Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

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Principe de l'incitation donnée aux corps par un agent extérieur ou par une cause inconnue, et découverte de la théorie générale de l'isochronisme des vibrations.

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Avertissement.

Dans un programme, datant d'avant 1673, que nous avons déjà mentionné dans la note 6 de la p. 247 du T. XVII (il est intitulé: ‘Ordre qu'on pourra tenir a traiter des Mechaniques’) Huygens parle comme suit de la Statique et de la Dynamique¹⁾:

‘Je voudrois traiter en suite de la Statique des corps surnageans à l'eau, et de leur positions suivant les diverses figures, de quoy a escrit Archimede, l'on pourroit examiner son traitè, et aussi celuy que j'en ay fait²⁾.

Je mettrois icy la statique des poids suspendus par plusieurs cordes diversement tirees, mais nous en avons traitè suffisamment cy devant en nostre Assemblee³⁾.

Il reste les matieres qui regardent particulierement le mouvement qui sont d'une contemplation plus difficile que toutes les autres et comme elles participent de la Physique, aussi servent elles autant a cette partie de la Philosophie qu'aux usages de la Mechanique.

Il y a en premier lieu a establir la theorie du mouvement des corps qui tombent, dans laquelle je crois qu'il faut se servir des hypotheses qui menent aux propositions

1) Ce programme date probablement de 1668, puisqu'on trouve à la p. 218 du Manuscrit C une liste du même genre des ‘Parties des Mechaniques’. Nous reviendrons sur ces programmes, lorsque nous traiterons, avec Huygens, de quelques questions techniques.

2) T. XI, Traité ‘De lis quae liquido supernatant’.

3) Voir les p. 332-333 et 379 du T. XVI. Nous reviendrons sur cette question, à laquelle sont encore vouées plusieurs pages des Manuscrits.

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qui s'accordent le mieux avec l'Experience¹⁾. D'icy dependent aussi les mouvements des corps jettez et des boulets de canon flesches &c.

De la mesme theorie depend le mouvement des pendules et la maniere de le rendre parfaitement egal, dont je donneray la demonstration²⁾.

La mesme sert encore a demonstrer les centres d'agitation³⁾ que je pourray donner ensuite et par les quelles on peut determiner exactement une mesure universelle et inalterable a jamais⁴⁾.

Il y a en fin a examiner les effects du mouvement circulaire et sa force a rejetter du centre, dont j'ay a proposer une Theorie qui s'accorde parfaitement avec les experiences⁵⁾. Et duquel depend aussi une belle experience qu'il y a a faire pour prouver que la terre tourne⁶⁾’.

Les Pièces I et II qui suivent se rapportent à la ‘contemplation’ des ‘matieres qui regardent particulierement le mouvement’ et ‘participent de la Physique, partie de la Philosophie’, en servant en même temps ‘aux usages de la Mechanique’. Comparez sur ce ‘double but’ les p. 32 et 76 qui précédent.

La Pièce II de 1675 contient des réflexions sur le mouvement d'un corps sous

1) T. XVII, p. 125-137, T. XVIII, p. 124-149.

2) T. XVI, p. 344-349 et p. 392-413, T. XVII, p. 95-96 et p. 139-141, T. XVIII, p. 150-203.

3) Au début de la Pars Quarta de l'‘Hor. osc.’ Huygens parle des ‘centra oscillationis seu agitationis’. Le sens précis de l'expression ‘centrum agitationis’ pourrait être celui d'un point tel que la somme totale des moments des quantités de mouvement autour de ce point est nulle. C'est là p.e. le sens du mot ‘centre d'agitation’ chez Mariotte lorsqu'il dit (Prop. XIX de la deuxième Partie du ‘Traitté de la Percussion ou Choc des Corps’ - p. 93 des Oeuvres de Mr. Mariotte, T. I, Leide, P. van der Aa, 1717): ‘Les Centres de vibration [ou oscillation], agitation, & percussion sont un même point dans un triangle qui se meut sur sa base’. Cependant nous n'oserions affirmer, puisque Huygens ne parle plus nulle part de cette question dans son livre, s'il a voulu indiquer que le centre d'oscillation jouit de la propriété dont nous venons de parler et sur laquelle on peut consulter les p. 443-445 qui précèdent.
On peut voir à la p. 454 du T. IX ce que Huygens dit en 1690 du Traité de Mariotte, sur lequel on peut aussi consulter les p. 207-209 du T. XVI.

