Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695

[p. 69]

VIII.
Rupture de poutres etc.
[1669, 1671, 1688 ou 1689]

[Fig. 44.]

[Fig. 45.]

VIII, § 1¹⁾. EC ∞ a [Fig. 44].

2d ∞ pondus impositum.

VIII, § 2. Pyramidem vel conum solidum [Fig. 45] aequali robore esse ubique ratione venti²⁾.

1) Les §§ 1 et 2 sont empruntés aux p. 220 et 221 du Manuscrit D. Les p. 217 et 225 portent respectivement les dates de juin et du 29 septembre 1669.
Nous ne reproduisons pas les quelques indications et calculs incomplets qui accompagnent la Fig. 44. Comme dans les lettres de 1662 de Huygens à son frère Lodewijk (T. IV, p. 194, 198), il doit s'agir ici d'une poutre horizontale homogène et impondérable d'épaisseur uniforme, supportée aux deux bouts, dont le contour est formé par deux paraboles et possédant la propriété d'être partout également résistante. Nous observons que la poutre est en effet partout également résistante dans deux cas différents 1^o lorsqu'elle porte partout une même charge par unité de longueur; 2^o lorsqu'elle n'est chargée, d'un poids donné, qu'en un point (ou section) unique. En effet, il résulte, dans le premier cas, de l'équation du moment de rupture de la p. 334 du T. XVI pour z₁ = ½x et p₁ = x/a. 2P₁ (AC étant désignée ici par a, comme dans le T. XVI; non pas par 2a) . Pour résister comme il convient au moment de rupture qui lui correspond, la surface d'une section droite quelconque par un plan perpendiculaire à AC doit donc être proportionelle à x (1 - x/a), où x est la distance du plan de la section au point A. Dans le deuxième cas on trouve, en partant de la même équation, que pour une position donnée du poids 2d (à distance x du support gauche) le moment de rupture est maximum pour la section qui porte le poids 2d; et que, lorsqu'on déplace le poids, ce moment de rupture est proportionnel à x (1 - x/a), de sorte que la poutre considérée est alors aussi partout également résistante.

2) Huygens ne donne aucune démonstration de cette thèse, dont la vérité nous paraît bien douteuse. Il est vrai qu'on peut la démontrer d'après la méthode de la note 5 qui suit.

[p. 70]

[Fig. 46.]

VIII, § 3³⁾. Donnè dans l'assemblee le 15 fevrier [1672?], mais la construction 2 ou 3 mois devant.

Problema. Sit trabs vel cylindrus muro obliquè infixus [Fig. 47) cujus sectio per axem, facta plano ad muri superficiem recto, sit trapezium ABCE; sectio superficiei muri recta BAH. Trahente autem potentia secundum rectam ECO, lateribus cylindri perpendicularem, donec cylindrus rumpatur, oporteat invenire secundum quam sectionem ejus fiet fractio. Cylindri ipsius nulla gravitas consideratur.

Junctâ CA, sumatur ei aequalis CF. Dico cylindrum ruptum iri secundum sectionem AF, factam nimirum plano ad planum ABCE recto. Hoc autem constabit si ostensum fuerit minori potentia trahente per ECO opus esse ad fractionem secundum sectionem AF quam secundum aliam quamcunque.

3) Le § 3 est emprunté aux p. 279 et 281 du Manuscrit D. Les p. 277 et 285 portent respectivement les dates du 18 juillet et du 19 septembre 1671. Les p. 278 et 280 contiennent aussi des Pièces latines où le même problème est traité. Le calcul de la p. 281 qui constitue la deuxième partie du § 3 peut être antérieur à la première, puisque la feuille 279-280 a été collée dans le Manuscrit.

[p. 71]

Ponatur potentia minima quae directe trahendo⁴⁾ rumpere possit cylindrum secundum sectionem AB, referri rectâ BC. Et ducatur CG ita ut angulus CGB fiat aequalis angulo AFB. Erunt ergo triangula BCG, BAF similia. ac proinde ut BA ad AF, hoc est ut sectio secundum BA ad sectionem secundum AF, ita erit BC ad CG. Unde quum BC sit potentia directè rumpens secundum sectionem AB, erit CG potentia directe rumpens secundum sectionem AF. Ducatur rursus CH ita ut fiat angulus GCH aequalis angulo FCA. Erunt ergo triangula similia GCH, FCA, quia et angulos ad G et F aequales habent ex constructione.

