Oeuvres complètes. Tome XVIII. L'horloge à pendule 1666-1695

[p. 406]

Appendice IV
À la pars tertia de l'‘Horologium oscillatorium’.
[1691.]¹⁾

[Fig. 145.]

Parte tertia Horologij oscillatorij, ubi de curvarum evolutione agitur, Propos. 11²⁾, dixi data quavis curva geometrica, aliam inde reperiri curvam geometricam, cujus longitudo lineae rectae adaequetur. Qua in re difficultas quaedam occurrit quae tamen tolli potest³⁾.

Sit curva data AB [Fig. 145]. AC ∞ x, applicata CB ∞ y. Sit etiam BD curvae perpendicularis in B, et rectam AC secans in D. Jam ad inveniendam curvam alteram cujus dimensio detur, necesse est prius curvam effingere AFE, in qua applicatae CE sint semper aequales rectis CD⁴⁾. ac necesse est ut CD exprimatur in terminis qui tantum incognitam x contineant non autem y. Quod Methodo Tangentium Cartesiana plerumque efficere licet. at non semper tamen nisi AC sit axis curvae AB, ita ut ex puncto D, ducta ad curvam perpendiculari DB una tantum possit esse longitudo interceptae DC.

Velut si ABEb [Fig. 146] sit curva illa Huddenij⁵⁾, quae ad rectam AD ita refera-

1) La Pièce est empruntée à la p. 70 du Manuscrit G. La date du 1 janvier 1691 se trouve à la p. 57 et la p. 74 est datée: ‘1691. Maj’.

2) Voir la p. 225 qui précède.

3) Comme il est dit dans la suite, la difficulté consiste dans le fait qu'on peut en général mener d'un point donné D plusieurs normales à la courbe, d'où résultent des complications mathématiques. La droite AD, axe des x, peut avoir par rapport à la courbe une positîon quelconque. Huygens fait voir comment on peut, dans un cas spécial, lever la difficulté par un changement d'axes.

4) D'après la construction de la Prop. XI nommée. Voir la Fig. 70 à la p. 231.

5) Il s'agit du ‘folium Cartesii’. Comparez la p. 351 du T. X, où Huygens désigne cette courbe comme celle que ‘Mr. des Cartes .. et nostre Mr. Hudde ont considerée’.
Plus tard Huygens écrivit en marge: Hujus curvae quadraturam inveni in libro H. Folium nempe ABEb, esse ⅓ quadrati ab axe AE. Spatium vero utrimque infinitum KAGIHL, esse folio aequale. AH est ⅓ AE. CM applicata semper aequalis duabus CN, Cb, radix falsa nimirum duabus veris [c.à.d. à chaque valeur de y correspondent trois valeurs de x dont la somme algébrique est nulle].
Cette quadrature, dont nous n'avons pas à nous occuper ici, se trouve à la p. 141 et suiv. du manuscrit H qui porte la date du 21 novembre 1692. Nous l'avons déjà publiée à la p. 374 et suiv. du T. X.

[p. 407]

tur, ut si AC vocetur x, CB y. AF linea data sit a, fiat x³ + y³ - xya ∞ 0. In hac si ex puncto D rectae AD, ducenda sit curvae perpendicularis DB, non invenietur ex Cartesij methodo⁶⁾, neque ea quam inde deduxit Flor. de Beaune⁷⁾, ut intercepta DC inter D et perpendicularem BC, exprimi possit solis quantitatibus x et a. Sed ad cubicas aequationes pervenietur valde implicitas in quibus quaesita AC tertiam dimensionem attingat. Quod hanc causam habet, quod perpendicularis ex puncto D ad curvam hanc, aliquando tripliciter vel quadrupliciter duci potest, ut in hac figura conspicitur, adeo ut AC longitudo trifariam accipi possit, praeterquam quod et ipsa DA curvae occurrit ad angulos rectos in A. Hoc autem non fiet si curvae hujus puncta ad axem ejus referantur qui est recta EAH, angulo semirecto ad AD inclinata, ut ex aequatione superiori non difficulter intelligitur. Ut autem ex aequatione illa inveniatur alia, qua ad axem EA curva referatur, consideretur [Fig. 147], quod posita AC ∞ x,

6) Exposée dans le deuxième livre de la ‘Géométrie’.

