Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 458]

Appendice¹⁾ à la pièce N^o I.
[1668?]

Regula ad inveniendos Logarithmos.

Habeantur primum radices continuè è denario extractae, usque ad sextam vel septimam, atque eae characterum 14. Et radix ultimo extracta vocetur b; quae vero penultimò, sive illam praecedens vocetur a. Unitas vero dicatur d. Omniaque in 10¹³ ducta intelligantur ut radicum fractio evanescat.

Radix quinta ex 10 est 10746078283213, a.

Radix sexta ex 10 est 10366329284377²⁾, b.

Unitas - 10000000000000, d.

Jam inveniatur numerus aequalis istis simul , qui numerus vocetur p, est autem 559661035184532, idemque ducatur in a - d, ac productus inde vocetur v. Qui numerus ad omnes logarithmos inveniendos adhibebitur, estque 4175509443116778, &c, sed hos priores characteres adhibere sufficit.

Si igitur ex. gr. inveniendus sit logarithmus binarij; habeantur et hujus radices quinto sextoque extractae sicut de denario diximus, et

Radix quinta ex 2, 10218971486541 vocetur f

Radix sexta ex 2, 10108892860517³⁾ vocetur g

Unitas 10000000000000 d

Similiter quoque inveniatur numerus aequalis istis simul

1) L'Appendice est emprunté aux p. 21-22 du Manuscrit N^o. 13 dont il est question dans le dernier alinéa de la note 5 de la p. 235.

2) Consultez sur ces données la note 5 de la p. 455.

3) Consultez le dernier alinéa de la note 1 de la p. 456.

[p. 459]

- 3f - 3d, qui numerus vocetur n. (In hoc exemplo est 545869542830178.) Hic numerus n ducatur in a - ad/f productusque inde vocetur s, qui hic est 12569535892606 &c. Jamque erit sicut numerus v ad s, ita logarithmus denarij ad logarithmum propositi numeri⁴⁾, nempe hic, 0,30102999567. Pro characteristica praeponendum scimus 0, quia datus num. minor est denario.

Si dati numeri, qui denario major sit, invenire logarithmum libeat, extrahatur toties continuè radix ejus, donec ultimo extracta minor sit radice sexta ex 10 nempe 10366 &c. voceturque ultimo extracta g, penultima f, sicut prius; omnia deinceps eodem modo peragantur, et invenietur hac ratione logarithmus radicis quae septima ab ultimâ numeratur, sive quae sex locis ultimam praecedit; idque aeque accurate atque modo logarithmum binarij invenimus, nempe ad 10 characteres veros. Inventum deinde logarithmum duplicando existet logarithmus radicis octavae ab ultima; et rursus duplicando, nonae; atque ita porro, donec existit ipsius numeri propositi logarithmus, duplicatio continuabitur.

In vulgari logarithmorum inventione, necesse erat ex 32 characteribus cum totidem zero adjunctis, quadragies circiter radicem extrahere⁵⁾, ut fieret logarithmus 10 verarum notarum. sed en alia multa praeterea peragenda erant summae prolixitatis.

Demonstratio horum in libro B⁶⁾.

4) On a donc d'après cette règle:

(4)

formule dont il est facile de constater l'identité avec celle de la note 1 de la p. 456.

5) Voir, à la p. 10 de l'‘Arithmetica Logarithmica’ de 1624, la table des racines , jusqu'à n = 54, dont Briggs s'est servi pour le calcul de ses logarithmes. Dans la racine qui correspond à n = 40 l'unité est suivie de onze zéros.

6) Voir la Pièce N^o. I, p. 451-457, qui est précédée dans le Manuscrit B par des calculs préparatoires qui avec des modifications légères auraient pu amener la formule pour log β sous la forme (4) de la note 4; toutefois on ne la rencontre pas dans ce Manuscrit sous cette forme.