Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 463]

IV. Examen Curvae lineae quam Cartesius regulae et fili ductu describere docet, an sit eadem atque Ovalium ipsius prima¹⁾. Vid. pag. 54 in Editione Geom.^ae 1659²⁾.
Sept. 1690

8 Sept. 1690. Curva AB [Fig. 94, où AG = a, AF = b, AH = c, HA = m, NG = n, FN = o, NO = x, AE = e; AB = élement de la courbe; AC, AD, AE = projections orthogonales de AB respectivement sur AH, AF et le prolongement de GA] ejus naturae ut si ad punctum in

[Fig. 94]

ipsa A ducantur a datis punctis G, H, F rectae, itemque ad punctum ejus B, proximum A, in partes F; quantum FB minor est quam FA, tantundem GB cum dupla BH sint breviores quam GA cum dupla AH. Haec est curva Cartesij per regulam et filum descripta quam dicit esse eandem cum prima ovali sua. Quod hic examinatur, et verum est. Sed non video unde hanc descriptionem invenerit.

Invenitur tangens curvae quam Cartesius describit motu regulae et fili pag. 54 in editione 1659²⁾.

1) Manuscrit G, f. 55r-56 v [p. 9-11 suivant la numération de Huygens].

2) Il s'agit du Recueil bien connu de F. van Schooten, contenant ‘La Géométrie’ de 1637 de Descartes, etc. Dans l'édition de 1683 la première ovale de Descartes figure également à la p. 54. C'est dans le Livre Second de ‘La Géométrie’ que Descartes traite de ses ovales.

2) Il s'agit du Recueil bien connu de F. van Schooten, contenant ‘La Géométrie’ de 1637 de Descartes, etc. Dans l'édition de 1683 la première ovale de Descartes figure également à la p. 54. C'est dans le Livre Second de ‘La Géométrie’ que Descartes traite de ses ovales.

[p. 464]

Cette construction par règle et corde de Descartes s'applique, comme il le dit, au cas où l'on a [Fig. 94] FK = KG.

³⁾

se trouve à la p. 275 du Manuscrit F³⁾: voyez, aux p. 497-500 qui suivent, les §§ 11, 13 et 16 de la Pièce I des ‘Problèmes et méthodes modernes’.

3) Ceci se rapporte à une figure de la p. 275 du Manuscrit F (notre Fig. 105 de la p. 497 qui suit). On voit que HV de la Fig. 105 est identique avec AD de la Fig. 94, etc.

3) Ceci se rapporte à une figure de la p. 275 du Manuscrit F (notre Fig. 105 de la p. 497 qui suit). On voit que HV de la Fig. 105 est identique avec AD de la Fig. 94, etc.

[p. 465]

Invenitur tangens Ovalis primae Cartesij ex nostra methodo. Il s'agit de la ‘Méthode des tangentes ... pour les courbes données en coördonnées bipolaires etc.’ dont traite la Pièce I à la p. 491 qui suit. puisque d'après la première construction de Descartes, comme Huygens le dira plus loin, on . (l'indice de réfraction étant 3/2); ceci est d'ailleurs vrai pour la première ovale même lorsqu'on n'a pas FK = KG.

(Si a ∞ b, ut fit cum punctum curvae sumitur in K, fiet HK c ∞ 5/50 sive 1/10 KF vel KG, quod ita est.)

Nota quod certa pars AF minus certa parte AG aequatur AH⁴⁾.

4) Comparez Gino Loria, ‘Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven, Theorie und Geschichte’ (Deutsche Ausgabe von Fr. Schütte, Leipzig, Teubner, 1902; p. 163, appartenant au III. Abschnitt ‘Kurven vierter Ordnung’, Cap. IX ‘Die Cartesischen Ovale’); ‘... dass das Cartesische Oval zu derjenigen Kategorie von Kurven gehört, die gebildet wird von den Oertern der Punkte, deren Abstände von n festen Polen, multipliziert mit beliebigen Konstanten, eine konstante Summe geben’.

[p. 466]

Quod si haec Ovalis est eadem quam regula et filo describit Cartesius, etiam tangens utriusque facit aequale intervallum NO seu x. Hoc vero ut fiat, oportet esse 27/50 b - 22/50 a ∞ c in curva ista filari. Sed in ea est secundum proprietatem à Cartesio suppositam, ut facile apparet. (a + 2c + h - b ∞ d datae - d est la longueur du fil - secundum Cartesium. Sed et h - LF dans la Fig. 94 - est data. Ergo est data linea. )

Ergo in hac curva filari erit

	,
unde fit		quae est linea data. Quae est

proprietas primae Ovalis Cartesij secundum nostram constructionem. Atque ita patet hanc curvam proprietate eadem gaudere qua Cartesij Ovalis prima. Sed et prorsus eandem esse sic ostendetur. In Curva Cartesij, d, sive summa LA + 2AH + AG, tantundem superat h sive LF, quantum 2AH + AG superat AF, quia LF est LA + AF. Atqui d - h semper est eadem longitudo, etiam cum pro puncto curvae A sumitur K. Ergo d - h ∞ 2HK + KG - KF. Sed KG ∞ KF, ergo d - h ∞ 2HK sive KZ. Sed in Ovali Cartesij prima fit semper a + ⅔b ∞ GK + ⅔KF, hoc est ∞ 5/3;KF, (quia KG ∞ KF). Ergo quia invenimus in Curva filari esse , hoc est 25/3 KZ, oportet jam, si haec curva est eadem cum illa Ovali, ut 5/3KF sit ∞ 25/3 KZ, hoc est KZ ∞ ⅕KF, quod ita est; nam FZ ad ZG ut 3 ad 2 ex constructione Cartesij; unde FG ad GZ ut 5 ad 2, et KG ad GZ [ut] 5 ad 4. Et KG seu KF ad KZ ut 5 ad 1.