7) Voir ‘Florimondi de Beaune in Geometriam Renati des Cartes Notae breves’, p.e. dans l'édition de 1683 (ex typ. Blaviana, Amsterdam) de F. van Schooten (‘Geometria à R. des Cartes anno 1637 Gallicè edita; postea autem cum Notis Fl. de Beaune, operâ atque studio F.v. Schooten’); les remarques ‘de modo inveniendi contingentes linearum curvarum’ s'y trouvent aux p. 130-133.

[p. 408]

et CB ∞ y, si ducatur BM, axem normaliter secans in N, sitque MO perpendicularis in AC, ML perpendicularis in AL quae angulo recto insistit in AC, consideretur inquam ML esse aequalem BC, ideoque et AO aequalem BC sive y. Item demissâ perpendiculari NP in AC, esse OP ∞ ½ OC, sive ½ x - ½ y: Ideoque AP ∞ ½ x + ½ y. Sicut autem AP ad PC ita AN ad NB. Itaque si AN vocetur θ, et NB v; erit ut AC ad AO, sive CB ita θ + v ad θ - v. Sit AE ∞ b, et EK perpendicularis AK: Eritque AK ∞ ½ a. Itaque θ + v, θ - v et 2b inter se sicut x, y et a. Cumque sit x³ + y³ - axy ∞ 0, Erit cubus ex θ + v + cubo ex θ - v - solido ex θ + v in θ - v in 2b ∞ 0, hoc est his tribus additis

¹⁾.

1) Cette détermination de la plus grande largeur de la boucle est ici un πάρεργον.
Celle de Hudde se trouve aux p. 493 et 497-499 des ‘Exercitationes Mathematicae’ de F. van Schooten de 1656 (voir le titre complet à la p. 184 du T. I).

[p. 409]

Hic si pro θ sit - θ, hoc est si AN versus H accipiatur fiet .

unde erit v infinita si 3θ ∞ b, hoc est posita AH ∞ ⅓ AE, erit HI asymptotos, quod aliter quoque ostenditur infra²⁾.

Porro et tangens curvae in puncto B invenitur ex aequatione θ³ - bθθ + 3θvv + bvv ∞ 0.

Si enim tangens sit BQ, invenitur . Unde, si fiat BR perpend. in AE³⁾, erit , sive quia vv est , fiet , sive tandem . ubi una tantum incognita quantitas θ reperitur, ideoque secundum propositionem nostram undecimam de Evolutione Curvarum, poterit inveniri curva rectifianda, cujus nempe Evolutione curva EBA describitur. Incipiet autem a puncto V [Fig. 147], posita EV ∞ ⅛ b⁴⁾. Cum enim inventa sit , si ponatur θ hoc est AN ∞ b, fit NR ∞ - ⅛ b, hoc est ab E versus A accipienda.

Porro si ponatur b - θ, hoc est NE ∞ z, sive b - z ∞ θ, fit pro aequatione superiori א, haec altera 2bzz - z³ - bbz - 3vvz + 4bvv ∞ 0,

Unde apparet v infinitam fieri si 3z ∞ 4b, sive z ∞ 4/3 b, unde HI curvae asymptotus, si EH ∞ 4/3 b²⁾.

2) On peut faire sur cette détermination de la position de l'asymptote une remarque analogue à celle du début de la note 1.

3) BR est une perpendiculaire à la tangente BQ, en d'autres termes une normale à la courbe, coupant l'axe AE en R.

4) Le point V est donc le centre de courbure de la boucle au point E.

2) On peut faire sur cette détermination de la position de l'asymptote une remarque analogue à celle du début de la note 1.