Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

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Objections de Roberval contre les démonstrations de l'auteur de l'‘Horologium oscillatorium’ et réponses de Huygens.

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Avertissement.

Les principes dont Huygens part dans son ‘Horologium oscillatorium’ donnèrent lieu à de célèbres controverses.

Parmi les lecteurs compétents beaucoup sans doute se contentèrent d'admirer l'oeuvre; témoin les paroles de Viviani citées par Huygens à la p. 51 du Manuscrit E:

≪ Vinc. Viviani nel ragguaglio delle ultime opere del Galileo. 1674¹⁾.

‘La medesima passione volle ancora con sottilissimo progresso autenticare quel sublime ingenio di Christiano Ugenio nella opera sua due anni sono²⁾ publicata e con stupor de' Matematici applaudita, trattante del moto de' Pendoli’.

C'estoit de demontrer que les vitesses acquises par des plans diversement inclinez, mais d'egale hauteur perpendiculaire, sont egales³⁾ ≫.

1) Il s'agit de l'ouvrage de Viviani, intitulé ‘Quinto libro degli Elementi d'Euclide, ovvero Scienza Universale delle Proporzioni spiegata colla dottrina del Galileo, con nuov'ordine distesa, e per la prima volta pubblicata da Vincenzio Viviani ultimo suo Discepolo. Aggiuntevi cose varie, e del Galileo, e del Torricelli; I Ragguagli dell' ultime Opere loro, con altro, che dall' Indice si manifesta. All' Altezza Sereniss.^ma e Reverendiss.^ma del Signor Principe Cardinale de' Medici’. In Firenze; alla Condotta, MDCLXXIV. Les paroles citées (Viviani écrit: ‘ingegno’ et ‘pubblicata’) s'y trouvent à la p. 100. Huygens reçut le livre de Viviani en 1676; voir les p. 9 du T. VIII, 471 du T. IX et 292 du T. X.

2) Comparez sur l'expression due anni sono le deuxième alinéa de la p. 64 qui précède.

3) Huygens démontre cette égalité pour un point pesant, dans la Prop. VI de la Pars Secunda (voir la p. 141 qui précède). Nous avons remarqué (troisième alinéa de la p. 39) que Huygens y fait déjà usage de l'Hyp. I de la Pars Quarta, comme il le fait d'ailleurs aussi dans la Prop. IV de la Pars Secunda (dernières lignes de la p. 135).
Aux p. 99 et 100 Viviani raconte qu'en étudiant la ‘scienza de' moti naturali nuovamente promossa dal Galileo, e che allora appunto era uscita in luce’ il s'était demandé s'il n'était pas possible de donner une démonstration du ‘supposto, che le velocita de' mobili naturalmente descendenti per piani d'una medesima elevazione sieno uguali tra loro’. Son instituteur, le P. Clemente di S. Carlo, l'introduisit chez Galilée qui s'appliqua à donner cette démonstration. Galilée la lui dicta et des copies en furent envoyées à plusieurs personnes, e.a. à Benedetto Castelli; voir la lettre du 3 décembre 1639 de Galilée à ce dernier (Ed. Naz. T. XVIII, p. 125). C'est la Pièce, dit Viviani, ‘che io ... somministrai all' ultima impressione di tutte l'opere di lui fatta in Bologna nel 1656, come quivi si vede a facce 132 del Terzo Dialogo’. Il dit ensuite que E. Torricelli ‘confermò dipoi’ cette proposition dans son Trattato de' Moti, quando non aveva avuto notizia ancora di quella di esso Galileo’. Après avoir parlé de Huygens, Viviani ajoute finalement qu'une démonstration fut également donnée par Alessandro Marchetti de Pise.
Comparez sur la démonstration de Galilée la remarque de Huygens et la note 2 à la p. 141 qui précède.

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Toutefois la critique elle aussi - comment en eût-il pu être autrement? - ne tarda pas à se faire jour. Ce qui paraît être resté inconnu à tous ceux qui s'y sont intéressés, p.e. à J.L. Lagrange¹⁾, ainsi qu'à nous-mêmes²⁾, c'est que les premières objections furent faites par Roberval. Ces objections, datant déjà de 1670, furent inscrites par Huygens, avec ses réponses, dans le Manuscrit D. Comme nous l'avons dit à la p. 36 qui précède, une partie des théorèmes avaient été rédigés en 1670. Huygens, rétabli de sa maladie (p. 36) et n'ayant pas encore quitté Paris, paraît les avoir communiqués à Roberval ainsi que, peut-être, à quelques autres membres de l'Académie. La réponse à la 7ième objection fait voir qu'il a apporté ensuite un changement au début de la Pars Quarta; il a supprimé la deuxième des trois hypothèses qui s'y trouvaient primitivement³⁾.

