Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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Les trois grands problèmes de l'antiquité.

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Avertissement.

Dans l'Avertissement précédent¹⁾ nous n'avons voué que quelques mots au problème ancien de la quadrature du cercle dont l'impossibilité n'a pas été rigoureusement démontrée au dix-septième siècle²⁾. Quant aux deux autres grands problèmes, celui de la trisection de l'angle dont Huygens s'était beaucoup occupé jadis³⁾ et celui de la recherche de la duplication du cube, autrement dit de deux moyennes proportionnelles entre deux grandeurs données (problème déliaque), ils conduisaient tous les deux à des équations du troisième degré; il a été question du problème déliaque et de la résolution graphique des équations qui s'y rattache, outre dans quelques Tomes précédents, dans plusieurs pages du présent Tome⁴⁾.

Comme on peut le voir au Manuscrit D, la dispute avec Gregory amena Huygens à poursuivre la recherche de solutions approchées pour la quadrature du cercle. Nous publions ici séparément (Pièce II) quelques pages de ce Manuscrit qui auraient pu figurer parmi les Appendices⁵⁾ à la Pièce VI dans lesquels on trouve également certaines approximations nouvelles. Ces pages se rattachent au traité ‘De Circuli Magnitudine inventa’ de 1654.

1) Voyez la p. 213 ou nous renvoyons le lecteur à cet Avertissement-ci.

2) Consultez notamment sur l'‘insuffisance de la démonstration de Gregory de l'impossibilité de la quadrature du cercle’ l'article de 1914 de F. Schuh cité à la p. 259 qui précède.

3) Voyez le T. XII.

4) P. 13, 220, 286-287, 334 et suiv.

5) P. 303-327.

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Il est bien connu que déjà dans l'antiquité la recherche de la quadrature du cercle conduisit Archimède à celles de la quadrature de la parabole et de la spirale qui porte son nom. Dans le ‘De Circuli Magnitudine inventa’ Huygens a constamment présentes à son esprit des propositions exprimant des égalités pour la parabole et donnant lieu par analogie à des théorèmes exprimant des inégalités pour le cercle ou sa circonférence. D'une façon générale on peut dire que dans l'esprit de Huygens comme dans celui de plusieurs de ses contemporains les quadratures d'autres surfaces planes et aussi les rectifications de certaines lignes courbes planes⁶⁾, constituaient des préparations, des ἀπαγωγάς - voyez p.e. ce mot (si souvent employé par Slusius) dans un passage de Wallis cité plus haut⁷⁾ - pour la quadrature espérée du cercle.

Huygens, on l'a vu plus haut⁸⁾, admet les nombres entiers, les nombres fractionnaires et les nombres sourds ou irrationnels quoiqu'en vérité ces derniers ne soient pas exprimables par des nombres déterminés de chiffres mais seulement par des lignes (on considère évidemment généralement des lignes droites). Dans l'esprit de Huygens la question de la possibilité de la rectification de la circonférence de cercle revient donc à celles-ci: 1. une ligne peut-elle avoir une longueur telle, par rapport à l'unité donnée de longueur, qu'elle ne soit exprimable ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire, ni par un nombre sourd? 2. dans l'affirmative, en est-il ainsi, ou n'en est-il pas ainsi, de la circonférence de cercle par rapport à son rayon?

La première question peut être formulée plus brièvement (quoique moins clairement) comme suit: existe-t-il un nombre correspondant à une longueur quelconque? Question à laquelle nous pourrions tout-de-suite (en nous considérant comme des gens du dix-septième siècle) donner une réponse négative, si nous n'avions pas adopté avec Huygens et tant d'autres la convention peut-être assez illogique de parler de ‘nombres sourds’.

Depuis des temps fort reculés sans doute les penseurs ont fait une distinction entre la quantité discrète et la quantité continue (voyez p.e. sur ce sujet la note 3 de la p.

6) Il en a été question à la p. 216.

7) Note 104 de la p. 215.

8) Voyez la p. 188 qui précède. Nous ne parlons pas ici des logarithmes auxquels il donne aussi le nom de nombres. Pour lui les logarithmes ne sont au fond, nous semble-t-il, que des nombres entiers: voyez les p. 215-216 et 264 qui précèdent. D'ailleurs ils portaient officiellement, depuis Neper, le nom de logarithmes; leur refuser le nom de nombres eût donc fait l'esset d'un purisme quelque peu bizarre.

