Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

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Avertissement.

Aperçu général des travaux mathématiques de 1655 à 1659.

Les années 1655-1659 ont été fertiles, pour Huygens, en recherches mathématiques de genres très différents. Parmi les travaux qui datent de cette période on en trouve qui se rapportent à la théorie des nombres et surtout à l'équation dite de Pell¹⁾; d'autres contiennent la rectification de la parabole et la quadrature des surfaces courbes des conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique²⁾, ou la discussion d'un certain nombre de courbes diverses, de leur quadrature, de la cubature de leurs surfaces de révolution et de divers centres de gravité qui se présentent dans leur étude³⁾; d'autres encore traitent, à l'occasion des problèmes sur la cycloïde proposés par Pascal, des propriétés de cette courbe⁴⁾ et d'une application cyclométrique de l'une de ces propriétés⁵⁾. Il y en a de très

1) Voir la Pièce N^o. III (p. 212-224) avec les Appendices I (p. 225-288) et II (p. 229).

2) Voir les Pièces N^o. VI (p. 234-270) et N^o. X (p. 314-346).

3) Voir la Pièce N^o. VIII (p. 273-282) qui traite des paraboles et hyperboles de divers ordres, représentées par les équations y^a = kx^b et x^ay^b = k, avec les Appendices I (p. 283-287) et II (p. 288-293); la Pièce N^o. IX (p. 294-313) qui traite de la conchoïde, de la cissoïde, du folium de Descartes et de quelques autres courbes moins célèbres, et enfin la Pièce N^o. XVI qui se rapporte à la quadratice de Dinostrate (p. 407).

4) Voir la Pièce N^o. XI (p. 347-376) avec l'Appendice (p. 377-378).

5) Voir la Pièce N^o. XIII (p. 381-383).

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importants qui exposent et appliquent la théorie des développées et des courbes parallèles¹⁾ et d'autres plus élémentaires qui donnent la solution d'un problème, ou bien la démonstration d'un théorème, d'arithmétique²⁾, de planimétrie³⁾, de stéréométrie⁴⁾ ou de géométrie analytique⁵⁾.

Il ne semble pas nécessaire d'analyser ici toutes ces Pièces. Nous nous bornerons donc à parler des principales. D'ailleurs pour les autres les notes que nous y avons ajoutées suffiront pour en faire connaître la genèse et la portée.

Disons encore que beaucoup des résultats les plus importants trouvés par Huygens pendant l'époque qui nous occupe ont été publiés par lui dans son ‘Horologium oscillatorium’ de 1673; mais sans démonstrations et sans faire connaître aucunement la manière dont ils furent obtenus. Or, les Pièces qui suivent fournissent les démonstrations qui manquent dans cet ouvrage, et jettent une vive lumière sur les méthodes employées par Huygens pour découvrir les résultats qu'il y énonce.

1) Voir la Pièce N^o. XV (p. 387-405) et l'Appendice (p. 406).

2) Voir la Pièce N^o. XIV (p. 384-386), où Huygens s'occupe d'un problème d'arithmétique publié par Eversdyck.

3) Voir dans la Pièce N^o. I (p. 208-209) la solution d'un problème élémentaire sur le triangle, proposé par Johan de Witt; dans la Pièce N^o. VII (p. 271-272) celle d'un cas particulier, proposé par Pascal, du problème de décrire un cercle qui coupe trois cercles donnés sous des angles donnés; enfin dans la Pièce N^o. V (p. 232-233) une démonstration du théorème de Pythagore qui diffère de toutes les démonstrations connues en 1914, date où elle fut publiée dans l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 232.

4) Voir la Pièce N^o. XII (p. 379-380), où Huygens donne la démonstration d'un théorème de Wallis sur le volume d'un tronc de pyramide ou de cône.

5) Voir la Pièce N^o. II (p. 210-211) qui traite du problème de Pappus pour quatre lignes, et la Pièce N^o. IV (p. 230-231) de nature très élémentaire, qui analyse l'équation cartésienne de la ligne droite et du cercle.

Recherches sur la théorie des nombres. Équation dite de Pell.

Huygens n'a été que rarement sous l'influence du charme que la théorie des nombres a exercé sur tant de mathématiciens célèbres. On peut même dire que s'il s'est occupé quelquefois de cette théorie, c'était un peu malgré lui.

Ainsi, en mai 1656, Huygens écrit à Mylon⁶⁾, qui lui fait parvenir deux problèmes de Fermat sur les nombres, que ces problèmes ‘sont tout a fait beaux dans le gendre, et mal aisez à resoudre,’ qu'‘au moins ils me semblent tels a moy qui

6) Voir la p. 426 du T. I.

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ne me suis gueres exercè dans les questions des nombres, parce que j'ay toujours pris plus de plaisir à celles de Geometrie. Toutefois j'essayeray encore si j'en puis devenir maistre’. Deux années plus tard, en septembre 1658, il s'exprime bien plus fortement dans une lettre à Wallis en disant qu'il ne comprend pas qu'on s'occupe avec tant d'animation de ces sortes de problèmes auxquels on ne devrait consacrer ‘ses bonnes heures’ que lorsque les questions importantes comme on en trouve tant dans la géométrie viendraient à manquer⁷⁾. Et Huygens a persévéré longtemps dans cette attitude⁸⁾. C'est seulement vers la fin de sa vie qu'il communique à Leibniz un jugement plus favorable lorsqu'il lui écrit⁹⁾: ‘Dans la recherche des nombres, le plus utile seroit de s'arrester aux Theoremes dont il y en a des beaux et qui peuvent servir dans des rencontres’.

Quel est donc le motif qui a poussé Huygens en 1657 et 1658 à s'occuper plus activement de problèmes sur les nombres? Il nous le révèle dans une de ses lettres¹⁰⁾, où l'on lit: ‘Je n'adjousteray rien touchant le traité de Monsieur Frenicle¹¹⁾ si non que je suis marry de n'avoir pas sceu, auparavant que de veoir la solution de ces problemes, que Monsieur de Fermat la jugeoit de telle importance. Car encore que je ne me sois jamais guere appliquè aux questions purement arithmetiques je n'aurais pas laissè d'entreprendre celles cy, afin de meriter s'il m'eust estè possible l'estime de ce grand homme’¹²⁾.

7) ‘Nesciveram equidem de Problematis illis Arithmeticis tantis animis inter vos decertari. Quin imo idem de ijs sentiebam quod te quoque saepius expressisse video, non debere bonas horas talibus impendi nisi cum potiora deessent, quae sane in geometricis offeruntur plurima’ (p. 211 du T. II).

8) Voir encore une lettre du 31 août 1662 où on lit (p. 215 du T. IV). ‘Les questions que vous m'avez envoiees ne meritent pas qu'on s'y amuse n'estant aucunement belles ny utiles a rien. cela vient de quelque arithmeticien et non pas d'un Geometre’. Il est vrai que les questions, qu'on trouve à la p. 211 du T. IV, n'avaient pas beaucoup d'importance.

9) Voir la lettre du 16 novembre 1691, p. 190 du T. X.

10) Voir la lettre du 7 mars 1658, p. 146 du T. II.

11) Il s'agit d'un petit traité de Frenicle, mentionné plusieurs fois dans le ‘Commercium epistolicum’ de Wallis (voir les pp. 802, 807, 821 et 832 du ‘Volumen alterum’, cité dans la note 10, p. 9 du présent Tome) et qui semble perdu. D'après Cantor, p. 784 du T. II des ‘Vorlesungen über Geschichte der Mathematik’, édition de 1900, il fut imprimé à Paris en 1657 et portait le titre ‘Solutio duorum problematum circa numeros cubos et quadratos quae tanquam insolubilia Universis Europae Mathematicis a ciarissimo viro D. Fermat sunt proposita et a D. B[ernard] F[renicle] D[e] B[essy] inventa’.

12) On trouve un jugement plus réservé de Huygens sur Fermat dans une lettre du 4 octobre 1658 à Van Schooten (p. 235 du T. II) où Huygens s'associe à l'opinion exprimée sur lui par van Schooten et Descartes (voir les p. 221-222 du T. II).

