bereikt en daar verder niet voorbij komt; een hulpwaarnemer bepaalt die zo nauwkeurig mogelijk. De arbeid die wij bij een halve slingering verrichten wordt nu blijkbaar geheel voor wrijving van ons lichaam tegen de lucht gebruikt. Voor die arbeid vonden we 3Mgh(1 - cos ϑ), wat bij niet al te grote uitwijkingen a gelijk is aan



. - Laten we nu de wrijving berekenen. De afstand van de schommel tot de evenwichtsstand wordt bij benadering beschreven door



, de snelheid is dus



. De luchtweerstand geeft de schommel een vertraging welke we evenredig met het kwadraat van de snelheid stellen en die we dus schrijven:



. De wrijvingsarbeid is dan bij elke halve slingering:



. Schrijf nu dat de verrichte arbeid voor wrijving verbruikt is:



De bereikte einduitwijking moet dus evenredig zijn met het hoogteverschil waarover we ons lichaam op en neer hebben bewogen. We doen ook nog eens een proef met h = 30 cm, en nemen 't gemiddelde der waarden van h/a. Voor k vond ik 0,029; dat wil zeggen: heeft de schommel een snelheid van 1 m/sec, dan wordt hij door de luchtweerstand bijna 3 cm/sec² vertraagd.

Hieruit volgt de wrijvingsweerstand van ons lichaam (dat 75 kg weegt), bij een snelheid van 1 m/sec: 1/9,81 × 75000 × × 0,029 = 222 gram-gewicht.

[p. 84]

57. Nog eens de demping der schommelbeweging.

Als men aan 't schommelen is, en ineens ophoudt met bewegingen uit te voeren, vermindert de slingerwijdte langzamerhand, tot de schommel tot rust gekomen is. Het is duidelijk dat

Fig. 41. Berekening van de demping der schommelbeweging.

het onderzoek van dit uitdempen ook een manier is om de wrijvingsweerstand van ons lichaam tegen de lucht te bepalen.

We zetten merktekens op 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 meter afstand van de schommel in zijn laagste stand (meet van het midden P af). Nu gaan we harder en harder schommelen tot onze voeten boven het vaste merkteken D, op 2,5 m afstand, zijn gekomen, en laten ons dan vanzelf uitslingeren. Terwijl de slingering langzaam gedempt wordt, telt een waarnemer bij de hoeveelste halve slingering (heen- of teruggang) de uitwijking teruggegaan is tot het merkteken D' van 2 m. Evenzo bepaalt hij bij welke halve slingering de volgende merktekens bereikt worden.

Het arbeidsvermogen dat we aan de schommel gegeven hadden, is nu verbruikt door wrijving van ons lichaam tegen de lucht. Als de uitwijking teruggegaan is van ϑ tot ϑ', is de verbruikte arbeid Mgl (cos ϑ' - cos ϑ), wat voor niet te grote uitwijkingen a gelijk is aan Mgl sin ϑ.



. De luchtweerstand verbruikt bij elke halve slingering de arbeid



. Schrijf nu op dat de arbeid, die verloren wordt als de amplitude a met Δa afneemt, verbruikt wordt om N halve slingeringen te verrichten.

Uit metingen aan een schommel vond ik gemiddeld: Na² = 30 m² voor Δa = 0,5 m; dus k = 0,012. Hieruit volgt voor de wrijvingsweerstand van ons lichaam (dat 75 kg weegt):

[p. 85]

1/9,81 × 75000 × 0,012 = 92 gram-gewicht.

De uitkomst is van dezelfde orde als we bepaald hadden uit onze eerste methode. Het gemiddelde,



gramgewicht, is weer te vergelijken met de luchtweerstand die we op geheel andere wijze gevonden hadden voor een fietser, nml. 67 gram-gewicht (§ 32). Het is begrijpelijk dat de fietser door zijn gebukte houding een merkbaar kleinere weerstand biedt: daarenboven hebben we de wrijving van de ringen van de schommel verwaarloosd.

Hoe is de demping als men in zittende houding schommelt?

58. De plank over de sloot.

Een prachtgelegenheid om daar midden op te gaan staan en heerlijk op en neer te wippen! Men voelt onmiddellijk dat de plank met het mannetje dat er op danst een eigen trillingstijd heeft; u kunt het aantal trillingen in de loop van een minuut nauwkeurig bepalen, door zachtjes en aanhoudend op en neer te wippen terwijl u de sekundewijzer van uw horloge volgt.

Theoretisch is die trillingstijd benaderd te vinden, door de massa van de plank te verwaarlozen tegenover die van de mens. Bij alle trillende bewegingen is de slingertijd gegeven door



Nu leert ons de theorie der veerkracht, dat een aan beide uiteinden gesteunde plank van lengte l, dikte a, en breedte b, onder de invloed van een gewicht P doorzakt met een pijl



; de constante E is de elasticiteitsmodulus. Voor h = 1 is dus



. Substitutie in vorige formule geeft:



; en het aantal trillingen per sekunde:



. Voor hout is E 8. 10¹⁰ dynes/cm²; dan moeten a, b, l in cm, M in g uitgedrukt worden.

Vergelijk de uitkomst die de formule geeft met de waar-

[p. 86]

neming. Men kan verwachten dat het aantal trillingen in werkelijkheid iets kleiner zal zijn, omdat de massa van de plank ook een rol speelt. Met deze betere benadering is het vraagstuk nog niet geheel uitgerekend.¹⁾

Men kan aantonen dat, als de waarnemer niet in het midden der plank staat, maar op een afstand ml van het ene uiteinde en nl van het andere, het trillingsgetal wordt:



Voor m = n = ½ komen we tot het symmetrische geval terug, en zijn de trillingen het langzaamst. Beproef dit waar te nemen!

1) Vgl. J. Morrow, Phil. Mag. 11, 354, 1906.

59. Het zwiepen van een boompje.

Neemt men een jonge boom en drukt hem afwisselend naar rechts en naar links, dan buigt hij heen en weer, en men voelt weldra dat hij een eigen trillingstijd heeft. Druk zachtjes verder, steeds in datzelfde tempo, en bepaal hoeveel schommelingen de boom in 1 minuut uitvoert.

Een juiste theorie van die trillingen te geven is onmogelijk, omdat de vorm van de kroon geheel onregelmatig is. Laten we eens aannemen dat de trillingstijd niet veel zal verschillen van die ener aan het uiteinde vastgeklemde staaf, waarvan de lengte l gelijk is aan de hoogte van de boom, en waarvan de ronde doorsnee dezelfde middellijn d heeft als de boomstam beneden. Dan zou het aantal trillingen per sekunde zijn:



Schat voor de dichtheid s = 0,6, stel E = 8. 10¹⁰ dyne/cm²; er komt: N = 50.000 d / l² (d en l in cm). Een andere wijze om het vraagstuk min of meer te benaderen is, de boom te beschouwen als een kegelvormige staaf, waarvan het dikke uiteinde vastgeklemd is. Dan wordt²⁾

De veerkracht van zulk een staaf is nu kleiner dan bij een cylinder,

2) G. Kirchhoff, Wied. Ann. 10, 501, 1880.

