Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 185]

I. A propos de l'ouvrage projeté d'un mathématicien inconnu se proposant de corriger les éléments d'Euclide¹⁾.
[1672]

Il a de bonnes choses, comme l'ordre de considerer les corps surfaces et lignes.

Mais ces choses se pourraient mettre sous forme de commentaire.

Sur les Regles. Ce qui est dit dans la 5 de ces regles doit estre examinè car c'est la dessus qu'il fonde la necessitè de toutes ces propositions du premier livre qui ennuieroient fort le lecteur.

1 definition. Point necessaire car on scait aussi bien ce que c'est qu'estre egal que ce que signifie plus ou moins.

2 defin. De mesme superflue.

5 defin. Superflue. la 6 de mesme.

7 defin. Ce n'est pas la signification vulgaire, mais on la peut icy establir par definition.

8 defin. Le nombre 2 n'est il pas partie de 8?

9 et 10 defin. Superflues. De mesme la 12, 13, 14.

15 defin. Bien longue.

19.20 defin. Superflue.

21 defin. Quand la proposition est un probleme est ce alors pour examiner?

24 defin. Ne semble pas convenir au probleme.

1 Remarque. Probleme et proposition ne se disent pas d'une haleine. Je ne voudrois pas mesler les definitions avec les axiomes et postulats. au moins pas si dispersez.

Il allegue d'autres premiers Elements, s'ils sont necessaires il faudroit les mettre avec ceux cy.

Je corrigerois s'il y a quelque chose a corriger dans Euclide, la demonstration des proportionnelles par les multiples, et la ferois par les parties aliquotes comme Tacquet²⁾. [Ailleurs - ‘Physica varia’ f. 34; voyez sur la date de cette feuille la note 1 de la

1) La pièce est empruntée au revers de la feuille qui nous a fourni l'Appendice II à la Pars Quinta de l' ‘Horologium oscillatorium’ (T. XVIII, p. 438). Or, cet ouvrage parut en avril 1673, et le texte de l'Appendice doit être antérieur à cette date. Il paraît donc probable que la présente Pièce date elle aussi de 1672 ou peut-être de 1673.

2) Andreas Tacquet, Societatis Iesu sacerdos & matheseos professor - voyez sur lui les p. 155 et 185 du T. I -, avait publié en 1665 (editio secunda correctior, Antverpiae, apud Iacobum Meursium) les ‘Elementa Geometriae planae ac solidae, quibus accedunt selecta ex Archimede theoremata’. Il s'agit d'une édition des Eléments d'Euclide ‘ad usum studiosae iuuentutis’ (la première édition est de 1654. Voyez la note 3 de la p. 2 du T. III, se rapportant à une lettre de 1660 de Huygens à Tacquet). Dans la Préface Tacquet dit e.a.: ‘In quinto libro proportionum doctrinam, ut quidem ab Euclide traditur, satis spinosam, efficere planiorem conatus sum. Itaque primùm proportionum elementa, faciliori quadam methodo, multiplicibus ablegatis, traduntur’. Au début du Liber V il écrit e.a.: ‘Difficultas tota in definitione 5. libri 5. vertitur: ubi tradit Euclides, quid sit quatuor magnitudines esse proportionales, sine duas rationes, easdem, similes, aequales esse. Definit igitur duas rationes tum aequales dici seu similes, quando antecedentia quocumque numero aequaliter multiplicata, consequentibus etiam quocunque numero aequaliter multiplicatis, semper vel simul aequalia sunt, vel simul maiora, vel simul minora. Atque ex ea definitione omnes deinde 5. & 6. libri demonstrationes mediatè vel immediatè deducit. Haec doctrinae Euclideae summa: quae multiplicem, ut dixi, difficultatem habet. Nam imprimis certum est eâ definitione non naturam aequalium rationum, sed affectionem solummodo aliquam explicari. Deinde illa multiplicium proprietas adducitur, vel tanquam signum infallibile rationum aequalium, ut quandocumque ea demonstrata fuerit de quibusuis rationibus, inferre certò liceat aequales eas esse: vel is sensus illius est, ut per magnitudines eandem rationem habentes nihil aliud intelligi velit, quàm earum multiplices modo iam dicto excedere, vel excedi. Si primum; demonstrare debuerat, eam affectionem omnibus & solis rationibus aequalibus inesse, ut ex eâ rationum aequalitas certò possit inferri. Id verò minimè vulgare theorema est, quod neque Euclides, neque alius post Euclidem ullus demonstrauit. Si secundum; securi quidem erimus de veritate theorematum in sensu definition is acceptorum, minimè tamen ex vi demonstrationum nobis constare poterit de absolutâ rationum aequalitate’.
La première définition du livre V chez Tacquet (s'accordant, quant au sens, avec celle d'Euclide), est la suivante: ‘Pars aliquota magnitudinis est, quae aliquoties repetita magnitudinem metitur, siue adaequat. Pars aliquanta, quae non metitur’.
Dans un exposé de la p. 133 intitulé ‘Proportionum aequalitas & inaequalitas explicatur’ il nous apprend ce qui suit: ‘Quid porro sit unum antecedens aequè vel magis continere suum consequens, quàm antecedens alterum contineat suum, si proportiones sint rationales, definiri & explicari ulterius potest per numeros, ut si A sit triplum B, & C triplum F, perspicuum erit, quid sit, A aequè seu eodem modo continere B, quo C continet F: vel si I sit triplum L, O verò duplum Q; constabit rursum, quid sit I magis continere L, quam O contineat Q. At si proportiones fuerint irrationales, ea res explicari ulterius nec potest, nec debet. Dentur magnitudines incommensurabiles A, B, perspicuum est A non solùm maius esse B, sed etiam certo quodam modo esse maius (A quippe aliter continet B, quàm alia quaelibet maior minorue quam A:) neque tamen ulteriùs quaeri, aut explicari debet, quis sit certus ille modus, quo A continet B; quia per nullos numeros explicabilis est. Itaque quemadmodum datis binis incommensurabilibus quantitatibus non debet ulteriùs quaeri, quid sit unam certo modo continere alteram, ita neque cum dantur quatuor proportionales incommensurabiles, quaeri debet ulterius, quid sit C eodem modo continere D, quo A continet B. Sicuti enim modus quo A continet B, ulterius est inexplicabilis, ita planè etiam identitas modi, quo A continet B, cum modo, quo C continet D, ulterius inexplicabilis est. Etc.’
Rien n'indique que Huygens approuve cette critique de Tacquet de la définition d'Euclide, sur la finesse de laquelle on peut consulter l'édition de 1930 des Eléments citée à la p. 11 qui précède. Heureusement la définition de Huygens que nous insérons entre parenthèses dans le texte et qui, comme il le dit, n'est autre que celle proposée par Tacquet à la p. 136 de son livre (savoir: ‘Rationes aequales sunt quando & consequentes ipsae, & consequentium similes partes aliquotae quaecunque in antecedentibus aequali semper numero continentur’) se rapproche en somme beaucoup de celle d'Euclide.
Nous ajoutons encore que dans sa lettre à Tacquet de 1660, citée au début de la présente note, Huygens fait voir à son correspondant qu' Euclide raisonne parfois mieux que lui.