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Ajoutons qu'une fois lancé dans cette voie, qui n'était pas de celles qu'il préférait suivre mais où ses relations avec les géomètres français de son époque l'avaient poussé, il n'a pas manqué de faire des remarques ingénieuses sur l'équation de Pell, d'inventer un bel algorithme pour trouver le résidu de la division d'un grand nombre p.e. par le nombre 7¹⁾ et d'indiquer de nouveaux caractères pour reconnaître si un nombre donné est un non-carré²⁾.

Déjà en 1646 le père Mersenne tâcha, mais avec peu de succès, d'intéresser le jeune Huygens, âgé alors de dix-sept ans, aux problèmes sur les nombres³⁾.

En 1656, après son premier séjour à Paris⁴⁾, l'influence des mathématiciens français commence à se faire sentir. Il croit être agréable à Mylon en lui mandant⁵⁾ que van Schooten lui a ‘monstrè une reigle de Monsieur des Cartes⁶⁾ pour trouver des nombres qu'on appelle amicabiles’. Il s'est lui-même appliqué à cette recherche et il veut savoir si Mylon a quelque règle semblable⁷⁾.

Nous ne savons pas quels étaient ces deux problèmes de Fermat envoyés en mai 1656 dont il fut question plus haut⁸⁾. Ce ne fut qu'en mars de l'année suivante

1) Voir les p. 218-224 et comparez la méthode de Pascal décrite dans la note 1 de la p. 220.

2) Voir les pp. 217, 218, 220-223 et 229.

3) Voir les lettres de Mersenne de septembre 1646 (p. 19-20 du T. I), du 8 décembre 1646 (p. 46-47) et du 8 janvier 1647 (p. 53-54 du même Tome) et la réponse de Huygens à l'une d'elles du 23 décembre 1646 (p. 557-558 du T. II). On trouve les premières recherches, peu importantes, de Huygens sur des questions de nombres aux pp. 9, 45 et 259-260 du T. XI. Elles datent de 1646 et de 1650.

4) Voir sur ce séjour les p. 3-4 du présent Tome.

5) Voir sa lettre du 15 mars 1656, p. 391 du T. I.

6) On trouve cette règle aux p. 423-424 de l'ouvrage de van Schooten mentionné à la p. 5 du présent Tome.

7) Voyez la réponse de Mylon et la règle qui l'accompagnait aux pp. 400 et 405-406 du T. I et consultez encore la p. 438 du même Tome. Ajoutons que les deux règles ne diffèrent pas essentiellement puisqu'on a .

8) Voir le dernier alinéa de la p. 184. Il serait intéressant de connaître ces problèmes. Huygens écrit encore à leur propos à de Carcavy (p. 428 du T. I) qu'ils ‘sont de bien difficile recherche’ et qu'il douterait ‘presque s'il y auroit moyen de trouver d'autres tels nombres autrement que par hazard, si l'on ne m'asseuroit que Monsieur de Fermat en a des regles certaines, lesquelles je croy pourtant estre de cette sorte, qu'il faille premierement chercher quelque nombre a l'avanture, comme dans les reigles qu'on a donnè pour les nombres parfaits et amicables.’
Ou bien étaient-ce après tout les deux problèmes du premier dési de Fermat aux mathématiciens du 3 janvier 1657? Voir les p. 12-13 de notre T. II, ou les p. 332-333 du T. II des ‘OEuvres de Fermat’, citées dans la note 1 de la p. 3 du présent Tome.

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que Huygens reçut le célèbre problème qui a occupé tant de mathématiciens⁹⁾, savoir celui de trouver des nombres entiers satisfaisant à l'équation , où a est un nombre entier donné; équation à laquelle on a associé bien à tort le nom de Pell¹⁰⁾. Voici les résultats obtenus par Huygens dans ses recherches sur cette équation: 1^o. il montra que chaque solution de l'une des équations en amène une autre de l'équation en question¹¹⁾; 2^o il remarqua qu'il en est de même pour chaque solution d'une équation , pourvu que k satisfasse à une certaine condition¹²⁾; 3^o. il indiqua une solution dans les cas particuliers où , ou p² ± 2¹³⁾; 4^o. il montra qu'ayant trouvé une solution quelconque de l'équation de Pell on en peut déduire une infinité d'autres¹⁴⁾.

On voit donc, qu'excepté dans les cas particuliers prémentionnés, Huygens n'avait d'autre moyen, pour trouver une solution d'une équation de Pell donnée, que d'essayer diverses valeurs de u l'une après l'autre afin d'examiner si elles satisfaisaient à l'équation de Pell elle-même ou à l'une des équations auxiliaires. Il est vrai que, dans cette besogne, les caractères qu'il avait trouvés¹⁵⁾ pour reconnaître très vite dans un grand nombre de cas qu'un nombre donné est un non-carré, lui pouvaient être utiles; mais cela n'empêchait pas que sa méthode ne fût très laborieuse et ne pût pas servir dans les cas fréquents¹⁶⁾ où la plus petite

9) Comparez la note 5 de la p. 213.

10) Voir p.e. la p. 777 de l'ouvrage de Cantor cité dans la note 9 de la p. 21.

11) Voir les pp. 214 et 215.

12) On doit prendre pour cette condition que k soit un facteur de 2uv (et non de 2u² comme Huygens l'indique). En effet, soient u₁ et v₁, des nombres entiers qui satisfont à l'équation , il sera satisfait à l'équation par les valeurs u = 2u₁v₁/k; . Comparez la note 1 de la p. 214.

13) Voir la p. 215.

14) Voir la p. 215-216.

15) Comparez la note 2.

16) Comparez la table de Frenicle aux p. 30-32 du T. II.

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solution est un nombre aslez grand. Sans douce Fermat et Frenicle possédaient des méthodes plus puissantes, mais ils ont eu le tort de ne pas les faire connaître¹⁾.

Or, ayant reçu, en septembre 1658, le ‘Commercium epistolicum’ de Wallis²⁾, Huygens y trouva une méthode due à Brounker qui conduit au but avec sûreté, même dans les cas les plus compliqués, comme p.e. dans celui de a = 109, où la plus petite solution égale 15140424455100³⁾.

Quoique cette méthode soit encore loin de l'élégance et de la perfection obtenues plus tard dans cette matière par les mathématiciens modernes⁴⁾, on comprend que Huygens, après en avoir éprouvé l'efficacité, ne manqua pas de témoigner à Wallis de son admiration pour cette invention, tout en y apportant, bien à raison, cette restriction: qu'il n'en resulte pas, comme Wallis le prétendait, que chaque équation de Pell doit admettre une solution²⁾.

1) Fermat n'a donné sur sa méthode qu'une indication vague qu'on trouve à la p. 460 du T. II. Quant à Frenicle, Wallis nous dit expressément (p. 832 du ‘Volumen alterum’, cité dans la note 10 de la p. 9) que dans le traité mentionné dans la note 11 de la p. 185, Frenicle ne révéla pas sa méthode, quoiqu'on y trouvât (voir la p. 821 du ‘Volumen alterum’) la table citée dans la note précédente qu'il y prolongea jusqu'au nombre 150.

2) Voir la p. 211 du T. II.

3) Voir sur cette méthode les p. 227-228.

4) Voir p.e. les p. 600-602 du T. I de l'‘Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Leipzig, Teubner, 1900-1904’.

2) Voir la p. 211 du T. II.

Rectification de la parabole et quadrature des surfaces des conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique.

Les problèmes de la rectification de la parabole et de la quadrature de la surface du conoïde parabolique étaient présents dans les esprits des mathématiciens au temps où Huygens commença sa carrière scientifique.

En 1646 déjà, lorsqu'il était âgé de 17 ans, il rencontra dans les ‘Cogitata physico-mathematica’ de Mersenne⁵⁾ une fausse quadrature de la surface du conoïde parabolique⁶⁾.

De même, en 1656, Huygens reconnut la fausseté de la rectification de la parabole, proposée par Hobbes⁷⁾.

5) Voir la p. 99 de l'ouvrage de 1644, cité dans ia note 2 de la p. 34 du T. I.

6) Voir la minute d'une lettre à Mersenne, p. 34 du T. I.

7) Consultez les pp. 392 et 440 du T. I.