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11 qui précède). Depuis l'introduction par Ménaechme⁹⁾ de courbes donnant par intersection deux longueurs (deux coördonnées, peut-on dire) représentant les deux moyennes proportionnelles entre deux quantités pouvant être, semble-t-il, non seulement des longueurs, mais aussi des nombres, il pouvait sembler désirable d'attribuer une valeur numérique à une longueur quelconque, malgré l'impossibilité de dire exactement ce qu'il faut entendre par une telle valeur numérique. Nous avons dit plus haut¹⁰⁾ qu'Aristote ne craint pas d'appliquer le mot ἀριϑμός à une quantité qui varie d'une manière continue. Il est vrai que cet ἀριϑμὸς τῆς ϰινήσεως, le temps qui s'est ‘écoulé’ depuis un instant déterminé, n'est pas une longueur spatiale. Toutefois, après ce premier pas, d'autres - nous songeons surtout à Barrow (note 19 qui suit) - pouvaient avoir l'audace de parler aussi de nombres correspondant à des longueurs spatiales quelconques. D'ailleurs, vers le commencement du dix-septième siècle, plus précisément en 1585, Simon Stevin dans ‘le Premier Livre d'Arithmetique’ avait déjà dit clairement, sans citer Aristote, que, ‘nombre n'est poinct quanite discontinue ... à une continue grandeur correspond le continue nombre qu'on lui attribue ... le nombre est quelque chose telle en grandeur, comme l'humidité en l'eau ...’¹¹⁾. Ceci mériterait, ajoute l'édition de 1634 de Girard, ‘un traicte particulier’, mais ‘ce ne sera pas icy son lieu’¹²⁾. Nous ne trouvons pas que Stevin ait jamais tâché de justifier

9) Voyez la p. 287 qui précède.

10) Note 27 de la p. 181.

11) ‘L'Arithmetique de Simon Stevin de Brvges: Contenant les computations des nombres Arithmetiques ou vulgaires: Aussi l'Algebre, auec les quatre premiers liures d'Algebre de Diophante d'Alexandrie, maintenant premierement traduicts en François ...’ A Leyde, de l'imprimerie de Christophle Plantin, MDLXXXV. Nous citons les p. 4-5.

12) ‘Oeuvres mathématiques de S. Stevin’ publiées par Albert Girard en 1634 (Leyde, B. & A. Elsevier). Les paroles citées de Stevin, ainsi que la remarque ajoutée par Girard, s'y trouvent à la p. 2.
Stevin dit un mot sur le début de son ‘Arithmetique’ dans son ‘Primus liber Geographiae’ (‘Hypomnemata mathematica’ de 1608, p. 11 du dit livre, appartenant à la ‘6 definitio’ qui a trait à l'‘eruditum seculum’): ‘Alterum indicium erudi [lisez: eruditi] saeculi, est admirabilis numerorum peritia, quae veteribus illis, & priscis viris fuit cognita ... Illustr. Iosephus Scaliger aliquando nobis ostendit ● punctum ab ipsis [Arabibus] dici, nostriue 0 vicem fungi. congruens cum eo quod non ita pridem 2 definitione Arithmeticae nostrae Gallicae de eodem disseruimus’. En effet dans l'Explication de la dite Definition II (‘Nombre est cela, par lequel s'explique la quantité de chascune chose’) Stevin avait dit que les nombres ne commencent pas par 1, comme on l'admet généralement, mais par 0 (‘0, commencement du nombre’). Ensuite il énonce en grands caractères la thèse ‘que nombre n'est poinct quantite discontinue’, qui fait encore partie de la dite Explication.
Stevin dit donc avoir publié cette thèse antérieurement à son entretien avec Scaliger, ce qui nous dispense de demander si ce que Scaliger lui avait communiqué correspondait bien certainement à la deuxième définition de l'‘Arithmetique’, et aussi de poser la question si Stevin savait que les Arabes ont largement profité des lumières des philosophes grecs. En énonçant sa thèse, Stevin semble ne pas avoir conscience d'une autorité quelconque qui l'aurait amené à parler ainsi.

