Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695

[p. 102]

IV.
Theorie de 1668 du mouvement d'un point pesant dans un milieu dont la resistance est proportionnelle à la vitesse du mobile.

De proportione gravium cadentium habita ratione resistentiae aeris vel aquae¹⁾.
῾ευρηϰα 28 Oct. 1668.

§ 1. [Mouvement vertical de bas en haut.]

[Fig. 54.]

Suntoduo gravia sursum projecta. Grave alterum R cui resistit aer, alterum N cui non resistit. Utrumque eadem celeritate projicitur, tanta quantam maximam ex casu acquirere potest R²⁾. Celeritas corporis N fit ▭ BN [Fig. 54].

Celeritas corporis R spatium CADE aequale nimirum ▭ BN³⁾. Debet autem celeritas corporis R ab initio duplis decrementis diminui ad decrementa celeritatis corporis N. quia et aer et vis gravitatis aequaliter tunc obsistunt corpori R, sola autem vis gravitatis corpori N. Ergo CB ponenda ∞ ½CA. Et quam rationem habebit CN ad CE, eam habebit tempus ascensus corporis N ad tempus totius ascensus corporis R. Spatia autem peracta erunt ut cuneus super ▭ BN abscissus per BC ad cuneum super spatio ACED abscissum per AC⁴⁾. Quorum cuneorum soliditas cognosci potest, cum inveniatur centrum gravitatis spatij ACED, eoque brachium ejus super AC⁵⁾.

1) Manuscrit D, p. 86-97.

2) La vitesse initiale des deux corps montants est donc égale à la vitesse finale ou terminale acquise en descendant par celui des deux corps auquel le milieu résiste.

3) Il s'agit des vitesses initiales égales des deux corps (note 2). Celles-ci sont représentées dans la Fig. 54 par des surfaces, c.à.d. par des sommes à nombre infini de termes, ou plutôt par des intégrales s jdt, ou nous désignons le temps par t et la retardation par j. Dans la figure CS est l'axe des temps et CA celui des retardations. CB est la retardation de la pesanteur g. Or, la pesanteur peut, en agissant durant un temps CN sur le corps N, lui donner, lorsqu'il tombe, la vitesse représentée par le rectangle BN; BN est donc aussi la vitesse initiale correspondant à l'ascension, en un temps CN, jusqu'au point le plus haut atteint par le mobile. Quant au corps R, il ne lui faut qu'un temps CE pour atteindre sa plus grande hauteur; sa retardation est au début CA ou 2g (voir la suite du texte) par suite de l'hypothèse faite sur la vitesse initiale du mouvement ascendant, et finalement ED ou g.

4) En effet, les espaces parcourus peuvent être représentées par des sommes à nombre infini de termes, ou plutôt par des intégrales s vdt, où nous désignons par v la vitesse de l'un ou l'autre mobile. Le troisième axe, perpendiculaire au papier, est donc aussi un axe des temps.

5) Comparez sur le calcul du volume des cunei ou troncs les p. 498-501 du T. XVI. D'après la terminologie de 1664 (T. XVI) les solides ici considérés devraient plutôt être appelés ungulae ou onglets; il est vrai que tout onglet est aussi un tronc; comparez la note 9 de la p. 150 qui suit.

[p. 103]

Hic jam pono AFD esse lineam Logisticam de qua in libro B, et folio sequenti⁶⁾.

Sed aliter quoque et melius istarum altitudinum ratio inter se invenitur. Nam quum celeritas initio ascensus ad eam quam peracto tempore aliquo CG adhuc servat mobile R, sit ut spatium ACED ad spatium FGED, hoc est ut AB ad FH (ex demonstratione paginae praecedentisinitio) - rursus hoc ex proprietate Logisticae⁷⁾ - patet hinc, quod si AB ponatur pro celeritate initio ascensus, reliquae celeritates sensim diminuentes per aequalia tempora representabuntur rectis in spatio ABD aequaliter inter se distantibus ac ipsi AB parallelis: ijsque in distantias interjectas hoc est in aequales temporis particulas ductis, fiet spatium ipsum ABD mensura altitudinis ad quam mobile R perveniet, triangulum vero ABP mensura altitudinis ad quam mobile N eadem celeritate

6) Nous avons publié au Vol. XIV, p. 460-471, la Pièce du Manuscrit B sur la courbe logistique ou logarithmique. Huygens dira plus loin (§ 3) comment il découvrit que, dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse, la courbe AFDI de la Fig. 54 a cette forme. Pour le moment le lecteur est invité à admettre cette proposition sans démonstration.

7) Voici ce qu'on trouve à ce sujet à la page précédente du Manuscrit: Spatium ACGF ad spatium ACED [Fig. 54] ut FK ad DL vel KH. Invertendo et per conversionem rationis spatium ACED ad spatium GEDF ut KH seu AB ad HF.
Ceci eût pu être établi directement. En effet, ad admettant que AD est une courbe logarithmique, on sait (T. XIV, p. 466, cinquième alinéa) que tous les espaces CADE, CAFG, GFDE etc. sont proportionnels aux différences (CA - CE), (CA - GF), (GF - ED) etc.: chacun d'eux est égal au produit de cette différence des perpendiculaires extrêmes par le ‘latus rectum’, c.à.d. par la soustangente de la courbe (verticale dans la figure) laquelle a une grandeur constante.
Comme l'espace CADE est égal au rectangle BN, le ‘latus rectum’ est ici CN.

[p. 104]

projectum ascendet, quod hinc cognoscitur¹⁾, quoniam celeritates mobilis N representantur lineis in triangulo ABP parallelis ad AB, quae videlicet lineae initio decrementa subdupla habent ad decrementa parallelarum in spatio ABD; hoc enim necesse est ita se habere quia mobili N tantum una ex causa retardatio contingit, nempe ex vi gravitatis, mobili vero R ex altera praeterea isti aequali, nempe resistentia aeris, siquidem celeritate terminali mobile R projectum ponitur. Posito autem AC ∞ lateri recto, ac proinde tangente AN faciente cum AC angulum 45 graduum²⁾ fit ut requiritur ▭ BN ∞ spatio ACED³⁾. Et ▭ proinde EP ∞ spatio ABD. Ratio autem ▭ EP ad triangulum ABP, hoc est altitudo ascensus mobilis R⁴⁾ ad altitudinem ascensus mobilis N⁵⁾, erit ea proxime quae 616 ad 1000⁶⁾.