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Ainsi l'on comprend que, lorsque, le 27 octobre 1657, il trouva la solution des deux problèmes pour autant qu'elle était possible, savoir leur réduction respectivement à la quadrature de l'hyperbole et à celle du cercle, il fit sortir de sa plume le fameux ‘εὕρηϰα’⁸⁾ dont il avait coutume de marquer dans ses manuscrits les endroits où il venait d'exposer une découverte importante. Ensuite il se mit à rédiger à la mode archimédienne les démonstrations des théorèmes qu'il avait trouvés⁹⁾; sans doute avec l'intention de les faire paraître dans un nouveau traité géométrique du genre de ceux qu'il avait déjà publiés. Vers le même temps il communiqua à de Sluse¹⁰⁾ et à van Schooten¹¹⁾ les résultats de sa quadrature de la surface du conoïde parabolique pour quelques cas particuliers, sans toutefois leur saire connaître ni sa méthode, ni la solution du cas général.

De la lettre qu'il avait reçue, van Schooten donna lecture à van Heuraet¹²⁾. Huygens nous assure¹³⁾, et il n'y a pas lieu d'en douter, que ce fut cette lecture qui inspira à van Heuraet son article ‘De transmutatione curvarum linearum in rectas’¹⁴⁾, où, en trois pages, il expose une méthode générale pour réduire la rectification d'une courbe à la quadrature d'une autre et l'applique à la rectification de la parabole cubique et à la réduction de celle de la parabole ordinaire à la quadrature de l'hyperbole.

À la suite de cette communication, van Heuraet fit bientôt parvenir à Huygens sa solution à lui du problème de la quadrature de la surface du conoïde parabolique¹⁵⁾. Elle correspond à celle de Huygens pour le fond, mais en diffère beaucoup par la forme¹⁶⁾. Or, Huygens avait obtenu son résultat d'une manière assez détournée, moitié algébrique, moitié géométrique, se basant sur une propriété

8) Voir les p. 234-236 du présent Tome et surtout la Fig. 1 de la p. 234 où l'εὕϱηχα et la date de la découverte furent inscrits.

9) Voir sa lettre à de Sluse du 2 novembre 1657, p. 80 du T. II, où l'on lit: ‘Circa parabolam ante paucos dies duobus novis, ut mihi quidem videntur ac praeclaris inventis potitus sum, quibus conscribendis summo studio nunc incumbo’. On trouve le résultat de ce travail aux p. 237-270 du présent Tome,

10) Voir sa lettre du 20 déc. 1657, p. 104 du T. II.

11) Voir sa lettre du 28 déc. 1657, p. 112-113 du T. II.

12) Voir la lettre de Van Schooten à Huygens du 4 février 1658, p. 129-130 du T. II.

13) Voir la p. 72 de l'édition originale de l'‘Horologium oscillatorium.’

14) L'article parut dans l'édition de 1659 de la ‘Geometria’ de Descartes par van Schooten; voir les p. 518-520.

15) Voir la p. 131 du T. II.

16) Comparez la note 6 de la p. 265 et la note 5 de la p. 315.

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de la suite des nombres carrés impairs 1, 9, 25, etc., et, en fin de compte, sur la cubature du conoïde hyperbolique obtenue déjà par Archimède¹⁾. Il n'était pas probable que van Heuraet eût suivi la même voie. Il fallait donc qu'il en existât une autre plus directe et Huygens ne tarda pas à la découvrir; en la suivant il retrouva le résultat de van Heuraet dans la forme même dans laquelle celui-ci l'avait énoncé²⁾. De plus, il aperçut que la méthode qu'il venait de trouver pouvait s'appliquer également à la quadrature des surfaces des conoïdes hyperboliques et elliptiques.

En effet, la nouvelle méthode apprenait à réduire la quadrature de la surface de révolution engendrée par une courbe méridienne donnée à la quadrature d'une courbe plane. Lorsque la première courbe était une parabole, la courbe adjointe l'était également³⁾; lorsqu'elle était une hyperbole ou une ellipse l'adjointe était, dans le premier cas une hyperbole⁴⁾, dans le second, selon les circonstances, une hyperbole⁵⁾ ou une ellipse⁶⁾. Cela signifiait qu'on pouvait réduire la détermination du rayon d'un cercle dont l'aire est égale à celle de la surface d'un conoïde hyperbolique ou elliptique, ou bien à la quadrature de l'hyperbole et, par conséquent, aussi à la rectification de la parabole, ou bien à la quadrature du cercle. C'était là une invention importante qui valait la peine d'être poursuivie en détail. Et, en effet, Huygens réussit bientôt à trouver des constructions très élégantes pour le rayon de ce cercle d'aire égale⁷⁾.

Évidemment ces nouvelles découvertes méritaient d'être insérées dans le traité que Huygens avait projeté. Mais une difficulté se présenta. Jusqu' ici, en rédigeant ses ouvrages géométriques, Huygens avait toujours suivi scrupuleusement dans ses démonstrations la méthode des anciens de laquelle il donne, dans une annotation de 1659⁸⁾, une analyse, remarquable par sa généralité. Or, pour appliquer cette méthode on devait circonscrire aux grandeurs en question (longueurs, aires ou volumes) d'autres qui ne les surpassent que d'une quantité

1) Voir la note 4 de la p. 235 et la note 2 de la p. 236.

2) Voir la p. 314.

3) Voir le § 1 de la pièce N.^o X, p. 314.

4) Voir le § 2, p. 315-316.

5) Voir le § 3, p. 317-319.

6) Voir le § 4, p. 320-324. Le cas intermédiaire est celui où la courbe méridienne est un cercle auquel cas la courbe adjointe est formée par deux droites parallèles.

7) Voir les pp. 319, 323 et 336.

8) Voir le premier alinéa de la p. 338.

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aussi petite qu'on le veut, et on devait prouver rigoureusement qu'il en est ainsi, en partant de postulats bien définis⁹⁾. Par des artifices souvent très ingénieux¹⁰⁾, Huygens avait réussi jusqu' à présent à satisfaire à ces exigences, mais il prévoyait que pour les résultats nouvellement obtenus cela demanderait un travail très pénible et d'une valeur douteuse. Il se décida donc à une sorte de compromis¹¹⁾; c'est-à-dire il résolut de se servir quelquefois des ‘indivisibles’¹²⁾, se bornant en ce cas à fournir non pas une démonstration rigoureuse, mais seulement ‘le fondement d'une telle démonstration, de sorte qu'apres l'avoir examiné ceux qui s'y connaissent ne sauraient douter de la possibilité d'une démonstration rigoureuse’. Toutefois il ne changera pas les parties qu'il a déjà rédigées¹³⁾. Elles pourront ‘servir de preuve et en quelque sorte d'exemple pour montrer que les autres parties auraient pu être arrangées de la même façon¹⁴⁾’.

9) Dans ses recherches sur les longueurs des lignes courbes et les aires des surfaces courbes, Huygens se sert constamment des postulats d'Archimède sur les courbes qui ont les mêmes points terminaux, et les surfaces qui se terminent à un même contour. On trouve ces postulats dans les notes 5 des pp. 237 et 255. Certes les mathématiciens modernes n'acceptent pas volontiers des postulats si compliqués. Ils les réduisent à de plus simples. Mais on n'en admire pas moins ce qu' Archimède et d'autres ont bâti sur ces fondements.

10) Voir par exemple le ‘Lemme II,’ p. 247 où Huygens démontre que les segments successifs GHA, etc. de l'Hyperbole de la Fig. 9 deviennent de plus en plus petits à mesure qu'on s'éloigne du sommet A.

11) Voir la p. 337.

12) On peut consulter sur l'opinion de Huygens concernant la méthode des indivisibles de Cavalieri les pp. 131, 561, 132 et 133 du T. I.

13) Outre les p. 237-270, qui traitent de la rectification de la parabole et de la quadrature de la surface du conoïde parabolique, Huygens avait probablement en vue les parties les plus élaborées de la Pièce N^o. VIII et de ses deux Appendices (p. 273-293) qui traitent des paraboles et des hyperboles de divers degrés.