4) T. XVI, p. 354-356, T. XVII, p. 120, T. XVIII, p. 58-59 et 348-355.

5) T. XVI, p. 235-328, T. XVII, p. 91, note 4, p. 153, 244 et 277, T. XVIII, p. 44-46 et 366-368.

6) T. XVI, p. 376-377, T. XVII, p. 247 et 285-286, T. XVIII, p. 46, troisième alinéa. Voir aussi ce qui est dit plus loin dans le présent Tome sur l'expédition de 1686-1687 au Cap de Bonne Espérance. L'avant-dernier alinéa de la p. 224 du T. XVI se rapporte au même sujet.

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l'influence d'un agent matériel extérieur ou d'une cause inconnue. C'est d'une force qu'on peut appeler ‘newtonienne’ - quoique Newton n'ait rien à y voir - qu'il s'agit ici, non pas de la force cartésienne considérée à la p. 469 qui précède. Le corps considéré est, peut-on dire, un point pesant. Suivant Huygens - ce qui n'était pas l'opinion de tout-le-monde; voir le troisième alinéa de la note 11 de la p. 453 qui précède - il ne faut pas de force pour qu'un mobile continue son mouvement uniforme. Il est apparemment question d'un mouvement uniforme en ligne droite. Lorsqu'une force agit sur un corps, elle lui donnera ‘continuellement de l'accélération’.

Lorsque la force agissant sur le mobile provient d'un moteur, elle n'est pas toujours - même lorsqu'elle agit dans le sens du mouvement, ce qui a lieu ici par hypothèse - la force totale de ce moteur, c.à.d. la force qu'il exercerait si le corps était en repos dans la situation considérée; c'est pourquoi il convient de distinguer la force exercée de la force totale en l'appelant ‘incitation’.

Le mot ‘incitatio’ se trouve d'ailleurs déjà dans la Pièce I de 1673⁷⁾, dans laquelle il n'y a pas lieu de distinguer à cause du mouvement que le point pesant possède déjà, la force exercée de la force totale. Incitatio y est toujours la force agissante, celle qui donne l'accélération, c.à.d. la composante de la force agissante dans le sens du mouvement. Il est vrai qu'on peut aussi considérer cette ‘incitatio’ comme inhérente au corps (voir dans la quatorzième ligne de la p. 490 l'expression ‘incitationem quam haberet’).

Huygens développe dans la Pièce I la théorie des vibrations harmoniques (pour employer ce terme) en les comparant - heureuse trouvaille - à des oscillations cycloïdales; comparaison d'où résulte leur isochronisme pour différentes amplitudes; il comprenait que les incitations provenant de causes différentes (pesanteur, élasticité, etc.) sont équivalentes, comme le dit l'avant-dernier alinéa de la p. 497, ainsi que l'Hypothèse de la page suivante par laquelle se termine la Pièce II.

Jusqu'à présent les historiens n'ont pas signalé Huygens comme le premier savant qui ait développé la théorie des vibrations harmoniques. Nous ignorons d'ailleurs s'il ajamais fait part de sa trouvaille à qui que ce soit⁸⁾. Il a certainement causé avec Leibniz

7) Ou 1674.

8) Comparez la note 2 de la p. 246 du T. XVII.

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sur ce sujet, puisque ce dernier écrit dans sa lettre du 2 mars 1691 (T. X, p. 52): ‘M. Newton n'a pas traité des loix du ressort; il me semble de vous avoir entendu dire autres fois que vous les aviés examinées, et que vous aviés demonstré l'isochronisme des vibrations’. C'est donc pendant le séjour de Leibniz à Paris, c.à.d. bientôt après sa découverte¹⁾, que Huygens en a fait part au philosophe allemand; mais sans entrer dans les détails. Dans sa réponse du 26 mars 1691 Huygens se contente d'écrire: ‘J'ay une demonstration de l'sochronisme des vibrations du ressort, estant supposè qu'il cede dans la mesme proportion de la force qui le presse, comme l'experience l'enseigne constamment²⁾’.