Est igitur ut CF ad FA ita CG ad GH. Sicut CF ad ½FA, ac proinde etiam ut CG ad ½GH, ita est potentia directè rumpens secundum sectionem AF ad potentiam quae ibidem rumpat cylindrum trahendo secundum ECO ex Galileo⁵⁾. Ergo cum CG sit potentia directe rumpens secundum AF, erit ½GH potentia quae trahendo per ECO rumpat secundum eandem sectionem AF. Rectam vero GH hac constructione inventam minorem esse quam si sectio cylindri facta per A non fecisset triangulum ACF isosceles, facile perspicitur; cum tunc etiam triangulum HCG non fuerit isosceles futurum. ideoque basis ejus GH major quam nunc est, quoniam angulus ad verticem C magnitudine datus est quippe aequalis angulo ACF. Omnium itaque sectionum per A factarum ea quae minimâ potentiâ rumpitur per ECO trahendo, est sectio AF. Quod si vero alia quaepiam sectio intelligatur parallela alicui earum quae per A fieri possunt certum est eam quae fit per A minori potentia rumpi, quippe cujus punctum infimum quod hypomochlij vice⁶⁾ est magis distet a puncto C. Itaque omnium facillima ruptura erit secundum sectionem per AF. quod erat ostendendum.

Inventa AF ut supra, si ducantur utrinque rectae AL, AK quae cum ipsa AF aequa-

4) Comme la suite le fait voir, Huygens adopte la théorie de Galilée (voir la note suivante); il s'agit donc ici de ‘l'assoluta resistenza all'esser rotto che è nel prisma, la quale assoluta resistenza è quella, che si fà col tirarlo per diritto’, c.à.d. d'une force normale à la section AB capable d'amener une rupture suivant cette section. La force correspondante pour une autre section AF est à la première comme la surface AF est à la surface AB, ou comme la droite AF est à la droite AB.

5) ‘Discorsi e Dimostrazioni’ de 1638 (Dialogo secondo, Prop. 1, p. 114 et suiv.). Comme nous l'avons déjà remarqué à la p. 18 qui précède, Galilée ne considère point les déformations élastiques qui précèdent la rupture. Sa théorie de la rupture d'une poutre à section rectangulaire encastrée normalement dans un mur vertical provient immédiatement de la considération du levier destiné à soulever une pierre gisant à terre. Il considère la ligne la plus basse de la section auprès du mur comme l'axe par rapport auquel il faut prendre d'une part le moment de la force agissant à l'extrémité libre, d'autre part le moment de la résistance considérée comme une force normale au mur et appliquée à la ligne horizontale centrale (ou si l'on veut au centre) de la section. Cette résistance est par hypothèse égale à la ‘resistenza’ dont il est question dans la note précédente. Huygens, en se conformant à cette théorie primitive et manifestement insuffisante, l'étend même au cas où la poutre est encastrée obliquement. Il égale donc p.e. dans le cas où la rupture doit se produire suivant la section AL, le moment de la force ECO par rapport au point L au produit de ½(droite AL) par la résistance ou ‘potentia directè rumpens’ qui correspond à la section AL.

6) Comparez la fin de la note précédente. Le point par rapport auquel on prend les deux moments (voir toutefois sur la notion du moment statique les p. 336-341 du T. XVI) s'appelle ὑπομόχλιον dans la Mécanique d'Aristote (μοχλός = levier).

[p. 72]

les angulos constituant, eadem potentia trahente per ECO opus erit ad rumpendum cylindrum secundum alterutram sectionum quae secundum AL vel AK, quia tunc triangulum GCH eadem qua supra constructione effectum, utraque positione angulos H et G ad basin eosdem habebit, nimirum quia triangulum hoc simile erit alterutri triangulorum ACK, LCA, quae similia esse inter se manifestum est. Idcirco autem et basis utrobique eadem erit magnitudo, cujus semissis designat potentiam quae per ECO trahens ruptura sit cylindrum secundum sectionem propositam AL vel AK¹⁾.

[Fig. 47.]

VIII, § 4. Ubi rumpetur si pondus pendeat ex D medio EF [Fig. 47], trahatque secundum DL muro MB parallelam.

²⁾

1) Dans une des Pièces (note 3 de la p. 70) Huygens ajoute: Ergo nunquam ruptura fiet (quantacunque fuerit longitudo trapezii) secundum AP perpendicularem lateribus parallelis AE, BC. - Ergo prismata omnia in quibus latus imum BC aequale rectae CA rumpentur secundum AB sectionem muri. Vel etiam omnia in quibus CA major quam CB, cum intra murum rumpi nequeant.

2) Dans le cas de la Fig. 46 le calcul eût pu avoir été exécuté comme suit. La résistance par unité de surface, qui correspond à la rupture suivant cette surface, étant r, on a, dans le cas d'une rupture suivant AF:
ou p étant la dimension de la poutre perpendiculaire au plan du papier.
Pour que la force soit aussi petite que possible, il faut donc que AF²/CF soit un minimum. C'est là l'équation qui détermine la place du point F auquel correspond la section AF suivant laquelle la rupture se produit le plus facilement.
Appelant z la distance du point F au pied de la normale abaissée du point A sur BC, on a donc , ce qui conduit à ou , c.à.d. CF = AC.
De même, dans le cas de la Fig. 47, il faut que
(Force DSL). FL = r (surface AF). ½AF,
ce qui conduit à la condition AF²/FL = minimum, ou FL/AF² = maximum.
Or, . Huygens fait voir que . Il faut donc que cette dernière expression ait une valeur minimale.