14) Voici, en entier, la traduction de l'annotation latine de la p. 337, d'où nous avons cité ces passages: ‘Quelquefois par les indivisibles. Mais on se trompe, lorsqu'on veut faire passer leur emploi pour une démonstration. D'ailleurs, pour convaincre ceux qui s'y connaissent il revient presque au même de donner une démonstration formelle ou bien le fondement d'une telle démonstration, de sorte, qu'après l'avoir examiné, ils ne sauraient douter de la possibilité d'une démonstration rigoureuse. J'avoue, il est vrai, que c'est aussi à la façon de donner à cette dernière une forme convenable afin qu'elle soit claire, élégante, et plus appropriée que toute autre, qu'on reconnaît la science et la sagacité de l'auteur, comme dans toutes les oeuvres d'Archimède. Néanmoins, ce qui vient en premier lieu, et ce qui importe surtout, c'est la manière même dont l'invention a été obtenue. C'est cette connaissance qui réjouit le plus et qu'on demande aux savants. Il semble donc préférable de suivre la méthode par laquelle elle est aperçue le plus vite et le plus clairement, et comme posée devant les yeux. Nous nous épargnons ainsi du travail en écrivant, et les autres en lisant; il faut considérer, en effet, que les savants finiront par ne plus trouver le temps de prendre connaissance de la grande quantité des inventions des Géomètres (quantité qui va en croissant de jour en jour et qui semble dans cet âge de science devoir prendre des développements immenses) si les auteurs continuent à se servir de la méthode prolixe et rigoureuse des anciens.
Dans les parties précédentes, qui furent déjà rédigées autrefois, nous avons pourtant conservé cette méthode; elles peuvent servir de preuve et en quelque sorte d'exemple pour montrer que les autres parties auraient pu être arrangées de la même façon’.
Il est intérressant de comparer cette annotation de Huygens à la préface du ‘Traité de la Méthode’ d'Archimède, découvert en 1906 par Heiberg; voir les p. 426-431 du Vol. 2 de l'ouvrage: ‘Archimedis Opera omnia iterum edidit J.L. Heiberg, 1910-1913, Lipsiae, Teubner.

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Conformément à ces intentions Huygens rédigea la partie du traité projeté qui se rapporte à l'étude détaillée des courbes adjointes de la parabole, de l'hyperbole et de l'ellipse¹⁾. Ensuite il cessa de s'en occuper; probablement parce que la première ardeur de l'invention était passée et qu'il était attiré par d'autres travaux²⁾. Enfin, en 1673, il se contenta de donner dans son ‘Horologium oscillatorium’³⁾ les principaux résultats qu'il avait obtenus, sans y joindre de démonstrations; ce qu'il jugea alors d'autant moins nécessaire que Wallis avait publié dans ses ‘Tractatus duo’ de 1659, les quadratures de surfaces courbes de conoïdes avec les déductions⁴⁾.

Nous n'avons pas encore parlé de la deuxième Partie (p. 324-334) de la Pièce N.^o X; elle occupe une place à part dans les recherches de Huygens sur la quadrature des surfaces des conoïdes hyperboliques et elliptiques.

Soit, afin d'en montrer la portée, h₁, la hauteur, S₁ l'aire de la surface courbe d'un conoïde elliptique découpé d'un sphéroïde aplati dont 2a₁ est le plus grand axe et 2b₁ le plus petit, qui est l'axe de révolution; soit de plus h₂ la hauteur d'un

1) Voir les p. 338-346.

2) Dans la même année 1658 Huygens publia son ‘Horologium’ et prépara le ‘Systema Saturnium’. Comparez encore sa lettre à Kinner à Löwenthurn du 30 octobre 1659 (p. 503 du T. II) et celle à Léopoldo de Medicis du 19 novembre 1667 (p. 162 du T. VI).

3) Consultez les p. 73-79 de l'édition originale.

4) Voir l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 518 du T. II. On trouve les quadratures en question aux pp. 555-556 et 558-559 du ‘Volumen primum’ des ‘Opera mathematica’ de Wallis, ‘Oxoniae, 1695. E Theatro Sheldoniano’. Remarquons que la méthode de Wallis est beaucoup plus compliquée que celle des courbes adjointes, suivie par Huygens, et que ses résultats sont formulés tout autrement que ceux de Huygens.

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conoïde hyperbolique, S₂ l'aire de sa surface courbe appartenant à un hyperboloïde dont 2a₂ est l'axe réel et de révolution, et 2b₂ l'axe imaginaire.

Posons encore . On a alors:

Si l'on prend la somme S₁ + S₂ de ces expressions, il est évident que dans certains cas les termes logarithmiques peuvent disparaître, de sorte que l'expression pour S₁ + S₂ devient purement algébrique.

Or, dans la Partie qui nous occupe, Huygens a réussi à découvrir un de ces cas par des raisonnements géométriques. Pour y parvenir, il suppose en premier lieu que la courbe méridienne LOTM⁵⁾ du sphéroïde aplati, de révolution autour de OM, et celle HGB du conoïde hyperbolique, de révolution autour de TK, possèdent la même courbe adjointe RXT.

Dans nos notations cela conduit aux relations:

et l'on remarquera que ces relations amènent l'égalité des coefficients et des termes logarithmiques dans les expressions pour S₁ et S₂.

Ensuite Huygens emploie une construction que nous allons expliquer. Consi-

5) La figure à côté correspond à la Fig. 8, p. 324, de Huygens; mais nous y avons ajouté la ligne XTʹ et la ligne LʹSʹKʹTʹ qui se termine au point Tʹ de l'hyperbole TR et qui coupe l'ellipse LLʹOT au point Kʹ.

[p. 194]

dérons



à cet effet le conoïde correspondant au segment OLʹKʹO. Sa surface courbe est égale à l'espace mixtiligne OXATʹSʹO multiplié par 2π. De même la surface courbe du conoïde hyperbolique engendré par HGBK est égale à l'espace KRXABK multiplié également par 2π. Or, le premier de ces espaces est égal à un trapèze moins le segment hyperbolique XATʹX, et le second à un trapèze plus le segment RXAR. On peut donc, lorque ces segments sont égaux, construire avec la règle et le compas une ligne ρ, telle que 1/2 ρ² est égal à la somme des espaces OXATʹSʹO et KRXABK, et cette ligne constituera alors le rayon d'un cercle dont l'aire est égale à la somme des aires des deux surfaces courbes conoïdales.

Tout dépend ainsi de la construction de la corde AR qui, partant du point donné A, découpe de l'hyperbole TTʹAXR un segment ARXA égal au segment donné TʹAXTʹ; construction que Huygens apprend à exécuter à la p. 327¹⁾.

C'est là en principe la découverte de Huygens; mais il reste à dire 1^o qu'il se borne au cas du demi-sphéroïde LOTL, 2^o qu'il remplace vers la fin ce demisphéroïde par un sphéroïde entier dont les axes sont à ceux du demi-sphéroïde comme 1 à √2²⁾, 3^o qu'il s'occupe surtout du cas particulier où les points X et A de la présente figure coïncident³⁾.

1) Voir le ‘Problema I’ de la p. 327. La construction est basée sur une propriété remarquable de l'hyperbole qui semble un peu oubliée aujourd'hui mais qui était connue à Grégoire de St. Vincent, comme cela résulte de la Prop. CXXIII, p. 593, de son ‘Opus geometricum’; ouvrage cité dans la note 6, p. 53 du T. I. Toutefois on cherchera vainement dans cet ouvrage la démonstration de cette propriété, sur laquelle on peut consulter la note 7 de la p. 326.

2) Voir la Fig. 13 de la p. 330.

3) Ce cas est traité dans le § 2 de la deuxième Partie de la Pièce N^o. X (p. 329-334). Dans ce cas la construction se simplifie notablement.

[p. 195]

Ce cas exige BS = OX, c'est-à-dire . Combinée avec et avec ⁴⁾, cette relation nous donne:

ou bien:

ou enfin:

De cette derniere équation on déduit ; ce qui donne . Si l'on écrit cette dernière équation sous la forme: , elle nous dit que le ‘latus rectum’ de l'ellipse LOTM (par rapport à l'axe LT) est le plus grand segment de cet axe divisé en extrême et moyenne raison; résultat dont Huygens ne manqua pas de faire mention dans l'‘Horologium oscillatorium’⁵⁾.