En 1691 Huygens n'eût cependant trahi aucun secret en disant de quelle façon il avait passé de la considération de la vibration cycloïdale à celle de la vibration harmonique quelconque, puisqu'on trouve la même chose dans les ‘Philosophiae naturalis Principia mathematica’ de 1687 de Newton: suivant le Corollaire à la Prop. II, Theor. XVIII du Liber Primus de ce dernier, dans le cas du mouvement cycloïdal la composante de la force agissant dans le sens du mouvement est proportionnelle à l'arc que le point pesant doit parcourir pour atteindre le point le plus bas; d'où résulte, comme le dit déjà l'énoncé du théorème, que ‘oscillationum utcunque inaequalium aequalia erunt tempora’³⁾. La différence essentielle c'est que Huygens, dans son ‘Hor. oscill.’, avait prouvé d'une autre façon le tautochronisme de la cycloïde, et que, constatant ensuite que la force agissante est proportionnelle à l'écart, il en avait conclu à l'isochronisme des vibrations harmoniques quelconques; tandis que Newton, après avoir remarqué la proportionnalité de la force à l'écart dans le même cas spécial, en déduisit par un raisonnement sur les accélérations et les vitesses, le tautochronisme de la cycloïde ainsi que la propriété analogue des vibrations quelconques où la force est proportionnelle à l'écart⁴⁾. Il est de toute évidence que c'est la lecture de l'‘Hor. osc.’ qui a amené Newton à considérer l'oscillation cycloïdale, mais son idée de

1) Comparez la note 9 de la p. 195 du T. XVI.

2) T. X, p. 58. Dans la lettre il ne fait pas mention, comme dans la minute (p. 55), de Robert Hooke.

3) Newton considère une oscillation cycloïdale - nous dirions hypocycloïdale - dont celle de Huygens est un cas particulier. Comparez la fin de la note 2 de la p. 399 qui précéde.

4) Attendu que l'hypocycloïde, comme Newton le remarque, peut dégénérer en une ligne droite, l'isochronisme des vibrations harmoniques suivant une droite résulte immédiatement de celui des oscillations hypocycloïdales.

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prouver de cette façon le tautochronisme peut fort bien avoir été originale⁵⁾: rien n'indique - quoique cela soit évidemment possible - que la pensée de Huygens ait été divulguée, ni avant, ni après 1687.

Il est vrai que 's Gravesande écrit dans ses ‘Physices Elementa mathematica Experimentis confirmata, sive Introductio ad Philosophiam Newtonianam’ de 1742 que dans le cas de la cycloïde la force agissante est proportionnelle à l'arc⁶⁾ et que les vibrations d'une lame élastique sont isochrones puisqu'on peut dire ‘laminam agitari juxta Leges Penduli in Cycloide oscillati’⁷⁾, à quoi il ajoute: ‘Hugenius detexit laminae elasticae vibrationes esse aequè diuturnas’⁸⁾, mais ces remarques éparses ne font nullement voir qu'il s'agit ici d'une théorie dont Huygens fut l'auteur. Nous ne croyons donc pas que 's Gravesande ait remarqué la ‘Pièce I’ dans les manuscrits de Huygens; de fait, comme nous l'avons déjà observé à la p. II du T. I, il s'est borné, en sa qualité d'éditeur de Huygens, à reproduire les ouvrages déjà imprimés, sans tenir compte en aucune façon des manuscrits, dont le contenu semble lui être resté absolument inconnu.

Il est donc à peu près superflu de dire que ni 's Gravesande ni, sauf erreur, aucun autre auteur, n'indique que Huygens est le premier savant qui ait entrepris de donner une théorie mathématique des cordes vibrantes⁹⁾. Cette théorie, il est vrai, n'est qu'une ébauche, mais c'est une ébauche méritoire¹⁰⁾.

5) D'aileurs, dans la Prop. XXXVIII, Theor. XII du Liber Primus, Newton avait déjà démontré d'une autre façon l'isochronisme des vibrations harmoniques suivant une droite. Il y considère la droite comme la limite d'une ellipse; or, suivant la Prop. X, Probl. V du même livre les périodes de toutes les ellipses qu'un mobile peut décrire sous l'influence d'une force émanant d'un centre et proportionnelle à la distance du mobile à ce centre (lequel est en même temps celui des ellipses), sont les mêmes.