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ses affirmations: dans sa thèse c'est le bon sens, l'intuition, qui a la parole et non pas la logique. Le noeud gordien n'est pas défait, il est tranché par un coup d'épée¹³⁾.

Huygens n'a jamais avancé pareil axiome. Il est vrai que chez lui, comme chez tant d'autres, lorsqu'il se sert de l'expression ‘quantitas’¹⁴⁾, on peut parfois être en doute s'il entend parler exclusivement d'une longueur ou bien peut-être aussi d'une quantité numérique¹⁵⁾; ce qui certes ne suffit nullement pour le considérer comme un partisan de la thèse de Stevin¹⁶⁾. Nous avons déjà dit¹⁷⁾ qu'il déclare expressément ne pas être satisfait de certains raisonnements, ou de certaines définitions, lui paraissant médiocrement logiques, de Wallis. Nous croyons donc aussi pouvoir admettre qu'il est en désaccord avec ce mathématicien là où celui-ci, traitant dans son ‘Arithmetica universalis’ de 1655¹⁸⁾ de la ‘quantitas continua’ ou ‘magnitudo’ d'une part, de la ‘quantitas discreta’ ou ‘numerus’ de l'autre, pense bien faire en effaçant plus ou moins cette distinction¹⁹⁾. Notons que dans l'‘Arithmetica infinitorum’, datant également de 1655¹⁸⁾, Wallis dit²⁰⁾ être convaincu ‘rationem illam

13) Il est à remarquer que beaucoup d'auteurs modernes introduisent bien moins brusquement ce parallélisme du nombre et de la longueur. Voyez p.e. le beau ‘Cours d'analyse’ de M.C. Jordan (Paris, Gauthier - Villars, 1893), où l'auteur commence par traiter des propriétés des nombres discrets et nous propose ensuite la ‘ligne continue’ décrite par un point mathématique se mouvant d'une manière continue - p. 90: ‘Une ligne étant définie comme le lieu des positions successives d'un point mobile ...’; comparez sur ce sujet la p. 191 qui précède - après quoi il admet, sans qu'il soit question d'‘hypothèse’ ou d'‘axiome’, la continuité des valeurs numériques correspondant aux longueurs.

14) P.e. l. 6 et 10 de la p. 233 qui précède.

15) Voyez aussi à la p. 73 du T. XVI (l. 6) l'expression ‘numeri lineaeve’.

16) Qu'il ne cite pas.

17) P. 13 et 213.

18) Ouvrage cité à la p. 258 qui précède.

19) I. Barrow, dans ses ‘Lectiones Mathematicae’ de 1664 (Lect. III, début) - p. 47 de ‘The Mathematical Works of Isaac Barrow, D.D.’ ed. W. Whewell, Cambridge, Univ. Press, 1860 - dit de même: ‘Etenim evicto numerum (illum saltem quem Mathematicus contemplatur) a quantitate, quam vocant, continuâ nil quicquam reverâ differre, sed ei tantum exprimendae declarandaeque confictum esse, nec Arithmeticam proinde ac Geometriam circa diversam materiam versari, sed communes uni subjecto proprietates utramque pari quasi passu demonstrare, plurima liquebit inde maximaque in rem Matheseos publicam commoda derivari ... hâc admissâ numerorum et magnitudinum coalitione, locuples utrique disciplinae [Geometriae et Arithmeticae] succrescet accessio, lautum accedet incrementum’.
Dans les ‘Lectiones Mathematicae’ Barrow cite Aristote fort souvent (e.a. des passages sur le temps et le mouvement). Aux p. 30 et 34 il observe qu'Aristote applique l'expression ποσόν tant aux nombres qu'aux grandeurs (‘magnitudinis et multitudinis commune genus constituit’), tandis qu'auparavant on disait ποσόν pour les quantités discrètes et πηλίϰον pour le continu (comparez la note 3 de la p. 11 qui précède).
Ni Wallis ni Barrow ne citent les paroles si claires de Stevin. Barrow doit cependant, nous semble-t-il, les avoir connues puisqu'il dit à la p. 59 de l'édition citée, en parlant des ‘numeri surdi’ ou ‘irrationales’: ‘Atqui satis ostendunt hi numeri, quos proinde non incongrue Geometricos appellat Stevinus [voyez l'“Argument” et la def. XXXI du 1. livre de l'“Arithmetique”], numerum a magnitudine nihil differre reipsâ; quos certe nec ipsâ mente putem abstrahi posse ab omni magnitudine’. En lisant cette phrase, le lecteur n'apprend pas que Stevin avait généralement avancé dans son ‘Arithmetique’ ce que Barrow exprime par les mots ‘numerum a magnitudine nihil differre reipsâ’.
Nous saisissons cette occasion pour mentionner aussi en passant les ‘Lectiones geometricae’ de 1669 de Barrow: dans l'Appendicula de la Lectio XI il s'inspire de la cyclométrie de Huygens; voyez les notes 3 de la p. 1 et 3 de la p. 38 du T. VII. Huygens (T. VII, p. 43, 1670) n'exprime aucune opinion sur cette Appendicula.