[p. 87]

maar de massa is ook zoveel kleiner dat de trillingen toch 2,5 maal sneller gebeuren.

In werkelijkheid zou nog de massa van de kroon in aanmerking genomen moeten worden. - Vergelijk de waarneming

Fig. 42. Figuren van Lissajous.

met de formules! U zult zien dat deze de goede orde van grootte geven, maar niet de preciese waarde. Bepaal voor enige bomen welke getallenfaktor er moet bijgevoegd worden.

Tot hiertoe hebben we alleen gedacht aan trillingen van de boom in één bepaald vlak. Let echter eens op een gevelde boom die zò ligt dat het dunne uiteinde vrij bewegen kan: als u het

[p. 88]

heen en weer laat zwiepen, ziet u hoe het helemaal geen rechte lijn doorloopt, maar een ingewikkelde kromme. De zaak is, dat deze stam een andere trillingstijd heeft in het éne dan in het andere vlak, omdat de takken en de houtmassa altijd min of meer asymmetrisch verdeeld zijn. Door de ongelijkheid der trillingstijden verloopt de phase der samenstellende trillingen voortdurend, en ziet men alleraardigste ‘figuren van Lissajous’, die zich geleidelijk vervormen (fig. 42). Alles gaat zo langzaam dat men de trillingen duidelijk met het oog kan volgen. Het schijnt zelfs mogelijk, een potlood aan de top van de stam te bevestigen en de kromme op een blad karton op te tekenen.¹⁾

1) Ebert, Lehrb. d. technischen Physik, 1, 310.

60. Bepaling van de snelheid van een schip.

Gooi een dichtgekurkte lege fles over boord, en tel hoeveel sekunden ze nodig heeft om de afstand af te leggen tussen vóóren achtersteven, of tussen twee vaste punten van het schip. Meet dan de afstand tussen die twee punten, en bereken de snelheid. - De Engelse zeeman noemt die eenvoudige methode: ‘the Dutchman's log’.²⁾

In de zeevaart gebruikt men als eenheid van snelheid de knoop = 1 zeemijl per uur = 1,85 km/uur = 0,51 m/sec.

We zullen later zien, dat de snelheid ook uitstekend afgeleid kan worden uit de golflengte der dwarse golven, die zich in het zog van het schip loodrecht op de voortbeweging vormen. De schatting van die golflengte lukt het best op zeilboten, of bij kleinere schepen die men van op een brug voorbijvaren ziet. Men onthoude volgende getallen:

λ = 1,5 m	V = 5,5 km/uur
2,5 m	V = 7 km/uur
4 m	V = 9 km/uur

(Vgl. § 99).

2) W. Thomson, On Navigation. (Popular Lectures and Adresses, blz. 43).

61. Weerstand van een schip. Sleepproeven (fig. 43).

Om de weerstand vooruit te bepalen die een schip in het water ondervinden zal, maakt de scheepsbouwer een verkleind model en neemt daarmee proeven. Wij gebruiken een houten balkje, waaraan we ruw de vorm van een schip hebben gegeven, en dat we in rustig water laten drijven.

[p. 89]

Om het voort te trekken terwijl we langs de oever lopen gebruiken we een lange stok, aan zijn uiteinde een dwarslatje dragend. Op dit laatste is een elastiekje E met een punaise bevestigd, en dit trekt ons bootje via een ijzerdraadje y. Door de weerstand die het vaartuig in het water ondervindt wordt het elastiekje gespannen; hoever - dat kunnen we aflezen op een duidelijk zichtbare cm-schaal, welke we op het dwarslatje hebben getekend. Loop nu zo snel, dat het elastiek tot een bepaald schaaldeel uitgerekt wordt, en laat een helper met het horloge

Fig. 43. Bepaling van de weerstand van een schip met een model.

in de hand bepalen hoeveel m/sec u aflegt (Houd het uiteinde van de stok laag, trek bijna horizontaal!). Herhaal de proef met een grotere snelheid, overeenkomend met meer weerstand en dus een grotere kracht vereisend en een sterkere uitrekking. Enz.

U kunt nu vooreerst de kracht bepalen die u in elke proef heeft moeten uitoefenen, door het elastiekje te belasten met verschillende bekende gewichten, en de overeenkomstige uitrekkingen te vergelijken met die, bij het slepen waargenomen. Teken als funktie van de snelheid welke kracht vereist was voor het voorttrekken: deze kracht neemt ongeveer met het kwadraat

[p. 90]

der snelheid toe. Zij is nodig, zowel om de wrijving van het vaartuig tegen het water te overwinnen, als om de scheepsgolven te vormen en te onderhouden.

Verder kunt u nu van uw model overgaan tot het geval van een werkelijk schip. Vergroot in gedachte alle afmetingen van uw model in de verhouding l, die u willekeurig kunt kiezen. Dit vastgelegd zijnde, moet u verder de snelheid vermenigvuldigd denken met √l, de kracht met l³. Uw proef is dan op de juiste schaal ‘gelijkvormig’ vergroot¹⁾. - Voor een balkje van 54 cm × 7 cm × 4,5 cm vond ik dat een kracht van 60 g-gewicht vereist was bij een snelheid van 2,8 km/uur. Stel nu l = 100; dan zou dus een schip van 54 m × 7 m × 4,5 m met een kracht van 60 ton een snelheid bereiken van 28 km/uur of 7,7 m/sec; een vermogen van



zou vereist zijn. Bij werkelijke schepen van deze afmeting zijn de vereiste kracht en het vermogen aanzienlijk geringer, dank zij de zorgvuldig gekozen vorm van de romp.

Dergelijke proeven gaan nog mooier met een echte roei- of zeilboot. Aan een der zijden bevestigt u een touw en een (goedkoop) veerbalansje, en laat u voorttrekken door een helper die langs de oever loopt, terwijl u zelf met het roer de goede koers houdt.

Men zou de te onderzoeken boot ook kunnen laten voortslepen door een motorboot. Het blijkt dan echter, dat men buitengewoon voorzichtig moet zijn met het trekken van besluiten, omdat de kracht, nodig voor het slepen, in sterke mate van de lengte der lijn afhangt. Naarmate de lijn wordt gevierd, vindt men dat de vereiste kracht, op de veerbalans afgelezen, eerst geleidelijk toeneemt, dan afneemt, dan weer toeneemt, enz., met een periode gelijk aan de lengte der golven die zich achter de sleepboot vormen; de grootste waarde der kracht is wel dubbel zo groot als de kleinste. De vereiste kracht is het geringst, wanneer het meegesleepte bootje op de vóórkant komt te liggen van de eerste zichtbare dwarsgolf (vgl. § 99).