1) En marge: vel potius quia sectiones cunei dicti super ▭ BN basi parallelae sunt inter se ut applicatae adjacentes in triangulo ABP.

2) Comparez sur le ‘latus rectum’ la note 7 de la p. 103. Il est évident qu'on peut choisir les unités du temps et de la retardation de telle manière que la tangente en A à la courbe fasse avec AK un angle de 45^o. Comme la soustangente CN est le ‘latus rectum’, il faut alors que la retardation 2 g soit représentée par une longueur CA égale à CN.
D'après la deuxième interprétation donnée dans le texte à la Fig. 54, CA représente non pas une retardation. mais le double de la vitesse initiale de l'ascension.

3) Cette égalité des deux espaces, déjà établie au début du § 1, est indépendante de l'hypothèse faite en dernier lieu sur les unités.

4) Comme il a été dit plus haut, le rectangle EP représente la hauteur de l'ascension du mobile R d'après la deuxième interprétation de la Fig. 54, puisque (d'après la première interprétation de la figure) ce rectangle est égal à l'espace ABD.

5) Il a déjà été dit plus haut que le triangle ABP représente, d'après la deuxième interprétation, la hauteur de l'ascension du mobile N. C'est ce qu'on voit immédiatement puisque CN ou BP est le temps de l'ascension de ce mobile et AB sa vitesse initiale (deuxième interprétation) qui décroît uniformément.

6) C'est ce qui résulte du calcul suivant: d'après les propriétés de la courbe logarithmique, on a - voyez le deuxième alinéa de la p. 461 du T. XIV - CE [Fig. 54] = log. 2, puisque CA est le double de ED. En prenant log. 2 = 3010, il faut donner au ‘latus rectum’, CN ou CA, la valeur 4343 - T. XIV, p. 464 -, de sorte que ED = 4343 - 3010 = 1333. Le rapport considéré a la valeur 2(1333 : 4343) ou à peu près 0,614 (0,616 suivant Huygens).

§ 2. [Mouvement vertical de haut en bas.]⁷⁾.

∆ GAS - vide fig. magnam pag. sequentis [Fig. 55]⁸⁾ - ad spatium AVS, ut spatium descensus gravis N cui aer non obsistit ad descensum gravis R cui aer obsistit, eodem tempore peractum, cum SG est velocitas summa quam R cadendo acquirere potest, (quam velocitatem terminalem ipsius R voco). Ut autem ∆ GAS ad spatium AVS ita DG ad VG. nam spatium AVS aequatur ▭^o sub BG, GV, quia spatium ABGVXA aequale rectangulo sub AS, SV, ex proprietate lineae⁹⁾.

7) Comme dans le § 1 (note 6 de la p. 103, où nous renvoyons le lecteur au § 3), il est admis provisoirement sans démonstration que la courbe considérée est une logarithmique; plus spécialement: lorsqu'on prend la mème unité de temps et une unité de temps et une unité de vitesse deux fois plus grande - comparez la fin de la présente note - que dans le cas de la deuxième interprétation de la Fig. 54 (voir la note 2), on peut prendre la logarithmique, considérée à partir du même point, pour la descente comme pour l'ascension. Dans le cas de la descente, les vitesses ne sont pas situées à gauche: ce sont au contraire - voir la suite du texte - les horizontales à droite comprises entre la logarithmique et la droite AS pour le corps R, tandis que pour le corps N qui n'éprouve pas de résistance, ce sont les horizontales comprises entre les droites AG et AS. La vitesse terminale du corps R (qu'il n'acquiert qu'après un temps infini, l'accélération de la pesanteur demeurant par hypothèse constante) est donc égale à BA ou GS, tandis que dans le cas de l'ascension (Fig. 54) cette même vitesse (qui était alors la vitesse initiale) était représentée (deuxième interprétation de la figure) par la moitié de CA ou CN.

8) On voit jéjà dans cette figure la courbe du jet, sur laquelle on peut consulter les §§ 7, 9 et 10.

9) Comparez la note 7 de la p. 103.

[p. 105]

[Fig. 55.]

AB ∞ 4343 qualium logarithmus 2 est 0,3010. GD ∞ ½AB ∞ 2172. log. AB ∞ 3.6377898

¹⁰⁾.

Erit itaque spatium descensus gravis N ad spatium descensus gravis R¹¹⁾ ut DG ad VG. hoc est ut 2172 ad 1597 sive ut 1000 ad 735.

Ratio est petita ex eo quod applicatis ordinatim quibuscumque FKN, OPT, rectae KN, QT representant velocitates gravis R acquisitas temporibus AN, AT, dum velocitates gravis N fiunt HN, PT. Hoc inveni isto modo.

10) GB (égal dans la Fig. 55 à AB, voir la note 2 de la p. 104) étant l'intervalle entre AB et VG (ou GV), vaut le logarithme de leur rapport d'où l'on peut tirer GV.

11) Il s'agit d'espaces parcourus pendant des temps égaux. Les deux corps partent du repos. Celui auquel le milieu ne résiste pas acquiert à la fin du temps considéré la vitesse qui, pour l'autre (le corps R), est la ‘vitesse terminale’. Comparez le quatrième alinéa de la p. 109.

§ 3. [Pourquoi la courbe considérée dans le cas du corps tombant¹²⁾ est une logarithmique.]

Representavi mihi - vide fig. parvam pag. sequentis [Fig. 56] - celeritates acquisitas gravi cadenti motu naturaliter accelerato, incrementis rectangulorum

12) Voir pour le cas des corps ascendants le deuxième alinéa de la note 19 de la p. 107.

[p. 106]

[Fig. 56.]

minimorum ab linea AB incipientium eamque latitudinem habentium, quae celeritates cum crescant sicut tempora casus, hinc temporum incrementa representavi lateribus eorum rectangulorum ut AN, AT. Itaque si AN, NT minimas temporis particulas inter se aequales esse ponamus, erunt celeritates illis temporibus acquisitae rectangula AF, NO atque ita porro¹³⁾.