18) Ouvrage cité à la p. 258 qui précède.

20) P. 359 du T. I de 1695 des ‘Opera Omnia’.

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quae quaerebatur [le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre] ejusmodi esse ut quae nec veris numeris, nec quidem radicibus surdis (vulgo dictis) esset explicabilis ... alium aliquem notationis modum quam qui adhuc receptus est introducendum putavi, quo numerus ille impossibilis [nous soulignons] indicetur’.

Wallis fait allusion à son célèbre théorème exprimant le ‘numerus impossibilis’ par la fraction 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 .../2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 ...²¹⁾ (à laquelle se rapporte aussi la courbe suspecte aux yeux de Huygens²²⁾ dont il fut question à la p. 234 qui précède) fraction dont Huygens dit admirer la découverte ‘utique si vera est’, ce qui lui semble probable²³⁾.

On conçoit que Wallis, par cette découverte, croyait avoir démontré²⁴⁾ ce qui à

21) Ici il ne s'agit pas précisément du rapport de la longueur de la circonférence au diamètre (notre nombre π), mais de celui de la surface du carré circonscrit à celui du cercle (4/π).

22) 1652-1653, lettres à van Schooten (T. I).

23) P. 459 de notre T. I (lettre de Huygens à Wallis de juillet 1656). Wallis en 1652 n'avait pas expliqué à Huygens la genèse de sa courbe dont d'ailleurs il ne voyait pas suffisamment lui-même les propriétés.

24) Lettre de Wallis à Brouncker de novembre 1668 (notre T. VI, p. 289): ‘the work is done allready, the thing itself being proved long since in my Arithmetica Infinitorum’, etc.

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son avis comme à celui de Huygens n'était pas démontré dans un ouvrage postérieur par Gregory, que le ‘numerus impossibilis’ n'est pas un nombre dans le sens que Huygens attribuait à ce mot²⁵⁾.

Huygens, lui, n'a jamais accordé - voyez la Pièce IV qui suit - qu'il fût prouvé que ce ‘numerus’ dit ‘impossibilis’ ne peut pas être un nombre dans le sens restreint dont il vient d'être question²⁶⁾. Ne réussissant pas à trouver ce nombre il a dû se contenter d'obtenir par des artifices géométriques des valeurs approchées qui peu à peu perdaient leur intérêt. La Pièce II qui suit représente un effort de ce genre dont le résultat n'a pas été publié par lui²⁷⁾.

Lorsqu'il avait été démontré par Leibniz que le ‘numerus impossibilis’ - nous parlons toujours de notre nombre π (notation du dix-huitième siècle) - peut être exprimé par la somme algébrique d'une infinité de fractions numériques, Huygens put espérer (Pièce III) que le problème de la quadrature du cercle se montrerait résoluble par la sommation effective des termes de cette série.

Le traité d'algèbre de 1685 de Wallis fit connaître à Huygens les approximations de Newton déduites de développements en séries que Newton compare avec celles de Huygens (‘De Circuli Magnitudine inventa’ de 1654). Wallis cite deux lettres de 1676 de Newton à Oldenburg, dont ce dernier envoya des copies tant à Leibniz, auquel elles étaient destinées en premier lieu, qu'à lui. Wallis les avait reçues en juillet 1677 peu avant la mort d'Oldenburg (septembre 1677). On voit par la Pièce IV qui suit que Huygens n'en reçut pas de copies et qu'il apprit seulement à les connaître (ou plutôt à connaitre les grands extraits de ces lettres qui se trouvent dans le livre de Wallis) en 1685 ou 1686. Il s'agit des lettres de Newton à Oldenburg du 13 juin et du 24 octobre 1676, quoique - soit dit en passant - Wallis en deux endroits donne à cette dernière lettre la date du 24 août 1676²⁸⁾. C'est aux formules de Wallis et de Brouncker que se rattache (même Pièce) le développement par Huygens du ‘nombre π’ en une fraction continue.