1) Dit geldt streng voor de ‘golfvormende’ kracht, maar met enige benadering ook voor de totale weerstand.

62. Het sturen (fig. 44).

Ieder die zelf wel eens in een bootje heeft gezeten of een schip in een singel heeft zien sturen, weet dat het uiteinde van 't roer dat buiten het schip uitsteekt naar links of naar rechts moet

[p. 91]

gedraaid worden, om ook het schip naar links of naar rechts te doen afwijken. In fig. 44 is voorgesteld hoe de waterdruk AB tegen het roer een componente AC heeft, die de draaiing van het schip naar links: tengevolge heeft.

De mate waarin het roer werkt hangt af van de hoek waaronder het t.o.v. de vaartrichting wordt ingesteld. Bij een smal roer

Fig. 44. Het sturen van een schip met behulp van het roer.
a) Krachten die het water op het schip uitoefent.
b) Invloed van het roer op de koers van het schip.

bereikt men de sterkste werking bij een hoek van 20^o ongeveer; bij een breed roer kan de optimale hoek tot 40^o bedragen.

Op het ogenblik waarop men het roer snel naar links (of naar rechts) draait, begint het schip met een weinig naar de binnenkant van de bocht te hellen, wegens de drukking van het water op het roer, waarvan het drukpunt lager ligt dan het zwaartepunt van het vaartuig. Weldra echter gaat het schip de bocht maken, en nu helt het naar buiten (aan de binnenkant van de bocht ligt het dek hoger). Verklaring: de waterweerstand levert een componente W, die het schip naar links drukt en die de centripetale kracht is waardoor het schip de bocht maakt; zij grijpt ongeveer

[p. 92]

aan in het midden van het ondergedompelde gedeelte; de centrifugale traagheidskrachten echter in het zwaartepunt, dat hoger ligt. Er ontstaat dus een koppel, en de helling die we hebben waargenomen is begrijpelijk.¹⁾ Tegenover dat koppel was de druk van het water op het roer onbelangrijk. Toch merkt men zijn bestaan, als tijdens het beschrijven der bocht het roer weer ineens in de middenstand teruggebracht wordt: het schip krijgt dan even een grotere slagzij. De druk van het water tegen het roer heeft echter niet alleen voor gevolg dat het schip gaat draaien, hij verplaatst ook enigszins het schip als geheel buiten de koerslijn, naar de zijde van de buitenbocht (fig. 44b).

Bij schepen met een schroef heeft deze altijd invloed op het sturen, doordat ze stromingen veroorzaakt in het water om het roer. Deze invloed is in vele gevallen zo ingewikkeld, dat men niet meer theoretisch kan berekenen wat er zal gebeuren, maar dat de ervaring moet beslissen.²⁾ - Denk u bijvoorbeeld een stoomboot, door een schroef met flinke vaart gedreven; plotseling dreigt een aanvaring, en men laat de schroef met volle kracht achteruit werken. Het schip gaat echter door de vaart die het had nog een eindje vooruit, over een afstand van 4 tot 6 maal de lengte van het schip, terwijl de schroef toch reeds achteruit draait. Vrage hoe het roer op dit ogenblik werkt! - Men begrijpt zonder moeite hoe buitengewoon gewichtig deze vraag is voor het manoeuvreren gedurende deze kritieke ogenblikken.

Antwoord. - 1. Als de schroef achteruit draait, zal het roer werken alsof het schip inderdaad achteruit voer, ook al moge het zich feitelijk vooruit bewegen.

2. Toch zal de werking van het roer nu minder afdoende zijn dan als het schip werkelijk achteruit zou stomen; hoe sneller het door zijn traagheid nog vooruit beweegt, hoe meer dit de invloed van de schroefbeweging op het roer zal tegengaan. In de praktijk wordt volledige neutralisatie niet bereikt, maar wel wordt het schip slecht bestuurbaar en zeer beïnvloed door wind enz.

3. Als omgekeerd de schroef het schip vooruit drijft, zal het roer werken alsof het schip inderdaad vooruit voer, ook al beweegt het feitelijk door zijn traagheid achteruit.

Het roer werkt des te krachtiger naarmate een schip sneller vaart. En dit is niet alleen zó bedoeld, dat het schip in korter tijd draait over een gegeven hoek, maar ook, dat de cirkel die

1) Klein en Sommerfeld, Theorie des Kreisels, blz. 915.

2) O. Reynolds, Papers, 1, 134 en vgl. (1875-1878).

[p. 93]

het beschrijft een kleinere straal heeft. Bij volle snelheid kan een schip een cirkel beschrijven met een straal van slechts 4 scheepslengten. - Een schip is natuurlijk maar bestuurbaar als het vaart heeft ten opzichte van het water; bij het afvaren ener rivier moet het dus sneller stroomafwaarts bewegen dan het water.

63. Roeien.

Het brede uiteinde van de riem ontmoet zoveel tegenstand in het water, dat we het als een bijna vast draaipunt kunnen beschouwen. De riem werkt dan als hefboom, met de ‘kracht’ aangrijpend bij het uiteinde, de ‘last’ aangrijpend bij de dol. Bij elke riemslag beschrijft de riem een hoek van wel 80^o; en de boot zou volgens ons hefboomschema telkens moeten vooruitschieten over ongeveer 3,50 m. De werkelijkheid is echter iets minder gunstig: het uiteinde van de riem is niet geheel onbewegelijk, het ‘slipt’ over een afstand van de orde van 1 m ten opzichte van het water, zodat de boot feitelijk maar 2,50 m vooruitkomt.

Interessant is de reaktie van de boot wanneer de roeier, na het uitvoeren van de eigenlijke slag, op zijn bewegelijk bankje ‘vooruit’ schuift, d.w.z. tegen de vaartrichting in beweegt. Aangezien het zwaartepunt van roeier + roeiboot ongestoord met eenparige snelheid verder moet bewegen, zal de verschuiving van den roeier gepaard gaan met een impuls, uitgeoefend in de vaartrichting. Men kan dit inderdaad bij elke slag opmerken.

Een ander typisch reaktieverschijnsel ontstaat als de roeier plotseling rechtop gaat staan in de boot: men ziet dan hoe het vaartuig een ogenblik dieper in het water wordt gedrukt. Even later gaat de roeier plotseling zitten: de druk van het lichaam op de boot neemt nu af en het vaartuig wordt plotseling een eindje opgetild.

