Oeuvres complètes. Tome XIX. Mécanique théorique et physique 1666-1695

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Statique.

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Avertissement.

En juin 1675 le gouvernement français tâcha d'obtenir des Académiciens un traité de mécanique théorique et pratique¹⁾. Roberval - voir sur lui les p. 442-456 du T. XVIII et l'Appendice II qui suit (p. 181) - prit encore part aux travaux auxquels cette demande donna naissance, mais il mourut dans cette même année²⁾.

On avait déjà traité à l'Académie de problèmes de statique en 1667³⁾, 1668⁴⁾,

1) ‘Die 22 Junii D. Perrault à D. Colbert missus, quae Regis ea de re voluntas esset exposuit, nimirum ut pars operis praecipua in explicandis machinis versaretur; quae ad theoriam pertinent, praefationis aut introductionis instar forent’ (‘Regiae Scientiarum Academiae Historia’, 2ième édition de 1701, de J.B. du Hamel, p. 152). Ceci correspond au texte français de la f. 44 v. du T. VIII des Registres de l'Academie (nous parlons des Registres dans l'Appendice I à la p. 179 qui suit). Comparez les l. 2-4 de la p. 32 du T. XVIII.

2) Voir sur tout ce qui se rapporte à la demande du gouvernement français les p. 150-156 de l'‘Historia’ de du Hamel. L'Académie décida ‘quae ad theoriam aut introductionem spectant D.D. Hugens, Picard, Mariotte, Blondel unà elaborarent, & quisque ea de re suas meditationes in commentarios redigeret; atque his inter se collatis ad Academiam referrent, quò in certum ordinem redigerentur’. (En français Registres de l'Académie, T. VIII f. 45). Ce travail eut-il lieu? C'est à Roberval que du Hamel (Historia, p. 153) attribue la Pièce dont il est question dans notre Appendice II à la p. 183 qui suit.

3) Note 6 de la p. 96 du T. IX. La p. 163 du T. II des Registres de l'Académie des Sciences dit, à la date du 21 mai 1667: ‘Mercredy prochain on commencera d'examiner la Statique de Stevin’. Voyez aussi la fin de la note 1 de la p. 51 qui suit.

4) En avril 1668 on s'occupa, d'après les Registres, de ce que Hérigone dans son Cours avance sur la Statique.

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1672, 1673, 1674: voir sur ces quatre dernières années les notes 1 et 3 de la p. 23, la note 6 de la p. 33 et la note 2 de la p. 37, ainsi que les p. 40, 70 qui suivent.

Il nous semble que dès 1667 on a entrevu la possibilité de constituer, une fois pour toutes, une Statique où les propositions nécessaires pour résoudre toutes les questions pratiques - du moins pour des corps rigides et des cordes inextensibles et impondérables - seraient logiquement déduites d'un petit nombre de principes plausibles.

Bientôt après la création de l'Académie Huygens - comme probablement d'autres membres aussi (voyez la note 3 de la p. 95) - avait eu l'idée de faire des ‘parties des mechaniques’, conformément à la maxime de Descartes¹⁾, un dénombrement complet. La page du Manuscrit C (p. 23 qui suit) qui porte ce titre, date, d'après la place qu'elle occupe, de 1667 ou d'un des deux premiers mois de 1668. Deux Pièces du même genre, déjà mentionnées dans la note 6 de la p. 247 du T. XVII, sont écrites sur des feuilles séparées. La deuxième, intitulée: ‘Ordre qu'on pourra tenir à traiter des Mechaniques’ (p. 26 qui suit) - nous en avons déjà publié une partie aux p. 481-482 du T. XVIII - date certainement d'avant 1673, comme nous l'avons dit dans la note nommée. D'autre part elle ne peut être antérieure à 1667, puisqu'il y est dit à propos de ‘la statique des poids suspendus par plusieurs cordes diversement tendues’ que ‘nous en avons traitè suffisamment cy devant dans notre Assemblee’. Nous supposons qu'elle est de 1667 ou du commencement de 1668 comme la première, intitulée ‘Parties à considerer dans les Mechaniques’, qui n'est guère qu'une paraphrase de celle du Manuscrit C. Suivant les Registres de l'Académie (T. I, p. 250) ‘Mr Hugens a lû son projet des Mechaniques’ le 25 janvier 1668²⁾.

