Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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XII. Sur les équations solides.
1680.

Registres, T. IX, f. 17: Le Samedy 2^e de Mars 1680 ... M^r. Hugens a aussi proposé une methode pour trouuer les équations solides.

Nous ne possédons pas le texte de cette communication. C'est pourquoi nous reproduisons ici les p. 227-228 du Manuscrit E (les p. 221 et 232 portent resp. les dates du 11 janvier et du 22 mars 1680) qui en contiennent sans doute la substance ou plutôt le début.

Méthode pour construire les équations cubiques et quarréquarrées en les resolvant en deux lieux.

§ 1. Je commenceray par le probleme des 2 moienes entre deux lignes donnees. Soient ces lignes a et b; l'une des moienes, qui suit apres a, soit x; donc l'autre moiene est xx/a, et le rectangle de ces 2 sçavoir x³/a est egal a ab. Et x³ ∞ aab. Je divise de costè et d'autre par x. Vient xx ∞ aab/x. J'egale ensuite chaque costè, à un rectangle bv, supposant v inconnue. J'ay donc bv ∞ xx et aab/x ∞ bv ou aa ∞ xv. l'un estant un lieu a une parabole dont le costè droit est b. l'autre une hyperbole aux asymptotes de laquelle le rectangle est egal à aa. Je suppose que l'inconnue x soit perpendiculaire sur l'inconnue v, que je prens dans la droite AE depuis le point A.

[Fig. 21].

Soit AD [Fig. 21] une parabole dont le sommet est A, l'axe AE. le costé droit AB egal à b. Soit aussi aux asymptotes AE, AC que je suppose faire un angle droit, l'hyperbole DF, dont le rectangle soit egal à aa. Et qu'elle coupe la parabole en D d'ou soit menée DE perpendiculaire sur AE. Je dis que DE est x, scavoir l'une des moienes qui suit a. Car il paroit [que] xx ∞ bv a cause de la parabole. Et que vx ∞

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aa a cause de l'hyperbole, ou bvx ∞ aab, ou bv ∞ aab/x. Mais xx estoit aussi egal à bv. donc xx ∞ aab/x. Et x³ ∞ aab.

§ 2. Soit derechef x³ ∞ aab. va ∞ xx parabole dont le parametre est a. aab/x ∞ va. ab ∞ xv. hyperbole dont le rectangle est ab.

§ 3. Cette methode consiste a partager l'équation donnée en deux, et par ce moyen la reduire a deux lieux dont l'intersection fasse connoistre la racine que l'on cherche. Par ou l'on trouve les constructions les plus simples.

Nous omettons le reste où Huygens répète encore une fois la construction du § 1.

Huygens n'ignore point - comparez la p. 223 du T. XII - que cette méthode n'est autre que celle de Ménaechme; à la p. 235 du même Manuscrit on trouve ce qui suit:

x^4 ∞ aabx.	vv ∞ x^4/aa	bx ∞ vv
	_____
	v ∞ xx/a		deux paraboles de Menechme [Fig. 22].
	_____
	av ∞ xx

Ici v est précisément la deuxième moyenne proportionnelle:

[Fig. 22]

on a a:x = x:v = v:b. Il en est de même dans le § 2 lequel donne une deuxième construction de Ménaechme rapportée, comme la première, par Eutokios.

Huygens n'est plus ou moins original que dans le § 1 où v ne désigne pas la deuxième moyenne proportionnelle.

Dans la suite de son discours à l'Académie Huygens a sans doute donné d'autres exemples. En effet, à la p. 227 du Manuscrit E il écrit en marge: Cette methode est dans le livre D [antérieur à 1680], pratiquee sans explication dans quelques exemples, comme des 2 moyenes proportionelles et de la perpendiculaire a une hyperbole d'un point donnè. Voyez, aux p. 334-360 qui suivent, l'Appendice de 1682, tiré du Manuscrit 11; et consultez surtout les notes 4 et 5 de la p. 335 sur les relations de Huygens avec de la Hire. Dans la f. 66 des Chartae mathematicae, qui traite aussi des normales abaissées d'un point donné sur une conique, Huygens renvoie également au Manuscrit D. Nous n'y trouvons cependant pas l'endroit dont il entend parler. Il s'agit peut-être d'un feuillet enlevé.