Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 402]

VII. Investigatio Duarum Mediarum¹⁾.
[?]

Sint datae HC, HQ [Fig. 62] inter quas oporteat duas medias invenire. Sit CB ∞

[Fig. 61]

⅓ CQ. CA ∞ 3 CH. BOA circulus. AL ∞ ⅙ AB. LE ∞ HC. LD ∞ 2LE. . MN ∞ 2DM.

FNAM est ellipsis centro D. HG est minor duarum mediarum inter HC, HQ.

Inventum ex alia constructione, cujus figura superior [Fig. 61] per modum perspectivae.

[Fig. 62]
Dans le manuscrit les diamètres BA sont égaux dans les deux figures.

Nous publions ces lignes quoique la construction ne soit pas correcte (sans doute à cause d'une faute de calcul)²⁾, puisque c'est bien rarement que Huygens dans ses démonstrations se sert de ‘perspective’ (il s'agit d'une projection oblique sous l'angle arc cos 1/√3, qui change l'ellipse et la circonférence de cercle de la Fig. 61 respectivement en la circonférence de cercle et l'ellipse de la Fig. 62): nous croyons remarquer ici unelégère influence de Desargues.

Voyez aussi sur la méthode de projection la note 8 de la p. 428 qui suit.

1) Chartae mechanicae, f. 100.

2) D'après le texte on a dans la Fig. 62, en posant HC = a et HQ = b, CA = 3a, CB = 1/3 (a-b); AB = 1/3 (8a + b), KB = KA = r = 1/6 (8a + b) AL = 1/18 (8a + b), LE = a, LD = 2a, donc DE = a √3, AE = p = 1/18 (26a + b), HA = 2a, HE = 1/18 (10a - b), . En prenant les axes DX et DY comme l'indique la Fig. 62 bis, nous avons pour l'équation de l'ellipse de la Fig. 62 et pour celle de la circonférence de cercle de la même figure .

Les deux courbes passent par le point A. Suivant Huygens elles se coupent une deuxième fois en un point F pour lequel x = - GE = - (HE + GH) + 1/18 (b - 10a) - ∛ a²b. En général il n'en est pas ainsi, quoique la chose soit vraie pour les valeurs particulières a = 0 et a = b.
Huygens n'indique pas comment il a trouvé la construction de la Fig. 61, du moins son raisonnement n'a pas été conservé. Il est connu que les équations du troisième degré se résolvaient généralement par l'intersection de deux coniques (Appendice de la p. 334 qui précède), dont l'une pouvait être une circonférence de cercle et l'autre une ellipse (voyez p.e. la Prop. Prima du ‘Mesolabum’ de Slusius: ‘Inter extremas datas duas rectas medio loco proportionales per circulum & ellipsim, infinitis modis, exhibere’).