A propos des efforts de coördination de Huygens et d'autres membres de l'Académie, spontanés ou dus à la sollicitation de Colbert - on voit, en lisant les pages de l'‘Historia’ de du Hamel (note 1 et 2 de la p. 13) que le gouvernement en 1675 désirait un traité sur d'autres machines encore que celles énumérées par Huygens³⁾ -, il con-

1) Discours de la Méthode, Deuxième Partie, quatrième maxime.

2) Comparez la p. 95 qui suit.

3) Voyez sur les machines énumérées par Huygens en 1667 ou 1668 les dernières lignes de la Pièce 1 A à la p. 25 qui suit. Du Hamel parle aussi de machines qui ‘ad agriculturam aut ad navigationem spectant’.

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vient de rappeler la demande de 1637 de Constantijn Huygens père à Descartes, ne se rapportant qu'à la statique, à laquelle Descartes répondit par l'envoi de son petit traité de la même année ‘Explication des engins par l'ayde desquels on peut avec une petite force lever un fardeau fort pesant’, dont nous avons parlé aussi à la p. 342 du T. XVI⁴⁾. Descartes y partait du principe que la ‘force’ (c.à.d. le travail, comparez la p. 469 du T. XVIII) nécessaire pour élever des poids différents à des hauteurs différentes garde même valeur lorsque le produit du poids par son ascension ne change pas. (C'est du moins dans ces termes qu'on peut avec P. Duhem énoncer le principe, quoique Descartes ne parle pas expressément du produit du poids par son ascension; comparez nos observations des p. 336-343 du T. XVI). D'ailleurs dans le cas de la vis Descartes parle aussi d'une force qui n'est pas celle de la pesanteur; voir la fin de la note 4 de la p. 23 qui suit.

Dans la Pièce ‘Ordre qu'on pourra tenir à traiter des Mechaniques’ (comme dans les deux autres Pièces semblables) Huygens ne parle pas seulement de statique. Mais dans le présent Avertissement nous devons nous borner à la considération de ce qu'il dit sur cette partie de la mécanique. Or, fidèle à l'esprit de Descartes, il s'exprime comme suit à propos des appareils de levage et autres appareils à mouvements lents qui augmentent la force: ‘Il faudroit examiner de suite toutes ces puissances, desquelles quoyque la théorie ait estè traitée par plusieurs auteurs, elle ne l'a pas estè si bien, qu'il n'y reste encore a travailler et a l'esclaircir davantage, en cherchant un principe certain et commun auquel toutes puissent estre reduites’. Il veut dire évidemment qu'il faut préciser le principe des déplacements (ou des vitesses) mentionné tant par Descartes que par beaucoup d'autres auteurs et provenant en dernier lieu des grecs⁵⁾. En 1717 Jean Bernoulli⁶⁾ formulera le principe comme suit: ‘En tout equilibre de

4) Ce petit traité fut publié en 1668 (Paris, Ch. Angot) sous le titre: ‘Explication des machines et engins par l'ayde desquels, etc.’ par N. Poisson, avec des ‘Remarques sur les Mechaniques de Monsieur Descartes’. Dans cette édition la Pièce fait suite au ‘Discours de la Methode etc.’ de Descartes. On y trouve aussi un abrégé de la Musique de Descartes avec des ‘Elucidationes’.

5) On le trouve déjà, en connexion avec la dynamique péripatéticienne, dans les Μηχανιϰά attribués à Aristote. Comparez la fin du premier alinéa de la note 4 de la p. 23 qui suit.