Het is echter niet de houding van den roeier die op zichzelf zijn gewicht groter of kleiner maakt: zodra de opwaartse of benedenwaartse versnelling ten einde is, wordt de drukking die hij op de boot uitoefent weer gelijk aan zijn lichaamsgewicht. Denk in dit verband ook aan de bewegingen van den skiloper, die hurkt wanneer hij de druk op de ski's geringer wil maken, en die rechtop gaat staan om de druk te versterken. Dergelijke bewegingen helpen alleen gedurende het korte ogenblik waarop ze uitgevoerd worden, zolang namelijk het lichaam een neerwaartse of opwaartse versnelling krijgt. Als zodanig hebben ze zin, bijvoorbeeld wanneer het verval van het terrein plotseling geringer

[p. 94]

wordt en daarna weer groter, hetgeen de drukking op de ski's zou doen toenemen, daarna weer afnemen; dit kan de skiloper een ogenblik compenseren, wanneer hij hurkt en zich dan weer opricht. Maar zodra de beweging weer eenparig wordt is de druk in beide standen natuurlijk dezelfde.

64. Het wrikken.

Een merkwaardige vorm van roeien is het wrikken, met één riem, die gehanteerd wordt bij de achtersteven, waar hij schuin naar beneden in het water dompelt. Stel u eerst een ogenblik voor, dat de riem eenvoudig van links naar rechts zou bewegen en daarna weer terug, met zijn vlak vertikaal:

Fig. 45. Het voortbewegen van een boot door wrikken. - Zeer vereenvoudigde voorstelling. De pijltjes geven de bewegingsrichting van de riem aan.

het is duidelijk dat beide delen van de beweging elkanders werking dan zouden opheffen. Dit wordt echter anders, wanneer het vlak van de riem tevens, zowel bij de heen- als bij de teruggang, in de juiste stand tegenover de zijdelingse bewegingsrichting gebracht wordt. Fig. 45a stelt dit geschematiseerd voor, alsof de riem geheel vertikaal in het water dompelde en wij hem van omhoog bekeken. Men ziet dat de tegenstand van het water in beide phasen van de beweging een druk loodrecht op het riemblad uitoefent, die telkens een sterke voorwaartse componente heeft; de zijdelingse componenten bij de heen- en bij de teruggang zouden de boot een slingerlijn doen beschrijven, maar volgen zo snel op elkaar dat ze praktisch elkander opheffen.

Het is de moeite waard, de wrikbeweging ook nog te beschouwen van het standpunt van de rustende waarnemer die aan de oever staat en het bootje gadeslaat. Deze ziet de riem een golflijn door het water beschrijven; de tegenstand van het water maakt dat de riem zich als het ware in een sinusvormige gleuf beweegt. Doordat hij telkens op het juiste ogenblik zijdelings tegen deze

[p. 95]

gleuf drukt, zoals het door de pijltjes in fig. 45 is voorgesteld, glijdt hij langs de hellingen der sinuskromme en wordt voortdurend voorwaarts gestuwd. - Het is met behulp van een dergelijk mechanisme dat de vissen zich voorwaarts bewegen: ze buigen hun lichaam tot een sinuslijn, en glijden nu bij benadering langs dezelfde kromme voorwaarts, telkens nochtans een zijwaartse druk uitoefenend op de juiste punten van hun flanken. Slangen,

Fig. 46. Analyse van de wrikbeweging.

hagedissen, wormen schijnen een dergelijk mechanisme toe te passen; de mens gebruikt deze mogelijkheid van voortbeweging bij de crawl-slag.

Hier volgt nu een nauwkeuriger onderzoek van de wrikbeweging, waarbij rekening gehouden is met de helling van de riem ten opzichte van de vertikaal.
Denk de dol O in het centrum van een grote bol (fig. 46); een bepaalde richting wordt dan weergegeven door een straal van die bol en door een punt op het boloppervlak. De boot vaart in de richting OM', OM is de naar achteren gerichte horizontale lijn; het ondergedompelde uiteinde van de riem wijst naar A, de riem helt over een hoek α = MA met de horizon HMM'. Het riemvlak zij eerst loodrecht op het vertikale symmetrievlak van de boot, de normaal op het riemvlak heeft dan de richting OB. Nu draaien we het riemvlak over een hoek BC = β om de lengteas van de riem, de normaal wijst nu naar C. - Op dit ogenblik is het ondergedompelde riemeinde aan het bewegen van stand E' naar stand E en gaat net door A, zijn snelheid is dus evenwijdig aan OH. De tegendruk van het water drukt dus volgens HO, daarvan werkt loodrecht op het riemvlak het breukdeel cos HC; en daarvan weer is het breukdeel

[p. 96]

cos CM werkzaam in de vaartrichting. De werkzame kracht is dus tenslotte evenredig met cos HC . cos CM = sin β . cos CB . cos MB = sin β. cos β. sin α = ½ sin 2β. sin α. Altijd is CM < 90^o; willen we dus de uitdrukking positief houden (= voorwaarts varen), dan moet ook CH < 90^o: de naar boven gerichte normaal moet dus altijd afwijken van het symmetrievlak, in de richting naar waar het ondergedompelde riemuiteinde beweegt. De sterkste voorwaartse werking wordt bereikt als α zo groot mogelijk is en als 2β = 90^o, dus als de riem zo steil mogelijk in het water dompelt, en als zijn vlak 45^o gedraaid is om de lengteas (uitgaande van de symmetrische stand). In de praktijk kiest men de steilheid niet te groot, omdat de vereiste inspanning te aanzienlijk zou zijn.
Tevens ziet men, dat de boot niet alleen vóóruit gestuwd wordt, maar dat er ook een krachtcomponente is die de achtersteven naar beneden drukt; zij is evenredig met cos CH . cos CP = sin β . cos β . cos α. Als het wrikken met grote krachtinspanning geschiedt, kan men dit neerwaarts drukken duidelijk aan de boot opmerken.
De hier geschetste theorie geeft slechts de hoofdtrekken weer van de wrikbeweging; feitelijk gaat de riem niet slechts horizontaal heen en weer: hij beschrijft een zeer vlakke, liggende ∞ (stippellijn EAE' in fig. 46).

65. De zeilboot.

Rank en luchtig, blank en strak snelt de zeilboot over het water. Schijnbaar zo eenvoudig is deze beweging; in werkelijkheid

Fig. 47.

ontstaat ze door eenverfijnd wisselspel van wind- en waterstromingen, dat verstoord wordt door de geringste wijziging in bouw of verhoudingen.

Om de luchtstroming om de zeilen te onderzoeken, maken we gebruik van een pluisje, - hetzij een donsvlokje of een distelzaadje - opgehangen aan een stok met behulp van een lang vrouwehaar; het volgt getrouw elke stroomlijn, het verraadt iedere werveling.

Een uitstekend uitgangspunt voor onze bestudering is de toestand bij het zeilen ‘onder de wind’ (fig. 47); de wind komt dan schuin van voren, de boot vordert schuin tegen de wind in. We onderzoeken vooreerst de windstroming aan de loefzijde, langs het grootzeil (fig. 48): de luchtstroom breekt open tegen
¹⁾

1) M. Curry: Die Aerodynamik des Segels und die Kunst des Regatta-Segelns (München 1925).