Rursus consideravi descensum corporis R, cui aer resistit, quod ejus incrementa celeritatis non sunt aequalia temporibus aequalibus, sicut corporis N, sed diminuuntur magis magisque, pro majori celeritate corpori R acquisita. Nam si celeritatem illi deorsum demus per aerem tantam quanta deberet esse celeritas aeris sursum flantis ad sustinendum grave R ne descendat, certum est tunc resistentiam aeris aequipollere momento gravitatis, ac proinde grave R ea celeritate descendens non acquisiturum majorem ex vi gravitatis, sed aequabili motu descensum continuaturum. Quod si vero dimidio ejus celeritatis aer sursum tendens, corpori quiescenti R, puta ex filo pendenti, occurrat, jam dimidium ei ponderis auferet¹⁴⁾.

Unde sequitur, quod cum corpus R cadens celeritate dimidia aerem penetrabit ejus quae maxima illi acquiri potest, eo tempore incrementa celeritatis dimidia fore eorum quae habet initio descensus. Atque ita porro quanta pars erit celeritas corpori R ac-

13) Dans la Fig. 56, comme dans la Fig. 55, BA est donc l'axe des accélérations, et BG l'axe des temps.

14) Huygens ajouta plus tard en marge: imo quartam partem ut postea [c.à.d. quelques mois plus tard; voyez la Pièce V qui suit] experimenta docuerunt. Itaque omnis haec speculatio falsa, licet pulcherrima. Vide veram [voyez toutefois les p. 86 et 92 de l'Avertissement qui précède] post folia 60. Comparez le troisième alinéa de la note 1 de la p. 144.
Consultez, sur la ‘speculatio vera’, c.à.d. sur la théorie du mouvement d'un corps éprouvant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, la Pièce VI qui suit.

[p. 107]

quisita celeritatis maximae acquirendae, tanta pars erit momentum resistentiae aeris, momenti ex vi gravitatis¹⁵⁾. quibus in contrarium nitentibus, oportet ut eorum differentia determinet gradum accelerationis ratione gradus accelerationis in principio descensus cum aer nihil adhuc resistit.

Hinc intellexi quod sicut incrementa celeritatis corporis, absque aeris resistentia descendentis, recte representantur rectangulis minimis aequalibus AF, NO, ita debere representari incrementa accelerationis¹⁶⁾ corporis per aerem descendentis rectangulis minimis decrescentibus ABFH, HFOP [Fig. 56], quorum omnium summa efficeret spatium quoddam ABZ, magnitudine finitum¹⁷⁾ (quia summa omnium graduum celeritatis certam celeritatem non debebat excedere) atque (ut putabam) etiam extensione; curvam vero AHP id spatium abscindentem debere esse ejus naturae ut sicut spatium ABFH ad ABOP ita esset NH ad TP, quia spatia ista celeritates acquisitas temporibus AN, AT referendo, simul rectangula HN, PT debent referre diminutiones graduum celeritatis qui alias absque aere aequaliter accrescerent ijsdem aequalibus temporibus¹⁸⁾. Hic tum mihi in mentem venit curva olim examinata in libro B, quam logarithmicam appellabam. cui proprietas ista inest, ut nempe sicut spatium ABFH ad ABOP ita sit NK ad TQ [Fig. 55], quomodocumque acceptae sint AN, AT, ut ex ibi demonstratis facile patet¹⁹⁾. Haec autem linea asymptoton habet BOZ [Fig. 56]

15) ‘Momentum resistentiae aeris’ désigne simplement la résistance, et ‘momentum ex vi gravitatis’ le poids. C'est leur différence (poids - résistance), comme le dit Huygens, qui détermine, pour le corps considéré, la grandeur de l'accélération.

16) Lisez: ‘celeritatis’. Les accélérations sont représentées par les droites horizontales.

17) Comparez la note 3 de la p. 103 qui précède.

18) C'est ce qu'on voit le mieux - est-il besoin de le dire? - en se servant d'une équation du mouvement. L'accélération peut être représentée par , où k est une constante. La vitesse v est donc proportionnelle à la différence g - dv/dt, c.à.d. les longueurs HN, PT etc. doivent être proportionnelles aux espaces BAHF, BAPO, etc. Ceci s'applique évidemment à la courbe entière, donc aussi à tous les espaces de grandeur finie, tels que BAPO et BAVC (Fig. 56), lesquels doivent être proportionnels à PT et VE respectivement.

19) Comparez la note 7 de la p. 103. Il faut admettre que dans la Fig. 55 le point H coïncide avec le point K, et le point P avec le point Q. Toutefois Huygens eût mieux fait, nous semble-t-il, d'écrire ‘spat. ABFK, spat. ABOQ’ au lieu de ‘spat. ABFH, ABOP’.
Dès que Huygens eut découvert que la courbe doit avoir pour les corps tombants la propriété en question que possède la logarithmique, il paraît en avoir conclu, non sans raison, qu'elle doit nécessairement être une logarithmique. Il n'explique pas pourquoi on obtient également une logarithmique dans le cas de l'ascension (ni que cette dernière coïncide avec la précédente lorsqu'on change l'unité de vitesse; comparez la note 7 de la p. 105); évidemment il eût pu le démontrer par un raisonnement analogue à celui du texte. Comparez la p. 83 de l'Avertissement qui précède.

[p. 108]

[Fig. 56.]

adeoque in infinitum extenditur, sed spatium infinitum ABZ definitam habet magnitudinem, ut hic requiri dixi; nam posita AG tangente in A, triangulum ABG aequatur dimidio dicti spatij infiniti¹⁾. Estque BG semper ejusdem longitudinis linea, inter perpendiculum a puncto contactus et tangentem intercepta. Estque ad logarithmum binarij ut 0,43429 &c. ad 0,30103 &c. hoc est proxime ut 13 ad 9. Eam vero latus rectum hujus curvae appellabo deinceps²⁾.

