Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 423]

Appendice¹⁾
Aux contributions aux commentaires de
Van Schooten sur la ‘Geometria Renati Descartes’.
[1654.]²⁾

Ad pag. 33, 34 et 35 Geom. Cartesij. Edit. latinae³⁾.

1) Dans cet Appendice, emprunté à deux feuilles détachées, Huygens discute l'équation , où m, n, o, p et z désignent des longueurs données et x et y des coordonnées cartésiennes.

2) Comparez les deux dernières lignes de la p. 304 de notre T. I.

3) Il s'agit de l'édition de 1649 de l'ouvrage mentionné dans la note 1 de la p. 411. Or, dans les pages citées, qui correspondent aux p. 29-31 de l'édition de 1659, Descartes donne des formules pour déterminer le ‘latus transversum’ NZ et le ‘latus rectum’ r de la conique représentée par l'équation , par rapport au diamètre ; comme aussi pour trouver la distance IM qui détermine la situation du centre M de la conique, ou bien, dans le cas de la parabole, la distance IN. Il est vrai qu'un peu plus loin (p. 36-38 de l'édition de 1649, p. 32-34 de celle de 1659) il démontre, après coup, l'exactitude de ces formules, mais il n'y fait pas connaître de quelle manière il les a déduites. C'est pourquoi Huygens écrivit à van Schooten à propos de la nouvelle édition de la ‘Geometria’ que celui-ci allait préparer: ‘Qua ratione hoc latus rectum oz/a et linea IN amm/oz inventa sit explicare operae praetium videtur’ (voir les lignes citées dans la note 2 de la p. 423). En effet, van Schooten donna suite à cette remarque en ajoutant, dans l'édition de 1659, l'annotation étendue CC (p. 182-206 de cette édition); tandis que Huygens de son côté rédigea à cette occasion le présent Appendice.

[p. 424]

¹⁾

quoniam volo distantiam IN, et latus rectum r ita esse comparata, ut sumpta AB x quantâcumque semper sit rq + arx/z ∞ ox + mm, omnino necesse est terminum arx/z esse ∞ ox et reliquum proinde reliquo. Si enim sit ar/z inaequalis o, puta major, fiet ut quo major sumetur x, eo amplius terminus arx/z superet term.^m ox. Ergo oporteret tanto quoque semper majorem esse excessum termini mm supra rq. quod fieri non potest cum sint quantitates determinatae.

Cum NC Ellipsis.

Sit IM ∞ f; lat. rectum ∞ r; lat. transv. NZ ∞ h.

1) a/z représente ici le rapport de IL à IK. Ce rapport peut être considéré comme connu puisqu'on sait construire la droite IL. Comparez la p. 31 de l'édition de 1649, p. 28 de celle de 1659.

[p. 425]

^2)3)4)5)

Si mm fuerit ∞ 0 erit tertia aequatio 1/4 rh - rff/h ∞ 0 unde r ∞ oz/a ut Cartesius

2) D'après la ‘Prop. XXI’ du ‘Lib. I’ des ‘Con.’ d'Apollonius que nous avons reproduite dans la note 12 de la p. 300 de notre T. XI.

3) Voir plus bas les expressions et pour h et r.

4) Formule qu'on retrouve à la p. 34 de l'édition de 1649, p. 30 de celle de 1659.

5) Cette formule se retrouve respectivement aux pp. 35 et 31 des éditions de 1649 et 1659.

[p. 426]

ait¹⁾. At si ox ∞ 0 erit in tertia²⁾ aequatione etiam f ∞ zho/2ar sive nihilo. ergo in prima³⁾ aequatione tantum 1/4 rh ∞ mm et r ∞ 4mm/h: sed inventum fuit h ∞ mraa/pzz in secunda aequatione. igitur r ∞ 4mmpzz/mraa et rr ∞ 4mpzz/aa, et r ∞ ut refert Cartesius ibidem¹⁾. Quod pro fractione scribit p/m⁴⁾ id quidem facilitatis causa in sequentibus facit quod denominatorem ponit m, eandem quantitatem cujus est quadratum mm, verum et difficultatem aliquam idem affert cum termino pxx/m nulla fractio adhaeret etenim tum nusquam quidem apparet p et tamen in terminis qui centrum et latera docent reperitur neque pro nihilo istic habendum sed cogitandum quod p ∞ m ut recte notat Florim. de Baune⁵⁾. Sed, quidni loco fractionis prioris posuit 2n/m potius quam 2n/z⁶⁾, nam et hoc magno usui fuisset in sequentibus? Exprimetur enim ea ratione linea IN per am/o quae prius erat amm/oz⁷⁾. Et IM per ao/2p⁸⁾ quae fuerat aom/2pz latus rectum per (sed hoc parvum quidem prodest) latus transversum per . vel per . In parabola latus rectum erit om/a. Ego itaque formulam universalem⁹⁾ hanc ponerem ubi hoc tantum observandum quod si terminus nx/m defuerit, erit a ∞ m¹⁰⁾ et m ubique illius loco substituendum. Alterum autem ibidem ut in Cartesiana formula observandum, nempe si termino p/m xx fractio desit, quod

1) Voir respectivement les pages citées dans la note précédente.

2) Lisez: prima.

3) Lisez: tertia.

1) Voir respectivement les pages citées dans la note précédente.

4) Voir la p. 31 de l'édition de 1649 (p. 27 de celle de 1659). Descartes, après avoir trouvé la solution du problème de Pappus à quatre lignes sous la forme: , et , afin de réduire cette équation à la forme plus simple ; voir sur le problème de Pappus la note 1 de la p. 210.

5) Il s'agit évidemment du cas où l'expression sous le signe radical prend la forme mm - ox - xx, comme de Beaune le suppose dans l'‘Observatio quarta’ de ses ‘In geometriam Renati des Cartes notae breves’ qui furent insérées par van Schooten dans les éditions de la ‘Geometria’; voir la p. 137 de l'édition de 1649 (p. 122-123 de celle de 1659).

6) Voir la page de la ‘Geometria’ mentionnée dans la note 4. Afin de donner au deuxième terme du second membre de l'équation citée dans cette note la forme simple nx/z, Descartes avait posé auparavant . Remarquons d'ailleurs que la longueur z n'est introduite dans les formules de Descartes qu'afin de pouvoir représenter certains coefficients numériques par des rapports de longueurs; on peut donc lui supposer une grandeur arbitraire p.e. z = m.

7) Il s'agit du cas de la parabole; voir p. 424 la formule pour q = IN.

8) Savoir dans le cas de l'ellipse; voir p. 425 la formule pour f = IM.

9) La formule est, en effet, plus générale que celle de Descartes, qui représente une conique passant par l'origine des coordonnées.

10) Puisqu'alors la droite NZ est parallèle à l'axe AB de sorte que les lignes IL et IK coïncident; on a donc a = z = m.

[p. 427]

tunc p ∞ m et m illius quoque loco substituendum. At hisce observationibus non erit opus si formula universalis haec statuatur . Erit vero lat. rectum sive transversum ratio horum quae pzz ad aal. Si pro termino nx/z habeatur x, oportet sumere KL ∞ IK vel AB et ducere IL. Ratio autem lineae IK vel KL ad IL tunc erit ea quae z ad a. Itaque in terminis qui centrum et latus rectum transversumque docent retinendae z et a, pro quibus quaelibet duae lineae sumendae quae rationem habeant quam IK ad IL. Si terminus nx/z desit delendum ubique z et a¹¹⁾.

11) Savoir en remplaçant le quotient a/z par l'unité.