Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

E.¹⁾ Cycle harmonique par la division de l'octave en 31 dieses²⁾, intervalles egaux.

Cette étude est précédée (également f. 16 du portef. ‘Musica’) par la Pièce, le programme peut-on dire, que nous publions comme Appendice à la p. 168 qui suit.

§ 1. Ceux qui ont un peu estudiè la Theorie de la Musique (et ce n'est que d'eux que je pourray estre entendu) scavent ce que c'est que le Temperament qui sert a bien accorder les instruments a clavier qui sont les plus parfaits que nous ayons. Zarlin et Salinas en parlent comme d'une des belles choses et des plus necessaires, qu'on pust trouver dans la musique et se disputent l'honneur de l'avoir examinè et reglè par raison car l'experience et la necessitè avoient desia auparavant introduit l'affoiblissement des 5^tes qui est le point principal, mais sans precise mesure, sans scavoir de combien. C'est aussi ce Temperament qui a fait negliger avec raison tous les divers systemes et divisions du monochorde des anciens, la pluspart absurdes et inpraticables; et qui rend

1) Portefeuille ‘Musica’ f. 16-19.

2) Huygens donne à l'intervalle 31 fois répété le nom dièse (δίεσις), lequel dans le système harmonique naturel désigne l'intervalle dont une octave surpasse la somme de trois tierces majeures (grand dièse) ou bien celui dont la somme de 4 tierces mineures surpasse l'octave (petit dièse). Dans le système pythagoricien le même mot est parfois employé pour indiquer le λεῖμμα (256:243). Chacun de ces dièses a sa propre valeur: celle du grand dièse est de 62, 6 Cents, du petit 40, 1 Cents, du λεῖμμα ou limma 90, 23 Cents, de celui de Huygens 38, 71 Cents.
Gènéralement, chez les musicologues, le mot δίεσις est employé pour désigner un petit intervalle. La manière dont Huygens applique ce terme s'accorde en principe avec celui d'Aristoxène, qui appelle son plus petit intervalle (¼ ton) δίεσις ἐναρμόνιος ἐλαχίστη (‘Harm. Elem’. éd. Meibomius, p. 21). On pourrait parler d'un intervalle-atome.
Comparez l' ‘intervalle-atome’ de la Tabula de Meibomius mentionnée à la p. 6 qui précede.

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nostre systeme plus abondant en accords et plus selon la nature du chant, que n'estoient ceux la³⁾.

On apprend au reste chez ces autheurs⁴⁾ que pour le pratiquer les quintes et les 6 mineures sont diminuees d'un quart de comma, qui est un petit intervalle a peine perceptible a l'oreille, le comma entier estant le rapport entre le son de la chorde entiere contre elle mesme racourcie d'une partie 81^me, et que les 4^tes et les sixtes majeures par consequent s'y trouvent augmentees de ce mesme quart de comma et qu'ainsi outre les octaves et les tierces majeures qui demeurent parfaites, tous les accords sont modifiez⁵⁾ en sorte que l'oreille n'en est aucunement offensée, mais s'en contente comme s'ils estoient parfaits, que je suppose que l'on connoit, scavoir que la quinte parfaite s'entend entre le son de la chorde entiere et celuy de ses ⅔. ou bien que la proportion qui produit cette consonance est de 3 a 2, celle de la quarte de 4 a 3; de la tierce majeure de 5 à 4, de la tierce mineure de 6 a 5. de la sixte majeure de 5 à 3, de la fixte mineure de 8 a 5.

Or la remarque que j'ay faite, c'est que si on divise l'Octave en 31 parties egales, ce que se fait en trouvant 30 longeurs moienes proportionelles entre toute la chorde qu'on prend pour regle Harmonique, et sa moitiè on trouvera dans les tons qui provienent en faisant sonner apart toutes ces longeurs, un système si approchant de celuy qui provient du dit Temperament, tant pour les tons diatoniques que chromatiques et enarmoniques qu'on y voudra joindre, qu'il sera entierement impossible que l'oreille la plus delicate y trouve de la difference. Et que pourtant ce mesme nouveau systeme sera d'une nature bien differente de l'autre, et apportera de nouveaux avantages tant pour la theorie que pour la pratique.

