Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Mathematica varia 1666-1681.

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Avertissement.

Comme on peut le voir dans la suite du présent Tome, c'est surtout après sa rentrée définitive en Hollande, donc après 1681, que Huygens s'appliqua de nouveau avec ardeur, comme dans sa jeunesse, aux mathématiques pures¹⁾: c'est surtout vers la fin du siècle que le calcul infinitésimal prit son essor triomphal.

La présence de Roberval et de Frenicle de Bessy²⁾ à l'Académie ne semble pas l'avoir fortement incité à s'occuper dans la période française de sa vie qui s'ouvre en 1666 de sujets de mathématique pure intéressant spécialement l'un ou l'autre de ces collègues⁴⁾. Voyez toutefois le nom de Roberval dans la Pièce I, 2, B qui suit et de même dans la Pièce 1, 2, A, datant également de 1668, celui d'un autre collègue, le physicien Mariotte. Roemer, membre depuis 1672, a été mentionné dans le T. XVIII⁵⁾ là où il était question de l'épicycloïde (année 1674); voyez aussi à la fin de la Pièce III, 4 de 1676 qui suit la ‘methodus Romeri’ rapportée par Huygens ³⁾

1) L'Appendice à la Pièce XII (p. 334) appartient aussi à cette période hollandaise, mais il y a lieu, comme nous l'avons dit à la p. 207, de le rattacher aux dernières années (1678-1681) de la période française.

2) Qui décédèrent l'un et l'autre en 1675.

4) Consultez sur les discussions entre Huygens et Roberval sur des sujets de mécanique les T. XVIII et XIX qui précèdent.

5) Consultez surtout sur Roemer et Huygens la p. 603 du T. XVIII. Voyez aussi la p. 216 et la Pièce XI à la p. 285 qui précèdent.

3) Pascal, Desargues et Fermat étaient déjà morts avant 1666.

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pour résoudre un problème planimétrique. La présence de de la Hire à l'Académie, depuis 1678, eut plus d'influence sur lui - nous parlons toujours de la mathématique pure - comme nous l'avons exposé aux p. 219-222 et dans la note 5 de la p. 335. Cette influence persista même après 1681⁶⁾.

Les Pièces III, 1 et IV, 2 sur la question des signes dans les équations de géométrie analytique (la Pièce IV, 2 de 1676 ou 1677 n'est qu'un développement un peu plus ample de celle, III, 1, de 1672) peuvent paraître bien simples. Mais ce sont précisément ces choses simples (équivalence des deux axes, celui des x et celui des y, et équivalence de leurs parties positives et négatives) qui ont de l'importance. Voyez aussi ce que nous avons dit à la p. 217 sur l'expression simple: aequatio parabolae, équation de la parabole⁷⁾. C'est aussi une remarque simple, mais sur laquelle cependant une différence d'opinion était possible, que celle de la Pièce I, 2, B (nous avons déjà dit qu'on y trouve le nom de Roberval), d'après laquelle les équations algébriques servant à résoudre un problème déterminé fournissent souvent spontanément des solutions d'un problème plus général.

Les carrés magiques, ainsi que d'autres questions sur les nombres, n'avaient pas d'attrait puissant pour Huygens⁸⁾. La composition de son article de 1668 ‘De combinationum mirandis’⁹⁾ atteste-t-elle pourtant une certaine influence de Frenicle sur sa pensée? Nous avons déjà remarqué à la p. 20 du T XIV¹⁰⁾ que jadis Huygens ne s'était pas servi d'analyse combinatoire (§ 2 de la présente Pièce) dans son traité ‘Van Rekeningh in Spelen van Geluck’ de 1657. Voyez encore ce que nous disons sur Frenicle à la fin du présent Avertissement et consultez l'Appendice de la p. 419 qui suit.

Au § 1 qui se rattache à sa considération de 1661 de la ligne logarithmique, Huygens établit les formules

Somme des logarithmes des nombres entiers jusqu'à log n (inclus)

6) Consultez, outre la note 1 qui précède, la fin de la note 138 de la p. 221.

