Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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III. Le corps, la surface, la ligne, le point.

Dans le Manuscrit G, sans doute en 1690¹⁾, Huygens donne plusieurs définitions du point, de la ligne, de la surface et du corps. Contrairement à notre habitude nous publions ici les énoncés de Huygens comme ils se suivent dans le Manuscrit sans mettre en avant ceux qu'il désigna après coup par les chiffres 1, 2, 3, 4.

B. 4	Punctum est quod omni extensione caret, et cujus non nisi positus intelligitur.
B.[biffé]	Punctum est cujus positus intelligitur, magnitudo nulla intelligitur.
	Linea est quod extensum intelligitur, magnitudo nulla intelligitur.
	Superficies est quod extensum undique intelligitur in latitudinem, absque profunditate.
	Corpus est quod extensum intelligitur in omnem partem, ac superficie terminatur.
B. 3	Linea est quod tantum in longitudinem extensum intelligitur.
	Linea est quod non nisi in longitudinem extensum intelligitur [phrase biffée]. Sensu percipi nequit.
	Superficies est in qua et longitudo et latitudo intelligitur. bonum[mot biffé].	sphaericae conoe ... ae^1) dele [les deux premiers mots, ainsi que le dernier, sont en effet biffés] nihil habens corporei.
	Superficies est in qua ex puncto non plures lineae excurrere possunt [alinéa biffé].
	Lineae terminatae [mot biffé] neque in se redeuntis termini sunt puncta.
	Superficies finita et quae corpus non complectitur, linea terminatur.
B. 1	Corpus quatenus in geometria consideratur est magnitudo finita, in qua extensio in omnem partem intelligitur.
B. 2	Superficies est id quo corpus exterius circumdatur [en marge: quo corpus extrinsecus circumdatur] ita ut nihil quicquam intercedat [leçon primitive: interponatur].

1) Manuscrit G, f. 47 v. La date 1692 se trouve sur la f. 44, mais plus loin on rencontre des dates de 1690.
Voyez encore sur ce sujet les Additions et Corrections.

1) Manuscrit G, f. 47 v. La date 1692 se trouve sur la f. 44, mais plus loin on rencontre des dates de 1690.
Voyez encore sur ce sujet les Additions et Corrections.

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	Huygens avait commencé par écrire: Superficies est quod extremum in corpore intelligitur; ce qu'il corrigea d'abord en: Superficies est quo corpus exterius amplectitur idque immediate seu ut nihil quicquam intercedat.
	Superficies nulla est nisi in corpore [le B. 2 s'applique peut-être aussi à cette phrase].
	Linea est quod extremum in superficie intelligitur [alinéa biffé].
	Punctum est quod extremum in linea intelligitur [alinéa biffé].

Les nombreuses ratures font voir de quelle manière hésitante Huygens procédait. Il choisit en fin de compte, pour chacune des quatre entités, une seule définition, qu'il marqua d'un B, probablement une abréviation de ‘bon’ on ‘bonum’.

Comme il apparaît par le numérotage des définitions finalement choisies, Huygens est d'avis qu'il faut commencer par la définition du corps. Il semble préférer cet ordre à l'ordre inverse (point, ligne, surface, corps) et y attacher de l'importance; cela ressort de la première phrase de la Pièce I qui précède. Toutefois, il n'y a chez lui une relation logique qu'entre les définitions du corps et de la surface, tandis que - fait curieux - après cela sont définis la ligne et le point, indépendamment et sans rapport logique avec les définitions précédentes. L'ordre dans lequel sont rangées les définitions n'a pas de signification réelle, abstraction faite de celui des deux premières. Il en est autrement lorsque, comme Barrow²⁾, après les définitions d'un corps et d'une surface comme délimitation d'un corps, on continue systématiquement à définir la ligne comme la délimitation d'une partie d'une surface et le point comme celle d'une partie d'une ligne. Mais une fois qu'on a accepté la définition de la ligne choisie par Huygens, on ne peut guère, à notre avis, faire une objection fondamentale contre la définition de la surface comme quelque chose ayant longueur et largeur mais non pas épaisseur (‘profunditas’, comme Huygens, de même que Barrow, appelle ici la troisième dimension), quelque peu satisfaisantes que soient pareilles définitions au point de vue des mathématiques rigoureuses d'aujourd'hui.

Du temps de Huygens il paraît qu'on avait beaucoup d'intérêt pour de semblables questions et aussi pour d'autres qui s'y rattachent, comme celle de savoir si un point est un ‘ens revera existens’³⁾. En 1660 eut lieu à Paris, à l'Académie de Montmort, une réunion³⁾ où Desargues, auteur du ‘broüillon-project’ sur la coupe des pierres en l'architecture, soutenait qu'un point géométrique

2) I. Barrow, ‘Lectiones mathematicae’ de 1664, Lectio IX, p. 135 de l'édition Whewell citée à la p. 372 qui suit: ‘Corpus vel solida magnitudo praesupponi potest .. Hinc datur solidae magnitudinis Terminus aliquis secundum profunditatem indivisibilis, is vocetur Superficies .. Pars dicta superficies non est usquam interminata, sed aliquo ambitu seu extremo clauditur .. Terminus .. dicatur Linea .. supponatur dari lineae Terminus indivisibilis, et hic appelletur Punctum’. P. 137: ‘Non existimo superficies, lineas aut puncta separatam quandam existentiam, aut propriam ex seipsis efficaciam possidere’.