[p. 97]

het zeil, maar op typisch asymmetrische wijze; over het eerste vierde deel van de breedte stroomt de lucht naar voren, over de laatste drie vierden naar achteren; aan de bovenkant van het zeil stijgt de stroom opwaarts. Nu verkennen we de stromingen aan de randen: aan het achterlijk stroomt de lucht bijna evenwijdig aan het zeil weg; daarentegen dringt een felle windstroom aan het vóórlijk tussen mast en grootzeil naar de achterkant. Om

Fig. 48. Windstromingen bij een zeilboot, van de loefzijde gezien; wind van links voren.
(Vrij naar Curry t.a. pl.).

te zien wat er verder met deze lucht gebeurt, verwijderen we vooreerst het fokzeil, en onderzoeken nu de lijzijde van het grootzeil (fig. 49a). We bevinden dat de windstroom van het vóórlijk een grote wervel W beschrijft en het grootzeil aan de lijzijde treft in C, nog vóór het midden; aan de lijzijde, achter het midden, bij D vinden we slechts kleine, onregelmatige werveltjes. De gehele toestand nadert dus in hoge mate tot het klassieke stroomlijnenbeeld van een vlakke plaat, schuin in een stromende vloeistof gehouden (fig. 66). Door vernuftige metingen kan men laten zien,

[p. 98]

dat de wind niet alleen een druk uitoefent aan de loefzijde, maar ook een zuiging aan de lijzijde; deze laatste is zelfs 3 tot 5 maal sterker dan de druk: het zeil wordt dus feitelijk door de wind voortgezogen, veel meer dan voortgeblazen! De zuiging wordt echter ten dele opgeheven door de terugstroom van de werveling die de lijzijde van het grootzeil treft. Nu echter is het ogenblik gekomen om de grote betekenis van het fokzeil te leren kennen! Zodra dit gehesen wordt, verandert de stroming aan de lijzijde van het grootzeil

Fig. 49. Windstromingen om een zeilboot a. zonder fok, b. met fok. In de linkerfiguur hoort nog de letter D te staan, 2 cm onder C.
(Vrij naar Curry t.a. pl.).

ten enenmale (fig. 49b). De lucht stroomt nu met grote vaart, bijna laminair, eerst tussen fokzeil en grootzeil, daarna langs de hele lijzijde van het grootzeil. De grote wervel W aan de vóórkant oefent nog wel zijn zuigkracht uit, maar de terugstroom kan het grootzeil niet meer bereiken; de zuiging is nu de grootst mogelijke.

De drukverdeling op het grootzeil vertoont nog deze belangwekkende bijzonderheid: hoe meer we het achterlijk naderen, des te geringer wordt de druk aan de loefzijde; tenslotte gaat hij over in een zuiging, welke die aan de lijzijde dikwijls overtreft. Daardoor ontstaat het bekende ‘killen’ van het achterlijk: een onregelmatig fladderen en loefwaarts bewegen.

Met opzet naait men de zeilen hol, en laat ze voldoende losheid, zodat ze door de wind gewelfd worden: het is gebleken dat de wind sterker werkt op gewelfde dan op vlakke zeilen; de gunstigste

[p. 99]

welving heeft een pijl van de orde van 1/10 van de breedte.

Typisch zijn de afdekkingsverschijnselen die de ene zeilboot op de andere kan uitoefenen; ze zijn het duidelijkst als men vóór de wind zeilt of met ruime wind. Op afstanden kleiner dan twee

Fig. 50. Onderlinge afdekking bij zeilboten.

mastlengten blijkt het schip A de wind weg te vangen van het schip B; daarbij komt, dat door een merkwaardige terugwerking de wind nu nog iets sterker op A werkt dan wanneer B er niet was: de zuiging achter het zeil wordt versterkt. Onverwacht is ook, dat een boot C, die lijwaarts van de reeds afgedekte boot B voorbijgaat, vrijwel geen afdekkingseffekt ondergaat. Een der wonderlijkste manoeuvres die we met de zeilboot kunnen uitvoeren is het laveren, waardoor de boot tegen de wind in vooruitkomt. Het berust op een dubbele ontbinding van krachten (fig. 51). 1^o. De wind oefent op het zeil een kracht uit, waarvan de ene componente langs het zeil werkt, terwijl de voornaamste componente een loodrechte druk AB uitoefent. 2^o. De boot gehoorzaamt echter aan die kracht niet, omdat de romp, de beide zwaarden en het roer zulk een sterke weerstand bieden; min of meer vrij beweegt de boot alleen volgens zijn aslijn, alsof hij in die richting op geleidende rails liep. Van de winddruk AB zal dus alleen die componente AC een uitwerking hebben, welke een beweging volgens de aslijn van de boot veroorzaakt: ze doet hem schuin tegen de wind

Fig. 51. Het beginsel van het laveren.

in vorderen. (Helemaal is dit niet waar: de boot drijft altijd een weinig af, en wel kan zijn koers daardoor 3^o tot 10^o afwijken van de bedoelde). - Door nu afwisselend schuin naar rechts en schuin naar links te sturen, komt de boot tenslotte pal tegen de wind in vooruit.

Men heeft wel eens getracht te berekenen, onder welke hoek gevaren moet worden om bij het laveren zo snel mogelijk tegen

[p. 100]

wind in te vorderen. Zeilt men te scherp onder de wind, dan is de componente die het schip in beweging brengt te klein; zeilt men dwars op de wind, dan is de stuwende kracht aanzienlijk, maar de af te leggen weg wordt oneindig lang; daar tussenin is de gunstigste koers, waarvoor men heel aardig een hoek van 60^o met de windrichting berekent. De werkelijke omstandigheden zijn echter veel ingewikkelder; het is stellig onjuist, de kracht van de wind op het zeil evenredig te stellen aan de cosinus van de invalshoek. Het vraagstuk is aerodynamisch en kan niet tot de regeltjes der schoolmechanica herleid worden.

66. De stabiliteit van een schip in rust.

De volgende eenvoudige metingen geven ons een denkbeeld van de voornaamste methoden die men in de praktijk toepast. Men kan ze al bij een gewone roeiboot uitvoeren, maar moet bedenken dat dan allerlei formules niet zo goed meer uitkomen,

Fig. 52. Het onderzoek naar de stabiliteit van een schip.

welke verkregen zijn door de omtrekken van het schip door een rechthoek te benaderen. Het gemakkelijkst te onderzoeken is de stabiliteit om de lengte-as.