Ajoutons encore, avant de passer à d'autres sujets, que déjà le 15 février 1658⁶⁾, Huygens donna à de Sluse un aperçu de ses nouvelles découvertes, y comprise celle que nous venons d'expliquer. Il fit suivre cet aperçu le 26 février⁷⁾ par une description des constructions qui servent à la quadrature des sphéroïdes avec la recommandation de ne pas les montrer à d'autres personnes. Toutefois, l'année suivante, il résolut de faire ‘connaître partout’ son théorème sur la rectification de la parabole⁸⁾. Il le fit, en effet, en y joignant ses inventions sur la quadrature des surfaces des conoïdes et sphéroïdes, en janvier et février 1659, à de Carcavy, à Wallis, à Pascal, à van Schooten et à Boulliau⁹⁾ et, encore, en septembre et octobre 1659, à Grégoire de St. Vincent et à Kinner à Löwen-

4) Voir plus haut à la p. 193.

5) Voir les p. 76-77 de l'édition originale.

6) Voir la p. 134 du T. II.

7) Voir la p. 141 du T. II.

8) Comparez sa lettre à de Sluse du 14 janvier 1659, p. 313 du T. II.

9) Voir les pp. 316, 330, 341, 344 et 366 du T. II.

[p. 196]

thurn¹⁾. Évidemment Huygens croyait avoir trouvé ainsi le moyen le plus efficace de se réserver la priorité de ses découvertes, en attendant qu'il aurait le loisir de les publier. Aussi fait-il un appel, dans l'‘Horologium oscillatorium’²⁾, à sa correspondance avec de Sluse, Pascal, Wallis et d'autres pour constater cette priorité.

Nous avons déjà vu quel a été l'esset de la communication à Wallis³⁾. Pascal loua beaucoup les inventions de Huygens dans une lettre à de Carcavy⁴⁾ et dans la ‘Lettre de A. Dettonville a Monsieur Hugguens de Zulichem’⁵⁾ qu'il publia en février 1659. En même temps il fit parvenir à Huygens une esquisse de sa méthode pour la solution du cas du conoïde parabolique, en y ajoutant que les cas du conoïde hyperbolique et des sphéroïdes lui semblaient bien difficiles; ‘ainsy’ poursuivit-il ‘ie n'y penseray pas seulement car ie suis persuadé qu'il y a plustot du blame que de l'honneur a accquerir en trauaillant sur les ouurages d'autruy et principalement quand ils sont traittez par des personnes excellentes comme Monsieur Hugguens’⁶⁾.

À Fermat Huygens avait seulement fait demander par l'intermédiaire de de Carcavy⁷⁾ si sa méthode s'étendait à trouver la dimension des surfaces courbes des conoïdes et des sphéroïdes. Fermat répondit affirmativement et afin que Huygens n'en pût douter il donna quelques indications sur les résultats, assurant qu'il les avait obtenus sans connaître ceux de Huygens⁸⁾. Il ajouta qu'il avait trouvé de même la quadrature de la surface courbe engendrée par la révolution d'une parabole autour de son appliquée⁹⁾; savoir qu'elle se réduit à la quadrature de l'hyperbole.

1) Voir les pp. 485 et 500-503 du T. II.

2) Voir les p. 72-73 de l'édition originale.

3) Voir le premier alinea de la p. 192.

4) Voir la p. 348 du T. II où la p. 182 du T. 9 des ‘OEuvres de Blaise Pascal publiées suivant l'ordre chronologique avec documents complémentaires, introductions et notes par Léon Brunschvigg et Pierre Boutroux, Paris, Hachette, 14 vol., 1908-1914’. On y lit: ‘Pour ces autres problemes touchant la dimension des surfaces des conoides Je les admire au dela de tout ce que ie puis vous dire, ce sont certainement d'admirablement belles choses’.

5) Voir les p. 396-397 du T. II, ou la p. 189 du T. 9 des ‘OEuvres’ de Pascal. Il s'agit de l'ouvrage cité sous la lettre β dans la note 32 de la p. 307 du T. II.

6) Voir les p. 349-350 du T. II ou bien les p. 183-186 du T. 9 des ‘OEuvres’ de Pascal.

7) Probablement dans la lettre de 4 septembre 1659, dont nous ne possédons que le sommaire; voir la p. 474 du T. II.

8) Voir les p. 539-540 du T. II.

9) Comme p.e. la parabole ABC de la Fig. 7 de la p. 244 autour de la corde AC.

[p. 197]

À ce propos Huygens écrivit à de Carcavy¹⁰⁾ qu'il croyait bien que ‘Monsieur de Fermat n'avoit veu’ aucune de ses propositions ‘puis qu'il l'assure’, mais que ‘d'autres peut estre seraient plus incredules, si en les donnant au public il n'allegue celuy a qui il les aie fait veoir auparavant. La mesure de la superficie du conoide que fait la parabole autour de l'appliquée laquelle il promet en supposant la quadrature de l'hyperbole sera quelque chose de nouveau si elle est vraye’.

En réponse de Carcavy rassura Huygens sur les intentions de Fermat¹¹⁾ et lui fit parvenir¹²⁾ de la part de celui-ci le résultat de la quadrature en question, laquelle fut trouvée ‘subtile’ par Huygens qui pria de Carcavy d'exhorter Fermat à publier sa méthode si elle était nouvelle¹³⁾.

10) Voir sa lettre du 26 février 1660 à la p. 27 du T. III.

11) Voir la lettre du 6 mars 1660 à la p. 38 du T. III.

12) Voir les pp. 85 et 88 du T III.

13) Voir sa lettre du 15 juillet 1660 p. 97 du T. III. La quadrature est, en effet, très compliquée.

Recherches sur les paraboles et hyperboles de divers degrés, sur la conchoïde, la cissoïde et sur d'autres courbes.
Tangentes, quadratures, cubatures des solides de révolution, centres de gravité.

Nous ne dirons que peu de mots à propos des recherches qu'on trouve dans les Pièces N^o. VIII et N^o. IX¹⁴⁾.

Dans la ‘Praefatio’ du ‘Tractatus mechanicus’ de Mersenne¹⁵⁾ Huygens avait rencontré un grand nombre de résultats concernant les tangentes et les quadratures des courbes y^a = kx^b, les cubatures des solides de révolution, engendrés par leurs segments, et les centres de gravité de ces segments¹⁶⁾ et de ces solides; mais tout cela sans démonstrations ni déductions. Ces resultats étaient dus, comme Mersenne l'assure, à deux savants qu'il ne nomme pas, mais dont l'un était probablement Roberval et l'autre certainement Fermat¹⁷⁾.

Or, dans la Pièce N^o. VIII, Huygens s'applique à verifier et à étendre ces

14) Voir les p. 273-313.

15) Voir l'ouvrage de 1644 que nous avons cité dans la note 6 de la p. 111 du T. II.

16) Aux cas où a est impair le contour de ces segments était complété à l'aide de la courbe symétrique par rapport à l'axe des x (y^a = - kx^b) voir p.e. la Fig. 2 de Huygens de la p. 274.

17) Comparez les p. 195-198 du T. I des ‘OEuvres de Fermat’ citées dans la note 1, p. 3 du présent Tome.

[p. 198]

résultats¹⁾, et aussi à en donner des démonstrations ‘Euclideo more’²⁾. Il commence, à cet esset, par déterminer les tangentes des courbes prémentionnées qu'il appelle ‘paraboloïdes.’ Ensuite il emploie d'une manière ingénieuse les propriétés de ces tangentes pour obtenir les quadratures³⁾ et les cubatures cherchées dont il sait déduire enfin la situation des centres de gravité. Il résume ses résultats en six règles⁴⁾ dont les trois premières correspondent exactement aux règles générales empruntées par Mersenne à Fermat qui, à ce qu'il paraît, était aussi en possession des autres règles⁵⁾.

Après donc avoir trouvé à sa satisfaction les règles pour les ‘paraboloïdes’, Huygens s'aperçut que ses raisonnements étaient applicables avec peu de modifications aux ‘hyperboloïdes’, savoir aux courbes x^by^a = k. Il étudia donc ces courbes et s'occupa surtout de ce qui les distingue des ‘paraboloïdes’, c'est-à-dire des espaces qui s'étendent jusqu'à l'infini entre les courbes et leurs asymptotes⁶⁾.