25) Comparez sur ce sens les l. 11-13 de la p. 283 du T. VI.

26) Nous l'avons dit aussi aux p. 39-40 du T. XVIII.

27) Il s'agit ici d'une approximation obtenue à l'aide de la considération de centres de gravité, sujet auquel se rapporte la Deuxième Partie de l'article de F. Schuh mentionné à la p. 259 qui précède. Consultez surtout les §§ 167-169 qui se rapportent à ce que nous appelons ici la Pièce II. Schuh y discute le procédé de Huygens d'une façon détaillée.

28) Voyez la note 6 de la p. 391 qui suit. La dernière lettre d'Oldenburg à Huygens (T. VIII, p. 8) est de février 1676.

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En 1691, ou plutôt déjà en 1689, Huygens revint dans le Manuscrit G (notre Pièce V) sur la ‘Progressio Leibnitsij ad Circuli Quadraturam’ (Pièce III), l'étendant ‘ad sectores quosvis, quod ille nescio an animadverterit’²⁹⁾. En d'autres termes il démontra, géométriquement, la série arc tg etc.³⁰⁾ pour des arcs quelconques inférieurs à 45^o (ou = 45^o).

Les considérations géométriques sont de 1689; elles se rattachent à des considérations géométriques de 1674. La série qui en résulte est de 1691. Tandis que celle de Leibnitz (trouvée d'abord d'une autre façon) est le développement de arc tg i (notation moderne), Huygens propose de prendre plutôt arc tg ⅓√3 ce qu'il appelle la ‘progressio optima ad quadrandum circulum’.

Le développement en série de l'arc tangente était connu depuis plusieurs années à diverses personnes: James Gregory³¹⁾ en avait fait part à John Collins en 1670, mais sans en donner aucune démonstration. En novembre 1690³²⁾ Leibniz écrit à Huygens que dans l'ouvrage qu'il avait ‘composé autrefois sur la quadrature Arithmétique’³³⁾ il avait démontré une proposition générale pour les secteurs des coniques qui, pour le cercle, revient à la formule arc tg etc. Huygens n'a peut-être pas eu cette formule sous les yeux avant ce temps³⁴⁾. Le bout de phrase cité plus

29) Fin de la Pièce V.

30) Sans se servir de l'expression courte ‘arc tg t’ encore inconnue.

31) Mort en 1675. Gregory écrit etc. Chez Huygens le rayon r = 1. On sait que la tangente t au dix-septième siècle est une longueur, non pas un rapport de deux longueurs.

32) T. IX, p. 534.

33) Voyez la Pièce III qui suit.

34) Aux p. 178 et 179 des ‘Acta Eruditorum’ de 1691 Leibniz écrit (dans son article ‘Quadratura Arithmetica communis Sectionum Conicarum quae centrum habent, indeque ducta Trigonometria Canonica ad quantamcunque in numeris exactitudinem à Tabularum necessitate liberata: cum usu speciali ad lineam Rhomborum nauticam, aptatumque illi planisphaerium’): ‘Jam anno 1675 compositum habebam Opusculum Quadraturae Arithmeticae amicis ab illo tempore lectum ... in Opusculo nostro inedito nec ipsi [Hugenio] visum [nous soulignons], inter alias propositiones ... etc.’ Il est vrai qu'en 1679 (T. VIII, p. 219) Leibniz écrit à Huygens des ‘choses qui appartiennent à l'Academie et particulierement ma Quadrature Arithmetique dont j'ay laisse meme le M.S. à Paris’. Mais dans sa réponse de novembre 1679 (T. VIII, p. 244) Huygens parle de ‘cette Quadrature Arithmetique’ comme d'une chose qui lui est inconnue. En 1682 (T. VIII, p. 403) P. van Gent écrit à Huygens, si nous le comprenons bien, que Tschirnhaus, chargé de rapporter le manuscrit en Allemagne, l'aurait perdu en route. S'il en a été ainsi, on n'a pas manqué de le retrouver, puisqu'on le possède encore à Hannovre.

