Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Appendice.
Sur la 15 proposition¹⁾.
[?]

L'hypotenuse²⁾ de tout triangle primitif est la somme de deux quarrez inegaux et premiers entre eux, dont l'un est la difference des mesmes quarrez.

S'il n'entend pas que ces deux quarrez soient des nombres entiers, s'il ne faut pas cela pour les propositions suivantes?

Il s'ensuit par la prop. 14³⁾ que cette hypotenuse sera composee de deux nombres entiers ou rompus, qui seront entre eux comme quarrè a quarrè. Mais nous ne scavons pas encore s'ils seront entiers ou rompus. L'on peut donc soutenir qu'ils seront ou entiers ou rompus, jusqu'a ce qu'il soit prouuè qu'ils ne peuvent pas être rompus. Or comment prouvera-t-on qu'ils ne peuuent pas estre rompus ou des fractions, puis qu'ils le peuvent bien estre? Car posons le triangle primitif 3, 4, 5. Il y a deux fractions, scavoir 16/5 et 9/5, qui sont entre elles comme quarrè a quarrè et qui composent ensemble l'hypotenuse. Il n'y a donc point d'impossibilitè que l'hypotenuse d'un triangle primitif soit composè de deux fractions qui soient entre elles comme quarrè a quarrè. Et par consequent la proposition n'est pas prouuee vraye en nombres entiers.

1) Chartae mathematicae, f. 3. La feuille n'est pas datée. C'est pour cette raison que nous l'avons placée comme Appendice.
Ce que Huygens appelle la ‘15 Proposition’ est la Proposition XX du ‘Traité [posthume] des Triangles rectangles en Nombres’ de Frenicle, publié en 1676 et 1677 (voyez la p. 215 du T. VIII) et qui parut aussi en 1729 dans les ‘Memoires de l'Academie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu'à 1699’.
Il est possible que du vivant de Frenicle cette proposition ait été connue à ses collègues sous le nom de ‘15^ième proposition’.

2) En marge: Hypotenuse et non pas hypothenuse comme il y a partout. Frenicle toutefois écrit partout correctement ‘hypotenuse’ (ou parfois ‘hypoténuse’).

3) Ici il semble s'agir réellement de la ‘Proposition XIV’ du Traité de Frenicle, qui est la suivante; ‘Si on prend deux nombres quelconques premiers entre eux, dont l'un soit pair, & l'autre impair, le Triangle dont ils seront les générateurs sera primitif’. La ‘Demonstration’ commence comme suit: ‘Soient A & B premiers entre eux, dont l'un soit pair, & l'autre impair; je dis que le Triangle rectangle qu'ils formeront, sçavoir A² + B², A² - B² & 2AB, sera primitif’. Comparez la Pièce I 2, A qui précède.

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Il faut, pour bien faire, demonstrer primitivement que l'hypotenuse de tout triangle rectangle est composee de deux nombres entiers qui sont entre eux comme quarrè a quarrè. ou bien il le faut montrer seulement du triangle primitif.

Tout triangle primitif a pour hypotenuse et pour un des costez un nombre impair par la prop ....⁴⁾, donc la somme de l'hypotenuse et du costè impair et aussi leur difference seront des nombres pairs, et les moitiez de cette somme et difference seront des nombres entiers, mais le produit de cette somme et difference est un quarrè, scavoir le quarrè du costè pair, comme il est evident en mettant a pour l'hypotenuse, b pour le costè impair et c pour le costè pair. Donc la dite somme a + b et difference a - b sont entre elles comme quarrè a quarrè, et de mesme leur moitiez, que nous avons montrè estre des nombres entiers. Mais ces deux moitiez composent l'hypotenuse, parce que ½a + ½b adjoutè à ½a - ½b fait a l'hypotenuse, donc l'hypotenuse est composee de 2 nombres entiers qui sont entre eux comme quarrè a quarrè. De plus la difference de ces moitiez c'est a dire ½a + ½b moins ½a - ½b, fait b le costè impair. donc &c.

Maintenant il est aisè de montrer que ces nombres entiers qui composent l'hypotenuse, sont des quarrez premiers entre eux. parce que s'ils avoient une commune mesure, elle mesureroit aussi leur somme et leur difference qui sont l'hypotenuse et le costè impair, et ainsi le triangle ne seroit pas primitif, contre l'hypothese.

4) Il s'agit de la ‘Proposition XIX’: ‘En tout Triangle rectangle primitif, l'un des deux costez est pair, & l'autre impair, & l'hypoténuse est aussi un nombre impair’.