Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

[p. 406]

Appendice à la pièce n^o. XV¹⁾.
[1679.]²⁾

[Fig. 1.]

ratio spatij ABEDA³⁾ ad spatium CBEHC quamlibet minimo differt a ratione spatij ABK ad spatium simile CBG, quia spatium ABEDA quamlibet minimo differt a spatio ABK, et spatium CBEHC quamlibet minimo à spatio CBG. Ergo ratio totius DEBPD ad totum HEBPH quamlibet parum differt à ratione spatij ABK ad CBG. h.e. à ratione qu.ⁱ AB ad qu. CB. Ergo est eadem.

[Fig. 2.]⁴⁾

nota ratio solidi ex BAL ad solid. ex BCL quae 5 ad 1⁵⁾. et ratio plani BAL ad plan. BCL quae 3 ad 1. hinc ratio BP ad BO quae 5 ad 3⁶⁾. Ergo et BP ad AV⁷⁾ ut 5 ad 3. Sit AZ ∞ 1/2 AB. Ergo VZ ad ZP ut 3 ad 1⁸⁾. sit AB ∞ d. BP ∞ ∞ a. Ergo AV ∞ 3/5 a. Hinc⁹⁾ a ∞ 5/12 d. [ZP] 1/2 d - a ad [ZV] 1/2 d - 3/5 a ut 1 ad 3 3/2 d - 3a ∞ 1/2 d - 3/5 a d - 3a ∞ - 3/5 a 5d ∞ 12a 5/12 d ∞ a¹⁰⁾

1) Cet Appendice emprunté à la p. 166 du Manuscrit E contient une nouvelle détermination du centre de gravité de l'espace limité par la cycloïde et par sa base (comparez le § 5 de la Pièce N^o. XI, p. 353-355). Cette fois la détermination est basée sur les propriétés de la développée de la cycloïde.

2) D'après le lieu que cet Appendice occupe dans le Manuscrit E.

3) Dans la figure de Huygens la courbe DAP représente une epicycloïde, HC sa base circulaire, EB sa développée. Nous reviendrons plus tard sur les recherches de Huygens sur les épicycloïdes. Pour le moment il suffit de rappeler que pour une telle courbe le rapport AB/CB est constant.

4) Nous avons ajouté la lettre K à cette figure.

5) Il s'agit des solides de révolution des espaces BAL et BCL tournant autour de la ligne KL qui est la base de la cycloïde KAL. En effet, considérons les espaces infinitésimaux de la Fig. 2 qui correspondent aux espaces HCDA et EHCB de la Fig. 1. D'après le théorème qui précède ils sont ici dans le rapport de 3 à 1, puisque dans le cas de la cycloïde on a BA [Fig. 1] = 2CB (voir, p. 405, la Deuxième Partie du § 4). Or, il est facile de montrer que les distances à KL [Fig. 2] de leurs centres de gravité sont dans le rapport de 5/9 à 1/3, c'est-à-dire de 5 à 3; d'où il suit, par le théorème de Guldin, que les solides engendrés par ces espaces infinitésimaux dans leur rotation autour de la base de la cycloïde sont dans le rapport constant de 5 à 1 et, par conséquent, que les solides engendrés par les espaces BAL et BCL sont dans ce même rapport.

6) Par le théorème de Guldin, P étant le centre de gravité de l'espace KAL, et O celui de l'espace KCL.

7) V est la projection, sur l'axe AB de la cycloïde, du centre de gravité M du triligne ANL. On a donc BO = AV à cause de la congruence des trilignes CBL et LAN.

8) Z est le centre de gravité du rectangle KN circonscrit à la cycloïde KAL; V et P sont les centres de gravité des parties qui composent ce rectangle, savoir: l'espace cycloïdal KAL égal à trois quarts du rectangle (voir le premier alinéa de la p. 348), et l'ensemble des deux trilignes, comme ANL, qui restent.

9) Voir le calcul qui suit.

10) Résultat conforme au résultat obtenu au § 5 de la Pièce N^o. XI; voir la dernière ligne de la p. 355.