Ajoutons encore que Huygens mentionne ses recherches sur les ‘paraboloïdes’ et les ‘hyperboloïdes’ dans l'‘Horologium oscillatorium’, p. 90 de l'édition originale.

Les travaux de la Pièce N^o. IX doivent pour la plupart leur origine à la correspondance assidue qui eut lieu entre Huygens et de Sluse dans les années 1657 et 1658. Ils peuvent servir à expliquer plusieurs passages dans les lettres de Huygens à son ami.

1) De sa lettre à Mersenne du 23 décembre 1646 (p. 557 du T. II) il résulte qu'alors Huygens avait déjà pris connaissance de la ‘Praefatio’ et trouvé une partie des résultats dont nous traitons ici; mais il ne nous est rien resté de ce travail de jeunesse. Comparez les p. 4-5 de notre T. XI.

2) Voir, p. 115 du T. 2, sa lettre à de Sluse du 3 janvier 1658, où on lit: ‘Sed et quadraturas omnium, et solidorum ex conversionibus ipsarum ortorum ad cylindros relationem eodem Euclideo more deduxi, earumque omnium regularum quae apud Mersennium in praefatione Mechanicorum leguntur scripsi demonstrationem.’

3) On peut comparer, quant aux quadratures, la méthode de démonstration de Huygens du ‘Theorema II’ (p. 285-287) à celle de Fermat, très différente, qui fut publiée en 1679, comme oeuvre posthume, dans ses ‘Varia opera mathematica’, ouvrage cité dans la note 1 de la p. 326 de notre T. I; voir les p. 255-266 du T. I des ‘OEuvres de Fermat’, mentionnées dans la note 17 de la p. 197.

4) Voir les p. 280-282.

5) Mersenne ne donne pas les résultats qui correspondent à ces dernières règles; il dit seulement que le savant en question les avait obtenus. On ne les trouve pas non plus dans la lettre de Fermat à Cavalieri où Mersenne avait puisé ses renseignements; voir les pages mentionnées dans la note 17 de la. p. 197.
Quant à l'autre savant dont les travaux sont mentionnés par Mersenne, il s'était borné au cas b = 1; mais, sous cette réserve, ses résultats s'étendent aux quatre premières règles de Huygens et à la construction des tangentes.

6) Voir l'Appendice II, p. 288-293; Fermat aussi, au lieu indiqué dans la note 3, donne la quadrature de ces ‘hyperboloïdes’.

[p. 199]

D'abord⁷⁾ les deux correspondants s'occupent des ‘perles de de Sluse’, savoir des courbes dont les équations sont comprises dans l'équation générale . Ils les complètent, si c'est nécessaire, par leurs symétriques⁸⁾ , afin d'obtenir des boucles fermées dont ils déterminent les tangentes, les points d'inflexion, les quadratures et les centres de gravité, comme aussi les cubatures de leurs solides de révolution. Ensuite c'est le tour de la conchoïde⁹⁾ et de la cissoïde¹⁰⁾. Quelquefois d'autres mathématiciens, van Schooten¹¹⁾, Hudde¹²⁾, van Heuraet¹³⁾, Wallis¹⁴⁾ et Mylon¹⁵⁾, participent à la discussion de ces mêmes sujets.

Ce qui intéresse beaucoup Huygens et de Sluse, ce sont ces espaces dont nous avons déja parlé à propos des ‘hyperboloïdes’, qui s'étendent à l'infini entre les courbes et leurs asymptotes et dont toutefois les aires, ou les volumes des solides de révolution, sont parfois finis¹⁶⁾. C'est de Sluse qui donne à cet intérêt l'expression la plus pittoresque lorsqu'il se vante de pouvoir donner la mesure d'un vase de poids médiocre mais que, cependant, le plus grand glouton ne pourrait vider¹⁷⁾.

7) Voir les §§ 1 et 5 de la Pièce N^o. IX, pp. 294-300 et 303-305.

8) Voir p.e. la Fig. 1 de la p. 294.

9) Voir le § 6, p. 306-309.

10) Voir le § 7, p. 309-312.

11) Voir les pp. 62, 73-75, 89, 94-95 et 353 du T. II.

12) Voir les p. 97-101 du T. II.

13) Voir les pp. 96-97 et 116 du T. II.

14) Voir les pp. 298-304 et 358-359 du T. II.

15) Voir les pp. 337-338 et 374 du T. II.

16) Voir, outre les pages du Tome présent citées dans les notes 9 et 10, les pp. 164, 168 et 212 du T. II. Nous relevons en particulier les deux manières ingénieuses dont Huygens démontre que l'aire de l'espace comprise entre la conchoïde et son asymptote est de grandeur infinie; voir les pp. 306 et 308-309.

17) Voir les p. 167-168 du T. II, où l'on lit: ‘dici enim vix potest quam inuentis tuis delectatus sim, sed eo maxime quo spatium inter Asymptoton et Cissoidem (quando ita vocari jubes) meam, dimensus es. Non quod infinito spatio aequale finitum inveneris, (hoc enim iam saepe factum est) sed quod ex inventis tuo meoque simul compositis, et centrum granitatis et cylindroidis illius vasculj mensura, levj operâ deducatur, vasculi inquam, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat.’ Voici l'explication de ce passage: De Sluse avait donné le volume du solide engendré par la révolution de l'espace cissoïdal AR ∞ QDA de la Fig. 22 de la p. 310 autour de l'asymptote DQ (voir sa lettre du 14 mars 1658, p. 151 -152 du T. II, où il trouve ce volume égal à celui du solide engendré par la rotation du demi-cercle AGC de la figure de la p. 151 autour de sa tangente en A, puisqu'on a ). Huygens de son côté lui communiqua dans une lettre du 12 avril 1658 (p. 164 du T. II) la quadrature de ce même espace. De ces données on pouvait donc, à l'aide du théorème de Guldin, déduire la distance du centrede gravité à la droite DQ. Appliquant ensuite de nouveau le théorème de Guldin, on pouvait évaluer le volume, de grandeur finie, du solide engendré par la révolution de l'espace en question autour de l'axe AX. Or, c'est ce dernier solide qui forme la paroi duv ase de de Sluse.
Voir encore les p. 238-239 du T. IV où Huygens décrit une courbe à l'aide de laquelle on peut obtenir un autre vase possédant la même propriété.

[p. 200]

Remarquons encore l'importance que Huygens et de Sluse, et surtout ce dernier, attachent aux réductions à la quadrature du cercle ou de l'hyperbole. Chaque problème dont la solution amènerait en même temps une de ses quadratures est appelé par de Sluse une ‘ἀπαγωγὴν’; et les nombreuses quadratures et cubatures de ce genre qui se présentent dans sa correspondance avec Huygens, il les considère principalement comme des ‘ἀπαγωγάς’ plus ou moins intéressantes¹⁾.

1) Voir la p. 107 du T. II où de Sluse préfère l'ἀπαγωγὴν concernant la surface courbe du conoïde parabolique, réduite par Huygens à la quadrature du cercle, à toutes les siennes qui se rapportent à des aires planes; voir aussi les pp. 122, 132, 134, 135, 140, 144, 149, 151 et 154 du même Tome.

Recherches sur les propriétés géométriques de la cycloïde.

C'était le père Mersenne qui, comme sur tant d'autres sujets, fournit à Huygens, en 1646, les premiers renseignements²⁾ en partie inexacts³⁾ sur des travaux existants concernant la cycloïde; mais ces communications ne semblent pas avoir donné lieu du côté du jeune Huygens à des recherches originales.

Il en fut autrement, lorsque, douze années plus tard, Boulliau lui envoya⁴⁾ les deux lettres circulaires dans lesquelles Pascal, sous le pseudonyme Dettonville, proposa ‘à tous les géomètres de l'univers’ les problèmes suivants: Trouver



l'aire d'un demi-segment cycloïdal EBF⁵⁾ et la situation de son centre de gravité, les volumes des solides engendrés par la révolution de ce segment autour de BF et autour de EF, ainsi que

2) Voir ses lettres du 13 octobre 1646 (p. 559 du T. I) et du 8 janvier 1647 (p. 52 du T. I).