6) Voir la p. 359 du T. XVI, ou les p. 174-176 du T. II de la ‘Nouvelle Mécanique’ de Varignon, publiée en 1725. Dans la lettre de Bernoulli publiée à l'endroit cité du livre de Varignon et dont nous ne citons qu'une partie dans le texte, il est question de déplacements quelconques compatibles avec les liaisons. Bernoulli désigne ces déplacements par ‘petits mouvements’, ce qui veut dire ‘mouvements infiniment petits’, puisqu'il parle d'un ‘angle infiniment petit’ correspondant à un de ces mouvements.

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forces quelconques, en quelque maniere qu'elles soient appliquées, et suivant quelques directions qu'elles agissent les unes sur les autres, ou médiatement ou immédiatement, la somme des Energies affirmatives sera égale à la somme des Energies négatives prises affirmativement’ (comparez sur le mot ‘énergie’, c.à.d. travail d'une force, les notes 1 et 5 des p. 8-9 qui précèdent). Ni les Anciens ni Descartes ne parlent, comme le fait Bernoulli, d'un principe de déplacements virtuels, c.à.d. de déplacements quelconques compatibles avec les liaisons d'un système en équilibre. Quant à Huygens - Lagrange ne l'a pas su¹⁾ - ce sont bien des déplacements infiniment petits virtuels qu'il considère en spartostatique (Pièce VII § 1 à la p. 51 qui suit). C'est ce qu'indiquent déjà les figures de 1659 des p. 394-395 du T. II, mentionnées aussi aux p. 331-332 et 379 du T. XVI. Il n'est pas question, il est vrai, dans ces figures de forces absolument quelconques, mais seulement de tensions de cordes passant par des poulies et. portant des poids. Mais il est évident que la tension d'une corde est de la même nature que ce soit un poids qui tire ou p.e. une main humaine: comparez la note 1 de la p. 310 du T. XVI; et dans le troisième alinéa de la p. 27 qui suit Huygens dit généralement qu'on peut comparer toutes les autres forces aux poids. Il s'agit évidemment chez lui d'un principe qu'il peut rendre plausible par le raisonnement mais qu'il lui est impossible de démontrer: comparez les notes 5 et 6 de la p. 31.

Dans l'application du principe ancien on peut, avec Duhem²⁾, faire une distinction entre les auteurs qui se servent du principe des vitesses et ceux qui adoptent celui des déplacements. Cette distinction, là où il y a lieu de la faire, n'a guère que des raisons historiques, puisqu'il est évident, du moins lorsqu'on ne considère pas de déplacements finis là où il faudrait les prendre infiniment petits, qu'il est fort indifférent s'ils sont, oui ou non, divisés dans tous les termes de l'équation par le même temps. Huygens - voyez la Pièce II de 1676 qui occupe les p. 29-33 - parle indifféremment de vitesses et de déplacements.

On peut considérer des déplacements finis lorsqu'il s'agit d'un cas d'équilibre in-

1) ‘Mécanique Analytique’, Première Partie, Section I § 17: ‘Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait aperçu cette grande généralité du principe des vitesses virtuelles, et son utilité pour résoudre les problèmes de Statique.’

2) ‘Les Origines de la Statique’, passim.

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différent. Huygens savait évidemment fort bien quand il est nécessaire de prendre des déplacements infiniment petits et quand ceux-ci peuvent être finis: en considérant les cas traités par lui en 1646 de la chaînette (T. I, p. 40, Axiome 2) et en 1659 des poids se tenant en équilibre sur deux plans inclinés (T. XVI, p. 380), nous avons vu qu'il parle respectivement d'un centre de gravité situé aussi bas que possible et d'un centre de gravité qui reste à la même hauteur même lorsque les déplacements des poids sont finis; mais il ne formule pas nettement la distinction entre les différents cas d'équilibre, comme Lagrange, en partant du même principe³⁾, devait le faire vers la fin du dix-huitième siècle⁴⁾.