Le son contiendra 5 de ces parties egales, qu'on peut nommer dieses, le grand demiton 3, le petit demiton 2, la tierce mineure 8, la tierce majeure 10, la quarte 13, la quinte 18; la sixte mineure 21; la sixte majeure 23; le triton 15 et la fausse quinte par consequent 16⁶⁾.

§ 2. Mais devant que de faire voir la proximitè de cette division avec celle qui nait du Temperament susdit, je veux icy aller au devant de ce que me pourroient objecter ceux qui ont lu les livres de Salinas ou du Pere Mersenne, a scavoir qu'il y est parlè bien expressement de cette mesme division de l'octave en 31 parties egales. Ce qui

3) Leçon alternative: les leurs.

4) Voyez, à la p. 49 qui précède, la Pièce B. ‘Divisio Monochordi I’.

5) Leçon alternative: ordonnez.

6) Voyez l'Avertissement. Le triton ou quarte augmentée est un intervalle composé d'un ton majeur, d'un ton mineur et d'un deuxième ton majeur, p.e. c - fis^{- 1}. Le rapport correspondant est 45:32 ou approximativement 7:5. La ‘fausse quinte’ est le complément du triton par rapport à l'octave.

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est vray et je l'avoue volontiers. Mais comme Salinas ne fait mention de cette invention que pour la condamner absolument, et que le P. Mersenne la rejette de mesme, on pourra bien me croire si je dis que ce n'est pas de la que je l'ay pris⁷⁾. Mais quand cela seroit, je croirois avoir fait assez d'avoir examinè cette division par la voye de la geometrie et de l'avoir soutenuë contre l'injuste sentence prononcee par ces 2 celebres autheurs. je crois qu'on me seroit obligè.

Salinas fait un Chapitre entier dont l'inscription est De prava constitutione cujusdam instrumenti quod in Italia citra quadraginta annos fabricari coeptum est, in quo reperitur omnis tonus in partes quinque divisus⁸⁾. Il dit que cet instrument estoit nommè archicymbalum⁹⁾ qu'il estoit incerti authoris¹⁰⁾, que certains musiciens celebres en faisoient grand estime, et particulierement de ce qu'il avoit tous les intervalles et toutes les consonances (comme ils croient dit il) en dessus et en dessous, et qu'apres certaine periode on y revenoit au mesme son, ou aequivalent, d'ou on estoit parti. marquant aussi combien de ces 31 parties egales de l'octave, chaque consonance en contenoit, de mesme que je viens de faire. Mais il adjoute qu'il a essaiè d'accorder un instrument de cette maniere, mais qu'il a rendu un son desagreable et qui blessoit si fort les oreilles de tous ceux qui l'entendoient; qu'il en conclud qu'un tel accord s'eloigne de toute raison harmonique, soit qu'on considere les accords justes ou bien les temperez¹¹⁾.

Outre son experience il adjoute encore cette raison prise de la maniere dont pour cet archicymbalum on divisoit l'intervale du ton en 5 parties egales, qui estoit de prendre sur cet intervalle depuis ses 2 extremitez deux demitons majeurs, et puis d'ou ceux cy finissent en arriere deux demitons mineurs. Il dit que par ce moien le ton n'est pas divisè en 5 parties egales. Mais de quel ton pretend il parler puis qu'il s'agissoit de leur ton de 5/31 de l'octave, du quel il n'a point sceu la grandeur, ni peut estre ceux la mesme qui estoient inventeurs, car on a besoin pour cela des logarithmes inconnus alors¹²⁾.

7) Voyez sur ce passage l'Avertissement qui précède.

8) Cap. 27 du Lib. III de ‘de Musica’.

9) Nous ignorons le constructeur de cet instrument que Salinas paraît avoir vu déjè vers 1537 (‘citra quadraginta annos’, écrit-il en 1577). Il est bien connu que plus tard dans le cours du seizième siècle il en a existé plusieurs. Vicentino en construisit un qu'il décrit dans ‘L'antica musica ridotta alla moderna prattica’ de 1555 (comparez la note 9 de la p. 144).
Arnolt Schlick fait également mention d'instruments de ce genre: voyez N. Dupont ‘Geschichte der musikalischen Temperatur’, Inaug. Diss. Erlangen 1935. Nördlingen, 1935, p. 51.