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haut ‘ad sectores quosvis [secteurs de cercle], quod nescio an ille [Leibniz] animadverterit’ est écrit en marge à la suite d'une considération géométrique de 1689 d'où Huygens peut déduire la formule générale de l'arc tangente. Nous ignorons si cette remarque écrite en marge date de 1689 ou de 1691. Il en est de même d'une autre remarque sur le même sujet, également écrite en marge (fin du § 3 de la Pièce V), où Huygens renvoie à la page ultérieure, datant de 1691, du Manuscrit G où se trouve la série arc tg t = etc. Il est évident que ce renvoi ne peut en tout cas pas être antérieur à 1691. Nous inclinons à croire que les deux remarques marginales datent de cette année. Dans ce cas le ‘nescio an animadverterit’ ne se rapporte pas à un doute sur la connaissance de Leibniz de la formule générale (nous parlons toujours du cercle), mais au fait que Leibniz peut ne pas avoir su qu'elle peut être démontrée de la façon que Huygens indique.

La démonstration de Huygens revient à ceci. Il savait depuis 1674 qu'une certaine aire comprise entre trois droites et la courbe à équation (la ‘versiera’, comme on dira plus tard) est égale à un cercle de rayon ½a et peut d'autre part s'exprimer par a² (1/1 - ⅓ + ⅖ etc.), d'où résulte la formule de Leibniz. En 1689 il découvre qu'en calculant une aire moins étendue également limitée par trois droites et par la versiera on obtient la surface d'un secteur du même cercle. Or, cette aire peut aussi être exprimée par une série analogue à la précédente. D'où résulte la formule générale qu'il aurait pu déduire en 1689 mais qu'il n'a peut-être déduite en effet qu'en 1691. Huygens dit que sa ‘progressio optima’ est ‘simplicior ac commodior’ que la ‘progressio Newtoniana’. Il s'agit sans doute de la formule de Newton de la p. 392 qui suit: arc etc., où d est le diamètre du cercle considéré et x la flèche AD de la Fig. 57³⁵⁾; formule dont Huygens peut avoir causé avec Fatio de Duillier lorsque celui-ci le visita en février 1691 - voyez la p. 396 qui suit - puisque Fatio lui écrit en décembre 1691³⁵⁾, en citant l'‘Algebra de Mr. Wallis’, en avoir trouvé la démonstration³⁶⁾.

35) T. X, p. 215 et note 6 de cette page.

35) T. X, p. 215 et note 6 de cette page.

36) Cette formule de Newton se trouve aux p. 297 et 324 du T. I de ‘I. Newtoni Opera’ éd. S. Horsley, 1779 (‘Excerptum IV ex epistolâ Newtoni ad Oldenburgum primâ. De Problematis per Series Infinitas Resolvendis’).

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Nous n'avons pas de Pièce de 1666 ou postérieure à cette année qui traite spécialement de la trisection de l'angle.

Au sujet du problème déliaque (Pièce VII) on pourrait se demander, en ayant égard à la première partie du présent Tome, si Huygens ne l'a pas parfois considéré dans un rapport étroit avec l'interpolation de tons dans l'échelle musicale. Il faut répondre à cette question qu'il s'est borné à chercher des solutions géométriques, naturellement en faisant usage d'algèbre. Dans l'antiquité aussi, malgré le rapport étroit existant selon plusieurs entre la mathématique et la musique - on peut consulter l'ouvrage de Théon de Smyrne, cité plus haut³⁷⁾ - ce problème, si nous nous en tenons aux textes, paraît avoir été considéré comme essentiellement de nature géométrique. Huygens n'a recours aux logarithmes que lorsque le nombre de termes à interpoler, soit en musique, soit dans d'autres cas pratiques (voyez la p. 294 qui précède), devient plus grand.

37) P. 5, 10, 11, 177 et 180. Soit dit en passant: nous ne citons dans ce Tome que l'édition fragmentaire de Boulliau, la seule qui existât au dix-septième siècle.