Oeuvres complètes. Tome XXI. Cosmologie

[p. 389]

Considérations ultérieures sur la forme de la terre,
entremêlées de quelques considérations sur les variations de la longueur du pendule à secondes etc. et sur la cartographie.
[novembre et décembre 1687]

§ 1¹⁾. Si terra sphaerica est, invenimus in libello de Causis gravitatis, diminutionem ponderis absoluti sive quod esset in terra quiescente, esse sub aequatore in E [Fig. 103] 1/289²⁾.

In ∆^o DCZ datur angulus C ∞ 49^o + 90^o3). Unde în puncto D invenitur diminutio ∞ 1/440½ ponderis absoluti; nec refert ad hoc an D punctum intelligatur in superficie Terrae sphaericae an Ellipticae VDY. dummodo DO eadem maneat.

Ex cognita ratione laterum KD ad DH et angulo KDH 49^o quaeritur ang. DKH. Et primo latus HK. Operatio ex regula nostra, quae ante folia aliquot⁴⁾.

1) Les §§ 1-9 sont empruntés au Manuscrit F, p. 298-303. La date du 6 novembre 1687 se trouve à la p. 297 et celle du 3 décembre 1687 à la p. 311.

2) Par ‘libellus de Causis gravitatis’ il ne faut pas entendre précisément la Pièce ‘De la Cause de la Pesanteur’ - voyez la Pièce de la p. 379 qui précède - telle que Huygens l'avait envoyée à d'Alencé en juin 1687. En effet, dans cette Pièce, Huygens s'était contenté de dire, comme dans son discours académique de 1669, que la vitesse de la matière fluide qui, à son avis, cause la pesanteur, est ‘à peu prés 17 fois plus grande que celle d'un point de la Terre situé sous l'Equateur’. Ce n'est que dans un alinéa ultérieur du ‘Discours’ tel qu'il sut publié en 1690 que Huygens ajoute (voyez la p. 462 qui suit) qu' ‘il faut que le mouvement de la Terre, tel qu'il est maintenant, oste une partie de la pesanteur, qui soit à la pesanteur entiere comme 1 au quarré de 17’. Comparez ce qu'il disait déjà en 1659 (T. XVI, p. 304).

3) En d'autres termes: la latitude de l'endroit considéré est de 49^o. C'est apparemment à la ville de Paris que Huygens songe, quoique la ‘latitudo Paris a Notre Dame’ du § 9 qui suit soit un peu plus petite.

4) Cette règle trigonométrique se trouve en effet à la p. 292 du Manuscrit F. Nous l'avons publiée aux p. 455-456 du T. XX.

[p. 390]

[Fig. 103]
Les poles de la terre sont en P et Q.

In puncto D talis esset perpendiculi à centro C declinatio, nempe 5 min. 54″. Sed superficies liquidi ita sese hic componet ut perpendiculum ipsi sit ad angulos rectos. Producatur perpendiculum WD in Z. dabitur jam ratio CO ad OZ quae est lateris transversi ad rectum, si ellipsis est VDY.

⁵⁾⁶⁾

5) Le grand et le petit diamètre d'une ellipse étant respectivement désignés par 2a et 2b, on a: latus rectum = a²/b, latus transversum = b, donc .

6) Comparez sur cette fraction le § 2 qui suit.

[p. 391]

§ 2. Sed secundum aequilibrium canalium ut apud Neutonum⁷⁾ debebat esse excessus [CV-CY] 1/578 meo calculo.

Comme ce calcul - voyez sur le résultat le § 12 qui suit - se trouve aux p. 313 et suiv. du Manuscrit F, il paraît probable que le présent passage, emprunté à la p. 299, date d'un peu plus tard que la majeure partie du texte de cette page.

Imo ... 100000/173 ∞ 578 ... correcto calculo invenio etiam 1/578.

Ceci s'applique au calcul du § 1. Pour l'angle DKH ou KDW de la Fig. 103 Huygens avait pris d'abord (d'ailleurs, si nous voyons bien, sans achever le calcul) 6′ au lieu de 5′54″. Nous nous sommes contentés de reproduire dans le § 1 son ‘calculus accuratior’ où il se sert de cette dernière valeur, et où il trouve pour la fraction considérée 173/100000 c.à.d. 1/578.