10) ‘... ab eius autore, quisquis ille fuit, Archicymbalum appellatum’.

11) L.c. p. 166.

12) En marge: comment scavoit il la valeur de leur ton. s'il eust su les logarithmes. du ton qui fait 5/31 d'octave. voir Salinas l. 3. ch. 15 ou 27. - Le chap. 15 du livre 3 est intitulé ‘Quod tres sunt inventae temperamenti constitutiones in Musicis, quibus utimur, instrumentis: et de illarum prima’. Voyez sur le chap. 27 la note 6 de la p. 142 qui précède.

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Sans cela il n'estoit pas possible presque de trouver 30 moienes entre 2 nombres donnez, de sorte que ni Zarlin¹³⁾ a pu examiner cette division, ni les inventeurs de l'archicymbale connoitre s'il estoit accordè suivant ce qu'ils pretendoient. Enfin ce nouveau temperament qu'il rebute si fort se peut dire le plus excellent de tous, ayant tous les avantages qu'il dit qu'on luy attribuoit, et encore d'autres dont je parleray en suite, et son harmonie ne pouvant estre distinguée avec celle que donne le Temperament ordinaire dont tous se servent.

§ 3. Pour le faire voir je dis premierement que les quintes de cette division ne surpasseront celles du Temperament que de 1/110 de Comma¹⁴⁾, difference qui ne scauroit aucunement estre appercue par l'oreille, puisque celle de ¼ de Comma l'est si peu qu'elle ne l'offense pas. Et il faut noter que c'est de ce 1/110 de Comma, que les quintes de la division approchent d'avantage des 5^tes parfaites que ne font celles du Temperament. les quartes par consequent ne sont excedées que de 1/110 de Comma de celles du Temperament, et elles tendent d'autant plus vers la perfection de cette Consonance.

Les tierces mineures sont excedées de celle du Temperament par 3/110 ou environ

13) Ceci doit probablement s'entendre de Salinas.

14) Voyez la Table de l'Avertissement. La différence est de 0,20 Cents. Le comma contient 21,5 Cents. 1/110 comma = 0,196 Cents.
A propos des endroits du ‘Cycle harmonique’ ou ‘Novus Cyclus Harmonicus’ (Pièce F), où se trouve la même affirmation, Riemann observe dans une note de la p. 359 de sa ‘Geschichte der Musiktheorie’ (nous l'avons déjà dit dans la note 10 de la p. 7 qui précède): ‘Huyghens ... wirft Salinas und Mersenne vor, dass sie aus Unkenntnis der Logarithmen, die Vorzüglichkeit der 31-stufigen Temperatur nicht hätten erkennen können; nicht um 1/4 des syntonischen Kommas zu klein, sondern um 1/110 desselben zu gross seien die Quinten dieser Temperatur. Nach meiner grossen Tabelle der Tonwerte in Logarithmen auf Basis 2 ... sind aber doch die Quinten um 1/4 Komma zu klein - ich überlasse die Nachprüfung Mathematikern von Fach!’ Dupont dans sa ‘Geschichte der musikalischen Temperatur’ (note 9 qui précède) aboutit à la même conclusion par un raisonnement analogue. Or, ces remarques sont le résultat d'un malentendu. Huygens dit clairement que ses quintes surpassent de 1/110 de comma les quintes du tempérament usuel, c.à.d. du système du ton moyen. En effet, tout son discours tend à faire voir que son système ne diffère qu' imperceptiblement de celui du ton moyen. Mais les auteurs cités le font dire bien à tort que sa quinte ne diffère que de 1/110 de comma de la quinte naturelle et combattent ensuite cette assertion prétendue.
Notons en passant que Huygens se rendait parfaitement compte du fait que Salinas, mort en 1590, ne pouvait pas connaître les logarithmes: voyez les dernières lignes de la p. 157.

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1/37 de Comma¹⁵⁾. Et les sixtes majeures excedent d'autant les sixtes majeures du Temperament. toutes deux a la veritè en s'eloignant de la proportion parfaite. Mais on voit que cette difference ne scauroit encore estre perceptible.