3) Voyez la p. 182 du T. III. Il semble ressortir de cette page que Lodewijk Huygens connaissait Desargues personnellement. Il se peut donc que Christiaan et Lodewijk aient fait sa connaissance lorsque les deux frères se trouvaient à Paris en 1655. Mais il est également fort possible que Christiaan ne l'ait vu qu'une seule fois de sa vie. On peut aussi consulter sur la soirée chez de Montmort qui eut lieu le 9 novembre 1660, le Journal de voyage 1660-1661.

3) Voyez la p. 182 du T. III. Il semble ressortir de cette page que Lodewijk Huygens connaissait Desargues personnellement. Il se peut donc que Christiaan et Lodewijk aient fait sa connaissance lorsque les deux frères se trouvaient à Paris en 1655. Mais il est également fort possible que Christiaan ne l'ait vu qu'une seule fois de sa vie. On peut aussi consulter sur la soirée chez de Montmort qui eut lieu le 9 novembre 1660, le Journal de voyage 1660-1661.

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aurait une existence réelle⁴⁾. Il fut attaqué sur cette thèse par de la Poterie. Une expression de Huygens montre que la question provoqua ce soir des réactions passionnées: il parle de la vehemence merveilleuse et ridicule de de la Poterie.

Voyez la p. 504 qui suit sur un fac-similé, publié en cette même année 1940, des définitions de 1690 de Huygens.

4) Il est possible que dans sa conférence Desargues soit parti de la notion du corps: M. Poudra dans les ‘Oeuvres de Desargues, réunies et analysées par [lui]’ (Paris, Leiber, 1864) cite (T. II, p. 176) l'élève et ami de Desargues Abr. Bosse disant: ‘Desargues démontrait universellement par les solides, ce qui n'est pas l'usage ordinaire de tous ceux qui se disent géomètres ou mathématiciens’.
On pourrait penser devoir constater ici une certaine ressemblance entre la pensée de Desargues et celle de Huygens. En réalité Desargues a eu bien peu d'influence sur lui; voyez toutefois le nom Desargues aux p. 220, 221 et 402 qui suivent. Il nous semble d'ailleurs, malgré Bosse, que Desargues ne partait pas toujours exclusivement de la notion du corps. M. Zacharias dans la préface de sa traduction de 1922 dans la série ‘Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften’ (N^o. 197) du ‘Broüillon-project d'une atteinte aux évenemens du rencontre du cone avec le plan’ s'exprime comme suit: ‘Sind bei den Alten alle Figuren starr und unbeweglich, so setzt die neuere Geometrie die Bestandteile ihrer Gebilde gern in Bewegung; Punkte durchlaufen Linien [il en était ainsi déjà chez Héron d'Alexandrie; Aristote, lui, disait (Physica, VI) que le mouvement continu d'un point mathématique est inconcevable et inexistant; voyez encore sur ce sujet la note 13 de la p. 372 qui suit], gerade Linien drehen sich um feste Punkte oder wälzen sich als bewegliche Tangente um krumme Linien herum, Ebenen drehen sich um feste Achsen ... [Es] erweist sich Desargues in seinem Broüillon-project als Wegbereiter der neueren Geometrie ... hinsichtlich der Beweglichkeit der Figuren zeigt sich Desargues als Bahnbrecher der neuen Richtung. So erzeugt er den Kreis und die andern Kegelschnitte durch Bewegung eines Punktes, den Kegel durch Bewegung einer geraden Linie etc’. Nous ne nous écartons certes pas de notre sujet en observant en passant que si cette géométrie du mouvement est en général étrangère aux Eléments euclidiens, il est pourtant vrai que dans le livre IX Euclide, se conformant à des prédécesseurs, définit la sphère (Def. XIV) comme le solide contenu dans la surface obtenue par la rotation d'une demi-circonférence de cercle et que dans la Def. XVIII il obtient le cône par la révolution d'un triangle rectangle; ni aussi en remarquant que, pratiquement au moins, Huygens n'a aucune objection contre de pareilles définitions: voyez p.e. les dernières lignes de la p. 309 du T. X. Mais dans ceci il n'est certainement pas question de la moindre influence de Desargues sur Huygens dont les figures - nous ne parlons pas ici des développantes ou d'autres courbes dans la genèse desquelles sont considérés des sils flexibles - sont en général, comme celles d'Euclide, ‘starr und unbeweglich’.