Ses calculs (§ 2 et § 12) lui fournissent donc l'un et l'autre la fraction 1/578. (et celui du § 4 donne le même résultat).

Ergo CV - CY ∞ 1/578 ½ axis minoris CY.

Ceci dans l'hypothèse - du moins dans le cas du calcul du § 1 - d'une forme sphéroidale. Mais les §§ qui suivent (§ 4, § 7, § 12) font voir que le calcul de Huygens ne conduit pas précisément à cette forme adoptée, nous l'avons dit, par hypothèse.

§ 3. Ut pondus absolutum ad pondus in

[Fig. 104]

E ita EH ad HG [Fig. 104].

Comme EH = b, il s'ensuit que

Il en résulte qu'à un rapport EH/HG = 289/288 correspond le rapport , autrement dit que , conformément aux §§ précédents et suivants.

7) Prop. XIX, Probl. III du Lib. III des ‘Principia’ de 1687. Au lieu de la fraction 1/578 Newton y trouvait 1/229, comme nous l'avons dit aussi dans l'Avertissement.

[p. 392]

Nous n'avons pas voulu omettre la Fig. 104 avec le petit calcul correspondant quoique nous ne voyions pas pourquoi Huygens donne au calcul cette tournure.

On voit aussi dans la Fig. 104 un canal newtonien ESP (où SE = ½a). Huygens écrit: EX diminutio gravitatis in tubulo SE. Il faudrait donc écrire ensuite que cette diminution du poids, due à la force centrifuge, est telle que l'eau de la partie SE sait équilibre à celle de la partie SP, et tâcher de tirer de là une valeur pour le rapport b/a. Le calcul ébauché par Huygens et que nous ne croyons pas devoir reproduire, est apparemment incorrect et il ne peut y avoir attaché aucune valeur: ce calcul le conduit au résultat a ∞ b.

§ 4. Si terra esset sphaerica, tum gravitas absoluta ad vim centrifugam in E [Fig. 105] sicut 289 ad 1. Sed vis centrifuga in E ad eam quae in D est ut EC ad DO. Ergo gravitas absoluta ad vim centrifugam in D habet rationem compositam ex 289 ad 1 et ex EC ad DO.

[Fig. 105]
M ou plutôt Y est un pole de la terre, V un point de l'équateur.

[p. 393]

Ergo hinc forma ellipseos per D constituendae cognoscitur. cujus latus transversum ad rectum ut 288 ad 289, hoc est in qua CY ad CV ut √288 ad √289, hoc est ut 288½ ad 289 proxime, hoc est ut 577 ad 278, proxime [conformément au résultat du calcul du § 1: voyez le § 2].

Et punctum D in sphaeroide habebit elevationem poli 49^o.5′.6″ [lisez 49^o5′54″]. Est quidem punctum D et superficies liquidi ibi collocati in sphaeroide par D descripta, centrumque habente C punctum, et rationem lateris transversi ad rectum datam ac constanter eandem, sed si aliud punctum in circumferentia ED π assignatur ut π, invenietur etiam hic superficiem liquidi in sphaeroide esse, centrum C habente, et rationem lateris transversi ad rectum eandam quam sphaeroides VDY, sed non erit huic eadem sed similis, quippe quae per π transibit manente eodem centro C.

Videndum ergo an posita ellipsi VDY, et proportione KD ad DH ea quae gravitatis absolutae ad vim centrifugam in D puncto, an inquam, sumto alio in ellipsi eadem puncto θ, et facto ut sicut DO ad θρ ita DH ad θλ, et θμ ∞ DK, an tunc θζ parallela μλ, occurrat ellipsi VDY ad angulos rectos.

Remarque ajoutée plus tard: Hoc non poterit fieri, quia pag. 13 (numération de Huygens, correspondant à la p. 312 du Manuscrit F) inventum est lineam hanc curvam non esse ellipsin.