Les tierces majeures enfin excedent celles du temperament, qui sont parfaites, de 4/110 ou 1/28 de Comma¹⁶⁾. qui est une si petite difference qu'on ne les pourra prendre que pour parfaites puisque sur une chorde de 5 pieds elle n'importe pas ⅓ de ligne. Les demitons majeurs comme de E,F y approchent un peu plus de leur vraie proportion que dans le temperament, car cette vraie proportion estant de 16 a 15, sçavoir la difference d'entre la quarte et tierce majeure parfaite, le demiton du Temperament la surpasse de ¼ de comma, et le nostre de ¼ moins 1/22 de comma¹⁷⁾ ce qui ne pourroit qu'adoucir tant soit peu ce demiton et feroit du bien dans les cadences¹⁸⁾.

On peut dire au reste qu'il n'est qu'avantageux de gaigner quelque perfection sur les 5^tes et sur les 4^tes en perdant un peu plus sur les tierces, parce que plus les consonances sont parfaites, c'est a dire plus leur tremblements s'unissent souvent, et moins l'oreille leur souffre d'alteration. ainsi à l'unisson et a l'octave on n'en peut souffrir la moindre. Et la quinte est plus sensible en cela que la quarte et celle cy que les tierces et les sixtes. Mais, comme j'ay desia montrè, toutes les differences de ces 2 Temperaments sont imperceptibles, et il s'ensuit que lors qu'un jeu d'Orgue ou un clavecin sera accordè suivant le Temperament ordinaire, on peut dire qu'il le sera aussi suivant le nouveau, autant que l'oreille peut discerner. Mais si pourtant on veut se satisfaire entierement la dessus, et avoir en mesme temps la division de l'octave en 31 parties egales on n'aura qu'a diviser un monochorde suivant les nombres que l'on verra dans le Table que je donne¹⁹⁾, et en mettant sa chorde en unisson avec le c du clavecin ou orgue, accorder de mesme les autres chordes ou tuyaux avec les sons de la chorde successivement racourcie du Monochorde.

Que si l'on demande, quel avantage on tire donc de cette Division puis qu'elle donne des tons si semblables a ceux du Temperament, je dis qu'il y en a plus d'un. car

15) La différence est de 0,60 Cents. 1/110 comma = 0,59 Cents.

16) La différence est de 0,79 Cents. 4/110 comma = 0,78 Cents.

17) Dans le système harmonique naturel le demi-ton majeur est de 112 Cents, dans celui du ton moyen il est de 117,13 et chez Huygens de 116,13 Cents. La différence des écarts est donc de 1 Cent ou environ 1/22 comma.

18) Savoir dans toutes les cadences où le dessus monte d'un demi-ton.

19) Voyez la Pièce F qui suit, c.à.d. le (Nouveau) Cycle Harmonique, T. X, p. 173.

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premierement elle nous apprend que sans rien faire perdre du bon effect du Temperament, mais plustost en y adjoutant, nous avons un systeme dans lequel chaque chorde tant des tons que semitons et dieses se trouve avoir toutes les consonances et intervalles en dessus et en dessous, et cela partout de la mesme façon.

que dans ce systeme le demiton majeur contient trois cinquiemes parties du ton, et le demiton mineur les autres deux cinquiemes.

qu'enfin il constitue [comprend] un parfait Cycle Harmonique, en ce qu'en y montant ou descendant tout de suite par l'intervalle de quinte ou quelqu'autre que ce soit, on revient apres certaine revolution a la chorde d'ou l'on a commencè²⁰⁾.

§ 4. Je dis de plus que sur ces fondemens on peut construire un jeu d'orgue ou un Clavecin, qui servira a transposer en haussant ou en baissant de tel intervalle qu'on voudra, comme de 4^te, tierce, ton, demiton, &c, jusqu'a une diese ou cinquieme de ton. Ce qui sur les instrumens ordinaires de cette sorte est impossible; et se fait icy sans peine ni sans avoir l'habiletè que la transposition demande. Et a fin que ceux qui voudront faire fabriquer un tel instrument scachent comment s'y prendre je veux icy donner l'instruction.