Porro cum posita hac linea viderem spatia AHFB, APOB [Fig. 56] mihi referre gradus celeritatis acquisitos in fine primi et secundi temporis, eoque spatia esse inter se ut lineae NH, TP, quarum maxima nunquam attingit longitudinem ipsius AB, intellexi gradus celeritatis crescentis temporibus aequalibus representari lineis hisce NH, TP &c.; ijsque proinde ductis in altitudines aequales NT, TS, &c. quae temporis particulas aequales referunt, necesse esse ut summae talium rectangulorum representarent altitudines descensus seu spatia peracta in datis quibuslibet temporibus, hoc est, datis exempli gratia temporibus AL, AE, areas ipsas ALR, AEV representare spatia istis temporibus peracta.

Sed ut spatia haec descensus comparare possem cum spatijs à gravi, absque aeris resistentia cadente, ijsdem temporibus peractis, consideravi hujus gradus velocitatis crescentis representari ordinatim applicatis ijsdem productis usque ad tangentem AG

1) T. XIV, p. 466, quatrième alinéa.

2) Comparez la note 7 de la p. 103 et la note 6 de la p. 104.

[p. 109]

[Fig. 55 et 56], ut a Galileo explicatum est³⁾, nam ita quidem ab initio casus utriusque gravis celeritas eadem incrementa sumunt [sic] ut fieri necesse est, quia aer nondum resistit, at celeritates gravis absque aeris consideratione cadentis crescunt cum temporibus aequaliter ut oportet. Atque ita ductis etiam his lineis in triangulo verbi gratia AIE [Fig. 56] applicatis in particulas aequales easdem NT, TS, quae temporis particulas aequales referunt, haberi summam eorum, triangulum nempe AIE, representantem spatium peractum tempore AE, dum area AVE representat spatium eodem tempore AE peractum à gravi per aerem cadente.

Rationem autem quam inter se servant triangulum AEI et area AVE facile inveniri sciebam ex ijs quae in libro B de curva hac demonstravi. Est enim area AVE aequalis semper rectangulo sub VI et latere recto⁴⁾. ac proinde spatium AVE ad triangulum AEI ut ▭ sub latere recto BG et sub VI ad ½▭ sub AE et EI.

Hinc jam non difficile fuit problema ejusmodi resolvere, nempe

3) T. XVII, p. 127, note 4.

4) Puisque ABCE = AE (ou IE) × latus rectum, et ABCV = VE × latus rectum.

§ 4. [Calcul de l'espace parcouru par le corps tombant en un certain temps.]

Posito descensu duorum gravium N et R quorum N nihil retardetur ex resistentia aeris, R vero retardetur; postquam N eousque deciderit ut celeritatem acquisiverit quae maxima contingere potest corpori per aerem cadenti R, invenire quanto minus spatium eodem illo tempore peregerit R quam N. Nam ducta GK parallela BA, quae secet curvam in D, erit GK gradus celeritatis acquisitus corpori N in fine temporis AR, idemque maximus gradus celeritatis quam acquirere potest corpus R, casu aeternum durante. Itaque jam triangulum AGK referet spatium peractum corpori N, area vero ADK spatium eodem tempore peractum a corpore R. quorum planorum inter se ratio est, ex modo dictis, ea quae dimidij quadrati AK sive ▭ sub BG et dimidia GK ad rectangulum sub latere recto BG et sub DG, hoc est ea quae GD ad GQ, dimidiam GK, quae ratio reperta est initio pag. 1⁵⁾ ea quae 1000 ad 735 proxime, et propius quantumlibet inveniri potest.

Hinc vicissim si talis proportio inveniatur spatiorum ijsdem temporibus peractorum, alterum a corpore gravissimo quod ab aeris resistentia nihil sensibiliter retardatum fuerit, alterum a corpore leviori, dicemus hujus maximam celeritatem possibilem esse eam quam habet corpus grave in fine descensus.

5) C.à.d. au § 2.

§ 5. [Quelques propriétés géométriques de la logarithmique.]

[p. 110]

[Fig. 57.]¹⁾

OB ∞ r latus rectum [Fig. 57].	OB [ad] BA [ut] AE [ad] EI.
spat. AVCB ∞ ▭ VE in OB.
spat. ADQB ∞ ▭ DK in OB.	▭ OB.EI ∞ ▭ AE.EC.
spat. AVCB ad ADQB ut VE ad DK. eadem ratione
	▭ OB.KG ∞ ▭ AK.EC.

Ergo cum spat. AVCB sit ∞ ▭ EV, OB. Erit spatium AVE ∞ ▭ VI, OB. Et spat. ADK ∞ ▭ DG, OB. Ergo spat. AVE ad ADK ut VI ad DG, sive ut VS ad DR.

[Fig. 58.]

Quod spat. ADL [Fig. 58] ad spat. VDH ut AG ad VN sive ut AM ad VQ.

GDT tangens. Ergo FT ∞ latus rectum.

spat. AVOB ∞ ▭ EV. FT.

spat. ADFB ∞ ▭ KD.FT.

Ergo spat. ADFB ad AVOB ut KD sive EH ad EV.

Ergo per conversionem rationis spat. ADFB ad spat. VDFO ut EH sive AL ad VH.

Quia porro TF ad FD ut DL ad LG, erit ▭ TF.LG ∞ ▭ DB. Sed ▭ TF.LA ∞ spat. ADFB. Ergo spat. ADL ∞ ▭ AG.TF. Eadem ratione spat. VDH ∞ ▭ VN.TF.

Ergo spat. ADL ad VDH ut AG ad VN. vel ut AM ad VQ.

Si YX ∞ QV, erit spat. DXZ ∞ DVH. Nam ex dictis est spat. VHD ∞ ▭ TF.VN. Et spat. DXZ ∞ ▭ TF.Xφ. - Eadem ratione scilicet qua pag. 2. spatium AXVS aequale ▭ BG,GV [Fig. 55].

1) Dans les Fig. 57 et 58 Huygens ne suppose plus, comme dans les figures précédentes, que la tangente à la courbe au point A fait des angles de 45^o avec les axes.

[p. 111]

Sed quia QV ∞ YX, erit et VN ∞ Xφ. Ergo ▭ TF,VN ∞ ▭ TF.Xφ. hoc est spat. VDH ∞ spat. DXZ.

§ 6. [Représentation graphique du rapport de la vitesse initiale quelconque de l'ascension à la ‘vitesse terminale’.]

[Fig. 59.]