Vooreerst trachten we zo goed mogelijk een tekening op schaal te maken van de omtrek van het schip op de hoogte der waterlijn. Als we nog kunnen meten hoe diep de kiel onder water daalt, krijgen we een schatting van het verplaatste watervolume V, dus

[p. 101]

ook van het gewicht van het schip G. Door in het schip te meten hoe breed de romp op verschillende diepten is, krijgen we een dwarse doorsnede door het midden van het schip.

Evenals bij elk natuurkundig onderzoek naar stabiliteit, beproeven we het schip uit zijn evenwichtsstand te brengen door er een kleine storende kracht op te laten werken. We gaan bijvoorbeeld zelf op het dek staan, op een afstand d van het midden, en kijken hoe scheef het schip zich instelt door die asymmetrische belasting (fig. 52); beoordeel de helling aan de hoek tussen een schietlood en de mast of een aan de boot gespijkerd latje). Stel de helling φ grafisch voor als een functie van uw afstand tot het midden van de boot! Is het een grote boot, laat dan verscheidene helpers plaats aan dek nemen! De twee gelijke krachten P die op de boot werken, zwaartekracht en opwaartse druk, grepen eerst aan in het zwaartepunt Z en in het drukpunt D. Als de boot kantelt blijft Z op zijn plaats, maar D verschuift, in het geval van onze figuur naar D', rechts van D, omdat het ondergedompelde gedeelte van het schip rechts zoveel dieper dan links reikt; de lijn DD' is meestal ongeveer waterpas. Het koppel dat de boot terugdrijft naar de evenwichtsstand is gelijk aan het koppel dat we veroorzaakt hebben, door ons gewicht p een eind buiten het symmetrievak te brengen; dus:

Het punt M waar de opwaartse druk na kanteling de symmetrielijn van het schip snijdt, is het beroemde metacentrum, en de hoogte van M boven het zwaartepunt is de metacentrische hoogte h = MZ. Het is natuurlijk helemaal niet zeker dat dit ‘metacentrum’ werkelijk een vast punt ten opzichte van het schip is. Integendeel, in de praktijk blijkt algemeen dat de metacentrische hoogte verandert naarmate het schip verder helt; men beoordeelt de stabiliteit naar de metacentrische hoogte voor hellingen kleiner dan 15^o. Zij is meestal van de orde van 0,5 m. Zeer gevaarlijk is het als de metacentrische hoogte bij grote hellingen sterk afneemt: het schip kan dan in een storm kapseizen. De stabiliteit is des te groter, naarmate de metacentrische hoogte aanzienlijker is. Als men echter om dit te bereiken het zwaartepunt zo laag mogelijk tracht te leggen, wordt het schip te sterk onderhevig aan de werking der golven: ze grijpen op de hoogte van de waterspiegel aan, en beschikken dan over een lange hefboomsarm. Meestal heeft de scheepsbouwer een tussen-

[p. 102]

weg gezocht; men kan aannemen, dat zich het zwaartepunt, van de kiel gerekend, op ⅔ van de afstand tot het hoogste doorlopende dek bevindt.

Het is ook belangwekkend, de ligging van het drukpunt D te bepalen. Gewoonlijk bevindt zich dit op een diepte 0,40 T onder de waterspiegel bij schepen, 0,35 T bij kleinere boten, wanneer

Fig. 53.

T de grootste diepte onder de waterspiegel voorstelt die men in het vaartuig aantreft. Er is ook een betrekking die de afstand van het drukpunt tot het metacentrum aangeeft. We gaan uit van de dwarse doorsnede van het schip, die we getekend hadden en bepalen de inhoud S van de daardoor omsloten figuur, voor zover ze zich onder de waterspiegel bevindt (fig. 53). Als B de grootste breedte van het dek is, vindt men voor de afstand van het metacentrum boven het drukpunt¹⁾:



De ervaring leert, dat het oppervlak S slechts weinig kleiner is dan ⅘ BT, zodat men een eenvoudige formule voor de praktijk krijgt:



Een door mij onderzochte roeiboot had de vorm die in fig. 54 getekend is; de kiel lag 0,27 m onder de waterlijn, de totale

Fig. 54.

hoogte was 0,45 m. Ik schatte op het oog het volume van 't verplaatste water op 0,15 maal de inhoud van het blok, waarin de boot zou plaatsvinden; dus op 3,7 × 1,2 × 0,45 × 0,15 = 0,3 m³, het gewicht van de boot dus op 300 kg. Het zwaartepunt moest op ⅔ × 0,45 = 0,30 m boven de kiel liggen, dus ongeveer in de waterspiegel.

Als iemand, die 70 kg woog, 36 cm buiten de as van de boot

1) Zie b.v. Grimsehl, Lehrb. d. Phys. 1, 283, uitgave 1923.

[p. 103]

stond, helde deze over een hoek van 0,15 rad. De metacentrische hoogte was dus



; dit was dus tevens ongeveer de hoogte van het metacentrum boven de waterspiegel. Het drukpunt moet ongeveer 0,35 × 0,27 = 0,09 m diep hebben gelegen. Ter contrôle: volgens een andere van onze formules moet de afstand van drukpunt tot metacentrum



zijn; dit klopt wel met de vorige schattingen.

Op een dergelijke manier kan men de stabiliteit onderzoeken ten opzichte van de dwarse as van het schip, door vóóraan te gaan zitten, de overlangse helling te meten, enz.

67. De stabiliteit van de voortgaande beweging bij een schip.

We spreken van een stabiele bewegingsvorm, wanneer een kleine storing, die daarop heeft ingewerkt, langzamerhand vanzelf uitdempt; de beweging is integendeel labiel, wanneer zulk een storing vanzelf groter en groter wordt en het schip steeds verder van de oorspronkelijke bewegingswijze doet afwijken.

Laten we vooreerst eens onderstellen dat de kracht, die het schip voortbeweegt, in het middelpunt van het vaartuig aangrijpt (voorbeeld: centrale mast met symmetrisch zeil).

Hoe zonderling het ook moge schijnen, de beweging van het schip in de richting zijner lengte-as is nu labiel! De beweging in de dwarsrichting is daarentegen stabiel. Men zal dus verplicht zijn telkens met het roer de kleine afwijkingen te compenseren, die anders het schip steeds verder van zijn normale stand zouden verwijderen; als het aan zichzelf werd overgelaten, zou het zich altijd loodrecht op de bewegingsrichting instellen. Dit is tenslotte een bijzonder geval van de algemene stelling, dat lichamen die door een weerstandbiedende middenstof bewegen, zich meestal in de richting van de grootste weerstand instellen.