[Fig. 106]

Sed hoc per aequilibrium canalium. Hoc tantum itaque possumus ut ostendamus, in singulis terrae sphaericae punctis, aquae superficiem componi secundum superficies sphaeroidum similium circa centrum C et axem CYM constitutorum, quarum sphaeroidum forma ac proportio axium cognoscitur. Et quia omnes vix a sphaera telluris diversae sunt, sequitur ipsam hanc sphaeram ejusmodi sphaeroidis formam affectare. quam tamen non perfecte assequitur. Fit enim alius naturae curva atque ea uno casu, cum nempe vis centrifuga sub aequatore ponitur gravitati aequalis, fit parabola [Fig. 106] ut apparet pag. 12 et 13⁸⁾.

§ 5. Pedes ½ diam. terrae 19600000⁹⁾.

[19600000/587 = ] 33390. tot pedibus terrae semidiameter sub aequatore superat ½ diametrum ad polos.

C'est apparemment par erreur que Huygens prend ici 1/587 au lieu de la fraction trouvée 1/578. Cette dernière lui aurait donné 33901 ou, si l'on veut, 33900 pieds.

8) Voyez les §§ 10 et 11 qui suivent.

9) D'après la ‘Mesure de la Terre’ de 1671 de J. Picard la longueur mesurée d'un certain degré est de 57060 toises - comme Huygens le dira dans l'Appendice I qui suit - ou 6 × 57060 pieds, ce qui conduit, en supposant les longueurs de tous les degrés égales entr'elles, à une valeur d'à peu près 1961 5800 pieds pour le demidiamètre de la terre.

[p. 394]

[33390/5000 = ] 6⅔ mill. anglic. [ou plutôt, pour 1/578, 6.78 mill. angl.]¹⁰⁾.

12 ⫟ 5 - 6⅔/2 7/9. tot milliaribus gallicis pedum 12000 [ou plutôt 2 33/40 ou 2,825 mill. gall.]

§ 6. Sit VL ∞ VC [Fig. 107] referens gravitatem absolutam, VG vim centrifugam in V puncto, sive diminutionem gravitatis [l'une et l'autre évidemment en grandeur,

[Fig. 107]

non pas en direction]. Erit LGCM gravitas tota canalis CV. sive ▭ NM, secta VG bifariam in N.

Tota vero gravitas canalis CY est ▭ VY.

Ergo haec aequalia, nempe ▭ VY et ▭ NM.

Ergo VN ∞ VC - CY. Ergo VG ∞ dupla differentiae VC - CY.

Hinc si VC ∞ 2 CY, oportet vim centrifugam VG ipsi VL sive VC, hoc est, ipsi gravitati absolutae aequalem esse.

Nulla ergo figura ex materia liquida gravi versus centrum et circa axem revoluta formari potest in qua semidiameter VC major sit quam dupla CY. Si enim esset ejusmodi, jam deberet vis centrifuga major esse gravitate absoluta. ac proinde gravia in V posita à centro C aufugerent.

§ 7. Cum KD ad DH [Fig. 108] ut gravitas

[Fig. 108]

absoluta ad vim centrifugam in D, tunc rectae KH parallelum erit perpendiculum in D, nempe PD. Ideoque superficies liquidi in D sese componet ορθογονως ad PD.

DK ∞ VC. DH ∞ ½ VG. Ergo KD ad DH ut gravitas absoluta ad vim centrifugam in D. D ∆ parallela KH deberet am occurrere ellipsi ad angulos rectos¹¹⁾

10) Comparez I. Newton ‘Philosophiae naturalis principia mathematica’ 1687, Prop. XIX du Lib. III: ‘cùm Terrae semidiameter mediocris juxta nuperam Gallorum mensuram, sit pedum Parisiensium 19616800 seu milliarium 3923, posito quod milliare sit mensura pedum 5000 ...’