Sit rursus YX ∞ QV [Fig. 59]. HD tempus ascensus. DZ tempus descensus²⁾. VX parall. QY³⁾. Vφ tangens in V. DF celeritas terminalis. HV celeritas initio ascensus. φX ad XΛ ut momentum resistentiae aeris ad momentum resistentiae à gravitate. Unde ita quoque celeritas initio ascensus ad celeritatem terminalem. quae ergo etiam debet esse ut VH ad HO⁴⁾. Et facile patet quod φX ad XΛ ut VH ad HO, nam ▭ φX. O∆ ∞ spat. VXΞ⁵⁾, et ▭ XΛ, O∆ ∞ spat. VOΞX. Ergo spat. VXΛ ad YOΞX ut φX ad XΛ. Sed quia spat. DZX ∞ VDH, erit ▭ HΛ ∞ spat. VXΛ. Unde spat. VXΛ ad VOΞX ut VH ad HO⁶⁾. quae itaque ut φX ad XΛ.

2) Huygens réunit dans une même figure [Fig. 59] les temps successifs de l'ascension toujours verticale, et de la descente, également verticale, du corps auquel le milieu résiste avec une force proportionnelle à la vitesse. La partie VD de la logarithmique se rapporte à l'ascension, la partie DX à la descente. Ici l'unité de vitesse est partout la même (il en était autrement dans les figures précédentes, voir les notes 7 de la p. 105 et 19 de la p. 107). Les vitesses qui se rapportent à l'ascension sont les horizontales comprises entre l'arc VD et la verticale VΛ, celles qui se rapportent à la descente, les horizontales comprises entre l'arc DX et la verticale DZ. Contrairement à ce qui a été supposé au § 2 la vitesse initiale de l'ascension n'est plus qu'une fraction de la ‘vitesse terminale’.
Comme dans l'alinéa précédent, Huygens suppose: spat. DXZ = spat. VDH, c.à.d. la descente est égale à l'ascension, en d'autres termes: dans le temps HZ le corps revient au point de départ.
On voit déjà dans la Fig. 59 la ‘analogistica luxata’ dont Huygens parlera dans le § 7.

3) QDY est la tangente au point D. D'après le § précédent VX, parallèle à QDY, coupe la courbe en un point X tel que, lorsqu'on mène par ce point l'horizontale φΞΧΖΛ, l'espace DXZ devient égal à l'espace VDH.

4) Il résulte de l'équation , qui correspond à la descente (note 18 de la p. 107), que la vitesse terminale V (HO dans la Fig 59) est égale à g/k. Par conséquent kv_o/g = v_o/V, où v_o (VH dans la Fig. 59) est la vitesse initiale de l'ascension. Par ‘momentum resistentiae aeris’ Huygens indique donc la grandeur de la résistance initiale qui s'oppose à l'ascension (kv_o).
On peut aussi démontrer directement que dans le cas de l'ascension la retardation initiale (kv_o) est à la retardation finale (g) comme VH est à HO. Il suffit à cet effet de démontrer que le rapport kv_o + g : g est égal à VO : HO. Or, la retardation kv_o + g est la tangente de l'angle que fait avec l'axe des temps la tangente Vφ, et la retardation g est la tangente de l'angle que fait avec le même axe la tangente QD. On a donc et g = DF/O∆ (puisque toutes les soustangentes sont égales). Par conséquent . C.Q.F.D.
Mais pourquoi le rapport kv_o : g est-il égal à φX : XΛ? Nous ne voyons pas comment Huygens a pu dire cela directement. D'ailleurs, dans la suite du texte il va démontrer l'équation équivalente φX : XΛ = VH : HO par un raisonnement géométrique.
Au lieu de ce raisonnement on pourrait dire plus brièvement:

	OΔ.φΛ = VΛ. VO suivant le début du § 5 [OB.EI ∞ AE.EC]
et	O∆.XΛ = spat. OVXΞ = VΛ.HO (voyez la note 6).
Donc	φΛ : XΛ = VO : HO. C.Q.F.D.

5) On a (note précédente): OΔ.φΛ = VΛ.VO, et O∆.XΛ = spat. OVXΞ, donc, en prenant les différences: φX.O∆ = spat. VXΛ. D'ailleurs vers la fin du § 5 il a déjà été dit que spat. DXZ ∞ TF.Xφ [Fig. 58], ce qui est la même chose.

6) Cette proportion résulte, suivant le texte, de la proportion connue ▭ HΛ : spat. VOΞX = VH : HO. Cette dernière peut en effet être facilement établie: en retranchant de l'espace VOΞX l'espace HVD et en y ajoutant à sa place l'espace égal DXZ, en obtient le ▭ OZ, et la proportion ▭ HΛ : ▭ OZ = VH : HO est évidemment juste.

[p. 112]

[Fig. 60.]

[Fig. 61.]

§ 7. [Construction⁷⁾ de la courbe de jet d'un boulet lancé en l'air sous un angle quelconque.]

Sit XDV [Fig. 60] linea analogistica⁸⁾ cujus asymptotos OS. tangens in D sit YDQ. RDP asymptoto OS ad angulos rectos. cui parallelae PX, EN, QB &c. Sumtis PA ∞ YX, EE ∞ NN, RB ∞ QV, descriptaque per puncta AEDEB curva, quam analogisticam luxatam dicemus, poterunt hujus ope determinari curvae omnium corporum projectorum quas in aere describunt, considerata videlicet aeris resistentia. Dato enim exempli gratia mobili quod projiciatur secundum rectam GI [Fig. 61] inclinatam ad horizontalem GK angulo IGK, et celeritate GI. ductâ IK perpendiculari in GK, erit KI celeritas sursum, GK celeritas prorsum, GI celeritas absoluta.

7) Voir cependant la note 12 qui suit.

8) Autre expression pour désigner la courbe logistique ou logarithmique.

[p. 113]

Datam autam esse oportet rationem celeritatis sursum ad celeritatem terminalem dati mobîlis, hoc est ad eam quam maximam unquam ex casu habere potest, quae ratio sit ut KI ad Ω.

Jam ut Ω ad IK ita sit LD, quae a vertice curvae ADB in asymptoton perpendicularis est, ad DR. VRB parall. OS occurrat curvae BDA in B et analogisticae in V. BA parall. VO in A occurrat curvae BDA, eademque secet HDZ in F. Et recta VFX occurrat curvae VDX in X⁹⁾, sitque XZ perpendicularis in HDF.