Hoe is het nu met een werkelijke zeilboot? De krachten, die de wind op een zeil uitoefent kunnen vervangen gedacht worden door één enkele kracht, aangrijpend in het zeilpunt. Dit punt ligt niet in het meetkundige middelpunt van het zeil, maar altijd dichter naar de aanblaasrand toe (de rand van waar de wind aankomt). Of de beweging van de boot stabiel of labiel is, hangt af van de ligging van dit zeilpunt ten opzichte van het lateraalpunt = het punt, waarin de weerstandskracht van het water aangrijpt. Het duidelijkst merkt men de eigenschappen van het vaartuig bij halfwind (wind loodrecht op de vaartrichting). Ligt het zeilpunt te

[p. 104]

ver naar achteren, dan wordt de boot ‘wreed op het roer’ (loefgierig): hij wil oploeven en zijn steven tegen de wind in richten. Ligt het meer naar voren, dan is de boot ‘flauw op het roer’ (‘lijgierig’) en heeft neiging af te houden, zich met de wind mee te richten.

Bij een stoomboot, die met een schroef aan de achtersteven wordt aangedreven, is de beweging natuurlijk in sterke mate labiel. Het schip kan zijn koers slechts behouden, doordat de roerganger voortdurend de instelling van het roer wijzigt. Deze kleine zigzagbewegingen van het schip zouden ook in een ideaal rustige zee onvermijdelijk zijn.

Door deze beschouwingen kan men de volgende eenvoudige waarnemingen verklaren¹⁾:

1.	Veel van de scheepjes die de kinderen over waterplassen laten varen, kunnen met geen enkele instelling van zeilen of roer behoorlijk voor de wind zeilen, omdat hun zeilpunt niet voldoende naar voren ligt; ze leggen zich altijd na korte tijd dwars op de wind.
2.	De tros van een schip dat men door een kanaal voorttrekt is gewoonlijk aan de zijde van dat schip bevestigd. Men ziet altijd de tros zich zó instellen, dat hij de as vóór het middelpunt treft.
3.	Als men een roeiboot schuin tegen de wind in roeit, moet de riem aan de lijzijde harder roeien, om te verhinderen dat de boot dwars op de wind zou gaan liggen. Iets dergelijks merkt men bij het sturen van een zeilboot.

1) W. Thomson en P.G. Tait, Treatise of Natural Philosophy; Cambridge 1879.

68. De beweging van een schip in volle zee.

Heeft u wel eens op de brug gestaan van een groot stoomschip, bij opklarend weer, als zon en blauwe lucht al stralen tussen de wolken, terwijl de zee nog woest is en sneeuwwit schuim de golven bekroont? Dan kunt u zien hoe schoon het schip tussen de zeeën beweegt, hoe die combinatie van kromme banen en versnellingen en traagheidskrachten, die geen mechanica beschrijven kan, een eigen gevoelswaarde heeft, een epische grootsheid als die van oude heldensagen. Telkens weer bukkend en telkens zich verheffend, eentonig in hardnekkigheid en toch nukkig in veelvormige deiningen, baant het zich een weg door de eindeloze watermassa.

De spraakmakende gemeente zelf heeft al aangegeven hoe men de grillige beweging van het schip in twee trillingscompo-

[p. 105]

nenten kan ontbinden, door het invoeren van de woorden slingeren (om de lengte-as) en stampen (om de dwarse as).

Om een denkbeeld te krijgen van het bedrag waarover het schip helt, kan men bijvoorbeeld een schietlood ophangen, en kijken hoeveel dat uitwijkt; of in de badkamer meten hoe scheef de waterspiegel in de badkuip schijnt te staan bij de ergste hellingen die het schip krijgt. Maar bij dergelijke waarnemingen merkt men al gauw dat de traagheid van schietlood of watermassa tot fouten aanleiding geeft: ze stellen zich niet onmiddellijk in volgens de ogenblikkelijke stand, en ze schommelen nog na.

Fig. 55. Het meten van de slingering van een schip.

U bedenkt echter vanzelf een beter middel, als u aan dek bent en de gezichteinder op en neer ziet gaan ten opzichte van de reling van het schip, des te meer naarmate dit sterker helt (fig. 55). Een lijn van ons oog naar de gezichteinder is altijd horizontaal; stel we staan op een afstand y van de reling, en we zien de horizonlijn zich over een hoogte x langs het hekwerk verplaatsen, dan is tg α = x/y. Meestal zijn de hoeken zo klein, dat x/y rechtstreeks α in radialen geeft. Niets is eenvoudiger dan enkele merkstrepen (bv. op 5 cm van elkaar) op een der loodrechte stangen van de verschansing te tekenen; zich op een vaste, eens en vooral gemeten afstand van daar op te stellen, en de hoogte in cm te bepalen waarover de horizonlijn op en neer gaat. U kunt de bepaling evengoed in de lengterichting als in de dwarsrichting uitvoeren, en zo het slingeren en het stampen achtereenvolgens bepalen.

Bij rustig weer blijven op een oceaanschip de uitwijkingen dikwijls binnen 1^o. Bij storm worden ze 10^o en meer. Het is

[p. 106]

leuk om het verband na te gaan tussen het bedrag der schommelingen en de verschijnselen van zeeziekte onder de passagiers! Men merkt dat schommelingen, die de eerste dagen erg hinderlijk waren, tegen het einde der reis niet meer als onaangenaam worden gevoeld.

Hoe de beide bewegingen, stampen en slingeren, zich samenstellen, kan men het best waarnemen door op een lichte nacht de beweging van de mast te volgen tussen de sterren. Hij beschrijft een ingewikkelde kromme, die de hellingen van het schip geheel en al weergeeft. Het slingeren overweegt als de wind dwars is, het stampen als hij van voren waait.

De nauwkeurigheid van het sturen kan men beoordelen door na te gaan hoeveel een stang of een mast zich schijnt te verplaatsen ten opzichte van de maan, de sterren, of verre wolken; daarbij moet men zelf natuurlijk geheel onbewegelijk ten opzichte van het schip blijven. Men ziet dan hoe het schip nu eens iets meer naar rechts, dan naar links afwijkt (§ 67).

Bij flinke deining heeft het schip een sterke neiging om heen en weer te zwaaien, zijn koers wordt zeer onvast en het maakt een eigenaardige kwispelbeweging die de volle aandacht van den roerganger vereist; dit is vooral zo wanneer de deining schuin van achteren komt. In een golfberg bewegen namelijk de waterdeeltjes vooruit, in een golfdal achteruit; telkens als de voorsteven zich in een achterwaarts stromende watermassa bevindt, de achtersteven in een voorwaartse, zal de toestand sterk labiel zijn en het schip de neiging hebben dwars op de deining te gaan staan. Daar komt bij dat het roer sterker of minder sterk werkt, al naar gelang het zich in meebewegend of tegenstromend water bevindt.

69. Het slingeren van het schip.

We onderzoeken nu meer in het bijzonder het slingeren, om de gedachten te bepalen; maar onze waarnemingen zijn even goed toepasselijk op het stampen.