11) Les équations écrites et celles qui suivent font voir que le cas particulier considéré par Huygens est le suivant. La terre est censée tourner avec une vitesse telle que la force centrifuge à l'équateur est pour tout corps égale au vrai poids. Suivant le § 6 l'axe CV [Fig. 108] serait alors le double de l'axe CY. Il est vrai que suivant la fin du § 4 la terre dans ce cas n'aurait pas la forme d'un sphéroïde, mais cette remarque finale du § 4 date de plus tard. Ici Huygens suppose apparemment que même dans ce cas limite la forme sphéroïdale subsisterait. Et il ad met de plus que la vraie pesanteur est la même en chaque point de la surface. Il s'agit d'examiner si, dans ces hypothèses, la résultante de la force centrifuge et de la pesanteur en un point donné de la surface est normale à cette dernière; ce qui paraîtra ne pas être le cas, de sorte que l'ensemble des hypothèses se montrera inadmissible.
Le point choisi D est tel que DO = b = la moitié de VC ou 2b, l'axe CY étant égal à b. La force centrifuge en D est donc la moitié de celle en V, autrement dit la moitié du vrai poids en D (ou ailleurs): DH = ½KD (ou ½VC). - VL(ou VG) est dans la Fig. 108 égale à VC comme dans la Fig. 107; mais ceci n'importe guère. - Le triangle CD∆ est semblable au triangle DKH, donc ‘DC ad C∆ ut 2 ad 1’. Quant à l'équation ¾bb ∞ xx, d'où résulte 7/4 bb ∞ qu. DC, elle provient, peut-on dire, de l'équation de l'ellipse en y prenant y (ou OD) = b, de sorte que, pour x = OC, x² = ¾b².
Or, en supposant ∆D normale à l'ellipse, on aurait DS: DO = b² : 4b² (rapport des carrés des axes) - nous avons ajouté la lettre S à la figure - ce qui, en prenant , conduit à l'équation absurde ‘9bb ∞ 7bb’.
Dans l'alinéa qui suit cette dernière équation Huygens fait une autre hypothèse sur la position du point D. La recherche du rayon de courbure en Y fait voir que la courbe VSY ne peut être une ellipse.

[p. 395]

Si punctum D proxime ad Y accipiatur, apparebit facile DO fieri duplam ∆ C. nam quia vis centrifuga in V ad eam quae in D, sicut VC ad DO hoc est ut KD ad DO (nam KD sumitur ∞ VC) atque etiam ut KD ad DH, ideo DO ∞ DH. Sed ut KD ad DH ita DC ad C ∆. Et sumpto puncto D proxime ad Y fit KD dupla DC. Ergo tunc et DH dupla ∆ C, ideoque et DO dupla ∆ C. Ergo convexitas curvae ad Y erit quanta circumferentiae radio TY descriptae.

Remarque apparemment ajoutée plus tard:

Curvae YDV naturam aequatione expressam habemus folio ab hinc 4^o.¹²⁾ quae angulum ad V cum recta CV facit 45 gr. Et cui ad datum punctum D tangens ducitur, ponendo ut VC ad CD ita sit OZ ad CZ. Sed et aliter ut ibi ostenditur. Imo curva haec nihil aliud est quam parabola, vertice Y, axe YT. latus rectum ∞ 2CV.

12) § 10 et suiv.

[p. 396]

§ 8. Longueur du pendule sous le pole a celle du pendule sous l'equateur comme 289 ad 288.

En laissant donc le pendule sous l'equateur de 289 au lieu de 288, il ira trop lentement, et le nombre de ses vibrations en 24 heures au nombre des vibrations qu'il feroit s'il estoit de 288, sera comme √288 ad √289. C'est a dire comme 288 à 288½ assez pres ou comme 288½ a 289 ou comme 577 a 578.

578 ⫟ 577 - 86400/86250½

[Fig. 109]

Donc si, estant de 288, il faut 86400 vibrations en 24 heures, qui seront autant de secondes, il fera, estant de 289, 86250½ vibrations en 24 heures. C'est a dire qu'il retardera de 149½ secondes, qui sont assez pres 2½ min.

§ 9. Latitudo Paris. 48.51′50″ a Notre Dame.

Ex regula. Sicut qu. EC ad qu. DO [Fig. 109] ita diminutio penduli in E ad diminutionem ejus in D¹³⁾.