Dans son petit traité Descartes n'avait parlé du levier qu'en dernier lieu⁵⁾. Dans la Pièce ‘Ordre qu'on pourra tenir etc.’ Huygens dit au contraire - en parlant, il est vrai, uniquement du levier tel qu'il se rencontre dans la balance, tandis que Descartes, comme les Anciens, dans l'énumération des cinq puissances, parlait de la barre, basculant autour d'un point d'appui, dont on se sert pour soulever un fardeau gisant à terre - que la proposition fondamentale des Aequiponderantia d'Archimède⁶⁾ doit être examinée à l'Académie ‘devant toutes choses’. Nous avons déjà publié dans le Tome XVIII (p. 411-412) une courte Pièce de 1666 sur ce sujet. Nous réimprimons plus loin (p. 42-47) la Pièce (V, C) qui a paru en 1693 dans les ‘Divers Ouvrages de mathématique et de physique’ sous le titre ‘Demonstration de l'Equilibre de la Balance’. Huygens l'avait envoyée à de la Hire en septembre 1686 (T. IX,

3) Il est vrai que Lagrange écrit (‘Mécanique analytique’, Première Partie, Section I, § 18): ‘Quant à la nature du principe des vitesses virtuelles, il faut convenir qu'il n'est pas assez évident par lui-même pour pouvoir être érigé en principe primitif.... Il y a en Statique un autre principe général et indépendant du levier et de la composition des forces, quoique les mécaniciens l'y rapportent communément, lequel paraît être le fondement naturel du principe des vitesses virtuelles: on peut l'appeler le principe des poulies. Etc.’

4) ‘Mécanique analytique’, Première Partie, Section III, §§ 26 et 27.

5) P. Duhem (‘Les Origines de la Statique’, 1905, I, p. 338) dit: ‘Descartes est le premier qui ait nettement affirmé le caractère infinitésimal du principe des déplacements virtuels’; P. 150: ‘il a donné à ce principe sa forme définitive’. C'est vrai en ce qui regarde le caractère infinitésimal du principe; Duhem fait allusion ici à ce que Descartes a écrit à propos du levier. Mais le mot ‘virtuels’ nous semble déplacé. Dans le cas du levier, comme dans celui des autres engins, Descartes ne considère que des déplacements réels, ainsi que nous l'avons dit un peu plus haut.

6) ‘De Planorum aequilibriis sive de centris gravitatis planorum’. Voyez la note 3 de la p. 29 qui suit.

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p. 95). Suivant la note 5 de la p. 96 du T. IX cette Pièce aurait été communiquée à l'Académie déjà le 15 février 1668, mais il est impossible - quoique Huygens ait parlé le 15 février 1668 sur ce sujet (p. 37, note 2) - qu'il en ait été ainsi. Il est vrai que les p. 234 et 238 du Manuscrit C, datant peut-être d'un des derniers jours de février 1668¹⁾, contiennent une Pièce sur l'équilibre en question (Pièce V, A § 2 de la p. 37 qui suit); mais la p. 238 nommée porte aussi la date ‘avril 1672’ ce qui indique que la suite de la Pièce (notre Pièce V, A, § 3, 4) est de cette année-là. Et les ‘Chartae mechanicae’ contiennent une autre Pièce sur le même sujet (notre Pièce V, B de la p. 40) qui fut lue à l'Académie le 2 décembre 1673. La Pièce envoyée en 1686 a donc apparemment été rédigée encore plus tard²⁾. On voit que le problème n'a cessé de préoccuper Huygens. Lagrange (Mécanique analytique’, Première Partie, Section I §§ 1-4) approuve la démonstration de Huygens, quoiqu'il pense pouvoir la rendre encore plus stringente. Voyez aussi sur ce sujet la note 1 de la p. 47 qui suit.