7) Comparez sur ce sujet la note 2 de la p. 442 qui suit.

8) Comparez ce que nous avons dit à la p. 214 du T. XI; voyez toutefois quelques carrés magiques aux p. 259-260, datant de 1650, du même Tome.

9) Pièce I, 1 à la p. 413 qui suit.

10) Où nous mentionnons aussi les travaux de Pascal et de Wallis.

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(où log désigne le logarithme à base 10, celui de 10 étant 10 millions); on peut donc dire, en désignant le nombre 4342945 par log e (ce qui est un anachronisme), que suivant Huygens

La célèbre formule de Stirling de 1730, qui peut s'écrire

ressemble beaucoup à celle de Huygens ainsi formulée: le rapport du ‘terminus minor’ de Huygens à celui de Stirling (ce dernier étant plus exact) est e/√2πn. Quant au ‘terminus major’ de Huygens il est au ‘terminus minor’ de Stirling dans le rapport e/√2π = 1,084: c'est un ‘terminus major’ fort exact, tandis que le ‘terminus minor’ lui aussi n'est pas sans valeur.

La formule du § 2 pour le nombre de permutations possibles (‘numerus transpositionum’) lorsque les n lettres considérées ne sont pas toutes différentes, mais qu'il existe parmi elles p.e. trois groupes, aux nombres m₁, m₂ et m₃, de lettres égales entr'elles, savoir (en notation moderne) n!/m₁! m₂! m₃!, était loin d'être généralement connue puisqu'en 1666 Leibniz dans son oeuvre de jeunesse ‘Dissertatio de arte combinatoria’ commet une faute dans la considération d'un cas de ce genre, écrivant¹¹⁾ 6! - 5! au lieu de 6! + 2! pour le nombre des permutations (‘variationes’) des syllabes ut ut re mi fa sol¹²⁾. Mais cette formule n'est pas de Huygens: tout-le-monde pouvait la trouver chez Mersenne dans les ‘Harmonicorum libri’ de 1635 ou bien dans l'‘Harmonie Universelle’ de 1636. Déjà dans ‘La Vérité des Sciences’ de 1625

11) Dans le ‘Probl. VI’, intitulé: ‘Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur variationem ordinis invenire’.

12) M. Cantor (‘Vorlesungen über Geschichte der Mathematik’ III, 1901) observe (p. 45) que lorsqu'on réimprima la ‘Dissertatio’ en 1690 à l'insu de Leibniz celui-ci protesta et indiqua e.a. une certaine erreur dans son oeuvre de jeunesse, mais que même alors il ne fit pas mention de l'erreur dont il est question dans le texte.

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Mersenne considère les ‘combinations’ en connexion avec sa théorie des plus beaux chants, dont nous avons parlé à la p. 66 qui précède; en cette année il connaît la formule n! mais pas encore la formule n!/m₁! m₂! m₃!. Dans son article posthume sur les combinaisons Frenicle cite au début les ‘Harmonicorum libri.’¹³⁾

13) Dans ‘La Vérité des Sciences’ le Theoreme II du Liure III (nous ne citons que ce seul passage) pose déjà la question de ‘sçauoir combien une multitude de nombres, de lettres, de soldats, de mouuemens, de sons, & de toutes sortes d'obiets peuuent estre changez, & transposez d'un lieu en un autre’. Dans les ‘Harmonicorum libri’ Mersenne considère le cas général en discutant la Prop. VIII du Liber Septimus intitulée: ‘Cantilenarum varietatem explicare, cum in dato notarum numero duae vel plures similes occurrunt’. La même chose dans le Second Livre des ‘Traitez de la Voix et des Chants’ qui font partie de l'‘Harmonie Universelle’.
Frenicle cite en marge les p. 116-117 (faisant partie du Liber Septimus) des ‘Harmonicorum libri’ dans le traité posthume ‘Abregé des Combinaisons’ (‘Divers ouvrages’ de 1693 et ‘Memoires de l'Ac. R.d. Sciences, depuis 1666 jusqu'à 1699’, T. V, Paris,C^ie des Libraires, 1729).