Erit jam primum HD ad DZ ut tempus ascensus ad tempus descensus. VH ad ZX, sive BF ad FA ut celeritas sursum initio ascensus, ad celeritatem deorsum in fine descensus. atque item BF ad FA ut longitudo ascensus, sive sub arcu ascendente, ad longitudinem descensus¹⁰⁾. Curva autem in aere descripta erit B∆A, quae sic invenitur. VΣΓ tangens in V secet HZ in Σ. Haec enim tangens ducitur sumta ΟΓ ∞ lateri recto. Erit ΣB tangens in B¹¹⁾. Fiat angulus FBφ ∞ KGI. Et ut FΣ ad Fφ ita sit FD ad F∆. Et secundum eandem hanc proportionem augeantur omnes parallelae ipsi FD in figura BDAB. Eritque curva per extremitates ducta B∆A quaesita, quam φB tangit in B¹²⁾.

Unde apparet, dummodo ratio celeritatis initialis sursum ad celeritatem terminalem sit eadem ut hic KI ad Ω, tempora ascensus et descensus quoque in eadem ratione permanere, nempe HD ad DZ¹³⁾. Itemque celeritatis in principio ascensus sursum,

9) Quoique le point X ait été mentionné antérieurement, c'est seulement ici qu'il est obtenu par l'intersection de la droite VF prolongée et de la logarithmique. Attendu que DF = RB = QV, la droite VF est parallèle à la tangente QD. Comme dans les deux §§ précédents, cette construction amène l'égalité des espaces HVD et DXZ, c.à.d. des distances parcourues en montant et en descendant par le corps qui éprouve une résistance du milieu proportionnelle à sa vitesse.
Dans la Fig. 60 les horizontales allant de l'arc VD à la verticale VR représentent les composantes verticales des vitesses du corps montant, et les horizontales comprises entre l'arc DX et la verticale DZ les composantes verticales des vitesses du corps descendant.

10) Huygens affirme donc que la courbe B∆A, dont il indique ici la construction sans la justifier, a son sommet en ∆. Ceci apparaît par la construction indiquée, vu que le sommet de l'‘analogistica luxata’ BDA, dont B∆A provient, se trouve par construction en D.

11) Huygens veut dire que ΣB touche en B l'‘analogistica luxata’. Voyez le § 11 qui suit.

12) Voir pour la démonstration les §§ 9 et 10 qui suivent.

13) Ceci résulte immédiatement de ce qui a été admis tacitement dès le début du § 7, savoir que, dans le cas du jet oblique, le mouvement se compose d'un mouvement horizontal avec une vitesse initiale égale à la composante horizontale de la vitesse initiale donnée, et d'un mouvement vertical avec une vitesse initiale égale à la composante verticale de cette vitesse donnée. Il n'en est évidemment ainsi que dans le cas d'une résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse du mobile: les résistances éprouvées par les deux mobiles auxiliaires peuvent alors être considérées comme des projections de la résistance éprouvée par le corps lui-même.

[p. 114]

[Fig. 62.]

et in fine descensus deorsum quae erant ut BF ad FA; nec non et longitudinum ascensus et descensus quae erant item ut BF ad FA. Item curvam jactus ipsi BDA proportionalem manere. Quod si tamen manente eadem celeritate sursum, celeritas in longitudinem minor ponatur, fiet amplitudo jactus proportionaliter minor, ut si celeritas in longitudinem sit tantum ⅓ GK, fiet et amplitudo jactus ∞ ⅓ BA.

§ 8. [Mouvement horizontal avec une vitesse initiale égale à la ‘vitesse terminale’.]

AXΘ [Fig. 62] est Curva Logarithmica sive Logistica, Bδs asymptotos ejus. Si corpus per medium resistens feratur super plano motu horizontali, sitque resistentia ut celeritas. temporis autem particulae aequales designentur particulis aequalibus Bη, ηθ, &c. celeritas autem corporis initio motus designetur recta BA, initio vero secundi temporis rectâ ηR. Erunt deinceps θW, ιZ celeritates initio sequentium temporum θι, ιϰ, &c. Quia sicut celeritates AB ad Rη, Wθ, ita debent esse decrementa celeritatum ob resistentiam, nempe Rμ, Vν, Zπ. quod hic contingit. nam ex proprietate curvae, proportionales continuè sunt AB, Rη, Wθ &c. unde et earum differentiae in eadem ratione decrescunt.

Hinc si corpus horizontali motu impellatur, atque ea celeritate quam cadendo per medium resistens maximam acquirere potest, ac rursus idem corpus eadem hac celeritate sursum

[p. 115]

projiciatur per medium non resistens, erit spatium maximum seu totum quod horizontali motu absolvere potest (quod tamen infinito tempore non absolvet) ad spatium quo motu perpendiculari ascendet, in ratione dupla. Ducta enim tangente Aξ, referent perpendiculares aequaliter distantes in ∆^lo ABξ celeritates decrescentes corporis sursum projecti. quia eadem primâ temporis particulâ Bη, tantundem celeritati initiali decedere debet ob vim gravitatis, quantum eadem temporis particula decedit celeritati horizontali propter medij resistentiam, quia posita fuit celeritas terminalis initio hujus motus, cui tantundem renititur medium quantum gravitas projecto sursum¹⁾.

1) La démonstration est inachévée. Le triangle BAξ représente l'espace total parcouru, c.à.d. la hauteur atteinte par le corps lancé verticalement en l'air et qui n'éprouve pas de résistance. Quant à la distance parcourue dans le mouvement horizontal, elle est représentée par la surface que limitent la droite AB, l'asymptote BS et la logarithmique, laquelle, suivant la nature de la courbe, est égale au carré ABξs (le ‘latus rectum’ Bξ étant pris égal à AB). Cette dernière distance est donc le double de la première.

§ 9. [Jet oblique suivant un angle de 45^o, les vitesses initiales horizontale et verticale étant égales à la ‘vitesse terminale’. Construction de la trajectoire.]