[p. 186]

p. 333 du T. XIX - Huygens écrit: ‘E quatuor magnitudinibus prima est ad secundam sicut tertia ad quartam, quando prima aut quaelibet ejus pars aliquota toties auferri potest a secunda, quoties tertia aut ejus pars similis aliquota auferri potest a quarta’.] J'adjouterois la proposition 2 d'Archimede des Conoides³⁾.

Il y a quantitè de choses dans ces Elemens qu'on n'y trouveroit pas a dire si elles n'y estoient point, et qu'on censurera quand on les y trouuera.

S'il faut que cela paroisse comme l'ouvrage de l'Academie, il faudroit ou que la compagnie y travaillast, ou que du moins il deferast a leur jugemens.

3) Huygens avait fait usage de cette proposition d'Archimède dans la Pièce de 1657 que nous avons intitulée: ‘Réduction suivant la méthode des anciens, de la rectification de la parabole à la quadrature de l'hyperbole’ (T. XIV, p. 237 et suiv.) Il s'en sert aussi dans la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’ (T. XVIII, p. 179). Voyez aussi la p. 377 du T. XVIII. Nous avons cité la proposition dans la note 5 de la p. 251 du T. XIV en remarquant qu'elle porte le numéro 4 dans l'édition moderne de Heiberg des Oeuvres d'Archimède.

[p. 187]

Les 3 fins des Elements. 1^o Establir des principes certains de la science. 2^o Servir d'enseignement a ceux qui veulent l'apprendre. 3^o Et contenir un recueil des propositions qui s'emploient le plus frequemment dans les ouvrages et demonstrations de Geometrie afin qu'on ne soit pas obligè d'estendre a chaque fois les demonstrations jusqu'aux premieres propositions et principes.

Pour effectuer ces 3 choses, en sorte qu'il n'y manque rien ni qu'il n'y ait rien de superflu, je crois qu'il faudroit en premier lieu choisir les Propositions principales et plus usitees dont on conviendroit qu'elles seroient necessaires ou qu'elles meriteroient d'entrer dans ce Recueil. Et voir en suite celles qui devroient leur succeder par ordre pour parvenir a leur demonstration. Et cela jusqu'au premiers principes et axiomes, dont par cette retrogradation on trouveroit tous ceux qui sont necessaires, fans estre en danger d'en poser de superflus. Et de mesme en ce qui regarde les definitions, dont la superfluitè ne doit pas moins estre evitée.