Oeuvres complètes. Tome XIII. Dioptrique

[p. 783]

Appendice I¹⁾
Au premier Complément à la Dioptrique.
[1690.]²⁾

CR ad RA proportio refractionis.
DR ad DA ut DC ad DS³⁾.
CM parallela BD.
BSM recta linea.
Ostendendum BM ad MC rationem minorem esse quam CR ad RA, si DC ad CH habeat majorem quam CR ad RA⁴⁾.

DR (d+m) ad DA (d+r) ut DC (d) ad hinc S concursus ad D tendentium.

1) Nous empruntons cet Appendice à la p. 34 du Manuscrit G.

2) D'après le lieu qu'il occupe au Manuscrit G. Comparez à ce propos la note 3 de la p. 766.

3) Comparez la Prop. XII, p. 41. Il résulte de cette proposition, comme Huygens le fera remarquer bientôt, que le point S est le point de concours après la réfraction par la surface BA des rayons LB dirigés primitivement vers le point D.

4) Ce qui va suivre a pour but de vérifier l'assertion (qu'on trouve à la p. 51 du Tome présent) que le point K où le rayon réfracté BKO coupe l'axe RC est situé en deçà (par rapport à la surface réfringente) du point de concours S toutes les fois qu'on aura DC:CH > CR:RA. En effet la vérité de cette assertion est une conséquence presqu'immédiate de l'inégalité que Huygens se propose de prouver. Pour le montrer il suffit de copier ici quelques phrases des pp. 50 et 52 en y changeant les notations pour autant qu'elles sont différentes dans la Fig. 23, p. 51, et dans celle de l'Appendice présent. Nous y lisons alors: ‘Or, le rapport CR:RA, égal à l'indice de réfraction est égal à BO:OC,’ [voir la Prop. II, p. 15] ‘vu que BO est le rayon réfracté provenant du rayon LB, auquel on a mené la parallèle CO. Par conséquent, BM:MC < < BO:OC’. [d'après l'inégalité en question] ‘Or, l'angle BCM, étant égal à l'angle LBC, est nécessairement obtus; et chacune des lignes BO, BM est opposée à cet angle. On aura donc CO < CM,’ [voir le lemme 2, p. 29] ‘et par conséquent l'angle CBO < CBM. C'est pourquoi CK est aussi plus petite que CS. L'on voit ainsi que tous les rayons réfractés, provenant de rayons qui se dirigent vers le point D, coupent l'axe en-deçà du point S’.
Quant à l'inégalité en question BM:MC < CR:RA, elle est démontrée géométriquement aux p. 49-51 d'une manière assez compliquée. C'est pourquoi Huygens entrepend ici de la vérifier algébriquement.

[p. 784]

^1)2)3)4)5)6)

1) On a donc .

2) La proportion se déduit de celle qui précède.

3) CL est tirée parallèlement à BM.

4) Puisque CLBM est un parallélogramme.

5) Signe équivalent au signe moderne <. Huygens se propose donc de déterminer sous quelle condition on aura BM:MC < CR:RA. Après quelques réductions il arrive un peu plus loin à une inégalité qui évidemment est équivalente à la condition DC:CH > CR:RA et, puisque l'on peut remonter la chaîne des réductions, il s'ensuit que la proposition que l'on trouve en tête de cet Appendice est prouvée.

6) Les deux derniers termes sont remplacés dans l'équation qui suit par leur équivalent 2mrb.

[p. 785]

⁷⁾⁸⁾

7) C'est-à-dire, en divisant les deux membres par 2(r-b).

8) Remarquons que, puisque toutes les relations employées sont exactes (et non pas seulement approximatives), il s'ensuit que quand on aura mr = nd le point K coïncidera pour tous les rayons du faisceau LBD avec le point S, c'est-à dire qu'on aura affaire au cas bien connu où les rayons correspondant à un point donné se réunissent exactement dans un autre. Comparez la p. 49.