6) N^o. 414, Lib. I, Cap. XX, p. 111.

7) N^o. 1335, Lib. II, Cap. XIII, p. 384.

8) Nous citons d'après la troisième édition, celle de 1742 (Leidae, apud Joh. Arn. Langerak, Joh. et Herm. Verbeek). La dernière phrase citée est empruntée à la p. XXVIII de la Praefatio de cette édition. Elle ne se trouve pas dans les préfaces des deux éditions antérieures, lesquelles sont reproduites dans la troisième.
Il semble bien que s'Gravesande, en mentionnant ‘Hugenius’ et la ‘lamina elastica’, ne parle que de résultats expérimentaux.

9) Voir cependant ce que nous disons plus loin du Père I.G. Pardies.

10) On trouve dans les Philos. Transact. de 1713 (‘The Philosophical Transactions from the Year MDCC to the Year MDCCXX, Abrig'd etc. by Benj. Motte’, London, R. Wilkin etc. 1721, Vol. I, p. 53) l'article théorique de Brook Taylor ‘Of the Motion of a stretcht String’, où l'auteur établit, en s'inspirant de l'ouvrage de Newton, que ‘vibrationes omnes, tam maximae quam minimae, peragentur in eodem tempore periodico, & puncti cujusvis motus similis erit oscillationi corporis Funependuli in Cycloide’. C'est croyons-nous, la première théorie mathématique sur la corde vibrante après celle, restée inconnue, de Huygens de 1673. Voir encore, dans les Additions et Corrections, un passage de Leibniz qui se rapporte à ce sujet.
Le résultat du calcul est que la corde est isochrone avec un pendule de longueur d²/c² · N/P · L, où c/d = π, tandis que P est la tension, N le poids et L la longueur de la corde. Il en résulte pour le temps d'une vibration simple t = √mL/P, m étant la masse de la corde, conformément à la dernière formule de la note 3 de la p. 494 qui suit.

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Dans le § 6 de la Pièce I, Huygens parle aussi de ses expériences sur ce sujet. Il ne dit pas si c'était chez lui ou bien à l'Académie qu'il les avait prises.

Avant lui, Mersenne en avait pris un grand nombre, comme on peut le voir dans ses ‘Harmonicorum libri, in quibus agitur de sonorum natura, causis, & effectibus: de Consonantiis, Dissonantiis, Rationibus, Generibus, Modis, Cantibus, Compositione, orbisque totius Harmonicis Instrumentis’¹⁾. Il avait établi expérimentalement un grand nombre de théorèmes. La Prop. XXIX de la p. 24 p.e. dit que les vibrations de différentes amplitudes d'une même corde, ayant une tension donnée, sont isochrones. En effet, la hauteur des sons forts et faibles est la même; il suffisait donc de comprendre que ce qui fait la hauteur du son, c'est le nombre des vibrations. La Prop. IX de la p. 12 dit que les vibrations de deux cordes du même genre de longueurs inégales sont isochrones lorsque les tensions sont entre elles comme les carrés des longueurs. Etc.

C'est de la considération des cordes vibrantes - qui formaient déjà dans l'antiquité le sujet des recherches de Pythagore²⁾ et de Ptolémée - que l'auteur de l'‘Harmonie Universelle’³⁾ passa à celle d'autres mouvements oscillatoires⁴⁾. C'est lui qui avait dirigé (T. XVI, p. 349, T. XVIII, p. 243) les regards du jeune Huygens sur le mouvement périodique des pendules. Grâce à Huygens nous voyons ici, par un juste retour, la théorie des cordes vibrantes profiter des résultats obtenus dans le domaine des pendules.

1) Lutetiae Parisiorum, G. Baudry, 1648. C'est la deuxième édition latine amplifiée, la première étant de 1636.

2) Ou des Pythagoriciens.

3) De 1627. Le titre de cet ouvrage exprime la connexion avec l'ouvrage (‘Harmonika’) de Ptolémée.

4) Nous ne parlons pas ici de l'influence de Galilée qui - soit dit en passant - était le fils d'un musicien distingué.