^14)15)16)

13) Voyez sur cette règle l'Avertissement qui précède.

14) Appelant x l'accourcissement à Paris et β la latitude de cette ville, on a d'après la règle x : 1/289 = DO², donc x = 1/289 cos² β, d'où .

15) Lorsqu'on transporte à l'équateur une horloge marchant bien au pole, la longueur du pendule restant par hypothèse la même, elle retardera en un jour de 60.60.24/2.288 ou 150″, ce qui d'ailleurs a été calculé au § 8. Ailleurs le retardement journalier sera de 150 cos² β secondes.

16) Voyez sur l'observation de Richer la note 3 de la p. 376 qui précède où nous renvoyons aussi à l'Appendice II de la p. 405 qui suit.

[p. 397]

c numerus vibrationum AC penduli [Fig. 110]. [AC = b, AB = a]. a ⫟ √ab - c/c √ab/a numerus vibrationum AB.

[Fig. 110]

a - a - √ab - c/c - c√ab/a

Suivent des calculs sur le retardement du pendule pour toutes les latitudes de 1^o à 89^o. Ils sont analogues à celui pour le retardement à Paris. P.e. pour 52^o:

Nous avons fait mention aux p. 639 et suiv. du T. XVIII des observations de Huygens dans les pages suivantes du Manuscrit F sur le rapport de de Graaf sur l'expédition de 1686-1687 au Cap de Bonne Espérance,

[p. 398]

§ 10¹⁷⁾. 3 Dec. 1687. Sit YC ∞ b. CV ∞ x [l'un et l'autre apparemment dans une figure analogue à la Fig. 111; dans la Fig. 112 Huygens prendra YC ∞ b]. p vis centrifuga in V aequalis gravitati absolutae.

[c.à.d. CV = 2YC. Fig. 111]

[Fig. 111]

Cum ponatur vis centrifuga in V aequalis gravitati absolutae: erit ½px vis centrifuga canalis VC. quae ablata à pondere canalis CV, quod est px, relinquitur ½px pro pressione canalis VC versus C, quae aequalis debet esse pressioni canalis VC versus C, quae aequalis debet esse pressioni canalis YC versus C, quae est bp. Hinc sit CY ∞ ½CV. Ita semper sequitur ratio CV ad CY ex data ratione vis centrifugae in V ad pondus absolutum.

Sit a ∞ VC [Fig. 111]. p pondus absolutum cui aequalis vis centrifuga in V puncto.

a - y - p/py/a vis centrifuga in D. Potuissem ponere a etiam pro pondere absoluto, loco p.

momentum gravitatis quod vis centrifuga in D, in canali DC, aufert a pondere absoluto tendente versus C. Sit DS hoc momentum ratione CV ponderis absoluti. Jam in punctis intermedij canalis DC erit hoc momentum ut applicatae in ∆^o CDS.

Pondus absolutum minus ½ DS ducitur in DC: tumque hoc productum efficit totum pondus aquae in canali DC, premens versus C: quod aequari debet ponderi YC canalis versus C prementis in quo nulla vis centrifuga unde hoc pondus fit ex YC ducta in p seu VC¹⁸⁾.

Ex pressione aequali in canalibus DC, YC quaesivi punctum D in curva YDV, ponendo CO ∞ x et OD ∞ y, unde fit aequatio naturam curvae exprimens. Hui curvae tangentem ex methodo duxi MD, fit OM .

17) Les §§ 10-14 sont empruntés aux p. 311-314 du Manuscrit F.

18) Ou plutôt: p aurait été égale à VC, si Huygens avait pris ‘a pro pondere absoluto’.

[p. 399]

d'où se tire la soustangente OM écrite plus haut suivant la règle que Huygens démontre dans la Pièce académique de 1667¹⁹⁾.

Ajouté plus tard: Haec omnia brevius poterant peragi si animadvertissem parabolam esse.

§ 11²⁰⁾. Hic quasi tota Tellus ex aqua composita esset ponimus. Et aquas canalium DC, CY [Fig. 112] sese mutuo sustinere seu aequilibres esse ut altera alteram non pellat loco.