Ces objections amènent le lecteur à se demander quelles étaient en général les opinions de Roberval mécanicien. Malheureusement nous n'en sommes pas très bien informés, l'ouvrage principal de Roberval sur la mécanique, qui comme beaucoup d'autres de ses écrits n'avait pas été imprimé durant sa vie, étant perdu⁴⁾. Nous

1) Voir la Section I de la Seconde Partie de sa ‘Mécanique analytique’ de 1788, citée aussi in extenso dans le travail suivant (note 2).

2) ‘Christiaan Huygens et Jean le Rond d'Alembert’ dans le périodique ‘Janus, Archives internationales pour l'Histoire de la Médecine etc.’ (Leyde, E.J. Brill) de 1915.

3) Comparez la note 1 de la p. 38 qui précède.

4) En 1650, Roberval écrit à Hevelius (lettre imprimée dans ‘Huygens et Roberval, documents nouveaux’ par C. Henry, Leyde, E.J. Brill, 1879; Henry ajoute, p. 35, note 2, que l'original de la lettre a disparu) avoir achevé un traité de mécanique en huit livres; le dernier traitait ‘de centro percussionis potentiarum mobilium’.

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ignorons aussi, ce qui est particulièrement regrettable, si Huygens avait reçu en 1665 ou plus tard un ‘traitè de Roberval des pendules isochrones’ (voir la note 3 de la p. 54 qui précède) et en quelle manière Roberval a parlé en ou vers 1671 à l'Académie des Sciences sur les centres de percussion⁵⁾. Cependant la remarque de Huygens de 1693 (septième alinéa de la p. 402 du T. X) fait voir que fort probablement Roberval n'a rien dit de bien important. Selon P. Tannery en 1666 il était ‘déjà éteint’⁶⁾. Il est vrai que F. Vernon dit de lui en 1670⁷⁾ qu'il ne publie rien mais qu'à l'Académie il ‘discourseth much & is a very plausible speaker and of acute reasoning’.

Roberval, nous l'avons dit à la p. 352 du T. XVI, avait trouvé dès 1646 la place du ‘centre de percussion ou d'agitation’ dans le cas d'un secteur de cercle tournant dans son plan autour d'un axe passant par le centre du cercle. Il n'était pourtant pas convaincu, ne voyant apparemment aucune raison théorique pour l'admettre, que le centre de percussion fût identique avec le centre d'oscillation. Il inclinait plutôt à croire - ce que son ami Mersenne jugeait aussi possible (T. XVI, p. 351) - que cette identité n'existe qu'à peu près.

Or, qu'est-ce en somme que le centre de percussion? Nous avons vu (p. 57, note 6) que Fabry dit que lorsqu'un obstacle arrête le corps au centre de percussion, il perd tout son mouvement et que ce centre (p. 56) est situé sur une droite D telle que les moments de tous les ‘impetus’ ou quantités de mouvement de part et d'autre de cette droite sont égaux. Cette dernière formule est claire dans le cas d'une surface plane symétrique tournant autour d'une droite située dans son plan et perpendiculaire à son axe de symétrie; d'après les exemples que Fabry (ou Mousnier) en donne la droite D est alors une parallèle à l'axe de rotation et le centre de percussion occupe

5) ‘Regiae Scientiarum Academiae Historia’ Sec. ed. Autore J.B. du Hamel, Parisiis, J.B. Delespine, 1701, p. 98 (Cap. II de la Sectio Septima ‘De his quae acta sunt annis 1670, 1671, & 1672. quaeque ad Mathesim spectant): ‘Ac primum quidem de centro percussionis quod inter praecipua hujus scientiae fundamenta numeratur, D. de Roberval fusè & subtiliter disseruit.’

6) ‘Les Sciences en Europe 1648-1715’, Ch. X (p. 396) du T. VI de l'‘Histoire générale du IV^e siècle à nos jours’ de Lavisse et Rambaud.

7) Notre T. VII, p. 8.

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évidemment sur elle une situation centrale. Cependant Fabry semble vouloir donner une définition générale. Formulée correctement, celle-ci devrait être la suivante¹⁾: ‘Lorsqu'un corps suspendu en un point tourne autour d'un axe passant par ce point, le centre de percussion se trouve sur une parallèle à cet axe telle que la somme algébrique des moments des quantités de mouvement de tous les points du corps autour de la parallèle est nulle; on suppose le corps arrêté par l'obstacle à l'instant où son centre de gravité est aussi bas que possible; le point de suspension, le centre de gravité et le centre de percussion sont alors par hypothèse situés sur une même ligne droite.’