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Cependant il y a une réserve à faire sur la priorité de Huygens. Il est juste d'ajouter qu'il connaissait dès 1673 l'ouvrage de I.G. Pardies, apparu simultanément avec l'‘Horologium oscillatorium’ et dont l'auteur, professeur à Paris au ‘Collège de Clermont’, décéda immédiatement après cette publication. Nous parlons de ‘La Statique ou Science des Forces mouvantes’ (citée e.a. dans la note 4 de la p. 304 du T. VII). Dans sa Préface Pardies se dit ‘résolu de faire tout un corps de Mécanique’. Il parle de six ‘discours’, dont ‘La Statique’ est le deuxième. ‘Le cinquième discours’, dit-il, ‘est du mouvement de Vibration, c'est à dire, de tous les corps qui sont un mouvement réciproque allant & venant, comme font les pendules, les cordes tendues, les ressorts, & plusieurs autres corps. L'on y décrit une pendule, dont toutes les vibrations sont d'une égale durée; l'on démontre aussi que toutes les vibrations d'une corde tendue durent également; que les vibrations de deux cordes d'égale grosseur, & également tendues, sont en raison réciproque des longueurs des cordes, au lieu que dans les pendules elles sont seulement en raison sous-doublée; que dans les cordes égales, les vibrations sont en raison sous-doublée des forces ou des poids qui les tendent; que les vibratîons sont encore en raison sous-doublée des grosseurs des cordes d'égale longueur, & également tendues. Desorte que l'on démontre par les causes tout ce que l'expérience nous fait remarquer dans les sons & dans l'harmonie des cordes tendues’.

On ne sait ce que sont devenus les manuscrits de l'auteur, ni s'il avait déjà rédigé ce cinquième discours en tout ou en partie. Son programme fait voir que probablement, comme Huygens, il passa, d'une façon ou d'une autre, de la considération des pendules à celle des vibrations harmoniques; ce qui est d'autant plus croyable qu'il avait trouvé, et publié à la fin de ‘La Statique’, une ingénieuse démonstration du tautochronisme de la cycloïde. Il n'est pas impossible - quoiqu'on n'en trouve rien chez lui - qu'il ait remarqué, en réfléchissant sur cette démonstration, que la composante de la pesanteur qui agit dans le sens du mouvement est proportionnelle à l'arc, ce que nous avons appelé plus haut (p. 483) la trouvaille de Huygens⁵⁾.

Vers la fin du premier chapitre du ‘Traité de la Lumière’ de 1690 Huygens parle,

5) En 1673 Huygens écrit à Oldenburg à propos de cette démonstration (T. VII, p. 314) que ‘ce n'est pas grande chose .... d'avoir fait la démonstration d'une proposition desia trouvée’. Cependant la démonstration de Pardies nous paraît assez remarquable. Il suppose (en observant aussi qu'on peut perfectionner le raisonnement en enfermant le temps total dont il s'agit entre deux limites) que le point pesant parcourt successivement [Fig. 8] les droites ab, cd, ef, etc. - tangentes à la courbe - égales et parallèles à AB, CD, EF, etc., où AB = l/n AG, CD = l/n CG, EF = l/n EG, le nombre arbitraire n pouvant être pris fort grand. Un mobile M₁ partant de a parcourra l'élément ab dans le même temps qu'un mobile M₂, partant de c, parcourra cd, ou un mobile M₃, partant de e, l'élément ef. De plus M₁ parcourra ensuite cd dans un temps égal à celui nécessaire à M₂ pour parcourir ef, etc. Tous les mobiles, de quelque point qu'ils partent, finiront par se rejoindre au point G.
Dans l'exécution de ce calcul il faut faire usage de ce que l'accélération avec laquelle un élément tel que cd est parcouru, est proportionnelle à CG, donc aussi à la longueur de l'arc cG, double de CG, ou du moins d'un raisonnement qui suppose implicitement cette proportionnalité.

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à propos du sixième discours de Pardies qui est du mouvement d'Ondulation etc., de son Traité ‘dont il me fit voir une partie et qu'il ne put achever, étant mort peu de temps après’. (Il ignore ‘si son écrit s'est conservé’). Il est donc possible que Pardies ait aussi causé avec Huygens sur les sujets du cinquième discours, ou même qu'il lui en ait fait voir une partie déjà rédigée.