In Canali CY nulla est aquae vis centrifuga. At in canali CD; quae quantum faciat ad premendum secundum CD, et pro particularum distantia ab axe CY, consideravimus in hoc calculo. Vis centrifuga aquae in canali CD contentae aequatur necessario vi centrifugae aquae si impleatur ea canalis DO, quae est ½nyy/a (p pondus absolutum, CV ∞ a.n vis

[Fig. 112]

19) ‘Regula ad inveniendas tangentes linearum curvarum’, T. XX, p. 243-255.

20) Dans ce § il n'est plus supposé, comme au § 10, que la force centrifuge à l'équateur soit égale à la pesanteur.

[p. 400]

centrifuga in V), ut facile apparet si imaginemur quasi particulae canalis DO singulae in suas vires centrifugas ducantur, hoc enim idem est ac si dimidia DO ducatur in vim centrifugam extremae particulae D.

²¹⁾

Sit y ∞ 99/100 a. yy ∞ 9801/10000 aa. fit x ∞ ⅛ a proxime. Ergo cum y fere aequalis a fit x major quam ⅛ a. Ergo figura jam tunc ad verticem V rotunditatem habet quando virtus centrifuga ∞ ½ ponderis absoluti.

21) Comparez la note précédente. Ici Huygens prend ‘a = pondus absolutum’, ce qu'il ne fait plus dans les dernières lignes de ce § ni dans les §§ 12 et 14.

[p. 401]

sed b ∞ a - ½an/p quia ap - ½an ∞ bp, hoc est quia pressio canalis VC debet aequilibris esse canali CY. Ergo . Ita non opus est b. Hic si n ∞ p fit , unde parabola ut videre est pag. 12 [c.à.d.à la p. 311 du Manuscrit F, § 10 qui précède]. cujus latus rectum ∞ 2a. vertex Y, axis YC. § 12. . Natura curvae melius quam pag. praecedenti. Cette équation provient de la substitution de a - ½an/p à b dans l'équation du § 11 .

Si n minima, fit xx ∞ aa - yy fere, hoc est circulus proxime.

Sit n ∞ ½ p. fit xx ∞ 9/16 aa - ⅝ yy + 1/16 y⁴/aa. Sit y 99/100 a.xx ∞ 9/16 - 49005/80000 +

Si n/p ∞ 1/100 vel similis fractio exigua fit xx ∞ 99/100 aa - 99/100 yy proxime. Ellipsis.

Si n/p ∞ 1/289 fit xx ∞ 288/289aa - 288/289yy. Ellipsis cujus latus rectum ad transversum ut 288 ad 289. Ideoque axis minor ad majorem ut 288½ ad 289 proxime, hoc est ut 577 ad 578.

§ 13. Pour faire une Carte Platte du demy globe de la Terre dans laquelle les degrez des meridiens seront egaux entre eux et aux degrez de

[Fig. 113]

l'Equateur. Et dans chaque parallele les degrez aussi egaux et dans la vraije proportion aux degrez de l'Equateur.

On placera facilement dans cette carte [Fig. 113] chaque lieu en sa longitude et latitude.

On aura sur une mesme escelle les lieues de leur longitude. Celles des Latitudes auront pour escelles la partie de leur meridien comprise entre les paralleles qui enferment ces lieux²²⁾.

22) ‘Projection de Flamsteed’, comme nous le disons aussi dans l'Avertissement.

[p. 402]

Les quarrez seront de 10 degrez.

Cette carte pourra representer assez bien la figure des Terres. mais celle qui est avec des meridiens paralleles et les degrez de Latitude croissants suivant les secantes des latitudes²³⁾ sont plus commodes pour prendre la longitude et latitude des lieux qui y sont marquez et ils ont les rumbs²⁴⁾ exprimez par des lignes droites.

Si f ∞ a [c.àd. si la force centrifuge à l'équateur est égale à la pesanteur] fit

Sit n ∞ ½p. ergo a ∞ ½f, 2a ∞ f.

23) C'est ce qu'on appelle généralement la projection de Mercator. Comparez sur cette projection l'Appendice III qui suit.

24) Ou loxodromes.