Bη, ηθ, θi &c. [Fig. 62] sunt particulae temporis aequales. Spatia BAXδ, ηRXδ sunt ut celeritates sursum in initijs temporum Bη, ηθ &c. quae spatia RAXδ, ηRXδ sunt ut AE, Rλ. AB, Rη, Wθ &c. sunt continue proportionales, ideoque et differentiae earum S1; 1, 2; 2, 3; 3, 4 &c. Quare hae representant spatia aequalibus temporibus peracta motu horizontali a mobili cui aer resistit.

Dividitur autem motus projecti secundum tangentem sY in horizontalem hunc et ascendentem ipsi aequalem, hoc est aequali celeritate coeptum, quia angulus 1sY ponitur 45 graduum.

In motu autem hoc horizontali si Rμ ponatur pro celeritate in prima temporis particula Bη, jam reliquae celeritates deinceps per particulas aequales erunt Wν, Zπ &c. quia et hae decrescunt eadem proportione qua AB, Rη, Wθ &c. ideoque ita ut decrescant in eadem quam inter se servant ratione.

Sunt igitur S1; 1, 2; 2, 3. &c. spatia aequalibus temporibus motu projecti per saX, quatenus horizontalis ejus consideratur motus, peracta. quem motum pono incepisse celeritate terminali quam refert AB; tantamque etiam initio fuisse projecti celeritatem sursum, quam refert sA, ut proinde celeritas absoluta fuerit quam refert diagonalis quadrati.

Oportet autem nunc ostendi quod rectae Y1, λφ, aψ &c.²⁾ sunt ut descrescentes gradus celeritatis corporis sursum projecti, hoc est ut rectae Rλ, Wh, &c. per ea quae

2) Comme il est dit un peu plus loin, les droites ϒ 1 etc. sont par construction égales à Ra etc.

[p. 116]

in praecedentibus ostensa sunt¹⁾. Sic enim eaedem Y1, λφ, aψ &c. etiam spatia referent ijs celeritatis gradibus sursum emensa, ijsdemque aequalibus temporibus, quum Y1 aequalis hic sit 1s, et utraque pari celeritate peracta, quoniam aequales celeritates sursum et in latus poscimus.

Sint Aa, Rd, Wn parallelae tangenti in X sive ipsi AΘ²⁾. eoque secent Rμ in b, Wν in e, Zπ in g. Quia igitur sicut AB, Rη, Wθ &c. ita sunt earum differentiae Rμ, Wν, Zπ. auferuntur autem a singulis prioribus aequales rectae BE, ηλ, θh &c. et à posterioribus aequales rectae μb, νe, πg, estque harum prima μb, ad Rμ à qua aufertur, sicut illarum aequalium prima EB ad AB à qua aufertur, (censendum enim est curvae particulam AR et tangentem hucusque coincidere) sequitur, sicut reliquas AE, Rλ, Wh &c. ita quoque esse reliquas Rb, We, Zg. ac proinde et earum duplas Ra, Wd, Zn, quibus ex constructione aequantur Y1, λφ, aψ &c. Ergo et hae ut celeritates decrescentes corporis quatenus sursum projecti celeritate terminali. Quare fertur per curvam SY λ a X. quod erat ostendendum.

In descensu majora paulo tempora sumsi quo minus intricata esset figura. Ijs temporibus aequalibus horizontalis motus confecit spatia Du, ut, tm &c. quibus sunt aequales qf, rk, tm. quas itaque oportet ostendere esse³⁾ sicut crescentes gradus celeritatis.

1) Voyez le § 1, d'après lequel Rλ, Wh etc. sont proportionnelles aux vitesses décroissantes du corps montant et peuvent donc représenter ces vitesses.

2) Θ correspond au point X des Fig. 59 et 60. Le parallélisme de AΘ avec la tangente en X à la logarithmique est exigé par la condition que les espaces AXE et ΧΘE′ doivent être égaux puisque le boulet retombe par hypothèse sur le plan horizontal passant par le point de départ.

3) Ou plutôt: ‘quae itaque sunt’. Voir cependant la note 4 de la p. 118.
Il est évident que la construction de ce §, où les ordonnées de la trajectoire sont en apparence obtenues - tant pour la partie XΠ que pour la partie sX - par juxtaposition de fort petits éléments, ne pourrait être réellement exécutée, si la figure ne faisait pas voir que chaque ordonnée a par construction une longueur égale à la partie de la même verticale comprise entre la logistique et sa tangente en X. Dans le cas du § 9 l'‘analogistica luxata’ (§ 7) est donc ellemême la courbe du jet.
On voit en outre dans la Fig. 64 la courbe du jet (parabole) d'un corps lancé en l'air sous le même angle et avec la même vitesse et n'éprouvant pas de résistance.

§ 10. [Jet oblique suivant un angle quelconque et avec une vitesse quelconque. Esquisse d'une démonstration de la construction de la trajectoire⁴⁾.]

4) Le § 10 est emprunté à une petite feuille détachée qui se trouve dans le Manuscrit D. La date est donc incertaine, mais si par hasard Huygens n'a écrit le § 10 qu'après 1668, ce qui semble peu probable, il est évident qu'il aurait pu tout aussi bien le faire en cette année, puisque la construction de la trajectoire lui était connue.

[p. 117]

[Fig. 63.]

Sit projectio secundum ηθ inclinita sursum ad horizontalem ηϰ angulo dato θηϰ [Fig. 63]. sitque θϰ perpendicularis in ηϰ. Est ergo celeritas sursum ad celeritatem horizontalem ut θϰ ad ϰη, quae celeritas sursum sit ad celeritatem terminalem ut ϰθ ad ζ.

Posita igitur curva analogistica ADZ [Fig. 64] cujus asymptotos BO, latus rectum λ, sit ut θϰ ad ϰη ita λ ad aliam, cui aequalis statuatur

[Fig. 64.]

BA asymptoto perpendicularis et analogisticae occurrens in A.

Porro ut celeritas terminalis ad celeritatem sursum, hoc est ut ζ ad θϰ, ita sit BC ad CA. Et CD parallela asymptoto secet curvam in D, ad quod punctum tangens ducatur ODE, quod fiet ducta Dμ perpendiculari ad asymptoton et sumtâ μO aequali lateri recto λ. Ducatur dictae tangenti parallela AZ occurrens curvae in Z et secans CDI asymptoto parallelam in G. et fiant AE, ZF parallelae asymptoto eaeque occurrant HGK, μDL in H, L, K et M.

