Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 291]

Appendice I¹⁾
À la pièce 1 de la p. 225 (Règle pour trouver les logarithmes, 1666 ou 1667).
[1661?]

[Fig. 24]

§ 1. Data multitudine proportionalium, minore termino et ratione proportionis, invenire proportionalium summam.

Sint proportionales continuè [Fig. 24]²⁾ a b bb/a b³/aa b⁴/a³ quarum minor terminus a. Ratio proportionis a ad b. Quaeritur summa dictarum proportionalium³⁾.

Fiet ut b - a ad a ita a ad . Tunc erunt continue proportionales, et in proportione a ad b, istae

1) Manuscrit 14, f. 14 et suiv. Les feuilles antérieures du Manuscrit contiennent d'abord quelques dessins de 1658 (voyez celui d'octobre 1658 en tête du présent Tome), ensuite quatre pages ‘de motu corporum reflexo sive de Percussione Hypotheses’ (voyez les p. 52-53 du T. VII) et quatre pages de calculs sur les normales à la parabole etc.; c'est tout. Après les calculs sur les capitaux et les intérêts, le Manuscrit contient six pages sur le cours du Rhin etc.; ce sont des extraits de documents allant de 1636 à 1670. Pour être complets nous mentionnons aussi (beaucoup plus loin dans le manuscrit qui contient après les extraits un grand nombre de pages vides) deux pages consacrées à des notes payées par Huygens en 1664, 1665 et 1666: voyez à la p. 168 du T. XVII la note de 1664 de l'horloger Oosterwijck. Rien certes n'empêche que les calculs qui constituent le présent Appendice ne datent de 1661, époque à laquelle Huygens dit (p. 12 qui précède) avoir commencé à s'intéresser aux logarithmes. Dans les calculs des §§ 1-6 les logarithmes ne figurent qu'au § 1. Mais voyez aussi le § 7.

2) Comparez avec cette figure celle de 1652 de la p. 209 du T. I, la ‘logarithmique’ dont nous parlons aussi à la p. 204 de l'Avertissement qui précède.

3) Déjà en 1646 (T. XI, p. 53 et suiv.) Huygens s'était intéressé à la recherche de la somme des suites géométriques, mais sans se servir de logarithmes.

[p. 292]

aa/b - a; aa/b - a + a; aa/b - a + a + b; aa/b - a + a + b + bb/a; aa/b - a + a + b + bb/a + b³/aa...

quarum ab ultima si auferatur patet residuum aequari summae proportionalium quaesitae.

per Logarithmos.

A duplo logar^o. termini minoris auferatur log^s. differentiae inter terminum minorem et sequentem, et habebitur logar. . Residuo addatur logar. proportionis datae, hoc est differentia log.^orum termini minoris et sequentis sive quorumlibet duorum continue sequentium, multiplicatus per numerum multitudinis terminorum. Summa erit logar. numeri, a quo numero si auferatur numerus logarithmi ante inventi; relinquitur summa proportionalium quaesita.

§ 2. Iisdem datis, invenire proportionalium summam triangularem incipiendo a minima.

Cum sint proportionales supra inventae ; ; ; ;.... idque in ratione a ad b. inveniatur earum summa per praecedentem. ab qua si auferatur toties quot sunt termini, facile apparet residuum fore summam triangularem quaesitam. § 3. Aliter. Proportionalium a, b, bb/a &c summa per praeced. reperta vocetur s. Cum itaque in eadem proportione a ad b sint quoque proportionales aeque multae ; ; &c. erunt ut a ad s ita ad summam omnium posteriorum. sive permutando ut a ad , hoc est, ut b - a ad b ita s ad summam omnium posteriorum, a qua si auferatur

[p. 293]

ductum in numerum terminorum, relinquitur ut ante summa triangularis proportionalium a, b, bb/a &c. incipiendo ab a.

§ 4. Prima propositio aliter.

Sit m maxima proportionalium: a minima; b quae proxime post a sequitur. s summa proportionalium a, b, bb/a &c. n maxima proportionalium seriei , &c. Quum sint in prima propositione proportionales ; ; &c. totidem quot a, b, bb/a &c. et in ratione eadem a ad b patet esse sicut a ad maximam proportionalium a, b, bb/a &c. ita ad maximam sui ordinis n. A qua si auferatur , fit (ut ex eadem prima propositione patet) residuum aequale summae s proportionalium a, b, bb/a &c. Sed . Ergo .

§ 5. Secunda aliter.

Erat b - a ⫟ b - s ⫟ summam posteriorum.

⁴⁾

§ 6. Si series proportionalium ab a infinitè parva incipere ponatur sive, ab m maxima, deorsum continuári in infinitum, patet ex regulis praecedentibus, cum a ad m infinite parvam rationem habeat, fore summam omnium in infinitum proportionalium . Item summam triangularem omnium .

4) C. à. d. subtrahendo.

[p. 294]

§ 7. Tegen hoeveel ten hondert in 't jaer soudemen sijn gelt moeten beleggen, mids oock interest van interest ontfangende, om ten eynde van 41 jaer 3 capitalen boven het sijne te winnen? Antwoord: tegen 3 en 44/100 per cento.

Omdat in als 4 capitalen moeten sijn, welcke 4 capitalen maecken de grootste van 42 proportionalen, daer de cleynste van is 100 en de grootste 400, soo divideer ick de differentie der logarithmi van 400 en van 100, te weten 0,60206, door 41, en de quotiens 1468 addeer ick tot de logar. van 100. komt 2,01468, sijnde logar. van 103,44. daerom is het capitael metten interest ten eynde vant eerste jaer 103, 44/100.

En dienvolgens den interest van 100 in een jaer, 3 44/100.

Ick heb gesegt 42 proportionalen om dat die 41 differentien maecken.

[Fig. 25].

La figure donnée par Huygens pour illustrer le texte [Fig. 25] fait voir que, tout aussi bien que Zarlino (note 1 de la p. 171 qui précède) et Mersenne (p. 33 qui précède, l. 2 d'en bas), il se figure comme des lignes les moyennes proportionnelles qu'il s'agit d'intercaler entre les deux quantités données. Il est évident que si la figure était correctement tracée les extrémités des lignes verticales équidistantes ne se trouveraient pas sur une ligne droite mais sur une logarithmique comme dans la Fig. 24 du § 1. La même remarque s'applique à quelques figures du même genre dans la ‘Chilias Logarith morum’ de 1624 de Kepler, ouvrage que Huygens ne mentionne d'ailleurs nulle part.

Les pages suivantes du Manuscrit contiennent encore plusieurs autres calculs, également rédigés en flamand, sur des capitaux placés à intérêt; il y est fait usage de logarithmes et de la formule du § 4.