[p. 73]

Ergo per regulam de max. et min.³⁾

Sumatur CS ∞ ½PB, erit PS ∞ a - ½c,

et qu. SA ∞ aa - ac + ¼cc + bb.

3) Huygens applique à l'expression - qu'il eût pu diviser d'abord par e - la règle modifiée de Fermat, qu'il exprime comme suit (‘Demonstratio regulae de maximis et minimis’, Divers Ouvrages de Math. et de Phys. par MM. de l'Ac. Royale des Sc. 1693, p. 238): ‘Si termini quos maximum aut minimum designare volumus fractiones habeant in quarum denominatore occurrat quantitas incognita ... Tum termini singuli numeratorem fractionis constituentes, ducendi in terminos singulos denominatoris, productaque singula multipla sumenda secundùm numerum quo dimensiones quantitatis incognitae in termino numeratoris differunt à dimensionibus ejusdem incognitae quantitatis in termino denominatoris ... quae denique omnia aequanda nihilo’. Cette méthode s'accorde d'ailleurs avec celle de Hudde, exposée dans son ‘Epistola secunda’ à la p. 511 de l'édition de 1683 de la Géométrie de Descartes etc. par F. van Schooten (comparez la note 5 de la p. 360 du T. II).

[p. 74]

Sit SF ∞ SA, eritque jam , hoc est ∞ x + a. Ergo PF ∞ x quaesita.

Ergo sumta SC ∞ ½PB, fit ∆ SAF isosceles. quale fuisset si trabem SXAB traxissem secundum SV. adeo ut appareat nihil referre an secundum SV an SL trahatur, quod sane ab initio animadvertere debueram¹⁾.

[Fig. 48.]

VIII, § 5²⁾. Trabs rectangula vel lapis potius earn formam habens GC [Fig. 48]. Quaeritur ubi supponenda duo fulcra ML³⁾ quibus ita sustineatur ut non magis periculi sit rumpi in medio AB quam in KQ vel MP, quibus locis fulcra statuantur.

Sint portiones KF, PN singulae aequales KD vel MG. Et jungantur BK, BM.

Itaque portio KD aequilibris KF; ideo haec nihil ponderat ad rumpendum solidum secundum AB, sed tantum particula EFBA; et ab altera parte particula similis BN. Sed particulae EFBA segmentum quidem tenue AB tota sua gravitate premit B medium fulcrorum LM, segmentum vero EF premit idem medium B ac si tantum EH suspensum esset ex B, quia diminuitur momentum prout accedit ad KQ. Atque ita tota portio AF ac si trapezium ABHE penderet ex B. Eadem vero est vis pendentibus ABHE, ABON ex B ad rumpendum AB juncturam, ac si cuneus A tanto pondere incumberet trabi MKQP quam sine pondere considero. Et hoc rursus idem est ac si conversa figura

1) En effet, d'après la note 2 de la p. 72, on a, dans le cas de la Fig. 47, lorsque la force appliquée est XSV, la condition AF²/SF = minimum, et, lorsque la force appliquée est DSL, la condition AF²/FL = minimum. Or, le rapport de SF à FL est constant, de sorte que les deux conditions sont équivalentes, ce que Huygens eût pu apercevoir immédiatement.

2) Manuscrit G, p. 12b, datant sans doute de la fin de 1688 ou du commencement de 1689; comparez la note 1 de la p. 58 qui précède. Comme nous l'avons dit à la p. 18, Huygens avait traité en 1662 le même problème d'une autre façon.

3) En marge: Imaginons des rouleaux en M et L afin que rien n'empesche icy le rompement en AB.

[p. 75]

penderet trabs eadem super cuneo A, trahereturque in punctis K et M a trapezijs singulis ABHE, ABON.

Hic vero jam ut aequale periculum sit rupturae in AB, ac in KL ob pondus portionis KD, oportet trapezium ABHE ductum in distantiam AK aequari portioni KD ductae in dimidiam distantiam KC, quia idem habet momentum ac si tota portio penderet ex centro gravitatis suae. Haec sunt calculi fundamenta.

Intelligatur rigida prorsus trabs sive lapis GC. Jam si KD sufficit ad rumpendum in KL, etiam KF sufficit ad efficiendam rupturam in eadem KL. Itaque quaeritur rectè quanta debeat esse portio NF ad faciendam rupturam in AB. Nam hanc nihil impedient jam juncturae KQ, MP. quippe aliunde abrumpendae.

Parallelepipeda ex metallo hoc modo fulcris imposita clariorem quam omni alio positu sonum edunt ..... Etc. Comme cette remarque et quelques-unes qui suivent ne se rapportent pas à la statique, mais à la théorie des vibrations et du son, nous ne les publions pas ici. On les trouvera à la p. 368 qui suit.