3) L'indication de la situation du centre de gravité de l'espace de la cycloïde entière fut déjà corrigée sur place dans la note 2 de la p. 52 du T. I. L'expression qu'on trouve à la même page pour le volume du premier solide doit se rapporter au solide obtenu par la rotation autour de la tangente au sommet, et non pas à celui qu'on obtient (comme il y est dit) par la rotation autour de la base.
Ces deux données provenaient de Torricelli. Il les avait communiquées à Mersenne dans la forme exacte, puisqu'on les trouve dans cette forme aux dernières deux pages des ‘Ad lectorem monita’ qui précèdent l'‘Universae Geometriae Synopsis’ dans l'ouvrage de Mersenne, cité dans la note 2 de la p. 34 du T. I. Quant à l'expression pour le volume engendré par la révolution de la cycloïde autour de son axe, elle est juste. Mersenne la devait à Roberval (voir à ce propos les p. 193-194 du T. 8 des ‘OEuvres de Blaise Pascal’, citées dans la note 1 de la p. 196 du Tome présent). Comme on le verra plus loin (p. 204-205), cette cubature, trouvée par Roberval, est équivalente à l'un des problèmes que Huygens ne savait pas résoudre avant d'avoir pris connaissance des méthodes de Pascal.

4) Voir ses lettres du 28 juin et du 16 juillet 1658, pp. 186 et 196 du T. II.

5) Nous empruntons la figure à celle de Huygens de la p. 347 avec addition des lignes BG et FO.

[p. 201]

les centres de gravité de ces solides et aussi des solides partiels qu'on obtient en les coupant par un plan passant par leur axe de révolution.

Pascal, d'ailleurs, n'exigeait pas que tous les calculs fussent exécutés; il se contenterait, écrivit-il, de chaque solution qui établirait, soit à la manière des anciens, soit par la méthode des indivisibles, comment on pourrait déterminer toutes les choses demandées. Toutefois il réclamait la démonstration complète, ou le calcul complet, dans les cas particuliers où le point F se confond avec le point D, ou avec le centre du cercle générateur BGD. Les prix seraient décernés à ceux qui, avant le 1^er octobre 1658, auraient résolu les questions proposées⁶⁾.

Ensuite dans sa seconde lettre circulaire il avertit qu'il suffirait de calculer la situation du centre de gravité du solide engendré par une demi-révolution de l'espace ABD autour de la base AD⁷⁾

Huygens, ayant pris connaissance de ces problèmes, ne tarda pas à se mettre à l'oeuvre. Il trouva d'abord l'aire BEF dans les deux cas particuliers signalés par Pascal⁸⁾. Ensuite il détermina l'aire du segment EBO dans le cas général⁹⁾ et

6) Voir les p. 187-189 du T. II.

7) Voir les p. 196-197 du T. II.

8) Voir les §§ 1-3, p. 347-349.

9) Voir le § 4, p. 349-350.

[p. 202]

découvrit à cette occasion un cas remarquable où ce segment est carrable sans



supposer la quadrature du cercle¹⁾. Enfin il trouva, dans les deux cas particuliers, la distance du centre de gravité du segment EBO à sa base EO et en déduisit le volume du solide engendré par la révolution autour de cette base²⁾.

Il put mander, à Boulliau, le 25 juillet 1658, qu'il avait obtenu ces résultats³⁾. Il ajouta qu'ayant manqué le reste, il ne pouvait aspirer au prix proposé par l'auteur; d'ailleurs les problèmes lui ‘semblent si difficiles pour la pluspart, qu'il doubte fort si celuy mesme qui les a proposez les pourroit tous resoudre’.

Toutefois ces problèmes et surtout celui signalé en particulier dans la seconde circulaire, ne lui laissaient pas de repos. Il reprit donc ce dernier problème et il réussit, en effet, par des artifices des plus ingénieux à déterminer la distance du centre de gravité du solide en question au plan ABD⁴⁾, de sorte que pour connaître complètement la situation du centre de gravité demandé il ne lui manqua plus que la distance au plan décrit par BD⁵⁾. Il communiqua à Boulliau⁶⁾ ce résultat qui était faussé par des erreurs de calcul⁷⁾, en ajoutant de nouveau qu'il croyait à peine ‘que tous les dits problemes estoyent possibles’.

1) Voir les p. 350-351 et voici l'explication de ce cas particulier: Posant EM = r (voir la figure du texte), ∠EML = φ, on trouve pour l'aire Dans le cas où cos φ = 1/2 cette expression se réduit à , et l'on vérifie facilement que dans ce cas le demi-segment EBF est égal au triple du triangle BGF. C'est le cas découvert par Huygens à l'aide de considérations géométriques.

2) Voir le § 5, p. 353-356; au § 6, p. 356-357, Huygens traite encore avec succès le cas d'un segment quelconque EBO.

3) Voir les p. 200-201 du T. II.

4) Voir les §§ 1 et 2 de la Deuxième Partie de la Pièce N^o XI, p. 358-362.

5) Comme il le manda plus tard à Pascal, il ne pouvait trouver cette dernière distance ‘faute de sçavoir le centre de gravité de certaines pieces de cylindre’; voir sa lettre du 5 février 1659, p. 341 du T. II.

6) Dans une lettre du 19 septembre 1658; voir la p. 220 du T. II.

7) Voir sur ces erreurs et leurs corrections la dernière ligne de la p. 362 et la note 1 de cette page.

[p. 203]

En janvier 1659 les recherches de Huygens sur la cycloïde reçurent une nouvelle impulsion. Pascal lui avait fait parvenir son ‘Historia cycloidis’⁸⁾. Il y mentionne la rectification de la cycloïde par Wren et propose quelques nouveaux problèmes relatifs au centre de gravité d'un arc cycloïdal, comme EBO, et aux dimensions et centres de gravité des surfaces engendrées par la révolution d'un tel arc autour de sa flèche ou de sa corde⁹⁾. Huygens admira beaucoup l'invention de Wren¹⁰⁾, quoiqu'il ne sût pas encore si sa rectification s'appliquait à un arc quelconque - ce qui était bien le cas¹¹⁾ - ou seulement à la cycloïde entière. Il réussit bientôt à retrouver le résultat de Wren¹²⁾ et à résoudre le premier des nouveaux problèmes, savoir celui de déterminer le centre de gravité de l'arc EBO¹³⁾. Il fut agréablement surpris.¹⁴⁾ par la simplicité du résultat, indiquant que le centre de gravité de cet arc divise toujours la flèche BF dans la raison de 2 à 1.

Toutes ces dernières recherches partaient de la connaissance de la tangente à la cycloïde, qui, en tout point E, est parallèle à la corde BG. Huygens avait rencontré cette propriété dans l'édition de van Schooten de la ‘Geometria’ de Descartes¹⁵⁾, mais il n'était pas entièrement content de la manière dont elle y est déduite. Il s'appliqua donc à en donner une nouvelle démonstration¹⁶⁾ basée sur le postulat qu'une droite qui passe par un des points d'une courbe

8) Consultez les pp. 310 et 312 du T. II. Il s'agit de l'ouvrage cité dans la note 2 de la p. 276 du T. II.

9) Voir pour plus de détails la note 5 de la p. 363.

10) Voir la p. 330 du T. II.

11) Voir la p. 360 du T. II et la note 4 de la p. 367.

12) Voir les §§ 1 et 2 de la Troisième Partie de la Pièce N^o. XI, p. 363-367.

13) Voir les §§ 3 et 4, p. 368-373.

14) Voir le deuxième alinéa de la p. 373.

15) Voir la note 3 de la p. 374.

16) Voir la Quatrième Partie de la Pièce N^o. XI, p. 374-375.

[p. 204]

est tangente à cette courbe lorsque les points de la courbe qui se trouvent de part et d'autre du point considéré et dans son voisinage, sont situés du même côté de la droite; postulat qu'il emploie souvent dans ces sortes de démonstrations¹⁾.