Supposons l'axe de rotation, passant par le point de suspension A, perpendiculaire au plan du papier [Fig. 1]. Soit p la plus courte distance de la parallèle à l'axe A passant par le centre de percussion P et du vecteur représentant la vitesse v d'un point quelconque situé à la distance r de l'axe A. Soit AP, situé dans le plan du papier = L. Il faut suivant notre définition que ∑mvp = 0, m étant la masse d'un point; ou bien ∑mrp = 0, puisque la vitesse angulaire est, à un instant quelconque, la même pour tous les points. Le bras de levier p est positif pour les moments agissant dans un sens, négatif pour ceux qui agissent dans l'autre.

Or, on a pour tous les points du corps p = L cosα - r.

En substituant cette valeur de p dans la formule précédente, on obtient

L = ∑mr²/∑mr. cosα

ou L = ∑mr²/Mb, M étant la masse totale et b la distance du centre de gravité du corps au point A en vertu de l'hypothèse faite sur l'instant et la place de l'arrêt²⁾. Ainsi

1) On peut supposer avec Fabry (p. 56, note 4) que pour pouvoir arrêter le corps précisément au centre de percussion, on y ait pratiqué une fente ou un canal fort étroit.

2) Généralement, si l'on oppose l'obstacle au corps oscillant en un point choisi de telle manière que l'équation ∑mrp = 0 est vérifiée, ∑mr cos α sera le produit de M par la projection du centre de gravité sur le plan passant par l'axe de rotation et le point considéré. Il en résulte que le lieu de tous ces points (on peut dire: de tous ces centres de percussion) dans le corps est un plan passant par le centre principal de percussion (simplement appelé centre de percussion dans le texte) et perpendiculaire à la droite qui joint le point de suspension à ce dernier centre. Remarquons en passant qu'en se heurtant à l'obstacle le corps ne perdrait pas en général tout son mouvement.

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défini, le centre de percussion coïncide donc avec le centre d'oscillation. Nous avons remarqué (p. 58) qu'en 1664 - tout aussi bien qu'en 1690, p. 462 du T. IX - Huygens semble admettre généralement cette identité des deux centres³⁾ puisqu'il dit que Fabry, cherchant le centre de percussion pour un cercle oscillant dans son plan, aurait dû trouver ce centre à une distance de ¾ du diamètre du point de suspension, c.à.d.à l'endroit qu'occupe, suivant le calcul de Huygens, le centre d'oscillation⁴⁾. Il est vrai qu'on peut également supposer qu'en 1664, partant d'une définition telle que celle donnée ici, Huygens n'ait calculé la situation du centre de percussion que pour le cas du cercle (et peut-être pour quelques autres surfaces oscillant dans leur plan); mais cela paraît plus difficile que d'établir la formule générale et on n'en trouve rien dans les manuscrits.

Nous ignorons si Roberval est parvenu, soit avant soit après avoir vu la formule générale de Huygens pour le centre d'oscillation, à une formule identique pour le ‘centre de percussion ou d'agitation’⁵⁾. La 13ième et 14ième objection font voir qu'il admet que les propositions de Huygens de la Pars Quarta, nommément la Prop. IV, c.à.d. celle qui donne la formule générale pour le centre d'oscillation, sont ‘forsan verae’, mais qu'il les suppose découvertes par l'expérience et pourvues ensuite de ‘demonstrationes qualescunque’. Nous croyons pouvoir en conclure que Roberval,

3) On voit que le calcul du texte est exactement le même soit qu'il s'agisse d'un corps oscillant ou d'une surface oscillant dans son plan.

4) Le calcul de Fabry (ou de Mousnier) dans le cas du cercle oscillant ainsi que dans celui des corps n'est pas bien clair. Comparez la remarque de Mersenne à la p. 446 qui suit. Il est évident que s'il était parti de la définition générale donnée dans le texte et s'il avait réussi à faire un calcul correct, il aurait dû trouver dans tous les cas un centre de percussion identique avec le centre d'oscillation de Huygens.

5) J.L. Lagrange dans le passage cité dans la note 1 de la p. 442 dit: ‘les géomètres continuèrent à supposer tacitement que le centre de percussion était le même que celui d'oscillation et Huyghens fut le premier qui en visagea ce dernier centre sous son vrai point de vue; aussi crut-il devoir regarder ce problème comme entièrement neuf, etc.’. On a vu que, du moins jusqu' à 1670, Roberval n'était pas convaincu de l'identité des deux centres; comparez la note 2 de la p. 352 du T. XVI.