Il faut disposer les tuyaux ou les chordes en sorte qu'il y en ait 31 dans chaque octave sans comprendre la derniere chorde, ce qui est aisè aux orgues et encore aux Clavecins, puis qu'on y met desia d'ordinaire 24 chordes a ceux qui ont deux registres à l'unison et quelque fois encore 6 ou 8 autres pour 3 ou 4 feintes extraordinaires²¹⁾. Les batons qui font partir ces tuyaux ou chordes se feront precisement d'egale largeur, qui soit d'une cinquieme partie de la largeur d'une touche et seront rangez pres les uns des autres et tous a mesme hauteur, sans aucune difference. La dessus on posera un clavier mobile ayant les touches a l'ordinaire qui seront attachees par un bout à une regle platte qui puisse couler dans une autre regle fixe et arrestée sans en pouvoir sortir ce qui est aisè. De la regle mobile vers chaque bout on coupera 3 ou 4 morceaux chacun de la largeur d'une touche, ce qui fera que les touches atta-

20) C'est à cette propriété que le petit traité de Huygens doit son titre (Cycle Harmonique). Elle résulte immédiatement du fait que chaque intervalle est un multiple entier du dièse. Lorsque l'intervalle considéré est de n dièses, une ascension par une série de 31 de ces intervalles-là conduit à la n^ième octave du ton fondamental.

21) Il en était ainsi p.e. pour le Gravicembalo construit en 1548 pour Zarlino par Domenico de Pasaro: entre b et c et de même entre e et f une touche blanche avait été intercalée; entre les autres touches blanches chaque fois deux touches supérieures colorées. Il est quelquefois fait mention d'une scission en deux de la touche noire entre d et e pour distinguer les notes dis et es, et même de celle entre g et a pour distinguer as et gis. Comparez Dupont l.c. p. 50 et suiv. Un ‘clavemusicum omnitonum’ de 1606, possédant 31 touches pour chaque octave, a été conservé jusqu'aujourd'hui (Dupont, p. 53).
Le lecteur hollandais pourra consulter aussi l'ouvrage de M.^me Bertha van Beynum von Essen ‘Bouw en Geschiedenis van het Klavier’ (Rotterdam, Brusse, 1932).

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chées a ces morceaux se pourront transporter d'un bout de la regle immobile a l'autre a fin que la mobile puisse avancer ou reculer autant qu'il est besoin selon les marques qu'on escrira dessus. J'ay fait autrefois ajuster de tels claviers mobiles a des clavecins estant a Paris, et mesme a ceux qui avoient leur clavier ordinaire où il faloit que celuy que je mettois par dessus egalast en mesme temps les hauteurs des touches et des feintes a fin que les touches pussent glisser sans empeschement. Et cette invention fut approuvée et imitée par des grands maitres qui y trouvoient de la commoditè et du plaisir²²⁾.

Il reste a dire pour celle dont je traite icy qu'il faut attacher par dessous à chaque touche et feinte du clavier mobile de petits bouts, disposez en sorte qu'ils se rencontrent placez pour presser directement sur les batons qui sont dessous et qui respondent aux tons de ces touches, à quoy il faut du soin et de l'exactitude. mais estant bien ajustez dans une situation ils seront bien dans toutes les autres a cause de l'egale largeur des bastons.

Il y a aussi cette commoditè que sans adjouter des chordes on peut avoir des feintes extraordinaires sur le clavier pour les tons enarmoniques qui servent principalement à suppleer des accords dont on a a faire en jouant dans certains tons. Car ces touches adjoutees trouveront aussi bien que les autres, leur vrayes chordes dans toutes les transpositions, comme il paroitra par le Table suivante²³⁾ ou les plus necessaires de ces feintes à adjouter seront marquées.