La question de la ‘potentia rumpens’, p.e. dans le cas des poutres, traitée aussi par Galilée dans ses ‘Discorsi e demostrazioni’ de 1638, peut être considérée comme faisant également partie de la Statique. Nous avons vu (T. XVI, p. 333-336, 381-383) que Huygens s'était déjà occupé de cette question en 1662 et qu'il avait fait en cette occasion une application originale du principe que le centre de gravité tend à descendre autant que possible. Ni Galilée ni Huygens ne considèrent encore, à propos de la rupture, la déformation élastique des solides. C'est de la rupture (comparez la note 1 de la p. 28 qui suit) que traite la Pièce VIII aux p. 69 et suiv.; les §§ datent respectivement de 1669, de 1671 et de 1688 ou 1689. Le dernier donne la même solution que la Pièce de 1662, mais obtenue par une autre méthode.

Somme toute en regardant les dates des différentes Pièces de Huygens sur la Statique, on ne voit pas que la demande de 1675 du gouvernement ait eu de l'influence sur leur genèse. Ceci s'applique même à la Pièce VI de la p. 48 qui suit - elle date

1) La p. 231 porte la date du 25 février 1668.

2) Plus précisément: le début de la Pièce envoyée en 1686 a été rédigé plus tard. Car la rédaction de la Proposition III, qui est la Proposition principale, n'a subi, depuis décembre 1673, aucun changement (abstraction faite des corrections fort peu importantes dont il est question dans la note 3 de la p. 42 qui suit).

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de mai ou juin 1668 - où Huygens, comme d'autres membres (voir le § 2 de la Pièce), traite la question de la grandeur des roues des charrettes destinées à rouler sur des chemins raboteux ou, pour parler plus clairement, celle du transport des canons³⁾. Puisqu'il y considère la force avec laquelle les chevaux doivent tirer pour faire surmonter aux roues, lorsque la voiture part du repos, un obstacle de hauteur donnée, nous pouvons dire qu'il s'agit ici d'un problème de statique. - Il paraît toutefois extrêmement probable que l'examen de cette question soit due à l'instigation directe ou indirecte du gouvernement. C'est donc aussi pour agir dans l'esprit du gouvernement, nous semble-t-il, que Huygens parle en 1667 ou 1668 de la ‘construction de diverses machines’⁴⁾: dès la création d'une Académie officielle, on a nourri l'espoir que ses travaux auraient des résultats utiles pour la société (comparez la note 3 de la p. 14⁵⁾.

Dans le présent Tome nous évitons autant que possible les questions purement techniques; mais il est évident qu'on ne peut pas séparer p.e. les expériences faites dans le vide de la description de l'appareil pneumatique ou pompe à air.

3) Fig. 21.

4) Comparez le quatrième alinéa de la Pièce N^o 1568 (de 1666?) du T. VI.

5) Voir du Hamel (‘Historia’, Cap. I): ‘Quae rationes moverint Regem Christianissimum, ut Scientiarum Academiam institueret’. À la p. 154 il parle des machines (‘varia machinarum genera’) construites en ou après 1675. On trouve la description de celles construites depuis 1666 jusqu'en 1701 dans le T. I des ‘Machines et Inventions approuvées par l'Académie Royale des Sciences’ par Gallon (Paris, 1735).
D'après le T. II des Registres de l'Académie (p. 161), déjà en avril 1667 ‘Monsieur Auzout a proposé que quelques uns de la Compagnie eussent commission de voir tous les ouuriers, voir leurs instrumens, scauoir ce qui leur manque, apprendre leurs secrets, leurs sophisteries &c. Monsieur de Carcaui a tesmoigné que la chose se pourroit faire aisement par le moyen des ouuriers qui trauaillent pour le Roy’. Et en février 1668 (T. I, p. 255) ‘M^r. Auzout a lû son memoire pour faire des modelles de machines’.
Nous parlons plus loin (p. 128 et suiv.) d'une des deux inventions de Huygens qu'on trouve dans le recueil de Gallon, savoir la ‘machine pour mesurer la force mouvante de l'air’; quant à l'autre, la ‘maniere d'em pescher les vaisseaux de se briser lorsqu'ils echouent’, ou la trouvera dans un des Tomes suivants.