Het onderzoek van het slingeren moet eigenlijk in rustig water beginnen. Met een roeiboot is het heel eenvoudig de eigen periode van de slingerbeweging te bepalen: men gaat rechtop in de boot staan, buigt zich afwisselend een weinig naar rechts en naar links, voelt gemakkelijk in welk tempo men dit doen moet om de beweging te versterken, en bepaalt de duur van een twintigtal slingeringen. Hieruit volgt dan de duur van één enkele slingering. Bij een schip laat men de hele bemanning op kommando

[p. 107]

tegelijk van de ene zijde van het dek naar de andere rennen, en dan weer terug, en dan nog eens: ik heb het nooit geprobeerd, 't moet een grappige vertoning zijn!¹⁾

Het is interessant na te gaan hoe de slingertijd van de amplitude afhangt. Al naar gelang van de vorm van de kiel zal hij bij toenemende amplitude toe- of afnemen.²⁾

Een zeer kenmerkende eigenschap van een schip is de wijze waarop een slingering uitdempt. Men brengt het schip aan het slingeren, en bepaalt de reeks achtereenvolgende uitwijkingen, door nauwkeurig opnemen van de horizonlijn (§ 68). Noem die hellingen φ₁, φ₂, φ₃ .... en hun verschillen Δφ₁₂, Δφ₂₃, .... Meestal is Δφ = A + Bφ²; de coëfficiënten A en B zijn kenmerkend voor elk schip. Ongelukkig is zulk een proef op een roeibootje weinig nauwkeurig, en op een groter schip voor een passagier niet uitvoerbaar.

De periode voor het stampen is meestal slechts de helft van die voor het slingeren, daar het terugdrijvende koppel zoveel groter is.

De vraag is nu wat er gebeurt als een boot of schip in volle zee komen, waar de golven er onregelmatig tegen beuken: er is dus nu ‘een uitwendige kracht die op een stelsel met eigen trillingstijd inwerkt.’ - Als de golven streng periodiek aan kwamen deinen, zou de invloed van de eigen trillingstijd van het schip weldra verdwijnen, en het zou uitsluitend in het tempo van de golfslag slingeren; hoe meer deze periode in de buurt ligt van zijn eigen trillingstijd, hoe groter de amplitude waarmee het schip slingert. Stel u nu echter voor dat de golven slechts één enkele stoot geven, dan een tijd lang niets, dan weer een stoot, enz. telkens met onregelmatige tussenruimten; het is duidelijk dat het schip dan telkens zal uittrillen met zijn eigen trillingstijd. In werkelijkheid geldt een tussengeval, want de golven komen op de meest onverwachte en grillige wijze aangestormd. Meestal kan men wel groepjes van 3 of 4 duidelijke slingeringen onderscheiden, waarvan men de duur bepalen kan, dan ineens volgt een ogenblik van twijfel en verwarring, en dan schommelt het schip weer even regelmatig; bij zeer verschillend weer, in verschillende oceanen (dus bij verschillend lange deining), altijd vindt u ongeveer dezelfde slingertijd. Blijkbaar is dat wel de eigen periode van het schip; groepjes golven die met een andere periode komen aanzetten geven het schip slechts

1) Over de invloed van het omringende water, dat mee in beweging komt, op de trillingstijd: zie Ingen. Arch. 4, 103, 1933.

2) Duhil de Bénazé en P. Risbec, C.R. 76, 1466.

[p. 108]

een zeer geringe beweging. In het algemeen is de eigen slingering van het schip langzamer dan de periode der golven. Als het echter met wind en deining mee vaart, wordt de periode waarin de deiningsgolven het bereiken zoveel vergroot, dat het schip soms in resonantie komt en sterk gaat slingeren.

De eigenaardigheden der slingerbeweging zijn bij elk schip weer anders, al naar gelang van de vorm van de kiel, de verdeling der massa's, de bemasting, enz. Er zijn in dit opzicht evenmin twee gelijke schepen als men ooit twee mensen met gelijk karakter ontmoet. Onbewust beoordeelt de zeeman meer het geheel dan de afzonderlijke elementen. - Let echter toch op de volgende kenmerken:

hoe groot is de amplitude der maximale slingerbeweging bij zwaar weer?

hoe groot is de amplitude der gemiddelde slingerbeweging in normale omstandigheden?

hoe lang is de periode der slingerbeweging?

is de terugkeer tot de evenwichtsstand abnormaal snel vergeleken met de tijd die nodig was voor de uitwijking?

doet een windvlaag het schip sterk overhellen? (vooral van belang bij een zeilschip). Is het schip ‘rank’ of ‘stijf’?

De meting van de absolute slingerbeweging door het turen naar de gezichteinder is in § 68 uiteengezet. We zullen nu een toestelletje beschrijven om de relatieve slingerbeweging te onderzoeken: dit is de slingerbeweging van het schip ten opzichte van het wateroppervlak waarop het op elk gegeven ogenblik drijft. Wanneer het zich dus op de schuine helling van een golf bevindt en zich intijds onder dezelfde helling instelt, is er geen relatieve slingerbeweging; maar als het dat tengevolge van zijn traagheid niet intijds doet, of in andere gevallen nog meer helt dan de golf zelf, dan is die relatieve slingerbeweging er wel. Ons toestelletje is nu eenvoudig een zeer korte slinger, tenminste 10 maal sneller slingerend dan de golven, dus b.v. een slinger van 10 cm, die in ongeveer 0,6 sec heen en weer gaat. Hij moet zo dicht mogelijk bij de draaiingsas van het schip opgehangen zijn. Een dergelijke slinger geeft voortdurend de resultante aan van de zwaartekracht en van de traagheidskrachten die door de translatiebeweging van het schip ontstaan (versnellingen, vertragingen). Maar juist loodrecht op diezelfde resultante staat het oppervlak der watergolf: de kleine slinger geeft dus de richting aan van de normaal op de golf. Heeft men, toen het schip in rust was, de stand van de kleine slinger door een

[p. 109]

merkteken aangegeven, dan zal de relatieve slingerbeweging zich documenteren door een afwijking van het slingertje.

Als de eigen slingertijd van het schip kleiner is dan √2 maal de periode van de golven, slingert het schip met grotere hellingen dan die van de golven; is zijn slingertijd groter, dan krijgt het kleinere hellingen. In het eerste geval gaat het door de vertikale stand vóór de golfberg of golfdal het bereikt, in het tweede geval gaat het daarna door die stand.

Met een heel lange slinger zou men de absolute slingerbeweging kunnen meten; hetzelfde dus, wat wij reeds in § 68 door waarneming van de kim hadden bereikt. Een slinger die een slingertijd van 60 sekunden heeft, is bijvoorbeeld al zo langzaam dat de golven hem niet in beweging brengen, en hij dus altijd de ware loodlijn aanwijst. Maar zulk een slinger is niet met eenvoudige middelen te verwezenlijken.