§ 5. Je raporteray encore icy une remarque a l'avantage de ce nouveau temperament qui est que l'intervalle du triton y est contenu par tout de la proportion de 7 à 5 ne manquant qu'un 1/12 de comma et celuy dela fausse quinte par consequent n'excedant que d'autant la proportion de 10 a 7. au lieu que ces differences dans le temperament ordinaire sont de 1/7 de comma²⁴⁾. Or je dis que ces intervalles de 7 a 5 et de 10 a 7 ont quelque chose de harmonieux estant examinez avec attention (du moins

22) En juillet et août 1669 (T. VI, p. 473 et 484) Huygens fait mention dans des lettres à son frère Lodewijk de son ‘invention du clavecin’ ou ‘invention [du] clavier mobile’, dont il dit avoir envoyé une exacte et assez longue description à leur père. Nous ne la possédons pas, car les lettres échangées entre Huygens et son père pendant le séjour du premier en France nous font défaut; comparez la note 3 de la p. 7 du T. XVIII.

23) Voyez la Table par laquelle se termine notre Avertissement (p. 146).

24) L'intervalle 7:5 vaut 582,52 Cents. Pour la vraie valeur 45:32 du triton on trouve 590,22 Cents. 15 dièses diffèrent en effet de 1,87 Cents ou 1/12 comma du nomme de Cents mentionné 582,52.

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je le trouve ainsi a mon oreille) et qu'on les pourroit compter parmy les consonances²⁵⁾ quelque chose qu'en puissent dire les maitres compositeurs, qui les rangent autrement parmy les fausses relations²⁶⁾. Il en peut estre de mesme que des Tierces majeures et mineures chez les anciens qui ne les voulurent jamais reconnoitre comme consonances, comme encore aujourd'huy on veut qu'elles ne soient qu'imparfaites et que les parfaites sont l'octave, quinte et quarte qui est une distinction tres mal fondee²⁷⁾. Mais pour prouver ce nouveau paradoxe que je viens de avancer touchant le triton et la fausse quinte, il faudra dire quelque chose touchant l'origine²⁸⁾ des Consonances en general.

§ 6. On scait que ce qui fait bien sonner ensemble 2 chordes²⁹⁾ ce sont les battements ou tremblements qu'elles causent dans l'air, qui vienent a s'unir souvent et reglement, et que d'autant plus frequentes que sont ces unions, d'autant plus la consonance est censée parfaite, ou du moins eminente en dignitè. ainsi dans l'octave les battemens s'unissent a chaque fois que la chorde basse a fait 1 vibration et l'autre 2. dans la quinte a chaque 2 vibrations de l'une et 3 de l'autre, a la quarte de 3 et de 4, a la tierce majeure de 4 et de 5, a la tierce mineure de 5 et de 6. On veut que dans le nombre de 6 soient bornees toutes les consonances³⁰⁾, car bien que dans la sixte

25) Comparez le dernier alinéa de la p. 37 qui précède.

26) En marge: Mersenne trouue point de raison. 8 a 5 pourquoi plait a l'oreille. sert a accorder. orne le chant. intervalle fort frequentè et qui sert plus qu'on ne pense a faire des beaux chants. quelque place qu'on leur donne n'en seront pas moins beaux. La sixte majeure n'est elle pas sauvee presque toujours de l'octave. on l'entonne aisement. celuy de 7 a 4 ne s'y trouve que 2 fois. cela le rend moins soufrable. 7 a 6 ni 7 a 3 ne se trouve point icy. - non audio qui allegant authoritatem.

27) La remarque sur Mersenne se rapporte sans doute à ses considérations sur le nombre des consonances dans le Livre I ‘des Consonances’. Prop. 33 ‘Pourquoi il n'y a que sept ou huit simples consonances’.
Cette distinction est faite e.a. par Zarlino ‘Istitutioni Harmoniche’ Parte III cap. 6 ‘Divisione delle Consonanze nelle Perfette e nelle Imperfette’. Elle repose sur le fait que les nombres indiquant les rapports de toutes les ‘consonances parfaites’ sont compris dans la série 1, 2, 3, 4, tandis que pour exprimer toutes les consonances sans exception il faut la série 1, 2, 3, 4, 5, 6, le ‘senarius’: comparez la note 30 qui suit.

28) Leçon alternative: la nature.

29) En marge: et il en est de mesme des tuyaux d'orgue.