Jam si ductis ubivis inter EH, ZM rectis PS, ZM [lisez YT] sumantur earum partibus singulis PQ, YZ [lisez YX] inter curvam et tangentem FPE interceptis proportionales singulae RS, TV infra rectam MDL atque ita ut angulus GHS sit aequalis θηϰ [Fig. 63]⁵⁾: perque puncta S, V et quotlibet alia hoc modo inventa transeat curva HSDVK.

Dico hanc esse secundum quam [lisez plutôt eam quam] corpus projectum ascendens, ac usque in terram revertens, describet.

Tempus autem ascensus ad tempus descensus erit ut CD ad DI. Celeritas perpendicularis initio ascensus ad celeritatem in fine descensus ut HG ad GK. Celeritas residua sursum in S ad celeritatem sursum ab initio in H, ut RD ad ZD. Celeritas deorsum in V ad celeritatem sursum in H ut TD ad DL.

5) La construction est donc identique avec celle du § 7, quoiqu'ici il ne soit pas fait mention de l'‘analogistica luxata’ dont les ordonnées verticales ne correspondent qu'à un facteur constant près à celles de la trajectoire cherchée. Huygens n'indique pas ici comment il faut prendre ce facteur de telle manière que l'angle GHS devienne exactement égal à l'angle θηϰ. Voyez le § 11.

[p. 118]

Hinc incipienda demonstratio.

Sit Bμ tempus totius ascensus quod in particulas minimas aequales dividatur. et fiant singularum altitudine rectangula ad curvam ADZ terminata. ducatur CD parallela BO. sit BADμ spatium referens celeritatem totam initio ascensus. Jam hoc per rectangula illa ab AB incipiendo decrescet in temporis particulis dictis aequalibus, sicut celeritas ascendentis. per proprietatem curvae quam vide pag. 2 in libro D, ubi primum haec materia agitatur¹⁾.

Hinc et ipsae rectae AC, βQ &c. referent gradus celeritatis reliquos initio temporum aequalium respondentium in Bμ ex proprietate quam vide ibidem pag. 7²⁾. Hinc in figura pag. 10 [Fig. 62] etiam rectae exiguae Rb, We, Zg eosdem gradus celeritatis decrescentis reliquos referent³⁾. atque etiam Ra, Wd, Zn quae ad praecedentes datam rationem habent, quam sA ad sD. sive denique etiam Y1, φλ, ψa, quas ex constructione apparet ipsis Ra, Wd, Zn esse aequales respectivè. Itaque si Ra referat primi tempusculi Bη celeritatem sursum (hoc est quae per totum tempus Bδ referatur eadem longitudine Bδ) atque adeo eadem RA [lisez Ra] ipsam altitudinem eo tempusculo peractam, reliquae deinceps φλ, ψa, &c. referent celeritates et altitudines emensas reliquis tempusculis ηθ, θ1, &c. illae ementientes totam DX sicut omnes Ra, Wd, Zn eandem DX emetiuntur, tempuscula vero ijs singulis respondentia, totam Bδ. Rursus ostendendum si primi tempusculi Bη celeritatem et spatiolum peractum referat s1 (hoc est eam quae tempore eodem Bδ peragat spatium sξ, nam sic tempus horizontalis motus fit ad ascendentem in ratione data) ostendendum inquam reliquas 12, 23, 34 &c. referre celeritates et spatiola tempusculis consecutis ηθ, θ1, &c. peracta. Unde corpus per curvam sYλ &c. incedere facile jam apparet.

Faciendae propositiones plures ut huc veniatur⁴⁾.

§ 11. Les p. 83 v. et 84 r. des Chartae mechanicae⁵⁾ se rapportent à la construction de la courbe du jet. Nous ne croyons devoir reproduire de ce brouillon que la remarque suivante:

1) Voir le § 2.

2) La pag. 7 de Huygens contient ce que nous avons appelé le § 5. On peut en effet consulter, si l'on veut, outre le § 2, le début du § 5.

3) Au lieu de s'en tenir à la Fig. 64, Huygens parle de la Fig. 62 et répète ainsi plus ou moins la démonstration du § précédent; dans le cas plus général ici considéré la démonstration de la construction de la courbe du jet serait à peu près la même. Comparez la p. 84 de l'Avertissement (N^o 4).

4) Huygens semble donc s'être proposé, soit en 1668 soit quelque peu plus tard (note 4 de la p. 116), de mieux rédiger ce qu'il avait trouvé. Le résultat des expériences de 1669 (Pièce VI) peut l'avoir induit à abandonner ce projet.

5) Comparez sur ces pages le quatrième alinéa de la note 1 de la p. 144 qui suit, où l'on voit que nous n'osons pas affirmer, quoique cela paraisse extrêmement probable, que le texte du § 11 date de 1668.

[p. 119]

ANX tangens in A [Fig. 65]

GHM angulus jactus in altum.

Ut GN ad GM ita fiant singulae parallelae spatij ADZG ad respondentes parallelas spatij HQK.

Erit figura jactus secundum curvam HQK⁶⁾.

Amplitudines autem ex diversis elevationis angulis ortae ex figurarum hic ortarum magnitudine non sunt aestimandae.

[Fig. 65.]

6) Les ‘singulae parallelae spatij ADZG’ pourraient servir, ici comme aux §§ 7 et 10, à tracer l'‘analogistica luxata’.
Huygens indique (comparez la p. 113, note 11 et la p. 117, note 5) que c'est la droite NH qui touche l'‘analogistica luxata’ au point H, en d'autres termes que l'angle NHG est égal à l'angle NAG, ce qui résulte précisément de la construction de l'‘analogistica luxata’, les très petites ‘parallelae spatij ADZG’ situées près du point A étant transportées dans cette construction parallèlement à AH, de manière que toutes leurs extrémités inférieures viennent se ranger sur la droite HG. Il faut ensuite, comme le dit le texte, pour obtenir la courbe du jet, multiplier toutes les ordonnées de l'‘analogistica luxata’ - égales aux ‘singulae parallelae spatij ADZG’ - par le facteur constant GM : GN.