Quoique Pascal tâchât de faire parvenir à Huygens aussitôt qu'il lui fût possible²⁾ la célèbre ‘Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy suivie de traités de géométrie’³⁾ publiée en décembre 1658, Huygens ne la reçut que le 8 mai 1659⁴⁾. Il y trouva, du moins en principe, la solution de tous les problèmes proposés. En effet, dans la lettre elle-même et dans les traités qui l'accompagnent, Pascal sait se procurer, pour le cas spécial de la cycloïde, presque toutes les ressources, nommément l'intégration par parties, dont dispose aujourd'hui le mathématicien moderne. Par suite, ses méthodes sont plus générales et plus puissantes que celles de Huygens, qui pour chaque nouveau problème devait chercher de nouveaux artifices; mais, comme Huygens s'exprime⁵⁾ ‘il faut avouer que c'est un labyrinthe lors que l'on veut faire la construction de quelque probleme, et pour cela je voudrois qu'il eust partout pris seulement un cas le plus facile pour en donner le calcul tout du long et non seulement le dernier facit, ou bien un exemple a chaque Theoreme’. C'est pourquoi Huygens choisit, pour y appliquer la méthode de Pascal, deux cas particuliers de l'un des problèmes qu'il n'avait pas pu résoudre auparavant. Il envoya sa solution du cas le plus compliqué à de Carcavy⁶⁾, le priant de lui dire s'il avait ‘bien supputè’. Quant à la solution de l'autre cas, nous la reproduisons dans la Cinquième Partie de la Pièce N^o. XI, p. 376⁷⁾. Par l'application du théorème de Guldin on en déduit facilement la

1) Comparez les pp. 273-276, 284-285, 375 et 397-398.

2) Voir sur les causes du retard les pp. 310, 320, 364, 374, 376, 378, 379, 381, 383, 389, 390 et 396 du T. II.

3) Voir dans les ‘OEuvres de Blaise Pascal’, publiées par Brunschvicg et Boutroux, les p. 325-384 du T. 8 et les p. 1-133 du T. 9.

4) Voir la p. 402 du T. II.

5) Voir sa lettre à Carcavy du 22 mai 1659, p. 411 du T. II. On peut encore consulter sur l'opinion de Huygens concernant l'ouvrage de Pascal les pp. 416, 418, 435 et 474.

6) Voir la p. 411 du T. II.

7) Voir encore, aux p. 377-378, l'Appendice daté de 1691, où Huygens s'occupe du même cas, pour le traiter avec la méthode exposée par Wallis dans le traité ‘De cycloïde’ dont nous allons parler.

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cubature trouvée par Roberval⁸⁾ déjà avant 1646 et mentionnée par nous dans la note 3 de la p. 201. Encore en août 1693, Huygens témoigna à de la Hire de son admiration pour cette invention de Roberval⁹⁾.

Ajoutons que vers le commencement de mars 1660 Huygens reçut¹⁰⁾ le traité ‘De cycloide’ de Wallis¹¹⁾, où celui-ci résoud les problèmes de Pascal à l'aide des méthodes de l'‘Arithmetica infinitorum’¹²⁾. Wallis s'y plaint violemment des procédés de Pascal. Dans la polémique qui s'ensuivit, Huygens, sans y prendre une part active, servit d'intermédiaire entre Wallis et de Carcavy¹³⁾.

8) Les travaux de Roberval sur la cycloïde ne parurent qu'après son décès dans les ‘Divers ouvrages de Mathématique et de Physique’ de 1693; voir les p. 246-278 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 91 de notre T. IX.

9) Voir la p. 486 du T. X.

10) Voir la p. 56 du T. III.

11) Voir l'ouvrage cité dans la note 3 de la p. 518 du T. II.

12) Voir l'ouvrage cité dans la note 2 de la p. 340 du T. I. Il fut reproduit aux p. 355-478 du ‘Volumen primum’ des ‘Opera mathematica’ de Wallis.

13) Voir les pp. 56-58, 86-87, 96, 97 et 126-127 du T. III. Cette partie de la Correspondance de Huygens a été pleinement utilisée par les éditeurs des ‘OEuvres de Blaise Pascal’ dans leur introduction au ‘Recit de l'examen et du jugement des écrits envoyés pour les prix’ de Pascal (voir les p. 233-240 du T. 8 de ces ‘OEuvres’).

Théorie des développées et des courbes parallèles.

À propos des recherches sur la cycloïde, dont nous venons de traiter, nous avons dû constater une certaine infériorité des méthodes de Huygens, comparées à celles de Pascal et de Wallis. Par ses travaux sur la théorie des développées, Huygens a pris, pour ainsi dire, une revanche éclatante. En effet, en développant cette théorie, il a ajouté à l'analyse des courbes planes un chapitre intéressant et beau dont la priorité lui appartient sans contestation.

Il faut en chercher l'origine dans l'emploi des petits arcs BA et CD¹⁴⁾ que Huygens appliqua en 1658 à ses horloges à pendule afin de rendre la période des oscillations indépendante de leur largeur. Il est clair que ces arcs sont

14) Nous empruntons la figure à la lettre de Huygens à Petit du 1 novembre 1658; voir la p. 271 du T. II.

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avec la courbe décrite par la masse pesante dans la relation d'une développée à sa développante.

D'abord c'était à l'expérience que Huygens demanda ‘de quelle maniere et combien’ il devait ‘les plier pour esgaler entre eux les coups des plus larges jusqu'aux plus menus’. Il y réussit si bien avec ‘deux Horologes de cette façon, qu'en trois jours il n'y eust jamais entre elles la difference d'autant de secondes: quoyque cependant’ il en changeât ‘souvent les poids, les rendant plus ou moins pesants’¹⁾.

C'est au 1 décembre 1659²⁾ que Huygens découvrit le tautochronisme de la cycloïde, et déjà le 6 décembre il put écrire à van Schooten³⁾ qu'il avait trouvé ces jours ce qu'il n'avait jamais espéré de connaître, c'est-à-dire la forme exacte qu'il faut donner aux arcs AB, CD afin d'égaliser absolument les oscillations. Cette invention lui sembla la plus heureuse de toutes celles qui se soient jamais présentées à lui⁴⁾.

Ayant trouvé une méthode générale pour déterminer la développée d'une courbe donnée, Huygens l'appliqua non seulement à la cycloïde⁵⁾, mais aussi aux coniques et aux paraboles et hyperboles de divers degrés. Dans la Pièce N^o. XV nous avons reproduit ses recherches de 1659 sur les développées de l'ellipse et de l'hyperbole⁶⁾. Elles nous apprennent comment Huygens a obtenu les résultats qui sont mentionnés dans l'‘Horologium oscillatorium’ sans qu'on y trouve leur déduction⁷⁾.

Nous faisons suivre dans la même Pièce la théorie générale des développées telle qu'elle fut inventée par Huygens dans cette même année⁸⁾. L'exposition

1) Voir la lettre citée dans la note précédente.

2) C'est la date annotée sur une feuille separée où Huygens expose sa découverte.

3) Voir la p. 522 du T. II.

4) Voir encore sur la nouvelle invention ses lettres de janvier 1660 à Tacquet, Chapelain et Boulliau (pp. 3, 12 et 13 du T. III). Dès janvier 1660 Huygens se proposait de la faire paraître dans une seconde édition de son ‘Horologium’ (voir les pp. 13, 25, 44, et 57 du T. III); plus tard il la destinait à son ‘Horologium oscillatorium’ qui parut en 1673 (voir les p. 10-11 de l'édition originale).

5) Voir sur l'application à cette courbe la note 1 de la p. 404 et les p. 66-69 de l'édition originale de l'‘Horologium oscillatorium’.

6) Voir les p. 387-397.

7) Voir la Prop. X de la ‘Pars tertia’, p. 79-81 de l'édition originale.

8) Voir les p. 397-403.

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s'écarte en plusieurs points de celle qu'il donna plus tard dans l'‘Horologium oscillatorium’⁹⁾. Elle en diffère surtout en ce qu'elle est accompagnée de considérations sur les courbes parallèles et équidistantes, qui manquent entièrement dans cet ouvrage.

Disons encore que dans le manuscrit dont nous avons emprunté la Pièce N^o. XV on trouve aussi quelques calculs incomplets sur les développées des paraboles et hyperboles de divers degrés qui montrent que les résultats qui se rapportent à ces courbes dans l'‘Horologium oscillatorium’¹⁰⁾, furent découverts eux aussi en cette année 1659.

9) Voir les p. 59-65 de l'édition originale.

10) Voir les p. 85-90.