30) Huygens fait allusion ici à la théorie du ‘senarius’ développée par Zarlino dans ses ‘Istitutioni Harmoniche’, Parte I, cap. 13-16, et par Salinas dans son ‘De Musica’, Lib. II, cap. 12, 24, 25. D'après cette théorie les rapports des intervalles consonants seraient tous compris dans la suite des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

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mineure les battemens ne s'unissent qu'a chaque 5 vibrations de la chorde basse et 8 de la haute; on voit que ces 8 font 4 vibrations doubles contre les 5 de lautre chorde³¹⁾, et qu'ainsi cette consonance peut estre censée en dedans du nombre de 6; et qu'elle ne doit guere ceder en douceur a celle de la tierce majeure; et il en est de mesme de 3 contre 8, et de 3 contre 10. qui font l'Unzieme et la Treizieme.

Or puis que les 5 battemens contre 6 font consonance, pourquoy veut on que 6 contre 7 n'en fassent point, ni 5 ou 4 ou 3 ou 2 contre 7.

Le P. Mersenne apres avoir longtemps cherchè quelque raison a cela, advoue³²⁾ qu'il n'en scauroit trouver qui soit bonne. Et je crois qu'en effect il n'y en a point, parce qu'on suppose une chose fausse, car puisque l'union frequente des battemens fait la consonance, cette union revient assez souvent lors que contre 5 ou 4 ou 3 ou 2 battemens de la chorde basse il se fait 7 battemens de la haute, mais ce qui rend quelques unes de ces consonances desagreables, c'est que quoyque l'intervalle de chacune se trouve dans les tons de nostre systeme, ces intervalles ne s'usent jamais ou fort rarement dans la suite de nostre chant, ce qui fait en mesme temps qu'apres avoir frappè cette consonance, on n'en trouve point où l'on puisse passer en suite. Ce qui sans doute doit rendre cette consonance fort mechante, puisque mesme la plus excellente de toutes, si on la frappe sur des chordes qui soient tout a fait eloignees du Ton ou Modes ou l'on joue, ne parait pas consonance d'abord, et offense extremement l'oreille, comme si apres avoir fait la cadence en D, l'on frappe la quinte C^≯G.^♯.

Mais les consonances de 5 battemens contre 7 se trouvant en plusieurs endroits sur nos claviers et de mesme celle de 10 ou 5 doubles battemens contre 7 (puisque ce sont comme j'ay dit les tritons et les quintes diminuees, dont il y en a 6 de chacun) et faisant de fort beaux intervalles dans le chant; ayant aussi des consonances voisines qui les suivent agreablement, il ne leur manque rien de ce qu'ont les autres consonances et elles doivent avoir leur rang apres les autres, qui ont l'avantage de consister en des proportions plus simples.

Que si on veut argumenter³³⁾ qu'elles sont fausses de ce qu'on les sauve l'un par les sixiemes, l'autre par les tierces, l'on peut respondre que la 4 le plus souvent a aussi besoin d'estre sauvee, que la sixieme majeure se sauve de mesme presque tousjours par l'octave. il est vray que ces sixiemes et tierces sont les meilleurs accords pour succeder à ces tritons et quintes diminuees, mais de cela on ne peut pas conclure que ce soient des intervalles faux.

31) En marge: Et que cette chorde de 8 vibrations n'est que la replique a l'octave de celle qui faisoit la tierce majeure avec la chorde de 5 vibrations.

32) Voyez la proposition de Mersenne (p. 88 de l'‘Harmonie Universelle’) citée dans la note 26.

33) Leçons alternatives: prouver, inférer.

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J'ay dit que les intervalles de 6, 4, 3, 2, contre 7, se trouvent aussi dans les tons de nostre systeme. car en effet les chordes qui font les secondes superflues de F et G^≯, de B et C^≯ et de M^♭ et F^≯ unissent leur battemens a chaque 6 vibrations de l'une contre 7 vibrations de l'autre, si pres qu'il n'y a que ⅕ de comma a dire a cette proportion.

Par consequent les septiemes diminuees de C^≯B, de G^≯F et de F^≯M^♭ excedent seulement de ce ⅕ de comma la proportion de 7 a 12.

Outre cela l'intervalle de 3 a 7 doit sonner aussi bien que ...