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s'il n'était pas tombé lui-même - rien ne l'indique - sur la formule générale pour le centre de percussion, croyait du moins - après avoir vu la formule de Huygens pour le centre d'oscillation - à la possibilité de trouver pour le centre de percussion une formule identique, de sorte qu'il soupçonnait que Huygens avait en réalité établi sa formule pour le centre de percussion et que, constatant expérimentalement, comme Mersenne et d'autres, que dans quelques cas ce centre coïncide, absolument ou à peu près, avec le centre d'oscillation, il avait ensuite adroitement choisi certaines hypothèses douteuses afin d'arriver ainsi à une formule du centre d'oscillation identique avec celle du centre de percussion.

Dans les calculs de 1664 (T. XVI) il n'y a absolument rien qui pourrait faire naître l'hypothèse que Huygens aurait trouvé une formule générale pour le centre de percussion avant de trouver une formule identique pour le centre d'oscillation. C'est exclusivement sa remarque dans le livre de Fabry qui fait voir que dès 1664 il a eu, paraît-il, la conviction bien arrêtée de l'identité des deux centres. Il est impossible de savoir si cette remarque, qui semble impliquer la connaissance précise de la situation du centre de percussion, date d'avant ou d'après le jour (proche du 10 octobre 1664, voir la p. 462 du T. XVI) où il trouva la formule générale du centre d'oscillation.

A propos de cette remarque de Huygens nous ajoutons encore l'observation historique que dès 1647 Mersenne (Nov. Obs. phys. math. T. III, p. 119) dit ‘autorem appendicis Physicomathicae [sic] de centro percussionis [c.à.d. Fabry, ou Mousnier], in isto centro reperiendo à prop. 17 & deinceps [c.à.d. à partir de la proposition où ils commencent à considérer les surfaces oscillant dans leur plan] aberrasse; hoc est cùm ad laeuam & dextram corpora vibrantur, eo teste qui solus ratione vibrationes istas definiuit’; à la p. 118 il a nommé Roberval, cependant nous n'oserions dire s'il parle ici de lui ou, ce qui semble plus probable, de Descartes: comparez les p. 352-353 du T. XVI¹⁾.

1) En janvier 1647 Mersenne écrivait au père Constantijn à propos du livre de Fabry et de Mousnier (T. I, p. 59) que celui-ci pourrait ‘servir d'exercice à vostre braue geometre pour long temps’. Nous avons dit (T. XVI, p. 178, note 9) à propos de ce même livre que ‘Fabry a bien les mêmes droits que Descartes à être cité parmi les précurseurs de Huygens dans la science si difficile de la percussion des corps’. Nous saisissons cette occasion pour remarquer que c'est encore ce même livre, et non pas les ‘Dialogi physici’ de 1669 de Fabry, qui aurait dû être cité dans la note 6 de la p. 143 du T. III; et nous pouvons ajouter qu'il est quelque peu étrange qu'en 1660 (T. XV, p. 467) dans sa ‘Brevis Assertio Systematis Saturnii’ Huygens parle de Fabry comme d'un auteur à peu près inconnu de lui ‘quem ferunt alicujus nominis esse’. Il est vrai que dans le livre de Mousnier il n'y a des notes marginales de Huygens que dans l'‘Appendix phys. math. de centro percussionis’ exclusivement et que celles-ci datent d'après 1660, mais ceci ne justifie pas l'expression de Huygens, puisque la composition du Traité ‘De Motu Corporum ex Percussione’ a eu lieu avant ce temps.

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Dans l'objection de Roberval on peut donc distinguer deux éléments de valeur différente. Il se trompe en considérant les fondements du calcul de la Pars Quarta comme douteux aux yeux de Huygens lui-même. Mais il ne dit point d'absurdité en émettant l'hypothèse que Huygens a trouvé la formule générale pour le centre de percussion d'abord. Nous ne pouvons même affirmer certainement - quelqu'improbable que la chose nous paraisse - qu'il n'en a pas été ainsi²⁾.

Les autres objections de Roberval ont peu de valeur et portent à croire - voir notamment la 11ième objection, où il compare entre elles des grandeurs incomparables - que la perte de son Traité de Mécanique n'a pas eu de conséquences fort fâcheuses pour le développement de cette science. Nous renvoyons pour ces objections aux notes des p. 451-456 qui suivent. Il est juste d'ajouter que très probablement les objections n'ont pas été faites en latin: nous ne les possédons, paraît-il, que dans la forme que Huygens leur a donnée.

2) Les manuscrits de Huygens, nous l'avons dit, ne contiennent rien du tout sur le centre de percussion. On peut voir dans le T. XVI comment le calcul du centre d'oscillation dans un grand nombre de cas particuliers, l'a conduit ensuite à l'établissement de la formule générale.